Статистические свойства квантового ротатора и связанных с ним систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

| 3 12 ЗХ ^

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи КОШОВЕЦ Игорь Алексеевич

УДК 519.219

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

КВАНТОВОГО РОТАТОРА И СВЯЗАННЫХ С НИМ СИСТЕМ

(01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1991

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М/В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математический наук,

профессор Я,Г.СИНАИ. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.Л.Гирко; доктор физико-математических наук, вед.н.с. В.Б.Привзжев.

Ведущая организация - Харьковский физико-технический

институт низких температур АН СССР.

Защита диссертации состоится 1991г.

в 16 часов на заседании специализированного совета по математике Д.053.05.04 при МГУ по адресу:

119899, Москва, В-234, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ /14 этаж/.

Автореферат разослан 1991г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ.

доцент л г Т.П.Лукашенко.

V Г : 1

\ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

, *

Актуальность теиа. Поискам хаоса в квантовых системах уделяется в последнее время большое внимание. Рассмотрим модель квантового ротатора, находящегося под воздействием периодических ударов (['м2]). Это одномерная квантовая система на окружности единичной длины Б1, поведение которой может быть описано с помощью оператора эволюции Чч ,• который задает изменение волновой функции ротатора за период времени, равный промежутку между двумя последовательными ударами. Он имеет следующий вид:

Оч>р>=в*р((20)вгр((*Л0), .

где х- вещественный параметр, 40 и 20 - ограниченные самосопряженные операторы в 1г(г): А0 - одномерный разностный лапласиан, 30 - диагональный оператор. Действительные числа

стоящие на главной диагонали.оператора 30, задаются следующим образом

'Е£'р,=21с|акг + рк| ,

где а,рек (через | } обозначается дробная часть числа.) Отметим, что числа £кч'р' образуют стационарную эргодическую последовательность. Большой интерес вызывает задача

[1] Casati 0.. Chlrikov B.V., Ford J., Izraelev P.M. Stochastic behavior of a quantum pendulum under a periodic perturbation.| Lecture Botes in Physios. 197T. V.92. P.334-353.

(2) Sinai Ya.G.| Physioa A. 1990. V.163. Jfl . P.197-20*.

исследования спектральных характеристик оператора и^ так как эти характеристики существенным образом определяют асимптотическое поведение ротатора.

Расширим постановку задачи и рассмотрим оператор вида и=в1р({3)в1р((эеД),

где зе- вещественный параметр, А и 3 - ограниченные самосопряженные операторы в 1г(.г); оператор А задается теплицевой матрицей, элементы которой убывают с квадратичной скоростью с увеличением расстояния до главной диагонали, 3 -диагональный оператор с матрицей (Ек8кт), Потребуем, чтобы действительные числе £к, стоящие на главной диагонали оператора 3, образовывали стационарную зргодическую последовательность. Задаче исследования спектра.оператора и и посвящена данная работа.

Отметим, что оператор и относится к классу метрически транзитивных унитарных операторов. Спектральная теория метрически транзитивных операторов получилв в последнее время широкое развитие (см., например, обзоры С3],[4]), главным образом, за счет интенсивного изучения (начало которому было положено в работе [5П оператора Шредингерэ с эргодическим стационарным потенциалом. В частности, чистая точечность

[3] Пастур Л.А. Спектры случайных самосопряженных операторов | Успехи математических неук. 1973. Т.28. Вып.1. С.3-64.

(4) Simon В. Almost periodic Schrodinger operators. A review. { Adv.Appl. Math.. 1982, V.3, #3, P.¿69-490.

[5, Anderson P. Absence of diffusion in certain random lattices. | Physical Review. 1958. V.109 P.1492.

спектра оператора Шредингера установлена для достаточно широкого класса потенциалов. Оператор и, по своей форме, является унитарным аналогом одномерного оператора Шредингера с эргодическим стационарным потенциалом.

