Разрыв делящегося ядра на осколки и энергетическое распределение: исследование в многомерном стохастическом подходе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

□03466431

На правах рукописи

БОРУНОВ Максим Вячеславович

РАЗРЫВ ДЕЛЯЩЕГОСЯ ЯДРА НА ОСКОЛКИ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: ИССЛЕДОВАНИЕ В МНОГОМЕРНОМ СТОХАСТИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ

01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 9 АПР 2009

Томск — 2009

003466431

Работа выполнена на кафедрах теоретической и экспериментальной

физики

Омского государственного университета имени Ф.М. Достоевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации Г. Д. Адеев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Трясучев Владимир Андреевич; кандидат физико-математических наук, доцент Косенко Григорий Иванович;

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

ядерной физики имени Д. В. Скобельцына Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Защита состоится 28 апреля 2009 года на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д212.269.05 при Томском политехническом университете (634050, г. Томск, проспект Ленина, 2а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского политехнического университета.

Автореферат разослан " " 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук /) Кожевников А.

Общая характеристика работы Актуальность темы

Несомненная актуальность практических приложений процесса деления атомных ядер, а также уникальная возможность исследовать свойства ядер в коллективном движении большой амплитуды, обусловили интерес к этой реакции, неослабевающий с момента ее открытия вплоть до наших дней. За более чем полувековую историю изучения процесса деления атомных ядер и благодаря интенсивным исследованиям международного масштаба удалось накопить обширный экспериментальный материал и добиться заметного прогресса в теоретическом осмыслении целого ряда выявленных закономерностей. Однако полного количественного описания всей совокупности имеющейся экспериментальной информации о массово-энергетических (МЭР), зарядовых и угловых распределениях осколков деления к настоящему моменту достичь не удалось. Проблема теоретического описания экспериментально наблюдаемых МЭР тесно связана с динамикой протекания процесса деления, с термодинамическими и диссипативными свойствами делящихся ядер, с критериями разрыва делящегося ядра на осколки. Поэтому в последнее время основное развитие в теоретических исследованиях получило изучение динамики деления. Критерий разрыва является одним из двух конечных условий моделирования. Наиболее чувствительным к этому условию является энергетическое распределение.

Вопрос об условии разрыва делящегося ядра на осколки неизбежно встает при любом теоретическом описании и моделировании процесса де*тения, одним из отличительных признаков которого является разделение исходного компаунд-ядра преимущественно на два осколка. Под разрывом здесь следует понимать переход от единой конфигурации ядра, которая становится по ряду причин неустойчивой, к конфигурации системы уже разделенных осколков. Проблема разрыва перемычки(шейки) между будущими осколками поднималась неоднократно [1,2], однако в полной мере до сих пор еще не решена, и сегодня остается одной из самых неясных в физике деления. Проблема существенно осложняется тем, что ни сам момент разрыва ядра на осколки, ни форма ядра перед разрывом не являются экспериментально наблюдаемыми, и информация о них может быть получена только при сопоставлении ряда экспериментально наблюдаемых величин с результатами расчетов, выполненных в рамках тех или иных моделей или подходов, описывающих процесс деления атомного ядра. В качестве таких экспериментально наблюдаемых величин можно использовать энергетическое распределение осколков деления. В настоящей работе использовались его первые четыре момента. Следует отметить, что в теории деления в основном применяются два критерия(условия) разрыва, которые являются очевидными предельными случаями по отношению друг к другу. Так, например, в работах некоторых групп [3,4] за критерий разрыва принимается условие обращения в нуль радиуса шейки, Я^ = 0. Хотя данное условие разрыва является согласованным в модели жидкой капли (МЖК) с резкой поверхностью ядра [1], но оно неудовлетворительно [5], так как описание ядра в МЖК теряет смысл, когда радиус шейки становится сравнимым с расстоянием между нуклонами [5]. Привлекательным с физической точки зрения является определение условия разрыва на основе критерия неустойчивости ядра относительно вариации толщины его шейки [5], когда исчезает гребень, разделяющий долины деления и разделенных осколков. Данное условие разрыва соответствует предразрывным конфигурациям делящегося ядра с конечным радиусом шейки, в среднем равным О.ЗЯо (Но — радиус

исходного сферического ядра) [1,5]. Другим физически разумным и приемлемым является критерий разрыва, ядра, основанный на балансе сил кулоновского отталкивания будущих осколков и ядерного притяжения между ними. В модели случайного разрыва ядра, введенной Брозой и др. [2] использовался критерий гидродинамической нестабильности шейки относительно разрыва, который также приводит к предразрывным конфигурациям ядра с радиусом шейки — 0.3 — 0.4Я0.

Выбор условия разрыва особенно сильно влияет на такие важные характеристики процесса деления, как средние значения и дисперсии энергетических распределений осколков деления. Такая чувствительность параметров энергетического распределения очевидна: в основном кинетическая энергия осколков определяется энергией их взаимодействия в момент разрыва.

Цель работы:

Цель работы состоит в систематическом теоретическом исследовании энергетического распределения осколков деления возбужденных ядер, а именно первых четырех моментов этого распределения в широком интервале параметра делимости составного ядра. Целью является также систематическое исследование применимости вероятностного критерия разрыва на основе расчетов энергетического распределения, а также других характеристик деления.

В работе поставлены следующие задачи:

1. Исследовать возможность применения многомерного ланжевеновского подхода для описания высших моментов энергетического распределения сколков деления высоковозбужденных ядер.

2. Изучить зависимость моментов энергетического распределения осколков деления от критериев разрыва, которые использовались в расчетах, и исследовать применимость этих критериев.

3. Объяснить используемые эмпирические систематики (Виолы и подобные ей) средней кинетической энергии осколков деления на основе проведенных динамических расчетов.

Научная новизна результатов

1. Впервые проведено сравнение различных критериев разрыва в модели жидкой капли в рамках трехмерной ланжевеновской динамики. Впервые в трехмерной лажневеновской динамике успешно применен критерий нулевой шейки, который сравнительно редко используется в современной физике деления.

2. Впервые проведен систематический расчет высших моментов энергетического распределения в рамках трехмерной ланжевеновской динамики, получено хорошее согласие с экспериментальными данными. Для расчета высших моментов распределения использовалась аппроксимация функцией Грамма-Шарлье.

3. Впервые дана динамическая интерпретация систематики Виолы. В отличие от статического, в динамическом описании показано, что среднее расстояние между осколками в момент разрыва линейно увеличивается с увеличением кулоновского параметра.

Практическое значение результатов

Проведенный анализ различных критериев разрыва показал, что в трехмерных динамических расчетах можно использовать критерий нулевой шейки, вероятностный критерий разрыва и критерий конечного радиуса шейки Н^ = О.ЗЛо-Для использования гидродинамического критерия разрыва необходимо увеличить размерность динамической модели, используемой в расчетах. Результаты исследований представляют интерес для научных центров по изучению ядерных реакций (Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Московского государственного университета, г. Москва; Лаборатория ядерных реакций Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна; Физико-энергетический институт имени Лейпунского, г. Обнинск; Институт ядерных исследований РАН, г. Москва; Радиевый институт им. В.Г. Хлопина, Санкт-Петербург; институт ядерной физики Национального ядерного центра республики Казахстан, г. Алматы а также других ядерных центров стран СНГ и дальнего зарубежья).

Основные положения, выносимые на защиту

1. Среднее расстояние между будущими осколками в момент разрыва линейно увеличивается с ростом кулоновского параметра. Оно меняется от 2.37Яо для 142Се до 2.6оЯо для 25в^гп. Увеличение среднего расстояния с ростом кулоновского параметра не является настолько значительным, чтобы систематика Виолы, предполагающая постоянство среднего расстояния между осколками в момент разрыва, нарушалась даже для тяжелых ядер.

2. Вероятностный критерий разрыва ядра на осколки приводит к почти полной компенсации вкладов энергии ядерного притяжения и предразрывной энергии, таким образом, что первый момент энергетического распределения зависит только от кулоновской энергии.

3. Результаты, полученные для критерия разрыва конечного радиуса шейки Их = О.ЗЛо, согласуются с результатами, полученными для вероятностного критерия разрыва.

4. Все моменты энергетического распределения с первого по четвертый существенно меняются при включении третьей координаты.

Личный вклад соискателя

Все результаты диссертации, перечисленные в заключении, получены лично автором. Автор принимал непосредственное участие на всех этапах научно-исследовательской работы по теме диссертации: в проведении расчетов, обработке, анализе и обсуждении полученных результатов, подготовке статей.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации — 132 страницы, включая 25 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 133 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении дан краткий обзор модели жидкой капли и рассмотрены существующие подходы к описанию процесса деления ядра. Сформулированы научная новизна и цель работы.

В первой главе, носящей обзорный характер, описан ланжевеновский формализм, параметризация формы, транспортные коэффициенты.

В стохастическом подходе эволюция коллективных степеней свободы делящегося ядра рассматривается по аналогии с движением брауновской частицы, помещенной в термостат, образованный всеми остальными степенями свободы ядра. В расчетах использовалась система связанных уравнений Ланжевена, которые в разностной форме для случая N коллективных координат имеют вид

„(«-»> - (1^>р<"> (^)(П) - ^(q)

(1)

где -набор коллективных координат; j>; - сопряженные им импульсы; wiij(||/iij|| = ||miy||-L) - инерционный тензор; 7ij - фрикционный тензор; К{ - консервативная сила; Bijij - случайная сила; 6{j - амплитуда случайной силы; - случайная величина, обладающая следующими статистическими свойствами:

<f,W> = О, <fini)fj"2>> = 2Äyi„ina. (2)

Верхний индекс п в уравнениях (1), (2) означает, что соответствующая величина вычисляется в момент времени tn = пт, где г - шаг интегрирования уравнений Ланжевена по времени. Угловые скобки в (2) и далее означают усреднение по статистическому ансамблю. В уравнении (1) и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до N. Стохастическая ланжевеновская траектория, характеризующаяся формами, которыми обладало ядро в процессе деления, получается численным решением системы (1) в пространстве коллективных координат.

Амплитуда случайной силы связана с диффузионным тензором Dij

Dij=eik9kj. (3)

Диффузионный тензор, в свою очередь, удовлетворяет соотношению Эйнштейна

Dij=Tlij■ (4)

Температура термостата Т, используемая в расчетах , определялась в модели ферми-газа

T^(Eini/a(4))^2, (5)

где Eint - энергия возбуждения внутренних степеней свободы составного ядра (внутренняя энергия), а(q) - параметр плотности уровней, явный вид которого взят из работ Игнатюка с соавторами [6].

При движении ядра к поверхности разрыва вдоль всей стохастической ланжевеновской траектории в пространстве коллективных координат отслеживалось выполнение закона сохранения энергии

Е' = Е;м + ЕсоП (я, р) + + £еуар(г), (6)

где Е" - полная энергия возбуждения составного ядра, определяемая во входном канале реакции из энергии налетающего иона и разности масс сталкивающихся ядер и составной системы; ЕСоп(Ч|Р) = £ Ду (ч) РгР] " кинетическая энергия коллективного движения ядра; Ее^ар{1) - энергия возбуждения ядра, унесенная испарившимися частицами к моменту времени I.

