Системы упругих оболочек в нестационарном потоке вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САшт-гел-'У^ргаж госудрстнзшШ университет

на правах рукописи

1й'ШЩ0В Виталий Николаевич

систши упругих оюшт в нестаздюпанюи потоке вязгой шжости

01.02,04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора фи зико-математических наук

САКСГ-ПЗГЕРЗЭТГ -1992

Работа выполнена в Дюпропетровском институте инженеров келезнодоронного транспорта

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Игорь Тимофеевич СЕЛЕЗОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

" КриА Зосшович АЛЕКОВ

доктор физико-матеыатических наук

Александр Леонвдович ПОПОВ доктор технических наук, профессор

Петр йииппович САЮДШ

• Ведущая организация: Московский авиационный институт

Защита диссертации состоится "¿Ь" с^АЛЛп-сч 19Ш г. в 'ЧЦ " часов на заседании специализированного"1 совета Д 063.57.Э1 по защите диссертаций на соискание ученоП степени доктора физико-штештических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904 Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, ййлиотечная пл.,д.2

С диссертацией шага ознакомиться в библиотеке ш.:',Горького Санкт-Петербургского государственного университета < Университетская иаб«, 7/9)

Автореферат разбйлан "1^" у^лии)^ 1692 г.

Учены;'- секретарь специализированного совета,

{трофее. С.Л.Зегада

г- л - ' - ; ■

^улыюеть ;:гЗо?ц п ее цель. Про мга.ш гидроупругости охва-пстода область г:ро: зссов и ямен;-";, novo го га возшшаот в результате взаимодействия упругих конструкций с потоком глдкости. В зада-

гщроупругостк о -rnorpoueinio примеш. дася метода, разработанные i.'iK в пууюмехгишке, таи и в механике дчГормпруемого твердого тела. П;ю0легл осло.-шяотся vom, что эти метода, как правило, принципиально отличаэтея друг друга. 3 частности, при описании динамит де opi.aijryeMoro твердого тола используются лагршпевне переменные, а то время как в т.:о:ии;;ша ;ащких сред об.мпл.: является пршенешю nejioMcapiitx J 1л ера. 13 о.-дачах гидроупругоити при огшешши двгаения прнпеняжсл оба подход.ч, так как условия контакта i:c:.;ijy потоком и упругим телом шдают обо систе:ш переменнье:. Гсненио отих задач •¡аюночается п том, что необходимо совместно интегрировать систему ураинешй, оплсыв^.'хргс диксние тача и срсда, при задании граничим:; уело Bit" на подв:;дпсс криволинейна; поверхностях раздела.

Изучение неустановившихся двшкенлЛ актуально для различных практических вопросов, гчыпчая нестационарные процессы в гидроупругих системах при шошом воздействии ишульсних, кратковремен-чмх или порементк по вреие.чи нагрузок, а тагс:;е при сиене ре-'пшов двняенш; систеш. Гольш!5 пклпд d теорию нестационарных процессов внесли В,''.üobo.-^ltod, П.С.Соломеяко, Э.П.Григолш, Л.Г.Горя.;ов, :!.Т.Селезов, Б.Л.2рпов, ".!!.' 'лев, Л.К.Перцев, Л.П.Сяепяч,В.Н.Буйвол, ::.Л.;.уковскп* я другио.

Развитие тсорми переходник процессов в системах гндроупру -гости св.-гзано с необхо.гргиостью исследования таких дэижетй, которые возшшаот в нестационарных, критических ситуациях в связи с созданием совре:юш;н>г'конструкций в судостроении н инженерных сооружений .

Постановка задачи гидроупругости нашяается с о продел опия Физической модели, схематизирующей. реальтх! объект. Уравнения движения гнзпческоГ. модели э их совокупности мо.-эю рассматривать как математически модель связанно?. задачи гидроуггругости. Она сос -тоит из трех чаете?': модели потока, модели упругой механической конструкт уш и модели взаимодействия потока с упругой конструкцией.

Необходимо отметать, что дальнейший научный прогресс, несмотря на бурное развитие-вычислительно! техники, продолжает бить в зна-чдаедьной степени связзннш. с успехами в, области аналитических исследований проблем механики. Эти. исследования направлены на развитие новых теоретических понятий и моделей, на выявление новых аффектов в изучаем* процессах, на схематизацию и постановку новых проблем, на ттешшгаескую постановку возникающих задач и разработку алгоритмов их решения»

Дсшкичосеио процессы в задачах кщроупругости шшо подразде-жгь на. ¡задачи взашодаПэтЕня упрупи конструкций с дцеальной якд-КОС5Т1И к задачи, взаиядействля с вязкой ходкостью, В вопросах да -га»5?5.8ското взаимодействия упругой поверхности с идеально"; гвдкос-

дсетипгуш.онач^гелыша успехи. Так, в эфой облгети известны ышгграфии Ю.АЛВй!£нсн0г0, Э.И.Грйгодйка, А.Г.Горшкова, Е,йЛ!нива, АЛС.Псрцэва^ МДЛЬъггаюйа, ЯХСлегаиа, В,Н.1%гйвол&, ^С.Вольынра, О.С, Яковлева и других.

