Статистическая геометрия и равновесие блочных массивов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Академия наук СССР

Ордена Ленина институт физики Земли имени О.Ю. ШМИДТА Госкомитет СССР по народному образованию Московский ордена Трудового Красного Знамени Горный институт

На правах рукописи

УДК 513:622

БЕЛОВ Алексей Яковлевич

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И РАВНОВЕСИЕ БЛОЧНЫХ МАССИВОВ

¿7/ ¿V

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1991

Работа выполнена в Московском Горной Институте. Каучннй руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Р.Л.Сзлганик

Официальные оппоненты:

д.ф.м.п., проф. В.Б.Колмановский (МИЭМ) к.ф.м.н. Е.И.Динабург

Ведущая организация: ГИПРОЦВЕТМЕТ

Защита диссертации состоится па заседании Специализированного Совета К.00.08.02. //./2.»/

С диссертацией можно ознг библиотеке ИФЗ.

Автореферат разослан.

года.

Ученый секретарь Специализированного Совета

К.00.08.02.

В.А.Дубровский

д.ф.ы.н.

* 'ч I -5'

' : . к Актуальность проблемы. При исследовании механического поведения - -йородяого массива, разбитого трещинами на блоки, зпание только механических свойств порода является недостаточным - значительную роль играет геометрическая структура массива. Даже при изучении породного массива в масштабах, превышащих размер блока, для определения эффективных характеристик массива нужно уметь вычислять частоту, с которой встречается та или иная локальная структурная конфигурация. Локальные задачи такого тина ваяшы такжо в качестве первого шага и для изучения чисто геометрических свойств. Часть из этих задач возникает и представляет самостоятельный интерес в маркшейдерской практике (например, оценка выхода кондиционных блоков щ>и разработке месторождения облицовочного камня камнерезными машинами) .

Р.Гудманом и ¡Пи-Ген-Хуа был разработан метод определения опасных блоков, форма которых может^ршзрдить к выпаданию в выработку; кропление опасных блоков обеспечивает устойчивость. Следующим шагом является из^ешю-цтатиегшеи: опасных блоков. Возникающие здесь задачи являются чисто геометрическими по своей постановке, но в то же время они имеют непосредственное отношение к определению механической устойчивости массива с выработкой.

Помимо вопросов, относящихся к изучению геометрии блоков, па которые трещшш разбивают массив, важное значепио имеют задачи определения геометрии трещин но данным измерений, которые в основном относятся к следам трещин в некоторых сечениях или скважинах.

Основным подходом при рассмотрении этих вопросов является моделирование па ЭВМ всего массива, требушцее значительных машинных ресурсов и характеризуемое сравнительно невысокой точностью: число участков моделируемой области растет пропорционально кубу ео размера, так что моделировать удается сравнительно небольшой участок. Часто этого бывает недостаточно.

Поэтому актуальна разработка таких методов моделирования, которые позволили бы преодолеть указанную трудность. Это удается сделать, используя идеи и методы интегральной геометрии и теории геометрических вероятностей, что в ряде случаев позволяет избежать прямого моделирования. Многого удается добиться с помощью

соображений эргодичности. Проблеме разработка математических методов вероятностного моделирования и посвящена данная работа.

Цель работы состит в изучении поведения локального участка блочного массива, статистики локальных участков, в частности, отыскания закоца распределения блоков по формам и по объемам а также определения свойств трещиноватости по именцимся данный.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые разработав метод, позволяющий для широкого класса случаев (разбнеше плоскости пуассоновым полем прямых, мозаики Вороного и др.), сводить изучение плоских мозаик к изучению лилейных дифференциальных уравнений в частных производных (аналогу кинетических уравнений). В пуассоновом случае для распределения по периметрам эти уравнения с помощью 'преобразования Лапласа сводятся к уравнению Рикатти.