Цель работы - исследование спектральных свойств оператора и.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты

I . Введено понятие предельного распределения состояний оператора и. Установлены важные спектральные свойства предельного распределения состояний. Вычислен спектр оператора эволюции квантового ротатора и^ р в типичном случае.

2. В случае, когда числа £к образуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с • плотностью, найдены условия на их распределение, гарантирующие гладкость и аналитичность предельного распределения состояний оператора 0.

3. В условиях п.2 и при сверхэкспоненциально быстром убывании элементов матрицы оператора и доказано наличие у этого оператора чисто точечного спектра и быстро убывающих собственных функций с вероятностью 1.

Методы исследования. В работе используются методы эргодической теории и теории вероятностей, техника спектральной теории метрически транзитивны: операторов.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Ее

результаты и методы могут быть использованы в спектральной теории метрически транзитивных операторов, а также найти применение в математической и статистической физике.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приведен в ко.'це автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых в совокупности на 4 параграфа, а также приложения. Список литературы включает 49 наименований. Общий объем работы составляет 108 стр. машинописного текста.

СОДЕРКАНИЕ ДИССЕРТАЦИЯ.

Во введении приводится обзор результатов, связанных с темой диссертации и краткое содержание работы. Первая глава посвящена предельному распределению состояний оператора U. При определении предельного распределния состояний (в дальнейшем ПРС) мы придерживаемся общепринятого подхода (см..например, I6)

[6 J Figotin А.L. distribution oí

, Pastur L.A. Ergodio properties 0/ th® the eigenvalues of oertain classes of random

1Т]), определяя ПРО как слабый предел точечных мер, сосредоточенных на спектрах естественных конечномерных приближений ин оператора 0. Вследствие эргодической теоремы, ПРС (л оператора и существует для почти всех и и не зависит от ш, причем

(0.3) ц«1Х) = <(К(1Х)00>.

где И, есть семейство спектральных проекторов, отвечающее

оператору и, через о обозначена операция усреднения по

пространству 0. Следствием формулы (0.3) является возможность

выражения ПРС через усредненное значение функции Грина. Такое

/

выражение оказывается очень полезным при исследовании свойств аналитичности ПРС. -Оно имеет следующий вид. Если существует равномерный на окружности ={Е: |Е|=1) предел 1

Ив -йе

е->-о 21С

-<G . (0,0)> =р(Е),

Е(1 +8) Е (1 +6 )

то ц есть абсолютно непрерывная мера на с плотностью р(Е) Далее, оператор и относится к классу метрически

о

транзитивных операторов ([ )). Поэтому еще одним следствием формулы (0.3) является следующая теорема (теорема 1.2'). Пусть

self-adjoint operators.| Seleota Hathematica Sovetioa 1983/84. V.3. J61 . P.69-86.

[7] Avron I., Simon B. Almost periodic Schrodinger operators, II. The intergrated density of states.| Duke Mathematical Journal. 1983. 7.50. P.369-391.

18J Pastur L.A. Spectral properties of disordered syst'ems in the one-body approximation.| Communications In Mathematical Physics. 1980. V.75. P.179-196.

б

где ? - зргодическк! автсиор'жзи на в^роятностЕои пространстве О. сохранявщвВ Беровтвсстн;в меру Р. в - кзиарвиая относительно о-алгебрн ограначеннная деШстБитедьнозначная функцяя на О.

Теорема 1.2'. Пусть Т -строго зргсдгческЕЗ ИЕКвиальнпа автоморфвзм, ехр(1в(и))~ непрзрввнаг функция гргукгнта а. Тогда для всех и спектр оператора С совпадает с носшгелен керн р.

Используя теорему 1.2', кохно внтаслгть спектр оператора эволвцмн квантового ротатора С^ р .

Теорема 1.3 Если (а,р)^са>, то спектр оператора р совпадает с

ДальнеЖлее шзучевке спектра оператора О связано с изучением спектра его конечвохерзях приближений 0И, где "«г^м^к^ксг-в и)} " 1вятаРтЛ оператор в пространстве 12([-11,В]). Спектр оператора 0Е состоят из чисел ех?(1Ек), Еь€к. Ье1-И.Н1. Установлена следуьцая зависимость спектра оператора Пи от значений £и

а 2 (1.14) -Вк=1«Мп)I .

