Теоремы существования, единственности положительных решений и оценки решений для различных классов линейных и нелинейных операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Г Г и ОД 2 2 АПР 1396

На правах рукописи

ГАЛКИНА ВАЛЕНТИНА АНДРЕЕЕНА

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ЕДИНСТВЕННОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1996

Работа выполнена на кафедре высшей математики Ставропольского государственного технического университета

Научные руководители: академик Международной академии информатизации, член-корреспондент АН Таджикской ССР, доктор физико-математических наук, профессор Стеценко В. Я.

кандидат физико-математических наук, доцент Исаев Г.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бахтин И.А.

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Е.М.

Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

Защита диссертации состоится "14" мая 1996 г. в 1520 часов на заседании диссертационного Совета К 063.48.09 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл.,1, ВГУ, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 1996г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Задорожний В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В работе исследуются уравнения вида

х=В(х)+Г,

Ах=Р(х), х=У(х)

(1) (2)

(3)

(4)

с линейными или нелинейными операторами В(х),Р(х),У(х), монотонными , однородными, положительными, полуаддитивными на предмет существования у этих уравнений положительного решения, оценки значений параметра при которых существует это положительное решение. При этом соответствующие уравнения (1),(2),(3),(4) рассматриваются в банаховом пространстве Е, относительно которого предполагается,что в нём введена полуупорядоченность при помощи конуса К- множества неотрицательных элементов. Уравнения (1)-(4) с указанных позиций являлись объектами многочисленных исследований, проводимых М.Г.Крейном, Л.К.Канторовичем, М.А.Красносельским, м.Л.Коллатцем, И.Шредером, И.А.Бахтиным, Ю.В.Покорным, В.Я.Стеценко и их последователями и учениками.

Тог факт, что задачи являлись объектами изучения многочисленных авторов, легко объясним, так как соответствующие уравнения являются абстрактной формой записи ряда интересных задач, в том числе и прикладного характера. (Достаточно упомянуть системы алгебраических уравнений, интегральные уравнения, краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики, задачи математической экономики, теории ядерных реакторов и др.). Несмотря на достаточно содержательное развитие этой теории существуют определённые области теории, которые по тем или иным причинам не получили должного развития, а это ограничивало дальнейшие возможности применения теории к исследованию ряда интересных задач.

Данная работа посвящена попыткам восполнить соответствующие пробелы теории в направлениях, о которых более подробно говорится в описании содержания работы.

Цель работы: Получить новые теоремы существования положительного решения нелинейного операторного уравнения второго рода, оценить значение параметра А,для которых эти решения сущест-

вуют, получить признаки существования положительного собственного вектора у нелинейного операторного уравнения-(3), получить оценки (векторные) решения,а также оценки абсолютной и относительной погрешностей приближенного решения таких уравнений.

Методика исследования. В работе применяются и развиваются методы исследования линейных и нелинейных операторных уравнений, рассматриваемых в полуупорядоченных банаховых пространствах, а также в банаховых пространствах, в которых введены две полуупорядоченности, установленные при помощи двух конусов Ki и К, причём KCKi, разработанные в работах М.А.Красносельского и его учеников (И.А.Бахтина, П.Н.Забрейко, Ю.В.Покорного, А.И.Перова, В.Я.Стеценко и др.), а для приложений полученных результатов применяется, как правило, известная методика сведения конкретных задач к операторному уравнению того или иного класса. В работе используются понятия и терминология из теории полуупорядоченных пространств и положительных операторов.

•Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В вещественном банаховом пространстве Е с конусом К (соответственно, с двумя конусами К и Ki, KCKi) получены новые факты по теории нелинейных операторных уравнений. В частности :

1) доказаны новые теоремы существования положительных решений, разработаны методы фактического решения (точного или приближённого) ;

2) указана локализация множества значений параметра для которых уравнения (2), (3) с линейными (В(х)), соответственно, нелинейными (F(x)), операторами имеют положительное решение;

3) получены новые оценки решения уравнения (2);

4) указаны новые оценки . спектральных характеристик

\(В),Х(В) оператора В, являющихся в нелинейном случае аналогом понятия спектрального радиуса линейного оператора;

5) установлены новые признаки существования положительного собственного вектора у нелинейного оператора В(х);

6) указан метод, позволяющий построить приближения к собственному вектору по недостатку и по избытку, а также метод оценки относительной погрешности полученных приближений.

Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи, математи-

ческим обоснованием результатов.

На защиту выносятся:

1) новые теоремы существования положительных решений нелинейных операторных уравнений второго рода, а также методы фактического решения ( точного или приближенного);

2) новые векторные оценки решения операторного уравненния второго рода;

3) оценки снизу и сверху спектральных характеристик А(В), Л(В) оператора В(х);

4) новые теоремы существования положительного собственного вектора у нелинейного положительного оператора В(х);

5) метод построения приближения к положительному собственному вектору линейных и нелинейных операторов по недостатку и по избытку;

5) оценки относительной погрешности метода последовательных приближений при решении нелинейных уравненний с операторами обобщенного сжатия.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории нелинейных операторных уравнений и в их приложениях к теории нелинейных интегральных уравнений, краевых задач для уравнений математической физики, в задачах математической экономики (задачи балансов многосекторкой экономики, задача производственного согласования отраслевых систем и т.д.).

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры высшей математики СтГТУ (1992-1995 г.г.), на ХХШ (1993 г.), на XXIV (1994 г.), на XXV (1995 г.) научно-технических конференциях СтГТУ, на IX научно-технической конференции СВВИУС (1995 г.), на конференции Международной школы-семинара (1995 г., г.Теберда), на научной конференции "Современные методы нелинейного анализа" , посвященной 75-летио М.А.Красносельского. (1995 г., г.Воронеж).

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 10 научных работах, в том числе тезисах пяти докладов, пяти статьях.

В совместных работах [2,3,4] постановка задачи принадлежит научному руководителю В.Я.Стеценко, а исследование - диссертанту. Все вошедшие в диссертацию результаты (гл.1 - гл.З), за иск-

лечением §3.2, #3.3, полученных диссертантом в соавторстве с руководителем Стеценко В.Я., принадлежат диссертанту.

Структура диссертации. Диссертация содержит 141 страницу и состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 53 наименований.

Автор Еыражает благодарность своему научному руководителю В.Я. Стеценко за постановку задачи и руководство работой.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В f 1.1 рассматриваются уравнения второго рода

x-B(x)+f (1)

с нелинейным монотонным оператором В(х), определённом на элементах хек, при этом предполагается, что В(х)бК при х£К.

Предполагается также, что В(х) - полуаддитивный оператор и удовлетворяет также следующему условию:

B(tx)>twB(x), (t>l,«-const, 0««<1). (6)

В приводимых ниже результатах сохранена та же нумерация,что и в основном тексте диссертации.

Введены определения непрерывности оператора слева и справа по конусу К в точке х*ек для этих операторов.

Теорема 1.1. Пусть для каждого х£К В(х)СК, т.е. В - положительный на К оператор. Пусть конус К нормален.

Тогда В(х) непрерывен слева по конусу К в любой точке х* конуса К.

Аналогично формулируется теорема о непрерывности оператора справа.

В связи с соответствующими приложениями теории некоторые из полученных в § 1.1 результатов развиваются на случай пространств, в которых введены две полуупорядоченности. Приведём некоторые из утверждений в § 1.1, установленные на этом пути.

Теорема 1.2. Пусть К и Ki- конусы в Е, причем К^- нормален, а оператор А - аддитивен, однороден и AKiCK.

Тогда оператор А непрерывен слева по конусу Ki в каждой точке конуса К.

Теорема 1.4. Пусть операторы А и В оставляют инвариантными

конус К и монотонные на К относительно Кь т.е. из х,у£К, х<!у 1 %

следует, что кглку (В(х)«,В(у)). Пусть, далее, оператор А и0-ог-

раничен сверху на конусе К и

АП|и0< Х0ио- (1-16)

Наконец, предположим, что оператор В(х) подлинеен относительно

оператора А, АКаСК и что конус К является Ка,-нормальным конусом.

Тогда уравнение

Ах-В(х)+£ (1.17)

при всех 1Гек имеет, по крайней мере, одно решение х*£К для всех

Это решение может быть получено по методу последовательных приближений:

АХП+1=В(ХПЖ. (П=0,1,2,... ) (1.18)

при х0=(1/А)-Г. При этом в К не может быть двух сравнимых по конусу «1 решений уравнения (1.17).

Теорема 1.5. Пусть конус К нормален, оператор А положителен А'^ио^Хсио (и0ек, 110*9).