Изучена модель разбиения пространства N системами параллельных шюскостей, моделирующих трещины. Решена задача определения среднего объема блока. Для случая, когда плоскости каждой системы равпоотстоят, доказана теорема эргодичности. В случае четырех систем равноотстоящих шюскостей получено численное распределение блоков по объемам. Оно качественно сответствует экспериментальными данными. Решена задача отыскания выхода целых блоков при разработке месторождения облицовочного камня камнерезными машинами; дани рассчетпые алгоритмы, реализованные в программе для двух крайних моделей: когда расстояния медцу соседними трещинами жестко заданы и равны (равноотстоящая модель) и когда положения всех трещин независимы (пуассошвская). Сравнение результатов для этих случаев позволяет делать качественные выводы в общем случае. Для обеих моделей рассмотрены случаи двух технологических процессов: - когда все распилы равноотстоят и когда одну систему раСпилов можно регулировать для повышения выхода целых блоков.

Доказана теорема о не Солее чем 50% количество "опасных" блоков (т.е. таких, чья форма позволяет перемещаться в выработку) ж предложен способ нахождения относительного числа таких блоков с учетом сил трения.

Сведена к нахождению обратного преобразования Радона на сфере задача об определении совместного распределения дискообразных трещин по размерам и ориентациям по данным о следах трещин в сечениях.

Практическое значение работы состоит в разработке методов для решения вопросов устойчивости выработок, определения выхода кондиционных блоков при: разработке месторождения облицовочного камня а также для определения пространственной картины распределения трещин.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений и заключения. Работа содержит 150 страниц машинописного текста, 32 рисунка. Библиография включает 45 наименований.

Апробация работа. Основные результаты работы докладывались па 9 Всесоюзной конференции "Комплексные исследования физических свойств горных пород и процессов", Всесоюзной научной школе "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках", на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности МГУ под руководством проф. В.Д.Клювшихова, (1988), на математическом семинаре ИПМох, семинаре Р.В.Амбарцумяна в ИМ АН АрмССР, на семинаре отдела института прогноза Землетрясений.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ и одна принята к печати, их список приведен в конце.

Содержание работа.

Во введении обоснован выбор темы, сформулирована ' цель диссертационной работы и кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе приведен обзор современных представлений о блочных массивах, задач и математических моделей с ними связанных. Рассмотрены имеющиеся в литературе сведения о геомсхапических процессах в блочных массивах, о различных подходах к их описанию.

Во второй главе рассмотрены задачи, логически предшествующие задачам изучения геометрии блочного массива - задачи, относящиеся к геометрии самих трещин. Такое рассмотрение представляется необходимым для полноты картины.Исследуются задачи восстановления пространственной картины расположения трещин по их следам па поверхностях обнажений или по скважинам: геологические данные являются данными о следах трещин. Вначале (51, 52) рассмотрены служебные задачи отыскания распре делештя }!{п) трещин по направлпиям вектора нормали п. В первом параграфе решается задача отыскания Щп)

по числу трещин М(1), пересекающих скважину, заданную вектором I, Во втором - но распределению К(й,1) следов t fl в сечении, заданном вектором нормали й. Их математические постановки представляют собой кла-ссическиэ задачи томографии и сводятся к обращению преобразования Радона. В третьей параграфе рассмотрена задача отыскания совместного распределения S(n,r) дискообразных трещин по радиусам и ориентациям по функции распределения N(n.i) следов трещин в сечениях. Предположении о дискообразности вынужденное, поскольку уже для эллиптических трешш задача не решается: эллиптическая трещина задается пятью параметрами, в то время как сечение и след -четырьмя. Показано, как разделить задачи нахождения распределения трещип по радиусам и ориентадиям: следует рассмотреть трещины со следом, параллельным I, и найти их распределение по радиусам (с поправкой, связанной: с рассмотрением условных вероятностей) а затем решить задачу распределения по направлениям трещин данного радиуса. Используется методическая идея апроксимацни №*» системами параллельных трещин, что сокращает многие доказательства. Приведем некоторые связи между величинами и окончательные равенства:

N(i)H/2j | (Vri) |E(5)d2n,E(n)=~1/ic2*j'(-ln,?| -1')2ANC|)cl2i s2 s2

J K(n,"i) -¡c/^'JlUe), R(e) --1/к3 J(|fM[-l72j^ jK(n,I)dn

nil eil S2 L ikl

(I)

S(n,r) = 1/47C5 J (|й-е|-Г)2агё

к

* ft

'ill

йф

: ¡Pi I

2,

ф Г'созф)

1Р1

О -00

В работе дан вывод формул обращения и для ряда других случаев. Их использовние при отыскании распределения трещип по орнентациям из-за наличия сшгулярпых интегралов, подобно другим задачам томографии или численого дифференцирования предполагает необходимость сглаживания.

