Разработка научных методов расчета нестационарного взаимодействия тонкостенных элементов с жесткими односторонними связями и математических моделей волновых передач тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

сг

На правах рукописи

Люмннарский Игорь Евгеньевич

Разработка научных методов расчета нестационарного взаимодействия тонкостенных элементов с жесткими односторонними связями н математических моделей волновых передач

Специальность 01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Специальность 05.02.02 - машиноведение, системы приводов и детали машин

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2009

003479693

Работа выполнена в Московском государственном индустриальном университете

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Клеников Сергей Сергеевич Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Морозов Валентин Васильевич доктор технических наук, профессор Сорокин Федор Дмитриевич

Ведущая организация: ФГУП «Московский институт теплотехники»

Защита состоится "12" ноября 2009 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д212.141.03 Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан " 12" октября 2009 г.

доктор технических наук

Асташев Владимир Константинович

диссертационного совета

Ученый секретарь

Карпачев А.Ю.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Системы с односторонними (неудерживающими) связями (О.С.) широко применяются при создании разнообразных технических систем. К ним относятся зубчатые механизмы, механизмы вибротехники, контактные системы, строительные конструкции и т.д. Учет одностороннего контакта зубчатых колес важен в расчетах волновых зубчатых передач,

В связи с широким применением в современной технике тонкостенных конструкций, сочетающих в себе высокую прочность и низкую металлоемкость, задачи расчета колебаний балок, пластин и оболочек, ограниченных односторонними связями, являются актуальными.

Волновые зубчатые передачи (ВЗП) в настоящее время нашли широкое применение в приводах опорно-поворотных устройств телескопов, робототехнике, в системах управления и т.п., так как имеют малую металлоемкость, компактность и, что особо важно, высокую кинематическую точность. Несмотря на большое количество исследований, посвященных кинематической точности ВЗП, до сих пор практически не изучена собственная кинематическая погрешность ВЗП, т.е. погрешность, обусловленная принципом работы и конструкцией передачи.

Настоящая работа посвящена разработке эффективных методов расчета упругих систем с большим количеством О.С. высокой жесткости и исследованию с их помощью стеснённых колебаний балок и пластин с О.С. и кинематической погрешности волновых зубчатых передач.

Состояние вопроса.

Проблемой статического расчета упругих систем, ограниченных односторонними связями, занимались И.М. Рабинович, A.B. Перельмутер, В.Н. Гордеев, H.A. Алфутов, С.С. Клеников, Н.А.Астрахан, Л.П.Портаев, Колесников Г.Н. и др. Для расчета таких систем применяются метод "попыток", шаговый метод последовательных нагружений, методы нелинейного программирования. Следует отметить, что использование готовых программ нелинейного программирования не всегда эффективно.

Расчету колебаний деформируемых механических систем , ограниченных О.С., посвящены работы В.А. Баженова, В.И. Гуляева, С.С. Кохманюка, Е.Г. Янютина, А.Н, Златина, А.Д. Кузнецова, В.А. Ковтуненко и др.

В работах В.А. Баженова рассмотрены вопросы вынужденных периодических колебаний стержневых, пластинчатых и оболочечных элементов конструкций, ограниченных О.С. или упругим основанием.

При расчете упругих тонкостенных элементов в этих работах использовались уравнения движения, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява. Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее движение упругого тела методом Бубнова-Галеркина сводилось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В.А. Баженов рассматривает колебания прямоугольной пластины с простейшими граничными условиями,

\

соответствующими шарнирному опиранию. Такие граничные условия позволяют представлять решение в виде тригонометрического ряда.

Для учета О.С. в дифференциальное уравнение вводилось слагаемое 0,55(x,x)/cs(l - sign(w(x, t) - A0))|w(x, t) - Д01, (1)

где vv(x, t) - функция прогибов; х - вектор координаты О.С.; ks - жесткость О.С.; Д0 - зазор между связью и недеформированной пластиной; 5(х, х) -функция Дирака.

Разрешающая система дифференциальных уравнений записывалась относительно приращений коэффициентов разложения в тригонометрический ряд. Решение системы дифференциальных уравнений проводилось методом конечных разностей.

В работах Кохманюка С.С. рассматривается решение задач контактного деформирования двух балок конечной длины, подверженных импульсным нагрузкам. Изложены решения задач о неустановившихся колебаниях балок и прямоугольных пластин на упругом одностороннем основании.

В перечисленных выше работах рассматриваются системы, в которых жесткость упругого тела и О.С. имеют близкие значения. Если же жесткость О.С. на несколько порядков выше жесткости упругой системы, то колебания системы может сопровождаться дребезгом (высокочастотными отрывами упругого тела от О.С.). Расчет таких систем по описанным выше методикам будет затруднен из-за больших затрат машинного времени.

Расчету колебаний упругой системы с одной или двумя жесткими ограничителями посвящены работы В.М. Бабицкого, В.Л. Крупенина,

B.К. Асташева, И.И. Блехмана. и др. Решения, приведенные в этих работах, основаны на применении метода гармонической линеаризации, метода осреднения и метода припасовывания решений. Трудоемкость отыскания решений аналитическими методами ограничивает возможность их применения для анализа сложных систем большой размерности. Такие системы исследуются численными методами.

Проблеме соударения твердых тел посвящены работы Г. Герца,

C.П. Тимошенко, В. Гольдсмита, Н.А.Кильчевского, В.Л. Бидермана, А.Г. Горшкова и других авторов.

Упругой системой с большим числом О.С. является волновая зубчатая передача. Статическому расчету сил взаимодействия звеньев волновой передачи как упругой системы с О.С. посвящены работы H.A. Ковалева, С.С. Кленикова, Н.И. Цейтлина и др. К настоящему времени многие ученые пришли к выводу о необходимости учета деформации звеньев нагруженной волновой передачи при исследовании ее кинематики. Однако, для расчета кинематической точности волновых передач, указанные выше работы не применялись.

Вопросу исследования точности работы волновой зубчатой передачи посвящены работы Е.Г. Гинзбурга, И.И. Васильевой, П.К. Попова,

И.Л. Смирновой, Г.А. Тимофеева, А.Ф. Фирсанова, Ф.И. Фурсяка, JI.C. Черновой, JI.O. Штриплинга и др.

Отличительной особенностью волновой зубчатой передачи является высокая многопарность зацепления. Несмотря на противоречивость количественных оценок, во всех работах отмечается, что многопарность зацепления ведет к значительному повышению кинематической точности волновой передачи. Однако, ввиду сложности расчетной схемы, при определении кинематической точности волновой передачи многопарность зацепления учитывалась приближенно, без расчета сил одностороннего взаимодействия её элементов.

Следует отметить, что в волновых зубчатых передачах имеется собственная кинематическая погрешность, обусловленная принципом работы передачи. Эта погрешность соответствует гипотетической конструкции с номинальными размерами. Разумеется, что такая конструкция не может быть реализована на практике и, следовательно, не может быть экспериментально исследована. Поэтому до настоящего времени собственная кинематическая погрешность волновой передачи из-за отсутствия адекватной математической модели практически не изучена.

Цель работы. В связи с вышеизложенным в данной работе поставлены следующие задачи:

1) провести сравнительную оценку эффективности различных методов статического расчета упругих систем с О.С. Количественное сравнение провести на примере расчета волновой зубчатой передачи как упругой системы с большим числом О.С.;

2) разработать эффективный метод статического расчета упругих систем с О.С.;

3) разработать метод расчета колебаний упругих систем с О.С., позволяющий эффективно решать задачи, в которых жесткость О.С. на несколько порядков выше жесткости упругой системы;

4) применить разработанный метод для расчета колебаний тонкостенных упругих элементов (балок, пластин) с О.С., выполненных в виде стержней с закругленными концами;

5) проанализировать сходимость решения;

6) оценить влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига сечений на реакции в О.С. и перемещения упругих элементов;

7) провести экспериментальные исследования с целью подтверждения предложенных методов расчета;

8) разработать пакет программ, который реализует предложенные в данной работе методы;

9) на основе предложенных методов разработать методики определения кинематической погрешности волновых зубчатых передач с кулачковым и электромагнитным генераторами волн. Исследовать кинематическую погрешность этих передач.

Диссертационная работа проводилась в рамках Республиканской научно-технической программы ГК ВШ «Волновые механические системы и приводы специального назначения».

Научная новизна состоит в следующем:

1) предложен метод статического расчета упругих систем с О.С. Он объединяет в себе положительные стороны метода «попыток» и шагового метода последовательных нагружений. Метод позволяет эффективно рассчитывать упругие системы с большим количеством О.С.;

2) разработан метод расчета колебаний упругих систем с неинерционными и инерционными О.С. Метод позволяет эффективно решать задачи с большим количество О.С., жесткость которых на несколько порядков выше жесткости упругой системы. Метод основывается на теории соударения упругих систем, предложенной Тимошенко С.П. и получившей развитие в работах Бидермана В.Л.;

3) выявлен характер нестационарного взаимодействия балок и прямоугольных пластин с О.С., выполненными в виде стержней с закругленными концами. Это позволило выработать рекомендации по составлению математических моделей динамического взаимодействия тонкостенных элементов с О.С. большой жесткости;

4) на основе предложенных методов разработаны математические модели и методики для расчета кинематической погрешности волновых зубчатых передач с кулачковым и электромагнитным генераторами волн;

5) выявлены причины, вызывающие собственную кинематическую погрешность волновой зубчатой передачи. Получена количественная оценка этой погрешности.

Достоверность результатов работы основывается на строгом использовании математического аппарата для расчета рассматриваемых моделей, исследовании сходимости решения, сравнении решений, полученных разными методами, а также сравнением результатов расчетов с экспериментальными данными.

Практическая ценность.

1. Разработанные методы позволяют эффективно решать задачи статического и динамического взаимодействия упругих систем с односторонним контактом звеньев.

2. Предложенные методики расчета волновых зубчатых передач позволяют с высокой достоверностью определять жесткость и точность работы приводов с волной зубчатой передачей без проведения натурных испытаний.

3. Разработанные методы, методики, математические модели волновых зубчатых передач и программное обеспечение дополняют курсы дисциплин «Прикладная механика», «Теория механизмов и машин», «Детали машин».

Реализация работы.

Методы расчета упругих систем с О.С., разработанные в диссертационной работе, используются при решении задач контактной

жесткости в программном комплексе АРМ StructFEM Prof. Эти методы внедрены на AMO ЗИЛ при расчете контактного взаимодействия мембранных патронов для шлифования отверстия в шестернях коробки передач и раздаточной коробки с заготовками.

Предложенная в работе методика расчета волновых зубчатых передач внедрена в ЦНИИ автоматики и гидравлики для определения жесткости и точности спецгидропривода с волновой зубчатой передачей.

Разработанные в диссертационной работе методы и методики внедрены в учебный процесс Военно-воздушной академии имени Н.Е.Жуковского и Ю.А. Гагарина.

Апробация работы. Результаты работы докладывались:

- на семинаре кафедры прикладной механики Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана, 2003 г.

- на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006);

- на XV симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем», Москва-Звенигород, 2006 г.

- на VI Международной научно-практической конференции «Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологий», Москва, 20-24 ноября, 2006 г.

- на семинаре кафедры прикладной механики Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана, 2006 г.

Публикации: По теме диссертации опубликовано 20 работ. В том числе 1 монография и 10 публикаций в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав основного текста, приложения, напечатана на 361 страницах, содержит 106 иллюстраций, список литературы состоит из 194 наименований.

Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы, приводится обзор литературы, формируются цели работы, кратко излагается содержание работы.

В первой главе «Методы расчета упругих систем с односторонними связями» проводится сравнение быстродействия различных методов статического расчета упругих систем с нелинейными односторонними связями. Предлагается новый метод статического расчета. Описываются методы расчета колебаний упругих систем с неинерционными и инерционными односторонними связями.

Для сравнения эффективности различных методов статического расчета нелинейных систем с О.С. рассматривается задача, в которой упругая система является линейной, а О.С. - нелинейными. Математически такая задача в форме метода сил формулируется следующим способом. Определить векторы реакций R и зазоров А в О.С., удовлетворяющих условиям:

CR + X - А = —Ар ;

Ri > О, Д; > О, Ri-Ai = О, £ = 1, ...,L. (2)

Здесь: С - матрица податливости упругой системы, освобожденной от О.С. (считается, что упругая система, освобожденная от О.С., является кинематически неизменяемой системой); X - вектор упругих перемещений в О.С.; АР - вектор зазоров (натягов) между О.С. и упругой системой, освобожденной от О.С. и нагруженной внешними силами; L - количество О.С..

Для расчета системы (2) можно использовать два подхода. В первом случае нелинейные О.С. линеаризуются и используются методы расчета линейных систем с линейными О.С. Во втором случае используются методы нелинейного программирования.

Расчет с помощью первого подхода проводится в следующем порядке:

1) нелинейные О.С. заменяются линейными;

2) в полученной линеаризованной системе с помощью одного из методов расчета линейных систем с линейными О.С. определяется очередное приближение вектора реакций в связях;

3) по найденному вектору реакций уточняются характеристики линеаризованных О.С.;

4) расчет заканчивается, если решения на двух последних итерациях совпадают с заданной точностью. В противном случае делается следующая итерация возвратом к пункту 2.

Сравнение методов проводится на примере статического расчета силового взаимодействия элементов волновой зубчатой передачи (рис.1). Общее количество О.С. (точек возможного контакта) между элементами волновой передачи в расчетной схеме принималось равным 1824.

Рис. 1. Расчетная схема волновой передачи чашевидного типа: 1(2) - жесткое (гибкое) колесо; 3(5) - наружное (внутреннее) кольцо гибкого подшипника; 4 - тела качения; 6 - кулачок; 1,11,111 - расчетные сечения; к1,к2,кЪ - точки возможного контакта 6

Таблица

Сравнение эффективности методов статического расчета волновой передачи

Метод решения Относительное время расчета ¡¡Л)

1. Метод «попыток» с итерационным уточнением податливостей О.С. 1

2. Шаговый метод с итерационным уточнением податливостей О.С. 5

3. Метод продолжения решения по параметру 11

4. Метод квадратичного программирования, реализующий алгоритм Пауэлла, с итерационным уточнением податливостей О.С. 40

5. Метод штрафа 542

6. Метод проекционного градиента 1910

7. Метод приведенного градиента 1800

Как видно из таблицы, метод «попыток» является наиболее эффективным методом расчета упругих систем с нелинейными О.С. Его преимущество перед шаговым методом объясняется, в первую очередь, тем, что он позволяет делать каждую последующую итерацию, используя в качестве первого приближения зоны контакта, найденные на предыдущих итерациях. Однако при использовании метода «попыток» возможно зацикливание решения. Сходимость метода «попыток» остается недоказанной.

Наименьшая эффективность шагового метода последовательных нагружений (см. табл.) связана с тем, что в начале решения нельзя произвольно задавать зоны контакта элементов и, следовательно, каждая последующая итерация не может использовать зоны контакта, полученные на предшествующей итерации.

В данной работе предлагается новый метод расчета линейных упругих систем с О.С., который объединяет в себе положительные качества метода «попыток» и шагового метода. Как и метод «попыток», предлагаемый метод начинается с произвольного задания зоны контакта. После нахождения векторов реакций и зазоров в системе (реакции и зазоры в системе соответствуют заданной зоне контакта) все связи делятся на «правильные» (удовлетворяющие условиям одностороннего контакта) и «ложные» (неудовлетворяющие условиям одностороннего контакта). Далее считается, что упругая система контактирует только с работающими «правильными» связями. Поиск истинной рабочей системы осуществляется путем избавления системы от «ложных» связей с помощью введения восстанавливающих сил. Восстанавливающие силы прикладываются к «ложным» О.С. и упругой системе в точках их возможного контакта. Нагружение системы восстана-

вливающими силами ведется по шагам с использованием процедуры линейного нормирования, предложенной H.A. Алфутовым и С.С. Клениковым. Восстанавливающие силы увеличиваются от нуля до значения, при котором «ложная» связь перейдет в подмножество «правильных» связей. Расчет заканчивается в момент, когда последняя «ложная» связь перейдет в подмножество «правильных» связей.

В диссертации приведены полный алгоритм предложенного метода и программа для ЭВМ.

В данной работе рассматриваются следующие варианты нагружения упругой системы восстанавливающими силами.

1. Упругая система поочередно нагружается «восстанавливающими» силами. Очередная восстанавливающая сила прикладывается в «ложной» связи с наибольшей отрицательной реакцией. После того как все отрицательные реакции скомпенсированы, восстанавливающие силы поочередно прикладываются в точках с наибольшим отрицательным зазором.

2. Упругая система поочередно нагружается восстанавливающими силами. Очередная восстанавливающая сила прикладывается в точке с наибольшим отрицательным зазором. После того как все «ложные» связи с отрицательными зазорами будут устранены, восстанавливающие силы поочередно прикладываются в «ложных» связях с наибольшей отрицательной реакцией.

3. Упругая система нагружается восстанавливающими силами, приложенными сразу во всех "ложных" связях.

Предложенный метод значительно эффективнее шагового метода последовательных нагружений в случае, когда необходимо проводить большое количество расчетов, в которых зона контакта упругой системы с О.С. меняется незначительно. В отличие от метода «попыток» предложенный метод всегда сходится, т.к. обеспечивает монотонное убывание «ложных» связей.

