Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в краевом условии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

од

На правах рукописи

ЧУГУНОВА Марина Васильевна

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ.

Специальность 01.01.01 -математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж -1995

Работа выполнена в Ульяновском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Штраус A.B.

Официальные оппоненты: профессор Баскаков А.Г.,

профессор Бахтин И.А.

Ведущая организация: Институт прикладной математики ДВО РАН

Защита состоится 28 ноября 1995 года

в 15.20 на заседании диссертационного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по адресу:

394693 г.Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, Математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ^^ ^ 1995

Ученый секретарь диссертационного совета tfree&S В.Г.Задорожний

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Различные обратные задачи спектрального анализа входят в число актуальных и трудных проблем. Задача восстановления дифференциального оператора по его спектру восходит к классической работе шведского математика Г.Борга, в которой была доказана теорема единственности, к исследованиям М.Г.Крейна, разработавшего оригинальный метод решения обратных задач, к фундаментальным работам В.Л.Марченко, И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана.

Начавшись в тридцатые годы, исследования в этой области продолжаются и поныне, привлекая внимание многих математиков. Особую актуальность в последнее время приобрели многомерные обратные задачи, которые рассматривались в частности, Л.А. Сахновичем, А. Раммом, М.С. Бродским.

Предлагаемая диссертация посвящена задачам восстановления семейства дифференциальных операторов по скалярной спектральной функции распределения, а также по двум спектрам. Такого рода задачи возникают в теории колебаний нагруженной струны. Для линейного пучка дифференциальных операторов эта проблема рассматривалась С.Г. Мамедовым, В.Б. Даскаловым.

Цель работы. Целью данной работы является доказательство единственности восстановления 0(А), д(х) и Я в краевой задаче вида:

-У" + Ч(х)у = Ау,

у'(о) = я у(о), у'(0 = е(АМО

по спектральной функции распределения р(А),(где в (А) - рациональная неванлинновская функция, Я - вещественная константа, д(х)

- абсолютно непрерывная функция), нахождение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи, а также восстановление 9(А), и Я1, Яг по спектрам двух краевых задач, отличающихся вещественными константами в краевом условии.

Методика исследования. В диссертации используются методы А.В.Штрауса построения самосопряженных расширений в ортогональной сумме гильбертовых пространств (в терминах простых сцеплений), теория обобщенных резольвент, аппарат теории аналитических функций, и теория интерполяции.

Научная новизна. В диссертации построение сцеплений операторов в терминах граничных пространств впервые используется для изучения краевой задачи с параметром, что позволило установить взаимнооднозначное соответствие между самосопряженными расширениями обыкновенного дифференциального оператора с дефектными числами, равными единице, в пространстве Ь2(0,1) @ Ст и краевыми задачами с рациональными Э(А), имеющими т полюсов в расширенной плоскости.

Впервые получены асимптотические формулы для нормировочных чисел краевых задач. Усилены результаты С.Г. М&медова, полученные для 6(А) - линейной, и результаты Х.Лангера для 6(А) - дробно-линейной.

Доказаны новые теоремы о восстановлении семейства дифференциальных операторов по спектральной функции распределения, а также по двум спектрам. Решена обратная задача для некоторого класса мероморфных 6(А), доказано, что по неортогональной спектральной функции распределения в общем случае восстанавливаются две краевые задачи.

Теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в теории колебаний сложных механических систем, а также в теории обратных спектральных задач.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа и конференциях Ульяновского педагогического университета, в институте прикладной математики (Хабаровск 1994г.), на зимней Воронежской математической школе (1995г.), на научном семинаре Воронежской лесотехнической академии (1995г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1] " [4].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка основных обозначений, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 92 страницах машинописного текста, список литературы содержит 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности выбранного направления исследования, краткий обзор литературы по теме диссертации и смежным вопросам, а также краткое изложение результатов диссертации.

В первой главе изучается связь между краевыми задачами с рациональной неванлинновской функцией спектрального параметра в краевых условиях и конечномерными расширениями оператора Штурма-Лиувилля.

В § 1 приводится ряд необходимых сведений о связи теории

обобщенных резольвент и краевой задачи со спектральным параметром в краевом условии. Эти сведения заимствованы, главным образом, из работ А.В.Штрауса.

