Синтезирующие функции линейных управляемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

Синтезирующие функции для семейств оптимальных траекторий, подчиненных двухточечным условиям

1.1 Существование и единственность решения задачи оптимального управления с двухточечными условиями

1.2 Семейства оптимальных траекторий.

1.3 Функции, синтезирующие fc-параметрические семейства при 1 < к < п.

1.4 Функции, синтезирующие ^-параметрические семейства при п + 1 < к < 2п.

1.5 Выделение ^-параметрических семейств с помощью двухточечных условий.

1.6 Множества точек, в которых синтезирующие функции обращаются в бесконечность.

Синтезирующие функции для семейств оптимальных траекторий, подчиненных трехточечным условиям

2.1 Существование и единственность решения задачи оптимального управления с трехточечными условиями

2.2 Семейства оптимальных траекторий.

2.3 Функции, синтезирующие семейства оптимальных траекторий

2.4 Выделение семейств оптимальных траекторий с помощью трехточечных условий.

Синтезирующие функции для семейств оптимальных траекторий, подчиненных многоточечным условиям

3.1 Существование и единственность решения задачи оптимального управления с многоточечными условиями

3.2 Семейства оптимальных траекторий

3.3 Функции, синтезирующие семейства оптимальных траекторий

3.4 Выделение семейств оптимальных траекторий с помощью многоточечных условий.

В математической теории оптимальных процессов, лежащей на стыке теории дифференциальных уравнений pi вариационного исчисления, начиная с первых моделей 50-х годов, одной из основных проблем является проблема синтеза оптимальных систем.

Эта проблема заключается в построении функции u(t,x), называемой синтезирующей функцией данной задачи и представляющей собой значение оптимального управления при условии, что в момент времени t система находится в точке х. Если известна синтезирующая функция, то техническое осуществление оптимального хода процесса может быть произведено по схеме с обратной связью. Поэтому умение решать проблему синтеза очень важно в различных прикладных задачах оптимального управления.

Крупнейшие достижения математической теории оптимальных процессов — принцип максимума Л.С. Понтрягина [2, 11] и метод динамического программирования Р. Беллмана [1] — являются основными средствами решения проблемы синтеза оптимальных систем.

Синтезу оптимальных систем посвящено огромное количество работ. Тем не менее получить явное аналитическое выражение для синтезирующих функций оптимальных систем удается лишь с редких случаях. Отметим работы Л.С. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гам-крелидзе, Е.Ф. Мищенко [2, 11], Н.Н. Красовского [б], A.M. Летова [7], А.А. Фельдбаума [13].

Данная диссертационная работа посвящена решению проблемы построения функций, синтезирующих семейства оптимальных траекторий линейных стационарных задач оптимального управления с квадратичным критерием качества с помощью уравнений принципа максимума Л.С. Понтрягина.

Отправными исследованиями являются исследования А.П. Хромова [14] — [17] проблемы построения синтезирующих функций для линейных задач с квадратичным критерием качества. В его работах рассматриваются всевозможные задачи оптимального управления линейной стационарной управляемой системой n-го порядка со скалярным управлением x{t) = Ax{t) + bu(t), t0<tu (1) где x(t) = (xi{t),.4xn{t))T G ИЭДо,*!], управление u{t) G £2[<o,*i], b = (0,. ,0,1)т — постоянный вектор размерности п. 0 о

А =

1 0 о о

9n ~9n-1

О О О

-92

О \ О

-9i J е к1, 1 = 1, га, на минимум интегрального квадратичного критерия качества J = J'((x{t), Mx{tj) + (u(t),u{tj)^dt min,

2) to где M — постоянная положительно определенная матрица размера п х п, без ограничения на управление при различных условиях, связывающих значения траектории на концах временного отрезка. С использованием соотношений принципа максимума Л.С. Понтрягина [11] x{t) = Ax{t) + \ЪЪТФ(1), ф(г) = -Атф(Ь) + 2Mx{t),

3) где ф{£) = • • 1Фn(t))T — непрерывная вектор-функция, из множества оптимальных траекторий рассматриваемых задач выделены тг-параметрические семейства

Мпм = {x{t) е WfttoApp е мп : ф) = $1 (t)(Dp + d)}, где Ф^/1) —• первые п строк фундаментальной матрицы решений системы (3), D — постоянная матрица размера 2п х п ранга, n, d постоянный вектор размера 2n, р есть вектор-параметр размерности п. Построены функции u{t, .г), для которых справедливы следующие утверждения:

1) если вектор-функция x(t) есть решение системы х = Ах -f- bu(t, х),

4) и R(x(t)) непрерывна на множестве N, то x(t) является функцией семейства Мn}D,d', здесь R(x) = {Ri{x), R2{x),., Rn(x))T,

Ri(x) = -2(Mx, - 2gn-i{x - Ах,Ъ) - (Мг\ Ap~2b)

-2gn-i-i {х-Ах,Ь)-£^---±(-Цх-Ах,Ъ)у.у), г = 0, п - 1,

Rn{x) = —2(х — Ах1, Ь), А\ — та лее матрица, что и матрица А, только последняя строка состоит из нулей, N — множество нулей функции

2) если x(t) является функцией семейства Мто x(t) удовлетворяет системе (4) и R(x{t)) непрерывна на множестве N.

Такие функции u(t,x) А.П. Хромовым были названы функциями, синтезирующими семейства M,ltD,d- В работе В.В. Корнева [5] исследовались точки, в которых синтезирующие функции обращаются в бесконечность (точки множества нулей функций det(<£>i(£).D)). Показано, что таких точек — конечное число.

Цель работы состоит в распространении подхода А.П. Хромова к проблеме синтеза для линейной системы с квадратичным критерием качества в следующих случаях:

1) построение функций, синтезирующих к—параметрические,

1 < к < 2п, семейства оптимальных траекторий задач оптимального управления (1),(2) при неотрицательно определенной матрице М и условиях, связывающих значения траектории на концах временного отрезка;

2) построение функций, синтезирующих к параметрические,

1 < к < (s + 2)п, семейства оптимальных траекторий задач оптимального управления (1),(2) при неотрицательно определенной матрице М и условиях, связывающих значения траектории на концах и в конечном числе s внутренних точек временного отрезка.

Диссертация содержит 120 страниц, состоит из введения, трех глав, разделенных на четырнадцать параграфов, и списка литературы. В главе 1 рассматриваются всевозможные задачи оптимального управления (1), (2) при неотрицательно определенной матрице М и различных условиях, связывающих значения траектории на концах временного отрезка. В параграфе 1.1 приводится компактное доказательство теоремы существования и единственности решения задач (1). (2) в следующих случаях:

1. Беллман Р. Динамическое программирование. М., Изд. иностр. лит., 1960.

2. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин JI.C. К теории оптимальных процессов// Докл. АН СССР, 1956, т. 110, N 1. С. 710.

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

5. Корнев В.В. О существовании синтезирующих функций для линейно-квадратичных задач оптимального управления// Математика и ее приложения: Межвуз. науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 44-45.

6. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М., "Наука", 1968.

7. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов// А и Т. 1960. т. 21. N 4. С. 436-441. N 5. С. 561-568. N 6. С. 661-664.

8. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

9. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

10. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

11. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

12. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.