Слабый квантовый хаос в вырожденной гамильтоновской системе

Каменев, Дмитрий Иванович

Слабый квантовый хаос в вырожденной гамильтоновской системе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Каменев, Дмитрий Иванович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Слабый квантовый хаос в вырожденной гамильтоновской системе»

Автореферат диссертации на тему "Слабый квантовый хаос в вырожденной гамильтоновской системе"

РГ6 од

1 ДЬК 1998

На правах рукописи

Каменев Дмитрий Иванович

СЛАБЫЙ КВАНТОВЫЙ ХАОС В ВЫРОЖДЕННОЙ ГАМИЛЬТОНОВСКОЙ СИСТЕМЕ. АКУСТИЧЕСКИЙ ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС

(01.04.07 - физика твердого тела)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Демиховский Валерий Яковлевич.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Ефремов Геннадий Федорович. кандидат физико-математических наук, профессор Кочаровский Владимир Владиленович.

Ведущая организация: Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 23 декабря 1998 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 063.77.03 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.З, НИФТИ.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И Лобачевского.

Автореферат разослан " /9 " Moj^hs 1998 года.

Отзывы направлять по адресу:

603600, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 3, физический факультет ННГУ

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Чупрунов Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. До последнего времени квантовый хаос исследовался в основном в системах полностью хаотических в классическом пределе. Для случая, когда классическая фазовая плоскость имеет сложную структуру и состоит из перемежающихся областей регулярного и хаотического движения, еще не существует адеквантной квантовой теории. Можно назвать лишь несколько работ, где исследуются квантовые динамические системы, которые в классическом пределе имеют небольшую долю стохастических траекторий.

В настоящей диссертации изучается слабый квантовый хаос в вырожденной системе. Рассматривается регулярная и стохастическая динамика квантовой заряженной частицы в магнитном поле Н и поле продольной звуковой волны, распространяющейся перпендикулярно Н, в условиях циклотронного резонанса. Эта проблема сводится к исследованию системы с полутора степенями свободы, где гамильтониан зависит от одной координаты и от времени, и фактически эквивалентна задаче о движении гармонического осциллятора в поле монохроматической волны [1-3]. Рассматриваемая в диссертации модель представляет интерес для физики твердого тела и, в частности, для физики низкоразмерных структур, поскольку она может быть реализована экспериментально при исследовании квантового акустического циклотронного резонанса.

При произвольно малой амплитуде возмущения хаос в соответствующей классической системе возникает внутри стохастической паутины, которая пронизывает все фазовое пространство, и частица, двигаясь внутри паутины, имеет принципиальную возможность уйти на бесконечность [1,2]. Явление хаоса внутри бесконечной паутины при малой амплитуде возмущения получило название "слабый хаос" [2], в противоположность явлению сильного хаоса, когда почти все траектории на фазовой плоскости являются хаотическими. Структура паутины определяется типом возмущения. В случае, если линейная система находится в поле монохроматической волны, паутина в фазовом пространстве неоднородна и экспоненциально спадает при увеличении действия и уменьшении амплитуды возмущения. В результате, несмотря на то, что паутина бесконечна, частица практически остается локализованной [2].

растает в случае слабого хаоса по сравнению со случаем сильного и проанализирована роль симметрии квазиэнергетических функций [4]. В работе [5] исследован эффект подавления квантовой диффузии внутри стохастической паутины. Квантовый хаос внутри паутины также интенсивно изучается в рамках обобщенной модели Харпера с толчками [6,7].

Цель работы

Целью настоящей диссертации является изучение слабого квантового хаоса в вырожденной гамильтоновской системе — заряженная частица, движущаяся в постоянном однородном магнитном поле Н и поле продольной (звуковой) монохроматической волны, распространяющейся перпендикулярно направлению Н. Для изучения квантового хаоса была построена квантовая резонансная теория возмущений. Система подробно изучена в основном, резонансном, приближении, когда на классической фазовой плоскости хаос отсутствует, а также при наличии хаоса. Для численного исследования хаотического режима был развит метод, позволяющий получить и использовать оператор эволюции за произвольное целое число периодов. Кроме того, обсуждаются наиболее общие вопросы, касающиеся природы слабого квантового хаоса.

Научная новизна диссертации

1. Впервые построена квантовая теория акустического циклотронного резонанса в вырожденной системе в условиях слабого квантового хаоса.

2. Впервые развита квантовая теория возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения. В основном — резонансном — приближении аналитически и численно показано, что квантовая система разбивается на квантовые резонансные ячейки, которые являются квантовым аналогом классических резонансных ячеек на фазовой плоскости.

3. Обнаружен новый тип локализации квазиэнергетических состояний — локализация по квантовым резонансным ячейкам. Рассчитана длина локализации и обоснована дискретность спектра ква-зизнергийт----

4. Впервые предсказан эффект туннелирования; между квантовыми резонансными ячейками. Показано, что в случае, если начальное состояние выбрано вблизи квантовой сепаратрисы (границы квантовой резонансной ячейки), эффект туннелирования между ячейками возрастает на насколько порядков.

5. Впервые продемонстрировано явление слабого квантового хаоса в системе с неоднородной классической стохастической паутиной. Показано, что присутствие хаоса приводит к немонотонной зависимости скорости диффузии по сепаратрисам от амплитуды возмущения.

6. Впервые сформулированы условия экспериментального наблюдения квантового акустического циклотронного резонанса в 20 электронном газе.

Практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при экспериментальном изучении квантового хаоса в металлах и полупроводниковых гетероструктурах в условиях акустического циклотронного резонанса. Развитый в диссертации метод расчета динамики квантовой системы с использованием оператора эволюции за произвольное число периодов позволяет рассчитывать эволюцию квантовой системы с периодическим возмущением, не интегрируя уравнение Шредингера в течение этого периода.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Квантовая теория акустического циклотронного резонанса в металлах и полупроводниковых гетероструктурах построена в рамках развитой автором диссертации квантовой теории возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения.