где ф - собствешша вектор оператора НЕ, отвечасзща собственному значение оператора Ек- Сзрхуда (1.14) показывает, что если точка Ск=«р(1{к) совершает пояивВ оборот по двигаясь со скоростью 1, то точке спектра оператора О сдвигаются на Б1 по циклу. в суммарная скорость их движения при этом равна 1. "Гак как в случае, когда все £к, ксl-ii.lt 1. равны фиксированному (к одному в тому же для всех £к) числу, спектр оператора Ви ввчвсляется явно, описанное ваше поведение спектра при движении точек 1к дает возможность получать

информация о спектра оператора при произвольных значениях величия Далее, используя слабув сходность —»0 при Я-—»«, получаем следусдяй результат о спектре оператора и. Пусть

Pt=g(P). A=mtn *(«). В=жа* fe(z). 5 ziS, z€Sf

Теорема 1.4. Для почта всех u«Q

(1 .18) spDc«xp( ( (auppPj+JtlA.B J ) ).

Если f - минимальный автоморфизм, ж g(u) - непрерывная функция и. тогда (1.18) выполнено для всех ыеО.

Отметим, что правая часть соотновения (1.18) является числовым произведением спектров операторов «>р((3) и вхр(СА) для почти

всех ы.

Параграф 2 первой глава целиком посвкцеп свойствам регулярности ПРС ц оператора П в случав, когда числа ik образует последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин. Исследование свойств регулярности мера \i в этом случае, по сути моя но свести, к анализу соотноаения

• слабо

(1.42) <о">-.р,.

н—»»

где Од есть спектральная мера- вектора 0Q. отвечавшая оператору üH (через {ök'k[.H дj обозначается стандартный базис пространства I ([-И,Н])).

Теорема 1.5. Пусть случаЯнне величина (к имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностьв p(z), ziS(. Тогдэ ПРС ц оператора Ü есть абсолютно непрерывная мера с плотностью р(г).

2сБ 1.. Если а<р(а)<Ь для всех геЭ,, то а<рЫ<Ь для всех геЭ,.

Теорема 1.5 является аналогом результата Вегнера для

модели Андерсона (181). Ее доказательство основано на прямом г%

вычислении меры | о,0сЦ0 (лемма 1.2). Оказывается, что при люоых о

значениях величин ?к, где к*0, г%

(0.4) - о d{ =«ев,

2и J О

где mee обозначает нормированную меру Лебега на Sj. h? формулы (0.4) несложно получить утверждение теоремы 1.5.

Перейдем теперь к случаю, когда распределение величин Ск обладает плотностью p(z), аналитической в некотором кольце вокруг S,: l/R0<|z|<R0, где RQ>1. Используя идеи работы [9], можно показать, что меры, стоящие в левой части формулы (1.42) обладают плотностями, аналитическими в кольце 1/R0<|z|<R0> Анализ сходимости этих плотностей содержит некоторые сложности, для преодоления которых приходится вводить дополнительные требования на p(z), а также функцию k(z), где .

i _ 1 акт"7¥Г

s.

Теорема 1.6. Пусть распределение случайных величин Ск обладает плотностью p(z), причем р(в) аналитична в некоторой окрестности

[9] Edwards J.T., Thouless D.J. Regularity of the density of states In Anderson's looallzed electron model,| Journal of Physios.C. 1971. V.4. P.453.

окружности Б1 и не обращается в 0 на Б . Пусть, далее, функция ¡г(г) также аналитична в некоторой окрестности Б . Тогда ПРС ^ оператора и имевт плотность, аналитичную в некоторой окрестности .