Математическая модель колебаний линейной упругой системы с инерционными О.С. может быть описана системой уравнений

l

Lu = р(х, t) + ^ df6(x — Xi)Ri(t); (3) i=1

=8(x-xi)Ri(t), 1 = 1,...,L-, (4)

Rt> 0; ВД.Д((0=0 t = l.....L) '(5)

bi(t) = dl-w(xi,t') + föi(x,i)+X(t)+Aoi>0, i = 1, ...,L. (6)

В этих уравнениях введены следующие обозначения: Lu = А^ + В ^ + Си; А, В, С - линейные положительно определенные матричные операторы упругой системы; u(x, t) = {w(x, i), Vj(x, t), v2(x, t)}r - вектор перемещений упругой системы; L; - линейный оператор ¿-ой связи;

üi(x, t) = {iVi(x, t), Vji(x, t). v2i(x< 0}r- вектор перемещений i-ой связи; w(x, t) - нормальные к поверхности перемещения упругой системы; vx (х, i), v2(x, t) - перемещения упругой системы в плоскости перпендикулярной w; u>j (х, t) - нормальные к поверхности упругой системы перемещения i-ой связи (положительное направление iv;(x, t) совпадает с направлением, в котором связь ограничивает перемещение упругой системы); vlr;(x, t), v2i(x, t) - перемещения i-ой связи в плоскости перпендикулярной (уг;р(х,0 = {pw(x, t),ppl(x, t),p^(x, t)]T - вектор внешней нагрузки; L -количество О.С.; б(х — х;) - функция Дирака; Aoi - зазор между i-ой связью и упругой системой в недеформированном состоянии; R,(t) = (#¡(0,0,0}г; Ai(0, Ri(t) - функции зазора и реакции в i-ой связи; X; = - вектор,

определяющий положение точки контакта упругой системы и ¿-ой односторонней связи; di — —1, если связь ограничивает перемещение упругой системы в положительном направлении действия внешней нагрузки pw(x, t), в противном случае dt = 1; - местное не инерционное перемещение в точке контакта упругой системы и ¿-ой связи.

В данной работе О.С. представляются стержнями с закругленными концами. Полное перемещение в О.С. складывается из инерционных перемещений О,-, определяемых одномерной теорией распределения упругих волн в стержнях, и местных неинерционных перемещений ^¿(t), вычисляемых по формуле Герца. Линейный дифференциальный оператор таких О.С. имеет вид

LА = , (7)

где rhi.SiBi - погонная масса, площадь поперечного сечения и модуль упругости ¿-ой О.С.

Уравнения (3)-(4) являются системой интегральных уравнений. Их решения можно представить в виде

l t

u(x, t) = u0(x, t) + up(x, 0 + ^T di I Ri(t)uci(x, t - r)dr;

(8)

L

U;(x,t) = U0i(x,t) + J RiddÜaiXi.t - T)di

В этих уравнениях введены следующие обозначения: и0(х, £) - решение однородного уравнения Ьи0 = 0 с граничными и начальными условиями исходной задачи; иР(х, £) ~ решение уравнения ЬиР = р(х, С) с граничными условиями исходной задачи и нулевыми начальными условиями; иС((х, £;— — г) — у2а}Т ~ фундаментальное решение задачи Коши (функция

Грина) от нормальной нагрузки, которое при Ь > т > 0 удовлетворяет

однородному уравнению Luci = 0 с граничными условиями исходной задачи и полуоднородными начальными условиями вида иС|- = 0, = 6;, при t = г, где 6( = {6((х - х;), 0,0}т; uoi(x, t) - решение однородного уравнения Luoi = 0 с граничными и начальными условиями исходной задачи; uci(x, t — г) = (vvGi, 0,0}т - функция Грина для t-ой связи.

В работе предлагается реакции в О.С. разлагать в ряд Л (г) = Ха=о rafa(T) > гДе /а(г) _ финитные функции. В нашем случае применялись кусочно-линейные и кусочно-квадратичные финитные функции. Используя это разложение и выражения (3)-(6), получим следующую систему уравнений для момента времени tK = а ■ At:

(V + Z + Ла)га — Да = da; (9)

Rf > 0; Af > 0; R? • Af = 0, / = 1,...,^ (10)

где da = -(Д0 + + Sa"]rß + D(wq -f + w0a); K^ - матрицы

размерности L X L, элементы которых определяются по формуле К"? = didj [ß{f)WGj{ta — r,Xj)dr, Л" - диагональная матрица, элементы

которой определяются по формуле Sf = Xf/Rf; ra = {Rf, вектор реакций в О.С. в момент времени ta; Аа - вектор зазоров между упругой системой и односторонними связями в момент времени ta\ V = \a=ß (Уч = didj fa(T)wGj(t а — Ъ Xi)dr); D - диагональная матрица, элементами которой являются параметры Wg = {w0(xj, ta),..., w0(Xi, ta), ...,w0(xL, ta-)}7" - вектор нормальных составляющих решений однородного уравнения Lu0 = 0 в точках контакта упругой системы с О.С. в момент времени ta; w" - {wP(x1(ta).....WpiXi.ta),..., wP(xL,ta)}T - вектор

нормальных составляющих решений неоднородного уравнения LuP = р(х, t) в точках контакта упругой системы с односторонними связями в момент времени ta; Д0 - вектор зазоров между недеформированной упругой системой и О.С.; w^ - вектор нормальных составляющих решений однородных уравнений L,ü0i = 0 для О.С. в точках контакта О.С. и упругой системы в момент времени ta; Saß - диагональные матрицы, элементы которых определяются по формуле SfJ3 = f^jj+1 ( г) Wci (ta — ix,)dr); Z-диагональная матрица, элементы которой определяются по формуле Z;, =

Süa = t fa(T)wGi(ta - T.xJdT).

La— 1

Система (9)-(10) разрешима относительно векторов реакций га и зазоров Аа, если известны векторы реакций гß (ß = ОД,..., а — 1). Поэтому векторы г" и Аа определяются последовательно для а = 1,2, ...,т. Векторы реакций и зазоров в начальный момент времени г° и Д° определяются из статического расчета в начальный момент времени.

Система (9)—(10) аналогична системе (2), поэтому ее можно решать методами, применяемыми для статического расчета упругих тел с О.С.

Если число узловых точек по времени (т) очень большое, то расчет будет невозможен из-за недопустимо большого объема памяти, необходимого для хранения матриц К"*7. В связи с этим промежуток времени, на котором ищется решение, разбивается на интервалы. Переход от одного интервала к другому сопровождается переходом к новому отсчету времени. Каждый интервал начинается с времени Г0 = 0. При переходе от одного интервала времени к другому матрицы КаР не изменяются.

При переходе на новый отсчет времени в конце каждого интервала необходимо пересчитывать решения и и^. Выбор длины временного интервала осуществляется из условия обеспечения минимального времени расчета при допустимом для компьютера объеме оперативной памяти для хранения матриц влияния.

Предложенный метод позволил эффективно решать задачи колебаний упругих систем с О.С. высокой жесткости на большом промежутке времени. Метод основывается на теории соударения упругих систем, учитывающей местные деформации, предложенной Тимошенко С.П. и получившей развитие в работах Бидермана В.Л.

Во второй главе «Изгибные колебания балок с односторонними связями» исследуются колебания балок с О.С. с помощью метода, разработанного в первой главе. Изучена сходимость получаемого решения. Приводится сравнение расчетов с экспериментальными данными. Описана методика расчета, учитывающая инерцию вращения сечений балки и деформацию поперечного сдвига. Проводится анализ влияния этих факторов на реакции в О.С. и перемещения точек балки.

Дифференциальный оператор изгибных колебаний тонкой балки с учетом диссипации имеет вид

д2 ( ди/\

где Е1, т - изгибная жесткость и погонная масса балки; а, /? - параметры демпфирования.

Оператор (11) описывает упруго-вязкую модель демпфирования. Такая модель предполагает зависимость поглощающих свойств балки от частоты процесса а>ъ. Однако экспериментально установлено, что рассеяние энергии не зависит от о>ь- Поэтому в расчетах обычно применяют эквивалентную упруго-вязкую модель, поглощающие свойства которой соответствуют реальному объекту. С этой целью вводится линеаризованный параметр диссипации р = у/(2лшь), где у - приведенный коэффициент поглощения, зависящий от материала, амплитуды и формы относительной деформации.

Эквивалентную упруго-вязкую модель можно применять при гармонических колебаниях.

дш

+ СС7П— , (11)

При свободных колебаниях балки с О.С. возбуждаются полигармонические колебания с частотами, равными собственным частотам колебаний балки. Упруго-вязкую модель для таких колебаний использовать нельзя.

Введем следующие допущения: 1) динамическая модель колебаний балки квазилинейна, т.е. нелинейные факторы, связанные с диссипативными силами, пренебрежимо мало влияют на собственные формы колебаний; 2) диссипативные связи между собственными формами колебаний балки отсутствуют, т.е. не происходит перекачки энергии между различными собственными формами колебаний, обусловленной нелинейными диссипативными силами.

В этом случае для принятого уровня идеализации диссипативных свойств упругой системы для каждой собственной формы колебаний можно применить эквивалентную упруго-вязкую модель демпфирования.

Используя такую модель, можно получить линеаризованные параметры диссипации для каждой собственной формы. Для свободных колебаний ßi—\t/if(2где i- номер собственной формы колебаний. При установившихся вынужденных колебаниях ßi — \|ь/(2;гшь).

Методы, основанные на разложении решения по собственным формам колебаний, позволяют их применять при различных законах внутреннего трения(см. Бидерман B.JL, «Теория механических колебаний»). Для этого необходимо на основе экспериментальных данных задавать коэффициенты демпфирования каждой собственной формы колебаний. В данной работе параметры диссипации каждой гармоники определялись по формуле

где у , s — коэффициенты, которые уточняются экспериментально.

Такое представление параметров ßi дает лучшее совпадение результатов расчета с экспериментом. Если рассматриваются свободные колебания балки с О.С., то значение коэффициента s должно быть близко к единице. При установившихся вынужденных колебаниях балки с О.С. значение коэффициента s близко к двум.

Формула (12) используется при определении функций влияния u0(x, t), uP(x, £) и uGi(x, t — г) для балки методом разложения решения по собственным формам колебаний.

В работе численно и экспериментально исследовались свободные колебания стальной балки с одной О.С. Параметры балки: I = 0,27 м; Ь = 0,02 м; h = 5 • 10~4 м. Один конец балки заделан, а другой - свободен. Расстояние от заделки до О.С. = 0,08 м. О.С. представляет собой круглый стержень диаметром 0,01 м и длиной 0,035 м. Стержень на конце закруглен сферической поверхностью. Зазор между О.С. и недеформированной балкой Д0= 2 • Ю-3 м. Начальное перемещение свободного конца балки принималось равным w0(l) = 0,03 м. Это перемещение создавалось силой, приложенной к свободному концу балки.

По результатам расчетов и эксперимента процесс взаимодействия балки с О.С. происходит следующим образом. После того как балка подходит к О.С., происходит многократное касание и отрыв балки от О.С. с очень малым временем отрыва (дребезг). Такие отрывы будем называть кратковременными. Затем балка отходит от связи на время значительно большее, чем время кратковременных отрывов. Время, в течение которого происходит контакт балки и О.С. с множеством кратковременных отрывов в дальнейшем, будем называть временем взаимодействия. В процессе свободных колебаний происходит более 12 взаимодействий рассматриваемой балки с О.С. (рис. 2). В расчетах и эксперименте фиксировались кратковременные отрывы с временем отрыва t0 > Ю-4 с.

Рис. 2. Зависимость времени взаимодействия tB от номера взаимодействия: 1 - расчет (s = 1,15, \|/ = const = 0,02); 2 - нижняя и верхняя границы доверительного интервала (р=95%) экспериментальной зависимости

На рис. 3 представлена расчетная зависимость числа кратковременных отрывов N0 от параметрам. На рис. 4. представлены результаты экспериментальных исследований. Результаты приведены для первого взаимодействия балки с О.С.

M

ЛГЯ

20-1S-10

ЛГ,

J.0 1.2

1.4

2.0

11

12 13 !•> IS 16

Рис.3. Расчетная зависимость числа Рис. 4. Экспериментальна гистограм-кратковременных отрывов N0 от ма: М- количество испытаний, параметра s (\|/. = 0,02) в которых наблюдалось N0 отрывов

Точность получаемого решения зависит от числа удерживаемых в решении собственных форм колебаний балки N и интервала времени между узловыми точками At. Необходимое значение N определяется путем численного исследования сходимости решения. Как показывают расчеты, выбор N в первую очередь зависит от соотношения жесткостей упругой системы н односторонних связей. Это соотношение оценивается коэффициентом

К = max(kf/ kf), (13)

где kf - жесткость О.С. с номером i; kf - жесткость балки в точке под О.С. с номером /.

Точность расчета определялась по силе взаимодействия балки с О.С.

Сходимость функционального ряда А'д,({) оценивалась коэффициентом

/>»Ю-%-,(<)!■*

где Rn (t), /?дг_1 (t) - реакции в О.С., которые определялись при учете в решении N и N -1 членов ряда соответственно, Т - время первого взаимодействия балки с О.С.

На рис. 5 представлена зависимость %(/V) для различных значений коэффициента К.

Рис. 5. Сходимость решения в зависимости от числа удерживаемых в решении членов ряда N: 1- К=102; 2 - К=103; 3 - К=104; 4 - К=105

Относительная точность определения реакции в односторонней связи оценивалась также параметром

/>,М|Л

где ßi(t), й0,з (0 - реакции в О.С., определяемые при шаге между узловыми точками, равном At и 0,5At соответственно.

Анализируя точность определения ß(t), можно сделать следующие выводы:

1) если в расчете использовать кусочно-линейные финитные функции, то для обеспечения точности около 3 % шаг At можно определять по формуле

2л

At = ^-, (16)

где сотах - максимальная собственная частота, используемая в решении;

2) расчет, в котором используются кусочно-постоянные финитные функции, даст точность около 3 %, если

2л

At = —--. (17)

150 сотах

Балка с жесткими О.С. при колебаниях подвержена импульсным нагрузкам. В связи с этим было исследовано влияние деформации поперечного сдвига и инерции вращения сечений балки на ее колебания и реакции в О.С. В качестве уравнений, описывающих колебания балки, использовались уравнения С.П. Тимошенко.

По результатам расчетов можно сделать следующие выводы: 1. Если жесткость О.С. на несколько порядков выше жесткости балки, то при её свободных колебаниях инерция вращения сечений и деформация

поперечного сдвига влияют на реакции в О.С. и перемещения точек балки даже при малых значениях /г/1.

2. Учет инерции вращения сечений и деформации поперечного сдвига приводит к уменьшению амплитуды высокочастотных осцилляций реакции в О.С.(рис. 6).

3. Увеличение жесткости О.С. повышает влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига на реакции в О.С. и перемещения балки при её свободных колебаниях.

Рис. 6. Влияние инерции вращения сечений балки и деформации поперечного сдвига на реакцию в О.С.: 1(2)- расчет без учета (с учетом) инерции вращения сечений и деформации поперечного сдвига

В главе также рассмотрены вынужденные колебания балки с пятью

О.С.

Во третьей главе «Изгибные колебания прямоугольных пластин с односторонним!! связями» рассматриваются свободные и вынужденные колебания прямоугольных пластин с О.С. методом, изложенным в первой главе. Исследуется сходимость решения. Даны рекомендации по выбору метода расчета собственных форм и частот прямоугольных пластин для динамических задач с О.С. повышенной жесткости. Приведены методики расчета собственных форм колебаний прямоугольных пластин, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения сечений пластины. Методики основаны на применении метода последовательных приближений и метода Ритца. На основе численных исследований проведен анализ влияния деформации поперечного сдвига и инерции вращения сечений на свободные колебания пластины с О.С. Полученные решения сравниваются с экспериментальными исследованиями.

Дифференциальный оператор изгибных колебании тонких пластин с учетом упруго-вязкой диссипации представляется в виде

L(w(x, t)) = ph—— + /Ш-^-(V2V2w) + aph-^- + DVzV2w , (18) v ut* ot dt

где p - плотность материала пластины; h - толщина пластины; D - изгибная жесткость пластины; a,ß - параметры демпфирования.

Методы расчета колебаний упругих систем, основанные на разложении решения по собственным формам колебаний, позволяют их применять при различных законах внутреннего и внешнего трения. Для этого необходимо на основе экспериментальных данных задавать коэффициенты демпфирования собственных форм колебаний. При вычислении функций влияния пластины внутреннее трение учитывалось с помощью коэффициентов диссипации, определяемых по формуле (12).

Для анализа сходимости решения рассматривались свободные колебания стальной прямоугольной пластины с О.С. Размеры пластины: а — 0,195 мм; b — 0,15 м. На вертикальных границах у пластины реализуются условия шарнирного огшрания. Горизонтальные границы свободны. О.С. расположена посередине пластины и представляет собой цилиндрический стержень диаметром 0,01 м и длиной 0,036 м.

При свободных колебаниях пластина неоднократно взаимодействует с О.С. Ниже исследуется точность определения реакции О.С. при ее первом контакте с пластиной.

На рис. 7 показано влияние числа собственных форм колебаний пластины, учитываемых в решении (N), на реакцию О.С. Расчеты проводились для пластины толщиной /г = 1,25 • 10~"3 м. Зазор между О.С. и недеформированной пластиной Д0= 10~4 м. Начальная деформация пластины обеспечивалась сосредоточенной силой, приложенной посередине пластины. При этом начальное перемещение точки приложения силы Wq — 4 * 10~3 м.

Анализируя рис. 7 можно отметить следующее. При числе форм N < 100 реакция вычисляется неверно. При удерживании в решении 400 собственных форм колебаний реакция имеет высокочастотную составляющую, которая не соответствует действительности. Эти высокочастотные колебания нагрузки уменьшаются с увеличением N. При N = 800 эти колебания незначительны и имеют место только в начале удара пластины об О.С.

Выбор числа N в зависимости от отношения к/а молено осуществлять по рис. 8. На этом рисунке представлена зависимость числа удерживаемых в решении собственных форм N от отношения h/a. Определение N по рис. 8 обеспечивает точность вычисления реакции в О.С. 1%.

Рис. 7. Реакция в О.С. в начале первого взаимодействия: 1 - N = 100; 2 - N = 400; 3 - N = 800; 4 - N = 3600

Рис. 8. Зависимость числа учитываемых в решении собственных форм от отношения к/а (точность определения реакции в О.С. 1%.)

Следует отметить, что задача определения перемещений в пластине при ее взаимодействии с О.С. требует учета значительно меньшего числа собственных форм, чем задача определения реакций в О.С.

