Решетка квазимногообразий нильпотентных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

#

4 с

На праиах рукописи УДК 512.54.01

Шахоиа Светлана Александроина

РЕШЕТКА КВАЗИ МНОГООБРАЗИЙ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП

01.01.Об —- математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОМСК - 1997

РаГ)о1;| нмнолпена на кафедре ат'бри н математической логики Л. 11 а ¡'к к о I о государственного унн нерсптста.

Научным ]л'ко»од1П <\'п,

Официальные ()иш>п(чт.1

Вздутая организация

д.ф.-.м.н.. профессор А.II. Будкпн.

д.ф.-.м.н.. профессор Л.М. Мартынов.

к.ф.-.м.и.. доцент О.В. Гап'. пок.

Институт

Математики СО РАН.

Защита гостопня 25 ноября 1997 г. к 14°" часов на часеда-11Ш\ лнссерташниинно сонета К 064.36.02 при Омском государе! пенном унннерсп им с по адресу: 644077. Омск. пр. Мира. оЗ-А.

С" диссертацией можно очнакомнчьсм и библиотеке Омского ГО<-ударе! иеппо!о уппвсрсп1 е !а.

Анюреферн I разослан 23 октября 1997 г.

Ученым секретарь диссертации! того сонета, д.ф.-м.н.. нр(н]|ессо])

В.А. Романьков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основы теории кназимногообразий заложены и [13], [14], [15] А.И. Мальцевым, который неоднократно подчеркивал важность изучения свойств квазнмпого-образий алгебраических систем (см. [13], [14]). Особое положение квазимногообразий и, б частности, многообразий алгебраических систем объясняется их тесной связью с теорией определяющих соотношений (согласно [15] среди аксиоматизируемых классов полной теорией определяющих соотношений обладают квазимногообразия и только они) и наличием структурных теорем (теорема Г. Биркгофа [13] для многообразий и теорема А.И. Мальцева [13] о характеризации квазимногообразий на языке фильтрованных произведений).

Настоящая работа посвящена исследованию решетки квазимногообразий нильпотентных групп класса < 2. Проблема описания этой решетки поставлена М.И. Каргаполовым [11](вопрос 4.31). Обзор публикаций, касающихся данной темы, позволяет выделить три основные направления исследований.

Одно из направлений включает изучение покрытий в решетках квазимногообразий (см., например, [2], [3], [20], [21]). Это во многом обусловлено наличием тесной связи между проблемой существования покрытий и проблемой независимой аксиоматизируемости.

По определению базис квазитождеств или просто базис квазимногообразия N — это совокупность квазитождеств задающих данное квазимногообразие. Базис Е квазимногообразия N называется независимым, если любое собственное подмножество £' С £ задает квазимногообразие, отличное от ДГ. Говорят, что квазимногообразие конечно аксиоматизируемо, если его можно определить конечным множеством квазитождеств. Покрытием квазимногообразия N в некоторой

решетке кпазимногообразий С называется такое квазимного-образис 7ч. что между Л' и Л, нот других квазимногообразий из С.

Связь »опроса о существовании независимого базиса с вопросом о существовании покрытий в решетке квазимногообразий устанавливается следующим признаком независимой аксиоматизируемости (см., например, [8]).

Если кпазимногообразие Л4 групп имеет бесконечный независимые. базис квазитпогждеств и Л4 С Л/ для некоторого конечно аксиоматизируемого квазгшногообразия Л/" групп, то квазимногообразие Л4 имеет, бесконечное множество покрытии о решетке Ьч{А1") квазимногообразий, содержащихся а данном квазимногообразии, А-.

Отметим ряд результатов н этом направлении.

В [18] доказано, что всякое многообразие групп имеет в решетке многообразий групп хотя бы одно покрытие. Оказалось, что аналогичное утверждение неверно для квазимногообразий групп. Существует квазимногообразие групп [о], не имеющее покрытий в решетке квазимногообразий групп.

Покрытия квазимпогообразий абелеьых групп описаны в

[3].

Известно [5], что если квазимногообразие А' не содержит бесконечного множества циклических групп 2Р простых порядков р и в то же время содержит бесконечную циклическую группу Ях;, то У имеет бесконечное множество покрытий в решетке квазимногообразий, а также независимый базис.

