Решетки квазимногообразий разрешимых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

^ ¿г

А> #

с^ На правах рукописи

\

Ленюк Сергей Викторович

РЕШЕТКИ КВАЗИМНОГООБРАЗИЙ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОМСК - 1998

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Алтайского государственного университета.

Научный руководитель — д.ф.-м.н., профессор

А.И. Будкин.

Официальные оппоненты — д.ф.-м.н., профессор

Л.М. Мартынов,

к.ф.-м.н., доцент О.В. Гателюк.

Ведущая организация — Институт

Математики СО РАН.

Защита состоится 2 июня 1998 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск, пр. Мира, 55-А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан 29 апреля 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

В.А. Романьков

Общая характеристика работы

Актуальпость темы. Теория квазимногообразий — одно из развивающихся направлений современной алгебры. Ее основы были заложены А. И. Мальцевым в [18, 20, 21]. Существенную роль в изучении квазимногообразий групп сыграли также работы А. И. Будкина и В. А. Горбунова [10], А. И. Будкина [2, 4, 5], А. Ю. Ольшанского [24, 25] и ряда других авторов. Теория квазимногообразий находится на стыке алгебры и математической логики. Интерес к квазимногообразиям объясняется многими причинами. Во-первых, язык квазитождеств является наиболее простым и естественным, в то же время весьма тонкие свойства записываются на языке квазитождеств. Например, как заметил'А. И. Мальцев [18], условия погружаемости систем одного класса в системы аксиоматизируемого класса имеют вид квазитождеств. Во-вторых, в теории квазимногообразий имеют место структурные теоремы А. И. Мальцева [21] о характеризации квазимногообразий на языке фильтрованных произведений, аналогичные теоремам Биркгофа [21] для многообразий. В-третьих, как установил А. И. Мальцев [19], понятие квазимногообразия тесно связано с теорией определяющих соотношений. Именно, оказалось, что среди аксиоматизируемых классов алгебр полной теорией определяющих соотношений обладают квазимногообразия и только они. Отметим, что квазитождества возникают также при решении различных алгоритмических задач.

Одной из основных ветвей в теории квазимногообразий является задача исследования решеток квазимногообразий.

Настоящая диссертация посвящена изучению решеток квазимногообразий разрешимых групп. Разрешимые группы являются классическим и одним из наиболее изученных объектов теории групп. Квазимногообразия разрешимых групп изучались в работах А. А. Виноградова [11], А. Шафаата [34], В.

П. Белкина и В. А. Горбунова [1], А. И. Будкина [3, б, 8], Н. Я. Медведева [22], А. Н. Федорова [27, 29], С. А. Шаховой [30, 35] и других.

Одно из направлений в изучении решеток квазимногообразий групп, которое нашло отражение в данной диссертации, связано с исследованием фильтров в этих решетках.

Основным толчком к изучению фильтров решеток квазимногообразий групп явилась проблема Д. М. Смирнова [36] о мощности фильтров в решетке квазимногообразий групп. Отметим лишь некоторые результаты в этом направлении. В [7] А. И. Будкиным найден критерий, при выполнении которого фильтры в решетках квазимногообразий групп континуальны. Этот критерий позволил установить мощности фильтров многих решеток квазимногообразий. В частности, оказалось, что главный фильтр, порожденный в решетке квазимногообразий групп квазимногообразием М, имеет мощность континуума, где М — произвольное собственное полумногообразие или квазимногообразие, порожденное всеми собственными многообразиями групп. В работе [1] В. П. Белкин и В. А. Горбунов доказали бесконечность любого нетривиального фильтра в решетке квазимногообразий метабелевых групп. Но вопрос о мощности этих фильтров остался открытым. В представленной диссертации этот вопрос полностью решен.

Обозначим через дС квазимногообразие, порожденное группой С. Если М. — некоторое квазимногообразие, то через Ьд(М) будем обозначать решетку квазимногообразий, содержащихся в М..