Экспериментальные исследования проводились для стальной пластины размерами а = 0,195 м, Ь = 0,148 м, к — 6 • Ю-4 м. Одна сторона с координатой х = 0 и размером а жестко заделана, остальные - свободны. В процессе испытаний пластина совершала свободные колебания. Движение пластины ограничивалось О.С., которая представляет собой цилиндрический

стержень диаметром 0,01 м и длиной 0,036 м. Стержень на конце закруглен сферической поверхностью. Начальная деформация создавалась сосредоточенной силой, приложенной в точке с координатами х = 0,195 м, у = 0,074 м. Начальное перемещение точки приложения силы и/0 = 18 • 10~3 м. Эксперименты проводились для различных зазоров (Д0> 0) и натягов (Д0< 0) между недеформированной пластиной и О.С.

По результатам экспериментов были построены графики зависимости времени взаимодействия пластины с О.С. от номера взаимодействия (рис. 9). Доверительный интервал экспериментальной зависимости вычислялся по критерию Стыодента с вероятностью 95% .

Рис. 9. Зависимость времени взаимодействия пластины с О.С. от номера взаимодействия N (Д0= Ю-3 м, хос ~ 8 • 10~2 м уос — 7,4 • 10~2 м): — х — расчетная зависимость; — нижняя и верхняя границы доверительного интервала экспериментальной зависимости; - ° — математическое ожидание экспериментальной зависимости

При исследовании влияния инерции вращения и деформации поперечного сдвига на свободные колебания пластины и реакции в О.С. использовались уравнения, приведенные в работах Григолюка Э.И., Селезова И.Т. и Сагомоняна А .Я. На рис. 10 представлено влияние этих факторов на реакцию в О.С. при различных значениях толщин пластины к (параметры системы указаны выше). Зазор между О.С. и недеформированной пластиной Д0= Ю-5 м. Начальная деформация пластины обеспечивалась силой, приложенной посередине пластины. Начальное перемещение точки приложения силы №0 — 10~3 м.

Как и следовало ожидать, с увеличением толщины пластины погрешность определения реакции О. С. увеличивается. Однако с увеличением толщины пластины от 5 до 10 мм погрешность уменьшается. Такое уменьшение погрешности можно объяснить следующим образом. С

увеличением толщины пластины высокочастотные составляющие реакции О.С. уменьшаются. При толщине Л = Ю-2 м они практически отсутствуют. Исчезновение высокочастотных составляющих реакции сопровождается уменьшением влияния инерции вращения сечений и деформации попереч-

Рис. 10. Погрешность определения реакции в О.С., полученная в результате неучета инерции вращения сечений и деформации поперечного сдвига

В четвертой главе «Практическое применение разработанных методов для расчета кинематической погрешности волновых зубчатых передач как упругих систем с односторонними связями» предлагаются методики расчета кинематической погрешности (КП) волновых зубчатых передач (ВЗП) с кулачковым и электромагнитным генераторами волн. Численно исследуется кинематическая погрешность этих передач.

Расчет КП ВЗП с кулачковым генератором основан на расчете силового взаимодействия элементов ВЗП. Применяемая методика учитывает: возможность контакта каждой пары зубьев в двух зонах зацепления; возможность двухкромочного контакта зубьев; изменение положения точек контакта зубьев по их высоте; эвольвентный характер профиля зубьев; смещение положения кулачка и гибкого колеса относительно своих осей вращения; изгибные деформации валов гибкого колеса и кулачка.

Расчетная схема ВЗП представлена на рис. 1. Полное силовое взаимодействие упругих элементов ВЗП определяется вектором реакций

R = {Р, F, Q, Q*}r, (18)

где Р - вектор сил взаимодействия тел качения с наружным кольцом гибкого подшипника; F - вектор сил взаимодействия наружного кольца гибкого подшипника с гибким колесом; Q, Q* - векторы сил взаимодействия зубьев гибкого и жесткого колес по рабочей и нерабочей кромкам, соответственно.

Разрешающая система уравнений для определения сил взаимодействия звеньев ВЗП, упругих смещений элементов ВЗП и зазоров в передаче представляется в виде

А - СИ - А.(К) - Д° (0с ) - АХ = 0; (20)

йг > 0, Д(>0, Я^-А^О, 1 = 1.....1\ (21)

<?* = 0 и (2; = 0, если кк < 0, к = 1.....(22)

^ГР; eos -скАХ1 = 0; - ^ P¡ sin <pPí+сЛДГ! = 0; (23)

Í = 1 Í=1 N za N zg

^ Pi cos <pP. cos cpFn = 0; ^ Pi sin (pP. - ^ Fn sin yFn = 0; (24)

¡= 1 71 = 1 ¡=1 71=1

^ Fn cos <pFn - ^ <?k sin(.<Pek ~ «fc) - ^ <?£ sin( + a¿) - cAY3 = 0 (25)

n=l k=1 fc=l

гс Zc

Fn sin - J] Ok cos(<pCjt - afc) + ^ QÍ cos(<pGfc + a¿) - сДУ3 = 0 (26)

n=l k=l k=l

Zc Za

^ Qkrk cos ak - ^ Q¿rfe* cos ajj = MB, (27)

k=l k=l

где С - матрица податливости ВЗП; А - вектор зазоров в ВЗП; R - вектор реакций в ВЗП; X(R) = 0, Xq, Xq} - полный вектор контактных (местных) податливостей между элементами ВЗП; А0 (0с ) - вектор зазоров (натягов) между недеформированными звеньями ВЗП; X = {Д^, ДУ1( АХ2, ДУ2, АХ3, ДУ3, ©"} - вектор смещений кулачка (Д^, ДУ,), наружного кольца гибкого подшипника (АХ2, ДY2), гибкого колеса (ДХ3, ДУ3) относительно центра жесткого колеса и поворота жесткого колеса относительно кулачка (©в); А - матрица, учитывающая влияние вектора X на зазоры между звеньями ВЗП; ск - жесткость опоры кулачка; с - жесткость опоры гибкого колеса; Мв - момент на выходном валу; ©с - угол поворота гибкого колеса относительно кулачка; гк, гк — радиусы, на которых происходит контакт fc-ой пары зубьев жесткого и гибкого колес по рабочей и нерабочей кромкам; ак, ак - профильные углы жесткого колеса на радиусах гк,гк\ <рР., <ррп, (рСк -угловые координаты точек возможного контакта звеньев передачи; N - число тел качения гибкого подшипника; ZG - число зубьев гибкого колеса; L - общее число точек возможного контакта.

Уравнения (20-21) описывают волновую передачу как упругую систему с односторонними связями.

Выражение (22) отражает невозможность контакта зубьев, если нет захода зубьев (Ь.к(у1>к) < 0), где \Ук - радиальное перемещение к-го зуба гибкого колеса.

Уравнения (23-27) отражают условия равновесия кулачка, наружного кольца гибкого подшипника и гибкого колеса.

Зазоры по рабочей кромке между зубьями определяются на различных радиусах. На одном из радиусов зазор между /с-ым зубом гибкого колеса и зубом жесткого колеса минимален. В дальнейшем считается, что на этом радиусе происходит контакт между двумя рассматриваемыми зубьями. Полученный таким путем радиус взаимодействия зубьев гибкого и жесткого колес по рабочей кромке в дальнейшем обозначается гк. Аналогично определяются радиусы контакта зубьев по нерабочим кромкам зубьев гк.

При определении КП ВЗП необходимо вычислять углы поворота выходного вала (ГК) при заданных углах поворота входного вала (кулачка). Эти углы определяются с помощью силового расчета, который выполняется при неподвижном кулачке. В этом случае зона зацепления при повороте звеньев ВЗП относительно кулачка меняется незначительно. Порядок решения задачи следующий:

1. Задается угол поворота гибкого колеса ©с;

2. Задается нулевое приближение величин гк,гк,ак,ак,\нк (к = 1, ...,2С) и вектора А,;

3. Из системы (20 - 27) исключаются уравнения, отражающие совместность перемещений зубьев, в которых заход отсутствует;

4. Считая величины гк,гк,ак,ак, юк (к = 1, ...,2С) постоянными, из сокращенной системы (20 - 27) определяется вектор неизвестных реакций К, смещений X и зазоров А. Эта задача решается предложенным в первой главе методом, основанном на введении восстанавливающих сил;

5. Определяется новое приближение гк,гк,ак,ак1\нк (к = 1,... ,2С) и вектора А,;

6. Итерационный процесс заканчивается, когда значения векторов неизвестных величин Я и Хс заданной точностью совпадают с их значениями на предыдущей итерации. В противном случае итерационный процесс повторяется с пункта 3.

Углы поворота гибкого и жесткого колес, полученные в результате силового расчета, обозначены с верхним индексом Н, который означает неподвижное звено. Углы поворота входного (кулачка) и выходного (ГК) звеньев относительно неподвижного звена (ЖК) определяются по формулам: 0| ©£ = -©£, (28) где ©д - угол поворота жесткого колеса относительно кулачка (определяется из силового расчета ВЗП); ©£ - угол поворота гибкого колеса относительно кулачка (задается при силовом расчете).

Кинематическая погрешность определяется по формуле

Ъп„ = ДС(©!-^) . (29)

где Rg — радиус делительной окружности ведомого колеса (ГК); ©с - действительный угол поворота ведомого колеса; ©я - действительный угол поворота входного вала; U - среднее передаточное отношение ВЗП.

В данной работе выявлены две причины собственной КП ВЗП:

- неэвольвентный характер зацепления, обусловленный деформацией основной окружности гибкого колеса и кромочным контактом зубьев;

- изменение деформации гибкого колеса из-за перекатывания тел качения гибкого подшипника относительно большой оси кулачка.

Как показывают расчеты, для ВЗП-80 с четным числом зубьев наибольшая собственная кинематическая погрешность передачи, вызванная незвольвентным характером зацепления, Fior = 0,03 -г 0,01 мкм. Для передачи с нечетным числом зубьев Fior = 0,006 -г 0,001 мкм. Колебания передаточного отношения ВЗП-80, вызванные незвольвентным характером зацепления, не превышают 1,5 % для передачи с четным числом зубьев и 0,75 % для передачи с нечетным числом зубьев.

Наибольшая кинематическая погрешность, вызванная перекатыванием тел качения, в зависимости от момента на выходном валу меняется в пределах Fior = 0,8 4-1,8 мкм для передачи с четным числом тел качения. Для ВЗП-80 с нечетным числом тел качения Fior = 0,05 ч- 0,4 мкм. Максимальное отклонение передаточного отношения при номинальном моменте 100 Н-м, вызванное перекатыванием тел качения, составило 8 % (для передачи с четным числом тел качения).

В работе рассматривается влияние погрешностей изготовления деталей на КП ВЗП. В расчетах учитываются только погрешности, влияющие на точность установки кулачка. Принимается, что погрешности деталей являются случайными величинами с равномерным и нормальным законами распределения. Исследуемая система является нелинейной. Поэтому расчет проводится методом статистических испытаний (Монте-Карло).

На рис. 11 представлена зависимость максимальной кинематической погрешности Fior ВЗП-80 от смещения центра кулачка ен относительно центра жесткого колеса. Эта зависимость существенно нелинейная. Максимальная кинематическая погрешность до некоторого значения ен увеличивается незначительно. Затем Fior резко возрастает.

Выявлено, что при больших значениях смещения кулачка вц в некоторые моменты времени все зубья одной из двух полуволн выходят из контакта. Переход к одноволновому зацеплению сопровождается резким увеличением максимальной КП.

На рис. 12 показано влияние формы кулачка на кинематическую погрешность. Рассматривались три формы: 1 - w(<p) = w0 cos 2q>; 2 - форма

коль-ца, нагруженного 4-мя силами под углом /?; 3 - wijp) = w0 cos 2<р—

Рис. 11. Наибольшая кинематическая погрешность ВЗП-80: 1 - Мв = 1 Н • м; 2 -Мв = 10 Н • м; 3 - Мв = 50 Н • м; 4-Мв = 100 Я -м;

60 50

АО 30 20 10

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Рис. 12. Влияние формы кулачка на наибольшую кинематическую погрешность ВЗП-80 (Мв = 10 И ■ м): 1 - w0 = 0,48, К = 0, 2 -Д = 25°;

3 - w0 = 0,48, К = 0,04

Из рис. 12 видно, что применение кулачка с формой vv(ip) = w0 cos2<p — К sin2 2<р значительно снижает наибольшую кинематическую погрешность ВЗП при смещении кулачка в пределах 70 -s- 110 мкм.

На рис. 13 представлены результаты численного исследования влияния класса точности деталей на кинематическую точность передачи.

60

50 >

40

30

20 10 0

5 6 7 8 9

Рис. 13. Кинематическая погрешность ВЗП-80 (риск 0,27 % , Мв = 10 Н • м): 1 (2)- двигатель нормальной (повышенной) точности

В разделе 4.2 рассматривается КП торцевой ВЗП с электромагнитным генератором волн. Генератор состоит из электромагнитов равномерно расположенных по окружности (рис 14). Движение толкателей управляется электромагнитами. Напряжение на катушки подается таким образом, чтобы создавалась волна деформации в гибком колесе.

6

Рис. 14, Торцевая волновая зубчатая передача с электромагнитным генератором: 1 - жесткое колесо; 2 - гибкое колесо-пластина; 3 - катушка электромагнита; 4 - толкатель электромагнита; 5 - выходной вал; 6 - ограничитель движения толкателя

Система уравнений, описывающая движения элементов торцевой ВЗП управляемой электромагнитами может быть записана в виде

d2w(q, t) д , , „ 3w(q, t) _ , , ч

ph + ßD — (V V w(q, 0) + ccph ^ + DV2V2w(q, t) =

m zf zf

Y, - 4MO + £ 5(q " qj)Qbj<t) + ^ ^(ч ~ Яj)M0j(.f); (30) k=i j=i 3;=i d2wTk(t)

mT dt2 = -Pfc(t) + Ak(t) + Ffc(t) + smTg, k = 1.....M; (31)

Q;(t)>0, AqJ(t)>0, Qj(t)-Aq/(t) = 0, j-1.....zf\ (32)

Qj(.t)> 0, A*;(t) > 0, Q'j(t)-Atqj(t) = 0, / = 1.....Z/; (33)

Pk(t)>0, APk(t) > 0, Pk(t) • Apk(t) = 0, y = l.....M; (34)

Wfc(t)>0, ANk(t~) > 0, Wk(0 ■ AjvfcCO = 0, = 1.....M; (35)

Uk(t) = ikR + L-£, FfcC0 = /Crffc)ifc(0- Л = 1.....W; (36)

а2э

JnV~ö^=MR-MB, (37)

где w(q, t) - функция перемещений точек гибкого колеса; q = {г, <р) -вектор, определяющий положение точек гибкого колеса; Pk(t)~ сила взаимодействия толкателя к-го электромагнита и гибкого колеса; Qb¡ — проекция на нормальную к поверхности пластины ось главного вектора сил, действующех на j-ый зуб гибкого колеса со стороны зубьев жесткого колеса; <2; (О. С?) СО - силы взаимодействия зубьев гибкого и жесткого колес по рабочей и нерабочей кромкам соответственно; M0; (t) - главный момент сил, действующий на j-ый зуб гибкого колеса со стороны зубьев жесткого колеса; Aqj(t), Agy(t) - зазоры между зубьями гибкого и жесткого колес по рабочей и нерабочей кромкам соответственно; М- число электромагнитов; Zf — число зубьев гибкого колеса; тт- масса толкателей; wTk (t) - функция перемещения к-го толкателя; Fk(t) - электромагнитная сила, действующая на fc-ый толкатель; Nk{t) - сила, действующая на к-ый толкатель со стороны ограничителя движения; Jnp - момент инерции привода, приведенный к выходному валу; APk(t) - зазор между толкателем к-го электромагнита и гибким колесом; ANk(t) - зазор между толкателем к-то электромагнита и ограничителем движения; 0 - угол поворота выходного вала (жесткого колеса); Мв - момент сопротивления на выходном валу; MR — момент, действующий на жесткое колесо со стороны зубьев гибкого колеса; f(dk) - экспериментальная функция; L - индуктивность электромагнита; ík - сила тока в к-ом электромагните; dk(t) - функция воздушного зазора в к-ом электромагните; R - активное сопротивление обмотки электромагнитов; Ufc(t) - функция напряжения, подаваемого на fc-ый электромагнит; s -параметр, определяющий расположение электромагнитов (s = 1(0), если электромагниты расположены вертикально (горизонтально)).

Уравнения (30), (31) описывают изгибные колебания гибкого колеса, выполненного в виде круговой пластины и движение толкателей.

Неравенства (32-35) выражают условия одностороннего контакта между: зубьями гибкого и жесткого колес по рабочим и нерабочим кромкам; толкателями и гибким колесом; толкателями и ограничителями движения.

Электромагнитное равновесие в обмотке электромагнитов и их тяговую силу описывают уравнения (36).

Уравнение (37) описывает движение выходного вала, совершающего вращательное движение.

К системе (30 - 37) добавляются начальные и граничные условия элементов передачи.

Для решения разрешающей системы уравнений используется метод расчета колебаний упругой системы с О.С., описанный в первой главе.

Численно и экспериментально исследовалась передача со следующими параметрами: модуль зацепления - 0,5 мм; число зубьев гибкого (жесткого) колеса - 362(360); число электромагнитов - 8; активное сопротивление обмотки электромагнитов - 42 Ом; число витков обмотки электромагнитов - 720.

Как показывают расчеты и эксперимент, максимальная частота подачи напряжения на каждую пару электромагнитов v = 8 ... 9 Гц. Максимальный нагрузочный момент на выходном валу на этих частота МЬтах = 10 Нм. При этом подаваемое на электромагниты напряжение [/=12 В.

Ошибка углового положения выходного вала волновой передачи определяется по формуле A0(t) = Ъъ • t — 0(t), где &)b - средняя угловая скорость выходного вала, 0(t) - функция угла поворота выходного вала. Угол поворота выходного вала (жесткого колеса) 0(t) определяется из разрешающей системы уравнений (30 - 37). График изменения A0(t) представлен на рис. 15.