Во второй главе описаны критерии разрыва делящегося ядра на осколки, традиционно используемые в современной теории деления. Представлены вероятностный, гидродинамический, геометрический критерии, а также критерий, основанный на равенстве сил кулоновского отталкивания и ядерного притяжения, и критерий, основанный на вариационном расчете.

Разрыв шейки происходит достаточно быстро. Вытянутые формы с радиусом шейки Я/у ~ 1 — 2фм разделяются на осколки за время тзс ~ 10~23с. Это время сравнимо с характерным временем внутренних степеней свободы, составляющих термостат. Таким образом, можно не использовать уравнения Ланжевена непосредственно для моделирования процесса разрыва шейки ядра, а можно решать уравнения до тех пор, пока радиус шейки не обратится в ноль, так как среднее время, необходимое для достижения конфигурации с Ям = О.ЗДо До конфигурации с Ялг = 0 порядка 1 — 2 х Ю-21 с. Другими словами, можно предположить, что разрыв шейки происходит за один шаг в ланжевеновской динамике. Подробное описание процесса разрыва шейки ядра достаточно сложно [7]. Таким образом, существует два варианта моделирования разрыва шейки ядра в динамических расчетах. Первый предполагает разрыв с вероятностью единица в случае, когда ланжевеновская траектория пересекает линию или поверхность разрыва. Второй вариант предполагает наличие области деформаций в пространстве коллективных координат, в любой точке которой разрыв может произойти с некоторой вероятностью.

Мы предполагаем, что вероятность разделения ядра на осколки отлична от нуля для любой формы с шейкой. Так как в форме ядра есть шейка, то становится возможным выделить формирующиеся осколки разрезанием ядра плоскостью в точке, в которой радиус шейки минимален г = гдг. Другими словами, мы предлагаем рассматривать все формы ядра с шейкой в качестве предразрывных форм. Для того, чтобы оценить вероятность разрыва формы с шейкой, мы предлагаем рассмотреть разрыв шейки, соединяющий два формирующихся осколка, как флуктуацию. Мы не предлагаем рассмотреть детально процесс разрыва перемычки, соединяющей будущие осколки, мы предлагаем, используя статистическое описание, рассмотреть только начальное и конечное состояние. В этом случае вероятность деления можно оценить следующим образом:

V/ ~ ехр(-Д[//Т), (?)

где Ди - изменение энергии вследствие флуктуации, а Т - температура ядра. Следовательно, мы рассматриваем динамически процесс эволюции формы составного ядра до момента разрыва шейки. Статистическое рассмотрение мы использовали для того, чтобы смоделировать разрыв шейки ядра, который определяет форму до разрыва и форму разделенных осколков. После этой процедуры можно использовать формы разделенных осколков для дальнейшего моделирования их относительного движения, эволюции их форм.

а)

б)

s/2 s/2

Р

zcm rn__^

■cm '>1

Тъ

z

z

-с

с

-C-S/2

ZN

C+S/2

О-»-

SD

Рис. 1: Форма деформированного ядра (а) и разделенных осколков (б). и Z^m определяют центры масс левого и правого осколка, соответственно. Zn и Яn представляют собой координаты минимума толщины шейки и ее радиус. Ядро разделено на два осколка в точке минимума радиуса шейки (плоскостью z ~ Zpi), осколки сместились на расстояние s, как показано на рисунке (б). Поверхности Sa и Sd образованы функцией ps(z), а поверхности Sg and Sc - два плоских среза.

В качестве начальных или предразрывных форм мы рассматриваем все формы с шейкой, но, как будет показано ниже, основной вклад в вычисляемые величины вносят формы с четко выраженной перемычкой между будущими осколками. В качестве конечного состояния осколков деления мы выбираем начальную форму, которую разделили плоскостью z = z/v и раздвинули на расстоягше s, как показано на Рисунке 1. Предразрывные (сплошные) формы соответствуют случаю s = 0. Быстро протекающий разрыв обеспечивает сохранение моментов низкой мультипольности, таких как расстояние между центрами масс и массовой асимметрии. Следовательно, мы предполагаем, что после разрыва форма осколков деления может быть найдена на основе предразрывной формы делящихся осколков, как показано на Рисунке 1. не могут иметь настолько плоскую поверхность, а описание параметризации квадрупольными и октупольными деформациями выглядит

В уравнении (7) Д(7 представляет разницу потенциальной энергии двух разделенных осколков на расстоянии s (см. Рисунок 1) и потенциальной энергии предразрывной(сплошной) формы ядра (s = 0). Потенциальная энергия для предразрывной и разделенной формы считалась как сумма кулоновской энергии отталкивания и ядерной энергии притяжения, при этом использовались параметры МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил из [9]. Вследствие того, что формы осколков не меняются после удаления на расстояние s, величина ДU может быть представлена как разность K(q, s) - V(q, 0), где V(q, s) - энергия взаимодействия осколков, удаленных на расстояние s. Энергия V(q, s) складывается из кулоновской энергии отталкивания V/c(q, s) и ядерной энергии притяжения Vre(q,s).

При вероятностном моделировании процесса деления ядра на осколки набор предразрывных форм становится гораздо богаче, по сравнению с расчетами для других изучаемых критериев разрыва. Эксцесс и асимметрия массового распределения для вероятностного критерия разрыва почти нулевые, массовое распределение имеет гауссову форму. Время деления, а как следствие, и множественность предразрывных нейтронов для вероятностного критерия разрыва

Расстояние между осколками э (в единицах фм)

Рис. 2: Разность энергий АС вычисленная для ядра 256^т вдоль средней траектории как функция расстояния з между плоскими срезами осколков и параметра радиуса шейки Я//- Числа рядом с контурными линиями обозначают величину Ди в МэВ. Пунктирной прямой линией показан случай двух соприкасающихся осколков, в = ¡тир (см. текст).

больше, чем для критерия конечного радиуса шейки К^ = О.ЗЯо- Это связано с тем, что максимальная вероятность деления соответствует конфигурациям ядра с меньшим радиусом шейки, чем = О.ЗЯо.

В третьей главе представлены результаты расчетов первых четырех моментов энергетического распределения осколков деления для различных критериев разрыва, дана динамическая интерпретация систематики Виолы.

Расчеты моментов энергетического распределения сравнивались с экспериментальными данными для следующих реакций слияния-деления:

4Не+20д Вг —>213

1Н+232ТИ ->233

3Не+207 РЪ -*210

4Не+197Ли ->201 „ +239 ри _,240 ]

160 + 232ГЛ —^248

12С+232П ^244 _ _________________ ___ _

20дге+П85п ^138 М([ (щ^ _ 124 МэВ^ 4Яе+233 у

Полная кинетическая энергия Ек осколков деления представляет собой сумму кулоновской энергии отталкивания Ус(Чзс), энергии ядерного притяжения Кп(я5с) формирующихся осколков и предразрывной кинетической энергии в момент разрыва. Предразрывная кинетическая энергия определяется выражением:

Ер,(Час,Рас) = ^тво(^)2, (8)

(Е1аЬ = 50 МэВ) 180+16ЭГт -+187 1т (Еиъ -- - 158 МэВ)

(Е1аЬ = 30 МэВ) 48Са+208РЬ —>256 УУо (Е1аЬ = 233 МэВ)

(Е1аь = 60 МэВ) 180+1545ш-+172 УЬ (Еыь ■■ = 159 МэВ)

(Еиъ = 50 МэВ) 16О+170ЕГ ->186 Оз (Е1аь = = 165 МэВ)

(Еиь - = 40 МэВ) 20Ке+240Ри -*260 Я/ (Еыъ = 174 МэВ)

(Е1 аЬ = 160 МэВ) 20^е+209ш ^229 дгр (Е,а ь = 149 МэВ)

(Еыь , = 97 МэВ) ™Ш+181Та ^201 т (Е[аЬ = 149 МэВ)

где О - это расстояние между центрами масс формирующихся осколков. Величины ^(Чвс)» ^п(ч»<0> и Ер3{<18с^Р8с) вычисляются для каждой ланжевеновской траектории в момент разрыва (£3с), который определяет точку разрыва в пространстве коллективных координат я(Ьес) — ц3с с сопряженным импульсом = Рас- Время, когда ланжевеновская траектория пересекает поверхность разрыва, и называется моментом разрыва.

Средняя кинетическая энергия (Ек) вычислялась по формуле:

(Ек) = (Ус(Язс)) + + (Ер5(45с,р,с)>, (9)

дисперсия кинетической энергии:

<г2Ек=(К2К)~{ЕК)2- (Ю)

Введем величину Ус = Ус + Уп, которая учитывает, что часть кулоновской энергии отталкивания уходит на преодоление сил ядерного притяжения. Тогда можно переписать уравнение (10):

<т% =а1~+<7% +2 а— , (11)

Ек ус Ера Ус ^ '

где

= <Ус )-((%)?, (12)

Ус

°%р. = - ((ЕР,))2, (13)

= - {Ер.)(Ус) (14)

"с ер>

Асимметрия и эксцесс энергетического распределения могут быть выражены через первый и второй моменты распределения:

Ъ = {(ЕК-(ЕК))*)1О3ЕК, (15)

Ъ = ((Ек~{Ек))А)!а%к -3. (16)

В своих вычислениях мы использовали функцию Грамма-Шарлье для расчета высших моментов энергетического распределения. Метод подробно описан в приложении.

Статистическая погрешность расчетов связана с конечным числом лаижевеновских траекторий и вычислялась по формулам [11]:

МЕк) = урЪ^Й, (17)

= 24к у/Щ, (18)

где Дг - число смоделированных лаижевеновских траекторий.

Первые два момента энергетического распределения изучались во многих экспериментальных [12] и теоретических [11] работах. Анализ экспериментальных данных показывает, что средняя кинетическая энергия осколков {Ек) слабо зависит от углового момента и энергии возбуждения [12] . Обычно (Ек) аппроксимируют линейной зависимостью от Z'2/Al/i. Наиболее часто используемая систематика (Ек) была предложена в работе [10] и выглядит следующим образом:

(Ек) = олтг2/А1^ + 7.3. 10

гг/Аю

Рис. 3: Полученные значения (Ек) (а) и (Ерз)-Ь(Кг) (б) как функции кулоновского параметра Точечной линией представлена систематика (Ек) из рабо-

ты [12] (см. формулу (20)), сплошная линия представляет систематику Виолы [10] (см. формулу (19)). Открытые треугольники - полученные значения для критерия разрыва конечного радиуса шейки О.ЗЙо, открытые круги - для нулевого радиуса шейки, а открытые квадраты - результаты расчетов для вероятностного критерия разрыва.

В то же время Иткис и др. [12] обнаружили, что зависимость (Ек) от Ъ'1 /А1/3 для тяжелых и легких ядер должна описываться разными коэффициентами линейной функции при использовании экспериментальных данных по (Ек) в реакции слияния-деления. Эта систематика была предложена в работе [12]:

(Ек) = 0.131 Л2/Л1/3,72М1/3 < 900, (Ек) = О.Шг2/Л1/3 + 24.3, г2/А1'3 > 900. (20)

На Рисунке 3 представлена зависимость посчитанной средней кинетической энергии от кулоновского параметра На рисунке видно, что полученные

значения (Ек) для критерия конечного радиуса шейки Я/у = О.ЗЯо лучше согласуется с систематикой Виолы (формула 19). Для критерия нулевого радиуса шейки полученные значение лучше согласуются с систематикой по формуле (20). Можно описать систематику Виолы на основе независимости критической деформации от нуклонного состава и кулоновского параметра 2г ¡Ах!г [5]. Однако

Рис. 4: Расстояние между центрами масс осколков деления, усредненное по ансамблю лапжевеновских траекторий, как функция кулоновского параметра Результаты, полученные для вероятностного критерия разрыва, представлены открытыми треугольниками, критерию нулевой шейки соответствуют открытые круги, закрашенные квадраты - условие разрыва конечного радиуса шейки 0.3Ло- Сплошные линии представляют линейную аппроксимацию для перечисленных условий разрыва. Пунктирной линии соответствует критическая деформация £>сги из работы [1].

