Условия конечности и дополняемость нормальных подгрупп в обобщенно разрешимых группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введен и. е.

Глава I. Разрешимые минимаксные группы и группы конечного ранга.30.

§1. Слабые условия минимальности, и максимальности для подгрупп,.

1.1. Условия обрыва, двойных цепей подгрупп.

1.2. Лемма о. группах с финитно, отделимыми подгруппами

1.3. Локально почти разрешимые группы с условием обрыва двойных цепей подгрушь.

§2. Слабое условие, минимальности, для абелевых и для неабелевых подгрупп.

2.1. Предварительные утверждения

2.2. Теорема о группах с условием Гпллъ-оо

§3. Теорема о совпадении, рационального и специального рангов.

3.1. 0 локально нильпотентных минимаксных группах.

3.2. Конечно, порожденные разрешимые группы конечного ранга без кручения.

3.3. Рациональный и специальный ранги

§4. Почти разложимость разрешимых групп, конечного ранга

4.1. У1 -сопряженная дополняемость подгрупп

4.2. Нильпотентные добавления

4.3. Пример.76.

Глава 2. Дополняемые нормальные подгруппы бесконечных групп.

§5. Дополняемость черниковских нормальных подгрупп в локально конечных группах

5.1. Обобщение теоремы Гашюца

5.2. F -дополняемость черниковских нормальных подгрупп.

§6. Черниковские модули.

6.1. Неприводимые, разложения.

6.2. Неприводимые, модули и их коммутаторные лестницы.

§7. Прямые разложения черниковских модулей.10.

7.1. Признак прямой разложимости

7.2. Прямая дополняемость подмодулей с Р-центром ранга I.

7.3. Черниковские модули, близкие, к однородным . . . III

§8. Черниковские р -группы с центром ранга I

8.1. Характеризационная лемма

8.2. Модуль ).

8.3. Основная теорема

Глава 3. Группы операторов конечного ранга и их применение.

§9. Абелевы группы с группами операторов конечного свободного ранга

9.1. Локально почти полициклические группы

9.2. Группы операторов.

§10.Произведения абелевых групп.

10.1. Произведения групп конечных свободных рангов

10.2. Группы конечных секционных рангов и -свойство.

10.3. Случай минимаксных множителей и множителей конечного ранга

§11. Нильпотентные, аппроксимации метабелевых групп

11.1. Влияние локальной нильпотентности периодических фактор-групп

11.2. Нильпотентность периодических фактор-групп.

11.3. Применение к факторизуемым группам

§12. Локально разрешимые группы с конечными группами операторов.

12.1. Операторный аналог теоремы Черникова

12.2. Лемма о ранге р -группы.

12.3. Операторный аналог теоремы Горчакова

Глава 4. Прямые дополнения в абелевых группах с операторами и расщепляемость расширений групп

§13. Условия существования прямых дополнений

13.1. С -разложение артинова модуля

13.2. Редукционные леммы

13.3. Дополнения к артиновым и нетеровым подмодулям

§14. Расщепляемость расширений артиновых и нетеровых модулей.

14.1. Случай артинова модуля

14.2. Случай нетерова модуля.

14.3. Пример нерасщепляемого расширения. 235,

14.4. Расширения при помощи локально нильпотентных групп. Следствия основных результатов и связь с задачей о дополняемости корадикалов

Одним из основных методов исследования бесконечных групп является наложение на них тех или иных условий конечности, т.е. таких свойств, которые присущи всем конечным группам. Систематическое изучение бесконечных групп с условиями конечности началось в самом конце тридцатых годов в работах С.Н.Черникова. Вскоре в изучение таких групп включились многие известные советские и зарубежные алгебраисты - О.Ю.Шмидт, А.И.Мальцев, А.Г.Ку-рош, Р.Бэр, и в результате в общей теории групп появилась новая большая содержательная область исследований, которая обогатила теорию групп многими фундаментальными понятиями, идеями и связанными с ними глубокими результатами.