Рис. 15. Изменение ошибки углового положения выходного вала торцевой ВЗП с электромагнитным генератором волн: Мь = 10 Н м; у=8,8 Гц; [/=24 В; М=8; /пр = /вых ( /вых - момент инерции выходного звена)

Основные результаты работы

1. Разработан эффективный метод статического расчета упругих систем с односторонними связями, объединяющий положительные качества известных шаговых и итерационных методов расчета подобных систем. Наибольший эффект предложенного метода проявляется при расчете упругих систем с большим числом односторонних связей (от сотен до тысяч односторонних связей) и многократных вычислениях при небольших изменениях параметров системы.

2. Разработан метод динамического расчета ударного нагружения существенно нелинейных упругих систем с односторонними связями, позволяющий эффективно решать многомерные задачи, в которых жесткость односторонних связей на несколько порядков выше жесткости упругой системы. Метод основывается на теории соударения упругих систем, учитывающей местные деформации, предложенной Тимошенко С.П. и получившей развитие в работах Бидермана В.Л.

3. Уточнено тестовое решение С.П.Тимошенко об ударном взаимодействии шара с балкой. На основе результатов численных расчетов показано, что в процессе удара шар с балкой взаимодействует не два, а три раза.

4. Выявлен характер нестационарного взаимодействия тонких балок и прямоугольных пластин с наложенными на них односторонними связями повышенной жесткости. Показано, что такое взаимодействие сопровождается дребезгом, т.е. частыми кратковременными отрывами в пределах одного взаимодействия.

5. Установлено влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига сечений тонких балок и пластин на их свободные колебания, ограниченные односторонними связями повышенной жесткости. В расчетных примерах связи представлялись в виде стержней с закругленными концами. Показано, что даже при малых значениях к/1 инерция вращения и деформация поперечного сдвига сильно влияют на реакции односторонних связей, уменьшая их высокочастотные осцилляции.

6. На основе разработанных методов созданы математические модели и методики определения кинематической погрешности волновых передач с кулачковым и электромагнитным генераторами волн. Предложенные методики и модели позволяют с высокой точностью определять кинематическую погрешность волновых передач на стадии проектирования, т.е. до того как появится возможность проведения дорогостоящих натурных экспериментальных исследований.

7. Выявлены причины собственной кинематической погрешности волновой зубчатой передачи с кулачковым генератором волн. Первая их них вызвана нарушением эвольвентного характера зацепления в связи с деформацией гибкого колеса. Вторая обусловлена движением тел качения гибкого подшипника относительно большой оси кулачка.

8. Установлено, что:

а) максимальная собственная кинематическая погрешность радиальных волновых зубчатых передач с кулачковым генератором волн имеет небольшие значения. Например, для ВЗП-80 эти значения не превышают 1,8 мкм, что составляет менее 10% от общей кинематической погрешности передачи;

б) максимальная собственная кинематическая погрешность у волновых зубчатых передач с нечетным числом тел качения примерно в четыре раза меньше, чем у передач с четным числом тел качения;

в) зависимость максимальной кинематической погрешности F¿r от смещения кулачка ен имеет существенно нелинейный характер. Максимальная кинематическая погрешность F¡„ до некоторого значения смещения кулачка ен увеличивается незначительно. Затем F'hr резко возрастает. При больших значениях смещения кулачка ен в некоторых положениях все зубья одной из двух полуволн выходят из контакта. Переход к одноволновому зацеплению сопровождается резким увеличением максимальной кинематической погрешности;

г) повышение технологической точности деталей ВЗП-80 с 9-го до 7-го квалитета позволяет уменьшить максимальную кинематическую погрешность примерно в 1,7 раза. В тоже время повышение точности деталей с 7-го до 5-го квалитета уменьшает максимальную кинематическую погрешность примерно в 1,1 раза;

е) применение кулачка, профиль которого определяется по формуле w(cp) = w0 cos(2<p) - К sin2 (2<р), где w0 = 0,48; К = 0,04, снижает наибольшую кинематическую погрешность передачи ВЗП-80 примерно в два раза, если основные детали передачи изготовлены по 7-8 квалитету точности, а передача нагружена моментом до 10 Н- м.

9. Показано, что собственная кинематическая погрешность торцевой волновой зубчатой передачи с электромагнитным генератором волн имеет большие значения. Так для торцевой передачи с 8-ю толкателями и диаметром гибкого колеса 90 мм она составила 314 мкм, что существенно выше собственной кинематической погрешности радиальных волновых зубчатых передач с кулачковым генератором.

Основные публикации по теме диссертации

1. Люминарский И.Е. Расчет упругих систем с односторонними связями: Монография. - М.: МГИУ, 2006. - 308 с.

2. Люминарский И.Е. Метод расчета силового взаимодействия шара и балки при поперечном ударе // Известия вузов. Машиностроение. -1999. - №2. - С. 20-26.

3. Люминарский И.Е. Расчет колебаний упругих систем с инерционными односторонними связями // Известия вузов. Машиностроение. - 2006. -№6.-С. 8-14.

4. Люминарский И.Е. Собственная кинематическая погрешность волновой зубчатой передачи // Машиностроение и инженерное образование. - 2008. - №2. - С. 53-56.

5. Люминарский И.Е. Влияние деформации поперечного сдвига и инерции вращения на колебания балок с односторонними связями большой жесткости // Известия вузов. Машиностроение. - 2008. - №9. - С. 3-10.

6. Люминарский И.Е. Люминарский С.Е. Расчет кинематической погрешности волновой зубчатой передачи как упругой системы с односторонним контактом звеньев // Известия вузов. Машиностроение. -2008,-№8.-С. 9-19.

7. Люминарский И.Е. Люминарский С.Е. Метод расчета линейных систем, ограниченных односторонними связями, при статическом нагружении // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. - 2009. - №2. -С. 84-89.

8. Клеников С.С., Люминарский И.Е., Семин И.И. Расчетная модель волновых передач с учетом несимметрии нагружения элементов по волнам зацепления // Вестник машиностроения. - 1993. - № 1. -С. 17-19.

9. Клеников С.С., Люминарский И.Е,, Люминарский С.Е. Шаговый поиск опорных систем нагруженных односторонних связей методом введения восстанавливающих сил // Известия вузов. Машиностроение. - 1987. -№7. - С. 34-40.

10. Клеников С.С., Люминарский И.Е. Силовое взаимодействие упругих элементов нагруженных сдвоенных волновых зубчатых передач

// Вестник машиностроения. - 1988.-№ L-C. 17-20.

11. Агамиров В.Л., Клеников С.С., Люминарский И.Е. Распределение нагрузок между элементами сдвоенной волновой передачи при ее сборке // Вестник машиностроения. - 1986. - № 10. - С. 17-20.

12. Люминарский И.Е. Динамика упругих систем с односторонними связями большой жесткости // Естественные и технические науки. -2003.-№2.-С. 11-21.

13. Люминарский И.Е. Расчет колебаний упругих систем с односторонними связями повышенной жесткости // XV симп. Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем: Сборник трудов. Москва - Звенигород, 2006. - С. 187-192.

14. Люминарский И.Е. Численные методы решения интегрального уравнения, описывающего удар шара по балке // Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологий: Сборник науч. докладов международной конференции. - М., 2006. - С. 73-77.

15. Люминарский С.Е„ Люминарский И.Е. Исследование погрешности установки кулачка в волновой зубчатой передаче ВЗП-80 // Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологий: Сборник науч. докладов международной

конференции. - M., 2006. - С. 77-81.

16. Люминарский И.Е., Люминарский С.Е, Семин И.И. О положительной определённости матриц упругих систем с односторонними связями

// Сб. н. тр. -М.: МАСИ (Втуз-ЗиЛ), 1995. - С. 76-81.

17. Люминарский И.Е., Люминарский С.Е. Собственная кинематическая погрешность волновых зубчатых передач с кулачковым генератором волн // Сб. н. тр. - М.: МАСИ (Втуз-ЗиЛ), 1995. - С. 49-52.

18.Теоретическое исследование влияния зазоров и податливостей на силовое взаимодействие элементов нагруженного волнового редуктора МВЗ-160 / С.С. Клеников, М.Н. Иванов, B.C. Сергеев,

И.Е. Люминарский И Волновые зубчатые передачи и механизмы: Межвуз. сб. -М.; Моск. инж. - строит, ин-т, 1985. - С. 75-89.

19. A.c. СССР № 1442772. Зубчатое колесо волновой передачи

/ С.С. Клеников, Ю.С. Иванов, И.Е. Люминарский, И.И. Семин // Б.И. - 1988. -№ 45.

20. A.c. СССР № 1595117. Генератор волновой передачи / С.С. Клеников, Ю.С. Иванов, И.Е. Люминарский, И.И. Семин, C.B. Решетников

// Б.И. - 1990. - № 15.

Люминарский Игорь Евгеньевич

Разработка научных методов расчета нестационарного взаимодействия тонкостенных элементов с жесткими односторонними связями и математических моделей волновых передач

Автореферат

Подписано в печать 15.09.09 Формат бумаги 60x84/16

Усл. печ. л. 2,0, Уч.-изд. л. 2,25. Тираж 100. Заказ № 422

Издательство МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16 www.izdat.msiu.ru; e-mail: izdat@msiu.ru; тел. (495) 677-23-15

Введение

Глава 1. Методы расчета упругих систем с односторонними связями

1.1. Сравнение методов статического расчета упругих систем с нелинейными односторонними связями

1.1.1. Шаговый метод последовательных нагружений

1.1.2. Метод попыток

1.1.3. Метод продолжения решения по параметру

1.1.4. Мытоды, основанные на минимизации функционала энергии

1.1.4.1. Метод приведенного градиента

1.1.4.2. Метод проекционного градиента

1.1.4.3. Метод штрафа

1.1.4.4. Классические Лагранжевы методы

1.1.5. Статический расчет силового взаимодействия звеньев волновой зубчатой передачи

1.2. О положительной определенности матриц упругих систем с односторонними связями

1.3. Метод введения восстанавливающих сил

1.4. Поперечный удар шара по балке

1.4.1. Сравнение методов численного решения интегрального уравнения, описывающего поперечный удар шара по балке

1.4.2. Динамический расчет взаимодействия шара и балки при поперечном ударе

1.5. Динамический расчет линейных упругих систем с упругими односторонними связями

1.5.1. Расчет систем с неинерционными односторонними связями

1.5.2. Расчет систем с инерционными односторонними связями

1.6. Выводы

Глава 2. Изгибные колебания балок с односторонними связями

2.1. Колебания тонких балок

2.1.1. Математическая модель колебаний

2.1.2. Определение собственных частот и форм изгибных колебаний балки

2.1.3. Оценка достоверности результатов расчета

2.1.4. Численные и экспериментальные исследования

2.1.4.1. Свободные колебания

2.1.4.2. Вынужденные колебания

2.2. Влияние деформации поперечного сдвига и инерции вращения на колебания балок с односторонними связями большой жесткости

2.3. Колебания балок с инерционными односторонними связями, выполненными в виде стержней с закругленными концами

2.4. Выводы

Глава 3. Изгибные колебания прямоугольных пластин с односторонними связями 3.1. Колебания тонких пластин

3.1.1. Математическая модель колебаний

3.1.2. Определение собственных частот и форм колебаний тонкой прямоугольной пластины

3.1.2.1. Метод последовательных нагружений

3.1.2.2. Метод Ритца

3.2.2.3. Метод конечных элементов

3.2.2.4. Метод конечных разностей

3.1.3. Сравнение методов определения собственных форм и частот прямоугольной пластины

3.1.4. Численные исследования сходимости получаемого решения

3.1.5. Расчет контактной системы

3.1.6. Вынужденные колебания пластин с односторонней связью

3.1.7. Экспериментальные исследования колебаний пластины с односторонней связью 180 3.2. Влияние деформацию сдвига и инерцию вращения на колебания пластины с односторонними связями большой жесткости

3.2.1. Математическая модель

3.2.2. Определение собственных частот и форм колебаний

3.2.2.1. Метод последовательных нагружений

3.2.2.2. Метод Ритца

3.2.3. Численные исследования колебаний пластины типа

С.П. Тимошенко с односторонней связью

Актуальность проблемы. Системы с односторонними связями широко применяются для решения разнообразных технических задач. К ним относятся, например, вантовые и другие строительные конструкции с односторонними связями, оболочки, односторонне взаимодействующие с упругой средой или упругим заполнителем, многослойные конструкции. В машиностроении рассматриваемые связи содержат элементы вибротехники — рабочие органы пневмоинструментов, виброгасителей колебаний и т.п. Односторонний характер взаимодействия деталей проявляется в зубчатых механизмах. Важность учета такого контакта зубчатых колес особенно проявляется в волновых зубчатых передачах. Одностороннее взаимодействие проявляется в контактных системах. Это различные электромагнитные и пьезоэлектрические реле, герметизированные магнитоуправляемые контакты, контакторы.

При проектировании миниатюрных контактных систем для обеспечения их надежности, долговечности, быстродействия необходимо изучить колебательные явления в подвижных односторонне взаимодействующих упругих элементах.

Математические модели систем с односторонними связями имеют переменную структуру и описываются соотношениями, которые содержат как равенства, так и неравенства. К системам с переменной структурой можно отнести: системы, между элементами которых наблюдается сухое трение; детали, подверженные упругопластической деформации; детали, в которых в процессе деформации развиваются трещины.

Реальные конструкции, как правило, сложные объекты. Особые трудности при расчете конструкций связаны с учетом взаимодействия ее элементов. Одним из самых распространенных подходов к решению таких задач является способ расчленения системы на составляющие части с последующим определением неизвестных сил их взаимодействия. Если связи между элементами односторонние, этот способ решения, по-видимому, наиболее предпочтителен.

Путем расчленения механических систем могут быть получены решения для широкого класса задач нестационарных колебаний. Этот способ весьма эффективен при расчете балок, пластин и оболочек, контактирующих друг с другом и с односторонними связями.

Развитие машиностроения и ряда других областей техники требует решения задач в области изучения динамической прочности механических систем, подверженных интенсивным силовым воздействиям. В связи с широким применением в современной технике тонкостенных конструкций, сочетающих в себе высокую прочность и низкую металлоемкость, задачи контактного деформирования балок, пластин и оболочек являются актуальными. Актуальность данной задачи также связана с автоматизацией производства, которая требует использования надежных и эффективных методов расчета узлов и деталей различных машин.

Состояние вопроса. Первые исследования систем с односторонними связями были представлены еще Гауссом, Лагранжем, Фурье и Остроградским. Эти исследования завершились формулировкой для этих задач принципа возможных перемещений и применением его для некоторых простейших задач.

Одним из первых расчеты конструкций с односторонними связями в общей постановке выполнил М. Геллер [184]. Он исследовал статически неопределимые системы, у которых некоторые лишние связи являлись односторонними. Геллер вполне правильно видел основную трудность расчета систем с односторонними связями в том, чтобы отыскать среди возможных систем действительную, отвечающую заданной нагрузке. Критерии правильности нахождения действительной системы, которые ввел Геллер, следующие: 1) усилия во всех односторонних связях, найденные из уравнений упругости, должны быть не отрицательными; 2) зазоры по направлению односторонних связей должны быть положительными.

Однако Геллер не решил основную проблему систем с односторонними связями — нахождение действительной системы. Указания Геллера сводятся к тому, что нужно путем подбора найти систему, которая удовлетворяет указанным выше двум условиям. Эта система и будет действительной.

Развитию методов статического расчета упругих систем с односторонними связями посвящены работы И.М. Рабиновича [142-145]. Рабинович указывает на два метода поиска действительных рабочих систем. Согласно первому методу поиск начинается с приближенного задания рабочей системы. Затем производится проверка усилий и зазоров в односторонних связях. Согласно ее результатам рабочая система корректируется, т.е. включаются или выключаются некоторые односторонние связи. Описанный процесс повторяется до тех пор, пока очередная проверка покажет, что зазоры во всех односторонних неработающих связях и усилия во всех работающих связях будут неотрицательными.

Описанный метод можно назвать методом последовательных попыток. Поскольку в указанном методе поиск действительной рабочей системы не носит целенаправленного характера, то рост числа односторонних связей в системе приводит к резкому возрастанию количества вариантов «ложных» рабочих систем необходимых для пересчета, что значительно увеличивает время расчета. В [142] показано, что число таких вариантов для системы, в состав которой входит L односторонних связей, будет равно 2Ь. Следует отметить также, что описанный метод может не сходится. При численной реализации этого метода есть возможность зацикливания расчета.

Идея второго метода предложенного И. М. Рабиновичем, состоит в том, чтобы рабочую систему, найденную для какой-либо нагрузки О, использовать для определения рабочей системы, отвечающей нагрузке Р. При этой методике разыскиваются последовательно сменяющие одна другую действительные рабочие системы для суммарной нагрузки F = (l - v)0 + vP в процессе постепенного возрастания множителя v от нуля до единицы. Увеличение коэффициента v производится по шагам. Каждый шаг заканчивается сменой рабочей системы, т.е. включением в работу или выключением из работы одной или нескольких односторонних связей. Поэтому этот метод можно назвать шаговым методом последовательных нагружений. И.М. Рабинович рассматривает этот метод на примере шарнирно опертой балки с тремя односторонними связями. К недостатку метода относится тот факт, что приходится перебирать все промежуточные рабочие системы, не пропуская ни одной, которые образуются в процессе увеличения коэффициента v от нуля до единицы. Это обстоятельство может приводить к значительному увеличению машинного времени, в случае большого числа односторонних связей.

Новый этап в развитии теории расчета статически неопределимых систем с односторонними связями начался со времени использования методов математического программирования.

В работах [45,133] А.В. Перельмутер и В.Н. Гордеев рассматривают задачу расчета упругой системы с односторонними связями как задачу квадратичного программирования. Вводится функционал потенциальной энергии вида

J(R) - ^RTCR + (р-v;T + д0т )R , (1) np где R — вектор-столбец реакций в односторонних связях (R — векторстрока реакций); С — матрица податливости упругой системы, освобожден* ной от односторонних связей; w — вектор перемещений свободной упругой системы по направлениям односторонних связей от воздействия внешней нагрузки с единичной интенсивностью; р* — интенсивность внешней нагрузки; А0— вектор зазоров между односторонними связями и упругой недеформированной системой.

