Пучки индуцированных связностей на плоскостной поверхности

Вялова, Александра Вячеславовна

Пучки индуцированных связностей на плоскостной поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Вялова, Александра Вячеславовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Калининград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Пучки индуцированных связностей на плоскостной поверхности»

Автореферат диссертации на тему "Пучки индуцированных связностей на плоскостной поверхности"

На правах рукописи

Вялова Александра Вячеславна

ПУЧКИ ИНДУЦИРОВАННЫХ СВЯЗНОСТЕЙ НА ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

Казань - 2005

Работа выполнена в Калининградском государственном университете.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент

Официальные оппонента — доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится « 16 » июня 2005 г. в 14 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан « ¿3» «¿ЮиЯ—' 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-

Юрий Иванович Шевченко

Алексей Васильевич Столяров;

кандидат физико-математических наук, доцент Алексей Семенович Подковырни

математических наук

М.А. Малахальцев

Awes

шьт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В современной дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей на оснащенных подмногообразиях, которая применяется в различных разделах математики, физики. В настоящее время продолжается активное изучение различных типов связностей, индуцированных на поверхностях и семействах плоскостей проективного пространства, начатое в работах Э. Картана, Э. Бортолот-ти, А.П. Нордена, Г.Ф. Лаптева, Ю.Г. Лумисте, Л.Е. Евтушика. Работы A.B. Столярова посвящены исследованию оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство проективной связности. Индуцированные групповые связности на поверхности в проективном пространстве исследованы в работах Ю.И. Шевченко и К.В. Поляковой, на произвольном семействе плоскостей (в частности, конгруэнции и коконгруэнции) — в статьях О.М. Жовтенко, на многообразии Грассмана и в пространстве центрированных плоскостей — в работах О.О. Беловой.

В нашей работе теория связностей в расслоенных пространствах применяется к погруженному многообразию — плоскостной поверхности в проективном пространстве. Впервые термин «плоскостная поверхность» появился, по-видимому, в статье P.M. Гейдельмана и Р.П. Левиной в 1973 г. До этого плоскостная поверхность в различных исследованиях называлась линейчатой поверхностью с многомерными образующими, но часто говорилось просто о семействе плоскостей.

Впервые Э. Бортолотти ввел оснащение специального семейства многомерных плоскостей, описывающих плоскостную поверхность, для индуцирования проективной связности на ней. Ю.Г. Лумисте использовал оснащение Э. Бортолотти r-параметрического семейства А-мерных плоскостей (h+r<n) под названием «сильное проективное оснащение». Л.З. Кругляков и Н.Р. Щербаков занимались вопросами композиционного оснащения семейства плоскостей в проективном пространстве для индуцирования связностей. Ю.И. Шевченко рассмотрел плоскостную поверхность с трех точек зрения: как многообразие плоских образующих, многообразие пар плоскостей — плоской образующей и ее 1-й дифференциальной окрестности и вырожденное многообразие троек, образованных точкой, проходящими через неё образующей и касательной плоскостями. Во всех трех случаях с поверхностью ассоциировалось главное подрасслоение, в котором способом Г.Ф. Лаптева задавалась

фундаментально-групповая связность. При каждом представлении производилось композиционное оснащение плоскостной поверхности. Было доказано, что это оснащение индуцирует подсвязность 1-го типа.

Продолжая начатые исследования для ассоциированных расслоений, мы доказали, что композиционное оснащение индуцирует пучок связностей 2-го типа, из которого выделили единственную связность 2-го типа. Понятая пучка связностей 2-го типа и связности 2-го типа были известны ранее на поверхности общего вида и семействах плоскостей, в многообразии Грассмана и пространстве центрированных плоскостей. По аналогии с пучком связностей 2-го типа стояла проблема построения пучка 1-го типа. Путем сложных аналитических выкладок нам удалось получить пучок 1-го типа, из которого естественным образом выделяется связность 1-го типа. Оказалось, что параллельные перенесения оснащающих плоскостей в связностях двух типов можно распространить и на пучки связностей. Таким образом, исследования плоскостных поверхностей с точки зрения общей теории расслоений дали новые результаты: получены индуцированные связности 1-го и 2-го типов, построены многопараметрические пучки связностей этих типов, которые охарактеризованы с помощью параллельных перенесений композиционно оснащающих плоскостей.

Целью работы является изучение пучков индуцированных связностей на плоскостной поверхности в проективном пространстве, которое включает в себя:

1) построение теории фундаментально-групповых связностей в главных расслоениях, ассоциированных с плоскостными поверхностями;

2) построение пучков связностей двух типов, индуцированных композиционными оснащениями плоскостных поверхностей, и геометрическая характеристика параллельных перенесений оснащающих плоскостей в этих пучках;

3) нахождение и геометрическая интерпретация условий совпадения пучков 1-го и 2-го типов.

Методика исследования основана на методе продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева и применении разработанного им способа задания связности в главном расслоении.

Научная новизна результатов. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. Построен пучок связностей 1-го типа, индуцированный композиционным оснащением плоскостной поверхности при каждом ее представлении. Параллельные перенесения оснащающих плоскостей распространены на пучки связностей 1-го и 2-го типов. Доказана не-тензорность объекта кривизны групповой связности в расслоении, ассоциированном с плоскостной поверхностью, представленной как вырожденное многообразие троек.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты уже использовались при изучении дифференциальной геометрии многообразия Грассмана и пространства центрированных плоскостей; возможно применение и для других подмногообразий. Выполненная работа может применяться в научных исследованиях и при чтении спецкурсов в Калининградском госуниверситете.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: математический семинар Калининградского государственного университета (2000-2004 гг.); Международная молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения» (Казань, 2001-2003 гг.); Международный математический семинар к 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета (Калининград, 2002 г.); Международная научная конференция «Новая геометрия природы» (Казань, 2003 г.), математический семинар Московского государственного педагогического университета (Москва, 2003 г.), математический семинар Казанского государственного университета (Казань, 2003 г.), Международная конференция «Геометрия в Одессе — 2004. Дифференциальная геометрия и ее применения» (Одесса, 2004 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 12 статей и тезисы 4 докладов, сделанных на конференциях.

Вклад автора в разработку проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика работы, краткое содержание работы), трех глав и списка использованной литературы, включающего 53 наименования. Полный объем работы — 119 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В проективном пространстве Рп плоскостная поверхность рассматривается как 1) многообразие плоских образующих; 2) многообразие пар — образующей и её первой дифференциальной окрестности; 3) вырожденное многообразие троек, образованных точкой, проходящими через неё образующей и касательной плоскостями.

В зависимости от представления плоскостная поверхность имеет различные обозначения. В первом случае плоскостная поверхность, представленная как г-мерное многообразие А-мерных плоских образующих Ьи, обозначается Вг. Если плоскостную поверхность рассматривать как много-

образие точек, то она имеет размерность т-h +г и обозначается Sm. Во втором случае плоскостная поверхность как г -мерное многообразие пар плоской образующей Lh и её первой дифференциальной окрестности Tm+hr обозначается Мг. В третьем случае плоскостная поверхность Sm представляется как вырожденное многообразие троек (A,Lh,Tm), причем точка А и касательная плоскость Тт описывают т -мерное семейство, а образующая Lh — г -мерное семейство. Здесь плоскостная поверхность обозначается Sh+r.

В главе 1 плоскостная поверхность в проективном пространстве Рп рассматривается как многообразие плоских образующих Lh. В §2 плоскостная поверхность ВТ задаётся внутренним образом уравнениями

<о\ о>аа =Л",со'.

Находятся дифференциальные уравнения фундаментального объекта 1-го порядка А - {Л" ,A'ajl Л"¡} поверхности. В §3 с плоскостной поверхностью Вг ассоциируется главное расслоение Gl(Br), базой которого является сама поверхность, а типовым слоем Gl — подгруппа стационарности образующей Lh. Находятся структурные уравнения главного расслоения и структурные уравнения продолжения G{(Вг) ассоциированного расслоения Gx(Br).

