Развитие теории конечных упругих и упругопластических деформаций и решение контактных задач тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Роговой Анатолий Алексеевич

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ УПРУГИХ И УПРУГО ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИИ И РШШИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1993

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ЗубОЕ Леонид Михайлович; доктор физико-математических наук, профессор Кравчук Александр Степанович; доктор физико-математических наук, профессор Пальмов Владимир Александрова

Ведущая организация: Институт гидродинамики СО РАН

Защита состоится ^^{¿С^ШЗг. в £^час.££_ мин.

на заседании специализированного соьета Д 063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университе те по адресу: 198904, г.Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, 2, математико-механический факультет, аудитория 3534,

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г.Санкт-Петербург, Университетская наб.,7/9

Автореферат разослан 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-матема- ^

тических наук, профессор ^С.А.Зегжм*

/

. . V 1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБС'ТЫ

Актуальность.. Большие деформации возникают е элементах конструкций, специально спроектированных для работы в таких условиях, и в технологических процессах обработки материалов давлением. Ъ первом случае, обычно, среда проявляет упругие свойства, ео втором - упругопластические. Нелинейная механика упругих тел достаточно полно разработана для сжимаемых и несжимаемых материалов. Реальные материалы - слабосжимаемые и, в ряде случаев, аппроксимация их несжимаемыми некорректна, особенно в области стесненной деформации. Теория больших упругопластических деформаций вообще находится в стадии становления и далека от завершения. Поэтому необходимость в разработке этих проблем Еытекает как из логики внутреннего развития механики, так и из потребностей практики.

В процессе деформирования элементы конструкций взаимодействуют (контактируют) с другими деталями сборки, а заготовка - с элементами технологического оборудования. Это требует создания эффективных алгоритмов и программ для численного решения контактных задач с большими деформациями.

Работа проводилась в соответствии с Основными направлениями развития естественных и общественных наук на 1981-1985 г.г., на 1986-1990 г.г. и на период до 2000 года, Координационным планом НИР по проблеме "Механика деформируемого твердого тела" (1.10.2) на 1986-1990 г.г." (п.1.10.2.3), заданиями общеакадемической программы фундаментальных исследований по проблеме "Повышение надежности систем машина-человек-среда" на 1989-2000 г.г (п.1.3.5) по темам "Исследование напряженно-деформированного состояния и оптимизация элементов конструкций из упругих и вязкоупругих материалов" (№ ГР 81008294, 1981-1985 г.г), "Исследование взаимосвязи структуры Еысоконаполненных эластомерных .композиций с их механическим поведением и прочностью" (№ ГР 81003219, 1981-1985 г.г.), "Теория и алгоритмы решения упругих и упругопластических контактных задач при конечных деформациях" (№ ГР 01.86.0002922, 19861990 г.г.) и по 8 хозяйственным договорам.

УёЗ^_Л522£§Е1§Ш2 состоит в развитии теорий больших упругих деформаций для слабосжимаемых и несжимаемых материалов и больших упругопластических деформаций, что предполагает обоснование определяющих уравнений и вариационной формулировки проблемы, разработку основ численной реализации и решение конкретных контактных упругих и упругопластических задач с конечными деформациями.

Научкая_ноЕкзна^_

1. Установлена связь коротационных производных А/ -го порядка с различными формами тензора напряжений, которая использована при конкретизации общей формы релаксационного уравнения состояния для простого материала, в том числе е рамках кинематики, определяемой наложением малых деформаций на конечные.

2. Исходя из разложения упругого потенциала деформации е ряд по третьему инварианту тензору меры деформаций Коши-Грина, получено уравнение состояния, справедливое как для слабосжимае-мого, так и для несжимаемого упругого материала.

3. Для решения задач с большими упругими деформациями сла-босжимаемого и несжимаемого материала предложен функционал, редукция которого на линейные задачи приводит к известному принципу Геррманна.

4. Исходя из разложения Ли градиента полной деформации на упругую и пластическую составляющие, е рамках кинематики, определяемой наложением малых деформаций на конечные, получена общая форма уравнения состояния для больших упругих и упругопластичес-ких деформаций, обобщающая теорию пластического течения Прандтля-Рейсса. Осуществлена конкретизация общей формы для упрощенного закона Синьорини и редукция полученных уравнений на малые упругие деформации.

5. Разработаны основы численной реализации упругих и упруго-пластических контактных задач с большими деформациями. Предложена процедура восполнения напряжений и обобщена на большие улру-гопластические деформации процедура радиального возврата.

6. Исследованы модели образования вакуоли е наполненном эластомере и поведения узла заделки резиновой мембраны. Предложена и исследована модель технологического процесса ротационной вытяжки цилиндрических деталей.

¿остоверность научных положений и выводов обеспечивается обоснованным использованием теоретических подходов и подтверждается совпадением полученных результатов с имеющимися точными решениями тестовых задач.

Практическая_значимость состоит в разработанных алгоритмах и программах для решения упругих и упругопластических контактных задач с большими деформациями и в результатах проведенных по этим программам исследований поведения узла заделки резиновой мембраны (для Ленинградского филиала НШРП) и технологического процес-

са ротационной вытяжки цилиндрических деталей (для Пермского завода "Машиностроитель"). Общий подтвержденный экономический эффект составляет ~ 200 тыс.рублей.

Апробацил_работы. Основные результаты работы докладывались на П Всесоюзном симпозиуме "Теория механической переработки полимерных материалов" (Пермь, 1980); I, П, 1У Всесоюзных симпозиумах по остаточным напряжениям (Москва, 1982, 1985; Пермь, 1992); 1У семинаре-совещании по термовязкоупругости эластомеров (Краснодар, 1982); Ш-У Всесоюзных научно-технических конференциях "Методы расчета изделий из еысокоэлэстичных материалов" (Рига, 1983, 1986, 1989); УШ Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Пермь, 1983); Всесоюзной каумо-технической конференции "Новые технологические процессы прокатки, интенсифицирующие производство и повышающие качество продукции" (Челябинск, 1984); П Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси,

1984); Всесоюзном симпозиуме "Вопросы теории пластичности е современной технологии" (Москва, 1985); УП ^коле-семинаре "Метод конечных элементов в механике деформируемых тел" (Запорожье,

1985); I-Iii Всесоюзных конференциях по нелинейной теории упругости (Ленинград, 1983; Зрунзе, 1985; Сыктывкар, 1989); Всесоюзной зколе-семинаре "Математическое моделирование е науке и технике" (Пермь, 1986); П, Е Всесоюзных научно-технических совещаниях "Динамика и прочность автомобиля" (Москва, 1986, 1988); 1У Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса, 1989); У1 Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария, Варна, 1989); I Европейской конференции по механике твердого тела (Германия, Мюнхен, 1991).