Действительная система удовлетворяет минимуму функционала (1) при ограничениях вида

- 10

Rj> 0 , j = \,.,L , (2) где Z - число односторонних связей.

Таким образом, задача расчета упругой системы сводится к задаче квадратичного программирования вида min{j(R), R > 0}. (3)

Применив условия Куна—Таккера [73] для задачи (3), Перельмутер приходит к следующей системе равенств и неравенств:

A = CR + Jpw;+A0;

А,. >0, i = l,.,L;

Д,. >0, i = 1,.,Z; (4)

ДД=0, i = 1,.,Z.

Перельмутер в [133] предлагает решать систему (4) методом последовательных нагружений. Суть этого метода заключается в следующем. Пусть состояние системы полностью определено при р = 0, тогда состояние системы при р = р* предлагается получать путем последовательного увеличения р от нуля до р*. Таким образом, система (4) заменяется задачей вида min{F = -р,р* - р > о} A = CR + ^w;+A0;

А, > 0, i = l,.,L; (5)

Rt> 0, i = l,.,L; АД=0, i = \,.,L.

Для решения (5) в [133] предлагается использовать алгоритм Вульфа [115], решающий задачу квадратичного программирования.

Метод, предложенный Перельмутером в [133], имеет тот же недостаток, что и метод Рабиновича. Для того чтобы получить рабочую систему при р = р\ необходимо перебрать все рабочие системы в процессе увеличения р от нуля до р*.

Алфутовым Н.А. и Клениковым С.С. [7] разработан шаговый метод расчета упругих систем с односторонними связями, где вся «история нагружения» системы представляется последовательной совокупностью отдельных этапов ее нагружения. При этом в качестве основных неизвестных задачи на каждом этапе нагружения системы принимаются не сами силы и зазоры между линейно-упругой системы и односторонними связями, а их приращения. Для определения границ смены этапов нагружения авторами разработана процедура линейного нормирования этапных решений.

Разработке алгоритмов статического расчета упругих систем с односторонними связями при действии возрастающей нагрузки посвящены работы [9,140,170,169]. В [9] А.Х. Астрахан для нахождения действительной рабочей системы на каждом шаге нагружения решает задачу квадратичного программирования методом сопряженных градиентов [24]. В работе [140] Л.П. Портаев рассматривает поставленную задачу как задачу линейного программирования.

В работах [112,113] Э.Н. Кузнецов положил в основу исследования свойств систем, содержащих односторонние связи, систему неравенств, которая выражает условия двухсторонних связей и ограничивающие условия, налагаемые на односторонние связи. Совокупность этих равенств и неравенств дает полную информацию о статико-кинематических свойствах системы.

Практическое применение и развитие методов расчета упругих систем с односторонними связями получило в работах [77,83-96,1,117, 118,151,165,168]. В этих работах рассматриваются задачи статического расчета силового взаимодействия элементов волновых передач. Для определения контактных усилий между элементами передачи использовались итерационный [77,86,87,165,168] и шаговый методы [1,7,83,84,8891,94-96,117,118,152].

Отличительной особенностью задач, рассматриваемых в работах [1,90,91], является большое количество односторонних связей. Так, при расчете сдвоенной волновой передачи [1,90] число односторонних связей достигает 500. В связи с этим разработанные алгоритмы предусматривали возможность автоматизации уточнения действительной рабочей системы.

На рис. 1 представлен алгоритм, используемый в работах [1,90], который определяет действительную рабочую систему, вектора сил R и зазоров А между упругой системой нагруженной внешними силами и односторонними связями.

Главным недостатком шаговых методов последовательных нагружений является тот факт, что решение задачи начинается с известного начального положения (положения, при котором известны силы и зазоры между упругой системой и односторонними связями). Таким состоянием, как правило, является положение, в котором реакции в односторонних связях равны нулю. Поэтому в случае расчета подобных систем при фиксированном параметре нагрузки р необходимо построить весь спектр решений от р=0 до р~р*. В задачах с большим числом односторонних связей это приводит к значительному увеличению числа этапов решения, и следовательно, к большим затратам машинного времени. В значительной степени этот недостаток проявляется в том случае, когда необходимо производить множество расчетов, в которых зоны контакта между упругой системой и односторонними связями меняются незначительно. Такие расчеты производятся, например, при оптимизации конструкции. В этом случае выгодно применять итерационные методы поиска рабочей системы, т.к. они начинаются с приближенного задания предварительной зоны контакта, которая потом уточняется по определенному алгоритму. Однако недостатком итерационных методов является возможность зацикливания при расчете. к-к+l нет

Определение реакций и зазоров между упругой системой и односторонними связями к концу решения.

Рис. 1. Блок-схема расчета упругой системы с односторонними связями

- 14В связи со сказанным существует необходимость создания метода расчета упругих систем с односторонними связями, который начинается с задания приближенной зоны контакта и обладает строго доказанной сходимостью, т.е. обеспечивает отсутствие зацикливания при расчетах, если разрешающая матрица податливости (упругости) определена с достаточной точностью (точность расчета матрицы податливости должна обеспечивать ее положительную определенность).

Следует отметить, что применение стандартных методов нелинейного программирования в задачах с односторонними связями может привести к большим затратам машинного времени. Поэтому при разработке методов расчета таких задач желательно использовать частные свойства минимизируемых функционалов и односторонних ограничений.

Особое место в теории расчета систем с односторонними связями занимают задачи, в которых односторонние связи непрерывно распределены по линии или по поверхности. Это задачи о расчете сооружений, опирающихся на односторонние основания, многослойных оболочек и т.д. К такому классу задач относится расчет упругопластических сред и другие задачи, в которых присутствует односторонний контакт сплошных сред.

Широкое распространение при решении задач теории упругости с односторонними краевыми условиями получили вариационные методы [191,185,41]. Эти методы основаны на сведении исходной задачи к эллиптическим вариационным неравенствам или к задаче минимизации некоторого функционала, отвечающим некоторым выпуклым односторонним ограничениям. Этими методами решаются многие задачи пластичности [188,141].

К. Байокки и А. Капело в [20] рассматривают следующие три задачи.

Задача 1

Найти и0 > 0, такое, что

А(и0)-р>0 и (А(и0)-р,и0) = 0.

Задача 2 Найти u0<e К, такое, что F{u0)<F{v), для Vv е К, где F(v) = ^(A(u),v)-(p,v)

Задача 3 Найти и0е К, такое, что {a(u0),u0-v)<(p,uo-v), для VveK.

При формулировке задач 1-3 введены следующие обозначения: А : Н —> Н' линейный непрерывный оператор, где Н' - пространство, сопряженное к гильбертову пространству Н \ К а II - непустое замкнутое выпуклое множество; (a(u),v) = Jw(x)- v{x)dx - скалярное произведение двух D функций, где D — область в n-мерном евклидовом пространстве Rn.

Сведение задач с односторонними ограничениями (задача 1) к вариационным неравенствам основано на следующем утверждении, доказанном в [20].

Утверждение

Пусть оператор^ положительный и симметричный,- множество неотрицательных элементов, тогда задачи 1-3 эквивалентны и имеют единственное решение.

Сущность вариационных методов рассмотрим на примере изгиба балки под действием распределенной нагрузки р{х). На некотором расстоянии а от балки находится жесткое препятствие. При достаточно большой нагрузке р{х) будет существовать область контакта балки с препятствием. Для случая жестко заделанной по краям балки такая задача записывается в следующем виде: 0 <*</; ах и(х)= 0,^ = 0, х = 0,/; (7) ах dx = 0, где и — и — a. и(х) >а, 0 < х < /, где D — изгибная жесткость балки; 1 — длина балки. dAu u)=D——- симметричный и положительный, ах то задача (7) эквивалентна задачами 5-6.

Задача 5 Найти и > 0, такое, что

D^M.p{x)> о и \[*Щй dxA V J {{ dx

Задача 6 Найти и0 е К, такое, что F(u0)<F(v), для Vv е К, 1 ' dAv где F(v) = -D^—vdx - Jp(x)v(x)dx; А о

К- множество достаточно гладких функций таких, что К = jv/v(x)>a,0<x< /,v(x) = ^ = 0,х = 0,/| .

С помощью интегрирования по частям функционал F(v), используемый в задачи 6, преобразуется к виду

F(v) — Z)J ^ dx - J p{x)v(x)dx. 2 о \dx )

Существует несколько подходов к решению задачи 6. Первый подход основан на непосредственном применении методов бесконечномерной оптимизации [124]. Для примера опишем решение задачи 6 методом штрафа [116,149], приведенным в работах [32,33]. Метод основан на замене исходного функционала F(v) функционалом вида

F£(v) = F(v) + ijpE(vXv-«)2^, о где коэффициент штрафа взят в виде

- 17-[в ,v<a.

Решение поставленной задачи, которое обозначается иЕ(х), дает приближенное решение исходной задачи. Уравнение Эйлера, соответствующее задаче минимизации функционала Fe(v), имеет вид да dx D

Уравнение (8) описывает изгиб балки в условиях, когда на расстоянии а от нее находится упругая среда с коэффициентом упру2 гости, пропорциональным S . Случай е —> О соответствует жесткому препятствию.

Для решения нелинейной краевой задачи (8) использовался итерационный процесс вида + 0<х<1, (9) dx D dx

Аналогичный подход используется в работах [97,98,189] для решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием. В работе [97] доказывается сходимость предложенных итерационных методов решения вариационного неравенства с использованием оператора штрафа.

Второй подход к решению вариационных задач заключается в замене бесконечномерных функционалов конечномерными функционалами с дальнейшим применением методов конечномерной оптимизации. Так, например, задача 2 заменяется задачей 7.

Задача 7

Найти uh g Kh, такое, что Для где uh,vh — сеточные функции; Fh{uh\Kh — сеточные аналоги функционала F(u) и выпуклого множества К с параметром дискретизации (например, шагом сетки) h.

В зависимости от природы изучаемой задачи этот подход может принимать различные формы: методы конечных разностей, методы конечных элементов, методы Ритца—Галеркина.

Следует сказать, что непосредственное применение для решения задач 1-3 методов нелинейного программирования может привести к неоправданно завышенным затратам машинного времени. Поэтому иногда приходится разрабатывать методы, учитывающие частные свойства функционала F(v).

Третий подход к решению задач с односторонними ограничениями заключается в представлении решения в виде интегрального уравнения. Так, например, решение задачи (7) представляется в виде и(х)~ Ji?(x)G!(jc,x]yx + M;)(x), (Ю) о где ир{х) — функция перемещений свободной балки от внешней нагрузки р(х); Z?(x) - функция реакций от одностороннего ограничения; Cj(x,x) -функция Грина.

Интегральное уравнение (10) должно удовлетворять условию и(х)>а, 0 <х<1. (11)

В некоторых простейших задачах [53] можно найти точное аналитическое решение задачи (10) — (11). В большинстве же задач решение интегрального уравнения (10) с ограничением (11) ведется численными методами. Опишем один из них.

Функция реакции R(x) представляется в виде ряда

ЯМ = 2>,5(х,ХД (12) i где ) — функция Дирака, Xj =—-—j (в точках с координатами х=0 и

7 L +1 х-а реакция основания принималась равной нулю). Записав уравнение (10) для точек с координатами , задача (10) - (11) сводится к системе неравенств вида

А = u(x)-a = Gr + up -а, А, >0,/ = 1,.Х, ri>0,i = l,.L, (13)

A,r = 0,i = 1 ,.L.

Неравенства (13) аналогичны неравенствам (5) , которые записаны для системы с односторонними связями. Таким образом, задачи деформирования упругих систем, ограниченных жесткой преградой и односторонними связями, описываются одинаковыми по структуре неравенствами.

Описанный метод был применен в работах [1,90,91] при расчетах упругого взаимодействия элементов волновой передачи. К недостаткам описанного метода можно отнести необходимость вычисления функций Грина (j(.r(,xJ для узловых точек сетки, покрывающей возможную область контакта взаимодействующих тел. Это обстоятельство может привести к значительным затратам машинного времени. Однако следует заметить, что для различных методов вычисления функций Грина (метод конечных разностей, методы Ритца-Галеркина, метод конечных элементов и т.п.) можно найти способы экономии машинного времени. Так, например, большинство методов определения функций Грина сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений вида

AGj = 5J , j = \,.,L, (14) где 8/ — дельта Кронеккера.

Поскольку в процессе вычислений векторов GJ матрица А не меняется, то ее приведение к треугольному виду осуществляется один раз, что значительно сокращает затраты машинного времени.

Начало динамического расчета систем с односторонними связями было положено М.В. Остроградским. Он впервые получил уравнения движения систем с односторонними ограничениями [130], которые сейчас в аналитической механике называются системами с неудерживающими связями. М.В. Остроградский указал алгоритм отбора тех связей, которые должны быть приняты во внимание в данный момент времени при интегрировании уравнений движения. Алгоритм М.В. Остроградского основан на слежении за знаками множителей Лагранжа — как только лагранжев множитель в процессе движения меняет знак, то соответствующая связь должна быть отброшена. Поскольку лагранжев множитель является реакцией связи, то условием схода со связи является смена знака реакции в односторонней связи.

Вопросам движения твердых тел с односторонними связями посвящены работы [63,158,74,57-59].

Строгое определение движения системы с односторонней связью дано Дерябиным М.В. в работе [59]. Пусть дана натуральная механическая система с конфигурированным пространством R" =х, на которую наложена голономная идеальная односторонняя связь f(x) > 0. Под движением с односторонней связью понимают отображение х: [0, т] —» R", которое удовлетворяет уравнениям dUdTл dt дху d (дТ\ дТ = F + f(x) = 0, (15) дх ох dt jr = /М>0, (16) ydxj дх где Т — кинетические энергия системы, X — неотрицательный множитель.

В работе [74] А.П. Иванов указывает типы движения систем с односторонними связями. Основные из них следующие: перелеты; "скользящий" режим; сход со связи; удар; касание ограничения.

Перелеты характерны тем, что существует зазор между системой и односторонней связью (Л>0), т.е. связь не нагружена (R=0). При перелетах наличие односторонней связи никак не сказывается на движении системы.

Скользящий режим движения соответствует нагруженному состоянию односторонней связи (R > 0; А = 0). На этом режиме в уравнения движения необходимо добавить реакцию односторонней связи.

Сход со связи характеризуется уменьшением реакции в односторонней связи до нуля (i? = 0,A = 0) с дальнейшим увеличением зазора между системой и связью. Уменьшение реакции до нуля может происходить плавно и скачком.

Классические условия схода со связи даны в работе [59]. Система с односторонней связью движется по связи, если в процессе движения выполняется условие f(x) = 0. Система сходит со связи в момент времени т, если до этого момента времени система двигалась по связи и для любого достаточно малого е>0 найдется такой момент /Ее(т,т + в], что /(х(тс))> 0. Данное определение схода со связи не представляет конструктивного условия схода со связи.

Фаза удара характеризуется переходом от фазы полета к фазе «скользящего» режима. В начальный момент удара зазор между системой и связью и реакция связи равны нулю. Условия удара в момент времени t = t* следующие:

-22В этом случае, для того чтобы определить движение системы при t>t* необходимо использовать дополнительные уравнения, описывающие природу удара.

Литература, посвященная соударению твердых тел, весьма обширная. Имеются несколько широко известных монографий непосредственно по теории соударения твердых тел [3,5,6,23,29,51,52,60,80,81,131,146].

Первым определить то, как протекает соударение шаров во времени, т.е. найти силу соударения как функцию времени, удалось Г. Герцу [25,60,187]. Его решение основано на квазистатической теории соударения упругих тел, согласно которой соударение считается продолжающимся сколь угодно долго по отношению к периоду первой основной формы колебаний каждого из соударяющихся тел.

Теория Г. Герца относится не только к соударению шаров, но и к случаю прямого центрального удара двух тел, ограниченных в окрестности точки контакта поверхностями второго порядка.

Учет и местной деформации и возникающих при ударе волн для случая продольного соударения стержней со сферическими концами впервые выполнены Дж. Сирсом [194].

Идея Сирса совместного учета местных деформаций и упругих колебаний в соударяющихся телах получила широкое распространение. Применительно к поперечному удару шара по балке она была использована С.П. Тимошенко [156]. Местные деформации С.П. Тимошенко определяет по квазистатической теории Герца, т.е. a = KhrK где (18)

R — сила соударения, Кн — некоторая постоянная, <2— местная деформация при ударе.

Обобщая теорию С.П. Тимошенко на случай одномерной или двумерной упругих систем, B.JI. Бидерман записывает разрешающие уравнение движения относительно силы соударения. Разработке численных методов решения этого уравнения посвящены работы [11,12,26,128,147, 154,159,192,193,44]. Актуальным этот вопрос остается и сегодня.

Вопросам аналитического решения задач об ударе шара по балке и пластине посвящены работы С.А. Зегжды [64-70 ].

Ударному взаимодействию объекта с одномерной средой посвящены работы [119,120]. Используя вариационный принцип Гамильтона, в [119] получены условия контакта упругой среды и сосредоточенного объекта, соотношения справедливые в момент начала и конца контакта. На основании полученных соотношений рассмотрены аналитические решения следующих задач: центральный удар материальной точки по ограниченной покоящейся струне; косой удар материальной точки по бесконечной струне на упругом основании.

Движению твердых тел по шероховатой вибрирующей поверхности посвящена работа Блехмана И.И. и Джанилидзе Г.Ю [31]. В этой работе рассматривается движение частиц по гармонически колеблющейся плоскости без учета и с учетом отрыва частицы.

Ударному взаимодействию твердого тела с ограничителем, которое сопровождается повторными затухающими соударениями посвящена работа Нагаева Р.Ф. [126].

Вынужденным колебаниям упругих тел с одной или несколькими ограничителями посвящена работа [10] Бабицкого В.И. и Крупенина B.JI. В работе рассматриваются приближенные и точные аналитические методы, основанные на методе гармонической линеаризации [34] и на припасовывании решений [131]. Трудоемкость отыскания решений точными методами ограничивает возможность их применения для анализа сложных систем большой размерности. Такие системы исследуются приближенными методами.