В [2] найдена мощность множества квазимногообразий из многообразия А'г нильпотеитиых групп класса < 2, содержащих свободные группы этого многообразия и не имеющих покрытий в решетке Ьч{Л/г); она оказалась континуальной. Ввиду признака независимой аксиоматизируемости множество кпазимногообразий групп из Л/г, не имеющих независимых базисов квазитождеств и содержащих свободные группы этого

многообразия, континуально.

Отсутствие покрытий у квазимногообразия, порожденного неабелевой свободной нильпотентной группой, в решетке квазимногообразий нильпотентных групп класса < 2 без кручения установлено в [21]. В [20] доказано, что квазимногообразие, порожденное неабелевой группой порядка р3(р ф 2), не имеет покрытий и, следовательно, не имеет независимого базиса в решетке квазимногообразий нильпотентных групп класса < 2 экспоненты р.

Другое направление исследований связано с нахождением мощности данной решетки квазимногообразий. Решетка квазимногообразий абелевых групп была описана в [7].

Обозначим через квазимногообразие, порожденное некоторым классом групп ^(ЛГ) — свободная в квазимногообразии N группа ранга п.

Из [19] вытекает, что если С? — конечная группа с абелевы-ми силовскими подгруппами, то решетка Ьд(цС) конечна. В связи с этим в дальнейшем особое внимание уделялось изучению квазимногообразий, близких к квазимногообразиям абелевых групп, в частности, нильпотентных и метабелевых квазимногообразий (см., например, [4], [12], [22]).

В [22] показано, что решетка Ьд(дС)(С — конечная ниль-потентная группа класса < 2) конечна в том и только в том случае, когда квазимногообразие qG порождается конечным набором групп из некоторого списка, и континуальна — в противном случае. В этой же работе была высказана следующая гипотеза: квазимногообразие, порожденное неабелевой конечно-порожденной 2-ступенно нильпотентной группой без •кручения либо совпадает с <^(Л->), либо содержит континуальное множество квазимногообразий. Данная гипотеза нашла подтверждение в [4].

Третье направление исследований связано с решением вопроса о базисном ранге квазимногообразия. Базисным рангом

квазимногообразия N называется такое наименьшее число п, если оно существует, что N = qG, где б есть п-порожденная группа.

Известно [17], что в многообразии, порожденном конечной группой, каждое подмногообразие также порождается некоторой конечной группой. В [20] приведен пример такой конечной группы С, что дб содержит континуум различных подквази-многообразий. Следовательно, qG содержит подквазимного-образия, не порождаемые конечной группой, т.е. не всякое подквазимногообразие квазимногообразия имеет конечный базисный ранг.

В [1] найдено условие, при котором данное квазимногообразие порождается некоторой 2-порожденной группой. В результате установлено, что такие естественные квазимногообразия, как квазимногообразия, порожденные всеми разрешимыми р-группами (конечными разрешимыми группами, конечными р-группами), имеют базисный ранг, равный 2.

Отметим следующие две проблемы, связанные с изучением базисного ранга квазимногообразия.

Локально конечные квазимногообразия образуют подре-шетку решетки квазимногообразий групп. А.И. Будкин поставил в Коуровской тетради проблему ([11], вопрос 10.9), касающуюся изучения множества локально конечных квазимногообразий с конечными базисными рангами: является ли множество квазимногообразий, каждое из которых порождается некоторой конечной р-группой (р — простое число), подрешет-кой решетки квазимногообразий групп? Заметим, что эта проблема решена в данной диссертации.

Для конечной группы С в [6] найден метод построения максимальных собственных квазимногообразий в решетке ¿д(д(?). Указанный метод приводит к необходимости исследования максимапьных квазимногообразий при изучении этой решетки. В частности, возникает задача установления конечности

базисного ранга максимальных квазимногообразий, которая также исследуется в рассматриваемой работе.

Цель работы. Изучение строения решетки квазимногообразий нилыютентных групп класса < 2.

Методика исследования. Методы, используемые автором при доказательстве результатов, опираются на абстрактную теорию групп, универсальную алгебру и теорию определяющих соотношений.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток квазимногообразий.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп", "Алгебра и логика" Института Математики СО РАН и "Теория групп" Алтайского государственного университета, II Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991 г.), Международной конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1992 г.), Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ - 96" (Новосибирск, 1996 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [23] - [27].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Общий объем диссертации 71 страница, список литературы содержит 27 наименований.