Еще одно направление в изучении решеток квазимногообразий связано с исследованием конкретных решеток квазимногообразий (например, решеток квазимногообразий нильпотент-ных, метабелевых групп, локально конечных квазимногообразий), установление специфических свойств этих решеток, вычисление их мощностей.

Отметим некоторые результаты в этом направлении. В. А. Горбунов [12] нашел квазитождества, истинные в нетеро-вых решетках квазимногообразий. А. Шафаат доказал [34], что любое квазимногообразие абелевых групп является полумногообразием. А. А. Виноградовым в работе [И] была полностью описана решетка квазимногообразий абелевых групп. Она оказалась континуальной. После этого естественным образом встала задача описания решеток , квазимногообразий групп "близких" к абелевым. Из результата А. Ю. Ольшанского [24] следует, что если б — конечная группа с абеле-выми силовскими подгруппами, то решетка Ь7(<2(7) конечна. Квазимногообразия нильпотентных групп изучались в работах [9, 29, 30, 35]. А. Н. Федоровым в [29], исследовались решетки £9(д<3), где С — конечная нильпотентная группа класса < 2. Им найдено необходимое и достаточное условие конечности этих решеток. А. И. Будкин доказал [9], что если С — конечно порожденная неабелева нильпотентная группа класса 2 без кручения, то Ь^О) континуальна за исключением случая, когда qG совпадает с квазимногообразием, порожденном неабелевой свободной нильпотентной группой класса 2. С. А. Шахова [30, 35] завершила исследования в этом направлении, решив полностью вопрос о мощности решетки Ьч(дС), где б — конечно порожденная 2-ступенно нильпотентная группа.

Цель работы. Изучение строения решеток квазимногообразий в которых все группы разрешимы.

Методика исследования. Методы, применяемые в диссертации, опираются на абстрактную теорию групп и универсальную алгебру.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток квазимногообразий групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп" Алтайского государственного университета, "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института Математики СО РАН и Новосибирского государственного университета, Международной конференции по математической логике, посвященной памяти А. И. Мальцева (Новосибирск, 1994 г.), Летней международной школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" (Эр-лагол, 1995 г.), Втором Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике "ИНПРИМ - 96" (Новосибирск,

1996 г.), Второй летней международной школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" (Эрлагол,

1997 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [37]—[42].

Объем и структура работы. Диссертация содержит 53 страницы, состоит из введения, трех глав и библиографии. Список литературы состоит из 42 наименований.

Содержание работы

Введем обозначения и напомним одно определение.

Обозначения:

А х В — прямое произведение групп А и В;

А* В — свободное произведение групп Л и В;

АIВ — прямое сплетение групп А и В;

С?с — подгруппа группы (5, порожденная всевозможными элементами вида [д0:.. где р0) • • • ,9с € С;

А — класс всех абелевых групп;

А2 — класс всех метабелевых групп;

(•42)оо — класс всех метабелевых групп без кручения;

Яс — класс всех нильпотентных групп ступени < с;

N — класс всех нильпотентных групп;

V — класс всех полициклических групп;

МК — класс всех групп, являющихся расширениями групп из класса М с помощью групп из класса /С;

ьагК, — многообразие, порожденное классом групп К\

д/С — квазимногообразие, порожденное классом групп К;

ЬЯ(К) — решетка квазимногообразии групп, содержащихся в квазимногообразии К..

Непустое подмножество I решетки Ь называется фильтром, если х,у £ I п х < г влечет за собой хЛуб/игб/,

Замечание. Кванторы всеобщности при написании тождеств и квазитождеств обычно опускаются.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Доказано, что любой нетривиальный фильтр в решетке квазимногообразий метабелевых групп без кручения континуален (это дает отрицательный ответ на проблему А. И. Будкина 12.5 из [16]).

2. Найдены условия континуальности фильтров в решетках квазимногообразий групп. В частности, континуальными оказались нетривиальные фильтры в решетке квазимногообразий АЛ^-групп, в решетке £3(/С), где К. — квазимногообразие порожденное всеми разрешимыми группами либо всеми разрешимыми группами без кручения.

