R-матрицы квантовых групп тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

?Г5 ОД

. .. ьпмиъь ъг^ьмизг- г>ъизьзлгз е^иъвизьъ Гиирьо я-иизрьзъьро

и.04.02-ЗЬиш1|шй ФИЬ^

и ь аии чьр

рЬчЬ, про СЬрЦицшдфий1; ф^Мш-йшрМштМш^шЭ ч(1штр;п1!}йЬрЬ рЫ)0шдпф сф^ш^шО штлЬйшСф Ии^дйшО

ЬРЬаиЬ 1995

ЕРЕВАНСКИЙ ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Тигран Степанович Акопян

/?-МАТРИЦЫ КВАНТОВЫХ ГРУПП

А.0*4.02. — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени канди, ата физико-математических наук

Ереван - 1995

Работа выполнена в Ереванском физическом институте

Научный руководитель:

доктор фиаико-математическнх наук А.Г.Седракян

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Н.Ананикян (ЕрФИ)

кандидат физико-математических наук О.Худавердян (ЕГУ)

Ведущая организация: Институт теоретической- и экспериментальной физики, Москва

Защита состоится "22" ^2■ 1995 года в час на~заседашш Специализированного Совета А 034.03.01 при Ереванском физическом институте по адресу: 375036, Ереван, ул. братьев Алиханяиов 2.

С, диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского ([эпического института.

II.

Автореферат разослан оижцСрл 1995г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета,

Кандидат физ.-мат. наук * А.Т.Маркарян

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Изучение представлений квантовых групп (квантовых универсальных обвертывающих алгебр) и их сплетающих операторов (Л-матриц) представляет интерес в виду приложений в ряде областей теоретической физики и математики. В числе этих приложений можно упомянуть следующие:

1. Двумерные точно решаемые модели статистической физики. Матричные элементы сплетающего оператора квантовой группы в конкретном представлении (при выполнении некоторых дополнительных условий) являются Больцмановскими весами некоторой интегрируемой вершинной статистической модели. Таким образом, квантовые группы и их представления классифицируют известные точно решаемые модели и дают возможность определять новые.

2. Двумерная конформная теории поля и ее интегрируемые возбуждения (модели \VZWN, ЭС, Тирринга, Тоды), а также топологические теории поля (теория Черна-Саймона). Так, конформные блоке теории \VZWN имеют монодромию, которая характеризуется Я-матридами. Оказалось также, что эти теории имеют скрытую кваитово-групповую симметрию. В случае возмущенной конфорной теории эта симметрия образуется нелокальными токами.

3. Теория узлов, недавний прогресс в котором связа; также с кван--товыми группами. К извесным с начала века полиномам Алексан-

дера, которые характеризуют узлы, добавились другие лолиномь узлов (полиномы Джонса, HOMLEY, ...). Они строятся с помощьк Я-матриц квантовой группы в конкретном представлении.

4. Некоммутативная геометрия и (/-анализ. Квантовую группу мож но также определить как преобразование, сохраняющее структу ру пространства с <?-коммутирующеми переменнымми. Выявилас] связь квантовых групп с «/-деформированными осцилляторами i спинорами, а также с q-деформацией некоторых специальных функ ций.

5. Квантовый эффект Холла. Недавно обнаружилась квантево-груп . повая симметрия в задаче свободных электронов во внешнем одно

родном магнитном поле. Гамильтониан модели Хофштадера (мо дель свободных электронов на квадратной решетке в постоянно} однородном магнитном поле) был выражен через генераторы кван товой группы. В результате для определения энергии при средне1 значении импульса (midband) получились уравнения Бете.

Эти соображения определяют интерес, который представляет иссле дование Я-матриц квантовых групп в различных представлениях.

Цель работы. Целью диссертационной работы является:

1. Построение «/-деформированных фермионных представлений неко торых квантовых групп через гомоморфизм складывания (folding)

Объединение /¿-матриц квантовой группы (/,,.5/1 для обычных спин-j и полуциклических представлений.