Полностью работа докладывалась в.1990-1992 г.г. на научных семинарах под руководством докторов наук К.5.Черныха, В.Н.Кукуд-жаноЕа, В.А.Пальмова, Ю.И.Няшина и П.В.ТрусоЕа, К.В.Новикова и В.И.Левитаса, Л.А. Толоконникова и А.А.Маркина, Б.Д.Аннина и О.В.Соснина, H.S.Морозова.

Результата работы опубликованы в I книге, 16 статьях, 19 тезисах докладов, 12 отчетах.

Стоуктура_и_объем_Еаботы. Диссертация состоит из восьми глав, включая введение и заключение, списка литературы (371 источник, из них 279 русских и 92 иностранных наименования) и ак-

тое внедрения, содернит 362 страницы масинописного текста, в том числе 57 рисункоЕ и 3 таблицы .

1. Замкнутая теория больших упругих деформаций для слабосжи-маекых и несжимаемых материалов, а именно:

- определяющее уравнение и вариационная формулировка проблемы (функционал);

- новые аналитические решения для стержня из слабоснимаемого материала и несжимаемого длинного полого цилиндра;

- процедура численной реализации проблемы;

- результаты численного исследования упругих контактных задач, моделирующих образование вакуоли е наполненном эластомере к поведение узла заделки резиновой мембраны.

2. Совокупность результатов, развивающих теорию больших уп-ругспластических деформаций, а именно:

- методика обобцения теории пластического течения Лрандтля-Рейсса на больаие упруголластичеекие деформации с произвольным упругим законом, основанная на разложении Ли градиента полной деформации на упругую и пластическую составляющие и кинематике, определяемой наложением малых деформаций на конечное;

- процедура радиального возврата и восполнения напряжений;

- алгоритм численной реализации проблемы;

- модель технологического процесса ротационной вытяжки цилиндрических деталей и результаты ее численного исследования.

СОДЕК.ЙШЕ РАБОТЫ

§2_££едении (I глава) анализируется состояние дел в области определяющих соотношений. Рассмотрены общие вопросы уравнений состояния (термодинамика, принципы инвариантности, дополнительные предположения, аксиомы и неравенства), определяющие уравнения изотропной упругой среды, в том числе слабосжимаемой,и упругопласти-ческой среды; вопросы, связанные с разложением градиента деформации на упругую и пластическую составляющие и выбором объективней производной в эволюционном уравнении. Здесь же рассмотрены постановка и численные методы решения нелинейных задач, контактные задачи. В результате этого анализа формулируются цели и задачи исследования.

ё°_!12Е2В_Е2§£§ излагаются основы теории конечных деформаций (кинематика, тензоры напряжений, определяющие соотношения для простого материала). Однако, эта глаЕа имеет и самостоятельное

значение, так как в ней устанавливается связь коротационных производных У -го порядка с разными формами тензора напряжений, которая затем используется при конкретизации общей формы релакса-■ ционного уравнения состояния для простого материала, в том числе е рамках кинематики, определяемой наложением малых деформаций на конечные.

Среди основных соотношений нелинейной механики - теории деформаций и напряжений, законов сохранения, общей теории определяющих уравнений - последняя представляет наибольший интерес. Оп--ределяющие уравнения базируются на законах термодинамики, принципах инвариантности и дополнительных предположениях, аксиомах и неравенствах.

Особое место в теории определяющих уравнений занимают принципы инвариантности, постулирующие независимость уравнений состояния от преобразований актуальной конфигурации и некоторых преобразований начальной конфигурации. Легко показать, что вводимые в теории напряжений различные формы тензора напряжений

т, - X • гл = /г -/ г. р-тж ц . г У г. г. г

т^^-т.0- Т.. г'г/ Т¥ * Г.у г, ^ (1)

^ л Л - • V _ Л ^ , Ч / ^ 4 -А

инварианты по отношению к вращению актуальной конфигурации. В выражениях (I) Т*ТУЯ/- тензор истинных напряжений, 7} X) - соответственно вращательная (повернутый тензор), верхняя (энергетический тензор), нижняя, левая и правая конвективные фермы тензора напряжений и тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа второго рода;

л , —. , Л ____ — л л л

' 1 ' » (2) = г.=з г/э$:,

2 , К - радиус-векторы точки в недеформированной и актуальной конфигурациях, соответственно.

Для объективности эволюционных определяющих уравнений используют коротационные производные /? -производную, Олдройда, Коттер--Ривлина, левую, правую, Трусделла, Яуманна:

^ я X л Д л ^ X ? л А л г

т*= т-а-г + т-м, 7" = т — - Г'£ , т - т + £ -т + т> £г Т*-* т-е-т + т-е,

п Л л А л т 4 -А л и _ -А , л

тр «г * € .г-г.£гу г^'т-£-г~т.£г+ г*г ег

е -

Г^- Г се)-т Т - О)

я.

где ¿ = (4)

В диссертации показано, что эти производные связаны с тензорами (I) следующими зависимостями:

----^Г1 ^ А Г Л ¿А -А ^ , ' - -

<

? л' Л-

'се^.с/г' ^ ^ 'г1 • -

Т = 7- = Р-Т^-Р''* ё. ¿У

' - . ' (5)

^"п г»' Л /V А— П V -Ч л

7" * ТГ^'Л , Г = ¿г-'/г. - А

/V V-/

Л*

Здесь /. - /У-ная Еременная производная, ' ^ -У

г®^?1 - ((г*)*'-у0'

- Л' -ная коротационная производная.

Общая форма релаксационного уравнения состояния для простого материала' записывается е Еиде

¿Г^Л ; /¿М ¿Ъ * Г Я ..., Я (6Х)

который, с учетом принципа объективности, преобразуется в (62)

/Я'*.*.-*; (б2)

Отсюда, например, с учетом (I), (5), следуют частные случаи материалов дифференциального типа

и релаксационного типа первого порядка

Л * 0 л г -л £ -1т-

* Л 7" - • £ ^ г+АтМъГ.^.рГ '„т.д.,

удоЕлетЕорякцие теореме Нояла.