систематические динамические вычисления, основанные на обобщенных уравнениях Гамильтона и трехмерных стохастических уравнениях Ланжевена, показывают, что средняя разрывная деформация зависит от кулоновского параметра. Среднее расстояние между центрами масс осколков линейно увеличивается на 10 — 15% в интервале 600 < г^/А1/3 < 1700. График зависимости {О) от кулоновского параметра приведен на Рисунке 4 для разных критериев разрыва. Из рисунка видно, что при использовании критерия нулевой шейки формы получаются наиболее вытянутыми, с максимальными по сравнению с другими критериями значениями (£>). Линейную зависимость {£>) от параметра /А1/3 можно аппроксимировать следующим образом:

(П} = (0}о+к-г*/А1/3, (21)

где (-О)о и к представляют собой параметры, вычисленные из полученных значений методом наименьших квадратов. Для критерия нулевой шейки получили (Д)о = 2.39, к = 3 • Ю-4; для разрыва с радиусом шейки ядра Лдг = О.ЗЯо: (О)о = 2.19, к = 1.9 • Ю-4; вероятностный критерий разрыва: (£>)о = 2.27, к — 2.4 • Ю-4. В уравнении (21) и далее мы предполагаем, что значения (О), (С)о, и к измеряются в единицах Но. Используя значения к и (-О)о , а также пренебрегая суммой {Ер.^ + ^п) по сравнению с {Ус), можно показать, что зависимость (У"с) и, следовательно, (Е/с) от параметра Z2/А1/3 будет оставаться почти линейной с хорошей точностью. Для симметричного деления получаем (Ец) приближенно:

£2 2 2 (ЕК) ~ {Ус) = -^г = --г-^-г. (22)

600 800 1000 1200 1400 1600 1800 500 т—,—.—,—.—г-,—.—,—.—,--—.

■ 5...... "

оО-а-Я—О ю

,юпа

¿Л л

^ АЛ

Ш ,

400 300200 100. 0

п " ^ □ , ■

.....'о^сЪ а

-•нз-о—-3—Е5-&Ш—е-ЕВЯ—

600 600 ЮОЗ 1200 1400 1630 1800

гг!кт

Рис. 5: Дисперсия энергетического распределения как функция параметра Ъ2/А1/3 для различных критериев разрыва: (а) вероятностный, (б) критерий нулевой шейки, и (в) разрыв при = 0.3Я0. Открытые круги - посчитанные значения <т|, , закрашенные квадраты - экспериментальные значения , кресты представляют значения величины <г~, открытые квадраты - значения величины (т! , открытые треугольники - значения величины 2<т~ . Точечной линией показана

^ с Ера

аппроксимация методом наименьших квадратов полученных значений ■

Раскладывая это выражение в ряд по малому параметру ^ 1. придем к

выражению: 0

72р2 ( к-72 \

4(И>о то

Используя значения е2 = 1.442МэВ • Фи, го = 1.16Фм, а также коэффициегг-

. 2

ты к и (£>)о видно, что множитель ¡^— мал и существенно не влияет на

линейный характер зависимости (Ус)(22/А1/3). Таким образом, наши вычисления (Л) для всех критериев разрыва, использованных в расчетах, помогли дать динамическую интерпретацию систематики Виолы для {Ец)- Из Рисунка 5 видно,

Рис. 6." Дисперсия а~р как функция кулоновского параметра 2'2//41/3 для различных критериев разрыва: (а) вероятностный, (б) критерий нулевой шейки, и (в) разрыв при Ядг = О.ЗЯо. Открытые треугольники - полученные значения, закрашенные круги - значения, полученные из формулы (26). Сплошные линии представляют собой параболическую аппроксимацию полученных значений методом наименьших квадратов.

что динамические расчеты с коэффициентом редукции = 0.25 воспроизводят рост экспериментальных значений о\ с ростом параметра Я2/А1/3 > 1000. Наши расчеты показывают, что включение третьей координаты(масс-асимметричной) ведет к увеличению значений на 20 — 25% по сравнению с двумерными рас-

четами [11] для симметричного деления. Этот результат хорошо согласуется с предсказанием работы [13]. Однако полученные значения дисперсии значительно меньше экспериментальных для области ядер /А1/3 > 1000 для всех критериев разрыва. Вклады °~%р и <Т~Е в формуле (11) для с%К компенсируют друг друга

для вероятностного критерия и для критерия разрыва Ялг = О.ЗЯо. Для критерия нулевой шейки эти вклады положительны, а значит > <т~, в то время как

сг|, ~ для вероятностного критерия и условия разрыва с конечным радиусом к

шейки Ям = О.ЗЯо- Из Рисунка 5 видно, что сг2~_ дает основной вклад в . Можно

ус ьк

также предположить, что основной вклад в дают флуктуации кулоновской

Ус

140 1 50 160 170 130 190 200

1-10 150 160 170 100 190 200

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 0СШЛК03 (■ es. МзЗ)

Рис. 7: Энергетическое распределение осколков симметричного деления составного ядра 233Ра для различных критериев разрыва: (в) вероятностный, (б) критерий нулевой шейки, и (в) разрыв при Rn — 0-3.Ro- Сплошные линии представляют аппроксимацию полученных значений функцией Грамма-Шарлье методом наименьших квадратов. Сами значения показаны закрашенными квадратами. Начальная температура возбужденного ядра 1.5 МэВ. Число смоделированных ланжевеновских траекторий 104.

энергии отталкивания, так как ядерная энергия притяжения и Evs дают достаточно малый вклад в Ек- Энергия кулоновского отталкивания пропорциональна -g-. Как следствие этого, вариация <5Vc связана с вариацией D:

SVC

dVo_SD = _vJD

dD D

Следуя анализу, представленному в работах [2], и не учитывая вкладов от Eps в Ек, можно записать:

= Ш*

- (Ек)2

(24) и Vn

(25)

(£»)» (Г»}*1

Величина а2Ек пропорциональна дисперсии среднего расстояния между центрами масс осколков в момент разрыва.

Из вида выражения (25) можно выделить две причины роста а^ (22/Л'1'3).

Первая - это линейное увеличение (Ек) с увеличением Z*/Al/3, вторая причина - это флуктуации О. Из Рисунка 3 видно, что трехмерные ланжевеновские расчеты достаточно хорошо воспроизводят зависимость (£аг) от параметра 22/Л1/3. Однако рассчитанные значения <г\ (22/Д^3) недооценивают экспериментальные значения в особенности для тяжелых ядер. Это объясняется недооцененными значениями в динамических вычислениях. Другими словами, существуют недостаточные изменения разрывных конфигураций, которые смогли бы обеспечить

т..........*..........}*

О. -0.5-(0 —+ К

н—|—I—ч—|—I—'—^

Л-1-,-1-1-1-,-1-1-1-,-

I 4 «ЬИ}

-0,4-

600 800 1000 1200 1400 1600

2г/А,я

Рис. 8: Асимметрия энергетического распределения как функция кулоновского параметра для различных критериев разрыва: (а) вероятностный, (б)

критерий нулевой шейки, и (в) разрыв при = О.ЗЯо. Открытые круги -экспериментальные значения [15], закрашенные квадраты - посчитанные значения.

большие значения <г|,. Можно оценить необходимое значение (с"'')2 для согласия с экспериментом величины (г1 :

где под понимаются экспериментальные значения, (Ек) были взяты из систематики Виолы, а (£)} получены в динамических расчетах (см. Рисунок 4). Сравнение (<г^р)2 и сг^, посчитанных для разных критериев разрыва, представлены на Рисунке 6. Значения сг^ для критерия разрыва нулевой шейки и радиуса шейки Ядг = О.ЗЯо меньше, чем [ае^р)2. И только для вероятностного критерия разрыва значения а20 сравнимы по величине с (сг"р)2. Однако,

отрицательный вклад 2<т~ не позволяет воспроизвести экспериментальные "с Ер»

значения <г|, для вероятностного критерия. Можно сделать предположение, что {с, Н, а}-параметризация не обеспечивает достаточного разнообразия разрывных конфигураций. Одним из оснований делать такое предположение является то, что в {с, /¡, а}-параметризации невозможно получить формы с вытянутой цилиндрической шейкой, типичной для параметризации, введенной в работе Брозы с соавторами [2]. Расчеты Брозы с соавторами позволили описать большую совокупность экспериментальных данных по делению, включая мультимодальный характер деления, среднюю множественность предделительных нейтронов. В недавней работе Пашкевича и Русанова [14] гантелеобразные формы были получены при статических расчетах по минимизации потенциальной энергии деформации, при этом форма описывалась 21 параметром.

На сегодняшний день в физике деления атомного ядра существует достаточно небольшое число экспериментальных и теоретических работ, посвященных третьему и четвертому моменту энергетического распределения осколков деления. Во всяком случае, число таких работ гораздо меньше по сравнению с числом работ по

(26)

10-1-

о.

О 1-

о о-о ф -1гг о

б)»

О

1-

.....ц-

^ГТ

600 800 1000 1200 1400 1600

2/А

Рис. 9: Эксцесс энергетического распределения как функция кулоновского параметра 22/Л1/3 для различных критериев разрыва: (а) вероятностный, (б) критерий нулевой шейки, и (в) разрыв при Я/у = О.ЗЯо. Открытые круги -экспериментальные значения [15], закрашенные квадраты - посчитанные значения.

первым двум моментам. Из экспериментальных работ можно выделить работы группы Жданова [15], в которых изучались первые четыре момента энергетического распределения. Одним из основных результатов этих экспериментальных работ является постоянство формы энергетического распределения для симметричного деления в широком интервале параметра Z2/A. В работах было показано, что форма энергетического распределения близка к гауссиану, а величины третьего(асимметрии) 71 и четвертого(эксцесс) 72 моментов принимают значения 71 ~ -0.1; 72 ~ 0.

Теоретическое изучение высших моментов энергетического распределения было проведено и в работе [11]. Ланжевеновские динамические вычисления в этой работе были проведены в {с, Л, а}-параметризации. Сложно сравнивать результаты наших вычислений с результатами работы [11] ввиду разной размерности динамической модели и разных способов расчета Ец- Однако можно отметить, что вычисления 71 и 72 в [11] не обеспечивают хорошее согласие с экспериментом в области легких ядер гг1А^1ъ < 800.