Оцкако круг аздая» црм рбиашги когорт иоэ&одшо утвга&т-ъ эдяшив вягкоегк среда на поведение упругих конструкци!', постопхно ]дяз.г4гр/етоя - 5-гс егдачя йиошшшкя, управления -речением, трубопроводного йраяенорга и друяж». Известные реовшя, о1'Ноеящ;:ося к

кругу эсугаи, сснозива^ася ка существенных уцрощашр-ж штеиа-ттемшх ¡1 ¿кэмчесЕИХ допущениях, Зги результаты справедливы, ео-<ч&;з говоря, только с наиморой степенью хочиосаи я крилошше их в л-пяюрной прейгнвс от« щ»ш>де®ь к некорредтида вшждгш.

. Тшви: образом, в валу«:» ог задач взашкщейсуюм упругих тел с ц^аяьной ядаосзы», где в рздэ случаев удалось построить иод-низ шшйииееяив ршеяия, дкя задач взаимодействия с иязхой авд-косиьв пранягееепп нет рзлещй для соЕиестнкх уравнешй спс-

■теш обокочиа-:задкость. Ноэзаду разработка методики реяшия саднч:; гадроупругости дта вязкой аздкости представляет собой давно шзрев-сум н весьщ актуальную задачу.

Разработка методики решения' совместных уравнений системы оболочка-вязкая адщость в потоке является целью данной работы. Она. источает определение датеиатикескор. ыодели связан'-ой системы гвд-роупругости при неустановившемся двияешш оболочки в сотыаеыоы и неейзш&ешзн потоке вязкой одикосги$ отыскание аналитических мето-

дов решения ураншяй, описываицих эти модели* и исследование их устойчивости; применение ЭШ для численного еналиэа найденных аналитических решений.

Научная новизна. Дхя Изучения переходных процессов в связанных. системах гедроупругости введены нестационарные уравнения, спра* ведливые для описания немалых воэмущенш:, что дает возможность рас** сматривать обтекание не только тонких тел, но и тол более общего В1!да.

/ргя описания нестационарного потока введены скалярные и век -торные потенциалы возмущенных скоростей и построены аналитические выражения для переходных процессов в системах .оболочка-жидкость в случав сферической и цилиндрической оболочек в вязкой несижаешй и вязкой .ожидаемой жидкости.

Р&соютрены новые задачи гицроупругости в случае вязкой яркости для систем коаксиальных оболочек щи различных способах заполнения жэдкостьа /внешняя, внутренняя н заполняетесь кеццу обо-

лочкеля1/,

Для перехода от. получениях в пространстве лапласовых изображений решений разработан и реалйзоШ1 алгоритм численного .обращения и анализа решений. Алгоритм применим доя систем цилкцрмеских и сферических оболочек с рааличнвд характером движения аццкости в широком диапаЗ(Я9 изменения геометрических и механических характеристик систем, .

Шявлеко наличие новых эффектов, та»а;'1:еа$ «Зфсот обратных токов и других, которые подолью идеальной жидкости не улавливаются. Установлен характер их прсяг-легсш в завпсплссти от вязкости и заполнения жидкости.

Теоретическое и практическое значение,., Предлогеша© в ра- -боте математические модели связанных систем гидроупругости и аналитические исследования переходных процессов и итих моделях цегут бкгь применены к изучению нестационарное динамических процессов в связи с созданием современных конструкций в судостроении, авиа -строении и в различных системах инженерно;* гидроупругссти. Так, оффект обратных токов оказывается принципиальный в задачах управления течением потока по упругой' поверхности при изменении мехи -

нических и геометрических параметров оболочки; установление временных режимов бхяяния садмаемости вязкой жидкости может бить полезном в задачах биомеханики и т.д.

Отметим также, что в работе решение на основе контактной задачи гидроупругости является точным в рамках допущений, принятых фи линеаризации уравнений,« поэтому попет служить эталонным при при оценке погрешностей, допускаемых при решении приближенными способами.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Разработана методика решения задач гнпроупругости для цилиндрических и сферических оболочек на основе совместных уравнений системы оболочка-вязкая чиакость.

2. Предложенный подход исследования задач гисроупругости позволил решить задачу взаимодействия как для вязкой несчимае -кой жидкости, так и для вязкой снимаемой чицкости.

3. Рассмотрены систеш из двух упругих коаксиальных цилиндрических и сферических оболочек и показана возможность обобще -ния предлагаемой методики решешл задач на лэбое чело оболочек.

Л. Показана еозиокность прнмгненкд полученных результатов для различите способов иагру.чешя оболочки и к оболочкам, нахо-дяпршея в потоке вязкой жидкости.

5. Еиявлен эффект обратных токов, который иоделыз идеальной жидкости но кожет бить установлен.

6. Показано, что сжимаемость вязкой жидкости значительно влияет на напряженно-деформированное состояние оболочки в начальный момент времени взаимодействия, а для больших значений времени перемещения оболочки, вычисленные с учетом сжимаемости и нески-маекости «щкости, приводят к эквивалентным результатам.

7. Выполнен расчет систецн коаксиальных упругих оболочек и проведен анализ влияния на перемещения оболочки для внешнего, внутреннего взаимодействия оболочки с жидкостью и иидкости, находящейся меаду оболочками.

Обьем и структура работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из наименований. Обьем работы /без списка литературы/ М& страниц, включал ¿10 страниц иаиинопиского текста и рисунков.

