Тензорные и вертексные операторы для квантовых алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАЛЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СТЕКЛОВА (Санкт-Петербургское отделение)

На правах рукописи

По ОД

■ ? оез т

БЫПКО Андрей Георгиевич

ТЕНЗОРНЫЕ И ВЕРТЕКСНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ КВАНТОВЫХ АЛГЕБР

(01.01.03 - математическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в лаборатории математических проблем физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова Российской Академии наук.

Научный руководитель : Официальные оппоненты :

Ведущая организация :

академик Л.Л.Фаддеев

доктор физ.-мат. наук, профессор В.Д.Ляховский

кандидат физ.-мат. наук, доцент Е.В.Дамаскинский

Математический институт им. В.А.Стеклова РАН (Москва)

Защита состоится '29 февраля 1996 года в часов на заседании специализированного совета Д.002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А. Стеклова РАН (Санкт-Петербург, 191011, наб. р. Фонтанки, 27, комн.311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ.

Автореферат разослан января 1996 года.

Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория квантовых групп и алгебр Ли возникла около пятнадцати лет назад при исследовании различных моделей квантовой теории поля и статистической физики (XXZ и XYZ магнетики, модель Sine-Gordon, модель Лиувилля) в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния (КМОЗ). Существенным шагом в развитии теории квантовых групп стала ее формулировка на языке алгебр Хопфа. Это привело к выделению теории квантовых групп во вполне самостоятельную область математики.

Большинство объектов, рассматриваемых теорией квантовых групп, являются деформированными аналогами соответствующих объектов "классической" теории групп. В-частности, естественной задачей представляется описание и изучение деформаций физических величин, используемых в различных физических моделях. Особенное место здесь занимают физические величины и связанные с ними математические объекты, появляющиеся при исследовании уже изначально квантовых (в обычном физическом смысле) моделей - различных задач квантовой механики и квантовой теории поля. Практически с момента их возникновения такие квантовые но недеформированные теории (теория углового момента, релятивистская теория электрона, теория квантовой гравитации и т.д.) использовали "классическую" теорию групп как один из основных математических инструментов.

В настоящее время увеличился интерес к квантовым деформированным теориям, которые используют уже теорию квантовых групп. В этой связи актуальным представляется систематическое описание q-деформаций конкретных объектов квантовой механики и квантовой теории поля. В настоящей диссертации такими объектами являются тензорные и вертексные операторы.

Отметим, что для описания тензорных и вертексных опера-

торов, ассоциированных с (7-деформированными алгебрами Ли, мы интенсивно используем /?-матричный формализм; также очень существенным для развиваемой теории оказывается понятие производящей матрицы (обозначаемой [/ для тензорных операторов и Ф для вертексных операторов).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в том, чтобы:

1. Определить производящую матрицу для коэффициентов Клебша-Гордана квантовой алгебры Ли и изучить ее свойства (на примере {/,(¿>/(2))); найти реализацию производящей матрицы в терминах генераторов кокасательного расслоения к бо-релевской подгруппе соответствующей квантовой группы.

2. Сформулировать общую теорию ^-тензорных операторов для квантовых алгебр Ли на языке производящих матриц и используя матричный формализм.

3. Используя понятие производящей матрицы, описать алгебру вертексных операторов для данной квантовой алгебры Ли; обобщить эту конструкцию для токовых алгебр на одномерной решетке.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе использовались различные методы теории представлений классических и квантовых алгебр Ли, теории алгебр Хопфа, теории (/-осцилляторов а также некоторые элементы формализма квантового метода обратной задачи.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации (явная реализация производящих матриц для 2)); их связь с параметризацией квантового пространства (Т*В)Ч; формулировка теории ^-тензорных операторов на /^-матричном языке; аксиоматическое, описание алгебр вертексных операторов, ассоциированных с квантовыми алгебрами Ли и квантовыми решеточными алгебрами; явное решение этих аксиом) являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты первой главы могут быть обобщены и использованы для нахождения и изучения коэффициентов Клебша-Гордана для других квантовых алгебр Ли. Результаты второй главы носят, в основном, методологический характер; они служат для развития формальной теории «/-тензорных операторов. Результаты третьей главы могут быть использованы для описания ц-деформированных моделей квантовой теории поля.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинаре ПОМИ по квантовой теории поля и математической физике, на итальянско-российском семинаре по интегрируемым системам (С.-Петербург, 1995) и на семинаре по квантовым группам Физического института Мюнхенского университета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты глав 1 и 2 диссертации опубликованы в работах [1-2], глава 3 содержит часть результатов готовящейся к публикации работы [3].