В работах В.А.Лальмова доказано, что независимость определяю-

Еих уравнений от системы отсчета Еытекает из объективности скалярных Ееличин-плотностей свободной энергии, внутренней энтропии, функции диссипации и производства энтропии. Применительно к изотропным нелинейно упругим материалам эти условия вырождаются к одному - объективности упругого потенциала. И если он будет функцией инвариантов мер деформаций или инвариантов самих деформаций, то, как показано в диссертации, уравнения состояния будут объективны»™.

В отсчетной конфигурации эе , относительно которой рассматриваются малые перемещения й и деформации , с начальными напряжениями т0 выражения (7) запишутся: „ г^г.+З-г- /> Т. * +*■*"*>

где ё.&МЪ ¿-К*: (9)

л.

Здесь £ - функции отклика материала на чистую деформацию относительно конфигурации а? .

В общем случае тензоры в (9) в конфигурации ге определяются через тензоры £ , заданные в конфигурации . Представляя градиент деформации р в Еиде

(10)

л

где - градиент малой деформации относительно конфигурации х. , а - градиент деформации, переводящий конфигурацию к, в х , получаем, например, для (8£) ^

д л -Л ■* и -Л Л * -Л Л 3 / л л , 4 Л -

В С симаолами ° и * обозначены свертки слева и справа, соответственно, тензоров Еторого ранга ^ и третьим и вторым ба-засными векторами тензора четвертого ранга . Смысл (11£)

простой. Зто переход от базиса конфигурации аг„ к базису конфигурации зе- . Конкретизацией выражений для упрощенного закона Синьорини, например, будет уравнение

- 10 -

. л

где А , & - параметры Ламе, - тензор деформаций Альманзи.

Вообще градиент деформаций Р можно представить в виде наложения малых деформаций на конечные (10) или конечных на малые:

и 1 л л А Л . .Л "А А Л

■л л л и и

Если теперь ) то г г<г.е

■А. А Л

\ (122)

■А -А

Заметим, что как # , так и Н*- малые величины. Преобразование (12^) меняет только базис, к которому отнесены малые координатные составляющие. ^ л

В случаях, когда тензоры малых деформаций / или V в (12р "не меняют" напряженного состояния, т.е. когда тензор / переводит конфигурацию X с напряжениями Тс , полученную из ненапряженной конфигурации с помощью градиента деформации , в новую конфигурацию с теми же по модулю напряжениями 7~а , что и в конфигурации х , а тензор У перегодит ненапряженную конфигурацию эе0 в другую ненапряженную конфигурацию, определяющее уравнение (П^ сводится к соотношениям

*** -Л, -А/ / тп\

Т » для разложения (10),

л л А (1от)

т= 71 * ¿/- г.-г/ для разложения (12^-),

где (132)

Наконец, объективные производные по времени от (8) находятся либо непосредственным дифференцированием, либо с использованием соотношений (5), и записываются в форме

¿'-К-*.

В_тоетьей_главе рассмотрены определяющие соотношения для изотропного слабосжимаемого и несжимаемого материала и простейшие эксперименты для идентификации обобщенных модулей упругости этих соотношений, решен тестовый пример с использованием предложенных уравнений состояния, осуществлены вариационная постановка краевой задачи и аналитическая проверка полученных определяющих уравнений и функционала. При этом'кайдены новые решения задач об одноосном растяжении стержня из слабосжимаемого материала и о больших де-

формациях в вертикальном'тяжелом цилиндре.

В литературе нашли отражение дга подхода к учету слабой сжимаемости эластомера. Первый основан на опорном упругом потенциале "близкого" несжимаемого материала и некоторой добавки, определяемой из эксперимента на гидростатическое сжатие (К.й.Черных и др.). Второй связан с разложением упругого потенциала в ряд по третьему инварианту тензора меры деформации Коши-Грина, ответственному за сжимаемость, в окрестности единицы (Р.В.Огден). Выбор в качестве независима переменных для упругого потенциала тех или других групп инвариантов приводит к различным формам уравнения состояния. Как оказалось, использование инвариантов

4 = А*1*, (1о)

где , - главные инварианты тензора меры деформация Ко-

ши-Грина, позволяет упростить идентификацию обобщенных модулей упругости по экспериментальным данным. Тогда упругий потенциал записывается в виде

- .Л _Д ,

т*> V = > ^ (16)

и, вводя обозначения ^

^ ^ и Л д ^ . ¿ЙЛ * 2 I 3 У Л и

тл.О^ЪЛ), (17)

и разлагая V в ряд по в окрестности единицы, получаем, ограничиваясь в силу слабой сжимаемости материала только членами второго порядка малости,

Отсвд? приходим к следующему определяющему уравнению с обобщенными модулями упругости С> , сл , ы , :

¿-'А, <?тл

(19)

ь - л &-о * г Ъ -о \ (20)

Уравнение состояния (19) справедливо как для слабоскшаемых, так и для несжимаемых сред. Действительно, как показано е работе, для несжимаемого материала У-г~о-оо , ы—* о , 6~ и "V-, - ограниче-

ны и кз (19) следует, что « /

Отличительная особенность определяющих уравнений (19) заключается в то:.:, что несжимаемость материала определяется не к::.че:.:а-тической зависимостью -Л.- ^ , а обобщенны.! модулем упругости

, по величине которого колено судить о степени сжимаемости материала.

Б недеформированном состоянии из (19) имеем

. Л и

откуда следует, что в естественной конфигурации

В диссертации показано, что редукция уравнения (19) на малке деформации приводит к соотношениям

н +«я.)

еьхСъ+кЛХ*, Л, !---—\Лл л (21)

откуда следует, что при 2я—<" чГ—»•£>.а.

Идентификацию обобщенных модулей упругости в (19) можно провести или разрабатывая

систему экспериментов для их определения, или располагая упругим потенциалом. Например, для эксперимента на одноосное деформированное состояние (осадка цилиндрического образца в замкнутом объеме), приходим к зависимости

откуда для несжимаемого материала имеем Л - ^ , °° •

Исходя из упругого потенциала, по соотношениям (17), (20) легко получить выражения для обобщенных модулей упругости, что и проделано е диссертации для закона Синьорини. Для рассмотренной затем задачи о простом сдвиге с уравнением состояния (19) получено известное решение.