Условиями конечности определился эффективный подход к изучению бесконечных групп, находящихся на стыке конечных групп с бесконечными. Одним из первых условий конечности явилось условие минимальности для подгрупп, сыгравшее важную роль в развитии исследований по бесконечным группам. В работах, относящихся к 1939 -1940 г.г., С.Н.Черников детально исследовал строение групп с условием минимальности для подгрупп при различных дополнительных ограничениях, таких, как нормализаторное условие, локальная разрешимость и других. Им было, в частности, установлено, что группы такого рода являются конечными расширениями прямых произведений конечного множества квазициклических групп; за ними впоследствии закрепилось название черниковских групп. С черниковскими группами связано очень большое число исследований многих авторов, разнообразные характеризации таких групп получены С.Н.Черниковым, А.И.Мальцевым, Р.Бэром, В.П.Шунковым и др. В значительной степени этому способствовала известная проблема Черникова о группах с условием минимальности, поставленная км в 1940 г. и ставшая одной из центральных проблем теории бесконечных групп. Она была положительно решена для важного специального случая локально конечных групп В.П.Шунковым /1970 г./, отрицательное /в общем случае/ решение ее следует из результатов А.Ю.Ольшанского /1979 г./.

В отмеченных работах С.Н.Черниковым были впервые введены новые важные классы групп, такие, как локально разрешимые и локально нилыютентные группы. В последовавших затем работах С.Н.Черникова, А.И.Мальцева, О.Ю.Шмидта окончательно оформилось понятие локальных свойств групп, были найдены возможности распространения на бесконечные группы классических понятий разрешимости и нильпотентности. Большое значение в становлении теории обобщенно разрешимых и обобщенно нильпотентных групп имела известная работа А.Г.Куроша и С.Н.Черникова, явившаяся источником многочисленных исследований как в нашей стране, так и за рубежом.

Значительную роль в формировании современного направления теории групп, связанного с обобщенно разрешимыми и обобщенно ниль-потентными группами сыграло условие конечности специального ранга. Понятие специального ранга, называемого обычно рангом группы, было введено А.И.Мальцевым. Используя его, он выделил ряд важных классов разрешимых групп и применил к их изучению линейные группы, доказав фундаментальную теорему о том, что любая разрешимая линейная группа над алгебраически замкнутым полем обладает триангулируемой нормальной подгруппой, индекс которой конечен и не превосходит числа, зависящего только от порядка матриц. Результаты А.И.Мальцева стали основополагающими в теории обобщенно разрешимых групп конечного ранга. Основной вклад в ее развитие был внесен советскими авторами - Д.М.Смирновым, В.С.Чариным, м.И.Ка-ргаполовым, Ю.И.Мерзляковым, Ю.М.Горчаковым, В.П.Шунковым.

-7В работах Ф.Холла, относящихся к 50-м годам, были исследованы взаимоотношения между различными условиями конечности в классе разрешимых групп: конечной порожденностью, условием максимальности для нормальных подгрупп, финитной аппроксимируемостью. Идеи и результаты Ф.Холла стимулировали многие исследования по конечно порожденным разрешимым группам.

В 1967-1968 г.г. в работах Р.Бэра, Д.Робинсона и автора было начато изучение минимаксных групп, т.е. групп, обладающих конечным субнормальным рядом, факторы которого удовлетворяют условию минимальности или условию максимальности. При изучении их возникли понятия слабого условия минимальности и слабого условия максимальности для подгрупп, рассматривавшиеся впоследствии в различных классах групп рядом авторов. Была обнаружена важная принципиальная связь между группами конечного ранга и минимаксными группами, а именно, было доказано, что конечно порожденные разрешимые группы конечного ранга являются минимаксными.

В теории обобщенно разрешимых групп возникла и заняла видное место проблематика, связанная с изучением групп по свойствам их абелевых подгрупп. Здесь был получен ряд замечательных результатов: теорема С.Н.Черникова о локально разрешимых группах с условием минимальности для абелевых подгрупп, теорема А.И.Мальцева о полицикличности разрешимых групп с конечно порожденными абелевы-ми подгруппами, теорема М.И.Каргаполова о разрешимых группах с абелевыми подгруппами конечных рангов, результаты В.С.Чарина, Ю.М.Горчакова, Ю.И.Мерзлякова, В.П.Шункова.

