Смешанные задачи для обобщенных уравнений Кортевега-де Фриза и Кавахары в полуполосе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В настоящей работе рассматриваются нелокальные смешанные задачи в полуполосе я? = {(/,х): 0 < t < Т,х > 0} (Т-любое положительное число) для уравнения: D X(g(t,x,u))+ f(t,x,u) (1) где u = u(t,x) a(t)> 0 почти всюду на(0,г), с граничными условиями и(о,х) = и0(х), х>0, u{t$) = ux{t), 0<t<T (2) и для следующего уравнения:

Dtu - D5xu + bD]u + g{u)Dxu + g,(^x)D,M + g2(t,x)u = f(t,x) (3) где b - вещественная постоянная; функция g имеет не более чем линейный рост по и ->• ±оо; с граничными условиями: и(0,х) = ио(х), х > 0, u(t,0) = ul(t), ux(t,0) = u2(t),0<t<T (4)

Уравнение (1) обобщает известное уравнение Кортевега-Де Фриза (КдФ): ut+uxa=Dx[u2/) (5)

Уравнение КдФ (5) описывает распространение . длинных одномерных волн на поверхности мелкой воды (см. [1]). Этот процесс является нелинейным и дисперсионным. Однако при необходимости учета наряду с нелинейностью и дисперсией других эффектов, как неоднородности рассматриваемой нужно вводить в уравнение переменные коэффициенты. Можно ввести, как в нашем случае коэффициенты, зависящие от времени.

Уравнение (3) является одним из обобщений уравнения Кавахары: и, - D5xu + uux + аих +buxxx = /; a,beRl. (6)

Уравнение (6) описывает длинные нелинейные волны в средах со слабой дисперсией (см. [2], [3], [4], [5]).

Основное внимание в работе уделено обобщенным решениям задач (1), (2) и (3), (4). Для таких решений устанавливаются результаты о существовании, единственности и непрерывной зависимости от граничных условий. Введем некоторые обозначения.

Пусть Q - область в R" (вообще говоря, неограниченна), Q - ее замыкание, к- неотрицательное целое число. Через Ckb (q) обозначим пространство к раз дифференцируемое на Q функций, m(x1v.,xJ, для которых каждую частную производную Dau порядка \а\ < к можно продолжить до непрерывной ограниченной функции на Q. Здесь а-целочисленный мульт-индекс (а,ап), а: > 0,\а\ = а1+. + а„,

8а'

Da=D"'.D^, Dax\ =——, сама функция считается производная нулевого порядка.

Пространство C"(q) определим как пространство функций, принадлежащих Скь (Ti) при любом к. Через C0°°(q) обозначим множество бесконечно дифференцируемых на Q функций с компактным в Q носителем.

Пусть а>0. Символом S^ (rI ) будем обозначать пространство функций и(х) из С00 ([О,+оо)), для которых при любом целом неотрицательном m полунорма: чЛи)=

Q0 00,

Для любого Т >0, через Сж(о,Г;5еахр + ) обозначим пространство бесконечно дифференцируемых в Щ функций, u(t,x), для которых при любых целых к,т> О полунорма: = sup

4-СО j(D^Dku(t,x)feaxdx К 00.

Пусть l<р <сс. Символы Lp(q),L!opc(q.) (множество функций, принадлежащих ЬР{К) для любого компактного множества К области

Q), Wkp(Q), Hk{n) = W2k(n), H*(n) = W*(n), н~к(а) -пространство, сопряженное к Hk(Q), используются в общепринятом смысле. Обозначим через 12+. пространство и через Нк+ пространство

Rl = (о,*»))

Через 4,(7^) = Lx + обозначим пространство функций и(х), для которых: < оо х>0

Через W^(Rl) = будем обозначать пространство функций и(х) для которых ess sup|w(x)|+|wx (х)|) < х>0

Введем следующие весовые пространства: для некоторого а > О. Через О ,+оо) = Ьаг + обозначим пространство измеримых на (0,+оо) функций u(t,x), для которых:

-ко

Н^ = + < оо . О

Далее, для любого целого к> О через Нка (0,+<х) = нкh обозначим пространство функций и(х) е Нк +, для которых:

ГИя^О.-мо) т=О i?(0,+a>) 00

Пусть Т>0; 1</?<оо; X - банахово пространство. Через Lp (о, Т; X) обозначим пространство измеримых по Бохнеру функций и, действующих из (0,Т) в X, для которых в случае р < ос: lp(0,T,X) к4

Vo со; а в случае р- да;.

Далее, для произвольной измеримой на Д1, функции g(«) положим, и и g*(u)= \g{9)d0, g * *(и) = Jg * (<9]dO и так далее. о о

Введем следующие вспомогательные функции. Пусть (х) -бесконечно дифференцируема на R1 неубывающая функция такая,

ЧТО у/0 (х) = 0 при у/0{х)= 1 при Х>1, yrQ{x)> 0 При XI

5 7

8' 8

Пусть а> 0, положим \{/а (х) = х°Уо(*)- Заметим, что ц/а (х) бесконечно дифференцируема и у/а (х) > 0 для Vxei?1.

Пусть Q- область в R". Для любой функции и(х,,.,х„) из l!°c(Q) через ик(хх,.,хп) будем обозначать среднюю функцию для и:

И*(*1 >■«,*„) = 7Т ГмСи!.у»)пяГ^—, где (x,,.,xJeQ, 0<h<dist((x},.,х„),<3Q) и ядро усреднения Л(х)>0, 1

X{x)^C;[rx), supрХ(х)е[-l,+l], \x{x)dx = 1.

Теперь приведем некоторые факты из теории линейных уравнений:

Фундаментальным решением оператора D,+D3X на плоскости {(7, х)} является функция:

G{t,x)=

О,/ < О а)"* 4 t> о где:

Л, (0) = — [ехр(/(^3 + = - fcosf'» У + - функция Эйри. 2я I )

См. [6]).

At{e)- бесконечно дифференцируемая на R1 функция и удовлетворяет условию: А"(в) = вА{(в)', и для нее справедливы следующие ассимптотики:

A W л 1 с: юн 4 sin

2, ,з/ )

2+£>л ,прив ->-00

3 у я 1 /■ с;^2 4 ехр 3 прив —> +00

7)

Ч-> У

Из (7) следует, что: при 0<t<T,x<0:

А при 0</<Г,х>0

G{t,x]<gT(xy%

DxG{t,x)<gT{xy2/\ где gT (л) е L (r[ )п (rI } gT (х) 4 0, при х^+сс

Приведем некоторые интерполяционные неравенства, используемые в работе. Если и(х)еН1, то:

-ко (+оо +со \/2 supw2(x)< 2 J|w|wx|fitc < 2 jujdx ju2dx хг0 о V о ) V о /

Если и(х)е Hl(a,b), где 0<а<6<оо,то

8)

9) sup u2{x)< const a<.xib лХ 4 ju2xdxju2cbc + ju2dx

У a

11)

В частности, для u(x) e

00 -HO +<0 supw2(x)< supw2^" < с(д) fu2eaxdx+ c(aX fre^dx/2 ( fu'e^dxy2 (12)

Теперь перейдем к описанию основных результатов работы. Настоящая работа состоит из трех глав. Глава 1 посвящена задаче (1),(2); остальные две главы 2 и 3 задаче (3),(4).