Точная постановка задачи об ударе упругих тел рассматривается в работах [105-110,181,182]. В этих работах данная задача рассматривается как смешанная задача динамической теории упругости, которая решается численными методами. Подходы, описанные в этих работах, учитывают переменность площадки контакта в процессе соударения, возможность пластических деформаций в зоне контакта. При переменной площадке контакта на начальном этапе удара скорость расширения области контакта выше скорости продольной волны в упругом теле. В работах А.Г. Горшкова и Д.В. Тарлаковского [48-50] эти особенности учитываются при ударе затупленным твердым телом о поверхность упругого полупространства.

Следует отметить следующее. При ударе шара по балке, пластине, оболочке время начального этапа взаимодействия (этапа на котором скорость расширения области контакта выше скорости продольной волны в упругом теле) на несколько порядков меньше, чем время удара [70]. Однако его учет значительно затрудняет расчеты.

Расчету динамических задач, относящихся к проблеме односторонних связей в деформированных механических системах, посвящены работы [13-16,55,56,103,104,171-179,72,111,122,180].

В работах [13-16,55,56] рассмотрены вопросы вынужденных периодических колебаний стержневых, пластинчатых и оболочечных элементов конструкций с односторонними связями и упругим основанием.

При расчете упругих тонкостенных элементов в этих работах используются уравнения движения, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява. Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее движение упругого тела методом Бубнова-Галеркина сводилось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В работах [13-16,55,56] рассматривались колебания упругих тел с простейшими граничными условиями, соответствующими шарнирному опиранию. Такие граничные условия позволяют решение представлять в виде тригонометрического ряда v{x,y,t)= ^W^^ ' (19) m=1 n=l \ a J \ & ) где a,b- размеры в плане.

Для учета влияния односторонних связей в дифференциальное уравнение вводилось слагаемое iб(х,у,х,y)ks(1 - sign(w(x,y,t)-A0))|w(x,y,t) - A01, (20) где x,y — координаты срединной поверхности упругого тонкостенного тела; w(x,y,i) - функция прогибов; х,у— координата односторонней связи; — коэффициент жесткости односторонней связи; Д0 — зазор между связью и недеформированной пластиной; б(х,>',х,>') — функция Дирака.

Физический смысл слагаемого (20) — сосредоточенная реакция односторонней связи, которая является линейной неинерционной пружиной.

Решение системы нелинейных уравнений относительно коэффициентов Amn(t) базируется на совместном использовании алгоритма продолжения решения по параметру и метода Ньютона-Канторовича. Согласно этому подходу параметр нагружения системы р последовательно увеличивался с шагом Ар. При этом разрешающая система дифференциальных уравнений записывается относительно приращений коэффициентов разложения в тригонометрический ряд AAmn(t). Решение системы дифференциальных уравнений ведется методом конечных разностей. Значения коэффициентов разложения, соответствующих интенсивности нагружения рк+] = рк + Арк, находятся по формуле

Ak::(t) = Akmn(t)+AAlXt)- (21) /t+1 При каждом вновь наиденном значении интенсивности р анализируется функция прогибов упругой системы и устанавливаются моменты включения в работу и выключения из работы односторонних связей. За начальное состояние принимается положение упругой системы с нулевым значением амплитуды р внешнего воздействия, что соответствует

Отметим следующие недостатки метода, предложенного в [16 ]:

1) Точность полученного решения зависит от двух параметров дискретизации: шага последовательного нагружения Ар и шага по времени

At, который использовался при решении системы дифференциальных уравнений методом конечных разностей.

2) На каждом шаге нагружения необходимо производить суммирования рядов (19) для анализа зазоров. Общее количество этих суммирований в процессе решения задачи определяется формулой

K = KrKuL, (22) где L — число односторонних связей; Кр— количество шагов нагружения; К&1 — количество интервалов, на которые разбивается период движения.

3) Методика описана на примере расчета пластин и оболочек с простейшими граничными условиями, позволяющими представлять решение в виде ряда (19).

Необходимость получения более точного решения приводит к уменьшению шагов Ар и At, что в свою очередь может значительно увеличить число суммирований по формуле (19). Это обстоятельство может затруднить расчет по предложенной в работе [16] методике в связи с большими затратами машинного времени.

При заданной точности решения задачи количество суммирований К в первую очередь зависит от коэффициента к = max k' Л кК; = 1,.Х, где к'ос жесткость односторонней связи с номером I; к' — жесткость упругой системы под связью с номером i. В работах Баженова В.А. и др. [16,55,56] рассматриваются системы, в которых коэффициент к меняется в пределах от 0,1 до 3. Если же жесткость односторонних связей на несколько порядков выше жесткости упругой системы (к = 102 -Ю5), то расчет по методике, предложенной Баженовым В.А., затруднен из-за больших затрат машинного времени и большой размерности разрешающей системы линейных уравнений, которая зависит от шага At.

Значительное увеличение времени расчета с ростом коэффициента к также связано с необходимостью учета большого числа членов ряда (19).

В работе Кохманюка С.С. и др. [103] рассматривается решение задач контактного деформирования двух балок конечной длины, подверженных импульсным нагрузкам. Рассмотрена балка, лежащая на однородном упругом основании. Изложено решение задачи о неустановившихся колебаниях прямоугольных пластин на упругом одностороннем основании. Исследовано контактное деформирование системы двух цилиндрических оболочек, вложенных одна в другую, при осесимметричном нагружении. В основе метода решения этих задач -определение контактных давлений между элементами системы. Метод решения перечисленных задач состоит в сведении дифференциальных уравнений движения упругих тел к системе интегральных уравнений относительно коэффициентов разложения в тригонометрический ряд функции перемещений упругого тела.

Одним из допущений, принятых в технической теории колебаний упругих тонкостенных элементов, является предпосылка о бесконечно больших скоростях распространения волн деформации в материалах от места приложения источника динамического возмущения. В то же время известно, что эти скорости конечны.

Влияние конечности скорости волновых процессов в материале на напряженно-деформированное состояние упругих элементов позволяет учесть теория С.П. Тимошенко [156]. Дифференциальные уравнения колебаний балочных систем при этом содержат члены, учитывающие инерцию вращения и искажение поперечных сечений. Подобные уравнения для пластин и оболочек можно найти в работах [54,148]. Решению уравнений колебаний балок, пластин и оболочек, учитывающих инерцию вращения сечений и искажение поперечных сечений, посвящены работы [18,19,27, 28,8,46,47] и др.

При импульсных нагрузках расчет с использованием приближенной теории Кирхгофа-Лява может давать большую погрешность. В связи с этим в работе [103] используются уточненные уравнения движения упругих элементов, которые называются уравнениями типа С.П. Тимошенко. Искомые функции разлагаются в тригонометрические ряды Фурье, которые удовлетворяют условиям шарнирного опирания. Реакция между взаимодействующими балками представляется в виде ступенчатой функции координаты jc

R(x,t) = ±Rp(tiHixP-Х)~Н(Х' (23> р=1 где хр = рАх.

Входящие в выражение (23) неизвестные функции Rp(t) представляются также в виде ступенчатых функций * v - 0 - # (с, - 0L (24)

V=1 где tv = vAt, Rpv — неизвестные постоянные величины.

Представление реакции односторонней связи в виде рядов (23) и (24) позволяет на каждом шаге по времени разрешающую систему интегральных уравнений заменить системами алгебраических линейных уравнений относительно коэффициентов R . Полученные системы отражают совпадение нормальных перемещений взаимодействующих балок в ряде точек, расположенных равномерно вдоль длины в различные моменты времени. Из этих систем последовательно, с использованием итерационного уточнения, для значений v = \,2,.,т находятся коэффициенты разложения R .

Итерационное уточнение производилось для каждого момента времени tv следующим образом. Полученные из решения системы линейных уравнений величины R являются первым приближением. На второй итерации отрицательные значения R приравниваются нулю. На участках, где на предыдущем приближении были нулевые значения R , проверялись зазоры между взаимодействующими балками. Если на некоторых участках были отрицательные зазоры, то на них вводились контактные реакции. После этого переформировывалась система алгебраических уравнений и пересчитывались коэффициенты R . Третье приближение проводилось аналогично второму и т.д. Если величины контактных давлений Rpv на всех участках, отвечающие двум последним приближениям, совпадают, итерационный процесс считается законченным. С помощью описанного итерационного процесса определяются в момент времени tv = vA t реакции и зазоры между балками.

Следует отметить, что итерационный процесс, предложенный в [103], может не сходиться. При численной реализации такого процесса есть возможность зацикливания программы.

В работах Янютина Е.Г. и Ермоленко JI.B. [175,178] рассматривается нестационарное деформирование балки и цилиндрической оболочки на неинерционном упругом одностороннем основании. Распределенная нагрузка r{x,t)со стороны основания описывается функцией где - функция, описывающая изменение жесткости основания вдоль длины балки.

Предлагается два способа решения. Первый способ аналогичен методу, описанному в [103]. Второй способ основан на применении аппарата конечных разностей для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений.

Хотя в работах не дается сравнительной оценки двух методов, следует отметить, что первый способ эффективнее. Это объясняется тем, что во втором способе на каждом временном слое приходится решать конечно-разностную задачу.

В работах [175,178] рассматриваются колебания шарнирно опертой балки на инерционном основании. Расчет этой задачи основан на совместном решение дифференциальных уравнений описывающих колебания балки типа С.П. Тимошенко и уравнений, моделирующих деформирование инерционного основания [150]. Методика решения этих уравнений аналогична методу, описанному в [103].

Методом конечных разностей в [72] решается осесимметричная задача колебаний круговой плиты, лежащей на жестких концентрических опорах, которые расположены по внутреннему и внешнему контуру.

В работе [111] рассматривается задача динамического поведения многослойных оболочек с учетом особенностей контакта слоев. В основу решения положен стандартный метод характеристик [111], который базируется на замене дифференциальных соотношений конечноразностными уравнениями. В уравнениях учитывается местное сближение слоев в точках их контакта, связанное с шероховатостью материала. Это сближение описывается функцией вида X = (хд, где а — коэффициент пропорциональности; 8 — сближение слоев.

В работе Ковтуненко В.А. [99] рассматривается динамическая задача внедрения жесткого штампа в упругопластическую балку, шарнирно закрепленную по краям. Для описания поведения материала балки используется модель пластического течения. Решение поставленной задачи ведется итерационными методами, основанными на методе штрафа [116,42]. Итерационные схемы используют приближенную замену производных конечными разностями. Решение разрешающей системы дифференциальных уравнений каждого временного слоя ведется методом конечных разностей.

В приведенных выше работах не анализируется зависимость точности решения от числа удерживаемых в решении гармоник и шагов дискретизации по времени и по пространственной координате.

В современной литературе описано много методов статического расчета упругих систем с односторонними связями. Однако нигде нет сравнительной оценки эффективности методов. Практически любую корректно поставленную задачу математической физики можно решить численными методами, если не учитывать фактор времени. Поэтому наиболее актуальной остается проблема эффективности методов, т.е. разработка численных схем с высоким быстродействием.

Наиболее эффективными методами динамического расчета упругих систем с односторонними связями, как представляется автору, являются методы, изложенные в работах Кохманюка С.С., Янютина Е.Г., Баженова В.А., Гуляева В.И. [103,104,174-178]. Однако разрешающая система интегральных уравнений в этих работах получается относительно коэффициентов разложения в тригонометрический ряд функции перемещений упругой системы. Такой метод приводит к необходимости на каждом временном шаге решения выполнять суммирование гармоник решения для получения функции перемещений упругой системы. Это обстоятельство ввиду значительного увеличения времени расчета, затрудняет решение задач, в которых жесткость односторонних связей на несколько порядков выше жесткости упругой системы, т.к. в этом случае:

1) значительно уменьшается шаг решения по времени At, что приводит к резкому увеличению количества суммирований гармоник решения, необходимых для получения функции перемещений упругой системы;

2) необходимо суммировать большое число гармоник для получения решения с достаточной точностью.

Методы, предложенные в работах [103,104,174-178], реализованы на примерах, в которых упругие элементы (балки, пластины, оболочки) шарнирно оперты. Математические модели не учитывают внешнее трение и внутреннее трение в упругих элементах. В этих работах не исследуется сходимость решения.

Упругой системой с большим числом односторонних связей является волновая зубчатая передача. Статическому расчету сил взаимодействия звеньев волновой передачи, как упругой системы с односторонними связями посвящены работы Ковалева Н.А., Кленикова С.С., Цейтлина Н.И. и др. Однако для расчета кинематической точности волновых передач методики, предложенные в этих работах, не применялись. Это связано с необходимость усложнения расчетной схемы.

Исследованию кинематической точности волновых зубчатых передач посвящены работы Е.Г. Гинзбурга, И.И. Васильевой, П.К. Попова, И.Л. Смирновой, Г.А. Тимофеева, А.Ф. Фирсанова, Ф.И. Фурсяка, Л.С, Черновой, Л.О. Штриплинга и др.

Влияние многопарности и многозонности зацепления на кинематическую погрешность рассматривалась в работах [37,61,75,121, 136,137,138,160,162,163,164]. Несмотря на противоречивость количественных оценок, во всех работах отмечается, что многопарность зацепления ведет к значительному повышению кинематической точности волновых передач. Степень точности волновой передачи на 2, 3 степени выше точности составляющих передачу колес.

Одним из важных достоинств волновых зубчатых передач, так же как и передач с зацеплением Новикова М. Л. [127], является малая чувствительность передачи к монтажным погрешностям.

Анализу влияния точности изготовления зубчатых колес и основных деталей на кинематическую погрешность волновых передач посвящены работы [40,61,62,79,93,121,136,155,160,161, 162,163,164, 166,167]. В этих работах показано, что основное влияние на кинематическую точность оказывают погрешности генератора волн и деталей, поддерживающих зубчатые колеса. Волновая передача становится чувствительной к точности изготовления зубчатых колес лишь при высокой точности других деталей передачи. Так в работе [79] отмечается, что:

1) повышение точности изготовления зубчатых колес с 9-й по 6-ю при 7-й степени точности прочих основных деталей не приводит к заметному уменьшению кинематической погрешности волновой зубчатой передачи;

2) повышение точности изготовления зубчатых колес с 9-й по 6-ю при 4-й степени точности прочих основных деталей снизило кинематическую погрешность волновой зубчатой передачи в 2 раза.

Таким образом, основными факторами, влияющими на кинематическую точность волновых зубчатых передач являются: многопарность и многозонность зацепления; тип генератора волн; точность изготовления основных деталей передачи и зубчатых колес.

Однако, в виду сложности расчетной схемы, при определении кинематической точности волновых передач многопарность и многозонность зацепления в перечисленных выше работах учитывается приближенно, без определения распределения нагрузок между элементами волновой передачи.

Цель работы. В связи с выше изложенным в данной работе поставлены следующие задачи:

1) провести сравнительную оценку эффективности различных методов статического расчета упругих систем с односторонними связями. Количественную сравнительную оценку провести на примере расчета волновой зубчатой передачи как упругой системы с большим числом односторонних связей;

2) разработать эффективный метод статического расчета упругих систем с односторонними связями;

3) разработать эффективный метод динамического расчета упругих систем с односторонними связями, позволяющий решать задачи, в которых жесткость односторонних связей на несколько порядков выше жесткости упругой системы;

4) применить разработанный метод для расчета колебаний тонкостенных упругих элементов (балок, пластин), ограниченных односторонними связями;

5) проанализировать сходимость решения;

6) разработать метод динамического расчета балок и пластин, ограниченых односторонними связями, учитывающий влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига сечений;

7) оценить влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига сечений на реакции в односторонних связях и перемещения упругих элементов;

8) с целью подтверждения предложенных методов расчета провести экспериментальные исследования;

9) разработать пакет программ, реализующий предложенные в данной работе методы;

10) на основе предложенных методов разработать методику определения кинематической погрешности волновой зубчатой передачи с кулачковым и электромагнитным генераторами волн. Исследовать кинематическую погрешность этих передач.

Научная новизна состоит в следующем:

1) предложен эффективный метод статического расчета упругих систем с односторонними связями;

2) разработан метод расчета колебаний упругих систем с неинерционными и инерционными односторонними связями повышенной жесткости;

3) выявлен характер нестационарного взаимодействия балок и прямоугольных пластин с односторонними связями, выполненными в виде стержней с закругленными концами;

-354) разработаны математические модели и методики для расчета кинематической погрешности ВЗП с кулачковым и электромагнитным генераторами волн;

5) выявлены причины, вызывающие собственную кинематическую погрешность волновой зубчатой передачи. Получена количественная оценка этой погрешности.

Достоверность результатов работы основывается на строгом использовании математического аппарата для расчета рассматриваемых моделей, исследовании сходимости решения, сравнении решений полученных разными методами, а также сравнением результатов расчетов с экспериментальными данными.

Практическая ценность.

1. Разработанные методы позволяют эффективно решать задачи статического и динамического взаимодействия упругих систем с односторонним контактом звеньев.

2. Предложенные методики расчета волновых передач позволяют с высокой достоверностью определять точность работы приводов с волной зубчатой передачей без проведения натурных испытаний.

В первой главе «Методы расчета упругих систем с односторонними связями» проводится сравнение быстродействия различных методов статического расчета упругих систем с нелинейными односторонними связями. Предлагается новый метод статического расчета. Рассматривается метод расчета взаимодействия шара и балки. Описываются методы расчета колебаний упругих систем с неинерционными и инерционными односторонними связями.

Во второй главе «Изгибные колебания балок с односторонними связями» исследуются колебания балки с односторонними связями, выполненными в виде стержней с закругленными концами. Исследуется сходимость решения. Полученные результаты сравниваются с экспериментальными исследованиями. Приводится методика расчета, учитывающая инерцию вращения сечений балки и деформацию поперечного сдвига. Проводится анализ влияния этих факторов на реакции в односторонних связях и перемещения точек балки.