В настоящее время вполне осознана существенная роль в этой проблематике вопроса об условиях расщепляемости расширений групп, или, иначе говоря, об условиях существования дополнений к нормальным подгруппам групп. Как было выяснено, группы, удовлетворяющие тем или иным условиям конечности, нередко обладают свойствами расщепляемости над своими нормальными подгруппами в том или ином естественном для бесконечных групп смысле, что обусловливает использование теорем о расщепляемости расширений при изучении., например, бесконечных разрешимых групп. Этим в большой степени определяется значение исследований обобщенно разрешимых расширений абелевых групп. С другой стороны, исследования такого рода испытали сильное влияние теории конечных групп, так как они тесно связаны с задачей о перенесении на возможно более широкие классы групп известных результатов о конечных группах, таких, как теорема Шура-Цассенхауса, теоремы Гаипоца о существовании дополнений к нормальным подгруппам, а также с задачей о нахождении аналогов отмеченных результатов для определенных видов бесконечных групп. Указанным вопросам посвящены работы многих авторов, среди которых в первую очередь следует назвать работы А.И.Мальцева, С.Н.Черникова, Б.Хартли, Д.Робинсона, М.Ньюэлла.

С описанными направлениями исследований в теории бесконечных групп связана настоящая диссертация. Естественно, что значительное место в ней отводится изучению групп конечного ранга и минимаксных. групп, изучению черниковских групп, нахождению условий существования дополнений к нормальным подгруппам бесконечных групп и применению полученных результатов к исследованию расширений абелевых групп, диссертация состоит из четырех глав, в начале каждой главы дается краткий обзор рассматриваемых в ней вопросов и полученных основных результатов. Охарактеризуем ее содержание более, подробно, придерживаясь принятой в ней последовательности изложения.

1. Артин Э. Геометрическая алгебра.- М.: Наука, 1969.- 284 с.

2. Васильев В.Г. Об автоморфизмах аддитивных групп колец.- Красноярск, ВЦ СО АН СССР, препр. № 15, 1980, с. 3-10.

3. Глушков В.М. К теории ZA-групп.- ДАН СССР, 1950, 74, № 5, с. 885-888.

4. Глушков В.М. 0 локально нильпотентных группах без кручения.-ДАН СССР, 1951, 80, 1 2, с. 157,-160.

5. Глушков В.М. О некоторых вопросах теории нильпотентных и локально нильпотентных групп без кручения.- Матем.сб., 1952, 30/72/, № I, с. 79-104.

6. Горчаков Ю.М. О существовании абелевых подгрупп бесконечного в локально разрешимых группах.- дАН СССР, 1964, 156, № I,с. 17-20.

7. Зайцев Д.И. О группах, удовлетворяющих слабому условию минимальности и максимальности для подгрупп.- В кн.: IX Всесоюзн. алгебр.коллоквиум /Гомель,1968/: Тез.докл. Гомель, 1968,с. 76-77.

8. Зайцев д.И. Группы, удовлетворяющие слабому условию минимальности.- ДАН СССР, 1968, 178» № 4, 780-782.

9. Зайцев Д.И. Группы, удовлетворяющие слабому условию минимальности.- УМ, 1968, 20, А« 4, с. 472-482.

10. Зайцев Д.И. О разрешимых группах конечного ранга.- ДАН СССР, 1968, 181, № I, с. 13-14.

11. Зайцев Д.И. О группах, удовлетворяющих слабому условию минимальности.- Матем.сб., 1969, 78/120/, №3, с. 323-331.

12. Зайцев Д.И. Устойчиво разрешимые группы.- Известия Ж СССР /сер.матем./, 1969, 33, № 4, с. 765-780.

13. Зайцев д.И. О разрешимых группах конечного ранга,- В кн.: Группы с ограничениями для подгрупп. Киев, Наук.думка, 1971, с. 115-130.

14. Зайцев Д.И. К теории минимаксных групп.- УМЖ, 1971, 23, № 5, с. 652-660.

15. Зайцев д.И. Группы, удовлетворяющие слабому условию минимальности для неабелевых подгрупп.- Ума;, 1971, 23, А? 5, с. 661-665,.

16. Зайцев Д.И. О группах с дополняемыми нормальными подгруппами. Алгебра и логика, 1975, 14, .№ I, с. 5-14.

17. Зайцев Д.И. Группы с дополняемыми нормальными подгруппами.-В кн.: Некоторые вопросы теории групп. Киев, Ин-т матем. АН-УССР, 1975, с. 30-74.