Тогда для и при любом £€Еи0 последовательные прибли-

жения

хп=(1/Х)(Ахп-1+П (п=1,2,...) (1.27)

сходятся к решению уравнения

\У"Ау+е, (1.24)

начиная с любого нулевого приближения д£Ец0, для которого при некотором р0 выполняется включение

р

А °(Х£-Ад-Г)еК. (1.28)

Теорема 1.6. Пусть конус К нормален, положительный оператор А и0-ограничен сверху и

Ати0<А0и0 (и0ек,и0^8).

т_

Тогда при \> \/\0 к любого £ £ ЦК) последовательные приближения (1.27) сходятся к решению уравнения (1.24) при любом

выборе начального приближения д€ЦК), удовлетворяющего одному из

условий:

е к, А^Ав-Аг-п е (-к). ц.зо)

. Утверждения ряда теорем § 1.1 остаются в силе, если требование подлинейности оператора В заменить некоторыми дополнительными условиями, предъявляемыми к свойствам конусов.

В $ 1.2 рассматривается уравнение вида

\х=В(хЖ (1.36)

параметром А в банаховом пространстве Е, полуупорядоченном конусом К, который предполагается телесным и нормальным. Относительно оператора В предполагается, что В-положителен и монотонен на К, однороден.

Самым естественным примером оператора, обладающего перечисленными свойствами, является линейный положительный оператор. В этом параграфе показано,что для уравнений вида (1.36) имеет место достаточно полная аналогия с теорией положительных операторных уравнений, т.е. уравнений вида

Хх=Ах+1Г, (1.39)

где А - линейный положительный оператор.

В теории линейных уравнений (1.39) важную роль играет спектральный радиус г(А) оператора А. Для случая уравнения (1.36) аналогом г(А) является, как будет установлено ниже, число

А(В) - спектральная характеристика оператора В. В этом параграфе

устанавливаются новые связи между положительной разрешимостью уравнения (1.36) и "расположением" параметра А относительно А(В), рассмотрены оценки решения х* уравнения (1.36) и ряд других вопросов, связанных с этим уравнением. _

Следующая теорема позволяет получить оценку А(В) сверху,

исходя из поведения оператора В на одном фиксированном элементе конуса К. Заметим, что в теореме 1.11 телесность конуса К не используется.

Теорема 1.11. Пусть оператор В(х) 110-ограничен сверху и для некоторого Уо>0:Уо>йио, где РО, выполнено неравенство:

В(У0Х«У0. (1.41)

Тогда

А(В)<<х. (1.42)

Следующий результат показывает, что А(В) является полным

д

аналогом спектрального радиуса полуаддитивного однородного оператора.

Теорема 1.12. В условиях теоремы 1.11 для каждого Л:А>а и каждого £>о уравнение (1.36) имеет и при том единственное решение х*=х(И>8 , которое может быть получено методом последовательных приближений (1.18) при любом начальном приближении хо>8. При этом справедлива оценка погрешности ( 1.56):

-^[б1(а№)]/С1-(сс/:ОШо <х*-хп <-Т51(ап/Лп)-?/[1-(ап/Хп)]>,/0,

где 51>0 таково, что -5У0 < хх-х0 < 5У0.

Имея эту оценку легко получить оценку близости хп к х* в норме пространства Е. В самом деле, из этой оценки, в силу нормальности конуса К вытекает следующая оценка:

¡1 х*-хп II а^1Х/(А-а)](а/Х)п ||У0||.

В итоге результаты § 1.2 позволяют получить эффективные достаточные условия положительной разрешимости уравнения (1.35), определить множество значений параметра А, при которых это уравнение имеет единственное решение к для которых сходится метод последовательных приближений, а тагасе содержит оценки близости п-го последовательного приближения к точному решению этого уравнения.

В § 2.1 продолжается изучение свойств характеристики А(В) при менее жёстких, по сравнению с § 1.2, ограничениях. В частности, не предполагается телесность конуса К, вместо неё вводится существенно менее жёсткое предположение о том, что оператор и0-ограничен сверху.

Теорема 2.1. Пусть оператор В(х) является и0~ограниченным СЕерху и

Вт(и0) < ощ0. (2.1)

Тогда

МВ) <Ш/Т . (2.2)

Аналогично (теорема 2.1) указана оценка для А(В) снизу, исходя из поведения оператора В на одном фиксированном ненулевом

элементе и конуса: из неравенства В(и)>|Ш следует неравенство Л(В)>3.