При малых значениях параметра эе о плотности р(г)=р(а,ае) меры ц может быть получена более точная информация. Очевидно, что р(г,0)=р(г). Следующая теорема показывает,■что плотность р(г) является (аналитическим по эе) возмущением плотности р(г) при малых ге.

Теорема 1.7 Пусть распределение случайных величин Ск обладает плотностью р(а), аналитической в кольце 1 /Н0<| г) =€К0. где й0>1. Тогда существует зео>0, такое, что для всех значений ж из интервала (—ае0, эе0) ПРС оператора и задается плотностью рЫ=р(г,ге). Для любого ге(0,ае0) функция р(г,зе) является аналитической по переменным ъ и х в области: |зе|<г, 1/И(г)<(г|<Н{г). Величина И(г) есть убывающая непрерывная функция переменной г, такая, что й(0)=11о, И<зе0)=1.

Вторая глава посвящена исследованию спектрального типа оператора 0. На самом де-ле, более удобным для исследования является самосопряженный оператор 0+0* .

Н=

2

о котором, фактически, и идет речь в главе 2. Доказано, что в случае, когда числа £к образуют последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с плотностью, при достаточно мэлых ж.оператор Н с вероятностью 1 имеет чисто точечный спектр и собственные функции, убывающие со

сверхстепенной скоростью. Рассуждения основывается на идеях

работы 1|01, где изучался спектр одномерного оператора

Нредингера на полуоси, при атом используется разработанная

техника спектральной теории самосопряженных операторов.

Первый оаг доказательства - исследование функции Грана

оператора Н. При ато существенным образом используются

следующие свойства оператора Н:

bkk=eoatk*oU) (0.10) ;

где е=е(ж)—-» 0 при х—0. (Через (hkQ) обозначается матрица оператора В.) Теорема 2.2 содержит достаточные условия для существование фуиюти Грина оператора П. Эти условия формулируются в терминах специальной структуры на z , которая будет описана ниже. Пусть ва решетке z выделена следующая система отрезков (блоков):

рис. 1.

(101 Кира В. Молчанов С.А. Пастур Л.А. Одномерный оператор Оредивгера с неограниченный потенциалом: чисто точечный спектр | Функциональный анализ к его приложения. 1990. Т.24. вип.З. С. 14-25.

КэидыЯ блок Ь. состоит из четного числа точек и делится пополам

ж

дхвкят ак{ и аь, кроме того, если 1€Ьк, то |Ь11-А.[>6, где \ и

бе(0,1) - некоторые действительные числа. Расстояние между

бхок&ш а и а , где вводится по формуле я п а

р(аю,аи[)-р(ап.др|} = ^ |Ь^{. (через |Ь| обозначено количество 1с-а* 1

тачек, из катарах состоит блок Ь). Для произвольного блока а

будем обозначать через На ограничение оператора й на

пространство 12(а) с нулевым 'граничным условием вне а, через Са

- функции Грана оператора На.

5е 1 о -1,

Тесреиа 2.2 Вусть —— я вели,ины

<3д(ак) тагога, что

1) <1л(ак)>! для всех к,

2) и* <1^(ак) = +и,

к—|

3) для некоторых чисел е >е и р< —

1/2 1/2 5Е ^к'^

КЧ-1») К(ак>) ("тЧ < рдля всех к.

О

г

Ик11!'[(1А.(а1с)]1/г(5?)1к1< » при 1=-Г,0.1

Тогда существует функция Грина При атом, если х(ав,

|П-1 5е р(Г(к),Г(кН)/2

И'ПСШ1

а : уса Г:а —а

п а т п

кг I

где зэзшсь Г:а —«а означает, что суммирование проводи?»» по

И 1А

всем блочным траекториям, ведущим из ащ в ап, т.е. последовательностям блоков 1Г(1);Г(2);...;Г(|Г|)1, таким, что Г(1)=ав. Г(|Г|)=ап.