18. Зайцев Д.И. О разрешимых группах конечного ранга.- Алгебра и логика, 1977, 16, I 3, с. 300-312.

19. Зайцев д.И. О локально разрешимых группах конечного ранга.-ДАН СССР, 1978, 240» -№2, с. 257-260.

20. Зайцев Д.И. Группы с дополняемыми бесконечными абелевыми нормальными подгруппами.- В кн.: Теоретико-групповые исследования. Киев, Наук.думка, 1978, с. 15-33.

21. Зайцев Д.И. О разрешимых группах с дополняемыми нормальными подгруппами.- В кн.: Теоретико-групповые исследования. Киев, Наук.думка, 1978, с. 77-86.

22. Зайцев Д.И. Гиперциклические расширения абелевых групп.-244В кн.: Группы, определяемые свойствами системы подгрупп.Киев, Ин-т матем. АН УССР, 1979, с. 16-37.

23. Зайцев Д.И. О расширениях абелевых групп.- В кн.: Конструктивное описание групп с заданными свойствами подгрупп. Киев, Ин-т матем. АН УССР, 1980, с. 16-40.

24. Зайцев Д.И. Произведения абелевых групп.- Алгебра и логика, 1980, 19, № 2, с. 150-172.

25. Зайцев Д.И. Группы операторов конечного ранга и их применение.- В кн.: У1 Всесоюзн. симпоз. по теории групп. Киев, Наук, думка, 1980, с. 22-37.

26. Зайцев Д.И. 0 расщепляемости расширений абелевых групп.В кн.: Исследование групп с заданными свойствами подгрупп. Киев, Ин-т матем. АН УССР, 1981, с. 14-25.

27. Зайцев Д.И. Нилыютентные аппроксимации метабелевых групп.-Алгебра и логика, 1981, 20, № 6, с. 638-653.

28. Каргаполов М.И. Локально конечные группы со специальными си-ловскими р -подгруппами /автореф. канд. дисс./. Пермь, госун-т, 1955.

29. Каргаполов М.И. 0 разрешимых группах конечного ранга.- Алгебра и логика, 1962, I, № 5, с. 37-44.

30. Каргаполов М.И. 0 проблеме О.Ю.Шмидта.- Сиб. мат. журн., 1963, 4, № I, с. 232-235.

31. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. Издание 2-е.- М.: Наука, 1977,- 240 с.

32. Коуровская тетрадь. Издание 7-е.- Новосибирск, Ин-т матем. СО Ж СССР, 1980, 116 с.

33. Курдаченко л.А. Группы, удовлетворяющие слабым условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.- Сиб.мат. журн., 1979, 20, № 5, с. 1068-1076.

34. Курдаченко Д.А. Группы, удовлетворяющие слабым условиям минимальности и максимальности для субнормальных подгрупп.-Матем. заметки, 1981, 29, № I, с. 19-30.

35. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр.- М.: Наука, 1969.- 668 с.

36. Ленг С. Алгебра,- М.: Мир, 1968.- 56.4 с.

37. Мальцев А.И. 0 группах конечного ранга.- Матем. сб., 1948, 22/64/, №2, с. 351-352.

38. Мальцев А.И. 0 некоторых классах бесконечных разрешимых групп.- Матем. сб., 1951, 28/70/, № 3, с. 567-588.

39. Мальцев А.И. 0 гомоморфизмах на конечные группы.- Уч. зап. Ивановского пед. ин-та, 1958, 18, с. 49-60.

40. Медведев Н.Я. Упорядочиваемые группы с конечным числом относительно выпуклых подгрупп.- Сиб. матем. журн., 1974, 25, Ш, с. 445-449.

41. Мерзляков Ю.И. 0 локально разрешимых группах конечного ранга.- Алгебра и логика, 1964, 3, № 2, с. 5-16; 1969, 8, № 6, с. 686-690.

42. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы.- М.: Наука, 1980.-464 с.

43. Мищенко Б.И. Об изоморфно факторизуемых группах.- УМ, 1971, 23, № 6, с. 788-792.

44. Мищенко Б.И. Локально конечные группы с дополняемыми бесконечными неабелевыми подгруппами.- В кн.: Конструктивное описание групп с заданными свойствами подгрупп. Киев, Ин-т матем. АН УССР, 1980, с. 55-71.