Краевые задачи нелинейной теории упругости, за редким исключением, допускают только численное решение. Большое значение среди численных методов приобрели методы, основанные на вариационной постановке задачи. В настоящей работе использован функционал

¿у = - Г (Г- + Й>&Л) -

отнесенный к недеформированному состоянию, который является нетривиальным обобщением функционала, предложенного Цешкотто и Фонде-

ром. 3 диссертации показано, что вариация функционала (22) по ¿^ ("£') и б* приводит к известному вариационному уравнению

I(23)

эквивалентному системе уравнений механики сплошных сред. Аналогич-нь'й результат получен и для несжимаемого материала, т.е. когда в функционале (22) о<= О .

Но, как оказалось, редукция функционала (22) на линейную задачу не приводит непосредственно к широко известным и хорошо себя зарекомендовавшим принципам Геррнанна и Ки. К тому же численная реализация его, как показала практика, связана для некоторых задач с проблемой устойчивости решения. В сеязи с этим предложены модификации функционала (22): л

Не (в, й) -- - f Се- V *

-

Не (н, ¿¡) = - а*} + (25)

/ £ - а*{»-гV

* (26) * ¿(Хг+^Х.)

Л ~

Причем, для функционала (25) введено масштабирование (26) и из него при а = / , следует функционал (22), при <?»/ , - (24), при ¿>«/4 , / - в линейном случае непосредственно функционал Геррманна. _ Для функционала (25) также доказано, что Еариация его по и (£') и Н приводит к вариационному уравнению (23).

С «использованием функционала (22) получены новые решения задач об одноосном растяжении стержня из слабосжимаемого материала, о больших деформациях в вертикальном тяжелом цилиндре, а также известные соотношения между усилиями и большими деформациями полой сферы для упругих потенциалов Неогука и Джента-Томаса. Причем, редукция этих решений, соответственно, на несжимаемый материал и малые деформации приводит к хорошо известным результата!.!.

Четве2тая_глава посвящена численной реализации упругой задачи. Здесь Еыписана система разрешающих уравнений МКЭ для функционала (25), приведены соотношения линеаризованной задачи, осущест-

Елена конкретизация последних для осесимметричного случая, решены контактные задачи, имеющие практическое значение. В этой главе полагается, что все обобщенные модули упругости - константы. (В связи с этим У-, - О ).

В соответствии с процедурой МКЭ, составляющие Еектора перемещений в элементе и функция типа среднего давления аппроксимируются с помощью функций формы к значений переменных е узлах е виде

^ - Ъ - ^К,

Вариационные уравнения, получаемые из функционала (25), сеодятся при этом к соотношениям

I *в' /г^

V (г?)

/ / - Оо(г?

где т ' а/"/-е~ ё V

-О-*«"Л-^с*,

составляющие энергетического тензора,

(28)

«/Л* * к4 я" ■- & % ^ ,

- символы Кристофеля второго рода. Получающаяся система уравнений - нелинейная, так как завися_т явным образом от и и «V , а />'" и от ^ . Зависимостьот связана с приведением усилия заданного в текущей конфигурации, к недеформированной поверхности:

(29)

В диссертации осуществлена линеаризация задачи путем представления перемещений, функции типа среднего давления и внеиних усилий в виде суммы накопленной величины и приращения на паге:

и разложения е ряд по приращениям перемещений и функции типа среднего давления величин, зависящих от них:

| А*

где

-Г

л/Ъ

Бее полученные выражения конкретизированы для огесга-етрк^сЛ задачи в цилиндрической системе координат. Показано, что пр:- отсутствии поверхностных интегралсЕ в (27) матрица жесткости системы получается симметричной. В случае иесгагметрячкс."! :.:атр::цы кост-кости возможно итерационное реиенне системы, которое быстро --годится при малых величинах усилий Р . При значительных значенное Р процесс очень длительный и более выгодно формировать и решать несимметричную систему.

Используя вышеизложенные результаты, старг."; кау.-кк.: сструд-никсм ПМСС УрО АК СССР, к.т.н. Кожевнике? с Г: Л.;:, при учагто:: м.н.с. Калинина В.Е. к автора диссертации была разработана АССЛ-программа для ЭВМ БЭСЫ-6, с помощью кстсрс.": было проведен;: следование рассмотренных ниже зада-:. При этом ксяользсваг/сь треугольные цилиндрические конечные элементы, квадратичная аппрете/- . мация поля перемещений и линейная функции типа среднего давлен:-.-?. Программа тестировалась на задаче о больших деформациях в вертикальном тяжелом цилиндре, для которой, как уже говорилось еьт.о, в диссертации получено точное решение.

При решении контактных задач (без трения) упругих или упруго-пластических использовалась следующая процедура. Ьа с -той итерации на части поверхности контакта задаются нормальные перемещения, Еыбирающие зазор, а на остальной части &Г- нулевые усилия. Решается краевая задача и на «^."определяются нормальные контактные усилия, а на - перемещения. Затем, если е какой-либо зоне (¿>.")'с £>? нормальные усилия стали больше нуля, а в (£. )'с: возникшие перемещения не удовлетворяют условию непроникания, то для следующей итерации принимается, что г?^, = и

и = и весь процесс повторяется сноеэ. В об-

щем случае доказательства сходимости такой процедуры нет. Но раз-

бивая процесс нагружения на ряд шагов так, чтобы на каждом шаге зона контакта или только расширялась, или только сужалась, т.е. чтобы в первом случае на шаге в процессе итераций не появились области а во Етором - )', что Есегда можно осуществить Еыбором величины шага, приходим к тому, что функционал, эквивалентный постановке контактной задачи в виде Еаркационного неравенства, монотонно стремится к минимуму на заданном множестве ограничений для каадого шага нагружения. Пошаговый же алгоритм решения краевой задачи естественен при рассмотрении больших деформаций.

В диссертации приведены результаты исследования двух упругих задач. Первая моделирует образование вакуоли в ячейке композита при растяжении ее заданным перемещением и сжатии боковым давлением. Жесткое паровое включение вложено без зазора в полость, расположенную на оси эластомерного цилиндра, что моделирует слабую адгезионную связь между матрицей и включением. Трекие на поверхности контакта отсутствует. Приведены формы отслоений е зависимости от внелней осевой деформации при давлениях р = 0.1 МПа и р-О , распределения главных деформаций и напряжений в направлении контура Еакуоли и главных напряжений в перпендикулярном направлении при Енешней осевой деформации 60% (максимальная деформация возникает на контуре вакуоли в районе экватора и достигает 160^).