Доказательство теоремы основано на анализе формулы

(2.4) Саи,у)=-2

11 -

где запись 7:х—* у означает, что суммирование;проводится по всем

I

траекториям, ведущим из х в у, т.е. последовательностям целых чисел 17(1);т(2);...;т(|т|)), таким, что 7(1)=х, т<IТI>=У-Покажем, какую информацию можно извлечь из быстрого убывания функции Грина. Наш подход к этому вопросу весьма близок к предложенному в работе ["]. Обозначим Н0=Н|^ _0. Далее, положим

по определению

С^(у)=^в1]С||о)1(хкУ) . х

Следующая лемма показывает, что функция С^, отвечающая оператору Н0, определяет скорость убывания собственной функции оператора Н.

Лейка 2.4. Предположим, что существует функция Грина оператора н0, такая, что|с^(у) | <С, • |у| 1+г. г>0. Тогда, если есть обобщенный собственный вектор оператора н, (н-х)<|>^=0, то К является собственным значением оператора н кратности не

Bh7(1с+1 )7(к >

к=

2ЧТ

кк

[11) De'lyon ?., Levy Y. , Soulllard B. Anderson localization for one- and quasl-one-dlmenalonal systems.| Journal oi Statistical Physios. 1985. V.41. P.375-388'.

лее 2, и

Фх(у)

для некоторого С.

Параграф 2 второй главы целиком посвящен случаю, когда ела Ек образуют последовательность независимых, одинаково определенных случайных величин с плотностью. В этом случае едствием теоремы 2.2 является существование быстро убывающей нкции Грипа оператора Н0 для почти всех по мере Лебега ачений спектрального параметра ( теорема 2.3). Через ?' означим проекцию вероятностной меры р с пространства следовательностей и=£0,{ ....) на пространство • следовательностей и' = (..'., { , ).

ореиа 2.3. Пусть р|йоо^[(11-б,(1г+б]|=р>0, -^-<т<п(рг.

гда существует множество ¿43' полной ?' вероятности, такое, о для любого и'€а' существует борелевское множество 1=Г(и')ск левой меры Лебега, обладающее следующим свойством: для любого [<11,3\I существует функция Грина С^ оператора Н0, такая, о

1ш С^(у) ■вхр[игпг|у|]=0, I У 1 —»«>

е ш - некоторая (неслучайная) положительная константа.

Заключительный шаг доказательства точечности спектра стоит в использовании формулы (0.4), из которой следует, что вктрэльная мера вектора 80, отвечающая оператору Н, средоточена вне множества I из теоремы 2.3 для и'(А' й почти эх значений то есть с вероятностью 1. Далее использование чмы 2.4 и применение теоремы 2.3 к различным частям отрезка 1,11 приводит к доказательству точечности меры с

вероятностью 1. Из метрической транзитивности оператора Н следует чистая точечность спектра оператора Н, а следовательно, и оператора и. В следующей теореме сформулирован основной результат второй главы.

Теорема 2.4'. Существует яо>0, такое, что при |ае|<ае0 оператор и с вероятностью 1 имеет чисто точечный спектр кратности не более 2. Существует (неслучайная) полокительная константа и, такая, что для любого собственного вектора ф^ оператора и

Ив <|>, (у)ехр(т1пг|у| )=0. I

| у | —»« л

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Якову Григорьевичу Синаю за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации.

1. Кошовец И.А. Предельное распределение состояний для модели квантового ротатора // Теор. и мат. физика, 1990, Т.85,'И2, С.133-204.

2. Кошовец И.А. Свойства предельного распределения состояний для семейства унитарных операторов, связанного с квантовым ротатором // Успехи мат. наук, 1991, Т.46, Вып.6, С.214-215.

3. Кошовец И.А. 0<5 унитарном аналоге модели Андерсона. Чисто точечный спектр // Теор. и мат. физика, 1991, Т.89, №3, С.337-365.

4. Кошовец И.А. Свойства предельного распределения состояний для одного стохастического семейства унитарных операторов // Рук. деп. в ВИНИТИ 20.09.91, Ж3753-ВЭ1, 24 с.