45. Мягкова H.H. 0 группах конечного ранга.- Известия АН СССР /сер.матем./, 1949, 13, №6, с. 495-512.

46. Остыловский А.Н. 0 связи между слабым условием минимальности и условием минимальности для подгрупп.- Алгебра и логика, 1978, 17, # 2, с. 201-209.

47. Остыловский А.Н., Шунков В.П. 0 -бипримитивно конечныхгруппах с условием минимальности для (J,-подгрупп.- Алгебра и логика, 1975, 14, )ь I, с. 61-78.

48. Плоткин Б.И. Радикальные и полупростые группы,- Труды Моск. матем. об-ва, 1957, 6, с. 299-336.

49. Серр Ж.-П.'Курс арифметики.- М.: Мир, 1972.- 184 с.

50. Сесекин Н.Ф.О локально нильпотентных группах без кручения.-Матем. сб., 1953, 32/74/, №2, с. 407-442.

51. Сесекин Н.Ф. 0 произведении финитно связанных абелевых групп.- Сиб. матем. журн., 1968, 9, № 6, 1427-1429.

52. Сесекин Н.Ф. 0 произведении конечно порожденных абелевых групп.- Матем. заметки, 1973, 13, № 3, 443-446.

53. Холл М. Теория групп.- М.: ИЛ, 1962.- 468 с.

54. Холл Ф. Нильпотентные группы.- Математика /сб. переводов/, 1968, 12, № I, с. 3-36.

55. Цыбанев М.В. 0 локально разрешимых F-факторизуемых группах.- В кн.: Исследование групп с заданными свойствами подгрупп. Киев, Ин-т матем. АН УССР, 1981, с. 66-70.

56. Чарин B.C. 0 локально разрешимых группах конечного ранга.-Матем. сб., 1957, 41/83/, № I, с. 37-49.

57. Чарин B.C. 0 разрешимых группах типа А^.- Матем. сб., I960, 52/94/, № 3, с. 895-914.

58. Черников Н.С. Непериодические собА -факторизуемые группы.-В кн.: Теоретико-групповые исследования. Киев, Наук.думка, 1978, с. 51-77.

59. Черников Н.С. 0 дополняемости коммутантов бесконечных подгрупп в бесконечных группах,- В кн.: Строение групп и свойства их подгрупп. Киев, Ин-т матем. АН УССР, 1978, с. 80-99.

60. Черников Н.С. 0 группах с условием минимальности для неабеле-вых разрешимых подгрупп.- В кн.: Группы, определяемые свойствами системы подгрупп. Киев, Ин-т матем.АН УССР,1979,с.57-82.

61. Черникова H.B. Группы, все бесконечные собственные подгруппы которых вполне факторизуемы.- В кн.: Конструктивное описание групп с заданными свойствами подгрупп. Киев, Ин-т матем. АН УССР, 1980, с. 86-91.

62. Черников С.Н. Бесконечные специальные группы.- Матем. сб., 1939, 6/48/, Af> 2, с. 199-214.

63. Черников С.Н. Бесконечные локально разрешимые группы.- Матем. сб., 1940, 7/49/, Ii I, с. 35-64.

64. Черников С.Н. К теории бесконечных специальных групп.- Матем. сб., 1940, 7/49/, .№ 3, с. 539-548.

65. Черников С.Н. 0 бесконечных специальных группах с конечным центром.- Матем. сб., 1945, 17/59/, № I, с. 105-130.

66. Черников С.Н. Полные группы, обладающие возрастающим центральным рядом.- Матем. сб., 1946, 18/60/, 13, с. 397-422.

67. Черников С.Н. К теории групп без кручения, обладающих возрастающим центральным рядом.- Уч. зап. Уральского госун-та. Свердловск, 1949, 7, с. 3-21.

68. Черников С.Н. 0 централизаторе полного абелева нормального делителя в бесконечной периодической группе.- ДАН СССР, 1950, 72, № 2, с. 243-246.

69. Черников С.Н. 0 локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп.- Матем. сб., 1951, 28/70/, № I, с. II9-I29.

70. Черников С.Н. 0 дополняемости силовских ЗС -подгрупп в некоторых классах бесконечных групп.- Матем. сб., 1955, 37/79/, № 3, с. 557-566.