В главном расслоении Gx(Br) задается способом Лаптева фундаментально-групповая связность с помощью поля объекта связности

_/ г-д r*a n r*l j^ot r>i r-i<x л f т->а г>д i

-i1 i >' bi'1 ai'1 jk'1 i¡ 'La}'1 fi'1 i]'1 ой'1 ij >J cif-

Объект кривизны R групповой связности Г в ассоциированном расслоении Gx(Br) является псевдотензором.

В §6 производится оснащение Бортолотти, состоящее в присоединении к каждой плоскости Lh (и-й-1)-мерной плоскости Р„_кА, задаваемой некоторым квазитензором. Для оснащающего квазитензора введено понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных.

Доказано, что оснащение Бортологги индуцирует в ассоциированном расслоении Gx(Br) связности 1-го и 2-го типов. Связности двух типов можно получить, если ввести в рассмотрение понятие пучков связностей. Показано, что оснащение Бортолотти индуцирует пучки связностей 1-го и 2-го типов. Из пучков можно выделить по единственной связности. В § 10 найдены условия совпадения пучков 1-го и 2-го типов. Они совпадают лишь тогда, когда плоскость Бортолотти неподвижна.

Введенные понятия пучков позволяют распространить параллельные перенесения оснащающей плоскости на пучки связностей. В рассматриваемом случае параллельные перенесения в пучках связностей обоих типов оказались вырожденными.

В § 11 продолжено изучение плоскостной поверхности в дифференциальной окрестности 2-го порядка. В продолженном расслоении способом Г,Ф. Лаптева задана групповая связность I. Из дифференциальных уравнений для компонент объекта связности I следует, что он содержит один простейший подобъект линейной связности {} и два простых по-добъекта. Доказано, что фундаментально-групповая связность Г, ее продолжение и линейная связность {} порождают групповую связность I в продолжении главного расслоения 0[(ВГ), ассоциированного с плоскостной поверхностью Вг.

В главе 2 рассматривается плоскостная поверхность, представленная как г-мерное многообразие Мг пар плоскостей — образующей Ьк и ее первой дифференциальной окрестности Тт+Нг (т + Иг<п). Плоскость Тт+Нг (Ькс Тт+Иг <^Р„) называется касательным пространством к плоскостной поверхности, проходящим через образующую Ьн. Другими словами, под касательным пространством можно понимать линейную оболочку всех касательных плоскостей в точках плоской образующей. В § 1 плоскостная поверхность Мг задается параметрически уравнениями

о)а=0, юаа= 0, <ор=Л?в', (ора=К0\ =Л°р1в1, где совокупность функций .Л^,^} является фундаментальным

объектом 1-го порядка. В §2 с поверхностью Мг ассоциируется главное расслоение С2(МГ), базой которого является сама поверхность, а типовым слоем — подгруппа стационарности пары плоскостей (Ьк,Тт+1^ )■ Ассоциированное расслоение содержит 5 факторрасслоений. В § 3 групповая связность в главном расслоении 02(МГ) задается по Лаптеву с помощью поля объекта связности

г—/г" г г." г гр г" г г" гр гс I

1 ~I 1 I >л о/'1 Ы>1 />/>■* ф >4 р1-л Ы>1 от'■* «л'*■ п' / •

Находятся дифференциальные уравнения на компоненты объекта связности Г, из которых следует, что объект связности содержит 1 простейший и 4 простых подобъекта, задающих связность в соответствующих факторрасслоениях из § 2. Доказывается, что объект кривизны Я групповой связности Г является тензором, содержащим 1 простейший и 4 простых подтензоров кривизны соответствующих пяти под-связностей.

В §5 производится композиционное оснащение, состоящее в присоединении к каждой паре (Ьн, Тт+Иг) двух плоскостей: а) обобщенной нормали 2-го рода Рг(И+1)-1: ¿А Ф Рг(И+!)-1 =Тт+Ьг> б) обобщенной плоско-

ста Картана Рл_т_Аг.;: Тт+Нг®Рп_т_кг_1=Рп. Названия оснащающих плоскостей объясняются тем, что в особом случае й=0 образующая будет вырождаться в точку 10 еБт и, следовательно, первая дифференциальная окрестность точки или, что то же самое, касательная плоскость Тт в этой точке к поверхности 5га будет т -мерной. Тогда получаем нормаль 2-го рода Рт_,: Ъ0 Ф Рт_1 =Тт и плоскость Картана Р„_т_,: Тт в Р„_т_, =Р„. Композиционное оснащение поверхности Мг порождает оснащение Бортолотти семейства плоских образующих Ьн полем плоскостей Р„_ь_1 =Рг(1г+\)-\ ®^и-т-Аг-1 • Композиционное оснащение определяется полем некоторого квазитензора. Для оснащающего квазитензора находятся выражения для ковариантных дифференциалов и ковариантных производных. Доказывается, что композиционное оснащение плоскостной поверхности Мг индуцирует в ассоциированном расслоении Сг(МТ) связность двух типов.

В § 7 дается определение пучка 1-го типа, предпучка, пучка групповых подсвязностей, слабого предпучка и линейной комбинации предпучка групповых связностей 1-го типа. Принадлежность связности Г предпучку групповых связносгей эквивалентна принадлежности слабому предпучку и линейной комбинации предпучка. Доказывается, что композиционное оснащение плоскостной поверхности Мг индуцирует в главном расслоении Ог(Мг) пучок групповых связностей 1-го типа. Описываются параллельные перенесения плоскостей Рг(ь+\)-\ и ^п-т-Нг-\ в пучке связностей 1-го типа, которые оказались невырожденными. В § 8 дается определение пучка связностей 2-го типа и доказывается, что он индуцируется в главном расслоении С2(МГ) композиционным оснащением плоскостной поверхности Мг. Для описания параллельных перенесений оснащающих плоскостей в пучке связностей 2-го типа в § 9 вводится определение специального композиционного оснащения, специальной обобщенной нормализации, специального, полуспециального и комбинационного оснащения Картана. Специальность обобщенного оснащения Картана равносильна его полуспециальности и комбинационное™. В пучке связностей 2-го типа выделяются специальные смещения оснащающих плоскостей Р^^^, Р„-т-^~\ в качестве их параллельных перенесений. Находятся условия совпадения пучков связностей 1-го и 2-го типов. Они совпадают, когда обобщенная плоскость Картана Р„-т-Ьг-\ и плоскость Бортолотти , содержащая нормаль 2-го рода Ргти, абсолютно инвариантны.

В третьей главе плоскостная поверхность рассматривается как частный случай поверхности общего вида, представляемой как семейство точек. Через каждую точку А проходит единственная образующая 1А, но при фиксации образующей 1А точка А поверхности не фиксируется. Плоскостная поверхность рассматривается в окрестности любой точки произвольной образующей, а не в окрестности всей образующей, как это делается в предыдущих главах, поэтому она называется точечно-плоскостной поверхностью. В каждой точке А образующей ¿А имеется своя касательная плоскость Тт. Точечно-плоскостная поверхность представляется вырожденным многообразием троек (А,Ьк,Тт), образованных точкой А, проходящими через нее образующей и касательной плоскостью Тт, и обозначается Поверхность является вырожденным многообразием, так как точка А и касательная плоскость Тт описывают от-мерное семейство, а образующая 1А -г -мерное семейство.

В § 1 находятся уравнения точечно-плоскостной поверхности 5А+Г

Объект А ={} является внутренним фундаментальным объектом 1-го порядка поверхности .