2. Динамика квантовой системы в квазиклассической области параметров совпадает с динамикой классической системы, а симметрия квантовых состояний (функций Усими) при различных номерах резонанса совпадает с симметрией класической сепаратрисной сетки на фазовой плоскости.

3. В изучаемой вырожденной гамильтоновской системе реализуется особый тип локализации квантовомеханических состояний — локализация по квантовым резонансным ячейкам, а спектр квазиэнергий является дискретным.

4. Обнаружена аномально высокая скорость туннелирования между резонансными ячейками в случае, если начальное состояние выбрано вблизи квантовой сепаратрисы.

5. Влияние слабого хаоса приводит к немонотонной зависимости скорости диффузии по сепаратрисам и длины локализации от амплитуды возмущения. При достаточно малой амплитуде возмущения

присутствие хаоса приводит не к усилению, а к подавлению диффузии.

Апробация результатов.

Основные результаты диссертации были доложены на на семинарах кафедры теоретической физики ННГУ, ИФМ РАН, семинаре Центра Международного Сотрудничества г. Карнавака (Мексика), на международных конференциях "Dynamic and stochastic wave phenomena" (Nizhny Novgorod, 1994), International School in Nonlinear Science (Nizhny Novgorod, 1995), на юбилейном семинаре "Уроки квантовой интуиции" (Дубна, 1996), семинаре, посвященном 40-летию открытия циклотронного резонанса Азбеля-Канера (Харьков, 1996), а также на международной конференции, посвященной 80-й годовщине академика Ильи М. Лифшица "Problems of condenced matter theory" (Moscow. 1997).

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 112 страниц, включая 19 рисунков. Список литературы содержит 82 наименования.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, раскрыта новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В Главе 1: (а) Дан краткий обзор теории слабого хаоса в классических вырожденных системах. В обзор вошли работы Чирикова [1], Заславского, Сагдеева и др. [2] и т.д. (б) Приведены основные сведения из теории квантового хаоса, относящиеся к теме диссертации.

ся для описания динамики системы при различных начальных условиях.

Изучаемая система представляет собой заряженную частицу в постоянном однородном магнитном поле Н и поле продольной (звуковой)

монохроматической волны, распространяющейся перпендикулярно Н. Гамильтониан имеет вид

1 е 2

Н — —(р—А) -у0соБ(кх-Ш), (1)

2т с

где р, е, т — соответственно импульс, заряд и масса частицы, У0, к

и (О — амплитуда, волновой вектор и частота волны, с — скорость света. В случае, если калибровка векторного потенциала А выбрана в виде

А=(0,Нх,0), то в силу сохранения компоненты импульса ру, задача

сводится к одномерной в переменном поле, причем

Я = Я(х,0 = Н0(х) + ГСМ), где Н0 — гамильтониан гармонического осциллятора, У(х, () = —У()С08(кх — СО/).

Так как гамильтониан (1) периодически зависит от времени, для исследования системы целесообразно использовать теорию Флоке и искать решение в виде

\|/ ,(*,/) = ехр(—^и^х, 0, (2)

где V)/ с/(хь — квазиэнергетическая волновая функция, £ д — квазиэнергия, 11 ч (х,/) — приодически зависящая от времени функция. Функцию ?У9(х,/) удобно разложить по собственным функциям га-

мильтониана

= (/>{/„(*)• (3)

Так как коэффициэнты разложения (/) периодичны по воемени, разложим их в ряд Фурье

С«(0 = ]Г^ехр(-шо0. (4)

Используя выражения (2), (3) и (4), из уравнения Шредингера для коэффициэнтов Affs мы получим систему алгебраических уравнений

(eq -h(ocn + hm)Als = v0£y„>д+и(^+и>,+1 + 4?+m>i_,). (5)

где квазиэнергия Е^ отсчитывается от нулевого уровня /ш)с/2,

Vп п+т — матричные элементы перехода между уровнями Ландау;

явные выражения для Vп п+т приведены в диссертации. В условиях

точного резонанса, когда СО = £(Х>С, где СО с = еН./ШС — циклотронная частота, система (5) является вырожденной (в квантовомехани-ческом смысле), поскольку при Vq —> 0 левая часть зависит только от

одного квантового числа — от разности П ~ is. Для решения системы (5) нами построена теория возмущений для Флоке-состояний; малым

параметром теории возмущений является величина Vq /ЙСО «1.

Предположим, что ос Vq и выполняется условие циклотронного

резонанса СО = £(Ос. Тогда в нулевом порядке выражение (5) примет вид

(ftcos - h(ocn)A^s = 0. (6)

Отсюда следует, что Aqns = 0 для П Ф is ,

В основном порядке теории возмущений из уравнений (5) и (6) получаем

Похожим образом могут быть'получены выражения и в следующих порядках теории возмущений. КЭ собственные значения 8 _ и КЭ соб-

ственные функции были найдены численно путем диагонализациии системы линейных уравнений (7).

Интересно сравнить поведение квантовой системы, описываемой уравнением (7), с результатами классической резонансной теории возмущений [3]. В классической системе возмущение с произвольно малой

амплитудой Vq приводит к появлению бесконечной сетки сепаратрис; внутри ячеек этой сетки частицы движутся по замкнутым траекториям. Принципиальная перестройка структуры всей фазовой плоскости под действием малого возмущения является следствием вырожденности гамильтоновской системы. Физический смысл этого явления заключается в следующем. В отсутствие возмущения частицы на всех циклотронных орбитах движутся с одинаковой циклотронной частотой 00 с. В

присутствии возмущения с частотой СО = £сдс все частицы одновременно попадают в резонанс независимо от их положения на фазовой плоскости, что приводит к появлению бесконечного числа резонансных ячеек. В общем случае (в невырожденных системах) частота является

функцией действия COq = СОq(/) и резонансная область, определяемая условием СО q (/) = СО , ограничена по действию. В таких системах справедлива теорема KAM, которая утверждает, что малое изменение амплитуды возмущения приводит к малому изменению траекторий на фазовой плоскости. В изучаемой вырожденной системе теорема

KAM не справедлива так как СО с(7) = Cd с = const; частота (D с является параметром, и частицы попадают или не попадают в резонанс независимо от их положения на фазовой плоскости.