В результате проведенного исследования показано, что зона возможного разрыва матрицы находится на поверхности вакуоли е месте, где начинается отслоение. Известные экспериментальные данные подтверждают это заключение. Установлено, что наложение внешнего дав"ения уменьшает как максимальную растягивающую деформацию, так и максимальное растягивающее напряжение на стенках Еакуоли при одной и той же внешней деформации, что является одним из факторов, способствующих повышению прочности и дефоркативности композита.

Объектом исследования Еторой задачи являлась плоская резиновая круглая мембрана с буртсм оЕально-прямоугольного типа. Б исходном состоянии бурт мембраны не нагружен. Перевод ее в рабочее состояние осуществляется сжатием бурта. При этом в нем возникают технологические напряжения и деформации. Затем на тело мембраны с одной стороны подается давление, которое приводит к изменению зоны контакта бурта с узлом заделки, напряжений и деформаций. Задача исследовалась при условии полного прилипания на контактных поверхностях и полного проскальзывания (без трения). Получены конфигурации бурта мембраны после технологического поджатия и при

в гиде

г*« Г ^ ,

- ^ 4- с**е-Л)- (40)

- 7 / --а-- V-

¿не ^

В этом выраяенга можно теперь избавиться от (Г . Осуществляя дважды свертку его с & , получаем: ^

5"=-

-,(41)

' Л» ' //<Г

что позволяет определяющее уравнение упругопластического материала при больших деформациях записать в виде

-"> , -С 2 л

и

Если считать £се малыми величинами порядка е и е , из (40), (41) получаем известные соотношения

л зен л 1 6- =--

\ ^ (42)

л р -А я , * л / и ^^ *

обобщаащие теорию пластического течения Прандтля-Рейсса на большие упругопластические деформации с малыми упругими деформациями, что справедливо для металлов. Интегрируя (42£) по малому промежутку времени, получаем •

л * л л л л ^ л

Т • Т* - Т„-аГ+ А> Х.=Аег/у, ,

(43)

о €г* ¿{зе+н)

В диссертации показано, что полученные определяющие уравнения удовлетворяют термодинамическому неравенству Клаузиуса-Дюгема для изотермического процесса.

Определяя тензор напряжений Пиолн-Кирхгофа второго рода Л. л~г л - /—' л

-- р - Г- р утл =

Теория пластического течения Прандтля-Рейсса определяется соотнесением * , ■ Т/ л

Л * '

/ X. .Л л . //с — / 3 * л \*/Л л

где Ур =-( — } (5"= (— ¿"-57 » е/> и & девиаторы тензоров

^ и Т , соответственно. Учитывая, что = , где А' -модуль пластического упрочнения, из (14) и (34) получаем уравнение состояния для больших упругопластических деформаций

Т - Г е-'с е ' —(¿-Г^т^я-ь Iе.» & ) (35)

ИЛИ ,

?е -л з в' , .л ^ и ^

— — + г). (36)

Конкретизацией (34) для упрощенного закона Синьорини Ш3) будет уравнение

А Л -4, л А Л, Л ± г* /■ ✓ 1 А

г- +с/-т€- т-сУ- ее- /7 - е, + ) + +

■л

*/та с) - (37)

Тогда (35), (36) принимают конкретный вид

^^ ^ /3 ёг -м •л л ¿г А X \

+[¿со^ьа.^а- (38)

<*■ н<> , (39)

^ 7/г/- (г*1 ^

Для многих реальных материалов, как отмечает Л.В.Никитин, де-виаторная составляющая тензора начальных напряжений Тс много меньше модулей упругости. Шаровая же составляющая для материалов, работающих не в экстремальных условиях, слабо влияет на постоянные Ламе, определенные при нулевом избыточном давлении. Поэтому в (37)

.л, 4

мзяно пренебречь членами и и и тогда (38) запишется

^ .-л ^ а .а а л л алл

* = ¿е Ъе' Уг'Ър > ге-Ро* ~ ре > (31)

л * л * *

или а виде

Л 4 л л у и Л А \ л

•и л

Р г- а х - / ^

В первом случае приходим к наложению малых упругих деформаций /г на накопленные упругие и наложению малых пластических деформаций У/> на конечные пластические ^ . Второй случай получается из первого с учетом соотношения (12^), определяет кинематику наложения малых упругих и пластических деформаций на накопленные конечные и представляется выражением

-1 ^ | , -< и 1 и ^ 1 | --1 Р-а+н)'?,, + ■ (33)

Второй подход, на наш взгляд, лучше отражает кинематику реального процесса. Разложения (31), (32) позволяют рассматриваемую модель упругопластического тела трактовать как модель упругого тела с от-счетной ненапряженной конфигурацией , получаемой из ненапряженной конфигурации с помощью градиента деформации (В.И.Кон-дауров, Л.В.Никитин). Так как У^, в (31) не меняет напряженного состояния (переводит одну ненагруженную конфигурацию в другую), то, в соответствии с (322), ^ в (32^) также не меняет по модулю напряженного состояния. Поэтому, учитывая (13^), начальными напряжениями для градиента деформации ^ будут

и .А л -л д

и общий вид уравнения состояния упругого материала тогда записывается, с учетом (П^ 2^» в Форме

и л, ± .л ' л, -л £ * *

где . (Из (31), (32следует, что .

откуда по (12£> получаем, что и (13^) снова приводит к

выписанному выше выражении для начальных напряжений тж ). Далее, из (33) получаем, что

л л ^

- г? -

подаче давления 8 Ша (7.5 МЛа в задаче с полным проскальзыванием), определены зоны контакта, напряжения и контактные усилия. Максимальная растягивающая деформация при осадке возникает в центре бурта в направлении оси Ч и достигает 47$ (28% в задаче с полным проскальзыванием), а при подаче давления - на поверхности со стороны давления в области сопряжения тела мембраны с буртом тоже в радиальном направлении и достигает величины 150& (.136%). Подача давления вызывает в задаче с проскальзыванием большие растягивающие напряжения в зоне сопряжения теяа мембраны с буртом, в 6-6 раз превышающие, например, для , аналогичные напряжения при полном прилипании, и сравнимые с прочностью резины на растяжении.

ё_пятой_главе проведено формальное обобщение теории пластического течения Правдтля-Рейсса на большие упругопластические деформации, приведено обоснование такого обобщения и осуществлена вариационная постановка упругопластической задачи с большими деформациями.

