Симметрические инварианты модулярных алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

— Г* 1 '

1 о

московский государственный университет

ЯШ Ы.В. ЛОМОНОСОВА

ыехашко-иатеиапггескиЯ факультет

На правах рукописи УДК 512.4

Ведратюк Леонид Петрович Сшшетряческие инварианта иодуляркых алгебр Ли 0I.0I.CS - ыатеиаотгеская логика, злгсбрз и теория чисел

автореферат

Диссертации на соискание ученой степеш кандидата физнпо-иатеыатических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Московского государственного университета имени Ы.В. Ломонососова.

Научный руководитель

Официальные оппоненты

- член-корреспондент РАН, профессор ¿.И. Кострикин

доктор физико-математических наук, профессор М.И. Кузнецов кандидат физико-математических наук, А.И. Бсндал

Ведущая организация

Казанский государственные университет

Защита диссертации состоится " (\ 1995 года в 16

часов 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 по математике при Московском го сударственном университете имени Ы.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьвы гор!, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в механико-математического факультета МГУ (14-этаж).

Автореферат разослав

•/Т^ХСМС/иР 1995 г.

библиотеке

Ученый секретарь диссертационного совета Д.052.05.05 При МГУ доктор Сизико-математикеских наук

профессор .

В.Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Вычисление сгомэтрических инвариантов конечномерной алгебры Ли Ь нзд полем полояятельноЗ характеристики р может служить первым патом в изучении центра £(!,) универсальной обертнвапцей алгебры П(Ь) . Изучение центра универсальнсЛ обертывахдей алгебры для алгебры Ш является вззпы вопросам теории представлений алгебр Ли. Для лолущхзстнх алгебр Ли наполем комплексных чисел суцественшэ результаты о цен~з универсальной обертывапдей алгебры получены Еейлея, Гельфакдс:!, Харст- Чандрой и многими другими математиками. Для алгебр /л над полем полонггельной характеристики подобные исследования егэ ~э получили столь широкого распространения. Впервые на теснуз е:лсь мезду представлениями модулярной алгебры Ля и строением центра ееуниверсальной обертывагсей алгебры обратил внимание Ц^ссгнхауз [П, показав, что каждой алгебре Ли мсхно сспс^тавзть алгебраическое многообразие ( называемое теперь многообразием Цассенхауза данной алгебры Ли), за его координатное кольцо которого берется центр универсальной обертывагсей алгебры, а каждому неприводимому представлению алгебра Ли мозно сспоставить точку на этом многообразии. Такой подход был пржэнен А.Н. Рудаковым и И.Р. Шафзревичем к изучению неприводимых представления простой трехмерной алгебр! Ли. [2].

1. Zassenhaus Н. The representations of ble algebras oí algebras or prime characterlstlc.-Prcc.Glasgow Math.Assoc., 1954,2,1-25.

2. Рудаков А.Н., Шафаревич И.Р. Неприводимые представления простой трехмерной алгебры Ли "йад полем конечной характеристики.- Чатем, заметки, 1967,2,439-454.

В '195* г. Цассенхауз [i] установил, что центр Z(L) для конечномерной алгебра Ли L над шлеи положительной характеристики р является конечно-порожденным цалозамкнутым кольцом размерности n=distL. Полностью центр 2(1) изучен лишь для простых

классических алгебр. В.В. Пашков в [3], [4], получил результаты о строении центров универсальных обертнвяпцш алгебр матричных алгебр Ли треугольных патриц, строго треугольных матриц и некоторого класса матабелевых алгебр Ли; в частности, им полностью указана система образующих элементов центра.

Для простых р-алгабр Ли картановских серий W, S, И, К Я.С. Крыше вычислил ранг этих алгебр т.е. количество нетривиальных пороадащих центра _Z(i)-[5]. H.H. Яковлев в 1972 г.. и D.E. Ермолаев в 1975 г. дали описание центра универсальной обертываний алгебр! Витта , а Ю.Б. Ермолаев в 1978 г. - центра алгебры Цассенхауза ff((n) [б]. Н.А.Корешков нашел серии центральных элементов для алгебр Ип, Кп, что позволило определить пороадахсиэ элементы центра для алгебр В., К . Отдельные

3.Пашков В.В. О центре универсальной обертиващей алгебры

нильпотентных алгебр Ли в характеристике рХ).-Вестник Моск. ун-та. иатем.. механ.,1981,ЯЗ.24-28.

4.Пансков В.В. Центры универсальных обертывающих алгебр

некоторых алгебр Ли.-Вестник Ыоск. ун-та. Матем., механ., 1982, К. 19-23.

