Расщепляемость расширений конечных разрешимых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ

И ИЗВЕСТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

§ I. Обозначения и определения.

§ 2. Формулировки известных результатов.

ГЛАВА II. О СУЩЕСТВОВАНИИ ДОПОЛНЕНИЙ

К НОРМАЛЬНЫМ ПОДГРУППАМ

§ 3. Подгруппа Картера и дополняемость нормальных разрешимых подгрупп.

§ 4-, Свойства пронормальных и абнормальных подгрупп и дополняемость нормальных подгрупп.

ГЛАВА III. О СВОЙСТВАХ ДОПОЛНЕНИЙ И ДОБАВЛЕНИЙ

К НЕКОТОРЫМ НОРМАЛЬНЫМ ПОДГРУППАМ

§ 5. О расщепляемости расширений конечных сверхразрешимых групп

§ 6. Фраттиниевы пересечения и существования дополнений и добавлений в конечных группах.

ГЛАВА 1У. НОРМАЛИЗАТОРЫ^ УСЛОВИЯ И СУЩЕСТВОВАНИЕ

ПОДГРУПП ТИПА КАРТЕРА.

§ 7. Свойство нормализаторного условия для <йТ-разложимых и .^-специальных подгрупп.

§ 8. О рациональных и действительных группах.

Важнейшим в теории конечных групп является направление, связанное с вопросами существования и вложения подгрупп, выявления взаимосвязей между ними и влияния их строения на строение группы.

Одним из самых содержательных результатов в теории конечных групп несомненно является, ставшая повседневным и незаменимым средством исследования, теорема Силова о существовании, сопряженности, вложении и числе подгрупп, порядок которых есть степень простого числа.

В своей монографии [ I ] С.А.Чунихин пишет: tI Значение теоремы Силова для теории групп как одного из самых основных инструментов исследования трудно переоценить - достаточно лишь представить, как мало осталось бы от современной теории конечных групп при условии отсутствия в ней этой теоремы". Теорема Силова получила своё развитие в работах таких известных специалистов по теории групп как Ф.Холл [ 2,3 ] , С.А.Чунихин [4-12 ] , Г.Виландт ^13,14-J . В этих работах заключения теоремы Силова переносятся на подгруппы более сложной структуры - холловские подгруппы. Среди многих глубоких исследований, выполненных различными алгебраистами и связанных с отмеченными теоремами Силова, Ф.Холла, С.А.Чунихина важное значение имеет результат Р.Картера [15] о существовании и сопряженности нильпотентных абнормальных подгрупп в любой конечной разрешимой группе.

Этот результат оживил изучение подгруппового строения конечных групп (см., например, работы [16 J , [l7 ] , [is] , 19 J ). Различные аспекты использования этой теоремы показаны в монографии Б.Хупперта [20 ] .

Классическая теорема Шура-Цассенхауза о существовании и сопряжённости дополнений к нормальной холловской подгруппе в конечной группе породила ряд интересных результатов о допол няемости нормальных подгрупп. Среди них в первую очередь следует отметить следующую теорему В.Гашюца [21 ] :

Нормальная абелева подгруппа <JL дополняема в конечной ском математическом конгрессе в докладе Г.Виландта [24] отмечалась важность устранения условия абелевости дополняемой подгруппы в теореме Гашюца. Результат Гашоца в свою очередь вызвал появление интересных работ [ 25,26,27,28 ] , в которых ослабляется, либо заменяется другими условиями условие абелевости дополняемой подгруппы.

В работе [29 ] Е.Шенкман доказал существование и сопряжённость дополнений в конечной разрешимой группе Q нильпотентной длины 2 к её наименьшей нормальной подгруппе Ц- , п *" фактор-группа по которой нильпотентна, в случае когда Ц-абелева. Г.Хигмен [30 ] обобщил эту теорему на случай разрешимых групп произвольной нильпотентной длины П . р.Картер [31 ] установил связь между факторизационными теоремами Шенкмана и Г.Хигмена и теорией системных нормализаторов разработанной Ф.Холлом в [ 32 ] .