Матричные элементы Vn п+£ в уравнении (7) пропорциональны

функции Бесселя t -го прядка Vn n+f ос Jу (л/Itlh ), где 2

h = (ко) ос fl — квантовый параметр задачи, который играет роль

1/9

эффективной постоянной Планка, Ü = (Йс/еН) 7 — магнитная длина. Осцилляционная зависимость матричных элементов от номера уровня Ландау П приводит к тому, что система (7) с недиагональной

модуляцией матричных элементов Уп п+{ распадается на относительно независимые блоки, разделенные областями, где матричные элементы Уп ос малы. Границы блоков определяются нулями

функции Бесселя 3$. Каждый такой блок определяет относительно независимую область в Гильбертовом (энергетическом) пространстве — квантовую резонансную ячейку (см. верхнюю часть рис. I). В квазиклассическом пределе границы квантовых ячеек соответствуют классическим резонансным ячейкам на фазовой плоскости, которые также определяются нулями функции Бесселя 1((кг), где ;■(/) — циклотронный

радиус, I — переменная действие. Также, как и в классической системе число квантовых резонансных ячеек бесконечно.

Почти все КЭ функции, рассчитанные по формуле (7), локализованы в одной из ячеек, а спектры отдельных ячеек не зависят от положения КЭ уровней соседних ячеек за исключением малой области вблизи точки е^ =0, собственные значения которой, как показано ниже, характеризуют состояния вблизи сепаратрисы. Независимость КЭ состояний различных ячеек приводит к их относительной динамической независимости: в случае, если начальное состояние локализовано в одной из ячеек, оно останется локализованным в пределах начальной ячейки достаточно долго. При этом начальное состояние С„ (0) = 5 „ „ в среднем

/I » ' //,//0

равномерно расплывается по всей ячейке независимо от начального положения Щ внутри ячейки.

Уравнение (7) напоминает уравнение Харпера с недиагональной модуляцией матричных элементов [8]. Однако, в нашем случае матричные элементы не периодичны, а убывают с увеличением П, из чего следует, что спектр квазиэнергий является дискретным, а квазиэнергетические функции — локализованными.

Разлагая матричные элементы Уп в ряд вблизи экстремума в не--ксш^ой_ячейю^ из выражения (7) удается получить уравнение гармонического осциллятора с часто^йДелжио>гвыражением-_____

1/2

V и

«со

д(п0ну

(8)

где П0 расположено в центре резонансной ячейки, Уд = Уд /ЙСО . В диссертации также получено условие, определяющее число и положение резонансов в случае неточного резонанса, когда

со -£юс =8(0 ^0, т со

- = —У^п-. (9)

/гсо д {п!г)

Величина % СО в квантовомеханической модели — это расстояние между квазиэнергетическими уровнями вблизи краев спектра, а в классической модели 63 — это частота малых колебаний вблизи центра резонанса на фазовой плоскости. При И —> 0, Щ —> со, Ип0 = /0 формулы (8) и (9) переходят в классические. Из структуры (7) следует, что спектр симметричен относительно значения 8 = 0, а само это

значение соответствует классической сепаратрисе, где резонансный классический гамильтониан обращается в нуль. Все перечисленные выше аналитические результаты подтверждены численно.

Во второй Главе также обсуждаются условия экспериментального изучения квантового акустического циклотронного резонанса. Предсказано, что присутствие звуковой волны должно приводить к сглаживанию и размываншо осцилляций в эффектах де Гааза-ван Альфена и Шубникова-де Гааза в 20 электронном газе. Показано, что для наблюдения нелинейного квантового циклотронного резонанса необходимо использовать акустические (а не световые) волны в связи с тем, что взаимодействие заряженных частиц со световыми волнами, вследствие большой длины волны последних, носит линейный характер.

Третья Глава также посвящена изучению динамики различных начальных состояний в резонансном приближении. Однако, в отличие от второй Главы, где рассмотрена эволюция в пределах одной резонансной ячейки, здесь изучается туннелирование между ячейками. Если классическая частица в резонансном приближении не может переходить из ячейки в ячейку, у квантовой частицы имеется возможность протунне-лировать через квантовые сепаратрисы. Была рассмотрена эволюция

начального состояния С„(0) = 5 п ^ , где Щ находится в центре

первой ячейки, в течение достаточно большого промежутка времени

Рис. 1. Верхняя часть: Зависимость матричных элементов Vп

от номера уровней Ландау П в безразмерных единицах. Нижняя часть: функция распределения для семи квантовых ячеек в момент времени

t = 7 х 105 Тс (Тс — циклотронный период), h = 0.37 , Vq = 0.1,

t — 1, число уровней N = 432 . Начальное состояние расположено в центре первой ячейки. Стрелками указаны границы ячеек.

t х 'max > где ¿max 00 2лй/Детт ' а Aemin ~ минимальное расстояние между КЭ уровнями состояний, которые эффективно описывают динамику. Для расчетов была использована система, включающая 432 уровня Ландау, которые образуют в энергетическом пространстве 7 резонансных ячеек, изображенных в верхней части рис. 1. За время порядка /тах устанавливалось квазистационарное распределение плотно-—схи. рятрр^рпения, изображенной в нижней части рис. 1. Следует отметить, что реальная система содержит ^есконечное-число уровней Ландау, в то время, как изучаемая система конечна. В случае если мы примем в расчет еще несколько ячеек и увеличим размер системы, время

/тах, в течение которого плотность распределения распространится до границы системы, также возрастёт. Однако это не повлияет на распре-

деление вероятностей в первых резонансных ячейках, так как плотность распределения на границе системы (седьмой ячейки на рис. 1) на много порядков меньше, чем в первых ячейках. Таким образом, полученные результаты справедливы для реальной — бесконечной — системы. Численные расчеты подтвердили тот факт, что при t > /тах, плотность распределения в первых ячейках в среднем не изменяется и имеет характерный вид, изображенный на рис. 1. Из рисунка видно, что частица в основном остается локализованной в начальной (первой) ячейке. Обсуждаемое явление динамической локализации является следствием локализации КЭ функций. Как было отмечено выше, почти все КЭ функции локализованы в одной из ячеек и, следовательно, в разложении начального состояния по КЭ функциям присутствуют в основном состояния, локализованные в начальной ячейке. Доля делокализованных (по нескольким ячейкам) КЭ функций мала, вследствие чего является малым и эффект туннелирования между ячейками.