5. Кршхк Я.С. Об индексе алгебр Ли картановского типа в конечной характеристике. Изв. АН СССР, серия матем.,-1986, -т.50, *2,

с.393-412.

6. Ермолаев Ю.Б. О центральном элементе универсальной обертывапцей алгебры алгебры Цассенхауза. - Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 197$, *6. с. 73-78.

центральные элементы для алгебр 5п(и), В (га). Яп(ш) найдены тагав A.C. Джумадильдаевим в 17].

При вычислении центра 2(1) важную роль играют способы построения центральных элементов . Известен сведущий метод построения центрального элемента в" случае, когда L обладает невырожденной инвариантной формой (»,»). Бели {е{} - базис алгебры L и {ej| eje Z, -сопряженный базис, то элемент

Казимира ^¡Г e(>ej является центральным. Эту конструкцию можно обобщить в следующем направлении. Предположим, что в S(I) существуют два контрагредиентных ¿-модуля и их базисы {u(},{u|}-дуальные. Тогда элемент принадлежит центру Z(L) и

называется обобщенная элемента* Казимира. Хорошо известно, что Для полупростых алгебр над полем нулевой характеристики всякий центральный элемент является обобщенным элементом Казимира. Для конечномерных алгебр Ли над полем положительной характеристики A.C. Джумадальдаев выдвинул гипотезу о том, что любой нетривиальный центральный элемент является обобщенным элементом Казимира.

Первым иагом в изучении центра Z(l) могло бы быть изучение алгебры инвариантов S(L)l, где S(I) - сгаметрическая алгебра . Если в определении обобщенного элемента Казимира потребовать, чтобы указанные контрагредиентные модули реализовывались не в универсальной обертывающей алгебре, а в сшметрической алгебре, то элемент ]Tutut бУД01, симмещяхеским шбщюаитол.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена систематическому изучению симметрических инвариантов модулярных алгебр Ли, включая:- исследования обобщенных элементов Казимира модулярных

7. Джумадильдаэв A.C. Обобщенные элементы Казимира.- ИАН СССР, сер. матем., /985, т.49,.%5, с. 1107-1117.

алгебр Ли;

- исследование обобщенных элементов Казимира для стандартных алгебр Лл картановскшс серий 17, г, Я;

- вычисление копиратнах азиетрических инвариантов для указанных алгебр.

Лгтсда исследования. В диссертации использованы метода реализации коприседаненного модуля в пространстве дифференциальных форм.

Научная новизна. В диссертации подучены ноше результаты:

1. Доказан ослабленный вариант гипотезы Дяумадильдаева об обобщенных элементах Казимира в симметрической алгебре.

2. Для стандартных алгебр Ли картановского типа серий V, й, И ьспрсс о нахождении симметрических инвариантов сведен к вопросу о

С

вычислении алгебры Б(1) 0 , где Ъ - одна из указанных 'алгебр, а £0- ее максимальная подалгебра.

3. Найдены новые серии сааме трических инвариантов алгебр гп(2), Нп(в).

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в исследованиях - по теории представлений алгебр

Апробация работы. Результата диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах механико-математического факультета ЫГУ - кз научно-исследовательском алгебраическом секхнаре кз^здрг: шсгеЯ алгебры МГУ (научные руководители проф.

А.И. Кострикин, А.Л. Шмэлькин, A.D. Ольшанский и др.) в 1993 г. и на научном семинаре "Избранные вопросы алгебра" (научнные руководители проф. А.И. Кострикин, D.A. Бахтурин, Ы.В. Зайцев) в 1993, 1995 гг.

Публикации. Результаты диссертации полностью опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих в себя 10 параграфов, и списка литературы из 22 наименований. Общий объем диссертации - 81 страниц.

Содержание диссертации

Во введении приведен обзор работ, посвященных исследованиям по нахождении) центра Z(L)\ сформулирована цель исследования; обоснованы актуальность новизна и рргктическая значимость полученных результатов; кратко изложено содержание работы по главам."

В первой главе' для конечномерной модулярной алгебры Ли L изучаются обобщенные элементы Казимира в симметрической алгебре S(L). В {1.2 доказывается ' ослабленный вариант гипотезы ДжумздильдзеЕз. А именно, доказано, что если степень однородного инварианта z не делится на р, то z - обобщенный элемент Казимира, причем-он определяется реалиацией сопряженного модуля L* в S(L). Такте укззан базис Ь* в S(L): если {et) - базис L и z zS(l)L, äeg(z)tO (mod p), то элементы

{ —--T>.(z)}

deS(=)

образуют дуальный базис модуля Ъ", здесь V - частная производная по е{ кольца многочленов к[е?,...,ел] изоморфного алгебре Б(1). Применив эти результаты к алгебре Ъ=Пп{т) ,5п(л), Вп(п), мы в §1.3 получаем, что всякий инвариант г записывается в виде

г=<ил, п а^аасв^, о^р^-и

для некоторого РеБ(Ь).