В диссертационной работе исследуется связь между свойствами подгруппы Картера нормальной разрешимой подгруппы группы и группе Q , если для всех р подгруппа няема в

Эта теорема вошла в монографии [22 J и [23 ] . На Эдинбургсуществованием дополнений к этой нормальной подгруппе, изучаются свойства таких дополнений. Изучаются также свойства переноса нормализаторного условия на фактор-группы, следствием которого являются теоремы о существовании подгрупп типа Картера в -разрешимых группах. Приступим теперь к более подробному обзору диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, а также списка цитированной литературы, содержащего 62 названия. В первой главе приводятся необходимые обозначения и определения, даётся перечень известных результатов других авторов, которые используются при доказательстве новых результатов.

1. Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. - Минск, »Наука и техника", 1964.2. /? аЛ но ie. Ofi soр Ion с/о* . JW., /92*,

2. JVcyif^f /? Tfieovesns Syfousis, /°2oe.1.о л о/о/7 Soct9SC? (3) 6 j jfi22J 2#G ЗОЧ.

3. Чунихин С«А. 0 $ -отделимых группах. ДАН СССР, 1948, т. IX, № 3, 443-445.

4. Чунихин С.А. О &-свойствах групп. ДАН СССР, 1947, 55, 481-484.

5. Чунихин С.А. О ^-свойствах конечных групп. Мат.сб., 1949, 25(67), 321-346.

6. Чунихин С.А. О существовании и сопряжённости подгрупп, у конечных групп. Мат.сб., 1953, т. 33(75), № I, III-I32.

7. Чунихин С.А. О факторизации конечных групп. ДАН СССР, 1954, т. 97, № 6, 977-980.

8. Чунихин С.А. О разложении а^-отделимых групп в произведение подгрупп. ДАН СССР, 1954, т. ХСУ, № 4, 726-727.

9. Чунихин С.А. О ^-разрешимых подгруппах конечных групп. -ДАН СССР, 1955, т.103, № 3, 377-378.

10. Чунихин С.А. О силовских свойствах конечных групп. ДАН СССР, 1950, т.73, № 1, 29-32.

11. Чунихин С.А. О , S!-факторизации конечных групп. ДАН СССР, 1956, т.108»№ 3, 397-399.13. 14/S е fane// Ze/m Scrtz mr SyfoiV

12. Wi*&attoL£ ZuaiSQ^Z rev аЛ/^ёА.19S3} i/6Y- ¥62.

13. Ссуг^ег R.W. jfifyoie-ni szfy-novtna&siwftfi196i} /36-/39.

14. Беркович Я.Г. К теореме Картера. Успехи мат.наук, 1965, 20, № 6(126), 55-58.

15. Беркович Я.Г. Обобщение теорем Картера и Виландта. ДАН СССР, 1966, 171, № 4, 770-773.

16. Романовский А.В. О конечных группах с o/Г-разложимыми подгруппами. ДАН СССР, 1963, 152, № 4, 831-833.

17. Л/Ов^/7 L. noztrtaPt'ze.'zS оглс£ CQ<i£ZZ Subgioups. J. /t ^ ^ 3SS ~3бв.гъ. В* £пс?№<с6е. О-гирреп, I. fie* €inЭ/есс/её-Аеу- Лен/ Уо^А : Spt/'fipe? t /96?,21. qaScAu^Z И/ £A<zozcee.nc/'ZtcAt.'z Qiuppen.-7. fte-ine. Jfrtepew:1952} /9 О; 93 -fO>.

18. Холл M. Теория групп. Москва, 1962.

19. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. Москва, и Наука11, 1978.

20. Виландт Г. Пути развития структурной теории конечных групп. В кн.: Международный математический конгресс в Эдинбурге, 1958г. (обзорные доклады). - М., 1962, 263-276.

21. Шеметков JI.A. Факторизация конечных групп. ДАН СССР, 1968, 178, № 3, 559-562.

22. Шеметков Л.А. Дополнения и добавления к нормальным подгруппам конечных групп. Укр.матем.ж., 1971, 23, № 5, 678-689.т

23. Шеметков Л.А. О дополняемости ^-корадикала и свойствахsrJ- -гиперцентра конечной группы. ДАН БССР, 1974, 18, № 3, 204-206.

24. Сергиенко В.И. О факторизации конечных групп. ДАН БССР, 1970, т.14, № 5, 400-401.

25. Sch^nkmart f. ТАе. ojZ ceztf&irtSofa&ee groups Pzoc <Amei. S0c %J1955, 6, 29€-290.

26. JCic^fnctn Q, e n-£ot-6 со/7 o^nsubg-zoc/ps. оЛ/atA. Ъе-Дгесеп,.

27. Ctf^e* £.14/ Зрелые p^ope^cs <?/$Zoups . Lono/on. /ttoi&i. Soc. fS6f, 36J f932. P. 0/7 ^Ae s ск-Ръос. 1ола/ол JVatA.Soz.195}, УЗ, So? -52 е.