Характер туннелирования, как видно из рис. 1, имеет интересные особенности: плотность распределения спадает экспоненциально быстро только на границах ячеек (квантовых сепаратрисах) и изменяется относительно медленно внутри ячеек. Из рис. 1 видно также, что максимумы плотности распределения соответствуют границам ячеек (более подробно этот эффект обсуждается ниже, в описании четвертой Главы). Таким образом, границы квантовых резонансных ячеек, действуют как квантовые динамические барьеры, препятствующие диффузии плотности распределения. Была определена зависимость средней по ячейке плотности распределения от номера ячейки, которая является экспоненциально убывающей функцией. Рассматриваемый эффект является особым типом локализации — локализации по квантовым резонансным ячейкам. Численно была определена длина локализации.

Численно изучена зависимость длины локализации по ячейкам от параметра /1. Выбирая Ъ таким образом, чтобы матричный элемент на границе ячейки обращался в нуль, Уп< = 0, мы видим, что, согласно (7), туннелирование через сепаратрису с уровнем Ландау п' прекращается. Это приводит к тому, что при плавном изменении к наблюдаются осцилляции прозрачности квантовых сепаратрис. Используя явное

выражение для матричных элементов сс легко по-

казать, что период осцилляций по величине \/И сс Н , где Н — напря-

женность магнитного поля, равен АН=2Йс/Г ГеЪ£. Здесь Ь — соответствующий изучаемой сепаратрисе нуль функции Бесселя.

Явление туннелирования через динамические барьеры было также рассмотрено и в случае неточного резонанса. Показано, что в этом случае плотность распределения распространяется лишь на небольшое число ячеек, определяемое формулой (9), что подтверждает тот факт,

что при 5(0 Ф 0 система является невырожденной и число резонансных ячеек конечно.

В третьей Главе в резонансном приближении также рассмотрена симметрия функции Усими КЭ состояний. Функция Усими определяется как = гДе

f{_X.Q,pQ~,x) — когерентное состояние. Показано, что симметрия квантовых состояний соответствует симметрии сепаратрисной сетки на классической фазовой плоскости, при этом сепаратрисная сетка имеет аксиальную симметрию, а резонансы расположены в ячейках, разделенных 2 £ лучами, исходящими из центра.

В Главе 4 впервые изучено явление слабого квантового хаоса в вырожденной гамильтоновской системе с неоднородной стохастической паутиной в квазиклассическом пределе. Проблема квантового хаоса в классической вырожденной системе имеет ряд интересных особенностей. При произвольно малой амплитуде возмущения хаос в классической системе возникает внутри стохастической паутины, которая пронизывает все фазовое пространство, и частица, двигаясь внутри паутины, имеет принципиальную возможность уйти на бесконечность. Явление хаоса внутри бесконечной паутины при малой амплитуде возмущения получило название "слабый хаос" в противоположность явлению сильного хаоса, когда почти все траектории на фазовой плоскости являются хаотическими и движение частицы является диффузионным. Структура паутины определяется типом возмущения. В случае, если линейная система находится в поле монохроматической волны, паутина Тпфазотом^ро<щ)анс1В£-^1ШШ1ородна^_Э1^оненциально спадает при увеличении действия и уменьшеншТ^мшштудьГ-^^ —

образом, несмотря на то, что паутина бесконечна, частица практически остается локализованной. В четвертой Главе изучается квантовый аналог такой паутины.

Для расчета динамики квантовой системы в хаотическом и в резонансном режимах построен оператор эволюции за произвольное целое число периодов внешнего поля. Процесс вычисления состоит из нескольких этапов. Численно был определяется оператор эволюции за один период [9], путем его диагонализации находятся его собственные состояния — КЭ состояния, которые, в свою очередь, используются для построения оператора эволюции за произвольное целое число периодов внешнего поля. Кратко опишем последовательность перечисленных этапов расчета.

Воспользуемся основным свойством оператора эволюции U

1]\у(х,0)=ЦГ(х,Т) (10)

и разложим 1|/ (х, t) по собственным функциям I}/ п гамимльтониана

Но. В результате получим уравнение

= (И)

п п

где Сn{t) — коэффициенты разложения. Выбирая начальное состояние в виде См(0) = 5 ^^ , из (11) получим выражение для матричных элементов С/^ т в виде

и„0 ,т=Ф\Т), (12)

где индекс YIq у коэффициента С означает то, что он соответствует

начальному состоянию с номером TIq . Коэффициенты мо-

гут быть рассчитаны численно путем интегрирования уравнения Шре-

дингера в представлении гамильтониана Нq . Полученные таким образом значения матричных элементов {/ m составляют Щ-ю колонку оператора эволюции. Повторяя эту процедуру для другого начального условия, ортогонального к предыдущему Сл(0) = 5 , h'^Uq, заполним следующую колонку в матрице оператора эволюции и т.д.

Перебирая таким образом все номера По , где N — размер

системы, можно полностью заполнить матрицу оператора эволюции за один период. Путем диагонапизации матрицы т можно получить

собственные значения и собственные функции С^ — КЭ собственные функции в энергетическом представлении. Число КЭ собственных функций N равно размеру матрицы V т, т. е. числу уровней

Ландау, использованных при расчетах.

Используя КЭ состояния, матрицу оператора эволюции за 1 период удобно представить в виде

С^С?. (13)

9 4 " У

Из формулы (13) следует выражение для оператора эволюции за произвольное целое число периодов М

и^ЛМТ) = £ехр --с« су (14)

ч К 11 ;

Оператор эволюции за М периодов (14) является обобщением оператора эволюции за один период внешнего поля (12), (13) (см. напр.