В § 2.1 диссертации вводится ещё одна новая характеристика Л(В) однородного монотоннного оператора В(х). В частности, доказана теорема:

Теорема 2.4. Пусть конус К телесен, а оператор В(х) монотонен, однороден и неразложим.

Тогда

Л(В)>Л(В). (2.10)

В случае, когда наряду с условиями теоремы 2.4 выполнено ещё одно дополнительное условие полной непрерывности оператора В(х) вместо неравенства (2.10) имеет место равенство: А(В)=А(В).

В § 2.2 для доказательства этого равенства устанавливается теорема о существовании положительного собственного вектора у оператора В(х).

Теорема 2.5.Пусть конус К нормален, телесен, а оператор В(х) и0-монотонен, где и0- внутренний элемент К, однороден и вполне непрерывен, причём Х(В)>0.

Тогда А(В) -позитивное собственное значение оператора В(Х).

Далее (теорема 2.6) устанавливается, что собственное подпространство оператора В(х), отвечающее собственному значению

Х(В)=\(В)

одномерно.

Приводится также теорема, показывающая, что \(В) обладает другими важными свойствами спектрального радиуса линейного оператора.

Теорема 2.7. Пусть конус К телесен, а однородный, монотонный, полуаддитивный оператор В(х) неразложим.

Тогда для каждого \>А(В) я каждого Г>9, уравнение (1.36) имеет и при том единственное решение х*=х(Г)>в, которое можно получить методом последовательных приближений (1.18) при любом начальном элементе х06К.

Указано также развитие этой теоремы на случай пространства, конус К которого не обладает свойством телесности.

Заключительный пункт §2.2 посвящен доказательству признака неразложимости нелинейного оператора.

В § 3.1 доказаны теорема существования решения, теорема единственности решения, теорема о непрерывной зависимости решения уравнения x=U(x,A) от параметра X.

Наибольший интерес, как нам кажется, представляют результаты п.3.1.3. этого параграфа. В этом пункте приводится теорема об оценке близости решения двух близких (в некотором смысле) операторных линейных уравнений.

Приводится также теорема об оценке решений. Теорема об оценке решения. Пусть U0,V0 - такие два элемента, что

/ Vo>AiVo-A2Uo+f+R(xi) OVi) | Uo<A1Uo-A2Vo+f0-R(Xi) (-Ui),

где f°, f такие элементы, что f°<f<f, a p и q такие две неотрицательные постоянные, что

Ui-Uo>P(Vo-Vi). Vo-Vi5q(Ui-Uo)

и

m=min(p,q).

Тогда, при выполнении всех предположений этого пункта, уравнение

V=(Bi-B2)y+f (3.27)

имеет решение у*,причем

(Ui4mV)i/(l+m)<y*< (Vi+mUi)/(i+m)

и, в частности,

Ul<y*4Vi (3.29)

В § 3.2 рассматривается задача на собственные -значения, т.е. задача отыскания ненулевого решения уравнения

Xx=F(x) (3.63)

где F(x) - нелинейный или линейный оператор, действующий в бана-

ховом пространстве Е, полуупорядоченном конусом К, причем F(х)ек при хек, иными словами, оператор F(x) положительный. Как известно, при определенных предположениях относительно F или К уравнение (3.63) может иметь для некоторого А=Л0 (или для множества значений А) решение (или множество х(Х) решений),принадлежащее К, т.е., иными словами, положительный собственный вектор. К отысканию положительных собственных векторов нелинейных, а также линейных оператров приводят многочисленные физические, технические, экономические задачи. Однако, как правило, собственный вектор х* может быть найден точно лишь в редких случаях, поэтому возникает задача построения достаточно точного приближения к собственному вектору.При этом особый интерес представляют такие приближения и,V к х*, которые удовлетворяют неравенству:

иск* а

такие приближения естественно рассматривать как приближения по недостатку (U) и по избытку (V) к собственному вектору х*. В связи с этим возникает вопрос и об оценке погрешности. Естественно, что в задаче на собственные значения (особенно в случае линейного оператора) особый интерес представляет оценка не столько абсолютной, сколько относительной погрешности приближения к собственному вектору. Несомненный интерес представляет также построение таких последовательностей Un,Vn, которые сходятся к х* и при этом l)n-Cx*<Vn>

В § 3.2 указан метод построения приближений Un, Vn таких, что Un«x«Vn, при этом Un,Vn при п -» » сходятся к собственному вектору х* оператора А, отвечающему г(А) и устанавливается явная оценка относительной погрешности, которая получается, если за х* принять элемент Un(Vn)■

Далее рассматривается уравнение (3.63) с нелинейным оператором F(x), действующим в полуупорядоченном пространстве Е с нормальным конусом К. Оператор F(x) будем предполагать монотонным на К. Кроме того предполагается, что

FtccxXo/Vtx) (3.87)

для всех хек и всех ot£Cl;+«>) , где |i<l, ц-const.

Теорема 3.3. Пусть для некоторого U0£K, и0*8, элементы U0 и F(U0) принадлежат одной составляющей конуса К. Пусть оператор

Р(х) удовлетворяет условию (3.87).

Тогда для всех \е(0;+'») оператор Р(х) имеет на Ск(1)0) собственный вектор х*(А), отвечающий собственному значению А. Собственный вектор х*(А) может быть получен методом последовательных приближений

Ахп=Р(Хп-1) (п-1,2,...) (3.93)

при любом начальном приближении х0бСк(и0). При этом справедливы оценки

«Х*-Хп|| !Рп <Рп

- <М(е -1)е - (3.94)

где N - постоянная нормальности конуса К, а

ft"

- d(Xi,Xo) -О

l-|i n-»03

d(x,y) - постоянная, вычисляемая по некоторой явной формуле.

До сих пор мы рассматривали уравнение (3.63) с нелинейным оператором F(x), яеляющимся монотонным на К. Ряд задач сводится к уравнениям вида (3.63), в которых оператор F(x) антимонотонен: т.е. из 8<xi<x2 следует, что F(xi)>F(X2).

Для уравнений с антимонотонными операторами доказано:существование положительного решения уравнения x=F(x) и при некоторых дополнительных предположениях теоремы о единственности решения, о сравнении решений и сходимости метода последовательных приближений к этому решению.

В § 3.3 для исследования уравнений с равномерно вогнутыми операторами использован следующий принцип неподвижной точки.

Теорема 3.9. Пусть оператор F(x) преобразует в себя полное метрическое пространство^,р} и является оператором обобщённого сжатия на {Х,р>.

Тогда F(x) имеет в X и при том единственную неподвижную точку х*:

F(x*)=x*. (3.119)

К неподвижной точке х* сходятся последовательные приближения xn=F(xn-i) (п=1,2,...) (3.120)

при любом начальном приближении x0<=X.

В процессе доказательства георемы фактически получена оценка близости приближения хп к неподвижной точке х*.

В п.3.3.3 этого параграфа, используется понятие равномерно и0-вогнутого оператора.

Теорема 3.11. Если оператор F(x) равномерно и0-вогнут на конусном отрезке <|j.U0(vU0> , го F(x) является на множестве <fj.U0, \>U0> оператором обобщённого сжатия метрического пространства <|iU0.vU0> с метрикой d(x,y).

Теорема 3.13. Пусть оператор F(x) равномерно 1!с-вогнут на конусном отрезке <(iU0,vt!0>,' а конус К нормален.

Тогда F(x) имеет на <jj,U0, vU0> единственную неподвижную точку х*. К этой неподвижной точке сходятся последовательные приближения xn=F(xn-i) (п=1,2,...) при любом начальном приближении x0e<uU0) vU0>. Эта теорема и теорема 3.14,(которую приведём ниже), существенно, на наш взгляд, развивают исследования И.А.Бахтина в плане получения оценок абсолютной и относительной погрешностей приближения хп к решению х*.

Теорема 3.14. В услозиях теоремы 3.13 имеет место оценка

||х*-хп|1 г s -I £

—--< 2Ne +1 (е -1) (3.130)

№ II L J

относительной погрешности приближения хп. Здесь n-число, выбираемое по £>0 так, чтобы для него выполнялось неравенство

d(xn.xn-i)^niin{£/2, min ln[l+n(ti,v,u/v,e~4)) , (3.129)

в котором функция Tj(n,v,a,b) -из определения равномерно вогнутого оператора.

В п.3.3.4 рассматриваются достаточно общие признаки равномерной и0-вогнутосги нелинейных интегральных операторов типа Гаммерштейна:

FCx(t)]=JK(t,s)f[s,x(s)]ds, (3.133)

й

где K(t,s) непрерывное равномерное ядро, действующего в С(й)

оператора, a f(s,u) (s е Î2,u>0) непрерывна по совокупности переменных, неотрицательная и почти при всех s положительна при и>0.

Леша 3.8. Пусть ядро K(t,s) равномерное, а функция f(s,x) v-квазивогнутая.

Тогда оператор Ftx(t)] равномерно вогнут и оставляет инвариантным каждый конусный отрезок <au0,flu0>, где u0=u0(t)-функция u0(t)=JK(t,s)ds, (tffl) (3.132)

Й

а а и В такие положительные числа, что «<1<р и

a1" u0< F(u0) «В1- Uo Леша 3.8. Пусть F(x) оператор обобщенного сжатия, преобразующий некоторый шар Т(х0.г,)=Чх:x€R, р(х,х0К£,> метрического пространства R в себя.

Тогда F(x) преобразует в себя также и множество М=Т(Хо,0ЛТ[Х1Д-Д(0],

где xi=F(x0).

Теорема 3.15. Пусть K(t,s) - непрерывное, неотрицательное

ядро

a-iKt)<l>(s)< K(t,s)« b-cp(t)Ms), а>0, Ь>0, ф(б)>0

f(s,x) - непрерывная по совокупности переменных, положительная при х>0 и f[s,ï<p(s)]>0,(s e й) невозрастающая по x функция, причем для некоторой положительной возрастающей при х>0 и вогнутой функции w(x) функция

g(s,x)=w(x)f(s,к) не убывает. Пусть для некоторых <*о>0, eo>0, («0<B0) выполняются неравенства

F[«oU03 « BoUo. FCCoUol > «oUo (3.136)

Тогда уравнение

x(t) = £ K(t,s)fCs,x(s)]ds (sSÎ) (3.137)

имеет единственное неотрицательное решение x*(t), к которому сходятся по метрике d(x,y) последовательные приближения

xn(t) - ^ K(t,s)f[s,xn-i(s)]ds, (п=1,2,..) при любом начальном приближении xQ(s) б C(S2), xo(s)>0.

lakaa 1Ш от /996 г. Тир. WO_, Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Галкина В.А. К теории итерационных методов решения нелинейных операторных уравнений /Ставроп. политехи, ин-т.-Ставрополь, 1993. -21с.- Деп. в ВИНИТИ, 1071- В 93.

2. Галкина В.А., Стеценко В.Я. Оценка относительной погрешности метода последовательных приближений при решении уравнения с оператором обобщенного сжатия / Ставроп. политехи, ин-т.-Ставрополь, 1993.-18с.- Деп. в ВИНИТИ, 1070 - В 93.

3. Стецэнко В.Я., Галкина В.А. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов / Ставроп. политехи. ин-т.- Ставрополь, 1993. -26с.- Деп. в ВИНИТИ, 1059- В 93.

4. Стеценко В.Я., Галкина В.А. К спектральной теории однородных неразложимых операторов //13-й научно-технический сборник СВВИУС. - Ставрополь, 1995. - с. 108-112.

5. Галкина В.А. О некоторых свойствах однородного U0-монотонного оператора В(х) //13-й научно-технический сборник СВВИУС.-Ставрополь, 1995. - с. 97-99.

6. Галкина В.А. Сходимость последовательных приближений к решению уравнений второго рода с нелинейными операторами // 25-я научно-техническая конференция СтГТУ: Тез. докл.- Ставрополь, 1995, с.45-46.

7. Галкина В.А. Уравнения второго рода с нелинейными операторами // Международная школа-семинар: Тез. докл. - Тебер-да.1995,- С.32.

8. Галкина В.А. О разрешимости уравнений вида Ax=B(x)+f с полуаддитивными монотонными операторами // Научная конференция ВГУ "Современные методы нелинейного анализа": Тез. докл. - Воронеж, 1995. - С.26-27.

9. Галкина В.А. Существование положительного собственного вектора у положительного оператора В(х). Тез.док.: Q-я научно-техническая конференция СВВИУС. Ставрополь, 1995.

10. Галкина В.А. Теоремы о положительных решениях уравнений второго рода с нелинейными операторами //9-я научно-техническая конференция СВВИУС: Тез. докл. - Ставрополь, 1995.-С.108.