Третья глава является основной. Она посвящена изучению сред, разбитых трещинами на блоки, задачам отыскания среднего числа -блоков, обладающих данным свойством (например, блоков объема выше данного ). Задачи такого сорта возникают очень часто и результаты этой главы используются в последующи главах.

Полагается, если не оговорено противное, что трещшш моделируются неограниченными плоскостями и группируются в системы примерно параллолышх трепщп. Рассматриваются модель равностоящи трещин и пуассоповская модель, в которой.предполагается, что пересечения кавдой системы трещин с прямой Ь общего положения образуют пуассоновское множество точек. Для равностоящей модели доказана эргодическая теорема, связывающая средние по объему и по реализациям для чисел блоков, удовлетворяющим данному свойству. Разработана основанная па отой теореме программа рассчета на ЭВМ. "'агасс рассмотрены задачи определения среднего объема блока, распределения блоков по объемам и выхода так называемых тарифных (т.е. имеющих определенные размеры и форму) блоков при разработке месторождения облицовочного камня камнерезными машинами.

В первом параграфе предлагается способ вычисления среднего числа блоков даной формы для разбиения пространства N равноотстоящими системами плоскостей, основанный па соображениях эргодичности. Идея состоит в том, что слодует взять 3 системы, разбивающие пространство на парэллепшеды. Каждый такой параллепипед В, который мы будем называть блокол первого порядка, разбивается оставшимися Ш-ЗЬмя системами дальше. Пусть, к примеру, нам надо определить сроднее число блоков объема выше V. Разбиение В описывается (И-З)-мя параметрами характеризующих сдвиги

систем А^,... .Ад относительно В. Для каждого набора значений сдвигов, мы найдем число частей разбиения объема выше V, а требуемое среднее мы найдем путем усреднения этих чисел по сдвигам. В качестве

мы примем расстояние от фиксированной вершины В до подходящей плоскости системы А1; при этом СКГ^с^. (с^- ¡Засстояние между плоскостями в системе А.). Из равномерной распределенности дробных частей следует, что все равновероятны ^независимы, а именно, шест место следующая теорема эргодичности:

Теорема I. Относительное числа блоков первого порядка, таких.

XI

члю^СК!?« « равно ГЦ Л11/й1-

Из нее вытекает

Теорема 2.

Г... "п ^

1 ,2,3 4 "П 0 0

аналогично, для плоского случая а3 ^

1 3 11 о о Здесь й - среднее число блоков, имеющих объем больше V в одном блоке первого порядка. Относительное число блоков, объем которых превосходит V отличается от множителем Ы0> где К0 •■ среднее количество блоков в единице объема.

Аналогично находятся распределения блоков по числу граней, по формам и т.д. , что используется в дальнейшем, в частности, в пятой главе при определении среднего числа блоков, чья форма позволяет двигаться вглубь выработки. Результаты раотстраняются па п-мерный случай. На эмпирическом уровне данный подход применим и в случае, когда трещины одной системы не равноогстоят друг относительно друга и направления трещин в системе меняются, однако в масштабах порядка размера блока трещины можно предполагать плоскостями.

