Связности, присоединенные к уравнению .... тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На1 правах рукописи

БАНАРУ Галина Анатольевна

УДК 514.763.8 СВЯЗНОСТИ .ПРИСОЕДИНЁННЫЕ К УРАВНЕН!®

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на -кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государстве ного университета имени М .В Ломоносова .

Научные руководители: доктор физико-математических

наук,профессор Н.З.Степаноз

доктор физико-математических наук,профессор Л.Е.Евтушик

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук,профессор Э.Г.Позняк, кандидат физико-математически; науигст. н.с. Е.В.Ферапонтов

Ведущая организация: Московский педагогический

государственный университет

Защита диссертации состоится <^"-1992

в 16 час. 05 мин на заседании специализированного совета по математике X 2 / Д 053.05.05 / при Московском государственн университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, ЫГУ, механико-математический факуль аудитория 1*1-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механ ко-магематичесхого факультета МГУ / Главное здание, эта*

Автореферат разослан " <--Г1992 г.

Учёный секретарь специализированного совета

Д.053.05,05 при МГУ, д.ф.м.н. В.Н.Чубаряков

Сг.мййКАЯ

1. ■ СЕДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Работа посвящена геометрии обыкновенного дифференциального уравнения пятого порядка (5) л / /

которое в дальнейшем будем обозначать стволом ().

Пусть М х, ~ двумерное гладкое многообразие.Каждая глад-, кая кривая в точке имеет элемент касания некоторого порядка р , определяемый в локальных координатах ^ , ^ в М % величинами , у , у',..., у . Множество всех гладких касательных элементов для всевозможных кривых в Мд, образует гладкое расслоенное многообразие 3 Мх. с ес<гест~

венными проекциями

Секущая поверхность 5 : Р'1 / VI \

5' (Мг) - БЧМ.)

представляет собой инвариантный и глобальный способ задания на Мг обыкновенного дифференциального уравнения порядка р . С точки зрения современной геометрии расслоенных пространств, изучение этого сечения и является предметом геометрии обыкновенного дифференциального уравнения порядка р .

По-видимому, переой существенной работой, касающейся геометрии дифференциальных уравнений, следует считать статью Э.Картана, опубликованную в 1924 году. В этой статье Картан связывает с уравнением ^ » У 9 так называемую

нормальную проективную связность. В 1941 году Э.Картан изучает геометрию уравнения ^ - » ^ *) »рассматривая

пространство интегральных кривых этого уравнения как некоторое пространство псевдоевклидовой связности. Работы Дюбурдье (1936) и Чженя (1937) также посвящены обыкновенным дифференциальным уравнениям первого, второго и третьего порядков.

Появление фундаментальных работ Г.Ф.Лаптева (1952) и А.М.Васильева (1951) позволило ставить и решать более сложные задачи, связанные с геометрией дифференциальных уравнений.

В 1962 году на первой Всесоюзной геометрической конференции в докладе Г.Ф.Лаптева была дана общая постановка задачи геометрии дифференциальных уравнений и продемонстрирован пример.

Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений (не выше третьего порядка) изучались В.И.Близникасоч и З.Ю.Лу-пейкисом. Имеется цикл работ, содержащих общую дифференциально-геометрическую теорию некоторых видов систем дифференциальных уравнений в ч&стнюс производных, выполненных A.M.Васильевым и его учениками.

Непосредственное применение в теории дифференциальных уравнений имеют дифференциально-геометрические построения Л.Е.Евтушика и Р.В.Восилюса, в которых решаются гораздо болев широкие задачи.

Общая теория геометрии дифференциального уравнения порядка р изучалась Н.В.Степановым, построившим связность общего типа, инвариантно присоединяемую к такому уравнению.

Однако,что характерно именно для р-S" , из связности общего типа,присоединяемой к уравнению,возможно ввделение инвариантным методом как частного случая связности, фундаментальная группа которой представлена проективными преобразованиями плоскости, - проективной связности.

Названный случай никем не рассматривался, и потому все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности такого исследования.

Целью работы является:

1.Построение общей связности,присоединённой к уравнению f*).

2.Выделение из общей связности инвариантным методом как частного случая проективной связности.

3.Изучение названного частного случая.

4.Получение в явном (координатном) виде класса обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка, допускающих инвариантное присоединение к себе пространства проективной связности.

Метод исследования. Исследование в работе проводится методом внешних дифференциальных форм Э.Картана и инвариантным методом Г.Ф.Лаптева, обобщённым на бесконечные группы А.Ы.Васильевым. Применяются также некоторые результаты из общей теории геометрии обыкновенного дифференциального уравнения порядка р Н.В.Степанова. Все рассмотрения носят локальный характер.

Научная новизна. Проективная связность,присоединённая к уравнению ( Мг ), ранее в геометрии не изучалась,а потому все полученные результаты являются новыми.