Экспериментальные значения 71 и 72 были получены как раз для случая симметричного деления [15]. В наших расчетах величин 71 и 72 деление считается симметричным, когда масса осколков попадает в интервал А/2 ± 1. Полученное распределение можно описать функцией Грамма-Шарлье:

/(ЕК) = — Ь«) - 2у" («) + 1Уу («)] , (27)

&ЕК I. Ь 24 1

и = —---р = -~~ехр(-и2 / 2),

где 71 и 72 асимметрия и эксцесс энергетического распределения, соответственно. Более подробно применение функции Грамма-Шарлье для расчета высших моментов энергетического распределения осколков деления описано в приложении.

На Рисунке 7 представлено энергетическое распределение осколков деления составного ядра 233 Ра с аппроксимацией значений функцией Грамма-Шарлье.

Статистическая погрешность для каждой полученной точки на Рисунке 7 пропорциональна гДе N - число событий деления попавших в соответ-

ствующий бин. Общее число событий деления 104. Статистическая погрешность принимает максимальное значение на краях распределения ~ 10% для всех критериев разрыва. Полученное распределение близко к гауссову, однако немного отличается от последнего. Поэтому 71 и 72 не равны нулю. Например, для критерия разрыва нулевой шейки 71 = —0.13±0.08 и 72 = —0.2±0.17. Последние погрешности посчитаны в процедуре аппроксимации полученных значений методом наименьших квадратов.

Как видно из Рисунков 8 и 9 все три критерия разрыва ядра обеспечивают удовлетворительное согласие с экспериментом [15]. Для получения достаточной статистики в теоретических расчетах энергетического распределения составного ядра 240Ри энергия возбуждения была больше, чем на эксперименте. Однако, как было отмечено в других работах, величины 71 и 72 практически не зависят ни от массы осколков, ни от энергии возбуждения. Поэтому мы представили посчитанный теоретический результат величин 71 и 72 на одном графике с экспериментальными значениями(см. Рисунок 8 и Рисунок 9).

Вопрос об аналитической аппроксимации энергетического распределения осколков деления возник из анализа экспериментальных данных в мультимодальном делении. Наиболее часто используемая аналитическая аппроксимация представляет собой гауссиан, при этом 71 = 0 и 72 = 0. Многочисленные эксперименты показали, что такая аппроксимация обладает хорошей точностью. Но есть и другой вид аппроксимации. Он основан на гауссовом распределении среднего расстояния между центрами масс осколков деления О:

М{ЕК) ~ Е~2ехр{-(0 - (Д))2/^}. (29)

Детальный анализ показал, что это распределение имеет положительную асимметрию. Таким образом, гауссова аппроксимация О-распределения расходится с экспериментальными данными симметричного деления.

В работах [16] был предложен полуфеноменологический подход к описанию энергетического распределения многомодального деления. Этот подход основан на гипотезе, что вероятность разрыва ядра равна нулю, если расстояние между фрагментами меньше величины &тп1п 1 которая зависит от модальности деления, от массы осколков и нуклонной структуры. Согласно [16], энергетическое распределение можно записать в виде:

~ Е-2ехр{-(0 - £>та1.)7[(£> - »гат)^ЕС]}, (30)

где. йшаг определяет наиболее вероятное значение Ец, О^ес - параметр ширины £>-распределения.

Как видно из Рисунка 10, полученные значения достаточно точно описываются гауссовым распределением. Соответствующее данному /^-распределению энергетическое распределение симметричного деления воспроизводит значения величин 71 и 72 близкими к экспериментальным значениям. Таким образом, небольшие отклонения ©-распределения от гауссовой формы вместе с учетом влияния энергии ядерного притяжения и предразрывной кинетической энергии приводят к отклонениям формы энергетического распределения от гауссового. Также можно заметить, что вероятностный критерий разрыва, описанный в настоящей диссертации, удовлетворяет гипотезе, на которой основано распределение (30). В вероятностном критерии разрыва существуют параметры, аналогичные наименьшее возможное £> и £>тах, наиболее вероятное значение О. Величина

2,0 2,2 2,4 2,6 2.8 3,0 3,2

8 6

2 0

^ 8

й- 6 >-" 4 2 0 8 6

2 О

2,0 2,2 2,4 2.6 2,8 3,0 3,2 Расстояние между осколками Р (в единицах Р0)

Рис. 10: Распределение расстояния между центрами масс осколков деления составного ядра 233Ра для различных критериев разрыва: (а) вероятностный, (б) критерий нулевой шейки, и (в) разрыв при Я/у = О.ЗЛо. Пунктирные линии представляют аппроксимацию гауссианом полученных значений методом наименьших квадратов.

Отпгп соответствует деформации делящегося ядра, когда начинает расти вероятность деления(Д£/ становится отрицательной в уравнении (7)). Величина Отах соответствует значению О, в котором вероятность деления максимальна.

Основные результаты и выводы

• Среднее расстояние между будущими осколками в момент разрыва линейно увеличивается с ростом кулоновского параметра. Оно меняется от 2.37йо для 142Се до 2.65До для 256Кт.

• Увеличение среднего расстояния с ростом кулоновского параметра не являет. ся настолько значительным, чтобы систематика Виолы, предполагающая постоянство среднего расстояния между осколками в момент разрыва, нарушалась даже для тяжелых ядер.

• Вероятностный критерий разрыва ядра на осколки приводит к почти полной компенсации вкладов энергии ядерного притяжения и предразрывной энергии.

• Все три критерия разрыва достаточно точно описывают первый момент энергетического распределения, отклонение от систематики Виолы [10] составляет не больше 5%. В области тяжелых ядер значения средней кинетической энергии, полученные для вероятностного критерия разрыва и для условия разрыва Яд? = О.ЗЯо, лучше согласуются с систематикой Виолы, а значения, полученные для критерия нулевой шейки, лучше описываются систематикой, предложенной в работе [12].

• Все три критерия воспроизводят резкий рост значений дисперсии энергетического распределения для тяжелых ядер ^2/Д1,/3 > 1200, наблюдаемый на эксперименте. Наилучшее согласие с экспериментальными данными по дисперсии кинетической энергии обеспечивает использование вероятностного критерия разрыва.

• Все критерии разрыва ядра дают меньшие значения дисперсии, чем экспериментальные данные. Это может быть связано с недостаточным разнообразием предразрывных форм в используемой {с, Л, а}-параметризации.

• Все критерии разрыва удовлетворительно описывают экспериментальные данные по третьему и четвертому моментам энергетического распределения. Однако, недостаточная статистика как экспериментальных, так и теоретических расчетов не позволяет сделать значимые заключения.

• Значения первых четырех моментов энергетического распределения, полученные для критерия нулевой шейки, хорошо согласуются с экспериментальными данными, несмотря на то, что этот критерий используется сравнительно редко в физике деления. Хорошее согласие с экспериментом может быть связано с тем, что критерий нулевой шейки эффективно учитывает послеразрывное движение осколков деления.

• Все моменты энергетического распределения с первого по четвертый существенно меняются при включении третьей координаты(координата массовой асимметрии).

Перспективы развития модели представляются в следующих улучшениях:

• Развитие модели с числом коллективных координат N > 3, как это показано в оригинальной работе Брозы с соавторами [2].

• Учет зависимости коэффициента редукции вклада от формулы стены от деформаций.

• Использование в расчетах температурной зависимости параметров жидкой капли, в том числе и в модели с конечным радиусом действия ядерных сил.

Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на V и VI международных конференциях "Ядерная и радиационная физика" в г. Алматы, Казахстан, сентябрь 2005 года и июнь 2007 года, соответственно, на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ им. Достоевского и опубликованы в 5 печатных работах.

Список цитируемой литературы

[1] Strutinsky V. М., Lyashchenko N. Ya., Popov N. A. Symmetrical shapes of equilibrium for a liquid drop model. // Nucl. Phys. - 1963. - Vol. 46. - P. 639-659.

[2] Brosa U., Grossmann S. In the exit channel of nuclear fission. // Z. Phys. - 1983. -Vol. A310. - P. 177-187;

Brosa U, Grossmann S., and Miiller A. Nuclear scission. // Phys. Rep. - 1990. -Vol. 197. - P. 167-262.

[3] Nix J. R., Swiatecki W. J. Studies in the liquid-drop theory of nuclear fission. // Nucl. Phys. - 1965. - Vol. 71. - P. 1-94.

[4] Hasse R. VV. Dynamic model of asymmetric fission. // Nucl. Phys. A. - 1969. -Vol. 128. - P. 609-631.

[5] Brack M., Damgaard J., Jensen A. S., Pauli H. C., Strutinsky V. M., Wong C. Y. Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its application to the fission process. // Rev. Mod. Phys. - 1972. - Vol. 44 - P. 320-405.

[6] Игнатюк А. В., Иткис M. Г., Околович В. Н., Смиренкин Г. Н., Тишин А. С. Деление доактшшдных ядер. Функции возбуждения реакции (о,/). // ЯФ. -1975. - Том 21. - С. 1185-1205.

[7] Krappe Н. J., Towards a consistent description of particle evaporation during the fusion-fission reaction. // Proceedings of the International Workshop on Dynamical Aspects of Nuclear fissioti(Slovakia, Smolenice, 1991) - J1NR, Dubna, 1992, - P. 5170.

[8] Старцев А. И. Эффект конечности длины когерентности в динамике деления ядер. // Proceedings of the XJIJth Meeting on "Physics of Nuclear Fission"(Obninsk, Russia, 1995) - SSCRF-IPPE: edited by B. D. Kuzminov, 1995. -P. 94-112.

[9j Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei. // Phys. Rev. C. - 1986. -Vol. 33. - P. 2039-2053.

[10] Viola V. E., Kwiatkowski K., Walker M. Systematics of fission fragment total kinetic energy release. // Phys. Rev. C. - 1985. - Vol. 31. - P. 1550-1552.

[11] Косенко Г. И., Гончар И. И., Сердюк О. И., Писчасов Н. И. Расчет моментов энергетического распределения осколков деления ядер методом уравнений Ланжевена. // ЯФ. - 1992. - Том 55. - С. 920-928.

[12] Иткис М. Г., Русанов А. Я. Деление нагретых ядер в реакциях с тяжелыми ионами: статические и динамические аспекты. // ЭЧАЯ. - 1998. - Том 29. -С. 389-488.

[13] Abe Y., Ayik S., Reinhard P.-G., Suraud E. On stochastic approaches of nuclear dynamics. // Phys. Rep. - 1996. - Vol. 275. - P. 49-196.

[14] Pashkevich V. V., Rusanov A. Ya. The 226ГЛ fission valleys. // Nucl. Phys. A. -2008. -Vol. 810. - P. 77—90.

[15] Жданов С. В., Иткис M. Г., Мульгин С. М., Околович В. Н., Русанов А. Я., Смиренкин Г. Н., Субботин М. И. Высшие моменты распределения энергии осколков симметричного деления ядер. // ЯФ. - 1992. - Том 55. - С. 31693179.

[16] U. Brösa, Н.-Н. Knitter, Tie-shuan Fan, Ji-min Hu, and Shang-lian Bao Systematics of fission-channel probabilities. // Phys. Rev. C. - 1999. - Vol. 59. - P. 767-775.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Borunov M. V., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Nuclear scission and fission-fragment kinetic-energy distribution: Study within three-dimensional Langevin dynamics. // Nuclear Physics A. - 2008. - Volume 799. - P. 56-83.

2. Борунов M. В., Надточий П. H., Адеев Г. Д., Динамическое описание моментов энергетического распределения осколков деления и разрыв делящегося ядра // Ядерная Физика - 2007. - Том 70. - С. 1897-1909.