В §2 с точечно-плоскостной поверхностью ассоциируется главное расслоение СзГ^л+гЛ базой которого является сама поверхность, а типовым слоем — подгруппа стационарности тройки (А,Ьн,Тт). Чтобы «избавиться» от фиксированных точек А на образующих 1А, говорится о базе поверхности — расслоении Ьк(Вг). Базой этого расслоения является семейство Вг образующих Ьк, рассматриваемых как элементы многообразия Грассмана Сг(к,п), а типовым слоем — плоскость £й как семейство точек, которое назовем суженной базой поверхности БИ+Г. Главное расслоение С3(5И+Г) содержит 8 главных факторрасслоений, каждое из которых охарактеризовано геометрически. В свою очередь, каждое фак-торрасслоение можно рассматривать над суженной базой 1А.

В §3 в ассоциированном расслоении Оъ(5А+Г) способом Г.Ф. Лаптева задается групповая связность Г-={ГаЪ ,Г^,Гьас,Гьа; ,Г'а,Г']к >г?ь Гш>Гу Гаа,Гт,Г^,Г^,Г%,Г1,Г1ш,Г1щ}. Из дифференциальных уравнений на

компоненты объекта связности Г следует, что он содержит 17 подобъек-тов, 8 из которых задают связность в восьми факгоррасслоениях главного

расслоения Оъ(Зк+г), еще 8 — в соответствующих факторрасслоениях над суженной базой и последний — в сужении СЪ(ЬН) ассоциированного расслоения В §4 доказывается, что объект кривизны Я фунда-

ментально-групповой связности Г в главном расслоении со-

ставляет геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным объектом Л поверхности и объектом связности Г и содержит 9 геометрических подобъектов, которые являются тензорами кривизны связ- » ностей соответственно в восьми факторрасслоениях над суженной базой

и в сужении главного расслоения

В §5 производится композиционное оснащение точечно-плоскостной поверхности 5А+Г, которое состоит в присоединении к каждой точке поверхности трех плоскостей: а) : А®Рк_1=Ьк\ б) Рт-н-1 ■ Ьн ® Рт-к-1 =Тт-, в) Р„_т_,: Тт ©Р„_т_} =Р„ — проективно дополняющих соответственно точку до образующей, образующую до касательной плоскости и касательную плоскость до объемлющего пространства. Композиционное оснащение задается полем некоторого квазитензора. Из дифференциальных уравнений на компоненты оснащающего квазитензора следует, что он содержит 3 простейших и 3 простых подквазитензора, каждый из которых имеет геометрическую характеристику.

Производится более слабое оснащение точечно-плоскостной поверхности которое называется нормализацией. Данная нормализация отличается от нормализации А.П. Нордена для поверхности общего вида в проективном пространстве. Под нормализацией поверхности понимается задание на ней полей двух плоскостей: а) плоскости Рт-и +Рт_ъ =Тт, 1А Г\Рт.н = А; б) нормали 1-го рода А.П. Нордена Р„-т :Тт +Р„~т=Р„, Тт П Р„^т =А. В случае такой нормализации плоскость Рт_к аффинно дополняет образующую Ьк до касательной плоскости Тт, а плоскость Рп_т аффинно дополняет касательную плоскость Тт до пространства Р„. Нормализация точечно-плоскостной поверхности очевидным образом порождается ее композиционным оснащением. И наоборот, доказывается, что нормализация порождает композиционное ос- ■ нащение. Находятся ковариантные дифференциалы и ковариантные производные компонент оснащающего квазитензора.

В § 7 доказывается, что композиционное оснащение индуцирует группо-

вую связность 1-го типа с объектом Г. В § 8 доказывается, что пучок группо-

вых связностей 1-го типа индуцируется композиционным оснащением. Из пучка выделяются предпучки подсвязностей и линейные комбинации под-связностей. Введенные понятия используются при описании параллельных перенесений оснащающих плоскостей в § 9.

В §10 доказывается, что композиционное оснащение индуцирует пучок 2-го типа, из которого единственным образом выделяется связность 2-го типа. Для описания параллельных перенесений в пучке связностей 2-го типа в § 11 даны определения специального композиционного, полуспециального и комбинационного оснащений. Соответствующие параллельные перенесения оказались невырожденными. Находятся условия совпадения пучков связностей 1-го и 2-го типов. Доказано, что они совпадают, когда плоскость Картана Р„-т-], плоскость Бортолотти />И_А_; = Рт_ь_1 © Р„_т_/И гиперплоскость Рп_,= Рк_,® Рп__нч абсолютно инвариантны.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Для плоскостной поверхности в проективном пространстве построены пучки связностей двух типов, индуцированные композиционными оснащениями, ассоциированными с представлениями поверхности в виде следующих семейств: а) плоских образующих; б) пар плоскостей - плоской образующей и ее 1-й дифференциальной окрестности; в) троек, образованных точкой, проходящими через нее образующей и касательной плоскостью.

2. Выделены специальные смещения композиционно оснащающих плоскостей в качестве параллельных перенесений относительно пучков связностей двух типов.

3. Построено продолжение расслоения, ассоциированного с плоскостной поверхностью, представленной как многообразие плоских образующих, и определена естественная связность на этом продолжении.

4. Доказано, что объект кривизны групповой связности в расслоении, ассоциированном с плоскостной поверхностью, представленной как вырожденное многообразие троек, образует геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным объектом и объектом связности, причем этот геометрический объект содержит 9 подтензоров кривизны.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Скрягина (Вялова) А. В. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный

оснащением Бортологги плоскостной поверхности / А. В. Скрягина // Проблемы мат. и физ. наук: матер, пост. науч. семинаров. — Калининград, 2000. — С. 35-38.

2. Скрягина (Вялова) А. В. Вырожденные параллельные перенесения в пуч-

ках связностей на плоскостной поверхности / А. В. Скрягина // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 2001. — Вып. 32.

— С. 83-87.

3. Скрягина (Вялова) А. В. Пучок связностей 1-го типа на плоскостной по-

верхности как семействе пар образующей и ее первой дифференциальной окрестности / А. В. Скрягина // Проблемы мат. и физ. наук: матер, пост. науч. семинаров. —Калининград, 2001. — С. 25-29.

4. Скрягина (Вялова) А. В. Пучок связностей 1-го типа на плоскостной по-

верхности / А. В. Скрягина // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского: матер, междунар. молодеж. науч. школы-конф. — Казань, 2001. — Т. 12.

— С. 58-59.

5. Скрягина (Вялова) А. В. Связность в продолжении расслоения проек-

тивных реперов, ассоциированном с плоскостной поверхностью / А. В. Скрягина // Проблемы мат. и физ. наук: матер, пост, научн. семинаров. — Калининград, 2002. — С. 36-38.

6. Скрягина (Вялова) А. В. Связность в продолжении расслоения проективных

реперов, ассоциированном с плоскостной поверхностью / А. В. Скрягина // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского: матер, междунар. молодеж. науч. школы-конф. — Казань, 2002. — Т. 18. — С. 82-83.

7. Скрягина (Вялова) А. В. Объект кривизны на центрированной плоскост-

ной поверхности / А. В. Скрягина // Докл. междунар. мат. семинара.: К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-легию математического факультета. — Калининград, 2002. — С. 152-159.

8. Скрягина (Вялова) A.B. Специальные оснащения плоскостной поверхно-

сти / А. В. Скрягина // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 2002. — Вып. 33. — С. 89-93.

9. Скрягина (Вялова) А. В. Плоскостная поверхность как семейство пар об-

разующей и ее 1-й дифференциальной окрестности / А. В. Скрягина // Движения в обобщенных пространствах: сб. науч. тр. Пенз. гос. ун-та.

— Пенза, 2002. — С. 200-205.

10. Skriagina (Вялова) A. The structure of equipment of centered plane surface / A. Skriagina // New Geometry of Nature. — Kazan, 2003. — Vol. 1. — P. 197-200.

11. Скрягина (Вялова) A. В. Индуцированный пучок связностей 1-го типа на плоскостной поверхности как вырожденном семействе / А. В. Скрягина // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 2003. — Вып. 34. —С. 130-136.