Во третьей главе «Изгибные колебания прямоугольной пластины с односторонними связями» исследуются колебания прямоугольных пластин с односторонними связями, выполненными в виде стержней с закругленными концами. Исследуется сходимость решения. Приведены методики расчета собственных форм и частот прямоугольных пластин, используемые при расчетах. Даны рекомендации по выбору метода расчета собственных форм и частот прямоугольных пластин для динамических задач с односторонними связями. Приведены методики расчета собственных форм прямоугольных пластин, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию сечений пластины. На основе численных исследований проведен анализ влияния деформации поперечного сдвига и инерции вращения сечений на колебания пластины с односторонними связями. Численное решение сравнивается с экспериментальными исследованиями.

В четвертой главе «Практическое применение разработанных методов для расчетов кинематической погрешности волновых зубчатых передач как упругих систем с односторонними связями» предлагаются методики расчета кинематической погрешности волновых передач с кулачковым и электромагнитным генераторами волн. Методики основаны на предложенных методах статического и динамического расчета упругих систем с односторонними связями. Численно исследуется кинематическая погрешность ВЗП-80. Численно и экспериментально исследуется ВЗП с электромагнитным генератором.

В приложении приводятся разработанные программы статического и динамического расчета упругих систем с односторонними связями. Программы сопровождаются подробным описанием и тестовыми расчетами.

Выводы

1. Разработан эффективный метод статического расчета упругих систем с односторонними связями, объединяющий положительные качества известных шаговых и итерационных методов расчета подобных системе. Эффективность предложенного метода существенно проявляется в случае необходимости многократных расчетов упругих систем с большим числом односторонних связей (от сотен до тысяч односторонних связей).

2. Разработан метод динамического расчета ударного нагружения существенно нелинейных упругих систем с односторонними связями, позволяющий эффективно решать многомерные задачи, в которых жесткость односторонних связей на несколько порядков выше жесткости упругой системы. Метод основывается на теории соударения упругих систем, учитывающей местные деформации, предложенной Тимошенко С.П. и получившей развитие в работах Бидермана B.JI.

3. Уточнено тестовое решение С.П.Тимошенко об ударном взаимодействии шара с балкой. Численными расчетами показано, что в процессе удара шар с балкой взаимодействует не два, а три раза.

4. Выявлен характер нестационарного взаимодействия тонких балок и прямоугольных пластин с односторонними связями повышенной жесткости. Показано, что такое взаимодействие сопровождается дребезгом, т.е. частыми кратковременными отрывами в пределах одного взаимодействия.

5. Установлено влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига сечений тонких балок и пластин на их колебания, ограниченные односторонними связями повышенной жесткости. В расчетных примерах связи представлялись в виде стержней с закругленными концами. Показано, что даже при малых значениях h/l инерция вращения и деформация поперечного сдвига сильно влияют на реакции в односторонних связях, уменьшая их высокочастотные осцилляции.

6. На основе разработанных методов созданы математические модели и методики определения кинематической погрешности волновых передач с кулачковым и электромагнитным генераторами волн. Предложенные методики и модели позволяют с высокой точностью определять кинематическую погрешность волновых передач на стадии проектирования, т.е. до того как появится возможность проведения дорогостоящих натурных экспериментальных исследований.

7. Выявлены причины собственной кинематической погрешности волновой зубчатой передачи с кулачковым генератором волн. Первая причина вызвана нарушением эвольвентного характера зацепления в связи с деформацией гибкого колеса. Вторая причина вызвана движение тел качения гибкого подшипника относительно большой оси кулачка.

8. Установлено, что: а) максимальная собственная кинематическая погрешность волновых зубчатых передач с кулачковым генератором волн имеет небольшие значения. Например, для ВЗП-80 эти значения не превышают 1,8 мкм; б) максимальная собственная кинематическая погрешность у волновых зубчатых передач с нечетным числом тел качения примерно в четыре раза меньше, чем у передач с четным числом тел качения; в) зависимость максимальной кинематической погрешности F'or от смещения кулачка ен существенно нелинейная. Максимальная кинематическая погрешность F'or до некоторого значения смещения кулачка ен увеличивается незначительно. Затем F'or резко возрастает. При больших значениях смещения кулачка ен в процессе работы волновой передачи в некоторых положениях все зубья одной из двух полуволн выходят из контакта. Переход к одноволновому зацеплению сопровождается резким увеличением максимальной кинематической погрешности; г) повышение технологической точности деталей ВЗП-80 с 9-го до 7-го квалитета позволяет уменьшить максимальную кинематическую погрешность примерно в 1,7 раза. В тоже время повышение точности деталей с 7-го до 5-го квалитета уменьшает максимальную кинематическую погрешность примерно в 1,1 раза; е) применение кулачка, профиль которого определяется по формуле w{(p) = w0 cos(2(р) -Кsin2{2ф), где w0 = 0,48; К = 0,04, снижает наибольшую кинематическую погрешность передачи ВЗП-80 примерно в два раза, если основные детали передачи изготовлены по 7-8 квалитету точности, а передача нагружена моментом до 10 Н - м.

9. Показано, что собственная кинематическая погрешность торцевой волновой зубчатой передачи с электромагнитным генератором волн имеет большие значения. Так для торцевой передачи с 8-ю толкателями и диаметром гибкого колеса 90 мм она составила 314 мкм, что существенно выше собственной кинематической погрешности радиальных волновых зубчатых передач.

3.3. Заключение

Представленный в диссертации подход к решению задач о колебаниях упругого тела с односторонними связями базируется на совместном применении принципа освобождаемости и принципа Сен-Венана. Принцип освобождаемости разрешает заменять контакт упругой системы и односторонней связи действием силы давления. Принцип Сен-Венана применительно к задаче колебаний упругой системы с односторонними связями означает, что закон распределения давления по площадке контакта упругой системы и односторонней связи не влияет на перемещения упругой системы и односторонней связи вне окрестности точки контакта. Такой подход позволяет реакции односторонних связей считать сосредоточенными силами.

Местные сближения Л(Я) упругой системы и односторонних связей в монографии определяется по теории Герца. Этой теорией можно пользоваться в том случае, когда в месте контакта нет пластических деформаций.

Если в зоне контакта упругой системы и односторонней связи наибольшее контактное давление сгтах > [сг] , где [сг] — давление при котором наступают пластические деформации, то для определения местного сближения л(л) необходимо использовать зависимости отличные от формулы Герца.

В диссертации рассматриваются малые колебания упругой системы (перемещения предполагаются малыми по сравнению с размерами упругого тела, а их первые производные значительно меньше единицы). Такие колебания позволяют использовать линейные уравнения колебаний.

При колебаниях тонкостенных конструкций (балок, пластин, оболочек и т.д.), как правило, рассматривают 3 класса волн [50]: длинные, средние и короткие. Волны считаются длинными, если можно пренебречь инерцией вращения и сдвигом. В случае средних волн эти факторы подлежат учету, но их влияние значительно меньше влияния поперечной инерции. Короткие волны характеризуются тем, что влияние инерции вращения и сдвига имеет порядок, одинаковый с влиянием поперечной инерцией. Из приближенных расчетов прямоугольного стержня с высотой Я h в [50] получены следующие оценки: длинные волны-->40, средние h

X X 8 < — < 40, короткие--<8 (л - длина волны). h h

Если при колебаниях упругой системы с односторонними связями основной вклад в перемещения или реакции односторонних связей вносят длинные волны, то при их определении можно применять уравнения Бернулли — Эйлера, т.е. уравнения, не учитывающие инерцию вращения и сдвиг.

Если при колебаниях упругой системы с односторонними связями средние волны оказывают существенное влияние на перемещения упругой системы или реакции односторонних связей, то при их определении необходимо использовать уравнения С.П. Тимошенко, т.е. уравнения, учитывающие инерцию вращения и сдвиг.

Если при колебаниях упругой системы с односторонними связями короткие волны оказывают существенное влияние на перемещения упругой системы или реакции односторонних связей, то необходимо выполнить анализ точности результатов, полученных на основе уравнений С.П. Тимошенко, или использовать более сложные уравнения теории упругости.

Преобладание тех или иных волн в упругой системе при ее колебаниях с односторонними связями зависит от жесткостей упругой системы и односторонних связей, скоростей соударения, близости расположения односторонних связей и др. факторов. Поэтому окончательный вывод о применимости той или иной модели колебаний упругой тонкостенной системы (балки, пластине, оболочке и т.п.) с односторонними связями можно сделать только после предварительного расчета.

Если расчеты, проведенные по теории Бернулли - Эйлера, показывают существенное влияние средних волн на решение, то необходимо уточнить модель колебаний по теории С.П. Тимошенко.

Если расчет по теории С.П. Тимошенко выявил существенное влияние на решение коротких волн, то необходимо либо оценивать точность модели С.П. Тимошенко, либо использовать более сложные уравнения теории упругости.

1. Агамиров В.Л., Клеников С.С., Люминарский И.Е. Распределение нагрузок между элементами сдвоенной волновой передачи при ее сборке // Вестник машиностроения. - 1986. - № 10. - С. 17—20.

2. Аверьянов А.В. Волновые электромеханизмы / Под ред. B.C. Рыбакова. -М.: Информэлектро, 1970. —63 с.

3. Алабужев П.М., Стахановский Б.Н., Шпигельбурд И.Я. Введение в теорию удара. Новосибирск, 1970. - 157 с.

4. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учебник для строит, спец. вузов. — М.: Высшая школа, 1990.-400 с.

5. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчеты ударных систем. М.: Наука, 1969. - 250 с.

6. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Удар. Распределение волн деформации в упругих системах. М.: Наука, 1985. — 357 с.

7. Алфутов Н.А., Клеников С.С. Расчет сил взаимодействия упругих элементов волновых передач шаговым методом // Вестник машиностроения. 1978. - № 7. - С. 26-29.

8. Аргирос Дж., Шариф Д. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. — Л.: Судостроение, 1974.-С. 179-210.

9. Астрахан А.Х. Расчет конструкций с односторонними связями на переменные нагрузки // Механика стержневых систем и сплошных сред: Межвузовский тематический сборник трудов (Л). — 1980. -Вып. 13. -С. 45-51.

10. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985. - 320 с.

11. Багреев В.В. О численном решении задач удара по методу Сирса -Тимошенко // Труды Моск. ин-та инж. ж-д. транспорта (М). — 1966. — Вып. 225.-С. 305-312.

12. Багреев В.В. Об одном алгоритме расчета упругих систем на действие удара // Труды Моск. ин-та инж. ж-д. транспорта. — М., 1966.- Вып. 225. С. 234-240.

13. Баженов В.А. Вынужденные колебания пластин на одностороннем упругом основании // Проблемы прочности. 1983. — № 3.- С. 101-103.

14. Баженов В.А., Гуляев В.И., Кондаков Г.С. Нелинейные колебания пологой оболочки, односторонне взаимодействующей с упругим основанием // Тезисы докл. XIII Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек; В 4 ч. Таллинн, 1983. — 4.1. - С. 61-71.

15. Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Вынужденные колебания удлиненной цилиндрической панели на одностороннем основании // Прикладная механика. 1985. - № 8. - С. 51-56.

16. Устойчивость и колебания деформируемых систем с односторонними связями / В.А. Баженов, Е.А. Гоцуляк, Г.С. Кондаков и др. Киев: Выща школа. Головное изд-во, 1989.-399с.

17. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Об индексной коммутативности численного дифференцирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1989. — № 5. — С. 662-674.

18. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек. -Н. Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1992. — 159 с.

19. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом. — Н. Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 2000. 118 с.

20. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства: Пер. с англ./ Под ред. В.И. Агошкова. М.: Наука, Физматлит, 1988. - 448 с.

21. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. М.: Диалог-МИФИ, 2000. - Ч. 1. - 448 с.

22. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. -М.: Диалог-МИФИ, 2001. -Ч. 3. -368 с.

23. Батуев Г.С., Голубко Ю.В., А.К. Ефремов А.К.,Инженерные методы исследования ударных процессов. -М.: Машиностроение, 1977. -240 с.

24. Белов Е.Г. Алгоритм решения задачи квадратичного и линейного программирования методом сопряженных градиентов // Стандартные программы решения задач математического программирования (М). — 1970.-Вып. 18. -С. 186-192.

25. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичности. — М.: Машгиз, 1957. -209 с.

26. Блох М.В. О поперечном ударе по балке конечной длины

27. Строительная механика и расчет сооружений. 1968. — № 6. — С. 16-19.

28. Болдечев В.П. О решении статических и динамических задач изгиба пластин средней толщины // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. -1978.-Т. 120.-С. 86-93.

29. Болдечев В.П. Повышение эффективности метода конечных элементов при решении вырождающихся задач // Вопросы динамики и прочности (Рига). 1983. - Вып. 42. - С. 38-48.

30. Бидерман B.JI. Теория удара. — М.: Наука, 1952. 76 с.

31. Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1980.-408 с.

32. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М.: Наука, 1964.-412 с.

33. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. -М.: Изд-во МГУ, 1987. 163 с.

34. Вабищевич П.Н. Численное решение краевых задач для эллиптических уравнений четвертого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1984. — Т. 24. — С. 41-45.

35. Вавилов А.А. и др. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. — М.: Машиностроение, 1970. 567с.

36. Вибрации в технике: Справочник; В 6т. / Под ред. К.В. Фролова. — М.: Машиностроение, 1999.-Т. 1. 504 с.

37. Вибрации в технике: Справочник; В 6т. / Под ред. К.В. Фролова. М.: Машиностроение, 1995.-Т.6. - 456 с.

38. Волков Д.П., Крайнев А.Ф. Волновые зубчатые передачи. Киев: Техника, 1976. - 222 с.

39. Воробьев А.В. Респонсивный привод. — М.: Машиностроение, 1978. -160 с.

40. Гасс С.И. Линейное программирование (Методы и приложения). М.: Физматгиз, 1961.-303 с.

41. Главачек И. Решение вариационных неравенств в механике. — М.: Мир, 1986.-270 с.

42. Голоскоков Е.Г., Филиппов А.П. Нестационарные колебания деформируемых систем. — Киев: Наукова думка, 1977. 339 с.

43. Гордеев В.Н., Перельмутер А.В. Расчет упругих систем с односторонними связями как задача квадратичного программирования // Исследование по теории сооружений (М). — 1967. — Вып. XV. —1. С. 23-29.

44. Гордон J1.K. Расчет и экспериментальные исследования пластин средней толщины / JI.K. Гордон, Я.Г. Скоморовский, Е.Ш. Фридман, Б.А. Шойхет // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 1971. - Т. 95. -С. 142-166.

45. Гордон JI.K. К расчету пластин и оболочек методом конечных элементов // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. — 1972. Т. 99. -С. 168-188.

46. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи для абсолютно жестких тел упругого полупространства: Препринт. -М.: Изд-во Моск. авиац. ин-та, 1989. 48 с.

47. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Результирующие реакции в пространственной задаче об ударе телом по упругому полупространству

48. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - № 5. - С. 21-29.

49. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. — М.: Наука. Физматлит, 1995. 352 с.

50. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. — М.: Стройиздат, 1965. 448 с.

51. Гольдсмит В. Удар и контактные явления при средних скоростях // Физика быстропротекающих процессов; В 2 т. М., 1971. - Т. 2. -С. 21-29.

52. Григолюк Э.И., Толмачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. — М.: Машиностроение, 1980. — 411 с.

53. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. — М.: ВИНИТИ, 1973. — 272 с.

54. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. — Львов: Вища школа, 1982 — 255 с.

55. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем: Учеб. пособие для втузов. -М.: Высшая школа, 1989. 383 с.

56. Дерябин М.В., Козлов В.В. К теории систем с односторонними связями // Прикладная математика и механика. — 1995. — Т. 59. — Вып. 4. -С. 531-539.

57. Дерябин М.В. О реализации неудержевающих связей // Прикладная математика и механика. 1994. - Т. 58. - Вып. 6. - С. 136-140.

58. Дерябин М.В. Общие принципы динамики и теория односторонних связей // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика, механика. 1998. -№ 1. — С. 53-59.

59. Динник А.Н. Удар и сжатие упругих тел // Избранные труды; В 3 т. Киев, 1952. - Т. 1. - С. 420-426.

60. Емельянов А.Ф., Попов П.К., Фирсаев А.Ф. Расчет кинематической погрешности волновой зубчатой передачи с учетом податливости звеньев // Вестник машиностроения. — 1983. № 7. — С. 9-12.

61. Емельянов В.И. Исследование кинематической точности волновых редукторов: Дисс. . канд. техн. наук. -М ., 1972. 155 с.

62. Журавлев В.Ф., Вуфаев Н.А. Механика систем с неудерживающими связями. М.: Наука, 1993. — 239 с.

63. Зегжда С.А. Соударение колец // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. 1. -1986.- Вып. 1.-С. 120-127.

64. Зегжда С.А., Филиппов Н.Г. О соударении цилиндров вдоль их образующих // Вестник Ленингр. ун-та. Сер.1. - 1986. - Вып. 3. -С. 71-77.

65. Зегжда С.А., Вернигор В.Н. О колебаниях балки бесконечной длины под действием сосредоточенной силы // Вестник Ленингр. ун-та. — Сер.1.- 1986.-Вып. 4. -С. 350-357.

66. Зегжда С.А., Вернигор В.Н. Исследование влияния инерции поворота и деформации сдвига при поперечном ударе // Вестник Ленингр. унта. Сер.1. - 1987. - Вып. 2(8). - С. 54-57.

67. Зегжда С.А. Соударение кольца и балки // Колебание и устойчивость механических систем. Л., 1988. - 180 с.

68. Зегжда С.А. Уточненное решение задачи о соударении шаров

69. Прикладные задачи динамики и устойчивости механических систем. — Л., 1990.-272 с.

70. Зегжда С.А. Соударение упругих тел. — СПб.: Издательство С.-Петербургского ун-та, 1997. 316 с.

71. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

72. Златин А.Н., Пупырев В.А. Динамическая реакция круговой пластины на опорах одностороннего действия // Труды Ленингр. политех, ин-та. — 1982.-Вып. 386.-С. 50-55.

73. Зуховский С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. - 410 с.

74. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. - 336 с.

75. Иванов М.Н., ШуваловС.А., Финогенов В.А. Экспериментальное определение количества одновременно зацепляющихся зубьев и величин их деформации в волновой передаче // Известия вузов. Машиностроение. 1968. - № 9. - С. 37-40.