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 20 параграфов, заключения и приложения, что составляет 75 страниц в Т]^Х'е (т.е. около 100 страниц машинописного текста). Библиография содержит 85 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении сформулированы основные вопросы, рассматриваемые в работе.

В первой главе рассматриваются разные способы введения "координат" на (/-деформированном кокасательном расслоении к борелевской подгруппе (Т*В)ц ((/"-аналог модельного пространства для квантовой группы Ли Сзч) и изучается связь этого квантового пространства с производящей матрицей [I для коэффи-

циентов Клебша-Гордана для соответствующей квантовой алгебры. Более подробно:

В первом параграфе приводится определение и свя-

занной с ним алгебры С.. Точка на некоммутативном многообразии (Т*0)д задается парой (д,Ь); коммутационные соотношения между координатами базы и слоя имеют вид

12 2 1 12 2 1

Я± 99=99 <7,

1 -1 2 -1 2 1

X Ь — Ь Ь,

(1) (2)

где Н± есть /2-матрицы данной квантовой группы (с параметром деформации q = епГ1). Алгебра С (ассоциированная с соответствующей квантовой алгеброй определяется как

алгебра, генерируемая элементами матрицы Ь, удовлетворяющей соотношениям (2).

Во втором параграфе вводится алгебра Ы с образующими 1/{ (г = 1, .., 4) и р такими, что матрицы ■р/К

В =

-р/ь

и

1к

и3 и4

удовлетворяют соотношениям

1221

011=110 а, сг = с^(<7 ,<7,(7,(7 );

ии=ии тг+(р),

(3)

(4)

— д'-ч

где матрица ([¿г] обозначает "<7-чис.ло": [х] = д_(]-г

К+(р) = д"

(9

[р/Щ

а-Р1н

[Р/Щ

дР/Ь [Р/Ц

у/\р/К+1]\р/П-1]

[Р/Гг]

(5)

является решением "подкрученного" уравнения Янга-Бакстера (twisted Y-B equation)

QK+ (p){QTl (p) Q7U (p){QV =

12 2 13 2 23

=тг+ (p) Q71+ (PKQ)-1 1Z+ (p),

где матрица Q = diag(e^, содержит переменную сопря-

женную с р: [р, £] = — гЙ, е'^ = </ е'^ <7р/а.

Алгебра ¿У интересна по двум причинам: она связана с алгеброй С, так как матрица L = UDU~1 удовлетворяет соотношениям (2); матрица 7Z+(p) связана с. деформированными 6-j символами. Показано, что

является центральным элементом алгебры К.

В §3 уравнения (3)-(4) рассматриваются в "классическом" пределе (7 —> 0). Получена явная реализация алгебры IAq в терминах двух пар операторов умножения и дифференцирования:

i/o - ( Д ^ ) V = + + 1). (7)

Здесь же (используя стандартную реализацию генераторов s/(2): l+ = Z\&2, I- ~ Zid\, /3 = | — 2282)) показано, что пре-

дельная форма матрицы L допускает разложение вида

Lio = А0 Во А01,

где А0 и Во могут быть интерпретированы как координатами в базе и слое кокасательного расслоения Т*В, причем их явный вид дает реализацию абстрактной конструкции модельного пространства A4, развитой И.Гельфандом.

В следующем параграфе (§4) рассматривается действие элементов матрицы [¡о на пространстве аналитических функций двух переменных 0(г 1, л^). Показано, что [¡о является производящей матрицей (спина 1/2) для коэффициентов Клебша-Гордана, т.е. ее матричные элементы дают коэффициенты КГ для разложения V; 0 У1. Отсюда следует, что элементы суть тензорные ■' 2

операторы. Более точно, показано, что (для произвольных ¡Л^) = ¡л11] 4- и = "I" VIIесть компоненты тен-

зорных операторов спина 1/2. Обсуждается связь с теоремой Вигнера-Эккарта.

В §5 уравнения (3)-(4) решены в общем случае (7 ф 0) в терминах генераторов деформированной алгебры Гейзенберга ((/-осцилляторов)

««+ - <70+0 = /V"1, ЛГа = д_1«ЛГ, = (8)

Здесь, в отличие от классического случая, имеется семейство производящих матриц:

( цао Й1 Л? 0о а+ < Л^ \ 1

_ V -«о а, ЛГ^ N2 0О«+ ЛГ^ ^ ) (^

где а 4- 0 4- 1/2 = 0 и 9Р/Й = (¡N-1 N-2.