12. Скрягина (Вялова) А. В. Композиционное оснащение плоскостной поверхности / А. В. Скрягина // Междунар. конф. по геом. и анализу. —

i Пенза, 2003. —С. 87-93.

13. Вялова А. В. Два представления тангенциально вырожденной поверхности / А. В. Вялова И Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского: матер, междунар. молодеж. науч. школы-конф. — Казань, 2003. — Т. 21. — С. 93-94.

14. Вялова А. В. Параллельные перенесения в пучке связностей 2-го типа на точечно-плоскостной поверхности / А. В. Вялова // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 2004. — Вып. 35. — С. 36-42.

15. Вялова А. В. Параллельные перенесения оснащающих плоскостей вдоль фиксированной образующей в пучке связностей 1-го типа на точечно-плоскостной поверхности / А. В. Вялова // Тезисы докл. междунар. конф. «Геометрия в Одессе - 2004. Дифференциальная геометрия и ее приложения». — Одесса, 2004. — С. 16-18.

16. Вялова А. В. Параллельные перенесения в пучке связностей 1-го типа на точечно-плоскостной поверхности / А. В. Вялова // Лаптевские чтения: сб. тр. — Пенза, 2004. — С. 26-30.

Александра Вячеславна Вялова

ПУЧКИ ИНДУЦИРОВАННЫХ СВЯЗНОСТЕЙ НА ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 06.05.2005 г. Бумага для множительных аппаратов. Формат 60x90 Vie-Гарнитура «Тайме». Ризограф. Усл. печ. л. 0,9. Уч.-изд. л. 0,7. Тираж 100 экз. Заказ 119.

Издательство Калининградского государственного университета 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

*t033l 110Î 1

РНБ Русский фонд

2006-4 10665

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Вялова, Александра Вячеславовна

ВВЕДЕНИЕ

A. Исторический обзор.

Б. Общая характеристика работы.

B. Краткое содержание работы.

ГЛАВА 1. Плоскостная поверхность как многообразие плоских образующих

§1. Структурные уравнения проективной группы и её подгрупп.

§2. Фундаментальные объекты внутренне заданной плоскостной поверхности.

§3. Ассоциированное расслоение и его продолжение.

§4. Групповая связность в ассоциированном расслоении.

§5. Объект кривизны групповой связности.

§6. Оснащение Бортолотти плоскостной поверхности.

§7. Связность 1-го типа.

§8. Пучок связностей 1-го типа.

§9. Пучок связностей 2-го типа и связность 2-го типа.

§10. Специальное оснащение Бортолотти.

§11. Связность в продолжении ассоциированного расслоения.

ГЛАВА 2. Плоскостная поверхность как семейство пар образующей и ее первой дифференциальной окрестности

§ 1. Фундаментальные объекты параметрически заданной плоскостной поверхности.

§2. Ассоциированное расслоение и его продолжение.

§3. Групповая связность в ассоциированном расслоении.

§4. Объект кривизны групповой связности.

§5. Композиционное оснащение плоскостной поверхности.

§6. Связность 1-го типа.

§7. Пучок связностей 1-го типа.

§8. Пучок связностей 2-го типа и связность 2-го типа.

§9. Специальное композиционное оснащение плоскостной поверхности.

ГЛАВА 3. Точечно-плоскостная поверхность

§1. Фундаментальные объекты точечно-плоскостной поверхности.

§2. Ассоциированное расслоение точечно-плоскостной поверхности.

§3. Групповая связность в ассоциированном расслоении.

§4. Объект кривизны групповой связности.

§5. Композиционное оснащение и нормализация.

§6. Ковариантный дифференциал и ковариантные производные композиционно оснащающего квазитензора.

§7. Связность 1-го типа.

§8. Пучок связностей 1-го типа.

§9. Параллельные перенесения в пучке связностей 1-го типа.

§10. Пучок связностей 2-го типа и связность 2-го типа.

§11. Параллельные перенесения в пучке связностей 2-го типа.

Введение диссертация по математике, на тему "Пучки индуцированных связностей на плоскостной поверхности"

А. Исторический обзор

Предметом нашего исследования является плоскостная поверхность в многомерном проективном пространстве. Всякое г-параметрическое семейство (Lh)г h-мерных плоскостей Lh в «-мерном проективном пространстве Рп при условии h+r<n можно рассматривать как точечную (h+r)-мерную поверхность Vh+r> которая называется плоскостной поверхностью [3]. В частности, одномерное семейство прямых (1^)i в трехмерном пространстве Р3 является линейчатой поверхностью. Впервые термин «плоскостная поверхность» появился, по-видимому, в статье P.M. Гейдельмана и Р.П. Левиной [4]. Проективная классификация плоскостных поверхностей, основанная на числе сг торсов, проходящих через текущую образующую Lh, описана в статье P.M. Гейдельмана и JI.3. Кругля-кова [3]. Однопараметрическое подсемейство !fi плоскостей Lh называется торсом, если в каждой плоскости Lh оно имеет характеристикой плоскость размерности h-1. При <т=г поверхность Vh+r является тангенциально вырожденной. Пусть Т(Х) — касательная плоскость поверхности Vh+r в точке XeLh. Обозначим через T(Lh) линейную оболочку плоскостей Т(Х) во всех точках X плоскости Lh, т.е. подпространство минимальной размерности, содержащее все Т(Х) при XeLh, которое является касательным пространством для образующей Lh семейства (Lh)r. Число p=n-h-r называется индексом [3, 4] плоскостной поверхности Vh+r. Плоскость Lh+a., являющаяся пересечением плоскостей Т(X) во всех точках XeLh, называется [3, 4] ассоциированной плоскостью для Lh. Очевидно, что Lh+aZDLh и 0<сг<г. Если <т>1,то поверхность Vh+r называется

3] плоскостной поверхностью типа а и обозначается Va. Индекс р плоскостной поверхности Vh+r удовлетворяет условию p<h(r-a).

До введения термина плоскостной поверхности г-параметрическое семейство h-мерных плоскостей (Lh)T, которое одновременно является и поверхностью, в различных исследованиях называлось линейчатой поверхностью с многомерными образующими, но чаще говорилось просто о семействе плоскостей. Так, В.И. Близникас [1] дает классификацию подмногообразий Gr(h,n,r) многообразия Грассмана Gr(h,n), основанную на принципе двойственности, и называет семейство (Lh)r (h+r)-мерной поверхностью (1 <r <n-h-1) или р-комерной h(n-h)<p<(h + l)(n-h) линейчатой поверхностью с h -мерными образующими. Согласно принципу двойственности, если построена геометрия гладкого г -параметрического семейства (1 <r <(n-h)(h +1)) h-мерных плоскостей, т.е. гладкое подмногообразие многообразия Грассмана Gr(h,n,r), то можно считать, что построена и геометрия косемейства Gr(n-h-\,n,r). В некоторых случаях геометрия косемейств представляет интерес, т.к. часто косемейства однозначным образом ассоциируются с семейством.

Плоскостная поверхность Вг изучалась в работе [40] Ю.И. Шевченко. Исследование проводилось методом внешних форм и основано на применении предложенного Г.Ф. Лаптевым способа задания связностей в главных расслоениях с использованием разработанного им метода продолжений и охватов. В многомерном проективном пространстве Рп плоскостная поверхность представлена в трех видах: многообразие плоских образующих Lh, семейство пар образующей Lh и ее первой дифференциальной окрестности Tm+hr и вырожденное [16] многообразие троек, образованных точкой А, проходящими через нее образующей Lh и касательной плоскостями Тт. Используется определенная схема: 1) записываются уравнения плоскостной поверхности; 2) в результате их продолжения находится фундаментальный объект первого порядка плоскостной поверхности; 3) с поверхностью ассоциируется главное подрасслоение Н(Вг), базой которого является сама поверхность Вг, а типовым слоем — фактор-группа Н, действующая на образующей фигуре; 4) в главном подрасслоении Н(Вг) задается фундаментально-групповая связность по Г.Ф. Лаптеву с помощью поля объекта связности на базе Вг; 5) объект связности охватывается фундаментальным объектом первого порядка многообразия Вг, некоторым оснащающим объектом и их продолжениями; 6) выясняется структура оснащения, позволяющая задавать фундаментально-групповую связность в ассоциированном подрасслоении; 7) оснащающий объект задает некоторые дополнительные плоскости, присоединения которых к каждой плоскости Lh исходного многообразия Вг определяет оснащение плоскостной поверхности. Исследование в данном направлении продолжаются в настоящей работе.