[10]). Эволюцию произвольного начального состояния Сп< (0) можно теперь определить, используя (14), по формуле

сп(мт) = ^и^мт)СА 0). (15)

Описанная численная процедура использована для изучения динамики системы.

При исследовании процесса туннелирования между ячейками в резонансном приближении была обнаружена интересная особенность, тжлгочающаяеяч8^юм^л1а_скорост^гу^^ возрастает на не-

сколько порядков при условии, есл^Г^ачаШюё^состозпше—выбрано-вблизи квантовой сепаратрисы. При этом плотность распределения в основном концентрируется вблизи границ квантовых резонансных ячеек — квантовых сепаратрис, оставаясь относительно малой в центральной

-15 -15

Рис. 2. Функция Усими квантового состояния, полученного в результате эволюции начального волнового пакета С„(0) = 8 и По , где расположено в области первой сепаратрисы (на границе между первой и второй ячейками) в момент времени (а) / = 1.5 х Ю6^ (Тс —циклотронный период), У0 = 0.002; (Ь) / = 500ГС, У0 = б. И = 0.37, число уровней N = 432.

области ячеек. На рис. 2(а) изображена функция Усими квантового состояния, полученного в результате эволюции начального волнового пакета С„ (0) = 8 п Ио , где расположено в области первой сепаратрисы (на границе между первой и второй ячейками), в момент времени

? = 1.5 х где Тс — циклотронный период. Видно, что функ-

ция Усими имеет круговые максимумы вблизи сепаратрис. Этот эффект напоминает диффузию классической частицы по стохастической паутине. Несмотря на это, диффузия по квантовым сепаратрисам имеет чисто квантовую природу так как классическая частица в резонансном приближении не имеет возможности переходить из одной ячейки в другую. В диссертации показано, что диффузия по квантовым сепаратрисам обусловлена небольшим (3-4 процента) числом квазиэнергетических состояний, делокализованных по нескольким ячейкам. Волновые функции этих состояний имеют максимумы вблизи квантовых сепаратрис, а соответствующие собственные значения расположены вблизи точки

сгущения уровней Е = 0, которая также соответствует сепаратрисе.

По этим причинам делокализованные состояния обуславливающие диффузию по сепаратрисам, были названы "сепаратрисными". Сепарат-рисные состояния имеют чисто квантовую природу и не имеют классического аналога, так как в резонансном приближении на классической фазовой плоскости не существует траекторий, которые бы распространялись на несколько ячеек. Численно и аналитически была определена ширина квантовой сепаратрисы, которая оказалась не зависящей от параметров системы и положения сепаратрис.

При исследовании слабого хаоса в диссертации рассматривается его влияние на диффузию по сепаратрисам. Это оправдано тем, что в классическом случае на фазовой плоскости хаос возникает вблизи сепаратрис. Показано, что при достаточно малой амплитуде возмущения, когда

| I

амплитуда волны Уд меньше некоторого значения Уд, Уд < Уф, присутствие хаоса приводит не к усилению, а к подавлению диффузии по "с^аратрисам^Эта^шршдс^аметно^ш_рис. ^Ь), где приведена функция Усими при диффузии по сепаратрисампри налйта^слабшгхаосат^рре--тья сепаратриса здесь менее четко выражена, чем на рис. 2 (а) и частично разрушена под действием хаоса. Функция Усими очень похожа на классическую плотность распределения внутри стохастической паутины на фазовой плоскости [2]. Четвертая и пятая сепаратрисы отсутствуют и

функция Усимн в присутствии хаоса на рис. 2 (Ь) является более локализованной, чем в резонансном приближении на рис. 2 (а). Структура функции Усими на рис. 2 (Ь) в первых двух ячейках является нерегулярной в соответствии с тем, что почти все траектории в этой области на классической фазовой плоскости являются хаотическими.

В области Уф > Уд увеличение амплитуды Уд приводит к усилению диффузии. В диссертации установлено, что немонотонный характер диффузии по сепаратрисам связан с перестройкой КЭ функций под действием возмущения. Показано, что в резонансном приближении в

области Уд < Уф квантовая дифузия обеспечивается небольшим числом делокализованных КЭ функций. Подавление диффузии при малых амплитудах возмущения связазано с частичной локализацией этих

функций. При достаточно большой амплитуде, в области Уд > Уд, возрастание скорости диффузии связано с возрастанием средней длины локализации всех КЭ состояний. Если диффузия по сепаратрисам при малых амплитудах возмущения является чисто квантовым явлением, то (

диффузия при Уд > Уд есть квантовый аналог классической стохастической динамики внутри стохастической паутины. В этом случае возрастание скорости диффузии с возрастанием Уд связано с увеличением ширины стохастической паутины. Для подтверждения сделанных предположений ширина квантовой сепаратрисы, которая не зависит от параметров, сравнивалась с шириной классической стохастической паутины, которая зависит от Уд как бХр(— (3 /Уд) , где Р не зависит от

Уд. Установлено, что значение Уд определяется из условия равенства (в квазиклассическом пределе) ширины классического стохастического слоя и ширины квантовой сепаратрисы. Таким образом, установлено, что присутствие слабого квантового хаоса приводит к немонотонной зависимости скорости диффузии в зависимости от амплитуды возмущения.

В четвертой Главе показано, что используемые в расчетах параметры соответствуют возможностям реального эксперимента и даны краткие рекомендации для экспериментального наблюдения слабого хаоса в условиях акустического циклотронного резонанса. Дан краткий обзор последних экспериментальных работ, в которых акустические волны

используются для наблюдения квантовых эффектов в двумерном электронном газе.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты и выводы

1. Построена квантовая теория акустического циклотронного резонанса в металлах и полупроводниковых гетероструктурах. Установлено соответствие в поведении квантовой и классической систем в квазиклассической области параметров.