3. Показано, что различных квазимногообразий групп без кручения, удовлетворяющих тождеству

(УагШа^у2] = 1),

континуум.

Приведем обзор диссертации по главам.

Первая глава посвящена изучению фильтров в решетке квазимногообразий метабелевых групп и в решетке квазимного-

образиЙ метабелевых групп без кручения. Основным результатом здесь является следующая теорема.

Теорема 1.9. Любой нетривиальный фильтр в решетке квазимногообразий метабелевых групп без кручения континуален.

Методы, развитые при доказательстве этой теоремы, привели также к следующему результату.

Теорема 1.10. Любой нетривиальный фильтр в решетке квазимногообразий л1етабелевых групп континуален.

Теорема 1.9 дает отрицательное решение проблемы А. И. Будкина (12.5) из [16]. По поводу теоремы 1.10 заметим, что в работе [1] В. П. Белкиным и В. А. Горбуновым доказано отсутствие максимальных элементов в решетке квазимногообразий метабелевых групп, что эквивалентно бесконечности любого нетривиального фильтра в указанной решетке. Однако вопрос о мощности фильтров в решетке Lq(A2) остался открытым. Теоремы 1.10 полностью решает этот вопрос.

Для доказательства теорем 1.9, 1.10 вводятся группы АР, имеющие следующее представление

Ар = гр(у,а0,... ,ар. i || у~1а{у = a¿ll, 0 < i < р - 2,

У~1ар-1У — а0, [а,-, a¡\ = 1, 0<¿,j<p-l, a0ai... ар-х = 1).

Приводятся основные свойства этих групп.

Изучаются порядки элементов в группах, являющихся свободным произведением своих подгрупп в классе метабелевых групп. А именно, доказаны следующие утверждения.

Предложение 1.5. Пусть Ь.— произвольный элемент конечно порожденной метабелевой группы без кручения В (Ь ф 1), тогда [[Ь,ао],ао] — элемент бесконечного порядка в группе АрВ.

Предложение 1.6. Пусть В — произвольная конечно порожденная метабелева группа, тогда элемент [[6, а], а] ф le

группе Zv В, где а — порождающий группы 2Р, Ь — произвольный неединичный элемент группы В.

Здесь А *л2 В — свободное произведение групп А и В в классе метабелевых групп.

При доказательстве этих предложений используется матричное представление метабелевых групп над коммутативным кольцом, найденное В. Н. Ремесленниковым [26].

Существенную роль в доказательстве теоремы 1.9 играет

Лемма 1.8. Пусть В — произвольная конечно порожденная метабелева группа без кручения. Тогда множество простых чисел р таких, что группа Ар вложима в В, конечно.

Доказательство этой леммы основывается на почти аппроксимируемости конечно порожденных метабелевых групп без кручения конечными р-группами для почти всех простых чисел [26].

При доказательстве теоремы 1.10 существенно используется финитная аппроксимируемость конечно порожденных метабелевых групп (см. Ф. Холл [32]). Хорошо известно [32], что конечно порожденные группы из многообразия АМС также финитно аппроксимируемы. Поэтому естественным образом возникает желание распространить теорему 1.10 и на класс А'^с-групп.

Решению этой задачи и посвящен параграф 1 главы 2. Получено следующее условие континуальности фильтров в решетках квазимногообразий ЛА^-групп.

Теорема 2.2. Пусть квазимногообразие Л/" обладает следующими свойствами: а) С Я С АА'С, б) Л/" порождается своими конечньши группами, в) N замкнуто относительно АМс-свободных произведений. Если для квазимногообразия М выполнено соотношение Л/*с С М. С М, то интервал \М.,М) содержит континуальное множество квазимногообразий. В частности, любой нетривиальный фильтр в решетке континуален.