в

Апробация работа. Материалы диссертации докладывались на II Всесоюзной конференции "Смепянние задачи механики деформируемого тела" /Днепропетровск, 1961/, У1 Всесоюзном сьезде по теорети -"ее ко Г- и прикладной механике /Гшякент, 1986/, Всесоюзной гаколе-сешнаре "Динамика механических систем" /Томск, 1Ж/, У1 Всесоюзном межведомственном симпозиуме по колебаниям упругих конструкций с жидкостью /Новосибирск, 1988/, Всесоюзной иколе-семина-ре "Моделирование динамических процессов взаимодействия в системе тел с жидкость»" /Киев, 1969/, семинаре института механики АН Украит /рук. академик Гузь А.П., Кие», 1987/, семинаре " Волны в сплошных средах" отдела ГВП института гидромеханики АН Украины /рук. профессор Селезов И.Т., 1951,199И/, на совместном семинаре кафедр галроупругости и теоретической механики ИГУ /рук. академик Соломенко U.C., профессор Товстик П.Е. Санкт-Петербург, 1992/, семинаре по цинагаке сплошной среди в институте проблем механики /рук. член-корр. Григорян С.С., профессор Зволинский Н.В, член-корр.Кукуджанов В.Н., Москва,1992/, семинаре кафедры сопротивления материалов МАИ /рук. профессор Горшков А.Г. Москва, I9Sü/, семинаре кафедры прикладной механики ШИГАиК /рук.профессор Сабодаш П.Ф., Москва, 1992/.

СОДЕВШИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по гидроупругости. Отмечается значение и актуальность теории переходных процессов в связанных задачах движения тонкостенных тел в потоках вязкой жидкости. Сформулированы задачи и приведено краткое содержание работы. В конце введения перечисляются результаты, синосише на защиту.

Проблема динамического взаимодействия оболочек с жидкостьв стала привлекать к себе внимание ученых уке в конце прошлого века. Одним из первых исследований, где учитывалась деформация цилиндрической оболочки от действия гидродинамических сил, была классическая работа Н.Е.Жуковского. Уже в этой работе было показано, что система оболочка-жидкость обладает свойства}.»!, не присущими отдельным ее компонентам и при исследовании не допускает расщепления на задачу механики твердого деформируемого тела и задачу гидромеханики. Поэтому теоретические исследования оболочек при динамическом нагружении в жидкости наталкиваотся на значительные математические

трудности, обусловленные сложной физической природой рассматриваемых процессов.

Задача значительно упрощается, если жидкость считать идеальной, так к aie нагрузка на оболочку со стороны жицкости учитывается только по нормали к поверхности. Здесь достигнуты большие успехи, связанные с анализом напряженно- деформироуемого состояния упругих тел /А.С.Вольмир, Э.Н.Григолюк, А.Л.Попов, В.Д.Кубенко, И.А. Луковский, Н.А.Слезкин, Ю.С.Яковлев и другие/.

Нагрузка на оболочку со стороны жидкости при наличии вяз -кости учитывает не только нормальное воздействие, а и силы вязкости, что значительно усложняет решение задачи. Трудности, возникающие при этом, часто приводят авторов к таким решениям, которые трудно реализовать на практике, а , как известно, одним из прин -ципиальных требований, выдвигаемых современной инженерной практикой, является вопрос доведения полученного решения цо числа. Поэтому основные теоретические исследования, изложенные в диссертации, направлены на преоцоление этих математических трудностей и сведение получегеш; результатов к расчетам на ЭВМ.

Выполненный во введении анализ методов и результатов качественной теории колебания оболочек е жидкости позволяет сделать следующие выводы.

В гидроупругости в основном получили развитие исследования взаимодействия с идеальной жидкостью. В то же время отсутствуют качественные результаты, относящееся к взаимодействию упругих поверхностей с вязкой жидкостью /известные решения относятся к несвязанным задачам, однако для большинства механических систем, встречавшихся в приложениях, необходимо исследовать совместные уравнения взаимодействия систем оболочка-жидкость/. Поэтому исследования взаимодействия упругих поверхностей с вязкой жидкостью представляют собой весьма важную и актуальную проблему.

Выполненный анализ позволил сформулировать слецующие основные задачи диссертационной работы:

1. Разработка методики решения нестационарных задач гидроупругости на основе совместных уравнений, описывающих систему оболочка-жидко«1ь.

2. Применение этой методики к задачам взаимодействия упругих оболочек с вязкой нес*амае**а» в вязкой стамаеиа» здцкасты»,

3. Решений задач нестационарного рааимодейоттая ддя цилиндрически* и сферических ободочек, а такче сиотеи коаксиальных цилиндрических и сферических оболочек.

£

,4. Возможность применения полученных результатов к задачам течения жидкости по упругим поверхностям.

5. Выявление зЭДектоп применения модели вязкой жидкости, которые моделью идеальной яидкости не предсказываются.

6. Влияние на напряженно-деформируемое состояние оболочки учета сжимаемости жидкости.

7. Влияние на характер поведения системы упругих оболочек различных способов заполнения яидкостьп областей /внешнее, внутреннее и заполнение мечту оболочками/.

8. Обсуждение принципиальных вопросов контактных задач гидроупругости для жидкости в допущениях Озеена, для конических оболочек и нелинейных задач взаимодействия.

9. Разработка метода перехода от изображения к оригиналу в преобразовании Лапласа для рассматриваемого класса задач.

Глава I. Основные соотношения, постановка и методы решения

задач.

В п.1 рассматривается описание кинематики деформируемых сред по Лаграняу и Эйлеру и анализируется соответствие метоту ними.