2. Построена квантовая теория возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения.

3. Установлена симметрия квантовых состояний (функций Уси-ми) при различных номерах резонанса.

4. Открыт новый тип локализации квантовомеханических состояний — локализация по квантовым резонансным ячейкам в вырожденной гамильтоновской системе.

5. Изучен процесс квантовой диффузии по сепаратрисам (не имеющей классического аналога) в вырожденной системе.

6. Исследовано влияние хаоса на скорость диффузии по сепара-тисам. Показано, что присутствие хаоса приводит к немонотонной зависимости скорости диффузии и длины локализации от амплитуды возмущения. Установлено, что при достаточно малой амплитуде возмущения присутствие хаоса приводит не к усилению, а к подавлению диффузии по сепаратрисам.

Список литературы цитируемой в автореферате.

[1] Chirikov B.V., Phys. Rep. 52 (1979) 263.

[2] Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Сла---—быйтаос41-ьцширехулщ5ные^труктурь1. М.: Наука. 1990.

[3] Лихтенберг А.Д., Либерман М.А. Регулярноетгстохаетическое_

движение, М.: Наука, 1984.

[4] Berman V.Yu., Rubaev A.A., Zaslavsky GM. Nonlinearity 4 (1991)

543.

[5] Dana I. Phys. Rev. Lett. 73 (1994) 1609.

[6] LimaR., Shepeliansky D. Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 1377.

[7] Geisel T., Ketzmerick R., Petschel G. Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 3635.

[8] Kohmoto M., Hatsugai Y. Phys. Rev. B41 (1990) 9527.

[9] Reicht L.E., Litt W.A. Phys.Rev., A40 (1989) 1055.

[10] Reich! L.E. The transition to chaos, Berlin: Springer Verlag, 1992.

Основные результаты диссертации были опубликованы в работах

1. Demikhovskii V. Ya., Kamenev D.I., Luna-Acosta G.A. Quantum resonance in an intrinsically degenerate system. Nonlinear cyclotron resonance, Phys. Rev. E52 (1995) 3351-3357.

2. Demikhovskii V.Ya., Kamenev D.I. Localization of quantum states at the cyclotron resonance, Phys. Lett, A228 (1997) 391398.

3. Demikhovskii V.Ya., Kamenev D.I. Luna-Acosta G.A. Quantum weak chaos in a degenerate system, Phys. Rev.E, 58. No. 6 (December) (1998).

4. Демихоеский В.Я., Каменев Д.И., Луна-Акоста Г.А. Квантовый резонанс в вырожденной системе. Квазиэнергетические состояния. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 38. No. 3-4 (1995) С. 232-240.

5. Каменев Д.И. Осцилляции скорости туннелирования в вырожденной системе. Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. Сборник научных трудов аспирантов. Н. Новгород: Издательство ННГУ, 1995. С. 69-72.

Каменев Дмитрий Иванович

СЛАБЫЙ КВАНТОВЫЙ ХАОС В ВЫРОЖДЕННОЙ ГАМИЛЬТОНОВСКОЙ СИСТЕМЕ. АКУСТИЧЕСКИЙ ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС

(01.04.07 - физика твердого тела)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17.11.98. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100. Заказ 1409. С. 20.

Типография ННГУ. Н. Новгород, Б. Покровская, 37.

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Каменев, Дмитрий Иванович, Нижний Новгород

Государственный Комитет Российской Федерации по Высшему Образованию Нижегородский Государственный Университет им. Н.И.Лобачевского

Каменев Дмитрий Иванович СЛАБЫЙ КВАНТОВЫЙ ХАОС В ВЫРОЖДЕННОЙ

ГАМИЛЬТОНОВСКОЙ СИСТЕМЕ. АКУСТИЧЕСКИЙ ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС.

Специальность 01.04.07 - физика твердого тела Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.физ.- мат. наук проф. В.Я.Демиховский

Н.Новгород - 1998 г.

Оглавление

Введение..................................................6

1. Циклотронный акустический резонанс в классической вырожденной системе. Классический и квантовый хаос.........15

1.1. Циклотронный акустический резонанс....................15

1.2. Циклотронный резонанс в классической вырожденной системе.............................................16

1.3. Классическая теория слабого хаоса.....................20

1.4. Квантовый хаос.............................................. 23

2. Квантовый циклотронный резонанс в вырожденной гамильтоновской системе. Резонансное приближение..........30

2.1. Постановка задачи.....................................31

2.2. Резонансная теория возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения..................................33

2.3. Квазиэнергетические состояния в случае точного резонанса . 35

2.4. Квазиэнергетические состояния в невырожденной системе .. 42

2.5. Эволюция квантовых состояний в пределах одной резонансной ячейки ....................................44

2.6. Сглаживание квантовых осцилляций при экспериментальном наблюдении акустического циклотронного резонанса......48

3. Локализация квантовых состояний по квантовым ячейкам.

Симметрия КЭ состояний...................................51

3.1. Локализация квантовых состояний по ячейкам.............51

3.1.1. Функция Грина КЭ состояний.......................52

3.1.2. Туннелирование через квантовые П-торы.............53

3.1.3. Локализация квантовых состояний по ячейкам .........56

3.1.4. Осцилляции скорости туннелирования через квантовые П-торы...........................................59

3.1.5. Туннелирование через квантовые КАМ-торы в

невырожденной системе (случай неточного резонанса). .60

3.1.6. Выводы..........................................63

3.2. Симметрия квантовых состояний. Функция Усими...........64

3.2.1. Квазиэнергетические состояния вблизи краев квазиэнергетического спектра.......................65

3.2.2. Симметрия функций Усими квазиэнергетических состояний ....................................... 66

4. Слабый квантовый хаос в вырожденной системе...............73

4.1. Постановка задачи....... .............................74

4.2. Оператор эволюции........................ ...........75

4.2.1. Оператор эволюции за один период внешнего поля.....76

4.2.2. Оператор эволюции за произвольное число периодов внешнего поля........... ....................... 77

4.3. Влияние нерезонансных членов на структуру матрицы оператора эволюции...................................79