Доказательство данной теорема опирается на исследование свойств свободного произведения в многообразии АМС и па лемму 2.1.

Лемма 2.1. Пусть группа II 6 ЛЛ/"С, Ь £ Нс, к ф 1. Если группа А € Мс, а Е А, а ф 1, то а] £ [(Я * А)с, (Я * А)с].

Эта лемма утверждает, что элемент [Л, а] не равен единице в свободном произведении групп Я и А в многообразии АМС-В основе ее доказательства лежит хорошо известная теорема Куроша [17] о подгруппах свободного произведения групп.

Заметим, что при доказательстве теоремы 2.2 полученно еще одно доказательство теоремы 1.10, которое не использует матричное представление.

Как следствие методов, применяемых при доказательстве теоремы 2.2, получены следующие результаты.

Следствие 2.3. Любой нетривиальный фильтр в решетке ЬЧ{К) континуален, где К = д(АЛГ).

Следствие 2.4. Любой нетривиальный фильтр в решетке ЬЧ{К) континуален, где К — q{AV).

Следствие 2.5. Любой нетривиальный фильтр в решетке ЬЧ{К) континуален, где К, = д(Р).

Пусть К — квазимногообразие, порожденное одним из таких важных объектов теории групп, как класс всех разрешимых групп, класс всех разрешимых групп без кручения, класс всех разрешимых линейно упорядочиваемых групп. В параграфе 2 главы 2 изучаются фильтры решетках Ьд(1С).

Основная идея — финитная аппроксимируемость конечно порожденных групп из класса АА/"С — которая использовалась при доказательстве теорем 1.10 и 2.2 в данном случае не применима, так как конечно порожденные группы из данного класса не обязаны быть финитно аппроксимируемыми. Однако, удается использовалась технику сплетения групп. Нижеследующая теорема дает достаточное условие континуальности фильтров в решетках квазимногообразий групп.

Теорема 2.7. Пусть 7Z = q{G¡ | i £ /}, где каждая группа G{ удовлетворяет некоторому нетривиальному тождеству. Пусть, далее, для каждой группы G¿, i £ I, существует (зависящее от Gi) бесконечное множество групп Ар, р G Р, таких, что Apl(G¡ х F) € 1Z, где F — свободная группа счетного ранга из varG,. Предположим, что для любого р £ Р существует квазитождество Фр

ь • • •, ZmCrt) = 1 v(p)(®I, • • •' =

такое, что

а) оно истинно в группе Aq при q ф р;

б) найдутся элементы а\,... £ Ар, для которых выполнены следующие соотношения:

vf\a\,...,am(p)) = 1, ^'(яД-•■>%(?}) = 1, i = l,...,k(p),

v{p](au...,am{p)) ф 1.

Тогда любой нетривиальный фильтр в решетке квазимногообразий Lq(lZ) континуален.

Теорема 2.7 лежит в основе доказательства основного результата данного параграфа. Сформулируем его.

Теорема 2.8. Любой нетривиальный фильтр в решетке Lq(fC) континуален, где К, — квазимногообразие, порожденное всеми

а) разрешимыми группами;

б) конечными разрешимыми группами;

в) разрешимыми группами без кручения;

г) разрешимыми линейно упорядочиваемыми группами. Из теоремы 2.7 также получаем следующее Следствие 2.9. Любой нетривиальный фильтр в решетке

L?(/C) континуален, где К, — квазимногообразие, порожденное всеми

а) собственными многообразиями групп;

б) группами без кручения, каждая из которых удовлетворяет некоторому нетривиальному тождеству.

В главе 3 изучается решетка квазимногообразий Ьд(М), где М — квазимногообразие групп без кручения, удовлетворяющее тождеству

(Ух)(Шх\у2\ = !)•

Обозначим через N— многообразие групп, определенное этим тождеством.

Параграф 1 содержит предварительные сведения. Здесь вводятся группы С?„ (п > 2), имеющие следующее представление

С?„ = гр(х1,..., хп || = я"1, 1 <г<з<п).