В п.п. 2-4 приводятся основные уравнения теории тонких оболочек, уравнения движения яидкости и формулируются предложения и гипотезы связанной задачи гиароупругости. Модель связанной задачи гидроупругости вклзчает модель несущей поверхности, модель потока и модель механизма, определяющего взаимосвязь потока и несущей поверхности.

Модель несущей поверхности. В качестве исходно!! модели несущей поверхности в работе выбирались цилиндрические и сферические оболочки, уравнения движения которых записываются согласно теории Кирхгофа-Лява в виде: •

где I. - квадратичная матрица дифференциальных операторов, _ вид которых известен;

^ - вектор поверхностных сил, приложенных к оболочке; - матрица, отличные от куля элементы которой имеют следующий вид:

йи= Тк >

Е - модуль Юнга; ^ - коэффициент Пуассона; К, - толщина оболочки. Если рассматривается цилиндрическая оболочка конечной длины, то краевые условия определяются способом закрепления оболочки. Так для шарнирно-подвижного олирания при 1 = справедливы соотношения г

•» нь

Начальные условия определяют смещения и скорости точек оболочки _

и. О*/» - 0 , ■ ' = #

Модель потока. Движение жидкости описывается уравнениями Навье-Стонса /при отсутствии массовых сил/

и уравнением неразрывности

<1-9 -гг

Ц 4 3 N - 0 , (3)

где V - вектор скорости среды;

Р 5 - давление и плотность соответственно.

В случае несжимаемости жидкости уравнения движения 12) и неразрывности СЗ) записываются в виде

V о.

В случав снимаемой вязкой жидкости уравнения (2) и (3) линеаризуются в прецположении, что плотность 9 получает- малое изменение относительно величины 9 . Тогда уравнения (2) и (3) представляются как. .

~ * ~ ЧА\1 + Х^АиДГ; (6>

Кроме того, пренебрегая эффектами, связанными с теплопро -водностью, замыкающее уравнение для сжимаемой жидкости можно выбрать в виде

= о. а » . ВЗ « » о

Сложность объединения уравнений <1) - (3)в задачу гидроупругости заключается в том, что уравнение оболочки <П записано в лаграяжевой системе, а уравнения жидкости (2) , <3) -в эйлеровой системе координат. Для жадности в этом случав деформированное положение поверхности контакта неизвестно. Оно определяется, если жидкость рассматривать в координатах Лагранжа, но тогда не удается в простой форме сформулировать условие для касательных к поверхности тела составляющих вектора смещения точек жидкости. Использование различных систем координат проявляется, когда учитываются /вместе*ют раздельно/ геометрические и физические нелинейные свойства взаимодействующих сред. Здесь необходимо в точках поверхности контакта деформированного тела и жидкости записывать граничные условия в общей форме, так как именно они определяют задачу как задачу взаимодействия.

Если контактная задача гипроупругости рассматривается в линейной постановке, то, как отмечалось в п.1 этой главы, Лаг -ракжевы и Эйлеровы подходы приводят к одпм и тем жз результатам.

В современной теории гидроупругости при линеаризации исходных уравнений гидромеханики применяют гипотезу малых возмущений.

Возмущенный поток при этом приставляется в виде V

где Ч>= - скорость потока, а N^, Ni ~ ыалыо воз -

мущения, причем — <■< 4 ) «■ < ^ i •

N» 0

Представление потока жидкости в такой форме привело к значительным успехам в области гищюупругости, когда жидкость считается идеальной, т.к. на поверхности контакта достаточно выполнения условия непроницаемости.

В случае же вязкой жидкости на поверхности контакта должны выполняться условия прилипания

V = • 18)

Н

Кинематическое граничное условие (Ш не может быть удовлетворено для вязкой жидкости, в терминах малых возмущений, т.к. величина , а компонента скорости C^o+N-*) у

поверхности не может быть величиной малого порядка.

В диссертации уравнения гидромеханики записываются относительно возмущенного потока, что позволяет удовлетворить кинематическое условие 18) точно. При линеаризации же уравнений жидкости используется либо гипотеза Стокса

dtf ЪЧ 31 * It »

либо гипотеза Оэеена

+ и Ш 1Л И Ч~1х

где N0. - поток на бесконечности;

тс. - координата в направлении потока.

Кроме того,в работе относительно скорости возмущенного потока V вводится предположение

где - возмущение, вносимое в поток оболочкой как твердым

__ непеформируемым телом;

- возмущение, возникающее вследствие деформаций поверхности.

Необходимо отметить, что представление (9) затрудняет .удовлетворение кинематических граничных условий (в) на да -формируемой поверхности

Л к

Однако в силу линейности задачи и условия м. \ в теории гидроупругости принимается допущение о возможности записывать гранитные условия на недеформируемой поверхности, т . е.

ЧГ V 4. V I -

Н '

Но т.к. было сделано предположение,что относится к

твердому непеформируемого телу, то ^ /выполняется

условие прилипания/. В этом случае кинематическое условие сводится к удовлетворение этих условий возмущений, вознмкаиарос вследствие упругих деформация

VI

В связанных задачах гидроупругоегк на поверхности контакта выполняется динамическое условие, которое соответствуем.равенству компонентов тензора напряжений жидкости напряжениям, возникающим в результате деформации поверхности

V - •

где компоненты тензора напряжений в жидкости определены равенством

В соответствии с предположение« (9} нагрузка на поверхность представляется в виде

РЛ,,

ас»

гдо

- нагрузка на абсолютно твердое тело;

- нагрузка, обусловленная деформацией упругой поверхности.

