Ренормгруппа в задачах стохастической динамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/

/

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

СЕРДЮКОВ Александр Викторович

РЕНОРМГРУППА В ЗАДАЧАХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ: РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ, АНИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ.

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998 г.

Содержание

Введение 3

1 Динамика флуктуации в окрестности критической точки. 12

1.1 Предварительные сведения о задаче........12

1.2 Критическая статика перехода жидкость-газ. . . 15

1.3 Принципы построения моделей критической динамики........................... 19

1.4 Полная флуктуационная модель. Закон дисперсии звуковой моды................... 26

2 Поглощение и дисперсия скорости звука вблизи критической точки жидкость-газ. 38

2.1 ^-модель критической динамики........... 39

2.2 Ренормировка функции отклика Я..........48

2.3 Вычисление ренормированной функции отклика

Дя по теории возмущений............... 50

2.4 Уравнение ренормгруппы. РГ-представление функции отклика........................ 53

2.5 Обсуждение результатов, сравнение с экспериментом..........................63

3 Низкочастотное критическое поглощение и дисперсия скорости звука. 69

3.1 Инфракрасная теория возмущений.......... 73

3.2 Т£7-операция ...................... 76

3.3 Низкочастотная асимптотика.............80

3.4 Обсуждение........................ 84

4 Устойчивость колмогоровского скейлинга в модели анизотропной развитой турбулентности. 87

4.1 Стохастическая модель анизотропной турбулентности ...........................90

4.2 Инфракрасно устойчивая неподвижная точка ре-нормгруппы........................94

Заключение 99

Приложение 102

Публикации 107

Цитируемая литература 108

Введение.

В предлагаемой диссертации решаются две независимые физические задачи: 1) вычисляются частотная и температурная зависимости поглощения и дисперсии скорости звука вблизи критической точки жидкость-газ на изохоре выше Тс, и 2) исследуется устойчивость инфракрасного (ИК) скейлинга с кол-могоровскими размерностями в модели анизотропной развитой турбулентности. Объединяет эти проблемы использование общих методов для их решения: теоретико-полевой постановки стохастической задачи, диаграммных разложений, метода ренормализационной группы (РГ) и ^-разложения.

Для многих физически интересных моделей теории поля диаграммные разложения теории возмущений по-прежнему остаются основным инструментом для получения конкретных результатов. Построению таких разложений препятствуют расходимости возникающих интегралов при больших импульсах интегрирования, так называемые ультрафиолетовые (УФ) расходимости. Вычитание этих расходимостей с помощью регулярной процедуры перенормировки [1]—[5] приводит к построению УФ-конечной перенормированной теории. При этом возникает произвол, связанный с конечными ренормировками. В случае так называемых мультипликативно ренор-мируемых теорий этот произвол сводится к возможности конечной ренормировки полей и параметров перенормированной теории. Оказывается, что конечные ренормировки обладают групповым свойством — соответствующую группу при-

нято называть ренормализационной группой [1]. Свойство ре-норминвариантности теории может быть выражено на языке дифференциальных уравнений. Анализируя общие свойства решений этих уравнений можно построить улучшенную теорию возмущений так, чтобы обеспечить ренорминвариант-ность получаемых приближений на каждом шаге.

Для теории критических явлений, однако, ренормгруппа — это не просто некоторый метод вычислений, она имеет непосредственный физический смысл: в окрестности фазового перехода 2-го рода ренормгруппа оказывается тем законом, который определяет поведение всех величин в зависимости от параметра близости к точке перехода, роль которого может играть, например, обратная восприимчивость. Хотя ренормгруппа и решает проблему вычисления ИК-асимптотики в теории критических явлений, она, вообще говоря, не решает проблемы отсутствия малого параметра в теории возмущений по константе связи. В качестве формального малого параметра во многих случаях можно выбрать е = — с1 — параметр отклонения размерности пространства й от логарифмической размерности с/*. (Для хорошо известной </>4-модели = 4). Метод ^-разложения, предложенный К. Вильсоном [6], является наиболее широко применяемым методом вычислений в теории критических явлений в рамках метода РГ. Несмотря на очевидные трудности, связанные с тем, что физическое значение параметра е не мало, метод е-разложения обладает особой привлекательностью благодаря своей внутренней согласованности. Важным обстоятельством, выделяющим его среди других методов вычислений, основанных на использовании РГ, является то, что ^-разложения универсальных величин, таких как критические индексы или нормированные скейлинговые функции, не зависят от используемой схемы вычитания расходимостей. Это, в принципе, позволяет сравнивать ответы разных авторов, использующих различные схемы

ренормировки.