Геометрия плоскостной поверхности находится на стыке теорий поверхностей и семейств плоскостей. Многообразием h -плоскостей в Рп называется [13] образ jul{Br) некоторого г-мерного дифференцируемого многообразия Вг при его диффеоморфизме : BrGr (h,n) в грассманово многообразие Gr(h,n) h -мерных плоскостей п -мерного вещественного проективного пространства Р„. Точки в Рп, принадлежащие плоскостям ju^(x) многообразия 1л^{Вг) (если точки пересечения различных плоскостей рассматривать с их кратностью), образуют расслоенное пространство Vh+r, базой которого является многообразие Вг, типовым слоем — пространство Ph, и структурной группой — группа GP(h,R) проективных преобразований пространства Ph. Это расслоенное пространство Vh+r называется [13] проективным расслоением Vh+r, погруженным в Рп.

Для получения содержательной теории в расслоенных пространствах необходимо задавать связность. Теория связностей занимает важное место в дифференциальной геометрии. Начало теории связностей положила в 1917 г. работа Т. Леви-Чевита [53] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1919 г. Г. Вейль [50], развивая идею параллельного переноса Т. Леви-Чевита и обобщая риманову концепцию пространства, рассмотрел пространство линейной связности - многообразие, в котором задан закон параллельного переноса касательных векторов вдоль кривых. Развитие идей Г. Вейля привело к современной теории связностей, изучающей связности в расслоениях. Существует несколько равносильных определений понятия связности. Прежде всего связность понимается как некоторый закон, который определяет параллельное перенесение и задается или объектом связности, или горизонтальным распределением. Это определение идет от первых идей Т. Леви-Чевита [53] и Г. Вейля [50]. Далее оно развивалось и обобщалось в работах Ш. Эресмана [51], А. Лихнерови-ча [12], К. Номидзу [17], С. Кобаяси [52] и др.

Другая концепция связности дана Э. Картаном [6] и развита главным образом В.В. Вагнером [2] и Г.Ф. Лаптевым [9]. Связность понимается здесь как некоторый закон, определяющий в главном отображение бесконечно близких слоев друг на друга. Ю.Г. Лумисте [14] определяет связность как отображение множества всех путей на базе в множество всех диффеоморфизмов слоя на слой, удовлетворяющее определенным аксиомам [15].

Понятие связности широко используется в нашей работе. Ю.Г. Лумисте [13] определяет связность в проективном расслоении Vh+r> задавая различные оснащения многообразия h -плоскостей Вг) в Рп. Под оснащением понимается процесс присоединения к точкам базы Вг некоторых дополнительных геометрических образов в проективном пространстве Рп. Полученная таким образом связность называется индуцированной заданным оснащением.

Впервые Э. Картан [47] ввел оснащение поверхности в трехмерном проективном пространстве для индуцирования проективной связности на ней. Э. Бортолотти [49] ввел аналогичное оснащение для специального семейства многомерных плоскостей, описывающих плоскостную поверхность. Затем Э. Картан [6] распространил понятие оснащения на семейство касательных плоскостей многомерной поверхности. Ю.Г. Лумисте переоткрыл оснащение Бортолотти семейства h-мерных плоскостей ^(Вг) (h + r<n) под названием «сильное проективное оснащение» [13]. Метод нормализации разработан А.П. Норденом [18, 19] для построения дифференциальной геометрии многомерной поверхности проективного пространства, в частности, для индуцирования аффинной связности на поверхности. На самом деле, нормализация А.П. Нордена позволяет индуцировать более широкие групповые связности [41, 42].

Наши исследования ведутся с позиций локально-дифференциальной геометрии, разрабатываемой методом продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева. Такой метод дифференциально-геометрических исследований, базирующийся на исчислении внешних дифференциальных форм Картана и на теории непрерывных групп Ли, позволил отечественным и зарубежным математикам получить в своих исследованиях основополагающие результаты в теории подмногообразий, в пространствах с фундаментальными группами и обобщенных пространствах, в теории связностей и расслоенных пространств, в теоретической физике и т.д. Метод продолжений и охватов дал возможность получить нам ряд новых результатов в геометрии плоскостной поверхности.

Б. Общая характеристика работы

Работа посвящена изучению пучков индуцированных связностей на плоскостной поверхности проективного пространства, представленной тремя способами. Во всех трех случаях с поверхностью ассоциированы главные расслоения, в которых способом Г.Ф. Лаптева задана фундаментально-групповая связность. Произведены композиционные оснащения плоскостной поверхности при различных ее представлениях. Оснащения индуцируют в ассоциированных расслоениях групповые связности двух типов. Эти связности можно выделить как подсвязности из соответствующих многопараметрических пучков индуцированных связностей. Таким образом, введенные пучки связностей дают алгоритмический путь для нахождения связностей двух типов. Более того, удалось распространить на пучки связностей понятие параллельного перенесения.

Актуальность темы. В современной дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей на оснащенных подмногообразиях. Эта теория применяется в различных разделах математики и физики. В нашей работе теория связностей в расслоенных пространствах применяется к погруженному многообразию — плоскостной поверхности в проективном пространстве.

Теория связностей, зародившаяся в работе Т. Леви-Чевита, получила широкое распространение в дальнейшем. В рамках этой теории развилось понятие индуцированных связностей. Первоначально строили оснащения на поверхности проективного пространства для индуцирования проективных и аффинных связностей. Этому посвящены работы Э. Картана, Э. Бортолотти, А.П. Нордена, Г.Ф. Лаптева. Современное изложение теория связностей в расслоенных пространствах получила в работах Э. Картана, Ш. Эресмана, А.П. Нордена, В.В. Вагнера, Г.Ф. Лаптева, П.К. Рашевского, A.M. Васильева, В.И. Близникаса, Ю.Г. Лумисте, Л.Е. Ев-тушика и др. Работы А.В. Столярова [38] посвящены исследованию оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство проективной связности. Л.З. Кругляков и Н.Р. Щербаков занимались вопросами композиционного оснащения семейства плоскостей в проективном пространстве для индуцирования связностей. Индуцированные групповые связности на поверхности в проективном пространстве исследованы в работах Ю.И. Шевченко и К.В. Поляковой, на произвольном семействе плоскостей (в частности конгруэнции и коконгруэнции) — в статьях О.М. Жовтенко, на многообразии Грассмана и в пространстве центрированных плоскостей — в работах О.О. Беловой.

Ю.И. Шевченко рассмотрел плоскостную поверхность с трех точек зрения. Во всех случаях с поверхностью ассоциировалось главное под-расслоение, в котором способом Г.Ф. Лаптева задавалась фундаментально-групповая связность. При каждом представлении производилось композиционное оснащение плоскостной поверхности. Было доказано, что это оснащение индуцирует подсвязность 1-го типа.

