Упорядоченные пары линейных операторов и задача Коши для уравнения Ax'(t)+Bx(t)=0 в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Пучки замкнутых линейных операторов.

§1. Резольвента, спектр. Теорема о разложении

§2. Изолированные особые точки )f(м) спектра линейного операторного пучка.

§3. Корневые подпространства и нормальные собственные числа линейного пучка операторов. 34

ГЛАВА II. Задача Коши для уравнения Дсс''(t) + &ос(-£) =^0 с парой замкнутых линейных операторов.

§1. Связь резольвенты пучка с решениями уравнения

A.x'(-t)+E>OC,(t)—0* Нетривиалъность начального многообразия.

§2. /\ - равномерно корректная и диссипативная задача

Коши.

ГЛАВАШ. Симметрические и диссипативные пары линейных операторов и их расширения.

§1. Линейные отношения и линейные операторные пучки

§2. Аналитическое продолжение А -решений задачи Коши

§3. Примеры.

ДОПОЛНЕНИЕ. Некоторые задачи, приводящие к уравнению вида А X '(-t) ^

§1. Задача отражения сигналов от бесконечной дискретной структуры.ЮЗ

§2. Задача об отражении от конечного отрезка "обобщенной двухпроводной линии".

Хорошо известно, что многие задачи математической физики приводят к изучению задачи Коши для уравнения сс,'(t) - Тх(£)=0 с неограниченным оператором Т в банаховом пространстве. В конце сороковых - начале пятидесятых годов основы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве были заложены в работах Э.Хилле, К.Йосида, Р.Филлипса, Т.Като. Изучением задачи Коши и связанными с нею вопросами (существования и единственности решения, построения решений ЗК с помощью обратного преобразования Лапласа; связи разрешимости, единственности и корректности; равномерной корректности и диссипативности, описания множеств корректности и равномерной корректности и др.) занимались В.Феллер, И.Миядера, С.Агмон, Л.Ниренберг, С.Г.Крейн, П.Е.Соболевский, В.Э.Лянце, Ю.И.Любич, С.Я.Якубов и др. [12, 13, 16, 17, 33, 34, 37, 38] .

Задачи анализа и синтеза различных линейных систем (электромеханических цепей, периодических структур, моделей неоднородных сред), часто сводятся к нахождению вектор-функций ty(-£) » ifYi) » определяемых по заданной функции из дифференциальных уравнений с постоянными вырожденными операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах:

A f'd) +5f(i) =/>W w f(i) = К tfYQ + Mf(i) (2)

В дополнении диссертации показано, что к уравнениям вида (1-2) приводит задача отражения сигналов от бесконечной дискретной структуры, электрическая модель которой получается, если в дискретной модели длинной линии каждый элемент заменить осциллятором. Рассматриваемая схема приведена в [II ] и является прообразом неоднородной среды со сложным законом дисперсии. Системы типа (1-2) изучались в работах А.Г.Руткаса, Д.М.Чаусов-ского [27, 29, 30] . В преобразованиях Лапласа (при нулевых начальных условиях) уравнения линейной системы имеют вид

AA+5)fO)=rr s у+ = ГК+ЫШ+вУ'ПГ •

Таким образом, рассмотрение подобных задач стимулирует интерес к изучению свойств упорядоченных пар операторов (А, или линейных операторных пучков АА* Ё) » а также к исследованию задачи Коши (ЗК) для уравнения вида (I).

ЗК для однородного уравнения с парой ограниченных и неограниченных операторов изучалась С.Г.Крейном, В.Б.Осиповым, К.И.Чернышевым, А.Г.Руткасом в [13,14,27] .

В настоящей работе применяется метод преобразования Лапласа к исследованию представлений и свойств решений ЗК для уравнения

Ax'(t) + 5x(t) = 0, 0< (3) с замкнутыми необратимыми операторами, действующими из банахова пространства X в банахово пространство Y" . Изучаются только решения, непрерывно дифференцируемые в пространстве Ед~ = с нормой графика оператора J\

Эти решения являются решениями уравнения (3) в исходном пространстве X • а также - решениями уравнения [Aocft)] -i-Qjftj^tf в смысле определений, введенных итальянским математиком А.Фавини в [ад] .