4.4. Сепаратрисные квазиэнергетические состояния.............82

4.5. Ширина квантовой'сепаратрисы...........................86

4.6. Влияние хаоса на структуру КЭ волновых функций ...........87

4.7. Квантовая диффузия по сепаратрисам.....................88

4.8. Подавление квантовой диффузии по сепаратрисам под действием слабого хаоса................................93

4.9. Немонотонный характер зависимости скорости квантовой диффузии по сепаратрисам от амплитуды возмущения.....95

4.10. Выводы .............................................99

4.11. Возможность экспериментального наблюдения слабого квантового хаоса в условиях акустического циклотронного резонанса.............. .............................100

Заключение ...............................................103

Литература.......... ...................................106

Список основных обозначений

П-торы — паутинные торы КЭ — квазиэнергетический

KAM (теорема) — (теорема) Колмогорова-Арнольда-Мозера АЦ,СЦ — КЭ волновые функции в энергетическом представлении sq — уровни энергии (квазиэнергии) Eq — безразмерная квазиэнергия

Я — гамильтониан Н — напряженность магнитного поля цг — волновая функция v0 — амплитуда возмущения

V0 — безразмерная амплитуда возмущения, параметр в квантовой модели

h — эффективная постоянная Планка, параметр в квантовой модели

со —частота волны

о)с — циклотронная частота

к — волновой вектор

t — время

х — безразмерное эффективное время Тс — циклотронный период

х — координата г — циклотронный радиус А — векторный потенциал J — функция Бесселя

Введение

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. До последнего времени квантовый хаос исследовался в основном в системах полностью хаотических в классическом пределе. Для случая, когда классическая фазовая плоскость имеет сложную структуру и состоит из перемежающихся областей регулярного и хаотического движения, еще не существует адеквантовой квантовой теории. Можно назвать лишь несколько работ, где исследуются квантовые динамические системы, которые в классическом пределе имеют небольшую долю стохастических траекторий.

В настоящей диссертации изучается слабый квантовый хаос в вырожденной системе. Рассматривается регулярная и стохастическая динамика квантовой заряженной частицы в магнитном поле Н и поле продольной звуковой волны, перпендикулярной Н, в условиях циклотронного резонанса. Эта проблема сводится к исследованию системы с полутора степенями свободы, где гамильтониан зависит от одной координаты и от времени, и фактически эквивалентна задаче о движении гармонического осциллятора в поле монохроматической волны [1-3]. Рассматриваемая в диссертации модель представляет интерес для физики твердого тела и, в частности, для физики низкоразмерных структур, поскольку она может быть реализована экспериментально при исследовании квантового акустического циклотронного резонанса.

вой плоскости являются хаотическими. Структура паутины определяется типом возмущения. В случае, если линейная система находится в поле монохроматической волны, паутина в фазовом пространстве неоднородна и экспоненциально спадает при при увеличении действия и уменьшении амплитуды возмущения. В результате, несмотря на то, что паутина бесконечна, частица практически остается локализованной [2].

До последнего времени слабый квантовый хаос в основном исследовался в рамках модели осциллятора с толчками [4,5]. Было показано, что время классического описания квантовых средних значительно возрастает в случае слабого хаоса по сравнению со случаем сильного и проанализирована роль симметрии квазиэнергетических функций [4]. В работе [5] исследован эффект подавления квантовой диффузии внутри стохастической паутины. Квантовый хаос внутри паутины также интенсивно изучается в рамках обобщенной модели Харпера с толчками [6,7]. ЦЕЛЬЮ НАСТОЯЩЕЙ ДИССЕРТАЦИИ является изучение слабого квантового хаоса в вырожденной гамильтоновской системе — заряженная частица, движущаяся в постоянном однородном магнитном поле Н и поле продольной (звуковой) монохроматической волны, распространяющейся перпендикулярно направлению Н. Для изучения квантового хаоса была построена квантовая резонансная теория возмущений. Система подробно изучена в основном, резонансном, приближении, когда на классической фазовой плоскости хаос отсутствует, а также при наличии хаоса. Для численного исследования хаотического режима был развит метод, позволяющий получить и использовать оператор эволюции за произвольное целое число периодов. Кроме того обсуждаются наиболее общие вопросы, касающиеся природы слабого квантового хаоса. В частности вопрос о том, как слабый квантовый хаос может быть обнаружен экспериментальное условиях, когда лишь небольшая доля собственных

состояний оператора Гамильтона или оператора эволюции претерпевает изменения под действием хаоса. НАУЧНАЯ НОВИЗНА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Построена квантовая теория циклотронного резонанса в вырожденной системе. Для изучения рассматриваемой модели развита теория возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения.

2. В основном — резонансном — приближении аналитически и численно показано, что квантовая система разбивается на квантовые резонансные ячейки, которые являются квантовым аналогом классических резонансных ячеек на фазовой плоскости. Исследована динамика системы при различных начальных условиях в пределах одной ячейки.

3. В резонансном приближении изучена симметрия функции Усими квазиэнергетических состояний на плоскости (рх,х) для различных номеров резонанса £ {(о-£(ос), которая совпадает с симметрией классической сепаратрисной сетки.

4. Установлено, что спектр квазиэнергий является дискретным, а квазиэнергетические состояния — локализованными. Исследовано туннелиро-вание между ячейками и показано, что в изучаемой системе реализуется особый тип локализации — локализация по квантовым резонансным ячейкам. Рассчитана длина локализации.

5. Построен оператор эволюции за произвольное целое число периодов, который используется при изучении динамики в резонансном приближении и в присутствии слабого хаоса.

6. Показано, что в случае, если начальное состояние выбрано вблизи квантовой сепаратрисы (границы квантовой резонансной ячейки), эффект туннелирования между ячейками возрастает на насколько порядков, причем плотность распределения в основном сосредоточена вблизи кванто-

вых сепаратрис. Это явление названо нами квантовой диффузией по сепаратрисам. Рассчитана ширина квантовой сепаратрисы.