Приложение. Работа носит теоретический характер.Результаты её могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрии дифференциальных уравнений.Кроме этого,они могут найти применение в качестве материала для специальных курсов в вузах, где ведётся работа по близкой тематике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях геометрических семинаров "Классическая дифференциальная геометрия" и "Геометрия в целом" в МГУ им.М.В.Ломоносова,геометрического семинара в Смоленском пединституте и на Международной конференции 1Э92 года "Н.И.Лобачевский и современная геометрия" в Казани.

Публикации. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Опубликованные научные работы по теме выполнены без соавторов. Основные результаты диссертации опубликованы в

конце автореферата.

В предлагаемой работе автором получен ряд результатов, среди которых отметим следуицие:

I.Построена связность общего типа, присоединённая к

работах автора

, список которых приведен в

уравнении ( ^ >.

2. Из общей связности инвариантным методом выделен случай проективной связности.

3.Показано,что образующими элементами построенного пространства проективной связности являются кривые второго порядка.

4.Проведена инвариантная классификация полученных структур. Доказана теорема об инвариантах.

5.Получен в явном (координатном) виде класс обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка, допускающих инвариантное присоединение к себе пространства проективной связности, и некоторые другие более специальные классы уравнений.

Структура и объём диссертации. Работа состоит иэ введения, трёх глав, разбитых на.13 параграфов, и списка литературы, содержащего 35 наименований. Общий объём диссертации - 80 страниц машинописного текста.

. СОДЕРЖШЕ ДИССЕРТАЦИИ .

Во введении обоснована актуальность теш, цель работы, дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приводится аннотация основных её результатов.

В первой главе построена связность общего типа,присоединённая к обыкновенному дифференциальному уравнению пятого порядка (* ).

В параграфе I вводится в рассмотрение достаточно гладкое двумерное многообразие Мд. (плоскость ^ , ),на котором действует псевдогруппа ^ всех точечных аналитических преобразований,определяемая (со всеми нормальными продолжениями) уравнениями структуры:

ЪгОс = Ю*л ьО-% го,- = гд-л + гОКАк)/-

/ О Л 0

я = Л+ +юекЛ Ч/ * ^ *

1* 1

где ¿.' , у , К , í • I, 2 и все дифференциальные формы симметричны по нижним индексам.

Получено инвариантное относительно ^ задание обыкновенного дифференциального уравнения пятого порядка () следующей системой:

где уравнение

получаемое при внешней дифференцировании приведенной системы, является условием её интегрируемости.

Во втором параграфе проводится канонизация уравнения

(I)

и его продолжений до получения системы форы,замкнутой относительно операции внешнего дифференцирования. В результате получена система:

« <. <

и структурные уравнения для неё, имеющие вид:

ио'льо; + я*

ЪЮ^гд'лгд? + (г)

ъ К*

» <« - <<л К- +2 <А +

ъ < = + •

Приводятся выражения для форы

В параграфе 3 доказывается,что уравнения структуры (2) определяют пространство со связностью (Предложение I) и формулируется теорема об общей связности,присоединённой к обыкновенному дифференциальному уравнении пятого порядка () :

Теорема. I. Ко. всякому обыкновенному дифференциальному уравнения пятого порядка

инвариантно присоединяется 9 - мерное расслоенное пространство В с базисными формами

удовлетворяющими уравнениях структуры (2). При этом система Пфаффа

эквивалентна рассматриваемому уравнению.

Базой расслоенного пространства £ является пространство чЛ -объектов.Структурная группа связности представлена преобразованиями плоскости

X . и :

о? о; ¿и

Отмечено также,что в случае обращения тензора кручения-

кривизна в нуль уравнения структуры ( 2 ) соответствуют дифференциальному уравнению ^ - 0 »интегральными кривыми которого являются параболы четвёртого порядка

Вторая глава посвящена выделению из связности общего типа,присоединённой к уравнению ().связности.структурная группа которой представлена проективными преобразованиями плоскости, и исследованию построенной проективной связности.

В параграфе 4 из общей связности,присоединённой к уравнению ().инвариантным методом выделен частный случай такой, что:

относительный инвариант - О ;

относительный инвариант с1^^ 0 (проведена канонизация Ы^ «-1); относительный инвариант ~ 0 ;

абсолютный инвариант

В этом случае между прочими инвариантами возникают дополнительные соотношения (которые приводятся там же).кроме этого,форма Юу выражается теперь через формы

го;, 18*-,

а именно:

В пятом параграфе получены уравнения структуры для выделенного в предыдущем параграфе частного случая.Эти уравнения структуры имеют вид:

ЪЮ^ = го'л^ + хд^л

+ '0гл1ггд1'Гь)*н) + Л? (з)

г < - Й'лй,;, + у^л(з и^-2 ^)4 Я < = <« л (± М>

+ * < + л»

г = < 1 * АД,

я - + тд} л

+ ± гоД ^ + Л/ й = < и < * / /г^-^-ъУ)*

Приводятся выражения для форм

Л полученных уравнений

структуры.