3. Борунов М. В., Адеев Г. Д. Точность описания седловых конфигураций в {с, Л, а}—параметризации. //Вестник Омского Университета. - 2008. - №4. -С. 41-45.

4. Борунов М. В., Адеев Г. Д. Применение функции Грамма-Шарлье для расчета высших моментов энергетического распределения осколков деления //Вестник Омского Университета. - 2008. - №2. - С. 24-28.

5. Надточий П. Н., Борунов М. В., Адеев Г. Д. Динамическая интерпретация систематики Виолы и разрыв делящегося ядра на осколки //Вестник Омского Университета. - 2005. - JV'l. - С. 5-16.

6. Борунов М. В., Надточий П. Н., Адеев Г. Д. Динамическое описание моментов энергетического распределения осколков деления и разрыв делящегося ядра. // Сборник тезисов бой международной конференции "ЯДЕРНАЯ И РАДИАЦИОННАЯ ФИЗИКА" (26-29 сентября 2005 года), - Казахстан, Алматы, ИЯФ НЯЦ PK. - С. 140-141.

7. Борунов М. В., Надточий П. Н., Адеев Г. Д. Разрыв и энергетическое распределение осколков делящегося ядра в рамках трехмерной ланжевеновской динамики / / Сборник тезисов бой международной конференции "ЯДЕРНАЯ И РАДИАЦИОННАЯ ФИЗИКА" (4-7 июня 2007 года), - Казахстан, Алматы, ИЯФ НЯЦ PK. - С. 138-139.

Борунов Максим Вячеславович

РАЗРЫВ ДЕЛЯЩЕГОСЯ ЯДРА НА ОСКОЛКИ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ: ИССЛЕДОВАНИЕ В МНОГОМЕРНОМ СТОХАСТИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ

01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 23.03.2009. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 135.

Издательство ОмГУ

644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

Введение

Глава I Динамическая модель

§1.1 Многомерные уравнения Ланжевена.

§1.2 Параметризация формы и коллективные координаты

§1.3 Транспортные коэффициенты в уравнениях Ланжевена

§1.4 Расчет двумерных массово-энергетических распределений осколков деления.

§1.5 Потенциальная энергия ядра.

§1.6 Свойства седловых конфигураций в выбранной параметризации

§1.7 Статистическая ветвь расчетов. Объединение динамической и статистической ветвей расчетов

Глава II Критерии разрыва делящегося ядра на осколки

§2.1 Критерий разрыва нулевого радиуса шейки.

§2.2 Критерий разрыва, основанный на гидродинамической нестабильности

§2.2.1 Капиллярная неустойчивость или неустойчивость Рэлея

§2.3 Критерий разрыва конечного радиуса шейки.

§2.3.1 Критерий равенства сил.

§2.3.2 Вариационный расчет в модели жидкой капли

§2.4 Вероятностный критерий разрыва.

Глава III Результаты расчетов и их обсуждение

§3.1 Первый и второй моменты энергетического распределения.

§3.2 Эксцесс и асимметрия энергетического распределения.

§3.3 Аналитическая аппроксимация энергетического распределения осколков деления

Несомненная актуальность практических приложений процесса деления атомных ядер, а также уникальная возможность исследовать свойства ядер в коллективном движении большой амплитуды, обусловили интерес к этой реакции, неослабевающий с момента ее открытия вплоть до наших дней. За более чем полувековую историю изучения процесса деления атомных ядер и благодаря интенсивным исследованиям международного масштаба удалось накопить обширный экспериментальный материал и добиться заметного прогресса в теоретическом осмыслении целого ряда выявленных закономерностей. Однако полного количественного описания всей совокупности имеющейся экспериментальной информации о массово-энергетических (МЭР), зарядовых и угловых распределений осколков деления к настоящему моменту достичь не удалось. Проблема теоретического описания экспериментально наблюдаемых МЭР тесно связана с динамикой протекания процесса деления, с термодинамическими и диссипативными свойствами делящихся ядер, с критериями разрыва делящегося ядра на осколки. Поэтому в последнее время основное развитие в теоретических исследованиях получило изучение динамики деления.

Стохастические методы традиционно широко используются в естественных науках: физике, химии, астрономии, биологии, в технических приложениях радиофизики и квантовой оптики. Интерес к случайным флуктуациям и описывающим их стохастическим методам чрезвычайно возрос в последние два десятилетия, что нашло свое отражение в недавних монографиях [1-3], а также в обширной библиографии этих монографий.

Начиная со времени открытия ядерных реакций глубоконеупругих передач [4] — с середины 1980-х годов, стохастические методы широко используются и в ядерной физике. Использование стохастических уравнений в ядерной физике берет свое начало с классической работы Крамерса [5]. В своем подходе, названном диффузионной моделью, Крамере предложил описывать процесс деления ядер с помощью небольшого числа степеней свободы, которые взаимодействуют с «термостатом», образованным всеми остальными одночастичными степенями свободы. В этом случае динамика коллективных переменных становится похожа на динамику броуновской частицы, так как в одном акте взаимодействия с одночастичной подсистемой энергия коллективной подсистемы изменяется на относительно малую величину Адекватными динамическими уравнениями в такой физической модели является уравнение Фоккера-Планка (УФП) для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов или физически эквивалентные ему уравнения Ланжевепа.

Используя аналогию динамики деления ядра с движением броуновских частиц, Крамере вычислил скорость диффузии броуновских частиц, первоначально находившихся в потенциальной яме, через потенциальный барьер, разделяющий начальное и конечное состояние системы. В своем подходе Крамере уточнил полученную годом раньше формулу Бора и Уилле-ра [6] для делительной ширины. Уточняющий крамерсов фактор учитывает влияние ядерной вязкости на скорость деления (делительную ширину).

Стохастический подход, основанный на УФП, успешно применялся для решения многих задач коллективной ядерной динамики: теории глубоконе-упругих передач [7], вынужденного деления [8-10], описания множественности предразрывных нейтронов [11]. В последнее время предпочтение, тем не менее, отдается альтернативному использованию уравнений Ланжевена, поскольку точное решение УФП возможно лишь для ограниченного числа модельных случаев малой размерности [8], а в общем случае требует использования различных приближений. В то же время, уравнения Ланжевена могут быть решены на основе численных методов без привлечения дополнительных упрощений и для многомерного случая. Однако и при использовании уравнений Ланжевена на нынешнем этапе развития вычислительной техники возникают серьезные трудности. Для описания большого числа экспериментально наблюдаемых характеристик процесса деления необходимо введение как можно большего числа коллективных координат. Введение же каждой новой координаты значительно увеличивает объем вычислений. Поэтому естественно, что первыми были проведены одномерные, а затем и двухмерные ланжевеновские расчеты. Одномерные расчеты позволяют вычислить вероятность деления и множественности испаряющихся предразрывных частиц. Двухмерные модели кроме этого дают возможность рассчитать либо массовое распределение осколков, соответствующее наиболее вероятной кинетической энергии осколков, либо энергетическое распределение, соответствующее заданному отношению масс осколков.

Экспериментально наблюдаемое двухмерное МЭР невозможно получить в рамках одно- и двухмерных ланжевеновских расчетов. Для этого необходимо как минимум три коллективные координаты. Для одновременного описания еще и зарядового распределения неизбежно требуется введение и четвертой коллективной координаты, определяющей разделение заряда между осколками.

Вопрос об условии разрыва делящегося ядра на осколки неизбежно встает при любом теоретическом описании и моделировании процесса деления, одним из отличительных признаков которого является разделение исходного компаунд-ядра преимущественно па два осколка. Под разрывом здесь следует понимать переход от единой конфигурации ядра, которая становится по ряду причин неустойчивой, к конфигурации системы уже разделенных осколков. Проблема разрыва перемычки(шейки) между будущими осколками поднималась неоднократно [12-21], однако в полной мере до сих пор еще не решена, и сегодня остается одной из самых неясных в физике деления. Проблема существенно осложняется тем, что ни сам момент разрыва ядра на осколки, ни форма ядра перед разрывом не являются экспериментально наблюдаемыми, и информация о них может быть получена только при сопоставлении ряда экспериментально наблюдаемых величин с результатами расчетов, выполненных в рамках тех или иных моделей или подходов, описывающих процесс деления атомного ядра. В качестве таких экспериментально наблюдаемых величин можно использовать энергетическое распределение осколков деления. В настоящей работе использовались его первые четыре момента. Следует отметить, что в теории деления в основном применяются два критерия (условия) разрыва, которые являются очевидными предельными случаями по отношению друг к другу. Так, например, в многочисленных работах Никса и др. [22-26] и в работах других групп [27-30] за критерий разрыва принимается условие обращения в нуль радиуса шейки, Ду = 0. Хотя данное условие разрыва является согласованным в моделе жидкой капли (МЖК) с резкой поверхностью ядра [12-15,31], но оно неудовлетворительно [16], так как описание ядра в МЖК теряет смысл, когда радиус шейки становится сравнимым с расстоянием между нуклоиами [16]. Привлекательным с физической точки зрения является определение условия разрыва на основе критерия неустойчивости ядра относительно вариации толщины его шейки [16], когда исчезает гребень, разделяющий долины деления и разделенных осколков. Данное условие разрыва соответствует предразрывпым конфигурациям делящегося ядра с конечным радиусом шейки, в среднем равным О.ЗЯо (Яо — радиус исходного сферического ядра) [12-16,32-35]. Другим физически разумным и приемлемым является критерий разрыва ядра, основанный на балансе сил кулоновского отталкивания будущих осколков и ядерного притяжения между ними [36]. В моделе случайного разрыва Брозы и др. [17,18] использовался критерий гидродинамической нестабильности шейки относительно разрыва, который также приводит к предразрывным конфигурациям ядра с радиусом шейки Ду — 0.3 — 0.4/?о

Начало теоретического изучения вопроса разрыва делящегося ядра на осколки было положено в работах Струтинского с соавт. [12-15]. В этих работах на основе решения иптегродиффереициального уравнения в МЖК было впервые дано физически последовательное определение критической конфигурации делящегося ядра как узкой области деформаций, в которой на энергетической поверхности образуется выход из долины деления (непрерывных форм ядра) в долину разделенных осколков [12-15]. В. М. Струтииским с соавторами было установлено, что при деформациях, больших этой данной критической деформации не существует сплошных фигур условного равновесия, а есть только фигуры условного равновесия, соответствующие разделенным осколкам. Данная критическая деформация интерпретируется как точка разрыва делящегося ядра на осколки. Ей соответствует расстояние между центрами тяжести будущих осколков Dcnt ~ 2.3jRo и радиус шейки ядра RN ~ 0.24Д0 Для Z2/А ~ 0 и pent ^ 2.38i?0 и Ду — 0.27i?o для Z2/А 36. Суммируя все вышесказанное, можно сделать вывод о том, что в большинстве теоретических подходов разрыв ядра на осколки происходит при достаточно толстой шейке, в среднем соответствующей Rn — О.ЗЛо

Заметим, что наличие двух долин на энергетической поверхности в МЖК и хребта между ними, исчезающего для вытянутых форм, подтверждено микроскопическими расчетами по методу Хартри-Фока [37].

Особо отметим, что условие разрыва делящегося ядра на осколки является одним из двух конечных условий при моделировании распада возбужденного составного ядра. Вторым конечным условием является образование остатка испарения.