Использование метода преобразования Лапласа связано со свойствами «резольвент» А(З^ЯА)'1 i (B+AAJ* ,(3+ААУА , определенных, вообще говоря, не на всем пространстве У или X - область определения оператора /[ * и даже не на плотном в , X* , соответственно, множестве. Сказанное требует различать среди точек Я комплексной плоскости множество ^-регулярных точек пучка ( (3+JA)Л определен на ), леворегулярных ( определен на 7),4 и ограничен) и сильно регулярных ( А наличие в С - спектре (дополнении множества сильно регулярных точек) пучка изолированной ограниченной компоненты обеспечивает непустоту начального многообразия ЗК для уравнения (3).

Указанную характеристику начального многообразия можно получить с помощью доказанной в I главе диссертации теоремы о разложении, являющейся аналогом теоремы Ф.Рисса о приводимости оператора с распадающимся на две компоненты спектром.

Теорема I.I.I. Пусть в ^-спектре пучка операторов JA+3 имеется изолированная ограниченная компонента <ой • В этом случае на определен проектор р , являющийся ограниченным по норме t-A оператором, так что

А Н1-Р)А и, более того, причем Р£)л -Р3)дзе>

В пространстве Y" на многообразии Л ~(AA'h&)3)A& »не зависящем от выбора точки fi^ , определен проектор Q , возможно неограниченный, так что

Д = QA + (I-Q)A (5)

Операторы Р и Q определяются соотношениями

Рх = (2Tuf J (&+AAfAxdA , rfa)

Qy =(2XlfrJA(a+AA)'ydJt уел

Разложения (4), (5) индуцируют пучки AAi+5<, : РЛа,ь~~*

-QA и AAZ + £)Z : ( 1~Р)£>а6

Y - спектры пучков ЯА1+£>^ и ЛАг-+Зг совпадают с и Gу \(о<, » соответственно.

В доказательстве теореш приводятся уточнения, происходящие в заключении теоремы, для случая леворегулярных точек и сильно регулярных, а такке для ограниченного пучка операторов.

Из теоремы I.I.X. следует результат, полученный В.В.Диткинда в [7, 8J для сильно регулярных точек пучка замкнутых линейных операторов

Найденные конструкции проекторов позволяют доказать, что если точка Л0 - изолированная точка спектра пучка и соответствующий проектор Pjo конечномерен, то PJDa есть корневое подпространство. Более того, имеет место

Теорема I.3.I. Для того чтобы точка спектра А0 пучка АД + 6 была нормальным собственным числом (н.с.ч.) необходимо и достаточно, чтобы она была изолированной точкой спектра пучка. ЯА + £> и отвечающий ей проектор Р (эквивалентно Q ) был конечномерным. Если Я0 - н.с.ч., то Р проектирует jT)^ (и ) на корневое подпространство » 9 d проектирует у на (Ё> +JA )<С* (ЯеД (Д 3)) При этом, если с - спектр пучка ограниченных операторов содержит последовательность {Ан,} изолированных собственных чисел и соответствующие подпространства [Р(Л«,)Х} ~(Хп} образуют базис пространства , го система подпространств

Q(An)Y} образует базис пространства У и разложения X "Х+Хл, , Y^^Z + Y/i приводят пучок ЯА+Ь . Если же речь идет о неограниченных операторах, то, как показывает приведенный в § 3 пример, из равенства X ~ ^L + Хп Раз~ ложение Y = V/г, может не следовать.

В указанной выше задаче отражения пространство внутренних состояний (при специальном выборе параметров системы) есть сумма шести подпространств ( Н = ^L + Hi ) » каждое из которых соответствует одной точке спектра

С а ^ Л Яз, Л)

В работе [гв] А.Г.Руткасом доказано, что в подобном случае характеристическую функцию пучка (передаточное отображение системы) можно разложить в произведение множителей, являющихся характеристическими функциями более простых пучков (и, следовательно, являющейся произведением передаточных отображений шести систем).

Для пучка замкнутых операторов имеет место свойство устойчивости корневых кратноотей.