Построение определяющих соотношений при больших упругопласти-ческих деформациях связано с тремя основными этапами. Это введение мер упругой и пластической деформаций, выбор объективной производной в эволюционном уравнении состояния и определение термодинамических ограничений, налагаемых на последнее.

Один из распространенных вариантов введения мер деформаций предложен Ли

Р = Р - Р

* Р ' (30)

л

Здесь г - градиент полной деформации из начальной конфигурации в текущую X , Ре - градиент упругой деформации из промежуточной конфигурации -эс* в актуальную , Р^, - градиент пластической деформации из в Промежуточная конфигурация а?*получается из достигнутой в упругопластическом процессе текущей конфигурации X. путем упругой разгрузки до нулевых напряжений. Поэтому, в общем случае, конфигурация зе* неевклидова, в связи с чем вводится понятие касательной в точке X разгруженной конфигурации (В.И.Кон-дауров, Л.В.Никитин), представляющей собой конфигурацию однородно деформированного тела с деформациями, равными всюду деформациям в точке X . Разгруженная конфигурация определяется с точностью до ортогональной деформации, откуда следует, что группой равноправности для уравнения состояния упругого материала является полная ортогональная группа, т.е. упругий материал начально изотропен.

Разложение (30) можно представить в виде

приходим к вариационной постановке упругопластической задачи с большими деформациями для л -го шага:

](тъ К- ¿-и- / р.Дй^

л ^ л ^ -л л л л л

Ту, ~ /„ ~ е*га - тЛ.е * ¿=,

/^всли } Э//Э5 > О (44)

= I О, если <//=0, <0

А ■

эя /*

Здесь У» и объем и поверхность на начало п -го шага, у -индикаторная функция, / - поверхность нагружения. Заметим, что в выражении для (44£> опущен член , который, как отме-

чается во многих работах, слабо влияет на решение задачи, но приводит к несимметричной матрице жесткости в МКЭ.

Приращение пластической деформации можно найти из выражения ^а ¿г = = (45)

л АЛ

где 6' - девиатор тензора Т (43), а - девиатор того же тензора, но без пластической добавки ^ , или определяя из выражения

1 А -Л * л , Л . А А

упругую деформацию при заданном и зная приращение полной деформации.

1§£2§3_Е2§ЗШ посвящена численной реализации упругсг.ластичес-ких задач. Здесь рассмотрены методы решения упругопластических задач, обобщена на большие деформации процедура радиального возврата, получена система разрешающих уравнений МКЭ для вариационного уравнения (44), предложена процедура восполнения напряжений в МКЭ и рассмотрены особенности ее численной реализации, приведен алгоритм численного решения упругопластической контактной задачи с большими деформациями.

При численной реализации вариационного уравнения (44) необходимо осуществлять снос решения на поверхность текучести. Как показано в ряде работ, наибольшая скорость сходимости процедуры сноса достигается при сносе решения по нормали к поверхности текучести. Поэтому в работе использована процедура радиального возврата, обобщенная на конечные деформации. Показано, что определяющее уравне-

ние для этой процедуры приводится к виду

■Л А У 4 А , А \ ? *

+ , (46)

и « .Л * их Л Л

«с «С )< ч а I " _ - -Л \ 1 .■ .Л

* ■ ^ , ^ ' + (47)

(48)

г; - Л; а = ^-сс),^^]

-—, у"- (49)

* (50)

¿е / V- Н/(36-] где ^ - значение & на начало шага. При 1 уравнение (46) переходит в (43). В соответствии с процедурой радиального возврата для /С -той итерации упругие напряжения и напряжения, приведенные на круг текучести, Т1^записанные через начальные напряжения в конфигурации на начало шага , представляются в виде

^ £ ^ ¿'(¿«'-¿«'у. £ _

(51)

< 'О

К-(

т Д - (52)

(¿«-¿»у ,

з-^ , (53)

Ь?*-* У/*«* [и, % + Л

С <3 сг а 3«?«, 'о .

Зная напряжения и Г1"'1, определяются интенсивности напряжений

ёе(гес*у , , параметр ^ (50) и величины

¿г- , /</* и /У*(48), (49), входящие в уравнение (46) на следующей итерации. ^

Зная Г"*в текущей конфигурации, аналогично (44) определяются напряжения Пиолы-Кирхгофа второго рода в конфигурации

° е (С™)''

и из соотношения

где

" ¿-о ' <? ¡*с ■> >

в конфигурации

где положено, что - на итерации. В итоге вариационное

уравнение (44) записывается в виде

где - /"

4 /<Г>0 •»

— « БЫ-Г Г I оз к>о > г

аг»1,ш ***

I* С О, к>о .

>

Итерационный процесс процедуры радиального возврата заканчивается, когда о( с наперед заданной точностью становится равным единице. Математическим доказательством сходимости мы не располагаем. Но вычислительная практика показывает его эффективность, что продемонстрировано при решении задачи о ротационной вытяжке.

Численная реализация вариационного уравнения (55) осуществлена для плоской задачи МКЭ с треугольной криволинейной сеткой и квадратичной аппроксимацией поля перемещений. Приращение перемеще-

ний на /С -той итерации /7 -го шага представлялось в виде суммы накопленной к < -той итерации величины и приращения на итерации. В соответствии с этим представлялись напряжения, деформации и их вариации. При этом полная матрица жесткости элемента получается не симметричной. Пренебрегая в ней членами второго порядка малости, удалось привести ее к симметричной форме. Но основной недостаток МКЭ для уравнения (55) проявился полностью.

Как известно, МКЭ достаточно хорошо аппроксимирует поля перемещений и значительно хуже поля напряжений. Особенно сильно это проявляется на границе области. Поэтому для получения "хороших" напряжений необходимо привлекать методы восполнения, которые повышают точность определения напряжений, но и усложняют (порой существенно) численную реализацию задачи. В линейной механике ео многих случаях возможен компромисс между точностью и сложностью реализации процедуры восполнения напряжений. В нелинейной механике такой компромисс проблематичен. Обычно нелинейные задачи линеаризуют и решают пошаговым методом. Использование при этом на каждом шаге простой, но менее точной, процедуры восполнения поля напряжений приводит к быстрому накоплению ошибок в напряжениях. Применение более точных, а, значит, и более сложных методоз построения поля напряжений выливается в огромное время счета задачи. Все это заставило заняться разработкой эффективной процедуры восполнения напряжений. Суть ее в следующем (плоский случай).