Продолжая начатые исследования в более широком плане для ассоциированных расслоений, мы доказали, что композиционное оснащение индуцирует пучок связностей 2-го типа, из которого выделили единственную связность 2-го типа. Понятия пучка связностей 2-го типа и связности 2-го типа были известны ранее на поверхности общего вида и семействах плоскостей, в многообразии Грассмана и пространстве центрированных плоскостей. По аналогии с пучком связностей 2-го типа стояла проблема построения пучка 1-го типа. Путем сложных аналитических выкладок впервые в теории индуцированных связностей нам удалось получить пучок 1-го типа, из которого единственным образом выделяется связность 1-го типа. Понятие пучка индуцированных связностей 1-го типа уже нашло применение в работах других авторов. Оказалось, что параллельные перенесения оснащающих плоскостей в связностях двух типов можно распространить и на пучки связностей. Таким образом, исследования плоскостной поверхности с точки зрения расслоений, позволили получить новые результаты: впервые построены пучки связностей 1-го типа, которые охарактеризованы с помощью параллельных перенесений композиционно оснащающих плоскостей.

2) построение пучков связностей 1-го и 2-го типов, индуцированных композиционными оснащениями плоскостных поверхностей, и геометрическая характеристика параллельных перенесений оснащающих плоскостей в этих пучках;

3) нахождение и геометрическая интерпретация условий совпадения пучков 1-го и 2-го типов.

Научная новизна результатов. Результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Построены пучки связностей 1-го типа, индуцированные композиционными оснащениями плоскостных поверхностей, и описаны параллельные перенесения в этих пучках.

2. Построены специальные оснащения плоскостных поверхностей, которые нашли применение при задании параллельных перенесений в пучках связностей 2-го типа.

3. Построено продолжение расслоения, ассоциированного с плоскостной поверхностью, представленной как многообразие плоских образующих, и исследовано задание в нём связности.

4. Доказано, что объект кривизны групповой связности в расслоении, ассоциированном с плоскостной поверхностью, представленной как вырожденное многообразие троек, образует геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным объектом и объектом связности, причем содержит 9 подтензоров кривизны.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты уже использовались при изучении дифференциальной геометрии многообразия Грассмана и пространства центрированных плоскостей; возможно применение и для других подмногообразий. Выполненная работа может использоваться в научных исследованиях и при чтении спецкурсов в Калининградском госуниверситете.

2003), математический семинар Московского государственного педагогического университета (Москва, 2003), математический семинар Казанского госуниверситета (Казань, 2003), международная конференция «Геометрия в Одессе — 2004. Дифференциальная геометрия и ее применения» (Одесса,

2004).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 работ, в том числе, 12 статей и тезисы 4-х докладов, сделанных на конференциях.

В. Краткое содержание работы

В зависимости от представления плоскостная поверхность имеет различные обозначения. В первом случае плоскостная поверхность, представленная как г -мерное многообразие h -мерных плоских образующих Lh, обозначается Вг. Если плоскостную поверхность рассматривать как многообразие точек, то она имеет размерность m=h+r и обозначается Sm. Во втором случае плоскостная поверхность как г -мерное многообразие пар плоской образующей Lh и её первой дифференциальной окрестности Tm+hr обозначается Мг. В третьем случае плоскостная поверхность Sm представляется как вырожденное многообразие троек (A,Lh,Tm), причем точка А и касательная плоскость Тт описывают т -мерное семейство, а образующая Lh — г -мерное семейство. Здесь плоскостная поверхность обозначается Sh+r.

В главе 1 плоскостная поверхность в проективном пространстве Рп рассматривается как многообразие плоских образующих Lh. В §2 плоскостная поверхность Вг задаётся внутренним образом уравнениями: а ла-J -J Л ,.j ,.а ла ,А СО =AiCO , Q)a=AajCOJ, СОа = Aai0) .

Находятся дифференциальные уравнения фундаментального объекта 1-го порядка Al={A?,AlaJ,Aaai} поверхности. В §3 с плоскостной поверхностью Вг ассоциируется главное расслоение Gl(Br), базой которого является сама поверхность, пространством расслоения - проективная группа GP(п), а типовым слоем Gx — подгруппа стационарности образующей Lh. Проекция K1:GP(n)-+Br относит произвольному элементу группы

GP(n) ту плоскость Lh семейства Br, которая остается инвариантной под действием этого элемента. Находятся структурные уравнения главного расслоения и структурные уравнения продолжения G[(Br) ассоциированного расслоения G{(Br).

В главном расслоении G\(Br) задается способом Лаптева фундаментально-групповая связность с помощью поля объекта связности г ля j->a r-i pi рос T->i f-ia j-i j-i ya r->a > ~ i i bi'1 ai'1 jk'1 ij aj'1 pi'1 ij'1 ai > ij ai /•

Объект кривизны R групповой связности Г в ассоциированном расслоении Gx(Br) является псевдотензором.

В §6 производится оснащение Бортолотти, состоящее в присоединении к каждой плоскости Lh (л-/2-1)-мерной плоскости задаваемой некоторым квазитензором. Для оснащающего квазитензора введено понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных.

Доказано, что оснащение Бортолотти индуцирует в ассоциированном расслоении Gx(Br) связности 1-го и 2-го типов. Связности двух типов можно получить, если ввести в рассмотрение понятие пучков связностей. Показано, что оснащение Бортолотти индуцирует пучки связностей 1 -го и 2-го типов. Из пучков можно выделить по единственной связности. В §10 найдены условия совпадения пучков связностей 1-го и 2-го типов. Они совпадают лишь тогда, когда плоскость Бортолотти неподвижна.

В §11 продолжено изучение плоскостной поверхности в дифференциальной окрестности 2-го порядка. В продолженном расслоении способом Г.Ф. Лаптева задана групповая связность L. Из дифференциальных уравнений на компоненты объекта связности L следует, что он содержит один простейший [42] подобъект линейной связности {Lljk } и два простых [42] подобъекта. Доказано, что фундаментально-групповая связность Г, её продолжение и линейная связность {Ujk} порождают групповую связность L в продолжении главного расслоения G[(Br), ассоциированного с плоскостной поверхностью Вг.

В главе 2 рассматривается плоскостная поверхность, представленная как г -мерное многообразие Мг пар плоскостей — образующей Lh и ее первой дифференциальной окрестности Tm+hr (m+hr<n). Плоскость Tm+hr (Lh czTm+hr с Pn) называется касательным пространством к плоскостной поверхности, проходящим через образующую Lh. Другими словами, под касательным пространством можно понимать линейную оболочку всех касательных плоскостей в точках плоской образующей. В §1 плоскостная поверхность Мг задается параметрически уравнениями: о°=0, со?= 0, ор=Л?в\ (ора=Лра1в1, соар=Лар1Э\ где совокупность функций A ={Af ,Apai, yfpi} является фундаментальным объектом 1-го порядка. В §2 с поверхностью Мг ассоциируется главное расслоение G2(Mr), базой которого является сама поверхность, расслоенным пространством — проективная группа GP(п), а типовым слоем G2 — подгруппа стационарности пары плоскостей (Lh,Tm+hr). Проекция к2 : GP(Мг относит произвольному элементу группы GP(п) ту пару семейства Л/г, которая остается инвариантной под действием этого элемента. Ассоциированное расслоение содержит 5 факторрасслоений. В §3 групповая связность в главном расслоении G2(Mr) задается по Лаптеву с помощью поля объекта связности г=/г.а г га г гр га г га гр га I

J I 1 i >J ai'1 bi>x pi>л qi >A pi>A cri'-1 oi>л от »1 ri /'

Находятся дифференциальные уравнения на компоненты объекта связности Г, из которых следует, что объект связности содержит 1 простейший и 4 простых подобъекта, задающих связность в соответствующих фактор-расслоениях из §2. Доказывается, что объект кривизны R групповой связности Г является тензором, содержащим 1 простейший и 4 простых под-тензоров кривизны соответствующих пяти подсвязностей.