76. Иванов М.Н. Волновые зубчатые передачи. — М.: Высшая школа, 1981.- 184 с.

77. Иванов Ю.С. Разработка методики расчета нагруженности и жесткостных параметров упругих элементов шаговых гидромоторов с волновым зубчатым зацеплением: Дис. . канд. техн. наук. — М., 1991. — 270 с.

78. Иванова Е.А. Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин // Механика твердого тела. 1998. - № 2. - С. 163-174.

79. Истомин С.Н. Кинематическая точность приборных волновых передач

80. С.Н. Истомин, С.А. Шувалов, П.К. Попов и др. — М.: Машиностроение, 1987.-160 с.

81. Кильчевский НА. Теория соударения твердых тел. — Киев: Наукова думка, 1969.-310 с.

82. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел.- Киев: Наукова думка, 1976. 280 с.

83. Киселев В.А. Строительная механика: Спец. курс. Динамика и устойчивость сооружений: Учебник для вузов. 3-е изд., испр. и доп. -М.: Стройиздат, 1980. - 616 с.

84. Клеников С.С. Волновая передача как упругая система с односторонними связями // Известия вузов. Машиностроение. — 1978.- № 10.-С. 51-55.

85. Клеников С.С., Сергеев B.C. Взаимодействие упругих элементов нагруженной волновой передачи с кулачковым генератором

86. Известия вузов. Машиностроение. 1978. - № 11. - С. 40—44.

87. Клеников С.С., Сергеев B.C. О линейном нормировании этапного решения задачи определения нагрузок на зубья и тела качения волновой передачи с кулачковым генератором // Известия вузов. Машиностроение. 1980. - № 4. - С. 45^19.

88. Клеников С.С. Разработка методов и рациональных алгоритмов решения задач статики и динамики силового взаимодействия упругих элементов волновых передач: Дис. .докт. техн. наук. — М., 1989. -387 с.

89. Клеников С.С., Иванов Ю.С. Построение рациональных алгоритмов поиска опорных систем нагруженных односторонних связей (Сообщение 2) // Известия вузов. Машиностроение. — 1986. — № 10. -С. 14-18.

90. Клеников С.С., Люминарский И.Е., Люминарский С.Е. Шаговый поиск опорных систем нагруженных односторонних связей методом введения восстанавливающих сил // Известия вузов. Машиностроение. 1987. -№7.-С. 34-40.

91. Клеников С.С., Люминарский И.Е. Силовое взаимодействие упругих элементов нагруженных сдвоенных волновых зубчатых передач

92. Вестник машиностроения. — 1988. — № 1. С. 17-20.

93. Клеников С.С., Люминарский И.Е., Семин И.И. Расчетная модель волновых передач с учетом несимметрии нагружения элементов по волнам зацепления // Вестник машиностроения. — 1993. — № 1. — С. 17-19.

94. Клеников С.С. Исследование силового взаимодействия упругих элементов волновой передачи: Дис. .канд. техн. наук. — М.: МВТУ, 1974.-158 с.

95. Клыпин А.В. и др. Расчет кинематической погрешности волновой передачи на ЭВМ /А.В. Клыков, П.К. Попов, А.Ф. Фирсаев, А.Ф. Емельянов // Вестник машиностроения. — 1985. № 11. - С. 9-12.

96. Ковалев Н.А. Некоторые вопросы теории волновых зубчатых передач // Машиностроение. 1973. - № 2. - С. 48-53.

97. Ковалев Н.А. О распределении нагрузки по зубьям в волновой передаче // Машиностроение. 1974. - № 5. - С. 44-49.

98. Ковалев Н.А. Передачи с гибкими колесами. — М.: Машиностроение, 1979.-200 с.

99. Ковтуненко В.А. Метод численного решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием // ПМТФ. 1994. - № 5. - С. 142-146.

100. Ковтуненко В.А. Итерационный метод решения вариационных неравенств в контактной упругопластической задаче с использованием метода штрафа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. - Т. 33. - № 9. - С. 1409-1415.

101. Ковтуненко В.А. Численное решение задачи о контакте упругопластической балки для модели Тимошенко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1996. - № 5. - С. 79-84.

102. КоллатцЛ. Задачи на собственные значения с техническими приложениями: Пер. с нем. М.: Наука, 1968. - 504 с.

103. Кончковский 3. Плиты. Статические расчеты / Пер. с пол.

104. М.П. Предтеченского; Под ред. А.И. Цейтлина. — М.: Стройиздат, 1984. -480 с.

105. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. - 720 с.

106. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. -Киев: Наукова думка, 1980. 232 с.

107. Кохманюк С.С. Динамика конструкций при воздействии кратковременных нагрузок / С.С. Кохманюк, А.С. Дмитриев,

108. Г.А. Шелудько, А.Н. Шупиков и др. — Киев: Наукова думка, 1989. — 304 с.-320105. Кравчук А.С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно-упругих телконечных размеров // Прикладная математика и механика. 1977.- Т. 41, Вып. 2. С. 1020-1029.

109. Кравчук А.С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // Прикладная математика и механика. 1978. — Т. 42, Вып. 3. -С. 620-631.

110. Кравчук А.С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Прикладная математика и механика. — 1980. Т. 44, Вып. 1. - С. 732-740.

111. Кравчук А.С. Решение некоторых пространственных контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Трение и износ.-1981.-№ 4.-С. 15-19.

112. Кравчук А.С. Вариационный метод исследования контактного взаимодействия и его реализация на ЭВМ // Расчеты на прочность: Сб. статей / Под ред. Н.Д. Тарабасова (М). 1984. - Вып. 25.-С. 220-241.

113. Кравчук А.С. Вариационный метод в динамических контактных задачах // Механика деформируемых тел и конструкций: Сб. статей. -Ереван, 1985. С. 140-147.

114. Кузнецов А.Д. Динамическое поведение многослойных оболочек с учетом особенностей контакта слоев // Расчеты на прочность и жесткость. 1982. - № 4. - С. 73-84.

115. Кузнецов Э.Н. Введение в теорию вантовых систем. — М.: Стройиздат, 1969. -340 с.

116. Кузнецов Э.Н. Статико-кинематический анализ систем, содержащих односторонние связи // Исследования по теории сооружений. — 1972. -Вып. 19.-С. 320-331.

117. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: Пер. с англ.- М. Л.: ГИТГА, 1951. - 476 с.

118. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. — М.: Советское радио, 1965. 300 с.

119. Лиос Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972.-587 с.

120. Люминарский И.Е. Расчет силового взаимодействия элементов сдвоенной волновой зубчатой передачи с целью определения ее рациональных параметров: Дис. .канд. техн. наук. М., 1987. - 167 с.

121. Люминарский С.Е., Люминарский И.Е. Собственная кинематическая погрешность волновых зубчатых передач с кулачковым генератором волн // Сб. науч. трудов МАСИ. М.: МАСИ, 1995. С. 47-53.

122. Маланов С.Б., Уткин Г.А. Ударное взаимодействие сосредоточенного объекта с одномерной упругой системой // Прикладная математика и механика. 1988. — Т. 52, Вып. 1. — С. 42-46.

123. Маланов С.Б., Уткин Г А. Косой удар материальной точки по бесконечной струне на упругом основании // Прикладная математика и механика. 1988. - Т. 52, Вып. 5. - С. 881-883.

124. Малышев А.П. Переходные процессы в оболочке с расслоениями

125. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. -№ 6. - С. 101-105.

126. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие.- 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Физматлит, 1989. — 608 с.

127. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы / Пер. с фр. и предисловие А.И. Штерна. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 488 с.

128. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970. 476 с.-322126. Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями. — М.: Наука. Физматлит, 1985. — 200 с.

129. Новиков M.JI. Зубчатые передачи с новым зацеплением. -М.: ВВИА им. Н.Е.ЖуковскогоД958. — 180 с.

130. Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении / Под ред. С.Д. Пономарева. М., 1950. - 703 с.

131. Осташявичюс В.В., Рудгальвис Б.В., Рагульскене B.J1. Контактные системы. — Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1978. -279 с.

132. Остроградский М.В. Полное собрание трудов. М.: Наука, 1966. - 327 с.

133. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. — М.: Наука, 1977.-223 с.

134. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. — М.: Физматлит, 1960. 193 с.

135. Перельмутер А.В. Использование методов квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями // Исследование по теории сооружений (М). -1972. Вып. XIX. -С. 250-257.

136. Писаренко Г.С., Матвеев В.В., Яковлев А.П. Методы определения характеристик демпфирования колебаний упругих систем. Киев: Наукова думка, 1976. — 86 с.

137. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. -М.: Физматлит, 2001. 576 с.

138. Попов П.К. Исследование положения выходного вала волновой зубчатой передачи: Дисс. . канд. техн. наук (05.02.02). М., 1972. -190с.

139. Попов П.К., Фирсаев А.Ф.,Шувалов С.А. Математическая модель процесса возникновения кинематической ошибки в волновой зубчатой передаче // Труды МВТУ. 1978. - № 287 - Прочность и надежность деталей машин. — С. 50-55.

140. Попов П.К., Штриплинг JI.O. Динамическая модель возникновения кинематической погрешности волновой зубчатой передачи // Известия вузов. Машиностроение. — 1986. №1. - С. 46-50.

141. Попов П.К. Расчетно-экспериментальное обеспечение точности зубчатых передач: Дис. .докт. техн. наук. — М.: МВТУ, 1996. 241 с.

142. Портаев Л.П. Расчет систем с односторонними связями на возрастающую нагрузку // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1978.-№ 1.-С. 21-28.

143. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 340 с.

144. Рабинович И.М. К теории вантовых ферм// Техника и экономика путей сообщения. 1924. — № 1. — С. 12-15.

145. Рабинович И.М. Некоторые вопросы теории сооружений, содержащих односторонние связи // Инженерный сборник. АН СССР. 1950.-Т. VI.-С. 43-49.

146. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем. Ч. II. М.: Госстройиздат, 1954. - 390 с.

147. Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями. — М.: Стройиздат, 1975. 220 с.

148. Размадзе Г.Н. Инженерные вопросы теории удара. Расчет элементов конструкций на удар в пределах упругих деформаций. М.: Наука, 1959.-150 с.

149. Расчеты на прочность в машиностроении; В 3 т. / Под ред. С.Д. Пономарева. М., 1959. - Т. 3. - 380 с.

150. Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. — М.: Изд-во МГУ, 1985. 416 с.

151. Семин И.И., Люминарский И.Е., Люминарский С.Е. О положительной определенности матриц упругих систем с односторонними связями // Сб. науч. трудов МАСИ. -М.: МАСИ, 1995. С. 41-48.

152. Сергеев В.В. Силовое взаимодействие элементов волновых передач с кулачковым и роликовым генераторами: Дис. . канд. техн. наук. — М., 1975.- 137 с.

153. Сергеев B.C. Силовое взаимодействие элементов стандартных волновых зубчатых передач и напряженно-деформированное состояние гибкого колеса с учетом податливости звеньев и начальных зазоров: Дис. .канд. техн. наук. — М., 1985. 191 с.

154. Скляр В.А., Филиппов А.П. Колебания стержней и плит при ударе // Динамика и прочность машин: Респ. межвед. научно-техн. сб. (Киев). 1967. - Вып. 6. - С. 156-168.

155. Тимофеев Г.А. Разработка методов расчета и проектирования волновых зубчатых передач для приводов следящих систем: Дис. . .докт. техн. наук. М.: МВТУ, 1997. - 351 с.

156. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М. - Л.: Машиностроение, 1967. — 444 с.

157. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.-401 с.

158. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. — М.: Наука, 1994. — 285 с.

159. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. — М.: Машиностроение, 1970. 734 с.

160. Фирсаев А.Ф. Разработка и исследование приводов подач высокоточных станков с ЧПУ на базе волновых зубчатых передач: Дисс. . канд. техн. наук. -М., 1983. 168 с.

161. Фурсяк Ф.И., Скворцова Н.А., Тимофеев Г.А. Степень влияния ошибок изготовления волновой зубчатой передачи на ее кинематическую точность // Труды МВТУ. 1976. - № 227, вып.7 -Теория механизмов. — С. 8—13.

162. Фурсяк Ф.И., Скворцова Н.А., Тимофеев Г.А. Степень влияния ошибок изготовления волновой зубчатой передачи на ее кинематическую точность // Теория механизмов. — 1976. Вып. 3. -С. 14-17.

163. Фурсяк Ф.И. Анализ действующих погрешностей волновой зубчатой передачи // Труды МВТУ. — 1981. № 352, вып.9 - Теория механизмов. - С. 86-94.

164. Чернова JI.C., Гинзбург Е.Г. О влиянии накопленных погрешностей окружного шага зубчатых колес на кинематическую точность двухволновой передачи при наличии многопарного зацепления

165. Волновые зубчатые передачи: Тез. докл. научн.-техн. конф. ЛВИКА им. А.Ф. Можайского, Л., 1969. - С. 45-49.

166. Цейтлин Н.И., Рафолович Л.Б. Алгоритмы упруго-силового взаимодействия деталей волновой зубчатой передачи // Расчеты на прочность (М). -1980. Вып. 21. - С. 243-254.

167. Шамирян-Пахлеванян Р.И. Кинематическая точность малонагруженных волновых зубчатых передач: Дисс. . канд. техн. наук. М., 1971.-174 с.

168. Шамирян-Пахлеванян Р.И. Влияние погрешностей изготовления основных деталей и нагрузки на кинематическую точность волновых зубчатых передач // Волновые зубчатые передачи: Тез. докл. Всес. симпозиума.-М., 1973.-С. 105-108.

169. Шульгин Ю.Б. Геометрическая интерпретация расчета конструкции содержащей односторонние связи // Механика стержневых систем и сплошных сред: Межвуз. темат. сб. тр. — Л.: ЛИСИ, 1979. — С. 23—28.

170. Янютин Е.Г. Нестационарное деформирование упругого пространства с расширяющейся сферической полостью // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - № 6. - С. 86-89.

171. Янютин Е.Г. Нестационарное деформирование балки на упругом основании переменной жесткости // Проблемы машиностроения. — 1984.-Вып. 22.-С. 11-17.

172. Янютин Е.Г. Нестационарное деформирование упругого пространства с полостью, подкрепленного замкнутой сферической оболочкой // Прикладная механика. 1984. -№ 4. - С. 23-27.

173. Янютин Е.Г. Балка на упругом одностороннем однослойном инерционном основании // Динамика и прочность машин. — 1985. Вып. 42.-С. 37—43.

174. Янютин Е.Г. Нестационарное деформирование балки конечной длины на инерционном одностороннем основании / АН УССР. Ин-т проблем машиностроения. — Харьков, 1985. 13 с. (Деп. в ВИНИТИ 31.10.85, №7603).

175. Янютин Е.Г. Нестационарное деформирование цилиндрической оболочки, односторонне контактирующей со средой // Проблемы машиностроения. 1985.-Вып. 23. —С. 6-11.

176. Янютин Е.Г. Нестационарное деформирование замкнутой сферической оболочки в среде, сопротивляющейся только вдавливанию // Проблемы машиностроения. — 1986. — Вып. 25. — С. 31—37.

177. Янютин Е.Г., Ермоленко Л.В. К исследованию нестационарных продольных колебаний низа бурильной колонны / АН УССР. Ин-тпроблем машиностроения. — Харьков, 1989. 11 с. (Деп. в ВИНИТИ 25.04.89, № 2686).

178. Янютин Е.Г., Светличная С.Д. Нестационарное упругое плоское неосесимметричное деформирование многослойного цилиндра / АН УССР. Ин-т проблем машиностроения. Харьков, 1990. - 16 с. — Деп. в ВИНИТИ 06.02.90, № 658.

179. Adams G.G. Moving loads on elastic strips with one-sided constraints // J. Eng. Sci. 1970. — V. 14. -№ 12.-P. 1071-1083.

180. Asano Naoki. A hybrid type of virtual work principle for impact contact problems of two bodies // Bull. JSME. 1986. - Vol. 29, № 252.-P. 45-51.

181. Asano Naoki. A penalty function type of virtual work principle for impact contact problems of two bodies // Bull. JSME. 1986. - Vol. 29. -№ 257. - P. 15 -24.

182. Ascione Luigi, Bruno Domenico, Olivito Renato S. On dynamical behavior of plates in unilateral contact with an elastic foundation: a finite element approach // Atti Accad. naz. Lincei. Rend.Cl. sci. fis., mat. e. natur. -1984. V. 76, № 2. - P. 93-106.

183. Geller J.M. Beitrag zur theorie veranderlich gegliederten und gestutiten // Sisteme. Der. Eisenbau. 1922. - № 8, 9. - S. 37 - 46.

184. Fichera G. Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: in problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno // Mem. Accad. Naz. Lei. Lincei. 1964. -№ 8. - P. 91-140.

185. Goldfard D., Idnani A. A numerically stable dual method for solving strictly convex quadratic programs // Mathematical Programming. 1983. — №27.-P. 1-33.

186. Hetz H. Uber die Beriihrung fester elastischer Korper // Zs. f. Math. (Grelle). — 1881. Bd 92.-S. 31-39.

187. Powell M.J. D. TOLMIN: A fortran package for linearly constraihed optimization calculations: DAMTP Report NA2, Cambridge, University of Cambridge, (England), 1989. P. 65-79.

188. Signorini A. Questioni di elasticity non linearizzata о semilinearizzata //Rend. Mat. 1959.-V. 18, №4.-P. 95-131.

189. Schwieger H. A simple calculation of the transverse impact on beams and its experimental verification // Exptl. Mech. 1965. — Vol. 5, №11.- P. 73-82.

190. Schwieger H. Die maximale mechanische Beanspruchung beim Zentralen. Balkenquerstob // Z. Angew. Math, und Mech. 1965. - Bd 45, № 7, 8. -S. 45-58.

191. Sears J. E. On the longitudinal impact of metal rods with rounded ends // Proc. Cambrindge Phil. Soc. 1908. - Vol. 14. -P. 11-19.-329