Второй параграф'посвящен численному нахождению распределения блоков по объемам для случая четырех систем плоскостей (первый нетривиальный случай). Для эффективного вычисления объемов частой разбиения пространства К системами параллельных плоскостей используются соображения включения - исключения. Многогранник М общего положения дополняется тетраэдрами до тетраэдров все грани которых лежат на продолжении граней М. Случай необщего положения получается предельным переходом. Для четырех систем задача своодится к вычислению объема пересечения куба с полосой, а стало быть, с полупространством Пй:а1'Х1а^ут^2 «а. Этот объем1 ?о1(й) выражается через Т(<1) ■ объем пересечения с положительным октантом. ?о!(х) равен Т{х) Кх-а.,) • 1(х-а2)-1(х а3) + Т(х- а.,-а2) + Т(х а2-а3) 4

Т(х-а2-а3) Т(х-а1-а2-а3).

В третьем параграфе обсувдаются результаты работы программы, основанной па результатах предыдущих параграфов. Гисторамма распределения блоков по объемам имеют две характерные особенности:

1. Ишс при V - О.

2. Максимум при относительно больших V и минимум при средних. Эти особенности наблюдались маркшейдерами.1Они качественно объясняются следующим образом:

Пусть (Г) - объем 1-й части разбиения В, задаваемым сдвигом системы А4. Ксли 1 изменится па йГ, то изменится па йУ^Ш

Но так как все сдвиги Г равновероятны, плотность вероятности того, что объём 1- й части равен V, пропорциональна йГ/«^ - Таким образом, плотность вероятности того, что часть

имеет объем "V тем больше, чем меньше меняется объем V в зависимости от Г. Когда Г мало, объем первой части, ближайшей'к углу,

пропорционален а его производная - X2. Таким образом, плотность

—?

вероятности Р(V) при V •«■ О имеет ассимитотику V т ^Этим объясняется поведение Р(7) при малых V.

Объяснение'второго макимума следующее: Будем двигать полосу вдоль'В, т.о. будем рассматривать норосечение В с полосой

а« А.,-X» А^У ) А3<г<даа, изменяя параметр а. Вначале объем пересечения растет, затем падает, а когда становится максимальным, то меняется мало. Отсюда - второй максимум. Тот :;со эффект обнаруживается методом фотосъешшв распределения расстояний между сосодпими точками пересечения трещин со скваииной. Вероятно, описанный выше механизм появления вторых максимумов работает и в ряде других ситуаций.

В четвертом параграфе рассмотрена задача определения сродного

объема блока для модели, в которой трещины являются неограниченными

плоскостями, а также плоская задача для модели, в которой каждая

трещнпа растот до пересечения с соседней. Если искать только средний

объем блока ?ср ( или обратную величину я равную среднему

ср

'Никитин В.В. Разработка горпо-гоомстрического метода прогнозирования выхода блоков для отработки месторождений облицовочного кошм. Дксс.па соиск.к.т.п. Москва, МГИ, 1987.

числу блоков, приходящихся на единицу' объема), то предположение о распределении расстояний между трещинами в системах не требуется. Важно лиць, чтобы для каждой системы существовало бы среднее расстояние й^между соседними трещинами и для отыскания % достаточно знать только эти величины.

Идея заключается в следулцем: возьмем произвольные три системы плоскостей. Они разобьют пространство на блоки первого порядка -параллепипеды. Подсчитаем число таких параллепипедов в единице объема для всех троек систем и сложим. Получится среднее число всех блоков. В случае общего положения каждому монолитному (не разбитому трещинами) блоку соответствует верхний угол, а следовательно, и блок первого порядка с тем же верхним углом, причем соответствие взаимно однозначно. Рассуждение переносится и на К-мерный случай а также на случай непрерывно распределенных направлений, с использованием соображений апроксимации.

В модели, когда каждая трещина растет только до слияния с соседней, в предположении общего положения, удается решить только плоскую задачу. Справедлива следующая

Теорема 3. Произведение среднего числа трещин на единицу площди на среднюю гиошрдь Sep области равно единице, если никакие три трещит не илект общей точки.

Теорема позволяет также, зная среднее число трещин на единице площади находить среднюю площадь монолитного участка поверхности образца после того, как трещины разовьются .