В §5 производится композиционное оснащение, состоящее в присоединении к каждой паре (Lh, Tm+hr) двух плоскостей: а) обобщенной нормали 2-го рода Pr(h+i)-i:Lh®Pr(h+i)i=Tm+hr; б) обобщенной плоскости Картана Pn-m-hr-\:Pm+hr®Pn-m-hr-i=Pn- Названия оснащающих плоскостей объясняются тем, что в особом случае h=О образующая Lh будет вырождаться в точку L0eSm и, следовательно, первая дифференциальная окрестность точки или, что то же самое, касательная плоскость Тт в этой точке к поверхности Sm будет т -мерной. Тогда получаем нормаль 2-го рода Ртj :L0 ®Ри] =Тт и плоскость Картана Рпт1:Тт@Рпт1=Рп. Композиционное оснащение поверхности Мг порождает оснащение Бортолотти семейства плоских образующих Lh полем плоскостей: Pn-h-\ =Pr(h+\)-\ ®Pn-m-hr-\ • Композиционное оснащение определяется полем некоторого квазитензора. Для оснащающего квазитензора находятся выражения для ковариантных дифференциалов и ковариантных производных. Доказывается, что композиционное оснащение плоскостной поверхности Мг индуцирует в ассоциированном расслоении G2(Mr) связность двух типов.

В §7 дается определение пучка 1-го типа, предпучка, пучка групповых подсвязностей, слабого предпучка и линейной комбинации предпучка групповых связностей 1-го типа. Принадлежность связности Г предпучку групповых связностей эквивалентно принадлежности слабому предпучку и линейной комбинации предпучка. Доказывается, что композиционное оснащение плоскостной поверхности Мг индуцирует в главном расслоении G2(Mr) пучок групповых связностей 1-го типа. Описываются параллельные перенесения плоскостей Pr(h+l)x и Pnmhrx в пучке связностей 1го типа, которые оказались невырожденными. В §8 дается определение пучка связностей 2-го типа и доказывается, что он индуцируется в главном расслоении G2(Mr) композиционным оснащением плоскостной поверхности Мг. Для описания параллельных перенесений оснащающих плоскостей в пучке связностей 2-го типа в §9 вводится определение специального композиционного оснащения, специальной обобщенной нормализации, специального, полуспециального, комбинационного оснащения Картана. Специальность обобщенного оснащения Картана равносильна его полуспециальности и комбинационности. В пучке связностей 2-го типа выделяются специальные смещения оснащающих плоскостей Pr(h+i)-i>

Pn-m-hr-1 в качестве их параллельных перенесений. Находятся условия совпадения пучков связностей 1-го и 2-го типов. Они совпадают, когда обобщенная плоскость Картана P„m/,rj и плоскость Бортолотти Рп^-\ ■> содержащая нормаль 2-го рода Pr(h+\)-\, абсолютно инвариантны.

В третьей главе плоскостная поверхность рассматривается как частный случай поверхности общего вида, представляемой как семейство точек. Через каждую точку А проходит единственная образующая Lh, но при фиксации образующей Lh точка А поверхности не фиксируется. Плоскостная поверхность рассматривается в окрестности любой точки произвольной образующей, а не в окрестности всей образующей, как это делается в предыдущих главах. Этим обуславливается название точечно-плоскостная поверхность. В каждой точке А образующей Lh имеется своя касательная плоскость Тт. Точечно-плоскостная поверхность представляется вырожденным многообразием троек (A,Lh,Tm), образованных точкой А, проходящими через нее образующей Lh и касательной плоскостью Тт, и обозначается Sh+r. Поверхность Sh+r является вырожденным многообразием, т.к. точка А и касательная плоскость Тт описывают т -мерное семейство, а образующая Lh — г-мерное семейство.

В § 1 находятся уравнения точечно-плоскостной поверхности Sh+r: соа=0, со1а=Аа}со}, coaa=Aaaico\ cof=Alcoa+AfjCoj. Объект А1 ={Aaj,yfai=Afa,А"} является внутренним фундаментальным объектом 1 -го порядка поверхности Sh+r.

В §2 с точечно-плоскостной поверхностью ассоциируется главное расслоение GifSfj+r), базой которого является сама поверхность, расслоенным пространством — проективная группа GP(п), а типовым слоем — подгруппа стационарности тройки (A,Lh,Tm). Проекция 7Г3 : GP(п)-> Sh+r относит произвольному элементу группы GP(п) ту тройку, которая остается инвариантной под действием этого элемента. Чтобы «избавиться» от фиксированных точек А на образующих Lh говорится о базе поверхности Sh+r - расслоении Lh(Br). Базой этого расслоения является семейство Вг образующих Lh, рассматриваемых как элементы многообразия Грассмана Gr(h,n)> а типовым слоем — плоскость Lh как семейство точек, которое назовем суженной базой поверхности Sh+r. Главное расслоение G3(Sh+r) содержит 8 главных факторрасслоений, каждое из которых охарактеризовано геометрически. В свою очередь, каждое факторрасслоение можно рассматривать над суженной базой Lh.

В §3 в ассоциированном расслоении G3 (Sh+r) способом Г.Ф. Лаптева задается групповая связность Г={ГаЬ,Га1,Гьас,Гь",Г'а>Г'к,Г?ь,Г? Г1а,Гу, raa>rai'rab>rai>rpa'rpi'raa>rii}- Из ДИффереНЦИЭЛЬНЫХ уравнений На компоненты объекта связности Г следует, что он содержит 17 подобъек-тов. Восемь из которых задают связность в восьми факторрасслоениях главного расслоения G3 (Sh+r), остальные восемь в соответствующих факторрасслоениях над суженной базой Lh и последний — в сужении G3(Lh) ассоциированного расслоения G^(Sh+r). В §4 доказывается, что объект кривизны R фундаментально-групповой связности Г в главном расслоении G3 (Sh+r) составляет геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным объектом А поверхности Sh+/. и объектом связности Г и содержит 9 геометрических подобъектов, которые являются тензорами кривизны связностей соответственно в восьми факторрасслоениях над суженной базой Lh и в сужении главного расслоения G3(Lh).

В §5 производится композиционное оснащение точечно-плоскостной поверхности Sh+r, которое состоит в присоединении к каждой точке поверхности трех плоскостей: a) PhA:A®PhA=Lh; б) Pm.h-i:Lh®Pm-h-\=Tm>' в) Рп-т-\ 'Тт ®Рпт\ =Рп, проективно дополняющих соответственно точку до образующей, образующую до касательной плоскости и касательную плоскость до объемлющего пространства. Композиционное оснащение задается полем некоторого квазитензора. Из дифференциальных уравнений на компоненты оснащающего квазитензора следует, что он содержит 3 простейших и 3 простых подквазитензора, каждый из которых имеет геометрическую характеристику.

Производится более слабое оснащение точечно-плоскостной поверхности Sh+r, которое называется нормализацией. Данная нормализация отличается от нормализации А.П. Нордена для поверхности общего вида в проективном пространстве. Под нормализацией поверхности Sh+r понимается задание на ней полей двух плоскостей а) плоскости Pmh:Lh+Pmh=Tm, Lhf]Pm-h=A; б) нормали 1-го рода А.П. Нордена

Рп-т:Тт+Рп-т-Рп' В случае такой нормализации плоскость

Рщ-h аффинно дополняет образующую Lh до касательной плоскости Тт, а плоскость Рпт аффинно дополняет касательную плоскость Тт до пространства Рп. Нормализация точечно-плоскостной поверхности очевидным образом порождается ее композиционным оснащением. И наоборот, доказывается, что нормализация порождает композиционное оснащение. Находятся ковариантные дифференциалы и ковариантные производные компонент оснащающего квазитензора.

В §7 доказывается, что композиционное оснащение индуцирует группо

01 вую связность 1-го типа с объектом Г. В §8 доказывается, что пучок групповых связностей 1-го типа индуцируется композиционным оснащением. Из пучка выделяются предпучки подсвязностей и линейные комбинации под-связностей. Введенные понятия используются при описании параллельных перенесений оснащающих плоскостей в §9.