28. Сергиенко В.И. Дополнения в конечных группах. ДАН БССР, 1981, т. ГО, № 3, 200-203.

29. Сементовский В.Г. Пронормальные дисперсивные проекторы конечных групп. В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, 164-179.

30. Шеметков Л.А. 0 существовании ^-дополнений к нормальным подгруппам конечных групп. ДАН СССР, 1970, 195, №1, 50-52.Зв.У^иг^ М ^/id^'cAe gzvppen. ft/?о/t с Z'Aeoi/e с/^2 Q-tuppzn. ~~Spwyet- l/ev&p Setfo -ЯеМе^Аеу-л/еи/

31. Чунихина И.К., Чунихин С.А. 0 -разложимых группах. -Мат.сб., 1944, т. 15, 325-342.

32. Чунихин С.А., Шеметков Л.А. Конечные группы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия. 1969 (Итоги наука ВИНИТИ АН СССР), М., 1971, 7-70.

33. Чунихин С.А. Общий способ получения факторизаций конечныхгрупп. Мат.сб., 1961, 54(96), № 2, 237-252.

34. Tflwmpson j. Q. Wc'^/i ^ixeot-рооп/:atL/lohioifiStoS о/ р&'/гге otc/ez. P?l0C.Jccd. Set. US J, f9SSj

35. Кулешов Н.Й. 0 конечных -группах. В кн.: Подгруп-повое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника, 1981, 44-55.

36. Монахов B.C. 0 произведении двух групп с нильпотентными подгруппами индекса, не превосходящего 2. Алгебра и логика, 1977, 18, № I, 46-62.43. 9e.il W. апо/ Тотрзоп j.Q. So&a&'fi^yof ос/с! oic/e-г. PocifrcJ-yt/oM, /962, //, jfij, ??S-/o23.

37. Тсгил^Ъ. O/i oJ-gzoufS. Ргос. Сам&ъ/е/ре.PAcl. Soc. /Ц-42.

38. Сементовский В.Г, 0 пронормальных подгруппах конечных групп. Весц1 АН БССР, 1973, № 4, 12-16.

39. Романовский А.В. Группы с холловскими нормальными делителями. В кн.: Конечные группы. Мн.: 1966,98-115.

40. Кохно А.П. О конечных группах с пронормальными нормализаторами. В кн.: Подгрупповое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника, 1981, 39-44.

41. Wc^icmcL-i 7/. Еспе Jfetime/oAnu/ig o/tzecРгоо/ис£е vot?/>- Gtu/>/>е/7. чЛ/а/4. Z. /Щ £<?/-2#2.

42. Чунихин С.A. 0 специальных группах II. Мат.сб., 1933, 40, № I, 39-41.

43. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. Москва, иНаука", 1977. ^

44. М. 0/7 о/ vStck ец сусАе Sylfou/ 5- Pzoo. JWotA.Soc. , z^w* 1j HC-M

45. Кохан Н.Г. Конечные группы с многими сопряжёнными элементами. Всесоюзный алгебраический симпозиум 1975 г. Тезисы докладов, ч.1, Гомель, 1975, с.28.

46. Кохан Н.Г. Строение некоторых классов конечных рациональных групп. В кн.: Конечные группы. Мн.: 1978, 22-26.

47. Кохан Н.Г. Фраттиниевы пересечения и существование дополнений в конечных группах. УШ Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов, Сумы, 1982, с. 62-63.

48. Кохан Н.Г. Дополняемость инвариантных подгрупп в конечных группах. ДАН БССР, 1983, т.27, № 2, 108-109.

49. Кохан Н.Г. О расщепляемости расширений конечных сверхразрешимых групп. ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов, ч. II, Минск, 1983, с. II3-II4.

50. Кохан Н.Г. О расщепляемости расширений конечных сверхразрешимых групп. ДАН БССР, 1984, т.28, Ш 2, с. I07-II0.

51. Кохан Н.Г. Существование дополнений к инвариантным подгруппам в конечных группах. В кн.: Исследование подгруппового и нормального строения конечных групп.Минск,Наука и техника,1984.