В §6 изучается связь алгебры с деформированным кокаса-тельным расслоением к борелевской подгруппе - (Т*В)Я, которое определяется как некоммутативное многообразие, где координаты точки задаются парой матриц (А, 5), удовлетворяющих следующим соотношениям

л± АА=АА Я±, Я± ВВ=ВВ Я±, (10)

АВ=ВАЯ+. (П)

Для фундаментального представления ¿>'//у(2) имеется четыре генератора - элементы треугольных матриц А и В :

Основная теорема »того параграфа устанавливает следующую связь ('Т*В)д с алгеброй Ы (реализация производящей матрицы через "свободные поля"):

Ь =

тт-( ^а(Ь+а-1с(10)е-Ч се$ \

\ ¿с (6 +q а с(10)е ? а ег I у

где и = 9 - (10 = (I- q1f^2c-Ч-1a и е* = (ГЧ^с'Ч-1

с произвольной константой 7. Здесь же показано, что алгебра (10)-(11) изоморфна алгебре, генерируемой элементами матриц Ь и , введенных выше.

В §7 рассматривается действие элементов матрицы /У, построенной для Оч = 5'1/?(2) в предыдущих параграфах, на

2) - (/-деформации пространства аналитических функций двух переменных. Для этого строится представление алгебры (10)—(11) в терминах операторов умножения и сдвига. Показано. что в этом представлении (12) совпадает с (9) и дает семейство производящих матриц для коэффициентов КГ квантовой алгебры (/7(,я/(2)). Обсуждается связь с теоремой Вигнера-Эккарта для (/-тензорных операторов.

Вторая глава посвящена формулировке на /^-матричном языке основных определений и некоторых утверждений из теории (/тензорных операторов для квазитреугольных квантовых алгебр Ли.

В первом параграфе определены основные объекты, используемые в этой главе: универсальная _/?,-матрица 7£ К)

Ь-операторы ЬГ+ = (р1 ® Ь{_ = (р1 <Э ¡<1)(71') ковари-

антный и контравариантный (/-тензорные операторы:

(40^ = XX' (/(0)11т, (13)

п

= гя7, (м)

п V / Ю1

где есть конечномерное представление а присоединенное действие определено следующим образом

= Е ^ => (40 ч = Е £ * ^(Й).

Л <;

В качестве примера рассмотрен случай = [/^(¿/(п)).

Во втором параграфе определены производящие матрицы II3 и И^ (для ковариантных и контравариантных (/-тензорных операторов, соответственно) как матрицы с операторными элементами, такие что

и-1 =и-г я^ = VI3 ¿±°. (15)

Доказано, что определения (15) эквивалентны (13)-(14) в том смысле, что каждая строка и3 и каждый столбец IV суть ([тензорные операторы, удовлетворяющие (13) и (14), соответственно. В качестве следствия получено, что элементы матрицы являются скалярными операторами. В §3 в качестве примера использования Д-матричных определений (15) приводится доказательство теоремы Вигнера-Эккарта (для (/-тензорных операторов) в следующей формулировке

и* I/V = Е И71'!!'* \KYC\IJK\,

к

где IЛ'} обозначает вектор базисных векторов для данного подпространства 7ih , т.е. \К)т = \Кт) и отображения Клебша-Гордана

C[IJK] : V!0VJ -> VK, C'[IJK] : VK V!0i)VJ. (16)

для фиксированных I, J, К представимы в виде прямоугольных матриц.

В §4 рассматривается процедура "слияния" (fusion procedure) производящих матриц (аналогичная конструкция известна для /?-матриц). Формулы "размножения" выглядят следующим образом

21,, 12,, 2,1. 12,, 12,, 12,, 1,2, 12,, и к =FU 1Г [J1 Рк, WK -Р к w1 W F , (17)

где F^ £ V^ есть некоторая матрица с элементами, ком-

мутирующими с генераторами квантовой алгебры, а Р^ обозначает проектор в V^ ® VJ на подпространство, соответствующее представлению рК . Для случая Jq = (fq(sl(n)) показано, что элементы матрицы

п.Д 11 , 2,1. ,

U = Fn-i U,0...FX [Jh Uh PL\

где обозначает антисимметризатор в (^VIo)®n есть инвари-

J1..1

антные операторы. Тем самым Det (J 0 = tr (J дает выражение для квантового определителя производящей матрицы.