Б параграфе б доказаны два утверждения, а именно:

Предложение 2. Уравнения структуры (3) определяют пространство со связностью,структурной группой которой является проективная группа преобразований плоскости \Х , ^ .

Предложение 3. Главные формы интегральной кривой структурных уравнений (3 ) являются одновременно главными формами кривой второго порядка.

Там же приводятся структурные уравнения форм проективной связности. ... .......

Параграф 7 посвящен инвариантной классификации полученных структур - структур проективной связности.Классификация проводится на основе относительных инвариантов.Из связности на множестве ^ -объектов последовательно вццелены случаи связностей на. множестве касательных элементов четвёртого .третьего,второго порядков и на множестве линейных касательных элементов.

- Я -

В этом же параграфе доказано

Предложение 4 /Теорема об инвариантах/. Обращение в нуль инвариантов 05" > » и из уравнений структуры пространства проективной связности (3) влечёт за собой обращение в нуль всех остальных инвариантов из названных уравнений.

В третьей главе получен в явном (координатном) виде класс обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка, допускающих инвариантное присоединение к себе пространства проективной связности (3), и сформулирована основная теорема.

В параграфе 8 приняты следующие соотношения,связывающие дифференциальные формы:

Получены выражения для дифференциалов переменных вида Ljlp) //>) - какой-либо набор единиц и двоек) через пере-

менные и дифференциальные формы.

Там же приведено t i i.

Предложение 5. Переменные , (^н ,..., ¡¡jmil могут быть отождествлены с ^ ' <j ' соответственно.

В параграфе 9 приводится обыкновенное дифференциальное уравнение ( ), записанное в новых обозначениях:

yL'ffr^'.yi.-.yH»),

где - символ, обозначающий переменную ^

Переменным Л ' *''"' приписываются номера

1,2,...,б соответственно.Получено координатное выражение относительного инварианта . Оно имеет следующий вид:

Показано,что обращение. в нуль равносильно выделению для

уравнения ( # ) такого случая,когда функция +• зависит от , 14) '

У

линеино:

Л, Л, 8

В десятой параграфе исследуется коэффициент о/.Показано,что при = 0 относительный инвариант имеет следующий координатный вид:

Неравенство нулю этого инварианта (как в случае интересующей нас проективной связности) означает, что Л зависит от ^

Параграф II посвящен изучению относительного инварианта и абсолютного инварианта с1 .Показано, что в случае, когда о( ( = 0 , с(^-Ф0 (проведена канонизация Ы^ ■ -I) »относительный инвариант (j^f имеет вцц:

откуда в случае проективной связности (при (^р «0) имеем:

Далее показано,что при = 0 , ф 0 ,. ^ = 0 коэффициент с1с становится абсолстньм инвариантом, имеющим вид:

В случае проективной связности (О« -I) функция записывается следующим образом:

с= рте ■>

Приведено..окончательное выражение для функции ^ в случае .когда уравнение () допускает инвариантное присоединение к себе пространства проективной связности:

- ю -

В параграфе 12 формулируется основная теорема: Теорема 2. Ко всякому обыкновенному дифференциальному уравнению пятого порядка вида

где

инвариантно присоединяется £-мерное расслоенное пространство Е с базисными формами

удовлетворяющими уравнениям структуры (3). Система

эквивалентна рассматриваемому.уравнению.Базой расслоенного пространства В . является пространство Л. -объектов,структурной группой связности - проективная группа преобразований плоскости.

В параграфе 13 исследуются два относительных инварианта структуры (3) - коэффициенты и.Показано,что равенство нулю относительного инварианта означает, что функция & имеет следующий вид:

" - ¡Эх " Яу "

Обращение же в нуль относительного инварианта равносильно тому,что функция В записывается таким образом:

где у,

Отмечено,что в случае обращения тензора кручения-кривизны в нуль уравнения структуры (3) соответствуют дифференциальному уравнению

^уу -

" - 'у 9 (у'Г '

интегральными кривыми которого являются кривые второго порядка общего вида.

Автор чтит память и высоко ценит помощь своего первого научного руководителя профессора Н.В.Степанова, поставившего основную задачу работы, и выражает искреннюю и глубокую признательность профессору Л.Е.Евтушику за научное руководство при выполнении работы.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Банару Г.А. Связности, присоединённые к уравнению

£У'^ ' - Смоленский пединститут. Деп. в ВИНИТИ 13.07.1990, * 3948 - В90.

2. Банару Г.А. Проективная связность, присоединённая к обыкновенному дифференциальному уравнению пятого порядка. - Смоленский пединститут. Деп. в ВИНИТИ 12.03.1992, # 847 - В92.

3. .Банару Г.А. Связности, присоединенные к уравнению

' Тезисы докл* Международной геометрической конференции "Н.И.Лобаческий и современная геометрия". - Казань, 1992.