Рассматривается краевая задача на конечном интервале:

-у" + д(«)у = (1)

у(0) = ©(A)v'(O), У(0 — Н р'(1).

Доказывается, что для функций Ф;*(А) j,k = 1,2, определенных формулами

■ ' Ф»(А) = Ф12(Л) = -вййго,

где ш(А) находится из второго краевого условия, справедливо утверждение.

ТЕОРЕМА 1.1. ¿/ели 6(А) в краевом условии задачи - мероморфная функция с неотрицательной мнимой частью в верхней полуплоскости и вещественная на вещественной оси или же бесконечная константа, то ранг матрицы

(res Фи(Л) res Ф^Л) \ Vres Ф12(Л) | л=л, res Ф22(А) |а=лл / ' где Л/ (j = 1,2•■ • п)~ множество точек роста рц + piit равен единице.

В § 2 строится функция Грина для краевой задачи (1), где 0(А) удовлетворяет условиям теоремы (1.1). При любом комплексном A «i(x,A), u2(x,A) - решения уравнения (1.1) удовлетворяющие соответственно начальным условиям:

ui(0, Л) — 1, м',(0,А)-0, «2{0,А)-0, «¡¡(0,Л)--1.

Вводятся следующие обозначения:

ф(х, А) = и2(х, А) + т(А)«1 (х, А), где т(А) определяется из условия ф(1, А) = Нф'{1, А), ^,А) = и2(<,А)-©(А)и1(<>А).

Доказывается, что функция Грина имеет вид:

-1 Мг,А)^>(*,А), 0 <t < г < I,

m(A) + 0(А) }<p(t, Х)ф(г, А), 0 < т < t < I.

В § 3 рассматриваются самосопряженные операторы, действующие в ортогональной сумме двух гильбертовых пространств.

Пусть Ai - дифференциальный оператор второго порядка с дефектными числами, равными единице, в пространстве L7{О,/), определенный выражением ífy] = —у" + q{x)y и краевыми условиями /{(0) = Л(0) = О, Л(1) = hfiil).

Согласно предложению 1.2, между самосопряженными расширениями оператора А\ в пространстве l2(0,i) © С1 и 0(А) = где ad — be = 1, установлено взаимно однозначное соответствие.

В общем случае, при изучении самосопряженных операторов, являющихся расширениями оператора Aj в пространстве L2(0,í) ф С", получен следующий результат:

ТЕОРЕМА 1.3. Между самосопряженными расширениями оператора Ai в пространстве L\0,1) ® С" « ©(Л) = ^ + ^ • ■ • ЙЙ, где a¡d¡ - = 1, i = 1,• ■ • ,п, установлено взаимно однозначное соответствие.

Эта теорема позволяет применить методы теории самосопряженных операторов к довольно широкому кругу краевых задач с параметром, рационально входящим в краевое условие. Применив теорию цепных дробей Стилтьеса, по ©(А) можно восстановить конечноразностный оператор в Сп.

В § 4 для дифференциального оператора с индексом дефекта (2,2) строятся целые и самосопряженные расширения с выходом в более широкое пространство.

Пусть А - дифференциальный оператор с минимальной областью определения в пространстве £2(0,1), порожденный операцией дифференцирования и краевыми условиями /'(0) = /'(1) = 0 и /(0) = /(1) = 0. Оператор А регулярен и его деффектные числа равны двум. Оператор А\ является расширением оператора А и определяется краевыми условиями /{(0) = Д(0) = 0. С помощью известных свойств целых функций доказывается лемма.

ЛЕММА 1.4. Оператор А не является целым.

Строится квазинильпотентное расширение Т оператора А-1 в пространстве Н - £2(0,1) ф С2, где оператор А определяется следующим образом:

Д(А) = {</, с(/)) € Я : / 6 ДАО, с(/) = ($>)}

А</,/(1)>-(-&©)•

С применением теоремы А.В.Штрауса доказывается справедливость утверждения.

ТЕОРЕМА 1.5. У оператора А существует в пространстве Ьй(0,1)ф С2 расширение, являющееся целым оператором с дефектным числом,

равном* до ум.