В пятом параграфе рассмотрены задачи о числе прямоугольных монолитных блоков, которые можно "вырезать" из массива. Рассмотрены четыре постановки задачи, отвечаюцие двум разным технологическим процессам и двум предположениям относительно распределения трещин в системах. При разработке месторождения стенового или облицовочного камня камнерезными машинами из массива выпиливаются блоки, имевдие форму прямоугольного параллелепипеда xD2xZ>3. Те выпиливаемые блоки, которые пересечены трещинами, бракуются.

Разработка месторождения цроизводится по горизонтам. Каждый такой горизонт можно считать частью пространства, заключенного между двумя горизонтальными плоскостями, находящимися на расстоянии Ъу Для каждого горизонта выемка производится вдоль направления фронта

горных работ (ФГР), затем сам ФГР передвигается вглубь горизонта на расстояние Г>4. Расстояния между горизонтальными распилами равны 2>3; между вертикальными распилами, параллельными ФГР, равны 2),. Распилы этих систем проводятся строго па равном расстоянии друг относительно друга и моделируются двумя перпендикулярными системами плоскостей с равными расстояниями между соседними плоскостями в каждой системе.

Когда выпиливается блок, проводятся еще два вертикальных распила, перпендикулярных ФГР, расстояние между которыми равно Т)^. Однако в самой процедуре проведения этих распилов возможны варианты.

Для первого технологического процесса (применяемого при разработке месторождения стенового камня) распилы каждой системы проводятся на равных расстояниях, так что все три системы распилов моделируются тремя перпендикулярными равноотстоящими системами плоскостей, с расстояниями между соседними плоскостями в системах равными Р1, ¡?2, Т)у

В этом случае задача сводится к задаче отыскания относительного числа монолитных блоков первого порядка. Для ее реиения достаточно применить теорему I из первого параграфа: вероятность блоку остаться целым равна' произведению вероятностей Рытого, что его но пересекут трещины 1-й системы, а последние зависят только от соотношения проекции Г^ выпиливаемого блока на нормаль и межтрещишшх расстояний а^. В равноотстоящем случае Р^-СГ^с^)1/^ а в пуассоновском Р^ ехрН^/с^Ь

Для второго процесса две системы распилов, параллельные ФГР проводятся точно также и разбивают пространство на равные бруски, а распилы третьей системы, перпендикулярные ФГР, доразбиванвдие каждый такой брусок В, всякий раз регулируются. Задача сводится к следующей:

На прямой даны п систем отрезков <1^. Среднее расстояние между соседними отрезхаш 1-й системы равно Закон распределения расстояний мехду соседними отрезками, из си известен. Найти X -среднюю сумму Их) по свободным интервалам в пересчете на единицу длили.

В работе дается явное решение этой задачи для равноотстоящей и пуассоповой моделей, которые представляют крайние случаи распределения расстояний между трещтаами. Для общего случая делается

оценка, основанная на сравнении результатов этих двух моделей. Выход блоков для пуассоновом случае больше, что согласуется с качественными соображениями.

Была разработана программа, вычисляющая для каждого направления ФГР с шагом в I градус выхода для всех четырех ситуаций (оба процесса и обе модели) а также оптимальные направления ФГР. При этом для первого процесса выход получается меньше, чем для второго меньше он и для равноотстоящей модели. Эти соображения служили одним из тостов для проверки алгоритмов. Программа дала удовлетворительные результаты при подсчете выхода блоков для Уфалейского месторождения: розница с данными мэриейдеров составила 20%.

В четвертой глава содержатся основные математические результаты данной работы. Она~!1освящона методу движущейся прямой, предложенному автором. Этот мотод позволяет в плоском случзе дать выражение ряда функций распределения величин, связанных со случайным разбиением, через уравнение в частных производных, которое для функции распределения периметров при разбиении плоскости пуассоновским полем прямых можно свести к уравнению Рикатти, используя преобразование Лапласа.