Теорема 1.3.2. Пусть Г - спрямляемый замкнутый контур, ограничивающий некоторую область G'f и обладающий относительно пучка

ЛА+В свойствами:

1) С -спектр пучка ЯА+З внутри Gr состоит из конечного числа нормальных точек у/,, Д2 Д^ \

2) контур Г состоит из С -регулярных точек пучка. Тогда существует такое число ^ О , что для всех операторов С А » С& : X , удовлетворяющих усконтур р обладает свойствами I), 2) также относительно лучков Сб + J СА , причем \?г (СА>Св)=\?г (А, 3) .

Доказательство этой теоремы, являющейся аналогом подобного факта для пучка Л I + Т Г 5 ] , завершает главу I.

Во 2-й главе, как сказано выше, рассматриваются решения уравнения (3) непрерывно дифференцируемые по норме пространства Ед ( А - решения). Всюду в дальнейшем "приставка Л " означает, что соответствующее свойство выполняется в смысле нормы пространства . Для А - нормальной БК с помощью преобразования Лапласа находится соотношение, связывающее полугруппу Ц^ и у - резольвенту пучка. Полученные здесь результаты являются обобщением ряда исследований Э.Хилле, С.Г.Крейна, Ю.И.Любича [12, 16, 34J .

Так, например, для А ~ равномерно нормальной ЗК справедлива Теорема 2.1.2. В полуплоскости /7Я jRe А > hf } ( h - верхняя грань типов А - нормальных решений) существует оператор (3+JA) А » определен, по крайней мере, на многообразии JA начальных векторов, и на каждом векторе U0eJA имеет место представление

Ь+ЛА?Аи. = 7u(i)eMM (Я*Л(кл)X v О где U({) - соответствующее решение. Каждое решение выражается через соответствующий.начальный вектор формулой oi+ioo v , л u(i) = (2iuJ X (.6+ЛА) Аис г «У (d>/i >оX

U-ioo а также формулой и [О = йпь [Я( 5 +JA)~U ТГ1 ^ (t>o) п-*оо * предел в смысле нормы пространства Ьд ). Or (АЛ)

- сумма алгебраических кратноетей всех собственных чисел, попадающих в область (ур .

При условии непустоты / - регулярного множества пучка JA + & в теореме 2.1.4 описано в терминах преобразования Лапласа многообразие начальных векторов, соответствующих А -нормальным решениям.

Нетривиальность начального многообразия обеспечивает также оценка нормы )f - резольвенты

IICd+JAfAl(б> при некотором К&-1 , Re J > . При этом начальному многообразию принадлежат все векторы из [ (3+Л0А) A J^ 1 <3)А С^Яо >с• Указанный результат является обобщением теорем С.Г.Крейна и Ю.М.Любича, рассмотренных в fl2, 16 7. Если в (6) вместо существования ^ -регулярных точек потребовать существование сильно регулярных точек (заметим, что из того, что точка

У*- регулярна, вообще говоря, не следует, что она - сильно регулярна), то получим результат, установленный А.Фавини в fЮ ] для уравнения вида / А t)3 £> % fa ) = f {t).

Предполагая, что +

ЛАГА ограниченный на 3)А оператор, подчиненный при оценке (6) (в X" ) и^ =

-Д)^ » В.Б.Осипов доказал, что начальное многообразие

ЗК содержит все векторы Х0 » удовлетворяющие условию

Хв -[ (5* АоАТА ]гг .

В §2 с помощью полугруппы Ut обычным образом в пространстве определяется А -корректная, А - равномерно корректная, А. ~ диссипативная ЗК. Признаки корректности, равномерной корректности и диссипативности ЗК, сформулированные в терминах резольвенты Ял (Т) для уравнения х'-Тх^О в [l2, 16, 3bl, а также в терминах л -резольвенты для уравнения А ОС. + frxltf^O с ограниченной парой операторов в [27],справедливы для нашего случая, если в соответствующих формулировках заменить резольвентное множество J) (Т7) -множеством у -регулярных точек, а исходное пространство - пространством Ед

Так, например, роль неравенств Миядера-Феллера-Филлипса выполняют при х е , J2e J > и? оценки

J? являющиеся необходимым и достаточным условием А -равномерной корректности ЗК.