Это допущение позволяет рассмотреть обобщенную задачу гидроупругости, выражая решение через нагрузку , заданную в общем виде. В зависимости от значения этой нагрузки, получаем различные классы задач гидроупругости. В частности, если

® » то П0ЛУчим задачу определения собственных колебаний оболочки в вязкой «идкопти.

В п.5 предлагаются некоторые методы решения нестационар -иых задач взаимодействия. Несмотря на многообразие подходов к решению динамических задач, включая вариационные, аналитические и численно-аналитические метоан, имеется ограниченное число задач, решенных с высокой точностью в рамках их постановки. Основным методом решения задач, в которых получены точные в рамках постановки решения, является метод интегральных преобразований.

Преобразование Фурье. Преобразование Фурье определяется ядрами К^У^е1^*" « причем контур С - веще-

ственная ось:

В работе исследовались системы оболочек конечной длины а , поэтому возникла необходимость в общие формулы преобразования Фурье ЧШ ввести ядра и , которые определялись на интервале [о, о_1 . Фикция , заданная на этом интервале, продолжается вне интервала четным или нечетным образом и получаем, соответственно, косинус-преобразование или синус-преобразование Фурье.

Для функции в интервале косииус-трансфор-

нанта принимает вид

<т

о .у;л оОр^ПР»»» И"-* ото:: строит'."' с .•.-¡•::п.то«С!шен тпоряи рядо<з •■урьо

'л. ^ )

з

Прообр-тпсчио Лоплг.с.а. Вообще ^»ц.теса

следует из преобразования «Зурьо, Если г,:е изобраяипо в гроеЗра-зовянии Лапласа имеет слогщцГ: вид, то, 'гак как аналитическая функция пол-юстья определяется своими значеяигг.г.г на отрезка, ч принципе оригинал иоэдм найти по значениям кеабргкегпкт но. тузбок отрезке вещественной оси 8 ирааео кОцкосн осодшогм. Л .И. Слепли разработал для г эких чэобрзию'жЯ мчтод айимп'отаческа окзисалсн'гнкг. Ф:,;н1я;;;:!.

В роботе? гтрз^лтглгея ч^лс;::!;» од орипят-

яа с ксподьзсшний". уотоца окриолл^лту:; (-/нг:

11нтг'1-;''->л гну&нн-квля'шн ядро?» р >»кке:'.".4"г>0( • •¡-•л т:р£-;с::аса

и

Дел нахо«д<лгяЯ действительней саоти ¿'У'гггтгч, V.')) ч 0-2} кчратенке исковой фр.тпт яп^гтглось прчбячпеннип п;1алтгпг??сгл :

------------------с!3')

где

- + ••• * т ,

Коэффициенты и ^^ находятся из условия

Здесь - весовая функция.

Приближенная зависимость <13) удовлетворяет предельным теоремам

= ;

1-.0 4-

и

^СЛ) = 1 $ _ ».1-0

При этом для функций и выполняются условия

4-0 ЬЧ» ' -

В качестве фундаментальной функции в (14)используется многочлен Чебышева, поэтому область изменения аргумента должна быть приведена к интервалу и , что всегда можно сделать с помощью линейного преобразования исходного аргумента.

^ Усло'.вие точности. Если нулевое приближение

не дает желаемой точности, то в этом случае требуется его уточнение. Наиболее общим способом уточнения нулевого приближения является представление разности $ - в виде ортогональных рядов. В работе показано, что это переводит задачу

обращения V. - изображение к задаче представления этих функций в виде рядов Фурье с возможность!) оценки погрешности совершенно тем же способом, что и при использовании ортонормировании* систем в вещественной области.

Глава '¿. Взаимодействие упругих оболочек с вязкой несжимаемо Я жидкостью.

Полученные в первой главе результаты и развитые методы применяются во второй главе к рассмотрению систем оболочка-жидкость в цилиндрических и сферических координатах.

В п.1 излагается методика расчета параметров системы цилиндрическая оболочка-жидкость при различных заполнениях жидкостью.

В качестве исходных дифференциальных уравнений движения приняты уравнения Ч1> в цилиндрических координатах для упругой оболочки и уравнения движения вязкой жидкости (4) , (51 удовлетворяюще допущениям Стокса.

Применяя интегральное преобразование Лапласа по времени к этим уравнениям, получим для оболочки

первые слагаемые в правой части определены ' ^ нагрузкой, действующей на абсолютно жесткую поверхность, а вторые обусловлены наличием дополнительного поля скоростей, вызванного упругими цеформациями.

17

Система диффсращиадыплс уравнений <4> , (.5) , цп поло скоростей, возникающее вслэдсте.о упругих деформаций, сводится к следуют,и* операторным уравнениям:

А * = й ;

, й « ч ^

где & - оператор Лапласа; (Ц. - часяо Рейнольда; мъ-ен-ця&цл ч}> и % определяет иола скоросг-зй и догшямо с «ид -кости по фор.цула.м

V) 5/2-1' ! 7) ч

^нС-Г,. + гэТ^ > '

V а _ э. < \ ■ <Г7>

• Н^ 30 Ъх,'^ 1

34

9

Уравнения (.16> в области изобра-лп;ий шоэт ¿дезеика (

4 / >

гке -ШГ- Т <.*•> К Й-) - Г-ооо

косффццг.л'гы :!г«;ч»гр;;ро;заиил.