Глава заканчивается иллюстративными примерами. Во второй главе перечисленные выше результаты используются для решения обратной задачи ШтурмагЛиувилля со спектральным параметром в краевом условии по скалярной спектральной функции распределения. Решается дискретная обратная задача с параметром.

В § 1 рассматривается дискретная задача с параметром в краевом условии вида:

(Гы);- = + 6;«;- + 1, о/ >0, !);■ 6 й, ; = 0,1 • • • п, (2)

(Ти); = Аи;-, и_; = 0, =

решение уравнения (Ти);- = Хи^.

Доказывается утверждение решающее в теории колебаний задачу настройки.

ТЕОРЕМА 2.1 Существует такая функция 0(Л), что открытый интервал Д = (а,Ь) не содержит точек спектра краевой задачи, тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

а) Рп(а) и Рп(Ь) не равны нулю одновременно,

б) Д не содержит более одного нуля или полюса функции т(\),

в) или тп(а)т(Ь) > 0, или ттг(а) > т(Ь).

Оператор Т1 задал конечноразностлым выражением 2 м краевым условием: и_1 = 0. С помощью формулы Кристоффеля - Дарбу, получено

СЛЕДСТВИЕ 1. Если 2 Р*(а)Р*(Ь) = 0, то существует

ы о

единственное самосопряженное расширение оператора 71, спектр которого удовлетворяет условию задачи, причем 0(А) =

В § 2 с помощью классической асимптотики для и1(/,А),иэ({, А), и[(1, А) и и'2(1, А), а также теоремы о вычетах доказывается теорема.

ТЕОРЕМА 2.2 Если при Н Ф 0 у краевой задачи со спектральным параметром ©(А), рационально входящим в краевое условие, число полюсов 9(А) равно т и спектр положительный, то имеют место следующие асимптотические формулы:

= п - т + О , если д.ед&\{ А) > ¿едЭ2(А) = т, (3)

Выводятся асимптотические формулы для случая Я = 0. Отметим, что рассматриваемая в работе С.Г. Мамедова асимптотика собственных значений для линейной 6(А) = а + ЬХ, получается как частный случай из (3), при т = 0.

В § 3 доказано, что собственные функции краевой задачи с параметром удовлетворяют условию ортогональности с нагрузкой, близкому к условию ортогональности собственных функций задачи о собственных колебаниях неоднородной струны. Получены асимптотические формулы для нормировочных чисел.

ТЕОРЕМА 2.3 Если т = ¿ед& 1(А) < ¿ед02(А), то для ап имеет место асимптотическая формула

В § 4 восстанавливается семейство дифференциальных операторов по скалярной спектральной функции распределения. Рассматривается краевая задача:

-уя + д(*)у=АУ, г/(0) = Мо), у(0 = ©(Л)у'(0. (*)

где Н Ф оо, в(А) рациональная певанлишговская функция, имеющая

пг полюсов, причем Нт 0(А) ф оо. Вводятся следующие обозначения: А-юо

А - самосопряженный оператор, действующий в пространстве Я = ¿2(0,0 © Ст, связанный с краевой задачей (4), йх - собственные функции оператора А,

йд = (и(я, А„), и0(А„), Ы1(АП), • • ■ ит_ 1(А„)), где и(г, А„) = 1*1(2;, А») - Н и2(х, А„), ДЛЯ любых /,<?€#, /= {/(ж), /о, /1 •••/т-1), 9 = •••^1), где /(х),д(х) Е Ь2(0,1),

(1,д)н - 1+ ЕЙо1

о

А) = } Я«)Ф, А)<& + /,«,(А), где

О 1=0

«¿(Л) = Р^А) (г = 0,1, • ■ •, т - 1) - некоторые многочлены степени 1.

Имеют место формулы /= / йд А)^р(А), (5)

—оо

- _

II/II2 = /|Ш/,А)||2^(А). (6)

—00

ТЕОРЕМА 2.4 Для любой дискретно продолженной функции / € Я имеет место разложение по собственным функциям й (5) и справедливо уравнение замкнутости (б), отображение / —> Ё есть изометрическое отображение всего пространства Е на все пространство Ь*(—оо, +оо), где 1?Й(-оо, +оо) - гильбертово

пространство всех р-измеримых с р-интегрируемьш квадратом функций -оо < Л < +оо.