Случайное разбиение плоскости рассматривается здесь как нроцосс на движущейся прямой. Выигрыш при таком подходе заключается в том, что сечением многоугольника является отрезок и для дальнейшей его "эволюции" важны только его длина и скорости "левого" и "правого" концов. (При изучении закона распределения систем, площадей или периметров, мы долкны "помнить" еще пройденную площадь (периметр) -"накопленный параметр".) Метод работает при вычислении совместных распределений в весьма общей ситуации и обобщается для широкого класса мозаик а также для сферы и плоскости Лобачевского. Для пространства идея движущейся секущей недостаточна: сечение многогранника может быть многоугольником с произвольным числом сторон, описываемым соответствующим числом параметров. Обоснование результатов этой главы строится с помощью аппроксимации N системами равноотстоящих плоскостей и применением теоремы I из третьей главы.

В работе подробно рассмотрена следующая задачэ:

На плоскости задано случайное тожество пряхах, все ш сдвиги равновероятны, а закон, распределения по паправленшм. гиюет вид 14<р).

Кшсово распределение частой разбиения по плаирдял?

■ Рассмотрим вначале случай пуасововского множества прямых, т.е. когда но только сдвиги, но и все углы наклона прямых равновероятны. Пусть I - секущая прямая, движущаяся с единичной скоростью по плокости и при этом ш меняицаяя своего направления. Рассмотрим многоугольники разбиения, которые Ъ пересекает, и прежде всего их части, лежащие "под" прямой Ь. Отметим, что закон распределения для таких частей отличается от натурального (по отпошепию к единице площади), и переход к натуральному ззкопу требует особого рассмотрения. Для многоугольника разбиения М. обозначим через Э пройденную площадь, 1 - длину сечешя многоугольника М, сци смуглы, образованно прямой Ъ со сторонами М При сдвиге прямой Ь на расстояние возможны следующие события:

1. Сдвинутая пряхая Ь' не пересечет другую сторону П.

Тогда Б' = Б + 1«; 1'= 1 + сЩсг^.,* сХ^р^), сЦ = а1, о^.

2. Прялая V пересечет одну новую сторону Ы.

В силу симметрии достаточно рассмотреть "левый" случай -тогда заменится на сЦ >а1 и плотность вероятности <2° последнего перехода равна -а)/з!па + 0(сН2).

3. Прялая X пересечет две новые стороны М.

Вероятностью этого события можно пренебречь.

Через N(3,1,а, ,а2,1;) мы обозначим плотность числа пройденных частей, примыкающих к I с пройденной площадью Б, длипой следа 1, углами а, .¡х, на концах следа и самая нижняя вершина которых находится на расстоянии X от Ь . При движении секущей прямой Ь многоугольник М будет учтен с кратностью, пропорциональной проекции М па нормаль к Ь и для перехода к натуральному закону введен параметр "Ь: распределение N(3) получается усреднением ЖБ.О.с^ .а^Л) по а^.о^д с весом, пропорциональным 1/1.

Запишем соотношение баланса:

" х %

а, .с^.^А-сМ ^ сХпСср-^ )/з!па1<1<р / з1п(ф <хс)/з1па2бф

Г «

! f з!п(фа^/е¿по^йф

«г

I

* ЛсШ J ЩБД.ср.а^.-изЗлСа.,-ф)/зШф <1<р ^ О

Ч / N(3,1,0^ ,фД)з1П(02 ф)/31Пф(1<р о

(3)

Первый член правой части соответствует отсутствию новых пересечений за с!1;, второй член - уходу из состояния (БД.а, ,сс,,г) а третий - приходу в это состояние.

Перепишем соотношение (3) в виде кинетического уравнения:

+ (с^есц-к^ех,)^ + ^ + ШЦдх^Л&^/г) -

а1

Я-)- И(5.1,ф,аг,г)з1п(а1- (р)/е1п.срс1ф -о

а,

N(3,1,^ ,срЛ)з1п(а2-ф)/Б1пср(1ф - О. (4)

О

Аналогично можно выписать кинетическое уравнение периметров для произвольного закона распределения прямых по направлениям Р(ср). Пусть р - пройденный периметр. Тогда:

(1/а1па1 ) изШа,)^ ' + 31 Сс^ + сг©^)

а1

' ЖСЛа.,) I 02(02)) - 14а., ) •/1М(Р.1,ф,оц,,г)о1п(а1 ф)/з!пф скр -

«2 ° ^(о^)-/^(РЛ,^ ,ср,г)з1п(а2-ф)/з1п<(л1ф = О.