Пусть расчетная область разбита на элементы так, что хотя бы две, проходящие через данный узел, линии сетки выходят на поверхность области. Каждая из этих линий разбивает тело на две части. Отбрасывая одну из частей, будем аппроксимировать внешние усилия р , действующие на оставшуюся часть тела со стороны отброшенной, через их значения в узлах и функции формы. Тогда для линейной аппроксимации

< д —• ^ ^ ~ . (56)

Здесь Д- - значения /э в узлах < , - функция формы для узла б не равная нулю на участке (]) . Для определения в (56) применим метод наименьших квадратов

В результате получим систему линейных алгебраических уравнений с ленточной положительно определенной симметричной матрицей

С / С ' Рк(/ С

Г (*> (е) * гкгГ : *

"к

Легко заметить, что правая часть этой системы, в соответствии с МКЭ, представляет собой узловые усилия

которые можно определить, зная матрицы жесткости примыкающих к /г? -тому узлу элементов и узловые перемещения е этих элементах. Отсюда вытекает следующая последовательность действий. Используя обычную процедуру МКЭ, решаем задачу, но при этом запоминаем матрицы жесткости элементов. Умножая матрицы жесткости элементов, примыкающих к данному узлу, на полученные перемещения, определяем узловые усилия , формируем и решаем систему (58), в результате чего получаем узловые значения р; распределенного усилия р на одной из координатных линий сетки. Поступая аналогично, находим значения в узлах усилия р на другой линии сетки. Для точки пересечения этих линий составляем соотношения Коши

Решая полученную систему, находим все составляющие тензора г в данном узле. Особенности реализации процедуры восполнения напряжений, в том числе для больших деформаций, рассмотрены в диссертации.

Общий алгоритм решения контактной упругопластической задачи с конечными деформациями состоит в следующем: а) на каждом шаге решается упругая задача, проверяется критерий пластичности и, при необходимости, решается упругопластическая задача с использованием процедуры радиального возврата. Узловые напряжения лодсчиты-ваются по процедуре восполнения напряжений, с помощью которой контролируются и условия равновесия всего тела; б) на контактных поверхностях проверяются условия непроникания и неположительности нормального давления, проводится корректировка (при необходимости) граничных условий на контакте и снова выполняется п.а). При выполнении п.б) переходим к следующему шагу по нагрузке.

Седьмая_глава посвящена моделированию технологического процесса ротационной вытяжки (РВ) цилиндрических деталей. Здесь обоснована расчетная схема процесса, осуществлена математическая постановка задачи, приведены и прокомментированы результаты расчета.

Суть процесса РВ состоит в следующем. Трубчатая заготовка надетая на оправку и вращающаяся вместе с ней, деформируется роликом, совершающим поступательное движение вдоль образующей. При этом заготовка удлиняется за счет уменьшения ее толщины, В диссертации предложена следующая расчетная схема процесса (см.рис.1) Сечение инструмента (ролика), перемещаясь из положения I в положение 2, входит в контакт с заготовкой и, перемещаясь затем в положение 3, деформирует ее. Процесс 1-2-3 активный зтап нагруже-ния и на нем могут возникать пластические деформации. Дальше, переходя в положение 4 и 5, ролик отходит от заготовки, смещается на величину подачи на оборот & , и, затем, перемещаясь из положения 6 в положения 7 и 8, снова деформирует заготовку. На пути 3-4-5 происходит разгрузка и формирование остаточных напряжений. Таким образом эта модель учитывает периодические нагрузки и разгрузки заготовки, а также влияние величины подачи £ , что видно из сравнения рис.1а и 16. Разгрузка из конечных состояний (сечение Ш-Ш) приводит к разным остаточным напряжениям.

Опираясь на ряд разумных гипотез, подтвержденных экспериментально, предложена математическая модель процесса. Она сводится к плоской изотермической упругопластической контактной задаче

О —- 4./?

Рис Л

илзг (¡е^рни/тВания

Рис.2

при больших деформациях и без трения для рассмотренной вше схемы деформирования. Считается, что материал заготовки упрочняется изотропно и механические свойства его слабо зависят от скорости деформации, соответствующей реальным процессам РВ.

Среднее время счета одного акта деформирования (нагрузка-разгрузка) на ЭВМ БЭСМ-б составляет 30 часов. При этом по контакту внутри одного акта деформирования на каждом шаге выполняется 1-2 итерации и 4-6 в начале и в конце акта. Процедура радиального возврата требует 5-10 итераций и ее сходимость графически продемонстрирована в диссертации. Распределение усилий и мощностей по сечениям ролика на 4 акте деформирования представлено на рис.2. Пластическая область возникает у поверхности ролика в области выхода заготовки из-под него, затем она распространяется на всю толщину заготовки. В области входа заготовки под ролик возникает вторая зона пластичности, которая распространяясь вдоль передней поверхности ролика, сливается с первой. При дальнейшем деформировании пластическая область, пронизывающая толщу заготовки, разрывается, концентрируется в районе выхода заготовки из-под ролика у его поверхности и, наконец, исчезает. Зона контакта заготовки с оправкой расширяется в процессе деформирования, а затем убывает примерно до первоначального размера.

В работе приведено распределение напряжений в заготовке, в том числе остаточных, динамика изменения параметра Лоде, распределение среднего напряжения, деформаций Коши-Грина и накопленной интенсивности пластических деформаций. После четвертого акта деформирования максимальная деформация - 46$, 15$, =.

-38%, = 347%. Представлена также конфигурация заготовки на четвертом акте деформирования после этапа нагружения и после разгрузки.

Контроль за решением осуществлялся по точности выполнения уравнений равновесия для всего тела и точности выполнения нулевых граничных условий по напряжениям путем вычисления главных напряжений. Последние были величинами порядка Ю-4 4 Ю-6.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Теория и алгоритм численного решения упругих задач для несжимаемых и слабосжимаемых материалов при конечных деформациях. Отчет о КНР (променут.) / Институт механики сплошных сред УНЦ АН СССР; руков, А.А.Поздеев; 15 ГР 81008294; инв. К 0282.2042970.

- Пермь, 1982. - 70 с. (с Л.Л.Кожевниковой).