Исследование поведения универсальной Л-матрицы этой алгебры при сингулярных значениях параметра деформации q а также возможности получения из нее сплетающих операторов для полуциклических и циклических представлений.

Обобщение процедуры квантового дубля на случай супералгебр Хопфа. Построение универсальной й-матрицы квантовых суперал-гребр и<,з1ПгГП методом квантового дубля.

Вывод явных функциональных уравнений для задачи Хофштадера при произвольных значениях импульса электрона.

аучная новизна работы заключается в следующем:

Найдены новые представления квантовых групп 1]дВп, IСп и IIч0-2 через ^-Деформированные спиноры.

Выведена общая формула для зависящих от спектрального параметра Л-матриц квантовых алгебр 6г,гч/2 и (/,,о.ч/>( 1,2) для представлений со старшим весом. Л-махрица для полуциклйческих представлений получается ограничением из Л-матрицы для модулей Верма. При этом показано, что условие, что спектральный параметр этой /¿-матрицы лежит на алгебраической кривой высшего рода, выводится естественным образом как условие 1 >ррекности этой факторизации- .... 1

3. Найдены новые решения уравнения Янга-Бакстера со спектральным параметром, соответствующие смешанным представлениям.

4. Впервые построен базис Пуанкаре-Биркгофф-Витта для квантовых супералгебр ияв1п>гп. Для генераторов корней с чередующей четностью в схеме Дынкина найдены нового типа четырехлинейные соотношения.

5. Впервые метод квантового дубля применен для Построения универсальной /¿-матрицы квантовых супералгебр

6. Впервые доказана, что афинная квантовая алгебра ичз12 при значениях параметра деформации д, равным корню из единицы, является автоквазитриангулярной алгеброй Хопфа, введенной недавно Реше-тихиным.

7. Показано, что универсальную ^-матрицу афинной при значениях параметра деформации д, равным корню из единицы, можно перенормировать на идз12-модулях Верма.

8. Показано, что полученные таким образом бесконечномерные сплетающие операторы можно ограничить на полуциклические представления при некотором условии на параметры этих представле-Вий. Эти сплетающие операторы совпадают с Больцмановскими весами киральной модели Потса, а условия на параметры определяют алгебраическую кривую, на которой лежит спектральный параметр этой модели.

9. Е5ыведены функциональные уравнения н терминах тета-функцпн для определения энергетического спектра н модели Хофштадера (модель свободных электронов на квадратной решетке в постоянном однородном магнитном поле).

Практическая ценность. Результаты работы могут Пи п. применены в теории точно решаемых моделей статистической физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах теоретического отдела Кр-ФИ, \Saclay (Париж) и на международной кондеренции "Симметрии в Физике" в Дубне.

Публикации. По теме диссертации опубликовано шес ть статен [1. 2, 3, 4, 5, (>].

Структура и обьем диссертации. Диссертация изложена на 92 страницах машинописного текста, состоит т введения, шести глав, заключения и списка использованной литературы (131 наименований).

Краткое содержание работы

' Но введении (не))лий главе) дан краткий обзор предшествующих ра-. бот,по кван товым группам и их применениям к двум- рным- интегрируемым системам теории ноля п статистической физики. ('формулирована постановка задачи и цель диссертационной работы, приведено ее краткое

содержание.

В конце 70-х начале 80-х годов при решении точно решаемых задач двумерной теории поля и статистической физики Л.Фаддеевым и его сотрудниками успешно применялся квантовый метод обратной задачи. Возникшие там алгебраические структуры привели в 1985-1986 гг. В.Дрпнфельда и М.Дзимбо к определению квантовой группы - нового вида, алгебры Хопфа, являющейся деформацией универсальной обвертывающей алгебры Ли.

Теория представлений квантовых групп изучалась также в работах А.Кирилова, Н.Решетихина и др. Было показано, что сплетающие операторы (или Л-матрицы) квантовых групп удовлетворяют уравнениям ЯнгагБакстера и являются Болыдаановскими весами интегрируемых вершинных моделей, обобщающих шестивершинную модель Либа на случай высших спинов и алгебр. Дринфельд доказал существование в квантовой группе универсальной /¿-матрицы - объекта, при действии которого на произвольные два представления квантовой группы получается сплетающий оператор для этих представлений. Позже М.Россо, В.Толстой и С.Хорошкин построили универсальные /¿-матрицы различных квантовых групп.