18

Решения (18)позволяют найти для систе® оболочка-жидкость общее репедае через коэффициенты интегрирования

т» стч ч . Ш)

- ¿Л Слч.) I Ьси к,« •

4

Для определения коэффициентов в 49) используются кн-нзматичесиие условия сопряжения (8) на поверхности.

Такой подход исследования контактной задачи гидроупругости позволил рассмотреть и получить решение для внешнего, внутреи -него взаимодействия оболочки с жидкостью и рассмотреть задачу взаимодействия с жидкостью двух коаксиальных оболочек.

Задача I. Если жидкость находится только с внешней стороны оболочки, то поле скоростей, возникшее вследствие упругих деформаций, должно удовлетворять условию затухания на бесконечности. Тогда при ^ —* ("г"4-» ив решении 49)

необходимо положить & » 2),* 0, а значения постоянных А^ и

С***

^ определяются из условия сопряжения на поверхности:

V С^ = К, -V = .

Задача 2. Найдено решение задачи, если жидкость находит-сг вне оболочки и внутри оболочки. В этом случае надо учитывать также условие ограниченности решений на оси оболочки СЧпЪ) . Из условия сопряжения как на внешней, тая и на внутренней стороне оболочки получим систему уравнений для определения коэффициентов интегрирования -

* + •к-.

. 4 Л» + + -Ч;

+ 1 +

"5Л + 4 = 0 .

Задача 3. Рассмотрено решение задачи для двух коаксиальных оболочек с радиусами в., и ^ > ^х) , когда жидкость находится вне оболочки радиуса {Ц и мевду оболочками. В этом случае граничное условие сопряжения <8> надо удовлетворять на внешней и внутренней сторонах оболочки и на внешней стороне оболочки . Для коэффициентов получим систему

у^ч* + ^у* +

¿Л* * + чс, * <4^* *0;

(к* + IV * + * 4 - о;

-X ^ «Х + - ^ - 0;

*- УЧ* (Ь*, + ^- « 0.

Задача 4. К условию предыдущей эацачи добавим условие, что и внутри оболочки находится жидкость. Это добавит еще одно условие сопряжения на внутренней стороне оболочки и

система для определения коэффициентов интегрирования расширится

до восьмого порядка - " + + " ;

* у^с^ ♦ - - - ^^ * о;

- 4- упС + у^ * 0 ;

¿X + аЖ + ^ ♦ а^* 4 ^^ » о ; 4 + +

N Л УП ■»>ч 4 ^^ - Ч + ч = о N ^ - Ч С^♦ л ^ Ь^- = о.

21

Из приведенных здесь решений задач видно, «то предложенная методика позволяет рассчитать систему, состоящую из любого количества оболочек с различным заполнением их жидкостью. Задача фактически сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений различного порядка.

В п.2 в качестве примера рассматривалось обтекание цилиндрической оболочки потоком жидкости с заданным на бесконечности давлением » ^(ГХ^Л , где (ГСДЛ - функция ХеЕисайда.

При этом компоненты тензора скорости деформаций жидкости на оболочке вычислялись по формулам.

- & ^ ¡ЧА - Ш К.с*> + и1« «.> К % ; Щ - + - £ 4 д. ,

гп* А V/. . 1"\CjW\ . ■ О _ tV» ,

- скорость потока на бесконечности.

В п.З найдено решение осеоимметричной задачи взаимодействия цилиндрической оболочки с жидкостью. Так как оболочки рассматривались конечной длины, то здесь применялось преобразование Фурье по конечному интервалу - синус и косинус преобразование по координате t . Уравнения <16) в этом случае имеют решение

Awl.c/wo + ¡

где ^рГПяГ • -паряметр преобразования Фурьо.

Следуя методике первого параграфа были найдены решения задач при внутреннем, внешнем заполнении оболочки жидкостью и взаимодействия двух коаксиальных оболочек с жидкостью.

В П.4 рассматривался численный пример течения жидкости внутри оболочки, когда нестационарность создавалась течением яидкости при заданном перепаде давления _ ^-^-^СсО »

где (Г(£) - функция Хевисайда. При этом компоненты тензора скоростей деформаций жидкости на поверхности вычислялись по форцу-лам:

^ \ . V г т

Исследованы переходные процессы взаимодействия, выявлены новые эффекты. В частности, учет наличия вязкости позволил выявить эффект обратных токов, который не проявляется, если жидкость считать идеальной средой.

В п.5 решена задача взаимодействия сферической оболочки с вязкой несжимаемой жидкость». При осесимметричном взаимо -действии в сферической системе координат уравнения <16) имеют решение вида:

I ^ 1 - 1 я

Н» - г Aw + ь^ ;

Здесь решены также задачи внешнего, внутреннего заполнения оболочки жидкостью и взаимодействия двух концентрических оболочек с жидкостью. Как и в первом параграфе показана возможность обобщения предложенной методики и получение решений для систем, состоятцих из более двух оболочек.

В п.6 рассматривался пример обтекания сферической оболочки жидкостью. Поток задавался в виде РС1) = (Г(±) , где (Г(.1) - функция Хевисайда. Нагрузка на оболоч!су определялась соотношениями:

< I -^Л&С-ВЧ0* +

*ЧЛ 1ч

ГД0 VI \1

М с« - скорость потока на бесконечности.

Глава 3. Взаимодействие упругих оболочек с вязкой сжимаемой жидкостью.