7. Исследовано явление слабого квантового хаоса, который является квантовым аналогом классической стохастической динамики внутри бесконечной стохастической паутины на фазовой плоскости. Рассмотрено влияние хаоса на процесс диффузии по квантовым сепаратрисам. Показано, что присутствие хаоса приводит к немонотонной зависимости скорости диффузии от амплитуды возмущения. Рассмотрен переход от чисто квантовой диффузии, обусловленной явлением туннелирования, к диффузии, являющейся аналогом классической стохастической динамики внутри стохастических слоев сепаратрисной сетки.

8. Установлено соответствие классической и квантовой системы в квазиклассическом пределе.

9. Рассмотрены условия экспериментального наблюдения квантового акустического циклотронного резонанса в 20 электронном газе. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при экспериментальном изучении квантового хаоса в металлах и полупроводниковых гетероструктурах в условиях акустического циклотронного резонанса. В главах II и IV обсуждается возможность таких экспериментов. Развитый в диссертации метод расчета динамики квантовой системы с использованием оператора эволюции за произвольное число периодов позволяет рассчитывать эволюцию квантовой системы с периодическим возмущением, не интегрируя уравнение Шредингера в течение этого периода.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ.

2. Построена квантовая теория возмущений для Флоке-состояний при наличии вырождения.

3. Установлена симметрия квантрвых состояний (функций Усими) при различных номерах резонанса.

4. Открыт новый тип локализации квантовомеханических состояний — локализация по квантовым резонансным ячейкам в вырожденной га-мильтоновской системе.

6. Исследовано влияние хаоса на скорость диффузии по сепаратисам. Показано, что присутствие хаоса приводит к немонотонной зависимости скорости диффузии и длины локализации от амплитуды возмущения. Устанвлено, что при достаточно малой амплитуде возмущения влияние хаоса приводит не к усилению, а к подавлению диффузии по сепаратрисам.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Основные результаты диссертации были доложены на на семинарах кафедры теоретической физики ННГУ, ИФМ РАН, семинаре центра международного сотрудничества г. Карнавака (Мексика), на международных конференциях "Dynamic and stochastic wave phenomena" (Nizhny Novgorod, 1994), International School in Nonlinear Science (Nizhny Novgorod, 1995), на юбилейном семинаре "Уроки квантовой интуиции" (Дубна, 1996), семинаре, посвященном 40-летию открытия циклотронного резонанса Азбеля-Канера (Харьков, 1996), а также на международной конференции, посвященной 80-й годовщине академика Ильи М. Лифшица "Problems of condenced matter theory" (Moscow. 1997).

Основные положения диссертации опубликованы в работах [4649,67,68,71,72].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 112 страниц, включая 19 рисунков. Список литературы содержит 82 наименования.

Во второй Главе квантовый циклотронный резонанс рассматривается в рамках резонансной теории возмущений для Флоке-состояний (квазиэнергетических (КЭ) состояний) при наличии вырождения. Эта теория является квантовым аналогом классической резонансной теории возмущений [3]. Изучена структура КЭ состояний в основном — резонансном — приближении. Найденные таким образом КЭ состояния, используются для описания динамики системы при различных начальных условиях. Показано, что гильбертово пространство квантовых состояний разбивается на бесконечное число квантовых резонансных ячеек, которые являются аналогом классических резонансных ячеек на фазовой плоскости. Изучена структура КЭ состояний в случаях точного и неточного резонансов. Установлено, что спектр квазиэнергий является дискретным, что приводит к локализации КЭ волновых функций. Аналитически и численно обнаружено, что расстояния между КЭ уровнями вблизи краев КЭ спектра отдельной ячейки (КЭ состояния отдельных ячеек Являются относительно независимыми) в квазиклассическом пределе совпадают с частотой малых колебаний вблизи центра соответствующего классического резонанса на фазовой плоскости (2.19), а точка сгущения в КЭ спектре соответствует классической сепаратрисе. Получено условие для определения числа квантовых резонансных ячеек в случае неточного резонанса (2.21), когда система является невырожденной (справелива тео-

рема KAM). Полученный результат в квазиклассическом пределе совпадает с соответствующим классическим условием. Были обсуждены условия экспериментального изучения квантового циклотронного резонанса. Предсказано, что присутствие звуковой волны должно приводить к сглаживанию и размыванию осцилляций в эффектах де Гааза-ван Апьфена и Шубникова-де Гааза. Показано, что для наблюдения нелинейного квантового циклотронного резонанса необходимо использовать акустические (а не световые) волны в связи с тем, что взаимодействие заряженных частиц со световыми волнами, вследствие большой длины волны последних, носит линейный характер.

Третья Глава посвящена изучению динамики различных начальных состояний в резонансном приближении. Однако, в отличие от второй Главы, где рассмотрена эволюция в пределах одной резонансной ячейки, здесь изучается туннелирование между ячейками. При изучении эффекта туннелирования расчет динамики проводился с использованием собственных функций оператора эволюции (КЭ собственных функций), которые в резонансном приближении приближении совпадают с собственными функциями гамильтониана Флоке. В изучаемой вырожденной системе обнаружен особый тип локализации — локализации по квантовым резонансным ячейкам. Рассчитана длина локализации. Были изучены осцилляции скорости туннелирования через квантовые П-торы в зависимости от величины, обратной эффективной постоянной Планка 1//юсН, где Н — напряженность магнитного поля, и рассчитан период этих осцилляций. В случае неточного резонанса изучено явление тунеллирования через квантовые КАМ-торы в невырожденной системе, величина которого оказалась намного порядков меньше скорости тунеллирования через П-торы в вырожденной системе.

В третьей Главе в резонансном приближении также была рассмотрена симметрия функций Усими КЭ состояний на плоскости (рх ,х). Было

показано, что симметрия квантовых состояний соответствует симметрии сепаратрисной сетки на классической фазовой плоскости, при этом сепа-ратрисная сетка имеет аксиальную симметрию, а резонансы расположены в ячейках, разделенных 21 лучами, ис