Флоратос, Де-Косини.и В.Кац, В.Паскю и Г.Салер показали,, что при значении параметра деформации, равном корню Лг-ой степени из единицы, теория поепстаалений квантовых групп гораздо богаче. Появляется семейство т.н. циклических представлений, зависящих от дополнительных параметров. В.Бажанов, Ю.Строганов, М.Дзимбо, Т.Мива и др. изучали сплетающие операторы этих представлений. Они приводят

к известной киральной модели Потса и их обобщениям.

Во второй главе диссертации приводятся определение квантовых групп и их основные свойства.

Во третьей главе строятся новые представления квантовых групп UqBn, UqCn и U4G-2i используя (/-деформированные спиноры.

В §1 приводится определение известной процедуры складывания (folding) алгебр Ли. Эта операция является гомоморфизмом одной алгебры в другую, схема Дынкина которой получается из схемы Дынкина первоначальной алгебры простым складыванием. Приводится описание этой процедуры для случая складывания алгебр А2п —* Ви• /Ь-,,-1 —1> Вп, Dn.j_i —► Вп и Z?4 —♦ Ст2.

В §2 приводится определение (/-деформированной алгебры Клиффорда. Приводится также представление через нее квантовой группы U4Dn ((/-деформация известной конструкции Швингера). ('троится некоторая (/деформация для отображений />„+1 —+ Вп и D4 —^ (12. Доказывается, ч то эта (/-деформация является гомоморфизмом квантовых групп U4DnJr 1 —* U4Bn, lJqD.\ —+ UqG-j, если для [fqD„+i, Iиспользовать (/-деформацию Швингеровской конструкции. Таким образом получаются новые представления квантовых групп U4Bn 11 ('./•'1 через ^-деформированную алгебру Клиффорда.

В используя (/-деформированное складывание 1',1Л-2П-\ —> 1,,Сп. строится новое представление квантовой группы (<",,( через (/-деформированную алгебру Клиффорда.

В четвертой главе выводится общая формула для зависящих от спектрального параметра сплетающих операторов квантовой группы l',,xl-i п

квантовой супергруппы 11чозр(1,2) в представлениях со старшим весом. Она применяется как для обычных, так и для полуциклических представлений.

В формула для Я-матриц полуциклических представлений квантовой группы выведенная Ц.Гомесом и Г.Снерой, обобщается для /¿-матриц, зависящих от спектрального параметра, для произвольных представлений со старшим весом.

Для двух обычных спин-;?' представлений построенная /{-матрица совпадает с /¿-матрицей М.Дзимбо. Для двух полуииклических представлений результат соответствует пределу сплетающих операторов для циклических, представлений, построенных Бажановым и Строгановым другим способом. Для спин-.? и полуциклического представлений формула дает новые (смешанные) Я-матрины, которые вместе с первыми двумя являются решениями уравнения Янга-Бакстера, зависящего от спектрального параметра.

В §2 результаты, полученные в предыдущем параграфе, обобщаются на случай квантовой супергруппы 1,2). Сначала выводится форму-

ла для зависящих от- спектрального параметра сплетающих операторов Верма модулей. Далее рассматривается возможность его ограничения на полуциклические представления. Это накладывает условие на параметры этих представлений: они должны лежать на известной алгебраической кривой киральной модели .Потса. Полученные /¿-матрицы удовлетворяют градуированным уравнениям Яига-Бакстера.

В пятой главе универсальная Я-мартипа для квантовой супергруппы Г'гч/и11, строится методом "квантовый дубль". Строится также базиз

Нуанкаре-Биркгофф-Битта для Л<'г/.ч/,1т.

В I конструкция ''квантовый дубль" обобщается для супералгебр ^опфа.