где 0

%, %

й, (а)=- $ У(ф)з1л(ф а)/з1па а<р; С2(а)= / ф)з!п(ф- а)/в1ла йф. а а

Локальная независимость движения концов позволяет свести задачу к изучении движения только одного конца и исключить из кинетических

уравнений всо, что относится к одному из углов например, о,. Рассмотрим "левый" конец сечения. Его "состояние" характеризуется углом СЦ, О < a.j < х. Через промежуток времени t новое состояние характеризуется углом а' . При переходе в новое состояние конец отрезка может пройти путь Д1 и "вызвать" приращение периметра Др. Через мы будем обозначать соответствующую плотность

вероятности перехода. Аналогично определяются величины для площадей и т.д. Величина N получается интегрированием величины а? %■ >а, -aS >сц по способам составления нижней части

многоугольника с данным следом и периметром, т.е. по множеству ю :1,-а2=1, р1Ф2=р, .а^а,.

Пятая глава посвящена вопросам обеспечения устойчивости выработки в часто встречающейся ситуации, когда прочность породы и горное давление таковы, что разрушение происходит только за счет движения цельных блоков, а по за счет их разрушения. Прежде всего возникает вопрос о том, позволяет ли форма данного блока ( и прилегающего к нему выработанного пространства) двигаться под действием силы тяжести или горного давления вглубь выработки. Важно уметь учитывать также роль сил трения. Задачи, связанные с кинематикой одного блока при учете описанных выше сил, решены в работах Гудмана и Ши-Ген-Хуа. В данной работе рассмотрен следующий за этим вопрос - вопрос о статистике подвижных блоков, возникающий также и при изучении разломов: выдвинувшиеся блоки способны препятствовать движению вдоль разлома. Трещины мы будем моделировать плоскостями. Всюду в данной главо предполагается, что трещины группируются в конечное число систем взаимнопараллельных трещин. Рассматриваются две модели: пуассоновская и равноотстоящая.

В первом параграфе приводятся основные положения метода Гудмана. Основная идея работ Гудмана и Ши-Геп- Хуа заключается в рассмотрении множества векторов возможного перемещения. Каждая грань разрешает движение только в полупространстве направлений, ведущих от породного массива в сторону блока. Направление смещения лежит на пересечении всех таких полупространств. Каждое полупространство описывется лилейным неравенством, а конус векторов возможного перемещения -- их системой. Аналогично, в случае учета сил трепия

рассматриваются углы между результирующей силой Й и гранями блока В - все соответствующие углы длолкны быть меньше Фтр. Гудманом показано, что на подвижность блока В в любом случае оказывает влияние только его тип, т.е. набор систем трещин, образующих его боковые грани, который определяется следом В на поверхности выработки. Поскольку типов ограниченное число, то можно составить каталог, с помощью которого по следу блока легко определять, опасен он или нет. В зависимости от направления выработки и коэффициентов трения разные типы блоков могут быть опасными. Таким образом, для нахождения статистики опасных блоков достаточно найти распределение блоков по типам. Важна также задача отыскания совместного распределения по типам и площадям основания. Этому посвящен третий параграф. В нем приведены алгоритмы нахождения совместного распределения блоков по типам и по площадям следов, основанные на результатах третьей и четвертой главы. Для каждого конкретного типа они позволяют получить явную формулу. Это важно, поскольку почти все следы являются трох, четырех, реже пяти угольникаи и частых типов не много. Во втором параграфе доказана

Теорема. В случае, 1сагда выработка ость полупространство, относительное число подвижных блоков не больше 50%. относительная площадь их оснований также не больше 50%. ( Если след блока имеет параллельные стороны, то определяется вероятность выпадания)

Приведены более точные результаты для блоков со следом разной формы. Например, для блоков с треугольным следом оценка из теоремы I является точной.