В отличие от предыдущей главы в этой главе исследование деформирования оболочек проводилось в предположении, что по -верзшость оболочки взаимодействует с вязкой сжимаемой жидкостьв. Это услояшяет задачу гидромеханики (65 , (.7) при определении поля скоростей, возникшего вследствие упругих деформаций поверхности. Однако уравнения жидкости (б) , (.7) , если принять допущение Стокса, приводятся к операторюму вицу.

(г 1» 1 \. А V* 1

а .формула для определения давления как

$ /Шй». 1 \£_ л,

В п.п.1-6 этой главы показано, что из сравнения <16) и (22) видно, насколько возрастает сложность решения задач взаимодействия с сжимаемой хгэдюстыэ, Однако обобщение методики построения решения в предццуцой главе на задачи взаимодействия с вязкой снимаемой здчкостью позволило построить решение как в цилиндрической /плоское и осесимкотричное взаимодействие/, так и в сферической /осесин-иетрпчиое взаимодействие/ систе;.!ал координат.

Глава 4. Некоторые вопросы взаимодействия упругих оболочек с вязкой жидкостью,

В п.1 исследовались вопросы, возникамцие при взаимодействии упругих поверхностей, если :л!дкость описывается уравнениями в гипотезах Озеена, Ви установлен критерий применения этих уравнений в задачах гидроупругости.

Дтя вязкой несяшаеиой дцдкости уравнения гидромеханики 14), (5) приводятся к соотношениям

Гря вязко? саижемоП кидкости уравнения гидромеханики (4), (,5). приводятся к соотношения!.;

(23)

Здесь для давления получено равенство

Решения уравнений (.23) , (¿4) определены классом функций видаке рСгЧ^М}.Если.эти решения разложить по параметру кх, считет его малым /это условие, в частности,выполняется вблизи поверхности оболочки/, то решения задачи в гипотезах Озеена совпадают с решениями в допущениях Стокса.

В п.2 сделана постановка задачи взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с конической оболочкой и предложен алгоритм решения этсйзадачи, когда искомые функции апроксимировались в виде рядов: ^

При этом удовлетворялись только кинематические условия. Динамические условия будут удовлетворяться тем точнее, чем меньше будет угол конусности © .

В п.З рассматривался вопрос взаимодействия упругих тел с жидкостью в линейной постановке. Вводилась деформируемая система координат, в которой поверхность контакта была бы неподвижной, а функции, входящие в уравнения оболочек и жидкости, зависели бы от одних и тех же координат. При нахождении решения задачи нелинейного взаимодействия оболочки и жидкости в такой постановке использовался численный метод "временных слоев".

Заключение. В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

I. Разработана методика решения зацач гидроупругости, кото-рал характеризуется такими общими особенностями для цилиндрических,сферических оболочек и систем из них, как:

- одновременное проведение интегральных преобразований над уравнениями, описывающими оболочку, уравнениями,описывающими жидкость, и граничными условиями;

- сведение уравнений гидромеханики к операторным уравнениям для скалярных и векторных функций;

- нахождение решений для оболочки и жидкости,выраженных че-

23

роз неиэвесаныо коэффициенты, которые затем определяются из условий сопря гения на деформируешь позер:эюсти.

2. Пред .'о.^ентШ подход исследования задач гндроупругэсти позволял реють задачу взлга.гадеПствип как для вязкой нес^ашае'лэй кид-коетк, так и длл шгзкоЯ о-.'зп.-лекой -адкости.

£. Пост>х>ени решения задач нестационарного гидроупругого взаимодействия в ¡зиинпрической систоле координат - плоская и осеснм-нетричная, а текг.е в сферической системе координат - осесшшетрг"-:шя. Рассмотрена систем:! из двух упругих коаксиальных цилиндрических и г.фершееких оболочек.

4. Использованный г работе метод суперпозиции позволил выразить иолучешшо решения через задшшне силы первой категории /со-отиетствув;но распределению но абсолютно жесткой поверхности/, что дает возможность рассмотреть различные способы н&гружения оболочек. В работе, в частности, показано нрнменение получешщх результатов

к задач га.: течения :::ццкости по упругим поверхности.!.

5. Анг.тлз риссштренннх задач показал, что на поверхности воз-::о:л;ы такио участки^!« которц?: возникают обретнио токи. Лот эффект податью идеальной ::ацц:ости но погет бсть ус-ТЕЛОвлен. Шлвлеи" ний эффект обратных токсл позшлпет рассматривать вопросы управления потоком при солдатни благоприятного поля деформаций| за счет опт!п.":заци:! механических л геометрэтееше: характеркеттт системы

о боле Шй-'ГИЛ! ;о ст ь,

6. Сраишт&тышЛ гиплиз доя вязкой с:™1.'ае;/ой и нее.'лп/легюй :.'Л,ф;ссти выявил хпристерщо три временные попы напротенно-дефор-шрованного состо.ипш ооолочти. В начальной момент г.рсмеаш еиаче>* ;п1я пероиицеш'.й оболочки в емчпемей гмдкости вике, чем в нссш-гпемоР лидиости, затем во второй обшцэноЯ гоне еэтглемость ;зидкос-тл быстрее гасну колебания оболочки и, наконец, для больше: значения времени лирена ¡енин, вычисленные с учетом сгзп.'.'.ености и не-с.'змасмости гс-дкостн, лтмшо.-^гг лрпгптчески :• оквш'гл'онтнш рззуль-Т' Т'у.'. При увеличении чисел РоГлоль.чсп перт.1 зона у> еньмается и для о'олызих гш-.чепхП .фчктичеепи но лгюявлне-.'сн,