Формулировка ренормгруппы в квантовой теории поля [1] отличается от подхода Вильсона. Для метода квантово-полевой ренормгруппы характерно то, что несущественные взаимодействия, будучи отброшены при постановке задачи, больше не появляются ни на каком этапе вычислений. Это приводит к значительным упрощениям. Именно квантово-полевой подход к РГ и используется в данной диссертации. В качестве схемы ренормировки используются минимальные вычитания (схема MS, от minimum subtractions), что естественно для ^-разложения.

В теории критического поведения, а также в теории развитой турбулентности, принято исходить из системы стохастических уравнений движения для динамических переменных. Существует красивый способ перехода от стохастической задачи к теории поля с удвоенным числом полей. Этот метод, предложенный в [7], в настоящее время находит все более широкое применение. Поскольку переход от стохастической задачи к теории поля необходим для применения метода РГ в той форме, как он используется в квантовой теории поля, то соответствующие результаты будут кратко изложены ниже. Это позволит также ввести необходимые обозначения и понятия, которые используются в дальнейшем.

План диссертации — следующий. В Гл. 1 приводятся необходимые сведения о статике критической точки перехода жидкость-газ, об общей теории динамических критических явлений и, в частности, рассматриваются теории с межмодо-вой связью. В п. 1.4, следуя подходу [8], формулируется динамическая модель, описывающая поведение флуктуаций вблизи критической точки, и приводится вывод уравнения дисперсии звуковой моды. Дисперсия скорости и поглощение звука выражаются через вещественную и мнимую части некоторой функции отклика, которая может быть вычислена в рамках

Н-модели критической динамики [9], описывающей поведение сильно флуктуирующих степеней свободы: параметра порядка и поперечного поля скорости. Вычисление функции отклика проводится в Гл. 2, где также строится РГ-представление этой функции, доказывающее для нее скейлинг, вычисляется е-разложение соответствующей скейлинговой функции и проводится сравнение полученных результатов с экспериментом. Основные результаты расчетов собраны в приложении.

В рамках ^-разложения оказывается невозможным корректно описать низкочастотную асимптотику дисперсии скорости звука, так как е-разложение содержит растущие от порядка к порядку степени логарифмов частоты. Суммирование этих логарифмов, однако, не может быть выполнено в рамках метода РГ. Низкочастотная асимптотика подробно рассматривается в Гл. 3, где методом инфракрасной теории возмущений (ИКТВ) доказывается, что при и> —у 0 приведенная дисперсия скорости звука ведет себя как а//2, где с? — размерность пространства. Эта асимптотика подтверждается сравнением с экспериментальными данными.

Глава 4 целиком посвящена другой проблеме стохастической динамики — теории анизотропной развитой турбулентности. В этой главе подробно, в рамках ^-разложения, исследуется вопрос о влиянии анизотропии на устойчивость кол-могоровского скейлинга, учитываются все генерируемые нелинейностью анизотропные вязкости и показывается, что для трехмерной задачи устойчивость сохраняется.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации. Поскольку главный предмет исследования диссертации составляет теория распространения звука в окрестности критической точки (ей посвящены три главы), то в заключении даны дополнительные ссылки на работы других авторов в этой области.

Эквивалентность стохастической задачи и теории поля с удвоенным числом полей.