Лемма 3.1. Группа Сп (п > 2) обладает следующими свойствами:

1) для элемента д = ж*1.. .х\' £ Сп имеем: =

когда число Ч-----Ь к, четное и х|+1 = когда это число

нечетное;

2) если [я*1 ...х^,(х1' ...х®")2] = 1 и ф 0, то число Н-----Ь — четное;

3) если к\ +----1 о 51 + • —(- — четные числа, то

И1 • • - ¿¿^ • • • =»г*... .. ■

для некоторых тп^,..., т4_1, тщ+и. ..,тпп 6 2;

4) если (х? ... я*")-1^' • ■ • з*я){х? ... =

= (х?'... - - • лЙ-'аЯГ • • • то к, = 0.

Далее, определяются группы Ап (п > 2), заданные в многообразии порождающими

а-'ь • • •, хп, уи, (г = 2,...,п, ^ = 1,..., 2 п) и определяющими соотношениями

-1 1 " х{ Х]Х{ = ху П [У:,к^ЛМп\, 1 < * < 3 < Щ *=1

[ХЬ УзА - 1, 1 < « < 2 < 3 < "> 1 < & < 2гг.

Устанавливается ряд свойств этих групп, вводятся группы Нп — Ап/т{Лп) (п > 2), которые и играют в дальнейшем основную роль.

Свойства групп Нп изучаются в параграфе 2. В частности, доказана лемма.

Лемма 3.5. Пусть п ф т и <р : Нп —> Нт— произвольный гомоморфизм, тогда ^([хп, [х{, 2/2,2]]) = 1 (п «я — являются степенями четверки.)

Эта лемма позволяет получить следующий основной результат данной главы.

Теорема 3.6. Решетка ЬЯ(М) имеет мощность континуума.

Пользуясь случаем, автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.И. Будкину за постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Белкин В. П., Горбунов В. А. Фильтры решеток квазимногообразий алгебраических систем // Алгебра и логика. 1975. Т. 14, №4. С. 373-392.

[2] Будкин А. И. О квазитождествах в свободной группе // Алгебра и логика. 1976. Т. 15, №1. С. 39-52.

[3] Будкин А. И. Аксиоматический ранг квазимпогообра-зия, содержащего свободную разрешимую группу // Мат. сборник. 1980. Т. 112, №4. С. 647-655.

[4] Будкин А. И. Квазимногообразия групп, замкнутые относительно прямых сплетений // Мат. сборник. 1983. Т. 121, №4. С. 510-522.

[5] Будкин А. И. О квазимногообразиях групп, не имеющих покрытий // Мат. заметки. 1985. Т. 37, №5. С. 609-616.

[6] Будкин А. И. Независимая аксиоматизируемость квазимногообразий обобщенно разрешимых групп // Алгебра и логика. 1986. Т. 25, №3. С. 249-266.

[7] Будкин А. И. О фильтрах в решетке квазимногообразий групп // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т. 52, №4. С. 875-881.

[8] Будкин А. И: О независимой аксиоматизируемости квазимногообразий разрешимых групп // Алгебра и логика. 1991. Т. 30, №2. С. 125-153.

[9] Будкин А. И. О решетке квазимногообразий нильпотент-ных групп // Алгебра и логика. 1994. Т. 33, №1. С. 25-36.

[10] Будкин А. И., Горбунов В. А. К теории квазимногообразий алгебраических систем // Алгебра и логика. 1975. Т. 14, №2. С. 123-142.

[11] Виноградов А. А. Квазимногообразия абелевых групп // Алгебра и логика. 1965. Т. 4, №6. С. 15-19.

[12] Горбунов В. А. Строение решеток многообразий и решеток квазимногообразий: сходство и различие. III // Алгебра и логика. 1995. Т. 34, №6. С. 646-666.

[13] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. Изд. 2-е. М.: Наука, 1977.

[14] Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.

[15] Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984.