В случае гильбертовых пространств }{ , "У ^-диссипа-тивность ЗК характеризуют следующие свойства пары операторов

А , 6 ■■

Теорема 2.2.3. Пусть существует плотное в Х-, - 1А множество М =• 1^1)J)£ . Обозначим через Ь± замыкание оператора Ьм ~ и положим Ai • Если выполнены условия ш а пш & =x&tA?f)J<k&; = о (?) Re (Af $)>0 , д е (8) и при всех ^ е справедливо

А,д, 3^) >0, (9) то ЗК для уравнения (3) А ~ диссипативна, а для уравнения

A* y'M + bi ' 0 < °° диссипативна.

Насколько эти условия близки к необходимым можно судить по следующей теореме:

Теорема 2.2.2. А ~ диссипативная ЗК для уравнения (3) эквивалентна диссипативной ЗК для уравнения вида (3) с парой операторов Ai , &< , действующих из пространства в "Y, — АА1 » пРичем А1 - ограниченный оператор, замкнутый с плотной в У\. 1 областью определения35^. Для того чтобы ЗК была А ~ диссипативной для уравнения (3) и диссипативной для уравнения Ai , необходимо чтобы выполнялись условия (7), (8) и при всех +slAi) I (Ai\£>i) (Rej{>0) - условие (9).

A - диссипативность ЗК и диссипативность ЗК в исходном пространстве могут иметь место одновременно и только порознь, что подтверждают приведенные в §2 примеры.

При^=-/ , условия (8,9), как достаточные условия, установлены В.Э.Лянце [iy] . Они одновременно являются необходимыми, при этом оператор 3> является максимально диссипатив-ным I12J .

Для упорядоченной пары операторов (А, 3) условие (9), выполненное при всех Cj^S/ib означает, по определению, диссипативность пары (А, £>) (или пучка). В отличие от пары 3) , совокупность условий (7)-(9) не является необходимой для максимальной диссипативности пары (Atb) . Например, для максимально диссипативной пары ограниченных операторов С А* , из рассмотренной в дополнении "задачи об отражении", пара операторов (А,Ь) диссипативной не является, т.е. не выполняется условие (9).

Дд - область значений оператора А1

Максимальную диссипативность пучка ЯА + Ь » как показано в §1 главы Ш, обеспечивает: I) наличие при условии (7) в правой полуплоскости точек Я , для которых A(b*XAT*L УД J. либо 2) замкнутость области значений оператора В+ЛА (&еЛ>0) при выполнении для этого пучка условий (7)-(9). При этом справедлива

Теорема 3.1.3. Если пучок Л А* б > для которого J&cAfl 1)ЛжЬ = 0 ч 3)g = Ед , диссипативен и при некотором Я{ЛеЯ>0) Д~5+АА Ф Y 1 то 0Е Д°пУскае!Г Расширение до максимального диссипативного.

Эти результаты являются аналогами теории максимальных дисси-пативных операторов, построенной Р.С.Филлипсом [33 7 .

Максимальная регулярная диссипативность пары операторов f > обобщает понятие регулярной диссипативности оператора и имеет место

Теорема 3.2.1. Если пучок » У которогоflJ&^d^O, и при некотором Я (/}в2>0) область значений замкнута, является регулярным диссипативным, то есть z}c >0 такое что то А - решения ЗК для уравнения (3) допускают продолжения в сектор Id/cg tt/ictcjc , внутри которого они будут аналитическими функциями. Соответствующая полугруппа Ufa) допускает аналитическое продолжение как полугруппа сжатий в указанный сектор.

Примеры уравнений, для которых соответствующие полугруппы допускают аналитическое продолжение как полугруппы сжатий, приведены в §3 главы Ш. Одним из них является уравнение типа (3) с операторами: лА о \ ю / л& о л ={о о) . *'(о I где Д4 , А % - замыкания операторов, порожденных в L2 (&) соответствиями * ~ и через обозначено

Дифференциальные выражения Afe, V) ibA&D) предполагаются сильно эллиптическими с достаточно гладкими коэффициентами в замкнутой области G* ^ - мерного пространства.