В четвертой параграфе явно решены задачи для плоского случая метода Гудманэ (след - прямая). Оли сводятся к следующей: На прямой задано N шетел почек (равноотстоящих, пуассоновских) найти среднее число отрезков с ловил концол на одной систеле и с провыл - на другой. Эти задачи важны при рассмотрении ребер камер а - также следов трещин.

В приложении I 2дано элементарное решение одной задачи

2 А.Я.Белов. Об одной задаче комбинаторной геометрии. Принята к печ. в УМН 1991г.

комбинаторной геометрии, постзвлеоной еще в прошлом веке и решенной Гршбзумом и Шеппардом в 1979 г. :

Теорема. Пространство к5' (К>1) разбито N гиперплоскостями, любые К норхалей к которых линейно независим и нет точки, общей для всех. Тогда среди лсяюлшзсьа частей разбиения встретится N-K симплексов.

В приложении 2 приводится текст программ.

В заключения изложены основные результаты работы, которые состоят в слсдупцем:

1. Впервые предложен метод, получения дифференциальных уравнений в частных производных для распределения по периметрам или площадям плоской случайной мозаики. Показано, что в случае распределения по периметрам для частей разбиения плоскости пуассоновским полем пршшх (а также в случае, когда поле прямше есть пуассоновский процесс для произвольной сдвигово инвариантной непрерывной мори )получешгое уравпешге мокло форлалыю свести к уравнении Рикатти. Метод основан па интерпретации случайной мозаики как процесса отрезков па движущейся секущей прямой. Оп позволяет сводить широкий класс задач статистической геометрии к изучению кинетических уравнений. (В частности, это задачи о мозаиках Вороного.)

2. Изучено разбиение пространства N системами равноотстоящих плоскостей. Доказана теорема эргодичности. На ее оспово предложен способ отыскания относительного количества блоков заданной формы. Для случая четырех систем получены численные результаты. Обнаружено наличие второго максимума в гистограмме распределения блоков по объемам, что независимо подтверждается данными маркшейдерских наблюдений.

3. Решена задача определения выхода целых блоков при разработке месторождения облицовочного камня камнерезными машинами и разработано необходимое програмное обеспечение для ЭВМ.

4. Предложен метод нахождения статистики опасных блоков с учетом сил трения. Доказано, что для выработок больших по сравнению с размером блока, относительное число опасных блоков не превосходит 50%.

5. Предложен метод нахождения распределения дискообразных

трещин по размерам и ориентациям по данным о следах трещин. Приведены формулы также для нахождения распределения трещин только по ориентациям.

Список работ по тепе диссертации:

I. Белов А.Я. Определение выхода тарифных блоков при разработке месторождения облицовочного камня камнерезными машинами. В кн.: Физические процессы горного производства, с.21-24. М.:МГИ 1987.

2.. Белов А.Я. О задачах определения среднего объема блока и их количества. В кн.: Проблемы физических процессов в горном деле. С.35-36. М:МГМ 1988.

3. Белов А.Я.Прогнозирование количества опасных блоков в блочном массиве с выработкой. 9 Всесоюзная конференция "Комплексные исследования физических свойств горных пород и процессов" В тез. докл.С.29. М:МГИ,1987.

4. Белов А.Я. Оценка ■ устойчивости трещиноватого породного массива мотодом Гудмана. Симферополь, 1987. Дотелад на Всесоюзной Школе "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках", с.26. М:МГИ,1987.

5. Белов А.Я. Оценка распределения трещин по размерам и ориентациям по данным о следах трещин. Дел.в ВИНИТИ. №27Ь В91.

6. Белов А.Я. Геометрические свойства блочных сред. Деп.в ВИНИТИ. №72 В91.

7. Белов А.Я. О случайных разбиениях. Деп.в ВИНИТИ. «273-В91.

8. Болов А.Я. Оценка относительного числа опаспых блоков. Деп.в ВИНИТИ. ЛЙ74~В91.

Зак.766

Тир, 100

23.04.91г

л.

Типография ЭП 1ДНИТИ