В §§2,3 строится базю Пуанкаре-Биркгофф-Б итта для ичя1п т. Соот-юшенпя между его элементами в основном аналогичны соответствуто-цим соотношениям для Отличие состоит в соотношениях Серра в

.ерхней (нижней) борелевской подалгебре. Для корней с чередующей чет-остью в схеме Дынкина здесь возникают нового типа четырехлинейные □отношения.

В §4 на основе полученных результатов строится универсальная II-атрица. Она совпадает с Я-матряцей» полученной ранее Толстым и Хо-ошкиным методом прямой проверки алгебраических соотношений.

В шестой главе изучается поведение универсальной /¿-матрицы аф-инноя квантовой группы когда параметр деформации стремится

корню ТУ-ой степени из единицы: <[ —у ехр(2гг/./У). Формальное выра-ение универсальной Я-матрицы при этих значениях г; имеет сиигуляр->сти. Однако, как показал Решетпхчн, для квантовой группы его ^соединенное действие Я хороо."- ;лределено в этом пределе.

В §1 показывается, что универсальная Я-матрица ич»1г на модулях ерма ч ехр(2ж/Лг) в пределе хорошо определена. Показывается также, го ее можно получить (в другой форме) факторизацией из Я-оператора дпетихина.

В §2 рассматриваются корневые векторы Г'7-?/> и их коммутационные отношения при д —> ехр(2зг/Лг). Строится центр этой алгебры. Кроме -ых степеней корневых векторов в нее входят также минимые корневые

векторы с корнями, кратными N.

В §3 доказывается, что алгебра 1}ч$1г при </ —> ехр(2тг/Л') явлвяется автоквазитриангулярной алгеброй Хопфа. Строится автоморфизм /?.

В §4 изучается действие универсальной /¿-матрицы на ¿/9в/2-Верма модулях при <7 —► ехр(2тг/Л?). Результат оказывается сингулярным, но сингулярная часть выводится мультипликативно. Перенормированное таким образом выражение оказывается конечным и хорошо определенным. Полученная бесконечномерная /¿-матрица удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера, зависящему от спектральног о параметра. Далее доказывается возможность его ограничения на полуциклические представления при условии, что параметры этих представлений должны лежать на алгебраической кривой высшего рода, соответствующей киральной модели Потса.

Рассматривается возможность получения /¿-матрицы циклических представлений из автоморфизма К. Делаются предположения.

В седьмой главе рассматривается задача свободных электронов на двумерной квадратной решетке в постоянном однородном магнитном поле (проблема Хофштадера). Выводятся уравнения для энергетического спектра, используя функциональное представление алгебры Гейзенберга-Вейля на пространстве тета-фуюсций с характеристиками. Эти уравнения сложнее, чем уравнения Бете, но они записаны в явном виде в терминах обыкновенных тета-функшш.

Основные результаты работы

Найдены новые представления квантовых групп ияВп, (/,СП и /У76'2 через ^-деформированные спиноры.

Выведена общая формула для зависящих от спектрального параметра Я-матриц квантовых алгебр идя12 и 1/доя]>( 1, 2) для представ гений со старшим весом.

Найдены новые решения уравнения Янга-Бакстера со спектральным параметром, соответствующие смешанным представлениям.

Построен базис Пуанкаре-Биркгофф-Витта, для квантовых супералгебр 11чз1щт.

Построена универсальная Я-матрица для квантовых супералгебр ичя1п,т, используя процедуру квантового дубля Дринфельда.

Доказана, что афинная квантовая алгебра при значениях па-

раметра деформации (¡, равным корню из единицы, является авто-квазитриангулярной алгеброй Хопфа, введенной недавно Решети-хиньга.

Показано, что универсальную Д-матрицу афинной (1яа12 при значениях параметра деформации ц, равным корню из единицы, можно перенормировать на (/^(.¿-модулях Верма.

Показано, Что полученные таким образом бесконечномерные сплетающие операторы можно ограничить на полуциклические пред-:тавления при некотором условии на параметры этих представлений. Эти сплетающие операторы совпадают с Больцмановскими ве-

сами киралыюй модели Потса, а условия на параметры определяй алгебраическую кривую, на которой лежит спектральный парамел этой модели.