Естественно, что для пучка ограниченных операторов все рассмотрения проводятся без обращения к пространству • Так, в "задаче об отражении" (дополнение), максимальная диссипатив-ность пучка Я А*+ обеспечивает диссипативность ЗК для однородного уравнения Ax'ft) + 3 сс(О = 00f О) = 2С0

В некоторых случаях удобно связывать изучение свойств операторного пучка ЛА + 5 с линейным отношением, порождаемым парой операторов (А3 3) » в пространстве

У ©У.

В §1 главы Ш с помощью такой связи строятся самосопряженные и несамосопряженные расширения симметрических сжимающих линейных операторных пучков, а также положительные самосопряженные расширения симметрических положительных линейных операторных пучков.

В работе Э.А.Коддингтона и Х.Сноу [32 J описаны положительные самосопряженные расширения положительных симметрических линейных отношений, причем в этой работе неявно содержится возможность построения расширенного линейного отношения, порождаемого, как и исходное, парой операторов.

Одним из результатов главы Ш является

Теорема 3.2.2. Пусть симметрическая положительная пара операторов (А, В) допускает не единственное самосопряженное положительное расширение. Тогда пара (А, 5) имеет максимальное несамосопряженное диссипативное расширение. Более того, для любого положительного числа С существет регулярно диссипативное расширение пары (А, 3) , а также существуют такие максимально диссипативные расширения, которые регулярно диссипа-тивными не являются.

Из этой теоремы следует

Теорема 3.2.3. Пусть для пары операторов (Л3 3) имеет место соотношение *DA , а пара операторов (А+>£> ) удовлетворяет условиям теоремы 3.2.2. Тогда для любого положительного числа С можно так подобрать начальное многообразие

JА , что решения уравнения /[ X '(£) +Bx(t) - О допускают аналитическое продолжение в сектор $/^Q/lctg С . При этом соответствующая сжимающая полугруппа аналитически продолжается в указанный сектор, как полугруппа сжатий.

Указанные теоремы являются обобщением для линейных операторных пучков ряда результатов Э.Р.Цекановского £*1, 35, 36].

В дополнении изучаются спектры операторных пучков, возникающих в задаче об отражении сигналов от бесконечной дискретной структуры и ее континуального аналога.

На защиту выносятся следующие основные положения £21-25] :

1) теорема о разложении линейного пучка замкнутых операторов, являющаяся аналогом теоремы Ф.Рисса о приводимости оператора с распадающимся на две компоненты спектром;

2) установление связи между у - резольвентой пучка и преобразованием Лапласа Л - решений ЗК для уравнения

A+ bx(-6)~0 с замкнутой парой операторов;

3) характеристики начального многообразия Л - решений ЗК;

4) признаки А - равномерной корректности, А - дисси-пативности ЗК, сформулированные в терминах ^ - резольвенты пучка ;

5) достаточные условия А - диссипативности ЗК в гильбертовых пространствах;

6) достаточные условия, при которых сжимающая полугруппа, соответствующая ЗК Ах'(£)+ Е>х(£) х(0)=ССо в пространстве Ед , аналитически продолжается как полугруппа сжатий в некоторый сектор правой полуплоскости, содержащий положительную полуось и симметричный относительно нее;

7) построение самосопряженных и несамосопряженных расширений симметрических сжимающих упорядоченных пар линейных операторов, а также положительных самосопряженных и несамосопряженных расширений положительных симметрических упорядоченных пар линейных операторов;

8) описание спектров операторных пучков, возникающих в задаче об отражении сигналов от бесконечной дискретной структуры и ее континуального аналога.

Автор благодарен научному руководителю А.Г.Руткасу, а также кандидату физико-математических наук, доценту Э.Р.Цекановскому за постановку некоторых вопросов и внимание к работе.

1. Арлинский Ю.М., Цекановский Э.Р. Несамосопряженные сжимающие расширения эрмитова сжатия и теоремы М.Г.Крейна. - Успехи мат. наук, 1982, т.37, вып.Х, с. 1.I-I32.

2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1966. - 543 с.

3. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов, К.: Наукова думка, 1965. - 798 с.