Содержание работы

Проведем краткий обзор содержания диссертации. На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Найдено необходимое и достаточное условие конечности решетки для конечно-порожденной 2-ступенно нильпо-тентной группы С.

2. Показано, что если решетка Ьд(дО) (С — конечно-порожденная 2-ступенно нильпотентная группа) бесконечна, то она континуальна.

3. Доказано, что Ьч не является подрешеткой решетки квазимногообразий групп, где ¿2 — множество квазимногообразий, каждое из которых порождается некоторой конечной 2-группой.

4. Установлено, что максимальное квазимногообразие в решетке (С — конечная группа) может не порождаться никакой конечной группой.

5. Построена конечная р-группа 6", решетка (<?<?) которой континуальна и дС — разложимый в пересечение элемент решетки Ср квазнмногообразий, порожденных конечными р-группами ступени нильпотентности < 2.

Результаты главы 1 получены совместно с А.И. Будкиным и носят вспомогательный характер. Как обычно, через К, Ъ, Р обозначим множества натуральных, целых, простых чисел. Зафиксируем числа р 6 Р и к & N. Среди подмногообразий многообразия Л/г выделим следующие:

— многообразие групп, заданное в А^ тождеством

№)(Чу)([г,у]» = 1);

ф 1 при р = 2) — многообразие групп, заданное в 7г;)оо тождеством

(VI) (а/ = 1).

Первоначально в главе 1 определяются подквазимногообразия Л> и Л'гк многообразий Л,,< и Лрк соответственно:

ф 1 при р — 2) — квазимногообразие групп, заданное в Ирк квазитождествами

ф, = (Щ(Уу)(х"к-1 = 1 [х,у] = 1),

Ф„ = (Vi)(Vi!)... (Vi2n)(ïp = riNi-ьЫ -> X-P = l),n 6 N;

i=]

Л',/« — квазимногообразие, заданное в квазитождествами

(Vx)(a;pn = 1 xp = l),n G N, (Vx)(Vy)(x" = 1 [л-,у] = 1),

=1 X = l),q eP,q Ф p.

В главе 1 доказывается следующая теорема, которая оказывается очень полезной в дальнейшем.

Теорема 1.6. Замкнутый интервал [q(Zp, Z^), решетки Lq(A'poс) квазимногообразий, содержащихся в изоморфен замкнутому интервалу [qZpk,Xpk](k £ N) решетки Lq(X'pk).

Заметим, что теорема 1.6 является аналогом леммы 1.5 из [22].

В разделе 1 дано определение системы порождающих данной группы G, линейно независимой по модулю нормальной подгруппы N, содержащей коммутант G', и описана структура определяющих соотношений группы G в этих порождающих. Далее доказываются две теоремы, характеризующие строение конечно-порожденных неабелевых групп из квазимногообразий iYpoo и Xpk, неразложимых в прямое произведение нетривиальных подгрупп, одна из которых абелева.

Теорема 1.1. Пусть G € — конечно-порожден-

ная неабелева группа, неразложимая в прямое произведение нетривиальных подгрупп, одна из которых абелева. Тогда если xi,...,ж„ — линейно независимые по модулю подгруппы Фраттини Ф(G) порождающие группы G, то (x,G") = Zpk при i = 1,2,... ,n, u G/G' = (xjC") x • • • x (jrnG')-

Частный случай теоремы 1.1, когда G — конечная группа, был использован А.Н. Федоровым в [22].

Теорема 1.2. Пуст,ъ G G — конечно-порожденная

неабелеоа группа, неразложимая в прямое произведение нетривиальных^ подгрупп, одна, из которых об елее а. Тогда если х\,...,.тп — порождающие группы G, линейно независимые по модулю подгруппы Фраттини Ф(С?), то (x¿G') = Z^ при i = l,2,...,n,uG/G?*(xlG')x---x(xnG'). __

В разделе 2 устанавливается соответствие G G между конечно-порожденными неабелевыми группами, неразложимыми в прямое произведение нетривиальных подгрупп, одна из которых абелева, квазимногообразий Л'р оо и соответственно. Затем произвольному неабелеву подквазимного-образию Л/' квазимногообразия Л'р со сопоставляется квэзимно-гообразие

W=q{H\H е/с},

где К, — класс всех конечно-порожденных неабелевых групп из AÍ, неразложимых в прямое произведение нетривиальных подгрупп, одна из которых абелева. Завершает данный раздел доказательство утверждения о том, что отображение AÍ —> 77 является взаимно однозначным соответствием между неабелевыми квазимногообразиями в Л'р,= и A';jt, сохраняющим включения.

Результаты главы 1 опубликованы в работе [24].

В главе 2 полностью решен вопрос о мощности решетки Lg(qG) для конечно-норожденной 2-ступенно нильпотентной группы G.

Раздел 1 содержит предварительные результаты. Сначала определяются группы Am(AÍ), G„(AÍ) и Hrnn(AÍ) путем задания их определяющими соотношениями в многообразии AÍ, где AÍ — одно из многообразий А'2, 7Zpk, .

Через Ат(А1") (т G N) обозначим группу, заданную в AÍ порождающими o,j(¿ = 1,..., т; j = 1,..., 2т) и определяю-

щими соотношениями

т т

П[а1,21-Ьа1,2>] = ... = Шпт,2|-ЬОт,2.-], ¿=1 ¡=1

[а,-у,а,,(] = 1(» £ {1,2}).

Аналогичные группы встречались ранее в [4], [22]. Введем также обозначение

т

С] = П [о>,2.-1, = 1' • • • > т-1=1

Иногда вместо с, будем писать просто с.

Рассмотрим группу бг„(Л/'г)(п £ И), имеющую в А/*2 представление:

С„(АГ2) - гр(л,.гь... ,х2п II (2р ПК--ь®«])р = 1,

¡=1

[л, д:,-] = 1,1 = 1,...,2 п).

В дальнейшем элемент П [я 2г-1, будем обозначать через

1=1

и.

Нтп(Л1г) — группа, заданная в многообразии А/г порождающими z,x\,..., х$„, а^(г = 1,... ,т; = 1,..., 2гп) и определяющими соотношениями

(а) все определяющие соотношения группы Ат(Л/г);

(б) (си=р)р = 1, = ¿ = 1,...,2п, [с,о,-у] = 1,г = 1,... ,т; з = 1,... ,2т.

Пусть А' — одно из многообразий , Лрк,к ф 1. Через Д = { (¿1,... € г = 1,... ,2п} обозначим совокупность

некоторых последовательностей длины 2п. В многообразии N рассмотрим группу, заданную в А"' так: Оп{Я) = гр(2,жь... ,Х2„ || иУ = 1,

= 1,<52„) е А).

и

Нтп(]\[) — группа, заданная в многообразии Л/" порождающими г, XI,... ,х2п, «»у (г = 1,... э = 1,..., 2т) и определяющими соотношениями

(а) все определяющие соотношения группы .4т(Л/");

(б) сиг? = 1, [г,х^ • • ■ = 1, (6и .. .,62п) 6 А, [г, ау] = 1, г = 1,..., т; 7 = 1,..., 2т.

Далее доказываются следующие свойства введенных групп в предположении, что Л/"— одно из многообразий Л/г,

Лемма 2.2. Нтп(Я) Е дСп(Л/){т, п е N).

Лемма 2.5. Пусть <р : Нтп(Л[) —» Я;„(Л/") — произвольный гомоморфизм, \1 — т\ > п;1,т > п + 1. Тогда = 1, г<?е

Г если Аг = М-2,

X) ~— \

| гр, если ЛГ = или Л/* = .

С помощью указанных лемм получаем, что выполнена

Теорема 2.6. Решетка Ья(дОп(ЛГ))(п 6 К) имеет мощность континуума.

Это утверждение является основным результатом данного раздела.

Второй раздел полностью посвящен доказательству следующих двух признаков континуальности решетки ^(дС?).

Теорема 2.7. Пусть С? — 2-ступенно нильпотентная группа, (Л/г) £ <?Ст и для некоторого простого числа р в группе С найдется такой элемент д порядка р, что

Я^Ш^-ьЫ, [М,-] = 1, ¿ = 1,...,2п, ¿=1

для подходящих элементов Ь, Ьг(1 = 1,..., 2п) группы <3. Тогда решетка имеет мощность континуума.

Теорема 2.8. Пусть С? — 2-ступенно нильпотентная группа, ^(А'Ь) ^ дй. Если для некоторого простого числа р в группе (3 найдется элемент д такой, что др £ С и \др\

делится на р, то решетка Ьч(дС) имеет мощность континуума.

При доказательстве данных утверждений в значительной степени используется теорема 2.6. Важность этих признаков заключается в том, что они позволяют установить континуальность решетки Ь^(дС) путем несложного анализа определяющих соотношений группы

В разделе 3 вводятся группы Нрг,. IIрг, Нр, имеющие в многообразии Л/г следующие представления:

Нр = гр(*,у || [х,у]" = 1),

Нрг — гр(ж,у II [х,у]1, = х"г = 1),

Нргв = гр(.г,у || [х,у]р = .грГ = у"' = 1),0 < г < 8; г, 5 € N.

Группы НРп встречались ранее в [22].

Рассмотрим два бесконечных множества групп: /^(Л/г),^, Дхл-Ём где р пробегает множество простых чисел Р;

¡1) Нрга(исключая Н->\\).11{„ , IIр. 2^. Е. где р пробегает множество простых чисел Р, г, 6 N.

Через Ь\ обозначим некоторый конечный набор групп из множества ¡), Ь2 — некоторый конечный набор групп из множества ¡1). Положим Ь = Ь] или Ь = Ь2- В данном разделе доказана следующая теорема, решающая проблему о мощности решеток квазимногообразий нильпотентных групп класса < 2. Она является одним из основных результатов диссертации.

Теорема 2.13. Пусть (? — конечно-порожденная 2-сту-пенно нильпотентная группа, А? = (¡О. Решетка (Л') конечна т.огда и только т.огда, когда N = (¡Ь. Если решетка. не является конечной, то ЛГ содержит континуум различных квазимногообразий.

Результаты главы 2 опубликованы в работе [24].

В главе 3 изучается решетка Ср квазимногообразий, порожденных конечными 2-ступенно нильпотентными /»-группами (р — фиксированное простое число).

В разделе 1 дается отрицательное решение проблемы, поставленной А.И. Будкиным в Коуровской тетради [11](вопрос 10.9) и исследуется проблема конечности базисного ранга максимальных квазимногообразий.

Сначала для произвольного квазимногообразия А/" вводится, следуя А.И. Мальцеву [16], определение подпрямо А/"-неразложимой группы. Далее в многообразии И^ для каждого натурального п задаются группы Сп :

С„ = гр(хъ ... ,х„ || - [хг,а;^(2у+1)],

1 < 2.7 + 1 < г = 2, ■ • •, п, = 1,2 < 2»,2 з<щ [Х2.-+1, Х2}+1] = 1, 1 < 21 + 1,+ 1 < п).

= (^1) — циклическая группа порядка р2.

Через И обозначим группу, имеющую следующие определяющие соотношения:

X) = гр(а,Ь || ар2 = 1, V = 1, Ь~1аЬ = ар+1).

М — класс всех групп из (¡В, не содержащих подгрупп, изоморфных И. Согласно [6] М. является единственным максимальным квазимногообразием в решетке (</£)).

Доказывается, что эти группы удовлетворяют приводимым ниже утверждениям.

Лемма 3.1. Оп ^ = 2,3,....

Лемма 3.2. Сп € дО,п 6 N.

Лемма 3.3. Сп — подпрямо М- неразложима, п 6 N.

Пусть Ьр — множество квазимногообразий, каждое из которых порождается некоторой конечной р-группой. При помощи

указанных лемм доказываются следующие два из основных результатов диссертации.

Теорема 3.4. Единственное максимальное квазимногообразие в решетке Ь^И) не порождается конечной группой.

Теорема 3.5. не является подрегиеткой решетки квазимногообразий групп.

Последняя теорема дает отрицательное решение проблемы А.И. Будкина из Коуровской тетради [11](вопрос 10.9).

Результаты этого раздела опубликованы в работе [23].

В разделе 2 доказано существование конечной р-группы (7, решетка £9(<2<?) которой имеет мощность континуума и — разложимый в переселение элемент решетки Ср. Ценность этого примера заключается в том, что все известные в настоящее время разложимые в пересечение элементы решетки Ср вида qG{G — конечная р-группа) исчерпываются квазимногообразиями с конечными решетками подквазимногообразий.

Рассмотрим группы (?1,С?2, заданные в многообразии 7£рг следующими представлениями:

Я = гр(жьж2,а;з,Х4 || х\ = хр2, [хь:г2] = 1,

[Я], х4]\х2, х3] = 1, {ххх2У = [х1, .Т3][2Г2, хл)), <7,= гр(2ь22 || ^ =

с2 = гР(гьг21| 4' = 1)-

Пусть С = qH П С = Сч х £?2. Согласно [22] решетка имеет мощность континуума. В данном разделе доказано, что £ = (теорема 3.8).

Результаты раздела 2 опубликованы в работе [25].

В заключение автор выражает сердечную благодарность А.И. Будкину за полезные советы, неизменную благожелательность и внимание к работе.

Литература

[1] Будкин А.И. Квазимногообразия групп, замкнутые относительно прямых сплетений// Мат. сборник. 1983. Т. 121, №4. С. 510-522.

[2] Будкин А.И. О квазимногообразиях групп, не имеющих покрытий// Мат. заметки. 1985. Т. 37, №5. С. 609-616.

[3] Будкин А.И. О независимой аксиоматизируемости квазимногообразий разрешимых групп// Алгебра и логика. 1991. Т. 30, т. С. 125-153. ,

[4] Будкин А.И. О решетке квазимногообразий нилытотент-ных групп// Алгебра и логика. 1994. Т. 33, №1. С. 25-36.

[о] Будкин А.И. Независимая аксиоматизируемость квазимногообразий групп// Мат. заметки. 1982. Т. 31, №6. С. 817-826.

[6] Будкин А.И., Горбунов В.А. К теории квазимногообразий алгебраических систем// Алгебра и логика. 1975. Т. 14, №2. С. 123-142.

[7] Виноградов A.A. Квазимногообразия абелевых групп// Алгебра и логика. 1965. Т. 4, №6. С. 15-19.

[8] Горбунов В.А. Покрытия в решетках квазимногообразий групп и независимая аксиоматизируемость// Алгебра и логика. 1977. Т. 16, №5. С. 507-548.

[9] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

[10] Копытои В.М., Медведев Н.Я. Правоупорддоченные группы. Новосибирск: Научная книга, 1996.

[И] Коуропская тетрадь (нерешенные задами теории групп). Изд. 10. Новосибирск, 1986.

[12] Лешок С.В. О решетке квазимногообразий метабелевых групп// Алгебра и логика. 1996. Т. 35, №5. С. 552-561.

[13] Мать цеп А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

[14] Мальцев А.И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики. - Междунар. конгресс математиков. Москва, 1966. М.: Мир, 1968. С. 217-231.

[15] Мальцев А.И. Квазнпримитивные классы абстрактных алгебр. ДАН СССР. 1956. Т. 108, №2. С. 187-189.

[16] Мальцев А.И. Подпрямые произведения моделей. ДАН СССР. 1956. Т.109, №2. С. 264-266.

[17] Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969.

[18] Ольшанский А.Ю. О некоторых бесконечных системах тождеств. Труды семинара им. II.Г. Петровского. 1978. №3. С. 139 146.

[19] Ольшанский А.Ю. Условные тождества в конечных группах// Сиб. маг. жури. 1974. Т. 15, №6. С. 1409-1413.

[20] Федоров А.Н. О подквазимиогообразиях нильпотентпых минимальных неабелевых многообразий групп// Сиб. мат. жури. 1980. Т. 21, №6. С. 117-131.

[21] Федоров А.Н. Квазнтождества свободной 2-нильпотент-пой группы// Мат. заметки. 1986. Т. 40, №5. С. 590-597.

[22] Федоров А.Н. Квазитождества конечных 2-нильпотент-ных групп. М., 1987. Дел. в ВИНИТИ, №5489 - В87.

Работы автора по теме диссертации

[23] Шахова С.А. О квазимногообразии, порожденном конечной />-группой// Мат. заметки. 1993. Т. 53, №3. С. 144-148.

[24] Шахова С.А. О решетке квазимногообразий 2-ступен-но нильпотентных групп. Новосибирск: НИИ МИОО Новосибирского госуниверситета, 1996. Препринт Л"!17.

[25] Шахова С.А. О строении решетки квазимногообразий нильпотентных групп. М., 1997. Деп. в ВИНИТИ, №1362 - В97.

[26] Шахова С.А. О квазимногообразии, порожденном конечной р-группой. III Международная конференция по алгебре памяти М.И. Каргаполова, тез. докладов. Красноярск, 1993. С. 364-365.

[27] Шахова С.А. О квазимногообразиях 2-ступенно нильпотентных групп. Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К. Фаддеева, тез. докладов. Санкт-Петербург, 1997. С. 308-309.