[16] Коуровская тетрадь. Изд. 13-е. Новосибирск: НИИ МИ 00 НГУ, 1995.

[17] Курош Л. Г. Теория групп. Изд. 3-е. М.: Наука, 1967.

[18] Мальцев А. И. О включении ассоциативных систем в группы // Мат. сборник. 1939. Т. 6, №2. С. 331-336.

[19] Мальцев А. И. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр // ДАН СССР. 1956. Т. 108, №2. С. 187-189.

[20] Мальцев А. И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики. Труды конгресса математиков (Москва, 1966). М.: Мир, 1968. С. 217-231.

[21] Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

[22] Медведев Н. Я. О квазимногообразиях i-групп и групп // Сиб. мат. ж. 1985. Т. 26, №5. С. 111-117.

[23] Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969.

[24] Ольшанский А. 10. Условные тождества в конечных группах // Сиб. мат. ж. 1974. Т. 15, J\'=6. С. 1409-1413.

[25] Ольшанский А. Ю., Многообразия финитно аппроксимируемых групп // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1969. Т. 33, №4. С. 915-927.

[26] Ремесленников В. Н. Финитная аппроксимируемость ме-табелевых групп // Алгебра и логика. 1968. Т. 7, Л'?4. С. 106-113.

[27] Федоров А. Н. Квазитождества свободной 2-нильпотент-ной группы // Мат. заметки. 1986. Т. 40, №5. С. 590-597.

[28] Федоров А. Н. О квазимногообразиях, порожденых относительно свободной группой // Известия высших учебных заведений, математика, 1986, №6. С. 34-40.

[29] Федоров А. Н. Квазитождества конечных 2-нильпотент-ных групп. М., 1987. Деп. в ВИНИТИ, №5489-В87.

[30] Шахова С. А. О решетке квазимногообразий 2-ступен-но нильпотентных групп // Новосибирск: НИИ МИОО НГУ, 1996. Препринт №17.

[31] Hall P. Finiteness conditions for soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1954. V. 4, №16. P. 419-436.

[32] Hall P. On the finiteness of certain soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1959. V. 9, №36. P. 595-622.

[33] Jategaonkar A. V. Integral group rings of polycyclic-by-finitc groups // J. Pure and Appl. Algebra. 1974. V. 4, №3. P. 337343.

[34] Shafaat A. Lattices of subsemivarieties of certain varieties // J. Austral. Math. Soc. 1971. V. 12 №1. P. 15-20.

[35] Shakhova S. A. On the lattice of quasivarieties of nilpotent groups of class 2 // Siberian Advances in Mathematics. 1997. V. 7, №3. P. 98-125.

[36] Smirnov D. M. Varieties and quasivarieties of algebras // Colloquia Math. Soc. Janes Bolyai, 29. Universal Algebra: Esztergom (Hungary). 1977. P. 745-751.

Работы автора по теме диссертации

[37] Ленюк'С. В. О квазимногообразиях метабелевых групп. Международная конференция по' математической логике, посвященная памяти А. И. Мальцева, тез. докладов. Новосибирск, 1994 г. С. 60-61.

[38] Ленюк С. В. О решетке квазимногообразий метабелевых групп // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, №5. С. 552-561.

[39] Ленюк С. В. Фильтры в решетках квазимногообразий метабелевых групп без кручения. Второй Сибирской Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике "ИНПРИМ - 96", тез. докладов. Новосибирск, 1996 г. С. 191.

[40] Лешок С. В. Фильтры в решетках квазимногообразий групп. Новосибирск: НИИ МИОО Новосибирского госуниверситета, 1997. Препринт №31.

[41] Ленюк С. В. Фильтры в решетках квазимногообразий АЛ^-групп. Новосибирск: НИИ МИОО Новосибирского госуниверситета, 1997. Препринт №32.

[42] Ленюк С. В. Фильтры в решетках квазимногообразий метабелевых групп // Сиб. мат. ж. 1998. Т. 39, №1. С. 67-73.