Пусть <р{х) = х) — набор полей, зависящих от времени t и координат х и являющихся динамическими переменными задачи. В общем случае стохастические уравнения движения имеют вид

= !</? + У(<р) + /, (1)

где I/ — некоторая линейная операция, У(<р) — нелинейности, описывающие взаимодействие полей, / — набор случайных сил с заданным распределением. Распределение для / обычно предполагается гауссовым с нулевым средним и заданной матрицей корреляторов:

(/(*))= 0, (¡(х)/(х')) = 0^х'). (2)

Уравнение (1) рассматривается на всей оси времени I и доопределяется условием запаздывания, а также нулевым асимптотическим условием для (р при Ь ——оо. Эти условия обеспечивают существование и единственность решения уравнения (1) ф{х) = ф(х; /) для любой конкретной реализации случайной силы /. Для физических приложений представляет интерес вычисление как всевозможных корреляционных функций

(ф{х1)ф{х2)...ф{хп)), (3)

где усреднение проводится по ансамблю случайных сил, так и функций отклика на внешнюю неслучайную силу:

{5т[ф(х1)...ф(хп)]/5/(х>1)...6/(х'т)}. (4)

Стохастическая задача (1)-(2) эквивалентна некоторой кван-тово-полевой модели с удвоенным числом полей [7]. Эквивалентность понимается в смысле равенства корреляционных

функций (3), а также функций отклика (4) стохастической задачи и функций Грина соответствующей теории поля. Доказательство этого факта содержится во многих работах — [11], [13], [14], [10]. Здесь уместно привести лишь схему доказательства, опуская детали. Наиболее близкое по обозначениям изложение содержится в приложении работы [14].

Запишем производящий функционал корреляционных функций (3):

С(А) = I О(О) = 1. (5)

В (5) ] -О/ означает функциональное интегрирование по всем конфигурациям случайных сил /, а 0) = 1 — условие нормировки для меры. В показателе экспоненты в (5) используется сокращенная запись, и соответствующие интегрирования по х = всегда подразумеваются, в частности: Аф — / ¿хА(х)ф(х] /). Интеграл в (5) — гауссов и, следовательно, он хорошо определен в рамках теории возмущений [4], если матрица корреляторов случайных сил положительно определена. Используя функциональную 5-функцию 5((р — ф) — 8((р(х) — ф(х)), можем записать:

е

Аф= В<р8{<р - ф)еАГ (6)

Введем обозначения:

= (7)

Перепишем ^-функцию, входящую в (6), в виде:

6(ср -ф)= (1 еЬМ(<р)6((2(<р,/)) =<1еЬМ ^ (8)

где использовано представление 5-функции в виде функционального интеграла по вспомогательному полю <р'(х). Подставляя (8) в (6), а затем (6) в (5), учитывая явный вид <5 и

интегрируя по /, получим

G{A) = J Dip' J D<pdetM((p)e-^'Dfv'+iv'(-dtv+Lv+v('p))+A<P. (9)

В рамках теории возмущений, с учетом условия запаздывания и, доопределяя величину (—+ L)~l (которая ~ 9{t — t')) при совпадающих временах нулем, имеем [14]

det М(ср) = det (~dt + L), (10)

т.е. det М оказывается не зависящей от ср константой, которая может быть опущена в силу условия нормировки G{0) = 1. В (9) удобно совершить замену icp' <р' и добавить источник А1 для вспомогательного поля ср'. В результате получаем производящий функционал

G(A, А') = J Dip' J Dip ekvfDf^(-dtV+LV+v(v>))+AV+A'vfm

Функционал

S(<p, p') = \^Dfip' + ip'(-dtif + Lip + V(ip)). (12)

в теории поля принято называть действием. Функции Грина

SnG(A, 0)

8АГ

= <*>•■•¥>>, (13)

А=О

где (...) означает функциональное среднее с весом ехр5(<^, ср'), по построению совпадают с корреляционными функциями (3). Источник А' в (11) имеет смысл неслучайной внешней силы, поэтому функции Грина

Sn+mG(A,Af)

5Ап5А'

т

= (ip...ip<p'...ip'} (14)

А=А'=О

совпадают с функциями отклика на внешнюю силу исходной стохастической задачи (4). Замена ^ -л <р' удобна тем, что

в этом случае соответствие точное, т.е. не остается никаких

множителей типа гт.

Функционал (11) — производящий функционал так называемых полных функций Грина — стандартная конструкция квантовой теории поля, поэтому все функции Грина имеют стандартные фейнмановские диаграммные представления (см., например, [15], [5], [4], [1] и др.). Кроме полных функций Грина представляют интерес также связные функции, производящий функционал которых определяется следующим образом:

IV(А, А') = \пв(А,А'), (15)

а также 1-неприводимые функции, производящий функционал которых определяется как преобразование Лежандра функционала Ш по источникам:

Г(ф, ф') = IV(А, А1) - Аф - А'ф',

Диаграммы связных и 1-неприводимых функций Грина обладают свойством связности и 1-неприводимости соответственно.