9. Выведены функциональные уравнения в терминах тета-функц^ для определения энергетического спектра в модели Хофштаде]: (модель свободных электронов на квадратной решетке в постоя] ном однородном магнитном поле).

Список литературы

[1] Т. Hakobyan and A. Sedrakyau. . /¿-matrixes for highest weigl representations o{'sl4(2,G) at roots of unity: Phys. Lett., B303:27,T99<

[2] T. Hakobyan and A. Sedrakyau. /^-matrixes for U4osp(\,2) for highei weight representations of U(josp{ 1,2) for general q and q an odd root < unity. Phys. Lett., B308:266, 1993.

{3J T. Hakobyan and A. Sedrakyau. Some new spinor representations с quantum groups UqBn, UqCn and UqGi. Jour. Math. РЛ;/6\,3<}(С}:2554 1993.

[4] Т. Hakobyan ami A. Sedrakyau. The universal R-muUix of Uqsl„,„ quantum suppralgebra. Jour. Math. Phys., 3;5(5):2Г>52, 1994.

[5] Т. Hakobyan and A. Sedrakyau. On the universal /¿-matrix of i/,.s/2 a roots of unity, 1994. To, be published in Commun. Math. Phys.

[6] T. Hakobyati and A. Sedrakyan. Lattice electrons in Held: Bethe like ansatz. Mod. Phys. Lett.A, 10(6):495

£4UbSU3hb túUPbPh R-UUSPhSbbPC Sfiqpiuü UmbifiiuQ|i ^uuLjnpjuiü

bbpl^uijujgilnri шг^ишшшйео йфрфш t рЦиийтифй futipbpfi GbljiujuignuSG U йршйд R-úuiinp|igübp|i пшгиййиифрйшйр iujü ribaipniú, bpp np gijuiüinuijtiü fu áLuifubriúujG ujujpujúbuípo Ишфиишр t úbliJi uipúiumfiü:

^Пшгинчшййшй]] GbnUtuituadnn hhúGiuUtuü nnnupübnü Ьй

1. ChnGijuJÓ Ьй рфийшифй [гдЗрЬрЬ Gnp uujJiünpmjfiü übp^uijuignuSübp:

2. ^nipu t рЬрфиб úfi QÜr}hujürup piuûiuàL £4ujQinujj[iü fuilpbp|i úuiuiphgGbpfi htuúuip uu|hütuj|iü Ii l]|iuiugf)l{|jilj luiliuq. l^nnil übpljuujujgriLtJü huitfujp:

3. StuGq-Piuljumbpfi Ишфиишрйшй Gnp [nióruúübp Ьй ИицтйшрЬрфлД np hmúua|minmufumGnn5 bû futunQ Gbpljiujujgruúübpliü:

4. Miunnigijiuó t gi^ûuiujjfiû uruuíbpfui5pbp|i 'ПтшО^шрЬ-Р^р^Ьпф-^ piuqfiUQ:

5. IpfiG^bmh «CiJiuGuiujjfiü rçnipi» ьцрпдЬфиршй Ijtipiuniliuó t ЭДшйти untu(bp{uJpbp(i niûfn{bpuuj[ R-duitnpfigp l|uinrugb[ni. ИидЗшр:

6. Snijg t inpi[ujä np рф^йтифй fuüpbph тй^фриш^ R-úiump 0иш^иЬгц5шй u]uupuiCibinp}i 1фйфн|шр iupdbßGbp|i г^ЬищпиЗ 1{шрЬф 4Ьршйпр(Зил{прЬ|., ишшСш[П1| R-iSuiuipfigGbpQ ujijuiq lj2nni{ 0ЬрЦш]шдпиЗйЬр|1 hiuú

7. =lnit2inujrjbp|i fuGqpfi tübpq|iujjh uiqbljmpii прпгЬци haiútup qnipu Ьй pbpi 3>niü4g|inüiui Ишфшшрпи5йЬр: