Структура множества управляемости и позиционное управление линейной нестационарной системой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.934 На правах рукописи

РГБ ОД »- -Ц-'ДЕК 2000 :

Милич Николай Владимирович

СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМОСТИ И ПОЗИЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМОЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ижевск - 2000 г.

Работа выполнена в Ижевском государственном техническом университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Е.Л. Тонков

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор В. П. Максимов доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Ушаков

Ведущая организация — Челябинский государственный университет

Защита состоится на заседании диссертационного совета К.064.47.01 при Удмуртском государственном университете по адресу: г. Ижевск, ул. Университетская 1 (корп. 4), Математический факультет. E-mail: imi@wing. uni. udm. ru

«.Ш.» декабря 2000 г. в iY.^.?.. в ауд. 222.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «.?.9..» ноября 2000 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

3/éУ SYÛ3

'ф.-м.н., доцент Н.Н. Петров

в Î9&. /X?,

Актуальность темы. Для управляемой системы

х-у(г,х,и), 1£Г, ибУсЕ™, (1)

и заданной начальной точки (Ьо,хо) € 1Х1+П обозначим и(Р^о,хо) оптимальное в смысле быстродействия программное управление, переводящее точку (¿о, £о) на прямую I = {(¿,0): г € К}. Пусть далее, х(Р^о,хо) — решение системы (1) при управлении и — и(£;£о^о) (поскольку управление и{Ь\ ¿о, £о) не предполагается непрерывным, решения соответствующей системы понимаются в смысле Каратеодори), 0(£о, ^о) — время быстродействия: я(£о + 0(£о>яо);£о>®о) = 0.

Позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия, будем называть функцию и: 2) —> и переменных (£,х) 6 2), определенную в некотором цилиндре 2 = К х {1 £ К" : |х| < г}, принимающую значения в и и такую, что выполнены следующие два условия:

1) всякое решение to, хо) замкнутой системы

х = у{г, х, и{Ь, ж)), (£, х) £ 2), (2)

с начальной точкой (¿о, хо) £ 2) определено при всех t ^ £о> не покидает шар {1 е К" : |а;| < г} и обращается в нуль за конечное время (найдется ¿К^о.^о) ^ 0, что х^0 = 0);

2) программное управление о) = и(Ь,х(Р^о,£о)) оптимально а смысле быстродействия для системы (1) (если £ = ¿0 + ^(¿0,^0) — первый момент обращения в нуль решения £о) системы (2), то 0(<о,®о) = ©(¿о,^о))-

Это определение позиционного управления не является строгим до тех пор, пока мы не укажем, в каком смысле следует понимать решения системы (2) (функция и(£,х), как правило, разрывна не только по переменной Ь, но и по переменной х, поэтому определение решений системы (2) нуждается в уточнении). Мы будем понимать решения системы (2), как это сложилось исторически, в двух разных смыслах: в смысле К. Каратеодори1 или в смысле А.Ф. Филиппова2 и подчеркивать это обстоятельство записью йе(£,х) (в случае решений Каратеодори) или записью (в случае решений Филиппова).

Напомним, что всякое абсолютно непрерывное решение системы ин-

1 Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - С. 7

2Там же. - С. 40

теграпьных уравнений

x(t) = хо+ / v(s,x(s),ûe(s,x(s)))ds,

Jto

называется решением Каратеодори (Б-решением) системы (2) при управлении u(t,x) — ûe(t,x), а всякое абсолютно непрерывное решение дифференциального включения

х £ Р| Р| conv w(Oe(t,x) \fï),

в>0 mes fj=0

где w(t,x) = v(t,x,uj{t,x)), Oe(t,x) — е-окрестность точки (t,x), mes¡i — мера Лебега в E1+", называется решением Филиппова (^-решением) системы (2) (при управлении û(t,x) = u^(t,x)). В соответствии со сказанным будем говорить о G-позиционном ûe(t, х) оптимальном в смысле быстродействия управлении, либо об CF-позиционном ûy(t,x) оптимальном в смысле быстродействия управлении.

Из этих определений следует, что CF-позиционное управление нечувствительно к изменениям uy(t,x) на множествах нулевой меры Лебега в К1+п (поэтому u?(t,x) достаточно задавать на множестве положительной меры). Недостатком Б-позиционного управления является внутренняя неустойчивость замкнутой системы (изменение ûe(t,x) на множестве меры нуль может привести к «разрушению» управляемой системы: может исчезнуть не только оптимальность в смысле быстродействия решений замкнутой системы, но и обращаемость в нуль за конечное время большинства как С, так и У-решений замкнутой системы). Ясно поэтому, что с точки зрения практики наибольший интерес представляют задачи, допускающие ^-позиционное управление. Оказывается при этом, что наличие 7-позиционного управления всегда влечет существование и С-позиционного управления (достаточно «правильно» переопределить У-позиционное управление на множестве меры нуль). Обрачное утверждение неверно.

Вероятнее всего, ситуация, когда система (1) допускает С-позицион-ное управление, но при этом отсутствует ^-позиционное управление, в некотором смысле, типична, а поскольку 6-позиционное управление не представляет большого интереса, то для таких систем имеет смысл говорить юлько о программном управлении, оптимальном в смысле быстродействия. Поэтому представляет практический интерес поиск систем, допускающих Оппозиционное управление. Среди таких систем, допуска-

ющих vF-позиционное управление, содержатся системы вида

х = A(t)x + b(t)u, iSR", |«К 1, (3)

удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Следует отметить, что задача быстродействия наиболее полно изучена для линейных стационарных систем, для которых в ряде случаев удается построить С-позиционное управление3 и У-позиционное управление4. Программное управление и С-позиционное управление для нестационарной системы (3) изучались E.JI. Тонковым5, им и его учеником С. Ф. Николаевым рассматривались, также, вопросы существования и построения iF-позиционного управления для такой системы6. Позиционное управление для линейных дифференциальных игр изучалось в работах В. С. Пацко7, В. Н. Ушакова8 и их учеников.

Целью данной работы является углубленное изучение структуры множества управляемости (первого и высших порядков) линейной нестационарной системы; построение класса возмущенных линейных нестационарных систем, для которых Э'-позиционным управлением может служить оптимальное У-управление, построенное для невозмущенной системы; выяснение условий дифференцируемости функции быстродействия вдоль произвольных направлений; разработка численно-аналитических методов, позволяющих оценивать границы расширенного множества управляемости; построение линейных преобразований (Q-преобразований) исходной системы, позволяющих привлекать теорию квазидифференциальных уравнений при синтезе позиционного управления.

Научная новизна. Показано, что функция быстродействия допускает дифференцирование во всех точках расширенного множества

3Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. <Р. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. — Гл. 1, § 5.

4 Brunovski P. The closed-loop time-optimal control. I: Optimality. // S3AM J. Control. 1974. V. 12, № 4. P. 624-634.

5 Тонкое E. JI. К теории линейных управляемых систем // Дис. д.ф.-м.н., ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, С. 267. - гл. 5, § 20.

6Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, JV» 1. С. 78-84.

7Боткин Н.Д., Пацко В. С. Позиционное управление в линейной дифференциальной игре // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1983. № 4. С. 78-85.

sGrigorieva S. V., Ushakov V. N. Use finite family of multivalued maps for constructing stable absorption operator // Topol. meth. in nonlin. anal. 2000. V. 15, № 1. P. 75-89.

управляемости по направлению некоторых векторов как функция, действующая из в Е. Для некоторого класса систем (обладающих так называемым свойством 3) функция быстродействия имеет конечную или бесконечную производную в любой точке и вдоль любого направления. Доказанные свойства функции быстродействия позволили устранить пробел в доказательстве теоремы о е-позиционном управлении возмущенной системой из работы С. Ф. Николаева и Е.Л. Толкова9. Кроме того, используя эти свойства функции быстродействия, удалось доказать, что оптимальное в смысле быстродействия позиционное СГ-управление, построенное для докритической системы, является ^-позиционным управлением для целого класса возмущенных систем, т. е. переводит за конечное время на ось ^ всякую точку некоторого множества в расширенном фазовом пространстве возмущенной системы. Свойство докритичности определяется поведением специально введенной С. Ф. Николаевым и Е. Л. Тонковым10 функции сг(^). В диссертации подробно исследованы свойства этой функции. Это исследование опирается, в частности, на так назывемое свойство (^-приводимости, введенное в данной работе. Свойство (^-приводимости дает возможность успешно воспользоваться теорией квазидифференциальных уравнений и разработать численно-аналитические алгоритмы, позволяющие эффективно вычислять функцию <х(£), а также находить промежутки докритичности системы (3). Выяснены условия гладкости границы множества управляемости. Эти условия позволили доказать теорему о достаточных условиях трансверсальности на левом конце траектории, которая затем используется для исследования структуры так называемого множества управляемости второго порядка (введенного в данной работе). Показано, что некоторые результаты о структуре множества управляемости, ранее полученные С. Ф. Николаевым и Е.Л. Тонковым11, справедливы и для множеств управляемости второго и более высоких порядков.

Теоретическая и практическая ценность. Введенное в работе понятие (^-приводимости и полученные свойства (^-приводимых систем и функции имеют самостоятельный теоретический интерес.

9Николаев С.Ф., Тонкое Е.Л. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1998. К» 2 (13), С. 3-26.

10Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1996. Вып. 2 (8). С. 47-68.

11 Николаев С. Ф., Тонкое Е.Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, 1. С. 107-115.

Существование устойчивого к внешним возмущениям оптимального в смысле быстродействия ¡^-позиционного управления позволяет для до-критических систем эффективно решать задачу синтеза оптимального управления, устойчивого к возмущениям основной системы, что важно для практического применения. Полученные результаты о структуре множеств управляемости высших порядков создают предпосылки для исследований в направлении расширения множества, в котором может быть задано позиционное управление. Построенные в диссертации численно-аналитические методы реализованы в виде комплекса прикладных программ, позволяющих проверять (^-приводимость системы и оценивать длину промежутка чебышевскости, а также моделировать структуру границы множеств управляемости высших порядков.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях Ижевского городского семинара по дифференциальным уравнениям в 1999-2000 годах, IV Российской университетско-академичес-кой научно-практической конференции (УдГУ, Ижевск, 1999 г.), ХХХП научно-технической конференции ИжГТУ (Ижевск, 2000 г.), Всероссийской конференции «Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике» (Тамбов, 2000 г.), заседании секции процессов управления, дифференциальных уравнений и механики (ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2000 г.).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-01-00454) и конкурсным центром фундаментального естествознания (грант 97-0-1.9).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двенадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная), 26 рисунков и списка литературы. Объем диссертации 115 страниц. Библиографический список содержит 46 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении описывается общая постановка задачи и излагается краткое содержание работы по параграфам.

В первом параграфе диссертации введены основные обозначения, используемые в работе.

Второй параграф посвящен исследованию свойств функции <т(€).

Пусть фх (¿),..., фп{Ъ) — произвольная фундаментальная система решений сопряженной системы ф = —фА(1,). Определим функции £«(£) = ^¡(¿)6(£), где г = 1,... ,п. Для каждого ¿о обозначим через сг(<0) точную

верхнюю грань таких а > О, что на полуинтервале [¿о, ¿о + ет) совокупность функций г — 1,..., п, образует чебышевскую систему.

Система (3) называется докритической на интервале 3, если ст(£) > О на этом интервале.

В третьем параграфе исследуются (^-приводимые системы. Система (3), кинематически подобная некоторой системе вида

где F(t) =

у = F(t)y + g(t)u,

ffn(t) f12(t) ... /i,„-i(f) -Ш /22 (i) ••■ Î2,n-lit)

о -Ш ... f3,n-l(t)

(4)

ri m

r2(t) r3(t)

rn(t)J

\ 0 о ... -/?„(*)

g(t) = со!(Ш 0 0 ... 0),

функции fik(t), r,(t), Pi(t) непрерывны и /?,(i) > 0 при всех t G J, i = 1,... ,n, называется Q-приводимой.

Пусть ££ = 0 — квазидифференциалыюе уравнение, соответствующее Q-приводимой системе (3), Пусть t0 £ J — (ii,ti)- Правой сопряженной точкой s(io) уравнения ££ = 0 называется наименьшее из двух чисел ¿2 и s, где s — точная верхняя грань таких s > to, что уравнение ££ = 0 неосцилляционно на отрезке времени [to, s].

Теорема 1. Пусть система (3) Q-приеодима на интервале J = (<1,£г)» ut € J. Если s (t) < t^, то s(t) = t4- a(t). Если же s (t) — t2, то s (t) ^ t + a(t).

Следствие 1. Пусть система (3) Q-приводима на интервале J = (ta, ta)- Тогда функция a(t) непрерывна в тех точках t G J, в которых t + a(t) < t-2-

Четвертый параграф посвящен некоторым свойствам функции a{t) для Q-приводимых систем, а также численно-аналитическим алгоритмам оценки функции <т(£). Предложены два аналитических алгоритма приведения системы (3) к виду (4): алгоритм ортогонализации и алгоритм Гаусса. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2. Если п — 2, и система (3) Q-приводима на J = (ti jti), то функция a(t) дифференцируема для всех таких t G J, для которых выполнено неравенство s (t) < t?,.

Теорема 3. Если преобразование Q(t), задаваемое алгоритмом Гаусса, определено на интервале J, то система (3) докритическая на J. Если же Q(t) не определено ни в одной точке J, то система (3) не является докритической пи в одной точке J.

В пятом параграфе описывается процедура вычисления функции s(t) на компьютере и демонстрируются результаты этой процедуры для некоторых конкретных систем.

В шестом параграфе вводятся основные определения, связанные с функцией быстродействия и множествами управляемости первого и второго порядка. Исследуется структура множества управляемости и расширенного множества управляемости первого порядка. Получено более простое доказательство теоремы о структуре множества управляемости, чем в работе С. Ф. Николаева и Е. JI. Тонкова12. Введем следующие определения. Функция быстродействия в нуль:

Q(t0,x0) = min {в ^ 0: x(t0 +0,*о,*о,«(-)) = 0}-u(-)ew

Расширенное множество управляемости первого порядка: £>i = {(<b,a?o) е ß1+n : 0(fo,a?o) ^ *(<<>)} -Функция быстродействия на замкнутое множество G С М1+п:

0(to,xo,G)= min {<9^0: (f0 +0,x(to + 0,<ö,*o, «(•))) б <?}.

u(-)€M

Расширенное множество управляемости второго порядка:

£>2 = {(fo,*o) 6 К1+" \35i: 0(io,xo,33i) ^ cr(i0)} ■

Множества управляемости первого Di(to) и второго порядка (¿о) определяются как сечения соответствующих расширенных множеств управляемости, т. е.

Du(t0) = {х0 € Rn : (t0,x0) € и = 1,2.

Для упрощения обозначений будем писать 0 = Sj, D(t0) = öi(io)-Множество управляемости за время г?:

_D(to,t)) = {х0 б Шп: 0(io,xo) ^ 0}.

12Николаев С. Ф., Топкое Е. Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 1. С. 107-115.

Очевидно, D(to,u(to)) = D(to).

Для каждого к — 0,..., п и любого t £ R определим многообразие

Jv1+k, вложенное в пространство К1"1"*, как множество всех таких точек расширенного множества управляемости D, которые переводятся на ось t при помощи управления, оптимального в смысле быстродействия, принимающего значения {—1,+1}, имеющего ровно к переключений и начинающегося с +1. Аналогично определяется многообразие

м1+к, для которого оптимальное управление начинается с —1. Введем следующие обозначения.

Сечения множеств М1+к к]\[1+к при фиксированном t: Nk(t) = е мп: (t,x) елГ1+Л|, О^к^п,

Ñk(t) = 6 шп: (t,x) ¡EjV"1+í:j , О^к^п.

Сечения множеств N fc+1 (£) и N (t) при фиксированном времени быстродействия:

jv*M) = j®ejv*+1(t): 0(f,x)=tfj, O^fc^n-l, jv*(t,0) = jx£Ñk+1(t): e(t,®)=tf|, 0<jfe<n-l.

Теорема 4. Пусть система (3) докритическая, причем функции .А(-) и Ь(-) принадлежат классу Сг, где г ^ 0. Тогда при любом $ ^ a(t0) множество управляемости D(to,fl) есть строго выпуклое тело в R". Его граница является объединением непересекающихся гладких

{гладкости г 4-1) многообразий Nk(to,$) и Nk(to,$) размерности к, где к = 0,... ,гг—1. Объединение ^jj U Ñ'tfo^ij есть

общий край многообразий clNk(to, и c\Nk(to, Кроме того, всякой

точке xq из множества Nk{to,^)[jNk{to,iD) отвечает единственное оптимальное управление, переводящее хо в нуль и имеющее ровно к переключений на интервале (to,to +$).

В седьмом параграфе исследуются вопросы, связанные с углами между многообразиями, образующими границу множества управляв-

мости, и с гладкостью границы множества управляемости. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 5. Если векторы + <?(*о)Ж*о + и Що)

коллинеарны, то в каждой точке границы множества управляемости £>(¿0) существует касательное пространство к границе 13(<о)-

Теорема 6. Если тп < а{Ь0), то для любого к = 1,... ,п — 1 угол между многообразиями ]Ук(Ь,д) и Нк{1,$) в любой точке х е

-4- —

с1 N П ^ Nк(Ь, г)) отличен от нуля. В этом случае граница множества управляемости т„) не может быть гладкой (т. е. имеет касательное пространство не во всякой точке границы).

Теорема 7. Если тп < <т(Ь), то многообразия N''(1) и ч9) касаются в любой точке х £ Nk(t)f)c\Nk(t,'д)■

Аналогичная теорема справедлива для Лг к (£) и

Восьмой параграф посвящен различным условиям трансверсальности. Доказана теорема о достаточных условиях трансверсальности на левом конце траектории.

Теорема 8. Пусть д < сг(^о), хо £ ф — единичный

вектор нормали к произвольной опорной гиперплоскости Г^И^^), причем множество 0(Ьо,д) лежит в положительном полупространстве относительно вектора ф. Тогда управление, заданное равенством и(Ь,ф) — sign(фX(to,t)b(t)), оптимально в смысле быстродействия переводит точку (¿о, аго) на ось

В девятом параграфе доказано, что оптимальное в смысле быстродействия позиционное управление, построенное для линейной до-критической системы, является позиционным для некоторого класса нелинейных систем, близких к линейной, т. е. за конечное время переводит точки некоторого множества в расширенном фазовом пространстве возмущенной системы на ось t. Отдельно рассмотрены С-позиционное и У-позиционное управления.

Суперпозиционно измеримую функцию ие : Т) —> I/ будем называть С-позиционным управлением для системы (3), если для любой тачки (¿о, •£()) £ решение в смысле Каратеодори х{Ь^о,хо) задачи

х = А^)х 4- Ь{Ь)и, х(^) = хо

(5)

при и = ue(t,x) существует на полуоси [f0,+oo) и попадает в нуль за конечное время. Если это решение единственно, и x(t,to,xQ) = 0 для t ~ïz to + ©(i0,x0), то такую функцию ие будем называть оптимальным в смысле быстродействия С-позиционным управлением для системы (3) (сокращенно, оптимальным С-управлением).

Аналогично определяется У-позиционное управление В этом случае функция usr(t, х) должна быть определена для почти всех (в смысле меры Лебега в К1+п) точек (t,x) G int 2) и обеспечивать следующее свойство: каждому (to,xo) G int2) отвечает решение в смысле Филиппова x(t, to,xo) задачи (5) с управлением и — ug-(t, х), попадающее в нуль за конечное время. Если, кроме того, это решение единственно, и x(t,to,xo) = 0 для t ^ ¿о + ©(¿о,£о), то такую функцию U'j будем назьшать оптимальным в смысле быстродействия Э*-позиционным управлением для системы (3) (сокращенно, оптимальным ^-управлением). В силу определения решений Филиппова, для построения оптимального ^-управления нет необходимости определять ujit.x) в каждой точке внутренности расширенного множества управляемости 2); достаточно построить uy(t, х) на множестве полной меры.

Пусть G С K1+n, q G G. Будем называть конусом Булигана13 к множеству G в точке q множество Тq(G) таких векторов h G R1+n, что

liminfA)(g + gfe,G)

е-»+0 £

где ро {я, G) — евклидово расстояние от точки q до множества G.

Теорема 9. Пустпь система (3) докритическая, а точка qo = (to,xo) G Щ1+п. Тогда функция быстродействия 0: 2) ffi дифференцируема в точке qo по направлению любого вектора h G int Tgo (Ol1+n). Аналогичное утверждение справедливо и для множества 011+п-

Будем говорить, что система (3) обладает свойством 3 на множестве 071+п, если производная функции быстродействия во всякой точке qo G Ol " С Ol1+п по направлению любого вектора h £ int 1qo (Ol1+n) равняется -boo. Аналогично определяется свойство 3 на множестве 011+п-Если свойство 3 выполнено на множестве 0Т1+П, то, в силу симметрии,

13 Aubin J.-P. Mutational and Morphological Analysis. Tools for Shape Regulation and Optimization. 1998. — C. 28.

оно автоматически выполнено и на множестве 911+п, поэтому в дальнейшем мы будем говорить про свойство 3, не указывая множество, на котором оно выполнено.

Рассмотрим систему уравнений

где функции А : К -> М(п), Ь : К -> Пп непрерывны, функция XV : ®1+п —> К™ удовлетворяет условиям Каратеодори, 0) = 0, и существует такое г > 0, что для линейной системы (3) при всех < е ® выполнено неравенство ст(£) ^ г. Обозначим

Пусть в > 0. Непрерывную функцшо ш :£>—>■ К™ будем называть допустимой в множестве если существует такое положительное а, что выполнены следующие условия:

1) для всех (£, х) € Т>о выполнено неравенство

Теорема 10. Пусть выполнены следующие условия:

1) система (3) докритическая и обладает свойством 3;

2) существует положительное 9 такое, что 1)$ С 2);

3) функция ги(Ь, х) допустимая в множестве

Тогда управление ие^,х) является С-позиционным управлением для системы (6) в области т. е. для каждой точки (Ьо,хо) €

и^Эя найдется такой момент времени < что С-решение

х(1,^,хо) системы (6) с управлением и = существует, и

+ 19^о,Хо),^,хо) = 0. Далее, для всякого е > 0 найдется 6 > 0, такое, что если г)| ^ 5 при (£, я) £ 1>в, то |0(<,х) — ^ е.

Введем У-позиционное управление

х = А(Ь)х + Ь(г)и + ги(Ь, х), гей", |и| ^ 1,

(6)

2) для всех к = 1,...,п — 1 и всех д = (£,х) 6 Л/"1+к таких, что х) выполнено неравенство

¿х<д{Ь,х)т{Ь,х) ^ 1 — а.

если ((,1)€М+Л,

если х) е

Построим многозначные функции

^ - / если G jV1+n,

[-1.+1], если (t,x)e<rr\

3"(£,x) = Л(£)х+6(£)11(£, x)-f-w(i, a:). Тогда решения дифференциального включения х £ х) являются У-решениями системы (б) с управлением ûsr{t,x).

Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 10. Тогда существует такое положительное вi si 9, что управление u?(t,x) является 3"-позиционным управлением для системы (6) в области intS^, m. е. для каждой точки (to,xo) из intнайдется такой момент времени û(to,xo) < оо, что CF-решение x(t,to,xo) системы (3) с управлением u?(t,x) существует, причем x(to + "d(to,xo),to,xo) = 0. Далее, для всякого е > 0 найдется 6 > 0, такое, что если |ui(i,x)| ^ 5 при (t,x) еЭе,, то |0(t,x)-i9(t,®)| ^ е.

Десятый параграф посвящен исследованию структуры расширенного множества управляемости второго порядка. В расширенном множества управляемости выделены множества, аналогичные многообразиям, образующим расширенное множество управляемости первого порядка.

В одиннадцатом параграфе исследуется расположение нулей линейной комбинации функций чебышевской системы за пределами пром с жутка чебышевскости. Доказано, что при определенных условиях векторы, составленные из узлов такой линейной комбинации, образуют гладкое многообразие.

Зафиксируем числа to и ■д > 0 и будем предполагать, что система (3) докритическая на промежутке [¿о, +оо). Определим следующие функции:

<Jo(t) = 0, CTi(t) = a(t), ae+1(t) = a (t + (л (i) + • • • + <Tt(t)) , где l G N.

Пусть croo(io) есть сумма (конечная или бесконечная) ряда <ro(to) + cri (to) H----+ ot(to) + ■■■■

Тогда промежуток [i0, to+Coo(£o)) оказывается разбитым на полуинтервалы ввда

[io + cr0{t0) -I-----I- at(to), to + or0(t0) -I-----f- ae+i(to)),

на каждом из которых совокупность функций {£г(0}?=1 образует Т-систему.

Рис. 1. График функции я(£) — £ для системы (7).

Двенадцатый параграф посвящен исследованию структуры границ множеств управляемости высших порядков. Доказано, что на границах множеств управляемости высших порядков (^-приводимой системы можно выделить гладкие многообразия.

Теорема 12. Пусть п = 2, система (3) 0,-приводима на промежутке [£0,+оо), д < Стоо^о), а т — такое натуральное число, что

т т+1

е=о е=о

Тогда справедливо представление

0Д(«о,0) = с1 У (^('сь^и^о,'?)) ,

где Зт есть множество (т +1) -мерных векторов, координаты которых принимают значения 0 или 1, причем хотя бы одна из координат

равна единице, а N и о,^) — дифференцируемые кривые.

П р и м е р 1. На рис. 1 изображен график функции — Ь для системы

Х2=и$ту/2Ь. (7)

Система является (^-приводимой там, где функция б({) — £ положительна.

Рис. 2. График функции 0(Ь, х) при £ = 0 для системы (8).

П р и м е р 2. Рассмотрим систему

Х\ — и, ±2 = Ьи.

(8)

Многообразия, входящие в расширенное множество управляемости 2), можно задать параметрически:

Л"3 = {(*,Т2-2гьт!/2 + <7ъ-т1 -2Ьп)-. (г,п,т2) еМ3},

= {(*, -Г2, -г|/2 - гт2) ■. {г,Т2) £ м2},

яг = {(*, -Т2 + 2п, т|/2 - ¿т2 - т? + 2<П): («, П,г2) £ М3} , Л?2 = {(£,т2, —г|/2 + <т2): (*,т2) ем2}. Функция быстродействия для системы (8) равна

0(£,х1,х2) =

-XI + \/2х2 - 4^1 + 4х2, Х1,х2) 6

-XI, (^,х1,х2) ел2,

хг + у/2 х1 + 4£ж1—4я:2, (£,XI,х2) е Л/"3,

хь (¿,яг,х2) е.д/'2-

График функции быстродействия для системы (8) изображен на рис. 2.

/ / / / / * / > . 1 / V ■,». чч. — \ 1, »1 /

-3 Ц -1 10] 1 ^Ч..... \ -2 NN [ 1 1 г, з / / и / / / ____/ '' / / / / '' ' /

хг

Рис. 3. Множество £>(0,7л-/4) для системы (9).

П р и м е р 3. На рис. 3 изображено множество управляемости £>(0,7тг/4) для системы

¿1 = —XI, ¿2 = XI + и. (9)

Эта. система является (^-приводимой, причем 01(0) = ст2(0) = тг. Многообразия Л^1,1)^,!?) и ЛГ^'^СО,^) показаны сплошными тонкими линиями, а А^1'0^)^) и ЛГ (0, — толстыми. Внутренность множества управляемости закрашена серым цветом. Оптимальные траектории системы изображены пунктирными линиями, причем в момент переключения дайна штрихов в пунктире уменьшается.

1 ^ч. х2

1у V-. \ ^ч"

\ ^ * V / \/ а Ч 1 \ 1 \ ч 1 1 X ч XI

-6 -4 \-2| ',0 \\/ / VI / -д 1 \ ч 1 г 1 V \ ч \4 6 / \ * \

ч^ ■4 "Оч /1 I

Рис. 4. Множество £>(0,77г/4) для системы (10).

П р и м е р 4. Рис. 4 по своему содержанию и раскраске аналогичен рис. 3. Система в этом случае имеет вид:

¿1 = X2smt, ¿2 = и. (10)

Здесь снова выполняются равенства ст1(0) = 02(0) = 7Г. Эта система не является (^-приводимой, однако замыкание изображенных множеств

ограничивает некоторую замкнутую выпуклую область, которая и представляет собой множество управляемости.

Публикации по теме диссертации

1. Милич Н. В. О структуре границы множества управляемости линейной докритической системы на большом промежутке времени // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск. 1998. Вып. 2(13). С. 27-52.

2. Милич Н. В. Структура границы множества управляемости линейной докритической системы на большом промежутке времени //IV Рос. универ.-акад. науч.-практ. конф. Тез. докл. Ижевск. 1999. Ч. 6. С. 31.

3. Милич Н. В. Длина промежутка чебышевскости и множество управляемости линейной нестационарной системы // Вестник Удм. унта. Ижевск. 2000. Т. 1. С. 109-130.

4. Милич Н. В. Докритичность и (^-приводимость линейной нестационарной системы // XXXII науч.-тех. конф. ИжГТУ, 18-21 апр. 2000 г. Тез. докл. Ижевск. 2000. Ч. 1. С. 59-61.

5. Милич Н. В. Позиционное управление возмущенной системой, близкой к докритической // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск. 2000. Вып. 2 (19). С. 38-53.

6. Дерр В. Я., Милич Н.В., Николаев С. Ф., Тонкое Е.Л. Задача быстродействия для (^-приводимой системы // Вестник Тамбов, ун-та. Тамбов. 2000. Т. 5, вып. 4. С. 438-440.

7. Дерр В. Я., Милич Н. В., Тонкое Е. Л. Линейные управляемые <3-приводимые системы // Современные методы в теории краевых задач. Труды Воронежской весенней математической школы «Пон-трягинские чтения - XI», Воронеж, 3-9 мая 2000 г. Ч. 1. С. Б5-84.

Введение.

Глава 1. Докритичность и (^-приводимость.

§ 1. Основные обозначения.

§ 2. Функция (т(-) и ее свойства.

§ 3. (^-приводимые системы.

§ 4. Оценка функции <т(-) для (^-приводимых систем.—

§ 5. Применение предложенных алгоритмов.

Глава 2. Структура множества управляемости и позиционное управление.

§ 6. Множество управляемости.

§ 7. Угол между многообразиями, составляющими границу множества управляемости.

§ 8. Условия трансверсальности.

§ 9. Свойства функции быстродействия и позиционное управление

Глава 3. Множества управляемости высших порядков

§ 10. Расширенное множество управляемости второго порядка.

§ 11. Простые нули функций с) вне промежутка чебышевскости

§ 12. Граница множества управляемости.

Для управляемой системы х = у(г,х,и), жег, иеисж™, (ол) и заданной начальной точки (¿0,^0) £ М1+п обозначим оптимальное в смысле быстродействия программное управление, переводящее точку (¿о,^о) на прямую £ = {(¿,0): £ Е М}. Пусть далее, ж(£;£0,£о) ~ решение системы (0.1) при управлении и = и{Ь] ¿о, %о) (поскольку управление и{р;£о,жо) не предполагается непрерывным, решения соответствующей системы понимаются в смысле Каратеодори), ©(£о,£о) ~~ время быстродействия: х(Ц + ©(¿о, ^о),¿о,хо) = 0.

Позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия, будем называть функцию и: 2) —>■ II переменных (¿, х) £ £>, определенную в некотором цилиндре 2) = М х {х € Мп : |ж| < г}, принимающую значения в II и такую, что выполнены следующие два условия:

1) всякое решение замкнутой системы х = у(г,х,и(Ь,х)), (0.2) с начальной точкой (£о,жо) £ ® определено при всех Ь ^ ¿о, не покидает шар {ж 6 1": |ж| < г} и обращается в нуль за конечное время (найдется $(¿0, хо) > 0, что + о, х0); £0, ж0) = 0);

2) программное управление и(ЦЦ,хо) = х(Ь\ ¿о, жо)) оптимально в смысле быстродействия для системы (0.1) (если t = ¿о ~~ первый момент обращения в нуль решения ж(£;£о,£о) системы (0.2), то ©(г<ьяо)).

Это определение позиционного управления не является строгим до тех пор, пока мы не укажем, в каком смысле следует понимать решения системы (0.2) (функция ж), как правило, разрывна не только по переменной но и по переменной ж, поэтому определение решений системы (0.2) нуждается в уточнении). Мы будем понимать решения системы (0.2), как это сложилось исторически, в двух разных смыслах: в смысле К. Каратеодори [1, с. 7] или в смысле А.Ф. Филиппова [1, с. 40] и подчеркивать это обстоятельство записью г£е(£, х) (в случае решений Каратеодори) или записью х) (в случае решений Филиппова).

Напомним, что всякое абсолютно непрерывное решение системы интегральных уравнений называется решением Каратеодори (С-решением) системы (0.2) при управлении х) = я), а всякое абсолютно непрерывное решение дифференциального включения где w(t, х) = v(t,x,ûj(t,x)), Oe{t,x) — ^-окрестность точки (¿,х), mes д — мера Лебега в К1+п, называется решением Филиппова (^-решением) системы (0.2) (при управлении u(t,x) = х)). В соответствии со сказанным будем говорить о С-позиционном ue(t, х) оптимальном в смысле быстродействия управлении, либо об ^-позиционном uj(t, х) оптимальном в смысле быстродействия управлении.

Из этих определений следует, что ^-позиционное управление нечувствительно к изменениям u?(t,x) на множествах нулевой меры Лебега в R1+n (поэтому иgr(i, х) достаточно задавать на множестве положительной меры). Недостатком С-позиционного управления является внутренняя неустойчивость замкнутой системы (изменение uq(î,x) на множестве меры нуль может привести к «разрушению» управляемой системы: может исчезнуть не только оптимальность в смысле быстродействия решений замкнутой системы, но и обращаемость в нуль за конечное время большинства как С, так и ^-решений замкнутой системы). Ясно поэтому, что с точки зрения практики наибольший интерес представляют задачи, допускающие З^-позиционное управление. Оказывается при этом, что наличие ^-позиционного управления всегда влечет существование и 6-позиционного управления (достаточно «правильно» переопределить ^-позиционное управление на множестве меры нуль). Обратное утверждение неверно.

Рассмотрим два простых примера.

1. Система

0 mes fi=0

1 = Х2, ¿2 = Щ |u| < 1, допускает оптимальное С-позиционное управление

1, если 2х\ ^ {х2)2, < 0,

1, если 2xi < — (гс2)2, %2 > 0, uq(x 1,^2) = < 0, если х\ = 0, х2 = 0,

1, если 2xi > (яг)2, < 0, k -1, если 2xi ^ — (®2)2? х2 > 0, и оптимальное 3"-позиционное управление

II, если 2ж1 < (я2)2, х2 < О,

1, если 2х\ < -(яг)2, х2 > О,

-1, если 2х1>(х2)\ Х2 < О,

1, если 2х\ > — (а^)2, Х2 > О.

2. Рассмотрим теперь систему (пример П. Бруновского [2, 3])

Х\=-Х1 Х2=Х2+Щ, (0.3) где и £ и = {и = (щ,и2) : + \щ\ ^ 1}. Легко убедиться, что множеством управляемости системы (0.3) является полоса

В = {х = (хих2) еМ2: XI £ Е, \х2\ < 1}.

В этой полосе система (0.3) допускает оптимальное в смысле быстродейх2 1

XI

Рис. 0.1. Векторы скорости Уе и V? С и ^-решений системы (0.3), замкнутой управлением (0.4). Вектор Ур «упирается» в начало координат и не позволяет фазовым точкам войти в нуль за конечное время. ствия С-позиционное управление

0,0), если х\ — х2 = 0, (+1,0), если Х\ < 0,£2 = 0, ие(х1,х2) = { (-1,0), если 0<х\,х2 = 0,

0.4)

0,-1), если 0 < Х2 < 1, , (0,+1), если -1 < х2 < 0.

Это управление находится с помощью принципа максимума Л. С. Пон-трягина. Между тем, всякое (начинающееся в И) нетривиальное ^-решение системы (0.3), замкнутой управлением (0.4), экспоненциально стремится к нулю при Ь -> оо, но не входит в нуль за конечное время. Это происходит потому (см. рис. 0.1), что С-решения системы (0,3) (замкнутой управлением (0.4)), начинающиеся на горизонтальной оси, являются решениями системы ¿1 = —х\ — 1, х2 = х2 (если ж® > 0), а ^-решения — решениями системы ¿1 = — х2 = х2 (при ж? > 0). Следовательно, в данном примере не существует ^-позиционного управления.

Вероятнее всего, ситуация, когда система (0.1) допускает С-позиционное управление, но при этом отсутствует ^-позиционное управление, в некотором смысле, типична, а поскольку С-позиционное управление не представляет большого интереса, то для таких систем имеет смысл говорить только о программном управлении, оптимальном в смысле быстродействия. Поэтому представляет практический интерес поиск систем, допускающих У-позиционное управление. Среди таких систем, допускающих ^-позиционное управление, содержатся системы вида удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Следует отметить, что задача быстродействия наиболее полно изучена для линейных стационарных систем (см. [4]-[11] и библиографию в [12]), для которых в ряде случаев удается построить С-позиционное управление [4, гл. 1, §5], [7, 13, 14] и бГ-позиционное управление [2, 10, 15, 16].

Программное управление и С-позиционное управление для нестационарной системы (0.5) изучались в работах [17]-[23], а вопросы существования и построения ^-позиционного управления рассматривались в работах [24]—[28].

Позиционное управление для линейных дифференциальных игр изучалось в работах [29, 30].

В этой работе продолжено изучение структуры множества управляемости и свойств функции быстродействия системы (0.5) в предположех = А(£)х + Ь(Ь)и, х € Мп, Н ^ 1,

0.5) нии неосцилляции сопряженной системы ф = —фА{Ь) относительно гиперплоскости, определяемой нормальным вектором &(£). Такие системы названы в [24] докритическими.

Показано, что функция быстродействия допускает дифференцирование во всех точках расширенного множества управляемости по направлению некоторых векторов как функция, действующая из М.1+п в М. Для некоторого класса систем (обладающих так называемым свойством С!) функция быстродействия имеет конечную или бесконечную производную в любой точке и вдоль любого направления. Полученные результаты являются дальнейшим развитием работ [24]-[28].

Доказанные свойства функции быстродействия позволили устранить пробел в доказательстве теоремы о С-позиционном управлении возмущенной системой из работы [27]. Кроме того, используя эти свойства функции быстродействия, удалось доказать, что оптимальное в смысле быстродействия позиционное бГ-управление, построенное для докрити-ческой системы (0.5), является ^-позиционным управлением для целого класса возмущенных систем, т. е. переводит за конечное время на ось £ всякую точку некоторого множества в расширенном фазовом пространстве возмущенной системы.

Свойство докритичности определяется поведением специально введенной в [24] функции сг(£). В диссертации подробно исследованы свойства этой функции. Это исследование опирается, в частности, на так назывемое свойство (^-приводимости, введенное в данной работе. Свойство (^-приводимости дает возможность успешно воспользоваться теорией квазидифференциальных уравнений и разработать численно-аналитические алгоритмы, позволяющие эффективно вычислять функцию сг(£), а также находить промежутки докритичности системы (0.5).