Роль линий в диаграммах играют затравочные пропагато-ры действия (12), которые имеют вид

= <^}т = (3 - Ь)-\ (<р'(р')0 = о,

(^)о = (17)

где символ Т означает транспонирование линейной операции. Пропагатор {(р(р')о — запаздывающий, — это дополнительное условие к задаче (1)-(2); пропагатор {(р'(р)о — опережающий. Вершины теории определяются видом членов взаимодействия У(<р) в (1) (и в (12)), их характерной особенностью является наличие хвостика (р!. Следуя работе [14] удобно доопределять замкнутую запаздывающую линию нулем, при

этом с1е! М становится несущественной константой; так как {(р'(р')о = 0, то все 1-неприводимые функции Грина (<£>... <р){Гг только полей (р исчезают; исчезают также все вакуумные петли и все связные функции {(р1.. .(р')с только полей <р' [14].

Представление (11) получено в работах [11], [13] (в работе [7] не использовался функциональный интеграл), но сама диаграммная техника типа (17) была сформулирована раньше в работах [16], [17]. В теории турбулентности она носит название диаграммной техники Уайлда. [16], в теории твердого тела — Келдыша [17].

Глава 1

Динамика флуктуации в окрестности критической точки.

1.1 Предварительные сведения о задаче.

Известно, что при некоторых значениях температуры Тс и давления рс различие между жидкостью и газом исчезает. В окрестности этой, как говорят, критической точки имеются аномалии в поведении различных термодинамических величин. В частности, при приближении к критической точке неограниченно возрастают сжимаемость и теплоемкость, наблюдаются аномалии в поведении корреляционных функций, а также аномальное рассеяние света и, наконец, сильное поглощение и дисперсия скорости звука.

Сингулярности термодинамических величин имеют, как правило, степенной характер. Соответствующие показатели степеней получили название критических индексов. Так, при приближении к критической точке вдоль изохоры наблюдается следующее поведение некоторых термодинамических величин:

Су~ |Т-Тс|"а, а ~ 0.11, 12

а ниже Тс вдоль кривой сосуществования разность плотностей жидкости и газа ведет себя следующим образом:

В (1.1) и (1.2) а — индекс теплоемкости, 7 — индекс восприимчивости. Индекс ¡3 определяется только ниже Тс.

В термодинамике существуют серьезные основания полагать, что значения индексов а. и 7 выше и ниже Тс совпадают. Рассматривая поведение термодинамических величин на изобаре или изотерме можно вводить и другие критические индексы. В рамках термодинамики удается доказать, что критические показатели не независимы, а связаны некоторыми соотношениями. Например, индексы а, /3, 7 подчиняются соотношению

В основе теории фазовых переходов второго рода, к которым относится и критическая точка жидкость-газ, лежит концепция параметра порядка. Параметр порядка принимает различные значения в сосуществующих фазах и претерпевает конечный скачок в процессе фазового перехода. Величина этого скачка характеризует количественную разницу между сосуществующими фазами. Если скачок конечен и отличен от нуля, то имеет место фазовый переход первого рода; при приближении к критической точке различие между фазами исчезает и величина скачка стремится к нулю. Хотя параметр порядка не испытывает скачка при прохождении через критическую точку, такие величины как теплоемкость, сжимаемость и т.п. стремятся к бесконечности при приближении к критической точке. В критической точке, как говорят, имеет место фазовый переход второго рода, в отличие от фазового перехода первого рода, когда параметр порядка меняется скачком.

Ак - Рт ~ (Тс - ту, (3 ~ 0.325.

(1.2)

« + 2/3 + 7 = 2.

(1.3)

Согласно современным представлениям сингулярное поведение термодинамических величин в окрестности фазового перехода второго рода целиком определяется флуктуация-ми поля параметра порядка ф(х). При приближении к критической точке характерный размер гс, определяющий расстояния, на которых корреляционная функция G(xi — Х2) = (^>(xi)V>(x2)) заметно отлична от нуля, — так называемый радиус корреляции — неогран