71. Черников С.Н. Условия конечности в общей теории групп.- Успехи матем. наук, 1959, 14, № 5, с, 45^96.

72. Черников С.Н. Бесконечные группы с некоторыми заданными свойствами системы их бесконечных подгрупп.- ДАН. СССР, 1964, 159,4, с. 759-760.

73. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп.- УМЖ, 1967, 19, № 6, с. 111-131.76,. Черников С.Н. О периодических группах автоморфизмов экстремальных групп.- Матем. заметки, 1968, 4, № I, с. 91-96.

74. Черников С.Н. Бесконечные неабелевы группы, в которых инвариантны все бесконечные неабелевы подгруппы.- УЖ, 1971, 23,д., с. 604-628.

75. Черников С.Н. Группы с условием минимальности для неабелевых подгрупп.- В кн.: Группы с ограничениями для подгрупп. Киев, Наук.думка, 1971, с. 96-106.

76. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука.- 1980.- 384 с.

77. Шеметков л.А. 0 конечных разрешимых группах.- Известия АН. СССР /сер.матем./, 1968, 32, № 3, с. 533-559.

78. Шеметков Л.А. Формации конечных групп.- М.: Наука.: 1978.272 с.

79. Щунков В.П. Об абстрактных характеризациях некоторых линейных групп.- В кн.: Алгебра. Матрицы и матричные группы. Красноярск, Ин-т физики АН СССР, 1970, с. 3-54.

80. Шунков В.П. 0 проблеме минимальности для локально конечных групп.- Алгебра и логика, 1970, 9, № 2, с. 220-248.

81. Щунков В.П. 0 локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп.- Алгебра и логика, 1970, 9, № 5, с. 579-615.

82. Шунков В.П. 0 локально конечных группах конечного ранга.-Алгебра и логика, 1971, 10, № 2, с. 199-225.-24986. Amberg В. Abelian factorizations of infinite groups. -Math.Z.,1971, 123, Ю, p.201-204.

83. Arnberg В. Artinian and Uoetherian factorized groups. -Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1976, 55, p.105-122.

84. Arnberg В., Scott W. Products of abelian subgroups. Proc. Amer. Math. Soc., 1970, 26, N4, p.541-547.

85. Baer R. Irreducible groups of automorphisms of abelian groups.-Pacific J.Math., 1964, H, N2, p.385-406.

86. Baer R. Poliminimax Gruppen. Math. Ann., 1968, 175, N1, s.1-43.

87. Baumslag G., Blackburn N. Groups with cyclic upper central factors. Proc. London Math. Soc.(3), 1960, 10, 1140, p.531-544.

88. Bieri R. Über die cohomologische Dimension der auflösbaren Gruppen. Math.Z. , 1972, 128, 1-13, s 235-243.93^ Bowers J,F. On composition series of polycyclic groups. -J.London Math. Soc., i960, 35, N4, p.433-444.

89. Bowers J.P. Residually nilpotent groups. J.London Math. Soc., 1975, Ц, 111 , p. 1-6.

90. Brisley \7. , Macdonald I.D. Two classes of metabelian p-groups.-Math.Z., 1969, Ц2, N1, p.5-12.

91. Cohn P.M. A remark on the general product of two infinite cyclic groups. Arch. Math., 1956, 7, N2, p.94-99.

92. Gashütz W. Zur Erweiterungstheorie der endlicher Gruppen. -J.Reine Angew. Math., 1952, 190, s.93-107.

93. Gorenstein D. Finite groups. New York, Harper and Row. 1968. - 469p.

94. Grunewald P.J., Pickel P.P., Segal D. Polycyclic groups with isomorphic finite quotients. Ann. Math., 1980, 111, N1,p.155-195.

95. Hall P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3), 1954, 4, N16, p.419-436.

96. Hall P. On the finiteness of certain soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3), 1959, 9, 106, p.595-622.

97. Hartley B. A class of modules over a locally finite groups. Part III. Bull. Australian Math. Soc. 1976, U, N1,p.95-110.

98. Hartley B. The Schur-Zassenhaus theorem in locally finite groups. J. Australian Math. Soc. (ser.A), 1976, 22., 114, p.491-493.