В §10 доказывается, что композиционное оснащение, индуцирует пучок 2-го типа, из которого единственным образом выделяется связность 2-го типа. Для описания параллельных перенесений в пучке связностей 2-го типа в §11 дано определение специального композиционного оснащения, полуспециального и комбиниционного оснащений. Соответствующие параллельные перенесения оказались невырожденными. Находятся условия совпадения пучков связностей. Они совпадают, когда плоскость Картана РптА, плоскость Бортолотти Pnhx =Рты ФР„.Ы и гиперплоскость Рпх = Phx @ Pnhx абсолютно инвариантны.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Вялова, Александра Вячеславовна, Калининград

1. Близникас В. И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых / В. И. Близникас // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. — М., 1974. — Т.6. — С.43-110.

2. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. — М., 1950. — Вып.8. — С. 11-72.

3. Гейдельман Р. М. О плоскостных поверхностях / Р. М. Гейдельман, Л. 3. Кругляков // Доклады АН СССР. — 1974. —Т.219. — № 1. — С. 19-22.

4. Гейдельман Р. М. Проективная классификация плоскостных поверхностей / Р. М. Гейдельман, Р. П. Левина // Матер, прибалт, геом. конф. — Тарту, 1973. —С.22-24.

5. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Пробл. геом. ВИНИТИ. — М., 1979. — Т.9. — С.5-247.

6. Картан Э. Пространства проективной связности / Э. Картан // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. — 1937. —Вып.4. — С. 147-159.

7. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии /Ш. Кобаяси. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

8. Кругляков Л. 3. Некоторые связности, ассоциированные с семействомплоскостей в проективном пространстве / Л. 3. Кругляков, Н. Р. Щербаков // Геом. сб. —Томск, 1980. — №21. — С. 14-20.

9. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1953. — Т.2. — С.275-382.

10. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии / Г. Ф. Лаптев // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. — М., 1966.—Т.1. —С.139-189.

11. Лаптев Г. Ф. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия / Г. Ф. Лаптев // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. — М., 1969. — Т.2. — С.161-178.

12. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии / А. Лих-нерович. — М., 1960. — 216с.

13. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях / Ю. Г. Лумисте // Уч. зап. Тартуск. ун-та. —1965. — Вып. 177. — С.6-41.

14. Лумисте Ю. Г. К основаниям глобальной теории связностей / Ю. Г. Лумисте // Уч. зап. Тартуск. ун-та. — 1964. — Вып. 150. — С.69-108.

15. Лумисте Ю. Г. Связности в расслоенных пространствах с однородными слоями /Ю. Г. Лумисте / Тартуск. ун-т. — 1977. — С. 1-63.

16. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве / В. С. Малаховский // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. — М., 1969. — Т.2. — С. 179-206.

17. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. / К. Номидзу. — М., I960. —128 с.

18. Норден А. П. Аффинная связность на поверхностях проективного и конформного пространства / А. П. Норден // ДАН СССР. — 1945. — Т.48. — №8. — С.567-569.

19. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. — М.: Наука, 1976. —432 с.

20. Остиану Н. М. Геометрических объектов теория / Н. М. Остиану// Мат. энц. —М., 1984. —Т.1. —С.937.

21. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства / Б. А. Розенфельд.— М.,1966. —648 с.

22. Скрягина (Вялова) А. В. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный оснащением Бортолотти плоскостной поверхности / А. В. Скрягина // Проблемы мат. и физ. наук: матер, пост. науч. семин. — Калининград, 2000. — С.35-38.

23. Скрягина (Вялова) А. В. Вырожденные параллельные перенесения в пучках связностей на плоскостной поверхности / А. В. Скрягина // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 2001. — Вып.32. — С.83-87.

24. Скрягина (Вялова) А. В. Связность в продолжении расслоения проек-> тивных реперов, ассоциированном с плоскостной поверхностью / А. В.Скрягина // Проблемы мат. и физ. наук: матер, пост. науч. семин. — Калининград, 2002. — С.36-38.

25. Скрягина (Вялова) А. В. Специальные оснащения плоскостной поверхности / А. В. Скрягина // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 2002. — Вып.ЗЗ. — С.89-93.

26. Скрягина (Вялова) А. В. Плоскостная поверхность как семейство пар образующей и ее 1-ой дифференциальной окрестности / А. В. Скрягина // Движения в обобщенных пространствах: сб. науч. тр. Пенз. гос. унта. — Пенза, 2002. — С.200-205.

27. Skriagina (Вялова) A. The structure of equipment of centered plane surface / A. Skriagina // New Geometry of Nature. — Kazan, 2003. — Vol. 1. — P. 197-200.

28. Скрягина (Вялова) А. В. Индуцированный пучок связностей 1-го типа на плоскостной поверхности как вырожденном семействе / А. В. Скрягина // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 2003. — Вып.34. — С. 130-136.

29. Скрягина (Вялова) А. В. Композиционное оснащение плоскостной поверхности / А. В. Скрягина // Межд. конф. по геом. и анализу. — Пенза, 2003. —С.87-93.

30. Вялова А. В. Два представления тангенциально вырожденной поверхности / А. В. Вялова // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского: матер, межд. мо-лодеж. науч. школы-конф. — Казань, 2003. — Т. 21. — С.93-94.

31. Вялова А. В. Параллельные перенесения в пучке связностей 2-го типа на точечно-плоскостной поверхности / А. В. Вялова // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 2004. — Вып.35. — С.36-42.

32. Вялова А. В. Параллельные перенесения в пучке связностей 1-го типа на точечно-плоскостной поверхности / А. В. Вялова // Лаптевские чтения: сб. тр. — Пенза, 2004. — С.26-30.

33. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. —Чебоксары, 1994. — 290 с.

34. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. —Ереван, 1990. — 116 с.

35. Шевченко Ю. И. Оснащения плоскостной поверхности, рассматриваемой с трех точек зрения / Ю. И. Шевченко // Диф. геом. многообр. фигур.: сб. науч. тр. — Калининград, 1993. — Вып.24. — С.112-123.

36. Шевченко Ю. И. Об оснащениях многомерной поверхности проективного пространства / Ю. И. Шевченко//Там же. — 1977. — Вып.8. С. 135-150.

37. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий / Ю. И. Шевченко. — Калининград, 2000. —113 с.

38. Шевченко Ю. И. Аффинная, коаффинная и линейная факторгруппы в подгруппе проективной группы / Ю. И. Шевченко // Проблемы мат. и физ. наук: матер, пост. науч. семин. — Калининград, 2002. — С.38-39.

39. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий / Ю. И. Шевченко. — Калининград, 1998. — 83 с.

40. Шевченко Ю. И. Структура оснащения многообразия линейных фигур / > Ю. И. Шевченко // Тезисы докл. У1 Прибалт, геом. конф. — Таллин,1984. — С.137-138.

41. Шевченко Ю. И. Связность в главных расслоениях, ассоциированных с тангенциально вырожденными поверхностями в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур: сб. науч. тр. — Калининград, 1976. — Вып.7. — С. 139-146.

42. Cartan Е. Sur la connexion projective des surface / E. Cartan // Comptes Ren-dus. — 1924. — №178. —P. 750-752.

43. Cartan E. Lecons sur la theorie des espace a connexion projective / E. Cartan.Paris, 1937. —308 p.

44. Bortolotti E. Connessioni proiettive (3) / E. Bortolotti // Bollet. Un. Mat. Hal.1931. —№ 10. — P. 83-90.

45. Weyl H. Raum, Zeit, Materie/H. Weyl.—Berlin, 1918 .

46. Ehressmann C. Les connections infinitesimals un espace fibre differentiable. Colloque de Topologie / C. Ehressmann. — Bruxelles, 1950. — P. 29-55.

47. Kobayaschi S. On connection of Cartan's / S. Kobayaschi // Canad. G. Math.1956. — Vol. 8. — №2. — P. 145-156.

48. Levi-Civita T. Nozione di parallelismo i una varieta qualunque e conesquente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. Circolo math. — Palermo, 1917. — №24. — P. 173-205.