Остаток испарения регистрируется при уменьшении энергии возбуждения ядра в результате эмиссии легких частиц и 7-квантов до значений + Ecoi^q, р) < min (Б/, где Bf и Вп — соответственно величина барьера деления и энергия связи нейтрона.

При моделировании динамики деления в многомерном подходе считается, что ядра делятся на осколки при достижении поверхности разрыва. Поверхность разрыв - это геометрическое место точек разрывных конфигураций ядра. В случае N коллективных координат поверхность разрыва будет гиперповерхностью размерности N — 1. Например, в двухмерном случае поверхностью разрыва является линия. В трехмерном случае это будет поверхность.

Выбор условия разрыва особенно сильно влияет на такие важные характеристики процесса деления, как средние значения и дисперсии энергетических распределений осколков деления. Такая чувствительность параметров энергетического распределения очевидна: в основном кинетическая энергия осколков определяется энергией их взаимодействия в момент разрыва.

Во всех упомянутых теоретических подходах критическая деформация ядра в разрыве оказывается практически постоянной в широком интервале делящихся ядер. Важным следствием постоянства критической деформации для широкого круга ядер, как отмечено в работах [12-15], является линейный вид зависимости средней кинетической энергии осколков деления (Ек) от параметра Z2/Л1/3, что собственно и составляет полуэмпирический закон, установленный Терреллом па основе анализа экспериментальных данных [38]. На данный момент все наиболее известные систематики экспериментальных данных по (Ек) [19,38] используют линейный вид зависимости {Ек) от Z2/А1/3, но с различными коэффициентами. Величина этих коэффициентов, в частности, зависит от расстояния между центрами масс формирующихся осколков непосредственно перед разрывом на осколки. Во всех условиях разрыва предполагается, что исходное компаунд-ядро, достигнув в процессе своей эволюции критической деформации, которая может соответствовать тому или иному условию разрыва, с единичной вероятностью делится на осколки. В недавней работе [39] был предложен вероятностный критерий разрыва ядра на осколки. В этом подходе предполагается, что существует ненулевая вероятность разделения ядра на осколки после появления шейки в форме ядра. Динамические расчеты, проведенные в [39], показали, что при использовании однотельного механизма ядерной вязкости данный критерий разрыва дает результаты для наиболее вероятной критической деформации, близкие к результатам, найденным в работах Струтинского с соавт. [12-15].

Теоретические оценки третьего и четвертого моментов энергетического распределения осколков деления атомного ядра в рамках ланжевсновского формализма были даны в работе [40]. В этой же работе [40] был проведен анализ критериев разрыва делящегося ядра на осколки, критерий нулевой шейки, например, не давал хорошего согласия с экспериментом. Следует' отметить, что в работе [40] были представлены расчеты двухмерной лап-жевеновской динамики, в то время как в настоящей работе использовалась трехмерная модель.

Целью настоящей работы являлось систематическое описание первых четырех моментов энергетического распределения осколков деления, а также других экспериментально наблюдаемых величин, в рамках трехмерной лаижевеновской динамики деления при использовании различных критериев разрыва ядра на осколки традиционных для современной теории деления. В качестве условий разрыва мы применяли критерий равенства нулю радиуса шейки Д/\г = 0, критерий конечного радиуса шейки Ду = 0.3/?о и вероятностный разрыв. Используя экспериментальные данные по всем наблюдаемым характеристикам, нам хотелось бы отобрать один или несколько критериев, которые лучше других описывают экспериментальные данные. В проведенном анализе величина ядерной вязкости не варьировалась.

Данные по средней кинетической энергии осколков (Ек) - первому моменту энергетического распределения, довольно часто использовались [19, 24,36,41,42] в динамических вычислениях, в том числе, и в двумерных лан-жевеновских расчетах [40] для определения механизма и величины ядерной вязкости [36,43-45].

Хотелось бы также подчеркнуть, что систематические расчеты МЭР осколков и средней множественности предразрывных нейтронов, проведенные в последние годы [41, 46] позволили сделать однозначный выбор в длительной дискуссии относительно того, какой механизм ядерной вязкости (двухтелыюй или однотельной) реализуется при делении возбужденных ядер. Одновременное описание параметров МЭР осколков и средней множественности предразрывных нейтронов достигается при однотельном механизме вязкости в его модифицированном варианте с коэффициентом редукции вклада от формулы стены к8 = 0.25 — 0.5 [41]. Однако, детальный анализ зависимости параметров энергетического распределения от дисси-пативных эффектов показывает, что влияние этих эффектов трудноотличимо от влияния параметризации формы и количества коллективных координат, использованных в расчетах [47]. Поэтому возникающая неопределенность в результате анализа энергетического распределения не позволяет однозначно определить величину ядерной вязкости.

В наших расчетах мы использовали модифицированный однотельный механизм с коэффициентом редукции вклада формулы стены к8 = 0.25, поскольку именно это значение приводило к хорошему описанию [33,41] как параметров МЭР, так и средней множественности предразрывных нейтронов при делении возбужденных ядер. Кроме того, это значение близко к значению к8 = 0.27, которое было определено из анализа экспериментальных данных по ширинам гигантских резонансов [43,44] независимо от деления.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на V и VI международных конференциях "Ядерная и радиационная физика" в г. Ал-маты, Казахстан, сентябрь 2005 года и июнь 2007 года, соответственно, на научных семинарах кафедры теоретической физики и физического факультета ОмГУ им. Достоевского и опубликованы в 5 печатных работах [48-52]

В первой главе описана модель, на основе которой получены все основные результаты в рамках трехмерных ланжевеновских расчетов. В ней представлены коллективные координаты, транспортные коэффициенты, статистическая ветвь расчетов и другие ингридиенты модели.

Во второй главе представлены различные критерии разрыва, применяемые в современной физике деления атомных ядер.

В третьей главе представлены и проанализированы результаты расчетов.

В заключении диссертации сделаны основные выводы и обсуждены перспективы будущего применения многомерного стохастического подхода для описания динамики реакций деления ядер.

Работа выполнена на кафедрах Теоретической физики и Экспериментальной физики Омского государственного университета имени Ф.М. Достоевского.

Заключение и выводы

На основе проведенных трехмерных ланжевеновских расчетов дана динамическая интерпретация средней кинетической энергии осколков деления. Из анализа значений дисперсии сделан вывод о недостаточном разнообразии форм выбранной параметризации. Используемая модель позволяет получать значения высших моментов энергетического распределения, которые удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Проведено сравнение расчета моментов энергетического распределения настоящей работы с результатами двумерных расчетов, что позволило сделать вывод о целесообразности включения третьей координаты. Ниже представлены более детальные выводы.

• Среднее расстояние между будущими осколками в момент разрыва линейно увеличивается с ростом кулоновского параметра. Оно меняется от 2.37До для 142Се до 2.65Я0 для 256Ет

• Увеличение среднего расстояния с ростом кулоновского параметра не является настолько значительным, чтобы систематика Виолы, предполагающая постоянство среднего расстояния между осколками в момент разрыва, нарушалась даже для тяжелых ядер.

• Вероятностный критерий разрыва ядра на осколки приводит к почти полной компенсации вкладов энергии ядерного притяжения и предразрывной энергии

Все три критерия разрыва достаточно точно описывают первый момент энергетического распределения, отклонение от систематики Виолы [119] составляет не больше 5%. В области тяжелых ядер значения средней кинетической энергии, полученные для вероятностного критерия разрыва и для условия разрыва Ям = О.ЗДо) лучше согласуются с систематикой Виолы, а значения, полученные для критерия нулевой шейки, лучше описываются систематикой, описанной в работах [19,109].

Все три критерия воспроизводят резкий рост значений дисперсии энергетического распределения для тяжелых ядер Z2/А1 /Ъ > 1200, наблюдаемый на эксперименте.

Все критерии разрыва ядра дают меньшие значения дисперсии, чем экспериментальные данные. Это может быть связано с недостаточным разнообразием предразрывных форм в используемой параметризации.

Все критерии разрыва удовлетворительно описывают экспериментальные данные по третьему и четвертому моментам энергетического распределения. Однако, недостаточная статистика как экспериментальных, так и теоретических расчетов не позволяет сделать значимые заключения.

Хорошее согласие значений, полученных для критерия нулевой шейке с экспериментальными данными, несмотря на то, что этот критерий по принципиальным причинам давно не используется в физике деления. Хорошее согласие с экспериментом может быть связано с тем, что критерий нулевой шейки эффективно учитывает послеразрывное движение осколков деления.

• Все моменты энергетического распределения с первого по четвертый существенно меняются при включении третьей координаты.

Перспективы развития модели представляются в следующих улучшениях:

• Развитие модели с числом коллективных координат N > 3, как это показано в оригинальной работе Брозы с соавторами [17,18].

• Учет зависимости коэффициента редукции от формулы стены от деформаций [96]

• Использование в расчетах температурной зависимости параметров жидкой капли, в том числе и в модели с конечным радиусом действия ядерных сил

Благодарности

Выражаю глубокую признательность своему научному руководителю — Адееву Геннадию Дмитриевичу за постановку задач и неоценимую помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы. Я благодарен ему за большое терпение, понимание и участие, порой, даже при решении не научных проблем и вопросов. Я искренне признателен Русанову Александру Яковлевичу за постоянный интерес к работе, ценные замечания и обсуждения.

Хочу выразить признательность своему коллеге по работе Надточему Павлу Николаевичу, теснейшее сотрудничество с которыми и поддержка неоценимы.

1. Risken Н. The Fokker-Plank equation. 2nd edition. // Berlin. -Springer. - 1989. - 540 p.

2. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. // Москва. Мир. - 1986. - 526 с.

3. Ван-Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. // Москва. Высшая школа. - 1990. - 376 с.

4. Волков В. В. Ядерные реакции глубоконеупругих передач. // Москва. Энергоиздат. - 1982. - 183 с.

5. Kramers Н. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. - Vol. 7. - P. 284-304.

6. Bohr N., Wheeler J. A. The mechanism of nuclear fission. // Phys. Rev. -1939. Vol. 56. - P. 426-450.

7. Feldmeier W. J. Transport phenomena in dissipative heavy-ion collisions: The one-body dissipation approach. // Rep. Prog. Phys. 1987 - Vol. 50 -P. 915-994.

8. Zhang Jing-Shang, Weidenmtiller H. A. Generalization of Kramers's formula: Fission over a multidimensional potential barrier. / / Phys. Rev. C. 1983. - Vol. 28. - P. 2190-2192.

9. Grange P. Effects of transients on particle emission prior to fission in a transport description of the fission process. // Nucl. Phys. A. 1984. -Vol. 428. - P. 37-62.

10. Адеев Г. Д., Гончар И. И., Пашкевич В. В., Писчасов Н. И., Сердюк О. И. Диффузионная модель формирования распределений осколков деления. // ЭЧАЯ. 1988. - Том 19. - С. 1229-1298.

11. Delagrange H., Grégoire С., Scheuter F., and Abe Y. Dynamical decay of nuclei at high temperature: competition between particle emission and fission decay. // Z. Phys. A. 1986. - Vol. 323. - P. 437-449.