Единое доказательство для всех трех типов алгебр получается путем

введения некоторого объекта, названного нами V - системой. Так как

е е х ,

й^й нО, то ¡3 отображает Б(Ъ) в , где член

стандартной градуировки алгебры I.

в

Запись инварианта г в виде 2=6. (Р) во многих отношениях

удобнее чем запись г в виде разложения по базису в Б(1). Поэтому

в ¡1.4 изучаются условия, которым должен удовлетворять элемент Т,

о х

чтобы выполнялось включение . й {Т)^Б(Ъ) . Оказалось, что для алгебр $п(т) и Нп(а) элемент ? должен Сыть инвариантом максимальной подалгебры £0,а для алгебры 1Гп(ш) элемент Р должен быть инвариантом алгебры и относительным инвариантом алгебры Х0. Тем самым, задача наховдения инвариантов алгебры I во многом сводится к нахождению инвариантов подалгебры С0 в случае 1=£я(ии, ,

И (т) или подалгебры С1 в случае г=*п(ю).

Так как алгебра 2(Х) канонически изоморфна алгебре йГХ'Лолиномиальных функций , то алгебра инвариантов Б О,)1 изоморфна алгебре инвариантных полиномиальных функций ) относительно коприсоединенного действия алгебры Ь. в {1.5, используя реализации I* в пространстве дифференциальных форм О, полученные Я.С. Крылюком.и?], и А.С.Джумадальдаевым,[3], мы переформулируем результаты §{ 1.3, 1.4 в терминах инвариантных

б

полиномиальных функций. Оказывается, что кавдую инвариантную полиномиальную функцию можно представить в виде х(Р), где эе:&п—

функция, сопоставляющая каждому многочлену из алгебры разделенных степеней кп его козНициент при старшем члене, а Р -некоторый многочлен от коэффициентов ,... ,вп "общей" Форш Функция эе выполняет роль, аналогичную роли

а

оператора й .

Во второй главе результаты, полученные ранее, применяются для

поиска инвариантов алгебр Ли картановских. серий 1Г, 5, И. Анализ

известных инвариантов алгебр (Г (и) и (Г показывает, что инварианты

в

р-алгебры ягп, записанные с помощью оператора й , имеют практически

в

одинаковую структуру. Именно, если й (?) -инвариант алгебры Яп,

где 0=(р-?,...,р-Л, то по элементу Р достаточно просто

° в ~

построить элемент Р такой, что <1 (?) уже будет инвариантом алгебры

!Гп(п1). Таким образом задача нахождения инвариантов алгебры Ул(а)

во многом сводится к нахождению инвариантов алгебры что проще

в техническом отношении.Эти вопросы рассматриваются в ¡2.1 для

алгебры "!Гп(и). В ¡2.2 строится единственный нетривиальный

пороздащий инвариант алгебры *Т. ,р>2, найденный ранее многими

в

авторами -[3],[9],[?0]. При помощи оператора й он записывается очень просто и компактно:

р-1 (в) г

а [и а) ].

Для алгебры Иг, р-2 также найдены два симметрических инварианта; показано, что вместе с р-центром они порождают всю алгебру инвариантов БИТ,; .

В ¡2.3 для алгебры Яп, в случав любого нечетного л, построена нетривиальная инвариантная полиномиальная функция, совпадающая при

п=1 с уга известной (см.¡2.1).

В §§ г.4,2.5 аналогичные вопросы рассматриваются для алгебр и В.

Л Л

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, член-корреспонденту РАН, профессору А.И. Кострикину за постоянную поддержку и внимание к работе.-

Список работ автора по тепа диссертации.

1. Бедратхк Л.П., Ершаск Я.С. О центре универсальной обертывающей р-алгебры Ли картановского типа.- IV симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Львов, 1990.

2. Бедратк-с Л.П. О сиккатряческих инвариантах некоторых модулярных алгебр Ли. -Кат., сб.. 1993, Т. 184, №9, с. 149-160.

3. Бедратхзс Л.П. Структура симметрических инвариантов алгебры Ли 1?я(п). Бестн. Коек, ун-та. сер. 1, Математика. Механика. 1994. 05, с.77-81.

4. Еедрзтюк. Д.П. Обобщенные элемента Казимира модулярных алгебр Ли. Дзп. в УкрКЕШ!