2. Математическая модель процесса ротационной вытяжки цилиндрических деталей /У Остаточные напряжения и методы регулирования. Тр. Всесоюзн. сикпоз. по остат. напряж. и метод, регулир. - II.: ИЛМ АН СССР, 1982, с. 353-360.

3. Разработка математической модели процесса ротационной еы-тяжки .цилиндрических деталей. Отчет о НИР (заключ.) / Институт механики сплошных сред УКЦ АН СССР; руков. А.А.Роговой; № ГР 80009Э30; инв. - 0283.0011462. - Пермь, 1982. - 77 с. (с В.А.Сур-

сякоекм).

4. Об одном подходе к расчету упругих конструкций из несжимаемых и слабосжимаемых материалов при конечных деформациях // Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. -Свердловск: УКЦ АН СССР, 1982, с. 52-60 (с Г.В.Кузнецовым).

5. Обобщение функционала Геррманна на большие деформации // Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983, с. 9-15 (с Л.Л.Кожевниковой, Г.Б. Кузнецовым).

6. Равновесие тел вращения под действием массовых сил. -М.: Наука, 1983. - 101 с. (с Л.Л.Кожевниковой, Г.Б.Кузнецовым).

7. Методика определения деформаций с помощью микроструктурного анализа. Отчет о НИР (промеж.) / Институт механики сплошных

сред УКЦ АН СССР; руков. А.А.Роговой; » ГР 0182.4036201; кнв. I? 02.85.0062523. - Пермь, 1985. - 31 с. (с В.А.Сурсяковым).

8. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндра из слабос.тамаемого и несжимаемого материалов с осевши шаровыми включениями при больших деформациях УУ Деформирование

I: разрушение композитов. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, с. 110113 (с Л.Л.КожеЕникоЕой).

9. Вариационная постановка упругопластической задачи при больших деформагдеях в эйлероЕо-лагранжевых координатах УУ Напряжения и деформации в конструкциях и материалах. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, с. 77-83.

10. Численное решение плоской упруго-пластической контактной задачи при больших деформациях УУ Напряжения и деформации в конструкциях и материалах. - Свердловск: УКЦ АН СССР, 1985, с. 8489 (с В.И.Назаровым).

11. Об одной модели процесса ротационной вытяжки цилиндрических деталей УУ Остаточные технологические напряжения. Труды П Всесоюзн. симпоз. - М.: ИИ АН СССР, 1985, с. 261-265.

12. Контактные задачи упругости и упругопластичности. Отчет о КИР (заключ.), т.2,3 У Институт механики сплошных сред УНЦ АН СССР; руков. А.А.Поздеев; № ГР 81008294; инв. II 0286.0015995. -Пермь, 1985. Т.2 - 94 е., Т.З - 90 с. (с Б.П.Ивановым, Л.Л.Кожевниковой) .

13. Математическая модель процесса ротационной вытяжки цилиндрических деталей УУ Тез. докл. Всесоюзн. симп. "Вопросы теории пластичности в современной технологии". - М.: МГУ, 1985 ( с А.А.Поздеевым).

14. Большие упругие деформации несжимаемых и слабосжимаемых материалов. Контактная задача УУ Тез. докл. П Всесоюзн. конф. по

нелинейной теории упругости, йрунзе, 1985 (с Л.Л.Кожевниковой).

15. Численное решение контактной задачи при больших упруго-пластических деформациях УУ Анаяит.ттаские и численные методы решения краевых задач пластичности и вязкоупругости.Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, с. 95-99.

16. Вариационная постановка в приращениях упругопластической задачи при больших деформациях УУ Проблемы механики деформируемого твердого тела. - Калинин, КГУ, 1986, с. 103-110 (с А.А.Поздеевым) .

17. О проблеме определения напряжений в методе конечных эле-

ментов ]/ Численные методы в исследовании напряжений и деформаций в конструкциях. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, с. 21-27.

18. Определение напряженно-деформированного состояния в матрице, отделившейся от шарового включения, в условиях больших деформаций // Модели и методы исследования упругого и неупругого поведения материалов и конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, с. 44-46 (с Л.Л.Кожевниковой).

19. Процедура восполнения напряжений в методе конечных элементов П Модели и методы исследования упругого и неупругого поведения материалов и конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, с. 26-33 (с В.Е.Калининым).

20. Исследование напряженно-деформированного состояния уп-лотнительного узла мембраны при технологическом поджатии и последующем приложении давления. Отчет о НИР (промежут.) / Институт механики сплошных сред УрО АН СССР; руков. А.А.Рогоеой; К ГР 0186.0002922; инв. К 02.88.0067274. - Пермь, 1988. - 73 с. (с В.Е. Калининым).

21. Уравнение состояния и функционал для слабосжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях // Механика эластомеров. - Краснодар, КГУ, 1988, с. 72-88.

22. Численное исследование процесса ротационной вытяжки деталей. Отчет о КИР (заключ.) / Институт механики сплошных сред УрО АН СССР; руков. A.A.Роговой; № ГР 0187.0051500; инв. № 02.89. 0047936. - Пермь, 1989. - 212 с.

23. Исследование напряженно-деформированного состояния уп-лотнительного узла мембраны при технологическом поджатии и последующем приложении давления // Тез. докл. науч.-технич. конф. "Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов". - Рига, 1989 (с В.Е.Калининым, В.А.Сурсяковым).

24. Уравнение состояния для слабосжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях // Тез. докл. Ш Всессюзн. конф. по нелин. теор. упруг. - Сыктывкар, 1989.

25. Контактные задачи с большими упругопластическими деформациями в металлах П Тез. докл. 1У Всесоюзн. конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела". - Одесса, 1989.

26. Большие упругие деформации слабосжимаемых и несжимаемых материалов // У1 Национ. Конгресс по теоретич. и прикл. механ. -Варна, Болгария, 1989. Труды - с. 94-97. Тез. докл. - П.50 (с В.Е.Калининым, Л.Л.Кожевниковой).

27. Большие упругопластические деформации в металлах // Там же. Труды - с. 82-85. .Тез. докл. - П.42 (с Б.П.Ивановым).

28, Large Elastic Deformation oi' nearly Incompressible aud Incompressible I^aterials // Aostracts oi Shot Lectures, 1st European Solid Ueciianica Conference. Burouec'a, 1991, LIunchen, Germany, p.170-171.

Сдано в печать 19.1,93. Формат 60x84/16. Сйъем 2 п. л, Тираж 100. Заказ 1304.

Ротапринт Пермского государственного технического университета