Выяснены условия гладкости границы множества управляемости. Эти условия позволили доказать теорему о достаточных условиях трансверсальности на левом конце траектории, которая затем используется для исследования структуры так называемого множества управляемости второго порядка (введенного в данной работе).

Показано, что некоторые результаты о структуре множества управляемости, ранее полученные в работах [21, 24], справедливы и для множеств управляемости второго и более высоких порядков.

Многие определения и утверждения проиллюстрированы графиками, полученными при помощи численных алгоритмов.

Результаты диссертации опубликованы в работах [31]—[34].

Ниже приведены формулировки основных результатов работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двенадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная), 26 рисунков и списка литературы, насчитывающего 46 наименований. Объем диссертации 115 страниц.

1. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

2. Brunovski P. The closed-loop time-optimal control. I: Optimality. // SI AM J. Control. 1974. V. 12, № 4. P. 624-634.

3. Brunovski P. Regular synthesis and singular extremas // Lect. Contr. and Inform. Sci. 1980. V. 22. P. 280-284.• 4. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.

4. Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22,№ 4. С. 449-474.

5. Болтянский В. Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 28, № 3. С. 481-514.

6. Черноусько Ф. JI., Шматков А. М. Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка // Прикл. матем. и мех. 1997. Т. 61, Вып. 5. С. 723-731.

7. Киселев Ю. Н. Оптимальный синтез в гладкой линейной задаче быстродействия // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, 2. С. 232-237.

8. Белоусова Е. Р., Зарх М. А. Построение поверхности переключения в линейной задаче быстродействия четвертого порядка // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. № 6. С. 126-139.

9. Белоусова Е. Р., Зарх М. А. Синтез оптимального управления в линейной задаче быстродействия четвертого порядка // Прикл. матем. и мех. 1996. Т. 60, Вып. 2. С. 189-197.

10. Благодатских В. И. Линейная теория оптимального управления. М.: Наука, 1978.1

11. Аввакумов С. Н., Киселев Ю. Н., Орлов М. В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтряги-на // Тр. Матем. ин-та РАН. 1995. Т. 211. С. 3-31.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Прищепова С. В. Синтез оптимальной по быстродействию дискретной системы // Автомат, и телемех. 1991. № 12. С. 92-99.

13. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Костюкова О. И. Оптимизация линейной системы управления в режиме реального времени // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. № 4. С. 3-19.

14. Brunovski P. The closed-loop time-optimal control. II: Stability. // SIAM J. Control. 1976. V. 14, № 1. P. 156-162.

15. Meeker L. D. Measurement stability of third-order time-optimal control systems // J. Different. Equat. 1980. V. 36. P. 54-65.

16. Тонкое E. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной системе, оптимальной по быстродействию // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 12. С. 2180-2185.

17. Тонкое Е. Л. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 2. С. 269-278.

18. Тонкое Е. Л. Неосцилляция и структура множества управляемости линейного уравнения // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38, Вып. 5 (233). С. 131.

19. Тонкое Е. Л. К теории линейных управляемых систем // Дис. д.ф.-м.н., ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, 267 с.

20. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35,№ 1. С. 107-115.

21. Альбрехт Э. Г., Ермоленко Е. А. Синтез оптимального по быстродействию управления в линейных системах // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 11. С. 1443-1450.

22. Сатимов Е. ЯАзамов А. О числе переключений в линейных системах // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1982. № 2. С. 20-23.

23. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1996. Вып. 2 (8). С. 47-68.

24. Николаев С. Ф. Функция быстродействия и позиционное управление // Тезисы докладов международной математической конференции «Еругинские чтения-IV», Витебск, 20-22 мая 1997 г. С. 77-78.

25. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1998. № 2 (13), С. 3-26.

26. Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Дифференцируемость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 1. С. 78-84.

27. Боткин Н. Д., Пацко В. С. Позиционное управление в линейной дифференциальной игре // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1983. № 4. С. 78-85.

28. Grigorieva S. V., Ushakov V. N. Use finite family of multivalued maps for constructing stable absorption operator // Topol. meth. in nonlin. anal. 2000. V. 15, № 1. P. 75-89.

29. Милич H. В. О структуре границы множества управляемости линейной докритической системы на большом промежутке времени // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1998. Вып. 2 (13). С. 27-52.

30. Милич Н. В. Длина промежутка чебышевскости и множество управляемости линейной нестационарной системы // Вестн. Удм. ун-та. Ижевск. 2000. Т. 1. С. 109-130.

31. Милич Н. В. Позиционное управление возмущенной системой, близкой к докритической // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск. 2000. Вып. 2 (19). С. 38-53.л

32. Aubin J.-P. Mutational and Morphological Analysis. Tools for Shape Regulation and Optimization. 1998. 352 p.

33. Понтрягин JI. С. Оптимальные процессы регулирования // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, Вып. 1 (85). С. 3-20.

34. Николаев С. Ф. Численная оценка интервала докритичности // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1998. Вып. 1 (12). С. 81-88.

35. Крейн М.Г., Нуделъман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 552 с.

36. Тонкое Е. Л. К вопросу о неосцилляции линейных систем // Нели-нейн. колебания и теор. управл. — Ижевск: УдГУ, 1982. Вып. 4. С. 6274.

37. Дерр В. Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск. 1999. Вып. 1 (16). С. 3-105.

38. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1968. 408 с.

39. Ли Э. В., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

40. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Волгоград: Платон, 1998. 300 с.

41. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

42. Тонкое Е. Л. Динамические задачи выживания // Вестн. Перм. тех. ун-та. Функционально-дифференциальные уравнения. 1997. № 4. С. 138-148.

43. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. — М.: Наука, 1972. 368 с.