7. Выполнен расчет системы коаксиальных упругих оболочек

и проведен анализ влияния на перемещения оболочки различных способов заполнения жидкостью областей. Так, если вычислить переполнив оболочки при внутреннем течении, а затек учесть наличие жидкости с внешен стороны, то величины перемещений значительно уменьшаются. Если с внешней стороны добавить еще одну упругую оболочку v с наличием между оболочками жидкости, то вторая оболочка начинает оказывать влияние на первую как дополнительный источник возмущений. При учете с внешней стороны второй оболочки жидкости неограниченным объемом заполнения,' эффект дополнительного влияния второй оболочки на первую снижается, но продолжает проявляться. Как показали вычисления, это свойство системы оболочка-жидкость становится значительно заметным при увеличении числа Рейнольдов.

8. Исследованы вопросы, возникающие при взаимодействии оболочки с жидкостью, если жидкость описывается уравнениями в гипотезах Озеена. Сделана постановка и намечены пути решения контактной задачи для конических оболочек. Рассмотрен также вопрос взаимодействия упругих тел с вязкой сжимаемой яидкостью при нелинейной постановке.

9. Для рассмотренного класса задач разработан мотоя перехода от изображения к оригиналу в преобразовании Лапласа на основе применения эквивалентных функций. Исследован Donpoc устойчивости »того метода.

' Основное содержание диссертации отраяеао п статьях:

1. I. Нестационарное одномерное точение вязкой щдкости с деформируемой трубо// Прикл.механика.- I973.-J2, $ 4.- СЛС4-Ю7/ соавтора - Губенко B.C., Деркач П.Х./.

2. Движение вязкой жидкости в упругой цилиндрической оболочке, под действием внезапно приложенного перепада давления.-Днепропетровск.: Деп. в ВИНИТИ, 1975.- 122 с.

28

3. Точен::® вязкой жидкости внутри упругой вставки вида цилиндрической оболочки.- Днепропетровск.: Дел. в ВИНИТИ,1975.-10 с.

4. Освсдакетричпое течение вязкой жидкости внутри упругой

' цилиндрической трубы// Прикд.механика.~ 1976,- 12, 8.- С.81-89 /соавтор - Губенко B.C./.

5. Повзцокив упругой цилиндрической оболочки,внутри которой протекает вязкая жидкость.- Днепропетровск.: Дел. а ВИНИТИ, 1976,- 9 с. /соавтор - Губенка B.C./.

6. Нокоторыо вопроси контактной задачи цилиндрическая обо-яочка-пязкея гладкость.- Днепропетровск, : Деп. в ВИНИТИ, 1976,13 о.

7. Дгкъешо упруго Î! сферической оболочки D вязкой яидкосхя»-Дяоиропатротмв. : Деп. а ВИНИТИ, IS78.- 9 с.

8. К вопросу взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с гшзкой мэдностьй// Прикл.механика.- 1978.- 14, № И.- С. 130-133,

2. Ргсгвцаоияркее цеферккровбнкз сфсрнческой и цилиндрической оболочзк в я'зеей эддкостн// Прикл. махавши- 1980.- 16,

I* б.- С, ЗН-44 есаптср - Губсто B.C./.

10. Ксн-удктиоя садт-м гипроупругости дая гпзкой вядкосга.« Л кн.: Чкгузъыъо проблема механики сляогта« сред.-- Дцепропет -POÎSCÎT.ï Кзя-аа Длепр. ун-та, IS8Q.- С. Çg-95 / соавтор - Губсн-та B.C./,

11. Дштанга пзаикодойств:¡л упруг.« оболочек е вязкой xarjeeno.- В кп,. : Cîi8!wsi!)H0 задачи кехшшки деформируемого "ела.- Днопропетрооек. : Изл-no Д>:епр. ун-та, 1981.- С. 106 /соавтор - Губенко B.C./.

12. Нестационарное рзаимодействие упругой цилиндрической оболочки с вязкой снимаемой жидкостью// Прикл. механика.- 1985.21, » I,- р. 42-47,

■14

13. Нестационарное взаимодействие вязкой сжимаемой чидкос-ти с коаксиальными упругими оболочками// Прикл. ме<аника.-196£.-22, № 10.- С.34-40.

14. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость оболочек при нестационарных воздействиях.- Ь кн.: Тр. У1 Всес. сьезда по тесрет. и прилк. механике.- Тоикент.: Иэд-зо АН ¡¿э.ССР, 1966,- С. 228 / соавторы - Губенко B.C., Папанов Г.А., Титов С.О/.

15. Нестационарное взаимодействие упругих оболочек с вязкой сжимаемой жидкость».- В кн.: Дииакика механических систем,-Томск. Изд-во ТоиГУ, 1987.- С. 7V-7S.

16. Нестационарное взаимодействие система упругих цилиндрических оболочек с вязкой сжимаемой жидкость?)// Прикл. механика.- im - 24, » I.- С. 30-37.

17. Нестационарное течение вязкой жидкости по шекней стороне упругой цилиндрической поверхности.- В кн.: Колебания упругих конструкций с жидкостью.- Новосибирск.: Иэд-со Сибирс.к-нс-сл. ШЕ-ут авиации, 1990,- С. 11С—111.