99. Hartley B. Splitting over the locally nilpotent residuals for a class of locally finite groups. Quart. J. Math. 0xford(2), 1976, 27, N108, p.395-400.

100. Hartley B. A dual approach to Sernikov modules. Math. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1977, 82, 112, p.215-239.

101. Hartley B. Finite groups of automorphisms of locally soluble groups. J. Algebra, 1979, 57, in, p.242-257.

102. Hartley B. McDougall D. Infective modules and soluble groups satisfying the minimal condition for normal subgroups. Bull. Australian Math. Soc., 1971, 4, 111, p. 113-135.

103. Hartley B., Richardson J.S. The socle in group rings. -J. London Math. Soc., 1977, 15., 111, p.51-54.

104. Hartley B. , Tomlcinson M.J. Splitting over nilpotent andhypercentral residuals. Math. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1975, 78, N2, p.215-226.

105. Hirsch K.A. On infinite soluble groups, I- Proc. London Math. Soc. (2), 1938, 44, IT1 , p. 53-60.

106. Hirsch K.A, On infinite soluble groups, II. Proc. London Math. Soc. (2), 1938, 44, H5, p.336-344.

107. Hirsch K.A. On infinite soluble groups, IY. J. London Math. Soc», 1952, 27, Fl, p.81-85.115» Huppert B. Endliche Gruppen, I. Berlin-New-York.: SpringerVerlag, 1967. - 793s.

108. Ito N. Über das Produkt von zwei abelschen Gruppen. Math.Z., 1955, 62, N4, s.400-401.

109. Jategaonkar A.Y. Integral group rings of polycyclic-by-finite groups. J. Pure Appl. Algebra, 1974, 4, N3, p.337-343.

110. Kovacs L., Newman M. Direct complementations in groups with operators. Arch. Math., 1962, 13, N6, p.427-433.

111. Lennox J.C., Robinson D.J.S. Soluble products of nilpotent groups. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1980, 62, p.261-280.

112. McDougall D. Soluble groups with the minimum condition for normal subgroups. Math. Z. , 1970, V1j3, N3, p.157-167.

113. Nev/ell M. Some splitting theorems for infinite supersoluble groups. Math,. Z., 1975, 114, N3, p.265-275.

114. Newman M.J1. On a class of metabelian groups, Proc. London Math. Soc. (3), 1960, 10, N36, p.354-364.

115. Robinson D.J.S. On soluble minimax groups. Math. Z., 1967, 101, N1, p.13-40.

116. Robinson D.J.S. Residual properties of some classes of infinite soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3), 1968, 18, N3,p.495-520.

117. Robinson D.J.S. A property of the lower central series of a groups. Math. Z., 1968, 107, N3, p.225-231.

118. Robinson D.J.S. A note on groups of finite rank, Compositio Math., 1969, 2, 113, p.240-246.

119. Robinson D.J.S. A theorem on finitely generated hyperabelian groups» Invent. Math., 1970, 10, N1, p.38-43.

120. Robinson D.J.S. Finiteness conditions and generalized soluble groups. Berlin-Heidelberg-ilew-York, Springer-Verlag. 1972. -part 1,21 Op.; part 2,254p.

121. Robinson D.J.S. On the cohomology of soluble groups of finite rank. J. Pure Appl. Algebra, 1975, 6, p.155-164.

122. Robinson D.J.S. Splitting theorems for infinite groups. -Symposia Math., 1976, 17, p.441-470.

123. Robinson D.J.S. The vanishing of certain homology and cohomology groups. J. Pure Appl. Algebra, 1976, 7, p.145-167.

124. Robinson D.J.S. A new treatment of soluble groups with, finiteness conditions on their abelian subgroups. Bull. London Math. Soc. , 1976, 8, p.113-129.

125. Roseblade J.S. Group rings of polycyclic groups. J. Pure Appl. Algebra, 1973, 3, M, p. 307-328.

126. Roseblade J.E. Applications of the Artin-Rees lemma to group rings. Syrnp. Math., 17.: London, Academic Press. 1977. -p.471-478.

127. Schenkman E. The splitting of certain solvable groups. Proc. Amer. Soc., 1975, 6, IT2, p.286-290.

128. Shores T. A chain condition for groups. Rocky Mount. J.Math,, 1973, 3, I'T1, p.83-89.