12. Strutinsky V. M., Lyashchenko N. Ya., Popov N. A. Symmetrical shapes of equilibrium for a liquid drop model. // Nucl. Phys. 1963. - Vol. 46. -P. 639-659.

13. Струтинский В. M., Лященко H. Я., Попов H. А. Симметричные фигуры равновесия в модели ядра с резкой поверхностью (капельная модель). // ЖЭТФ. 1962. - Том 43. - С. 584-594.

14. Струтинский В. М. Равновесная форма ядра в капельной модели с переменным поверхностным натяжением. // ЖЭТФ. 1963. - Том 45. -С. 1891-1899.

15. Струтинский В. М. Устойчивость равновесных состояний ядра в капельной модели. // ЖЭТФ. 1963. - Том 45. - С. 1900-1907.

16. Brack M., Damgaard J., Jensen A. S., Pauli H. C., Strutinsky V. M., Wong C. Y. Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its application to the fission process. // Rev. Mod. Phys. -1972. Vol. 44 - P. 320-405.

17. Brosa U., Grossmann S. In the exit channel of nuclear fission. // Z. Phys. -1983. Vol. A310. - P. 177-187.

18. Brosa U, Grossmann S., and Miiller A. Nuclear scission. // Phys. Rep. -1990. Vol. 197. - P. 167-262.

19. Иткис M. Г., Русанов А. Я. Деление нагретых ядер в реакциях с тяжелыми ионами: статические и динамические аспекты. // ЭЧАЯ. -1998. Том 29. - С. 389-488.

20. Старцев А. И. Эффект конечности длины когерентности в динамике деления ядер. // Proceedings of the XIHth Meeting on "Physics of Nuclear Fission"(Obninsk, Russia, 1995) SSCRF-IPPE: edited by B. D. Kuzminov, 1995. - P. 94-112.

21. Рубченя В. А,, Явшиц С. Г. Динамические процессы на конечной стадии деления атомных ядер. // ЯФ. 1984. - Том 40. - С. 649-658.

22. Nix J. R., Swiatecki W. J. Studies in the liquid-drop theory of nuclear fission. // Nucl. Phys. 1965. - Vol. 71. - P. 1-94.

23. Nix J. R. Further studies in the liquid-drop theory of nuclear fission. // Nucl. Phys. A. 1969. - Vol. 130. - P. 241-292.

24. Davies К. T. R., Sierk A. J., Nix J. R. Effect of viscosity on the dynamics of fission. // Phys. Rev. C. 1976. - Vol. 13. - P. 2385-2403.

25. Negele J. W., Koonin S. E., Moller P., Nix J. R. Dynamics of induced fission. // Phys. Rev. C. 1978. - Vol. 17. - P. 1098-1115.

26. Sierk A. J., Koonin S. E., Nix J. R. Modified one-body nuclear dissipation. // Phys. Rev. C. 1978. - Vol. 17. - P. 646-653.

27. Hasse R. W. Dynamic model of asymmetric fission. // Nucl. Phys. A. -1969. Vol. 128. - P. 609-631.

28. Hasse R. W. Fission of heavy nuclei at higher excitation energies in a dynamic model. // Phys. Rev. C. 1971. - Vol. 4. - P. 572-580.

29. Tillack G.-R., Reif R., Schulke A., Frôbrich P., Krappe H. J., Reusch H. G. Light particle emission in the Langevin dynamics of heavy-ion induced fission. // Phys. Lett. B. 1992. - Vol. 296. - P. 296-300.

30. Tillack G.-R. Two-dimensional Langevin approach to nuclear fission dynamics. // Phys. Lett. B. 1992. - Vol. 278. - P. 403-406.

31. Cohen S., Plasil F., Swiatecki W. J. Equilibrium configurations of rotating charged or gravitating liquid masses with surface tension. II. // Ann. Phys. 1974. - Vol. 82. - P. 557-596.

32. Bao J., Zhuo Y., Wu X. Systematic studies of fission fragment kinetic energy distributions by Langevin simulations. // Z. Phys. A. 1995. -Vol. 352. P. 321-325.

33. Karpov A. V., Nadtochy P. N., Vanin D. V., and Adeev G. D. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei. // Phys. Rev. C. 2001. -Vol. 63. - P. 054610.

34. Надточий П. H., Карпов А. В. и Адеев Г. Д. Ланжевеновская динамика деления нагретых вращающихся ядер: систематическое применение к тяжелым ядрам с Z2/A = 34 42. // ЯФ. - 2002. - Том 65. -С. 832-846.

35. Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov A. V. More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach. // Phys. Rev. C. 2002. - Vol. 65. - P. 064615.

36. Davies K. T. R., Managan R. A., Nix J. R., Sierk A. J. Rupture of the neck in nuclear fission. // Phys. Rev. C. 1977. - Vol. 16. - P. 1890-1901.

37. Berger J. F., Girod M., Gogny D. Microscopic analysis of collective dynamics in low energy fission. // Nucl. Phys. A. 1984. - Vol. 428. -P. 23c-36c.

38. Terrell J. Fission Neutron Spectra and Nuclear Temperatures. // Phys. Rev. 1959. - Vol. 113. - P. 527-541.

39. Адеев Г. Д., Надточий П. H. Вероятностный разрыв делящегося ядра на осколки. // ЯФ. 2003. - Том 66. - С. 647-661.

40. Косенко Г. И., Гончар И. И., Сердюк О. И., Писчасов Н. И. Расчет моментов энергетического распределения осколков деления ядер методом уравнений Ланжевена. // ЯФ. 1992. - Том 55. - С. 920-928.

41. Адеев Г. Д., Карпов А. В., Надточий П. Н., Ванин Д. В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер. // ЭЧАЯ. 2005. - Том 36. - С. 732-820.

42. Blocki J., Boneh Y., Nix J. R., Randrup J., Robel M., Sierk A. J., Swi§,tecki A. J. One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei. // Ann. Phys. (N.Y.). 1978. - Vol. 113. - P. 330-386.

43. Nix J. R., Sierk A. J. Mechanism of nuclear dissipation in fission and heavy-ion reactions. // Proceedings of the International School—

44. Seminar on Heavy Ion Physies(Dubna, USSR, September 1986). -Dubna, JINR, 1987. P. 453-464.

45. Sierk A. J., Nix J. R. Fission in a wall-and-window one-body-dissipation model. // Phys. Rev. 1980. V. C21. P. 982-987.

46. Abe Y.j Ayik S., Reinhard P.-G., Suraud E. On stochastic approaches of nuclear dynamics. // Phys. Rep. 1996. - Vol. 275. - P. 49-196.

47. Krappe H. J. Achievements and problems in modeling fission of hot nuclei // Proceedings of the XIII Meeting on Physics of Nuclear Fission in Memory of Prof. G.N.Smirenkin,(Obninsk, 1995). Obninsk. 1995. -P. 134-144.

48. Borunov M. V., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Nuclear scission and fission-fragment kinetic-energy distribution: Study within three-dimensional Langevin dynamics. // Nucl. Phys. A. 2008. - Vol. 799. - P. 56-83.

49. Борунов M. В., Надточий П. H., Адеев Г. Д., Динамическое описание моментов энергетического распределения осколков деления и разрыв делящегося ядра // ЯФ. 2007. - Том 70. - С. 1897-1909.

50. Борунов М. В., Адеев Г. Д. Точность описания седловых конфигураций в {с, /г, се}—параметризации. //Вестник Омского Университета. -2008. Ш. - С. 41-45.

51. Борунов М. В., Адесв Г. Д. Применение функции Грамма-Шарлье для расчета высших моментов энергетического распределения осколков деления //Вестник Омского Университета. 2008. - №2. - С. 24-28.

52. Надточий П. Н., Борунов М. В., Адеев Г. Д. Динамическая интерпретация систематики Виолы и разрыв делящегося ядра на осколки //Вестник Омского Университета. 2005. - №1. - С. 5-16.

53. Trentalange S., Koonin S. Е., and Sierk A. J. Shape parametrization for liquid-drop studies. // Phys. Rev. C. 1980. - Vol. 22. - P. 1159.-1167.

54. Adeev G. D., Gamalya I. A., and Cherdantsev P. A. Energy surfaces of 238U in parametrization of Cassinian ovaloids. // Phys. Lett. B. 1971. -Vol. 35. - P. 125-128.

55. Adeev G. D. and Cherdantsev P. A. Dependence of mass fission asymmetry on the compound excitation energy. // Phys. Lett. B. -1972. -Vol. 39. P. 485.-488.

56. Maruhn J., Greiner W. The asymmetric two-centre shell model. // Z. Phys. 1972. - Vol. 251. - P. 431-457.

57. Pauli H. C. On the shell model and its application to the deformation energy of heavy nuclei. // Phys. Rep. 1973. - Vol. 7. - P. 35-100.

58. Adeev G. D., Pashkevich V. V. Theory of macroscopic fission dynamics. // Nucl. Phys. A. 1989. - Vol. 502. - P. 405c-422c.

59. Сердюк О. И., Адеев Г. Д., Гончар И. И., Пашкевич В. В., Писча-сов Н. И. Массово-энергетическое распределение осколков деления в диффузионной модели. // ЯФ. 1987. Том 46. - С. 710-721.

60. Косенко Г. И., Кол яри И. Г., Адеев Г. Д. Применение объединенного динамическо-испарительного подхода для описания деления, индуцированного тяжелыми ионами. // ЯФ. 1997. Том 60. С. 404-412.

61. Косенко Г. И., Ванин Д. В., Адеев Г. Д. К расчету множественности послеразрывных нейтронов деления возбужденных ядер. // ЯФ. 1998. Том 61. - С. 416-420.

62. Mamdouh A., Pearson J. М., Rayet М. and Tondeur F. Large-scale fission-barrier calculations with the ETFSI method. // Nucl. Phys. A. -1998. Vol. 644. - P. 389-414.

63. Davies К. T. R. and Nix J. R. Calculation of moments, potentials, and energies for an arbitrarily shaped diffuse-surface nuclear density distribution. // Phys. Rev. C. 1976. - Vol. 14. - P. 1977-1994.

64. Ставинский В. С., Работнов Н. С., Серегин А. А. Геометрическая модель симметричного деления. // ЯФ. 1968. - Том 7. - С. 1051-1055.

65. Серегин А. А. Расчеты эффективной массы и поля скоростей делящегося ядра в модели жидкой капли. // ЯФ. 1992. - Том 55. - С. 26392646.

66. Ivanyuk F. A., Kolomietz V. М., Magner A. G. Liquid drop surface dynamics for large nuclear deformations. // Phys. Rev. C. 1995. -Vol. 52. - P. 678-684.

67. Радионов С. В., Иванюк Ф. Я., Коломиец В. М. и Магнер А. Г. Динамика деления возбужденных ядер в рамках модели жидкой капли. // ЯФ. 2002. - Том 65. - С. 856-863.

68. Randrup J. and Swiatecki W. J. One-body dissipation and nuclear dynamics. // Ann. Phys. (N.Y.). 1980. - Vol. 125. - P. 193-226.

69. Blocki J., Shi J.-J., Swiatecki W. J. Order,''chaos and nuclear dynamics. // Nucl. Phys. A. 1993. - Vol. 554. - P. 387-412.

70. Pal S. and Mukhopadhyay T. Shape dependence of single particle response and the one body limit of damping of multipole vibrations of a cavity. // Phys. Rev. C. 1996. - Vol. 54. - P. 1333-1340.