В §5 на примере ¿Tq = f/9(,s/(n)) сформулирована связь между производящими матрицами для ко- и контравариантных операторов:

UJ = (\VJywJ, WJ = WJ{UJy,

и

где использован ^-элемента Вейля W : W £ W 1 = т (£(£)), и где антиавтоморфизм Г имеет вид

r(Xf) = г(Я,-) = Яе(0, г = 1,.., п — 1. (18)

Здесь же отмечено, что если рассматривать (18) как автоморфизм (преобразование подобия с некоторой матрицей то производящие матрицы XIo{(J'°y и (W^Yx10 удовлетворяют определению альтернативному (15).

В §6 техника "размножения" применена к фундаментальной производящей матрице (9) для i/?(.s/(2)), что дает производящую матрицу спина 1. Лля этой цели найдена реализация матрицы F, такой что TZ(p)± = (-F")-1 R± F, где 7Z(p)± имеет вид (5).

В §7 кратко обсуждаются формулировки утверждений этой главы в недеформированном пределе (7 = 0).

В главе 3 рассматривается алгебра вертексных операторов V (toy model), ассоциированная c. данной ленточной алгеброй Хопфа и ее обобщение на одномерной решетке.

В §1 дано определение и приведены некоторые /^-матричные соотношения для ленточной алгебры Хопфа Q c. элементом V (ribbon element) таким, что

R'R = {v0v)A(v~l).

Во втором параграфе вводятся следующие объекты: гомоморфизм (У : С I—» Q (X) С и элемент F Е Q (К) Q С<> С, где С есть *-алгебра функций на пространстве Л' всех неприводимых представлений Q. Постулируются следующие аксиомы

i) ((id® A)F) (F«e) = ({Awid)F) a (e&F); (19)

ii) ^ (/) = AF(a(f)); (20)

iii) D 1l-=K+ a(D), K-b=v(b)n+, (21)

где П = й^е^М^ОЭС, ЛИЛ = Д(/) и

Б = а{у)(уму)-г едфС. (22)

Две дополнительные аксиомы, согласованные с (19)-(21),

IV) {а(Лу = а(Г), (23)

V) (к) (к Я к)"1/Г\ (24)

задают операцию сопряжения. Здесь же обсуждается интерпретация и Ар как объектов "скрученной" (в определении Дрин-фельда ) квазитреугольной алгебры Хопфа.

В §3 вводится алгебра вертекс.ных операторов V, генерируемая элементами / Е С и компонентами матрицы Ф такой, что

ф/ = <т(/)ф; фф=Г~1А(Ф). (25)

Показано, что из аксиом (19)-(21) следуют ассоциативность

(ФФ) Ф = Ф (ФФ)

2 1 12

и квадратичное соотношение 'К, ф ф=фф i?,. Рассматриваются соотношения между элементами С/ и V; определяется операция * на V.

В §4 обсуждается погружение алгебры С в V. задаваемое формулой р(Ь) = Ф-1/?Ф; это является обобщением результатов главы 1. Для произведения V1" С-0 Vя двух алгебр моральных вертексных операторов построена "групповая" переменная (удовлетворяющая (1))

д = ф£ф

к I ¿{ад 1

где|Лар означает условие (/(¿¿(^-¿^(f)) = (¿£(f)-£7?(f))g = О (¿£ и ¿к обозначают "левое" и "правое." вложения алгебры С в

■VL®VR).

В §5 показано, что объекты F и <т, введенные аксиоматически, могут быть построены для данной полупростой Хопфо-

вой алгебры Q с помощью матриц Fpjsip j^] (fusion matrix ) и

^NN'lp л/1 (braiding matrix).Показано, что аксиомы (19)-(24) следуют из полиномиальных уравнений (Moore-Seiberg equations). Обсуждается явный вид <т, D, 7Z(p) для Q = Uq(^J).

В §6 теория переносится на одномерную дискретную решетку - определяется алгебра вертекс.ных операторов, ассоциированных с решеточной алгеброй Каца-Муди.

Заключение содержит некоторые возможные направления дальнейших исследований: изучение случая qn = 1; построение универсальных формул для объектов типа U, F, 7Z(p); исследование непрерывного предела; обобщение теории на случай алгебр петель.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. A.G.Bytsko, L.D.Faddeev, The ¿/-analogue of model space and CGC generating matrices, preprint q-alg/9508022, pp. 1-28 (1995).

2. A.G.Bytsko, Tensor operators in i?-matrix approach, preprint DESY 95-254, pp. 1-19 (1995).

3. A.G.Bytsko, V.Schomerus, Vertex operators : from toy model to lattice algebras.