Основная идея решения обратной задачи состоит в том, чтобы по заданной спектральной мере р(А), ортогонализовать уже известный базис в пространстве Я.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5.

{и(Х),и[ц))с+ = £ щ(\)щ(р) = —*-^— при р ф А,

1=0 ц - л

||«(А)||2 = е'(А)Ц02(А)||г, гдев(А) =

Доказывается теорема единственности.

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть о\ (9(А), Л) - класс спектральных функций краевой задачи с потенциалом 91(2) и всевозможными краевыми условиями вида (8), а о2 (О(А), Л) - класс спектральных функций задачи с потенциалом дг(х). Тогда, если для р1(А) е о\ (0(А), Л) и р2(А) € аг(0(А), Л) имеет место равенство Р1(А) = срг(А)( то 91М - 9г(х).

Привадится метод нахождения д(х), Н и 0(А) с точностью до нормировки. В конце главы в качестве примеров решаются конкретные задачи.

В заключительной третьей главе решается обратная задача для двух спектров, рассматриваются некоторые эффективные способы решения в случае мероморфной 0(А), решается обратная задача на полуоси по двум спектральным функциям.

§ 1 посвящен восстановлению семейства дифференциальных операторов по двум спектрам. Рассматривается дифференциальное уравнение

-у" + я{х)у - Ау,

где q(x) (О < х < I) - действительная абсолютно непрерывная функция. Краевые условия имеют вид:

у'(0)-А1У(0) = 0, у(0 = е(А)у'(0, (7)

уЩ - h2y(0) = 0, у(0 = 9(A)t/(í), (8)

где hi и h¡ - действительные числа, hj ^ Л2, а 0(А) рациональная функция, для которой /тв(А)/тт»А < 0. Через Ао < Ai < А2 < •••; цй < Их < <■• • обозначаются собственные значения задач с краевыми условиями вида 7 и 8 соответственно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Спектры краевых задач с одинаковыми ©(А) и разными вещественными константами в краевом условии перемежаются.

Выводятся следующие формулы:

h2-hx К

(1о)

Поскольку а0- a'Q — (Л2 - hi)/¡, hj - h\ вычисляется по данным {А*},

Ш-

Таким образом, доказывается следующая теорема. ТЕОРЕМА 3.2. Пусть заданы два набора спектров {Ая}£1о» причем Ао < fio < Ai < Ц\ < •••, имеют место равенства (10) и (11), причем ао ф а'0. Тогда существует абсолютно непрерывная функция q(x), вещественные числа hi, h2 и неванлинновская функция 8(А), имеющая т полюсов в расширенной плоскости, такие, что А„ -спектр задачи (7), цл- спектр задачи (8).

В §2 приводятся примеры решения обратных задач для некоторых достаточно узких классов мероморфнных Э(А).

В §3 рассматривается обратная краевая задача второго порядка на полуоси.

ТЕОРЕМА 3.3. По в(А), спектральной функции распределения р{А), отвечающей 0(А) + б^А), однозначно восстанавливаются потенциал д(ж) и ©1(А).

Последняя задача, при некоторых ограничениях, может быть сведена к обратной задаче на оси, исследованной Ф.С.Рофе-Беке-товым.

В заключение выражаю исскреннюю благодарность своему научному руководителю А.В.Штраусу за постоянное внимание и помощь в работе.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Чугунова М.В. Целое расширение оператора дифференцирования второго порядка // Функциональный анализ: Межвуз.сб.-Ульяновск, 1993. - Т.34. - С.76-80.

2. Чугунова М.В. Об одной обратной краевой задаче на полуоси. / РАН ЙПМ. - Препринт. - Владивосток, 1994. - 12с.

3. Чугунова М.В. Обратная краевая задача на конечном интервале // Функциональный анализ: Межвуз.сб. - Ульяновск, 1994. -Т.35. - С.113-123.

4. Чугунова М.В. Об обратной краевой задаче с краевыми условиями, зависящими от спектрального параметра // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тез. докл.школы, Воронеж, 25 янв. - 1 февр. 1995г. - Воронеж, 1995. - С.250.

Заказ 336 от 23.10.95 г. Тир.. 100 экз. Формат 60 X 90 1/16. Объем I п.л. Офаетная лаборатория ВГУ.