71. Mukhopadhyay T. and Pal S. Chaos in single particle motion and one body dissipation. // Phys. Rev. C. 1997. - Vol. 56. - P. 296-301.

72. Pal S. and Mukhopadhyay T. Chaos modified wall formula damping of the surface motion of a cavity undergoing fissionlike shape evolutions. // Phys. Rev. C. 1998. - Vol. 57. - P. 210-216.

73. Chaudhuri G. and Pal S. Fission widths of hot nulei from Langevin < dynamics. // Phys. Rev. C. 2001. - Vol. 63. - P. 064603.

74. Chauduri G. and Pal S. Prescission neutron multiplicity and fission probability from Langevin dynamics of nuclear fission. // Phys. Rev. C. -2002. Vol. 65. - P. 054612.

75. Chauduri G. and Pal S. Evaporation residue cross-sections as a probe for nuclear dissipation in the fission channel of a hot rotating nucleus. // Eur. Phys. J. A. 2003. - Vol. 18. - P. 9-15.

76. Blocki J., Brut F., Srokowski T., and Swiatecki W. J. The order to chaos transition in axially symmetric nuclear shapes. // Nucl. Phys. A. 1992. -Vol. 545. - P. 511c-521c.

77. Frobrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion-induced fission. // Phys. Rep. 1998. -Vol. 292. - P. 131-237.

78. Wegmann G. Static viscosity of nuclear matter. // Phys. Lett. B. 1974. -Vol. 50. - P. 327-329.

79. Paul P. and Thoennessen M. Fission time scales from giant-dipole resonances. // Ann. Rev. Part. Nucl. Sci. 1994. - Vol. 44. - P. 65108.

80. Hofman D. J., Back B. B., Dioszegi I., Montoya C. P., Schadmand S., Varma R., and Paul P. Viscosity of saddle-to-scission motion in hot 240Cf from giant dipole resonance 240O/ yield // Phys. Rev. Lett. 1994. -Vol. 72. - P. 470-473.

81. Myers W. D. and Swiatecki W. J. Anomalies in nuclear masses. // Ark. Phys. 1967. - Vol. 36. - P. 343-352.

82. Krappe H. J., Nix J. R., and Sierk A. J. Unified nuclear potential for heavy-ion-elastic scattering, fusion, fission and ground state masses and deformations. // Phys. Rev. C. 1979. - Vol. 20. - P. 992-1013.

83. Hasse R. W. and Myers W. D. Geometrical Relationships of Macroscopic Nuclear Physics. //Berlin. Springer-Verlag. - 1988. - P. 121.

84. Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei. // Phys. Rev. C. -1986. Vol. 33. - P. 2039-2053.

85. Davies K. T. R., Sierk A. J., Nix J. R. Calculation of moments, potentials, and energies for an arbitrarily shaped diffuse-surface nuclear density distribution. // Phys. Rev. C. 1976. - Vol. 14. - P. 1977-1994.

86. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 5. Статистическая физика. // Москва. Наука. - 1976. - С. 64.

87. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Том 2 // Москва. -Мир. 1977. - С. 534.

88. Balian R., Bloch С. Distribution of eigenfrequencies for the eave equation in a finite domain I. three-dimensional problem with smooth boundary surface. // Ann. Phys. 1970. - Vol. 60. - P. 401-447.

89. Игнатюк А. В., Иткис M. Г., Околович В. Н., Смирепкин Г. Н., Тишин А. С. Деление доактинидных ядер. Функции возбуждения реакции (а, /). // ЯФ. 1975. - Том 21. - С. 1185-1205.

90. Cohen S., Swiatecki W. J. The deformation energy of charged drop. Part V: results of electronic computer studies. // Ann. Phys. (N.Y.). 1963. -Vol. 22. - P. 406-437.

91. Green A. E. S. Nuclear Physics. // (McGraw-Hill, New York, 1985), 185.

92. Strumberger E., Ditrich K., and Pomorski K. A more detailed calculation of particle evaporation and fission of compound nuclei. // Nucl. Phys. A. -1991. Vol. 529. - P. 522-564.

93. Mavlitov N. D., Frobrich P., and Gontchar I. I. Combining a Langevin description of heavy-ion induced fission including neutron evaporation with the statistical model. // Z. Phys. A. 1992. - Vol. 342. - P. 195198.

94. Игнатюк А. В. Статистические свойства возбужденных атомных ядер. // Москва. Энергоатомиздат. - 1983. - С. 175.

95. Junghans A. R., de Jong M., Clerc H.-G., Ignatyuk A. V., Kudyaev G. A. and Schmidt K.-H. Projectile-fragment yields as a probe for the collective enhancement in the nuclear level density. // Nucl. Phys. A. 1998. -Vol. 629. - P. 635-655.

96. Santanu P., Chaudhuri G., Sadhukhan J. The role of neck degree of freedom in nuclear fission. // Nucl. Phys. A. 2008. - Vol. 808. - P. 1-16.

97. Rayleigh J. W. Proc. London Math Soc. X, 4 (1878)

98. Lamb H.: Hydrodynamics pp.472-473. New York: Dover 1945

99. Duijvestijn M. C., Koning A. J., and Hambsch F.-.O. Mass distribution in nucleon-induced fission at intermediate energies. // Phys. Rev. C. -2001. Vol. 64. - P. 014607.

100. Gontchar G. I., Kosenko G. I. The fragment kinetic-energy distribution and scission conditions in fission of highly excited nuclei. // International School-Seminar on Heavy Ion Physics(Dubna, Russia, May 10-15 1993). -Dubna, JINR, 1993 P. 40-41.

101. Krappe H. J., Towards a consistent description of particle evaporation during the fusion-fission reaction. // Proceedings of the International Workshop on Dynamical Aspects of Nuclear fission(Slovakia, Smolenice, 1991) JINR, Dubna, 1992, - P. 5170.

102. Карамян С. А., Оганесян Ю. Ц., Пустыльник Б. И. Влияние конечной стадии процесса деления на дисперсии распределений осколков по массе и заряду. // ЯФ. 1970. - Том 11. - С. 982-991.

103. Norenberg W. Theoretical Study on Scission Configurations of Fissioning Pu240 and Pu242. // Phys. Rev. C. 1972. - Vol. 5. - P. 2020-2030.

104. Wilkins B. D., Steinberg E. P., and Chasman R. R. Scission-point model of nuclear fission based on deformed-shell effects. // Phys. Rev. C. -1976. Vol. 14. - P. 1832-1863.

105. Royer G. and Remaud B. Fission processes through compact and creviced shapes. //J. Phys. G: Nucl. Phys. 1984. - Vol. 10. - P. 1057-1070.

106. Bonneau L.; Quentin L., and Mikhailov I. N. Scission configurations and their implication in fission-fragment angular momenta. Phys. Rev. C. -2007. Vol. 75. - P. 064313.

107. Жданов С. В., Иткис М. Г., Мульгин С. М., Околович В. Н., Русанов А. Я., Смиренкнн Г. Н., Субботин М. И. Высшие моменты распределения энергии осколков симметричного деления ядер. // ЯФ. 1992. -Том 55. - С. 3169-3179.

108. Asghar М., Gaitucoli F., Perrin P., Wagemans С. Fission fragment energy correlation measurements for the thermal neutron fission of 239Pu and 235U. // Nucl. Phys. A. 1978. - Vol. - 311. - P. 205-218.

109. Hinde D. J., Hilscher D., Rossner H., Gebauer В., Lehmann M., Wilpert M. Neutron emission as a probe of fusion-fission and quasifission dynamics. // Phys. Rev. С. 1992. - Vol. 45. - P. 1229-1259.

110. Plasil F., Burnett D. S., Britt H. C., Thompson S. G. Kinetic energy-mass distributions from the fission of nuclei lighter than radium. // Phys. Rev. 1966. - Vol. 142. - P. 696-701.

111. Hinde D. J., Ogata H., Tanaba M., Shimoda T., Takahashi N., Shinohara A., Wakamatsu S., Katori S. and Okamura H. Systematics of fusion-fission time scales. // Phys. Rev. C. 1989. - Vol. 39. - P. 2268-2284.

112. Plasil F. and Schmitt H. W. Mass and Energy Distributions from 77.3-MeV 4He-Induced Fission of 181Ta, 209Bi, and 233£/: A Test of LiquidDrop - Model Predictions. // Phys. Rev. C. - 1972. - Vol. 5. - P. 528-531.

113. Кендал Дж., Стюарт А. Теория распределений. // Москва. Наука. -1966. - С. 587.

114. Itkis M. G., Okolovich V. N., Smirenkin G. N. Symmetric and asymmetric fission of nuclei lighter than radium. // Nucl. Phys. A. 1989. - Vol. 502. -P. 243c-260c.

115. Wada Т., Carjan N., Abe Y. Multi-dimensional Langevin approach to fission dynamics. // Nucl. Phys. A. 1992. - Vol. 538. - P. 283-290.

116. Viola V. E., Kwiatkowski K., Walker M. Systematics of fission fragment total kinetic energy release. // Phys. Rev. C. 1985. - Vol. 31. - P. 15501552.

117. Nix J. R. and Sierk A. J. Dynamics of fission and heavy ion reactions. // Nucl. Phys. A. 1984. - Vol. 428. - P. 161c-176c.

118. Nadtochy P. N., and Adeev G. D., Dynamical interpretation of average fission-fragment kinetic energy systematics and nuclear scission. // Phys. Rev. C. 2005. - Vol. 72. - P. 054608.

119. Pashkevich V. V., Rusanov A. Ya. The 22QTh fission valleys. // Nucl. Phys. A. 2008. -Vol. 810. - P. 77-90.

120. Жданов С. В., Бейзин С. Д., Иткис М. Г., Околович В. Н., Русанов А. Я., Смнренкин Г. Н., Субботин М. И. Исследование формы энергетических распределений осколков деления. // ЯФ. 1989. - Том 50. -С. 913-921.

121. Жданов С. В., Иткис М. Г., Мульгин С. М., Околович В. Н., Русанов А. Я., Смиренкин Г. Н., Субботин М. И. Энергетические распределения осколков и динамика деления нагретых ядер. // ЯФ. 1993. -Том 56. - С. 55-66.

122. Mulgin S. I., Okolovich V. N., Zhdanov S. V. Observation of new channel in the proton-induced low energy fission of nuclei from 233Pa to 245Bk. // Phys. Lett. B. 1999. - Vol. 462. - P. 29-33.

123. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // Москва. Наука. - 1968. - С. 720.

124. Knitter H. H., Hambsch F.-J., Budtz-Jourgensen C., Theobald J. P. Three Exit Channels in the Fission of 235U(n, /). //Naturforsh Z. A. 1987. -Vol. 462. - P. 786-790.

125. U. Brosa, H.-H. Knitter, Tie-shuan Fan, Ji-min Hu, and Shang-lian Bao Systematics of fission-channel probabilities. // Phys. Rev. C. 1999. -Vol. 59. - P. 767-775.

126. Pokrovsky I. V., Itkis M. G, Itkis J. M. et al. // Phys. Rev. C. 2000. -Vol. 62. - P. 014615.

127. Анго А. Математика дл электро- и радиоинженеров //Москва. Наука. - 1967. - 780 с.