4. Горбачук М.Л., Кочубей А.Н., Рыбак М.А. Диссипативные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций. Докл. АН СССР, 1972, т. 205, Ш 5, с. 1029-1032.

5. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. - 445 с.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы (спектральные операторы). М.: Мир, 1974. - 661 с.

7. Диткин В.В. Некоторые спектральные свойства пучка линейных операторов в банаховом пространстве. Мат. заметки, 1977, т. 22, № 6, с. 847-857.

8. Диткин В.В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных ограниченных операторов. Мат. заметки, 1982, т. 22, №6,с. 75-79.

9. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

10. Крейн С.Р., Осипов В.Б. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных. Дифференц. уравнения, Минск, 1970, т. 6, №11, с. 2053-2061.

11. Крейн С.Г., Чернышев К.Й. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в Ё> -пространстве. Новосибирск, 1979. -18 с. - (Препринт СО АН СССР, Ин-т математики).

12. Лившиц М.С. Операторы, колебания, волны (открытые системы).-М.: Наука, 1966. 300 с.

13. Любич Ю.И. Классическое и локальное преобразование Лапласа в абстрактной задаче Коши. Успехи мат. наук, 1966, т.21, № 3, с. 3-51.

14. Лянце В.Э. Об одной краевой задаче для параболических систем дифференциальных уравнений с сильно эллиптической правой частью. Мат. сб., 1954, т.35, № 2, с. 357-369.

15. Михайлец В.А. О разложимых и секториальных граничных задачах для операторного уравнения Штурма-Лиувилля. Укр. мат. журн., 1974, т. 26, Ш 4, с. 450-459.

16. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

17. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1969. - 529 с.

18. Радбель Н.И., Руткас А.Г. О линейных операторных пучках и неканонических системах. Теория функций, функцион. анализ и их прил., Харьков, 1973, вып. 17, с. 3-14.

19. Радбель Н.й. Расщепление спектра и нормальные точки линейного пучка операторов в Ё> пространствах. - Вестн. Харьков, ун-та, 1974, to ИЗ, выл. 39, с. 17-20.

20. Радбель Н.И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Az'(t) +Зх/£) = 0 . -Ди<М)еренп .уравнения ^ЛДинск. 1979. Т. 15. № 6. с. 1142-1143.,

21. Радбель Н.И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения А (£)+&%-£)= О , Минск, 1978. - 23 с. - Рукопись представлена редколлегией Всесоюзного журнала "Дифференц. уравнения". Деп. в ВИНИТИ 5 дек. 1978, № 3680-78.

22. Радбель Н.И. Симметрические и диссипативные линейные операторные пучки и задача Коши для уравненияДонецк, 1983. 12 с. - Рукопись представлена Донец, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 19 янв. , 1983, № 305-83 Деп.

23. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу 2-е изд. перераб. и доп. М.: Мир, 1979. - 587 с.

24. Руткас А.Г. Задача Коши для уравненияДифференц. уравнения, Минск, 1975, т. II, te II, с.1996-2010.28. руткас А.Г. К теории характеристических функций линейных операторов. Докл. АН СССР, 1976, т. 229, № 3, с.546-548.

25. Руткас А.Г., Хиргий Н.И. Полугруппы мономорфизмов графов в дискретных структурах. Теория функций, функцион. анализ и их прил., Харьков, 1974, вып. 19, с. III-I25.

26. Руткас А.Г., Чаусовский Д.М. Об одном классе линейных автоматов на графах. Кибернетика, 1969, № 3, с. 11-16.

27. Толстов Ю.Г., Теврюков А.А. Теория электрических цепей. -М.: Высшая школа, 1971. 296 с,

28. Функциональный анализ. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1972, - 544 с. - (Сер. "Справочная матем. б-ка").

29. Филлипс Р.С. Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных.Математика / сб. переводов, 1962, 6:4, с. 11-70.

30. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 829 с.

31. Цекановский Э.Р. Несамосопряженные аккретивные расширения положительных операторов и теоремы Фридрихеа-Крейна-Филлип-са. Функцион. анализ и его прил., М., 1980, т.14, № 2,с. 87-89.

32. Цекановский Э.Р. Расширения Фридрихса и Крейна положительных операторов и голоморфные полугруппы сжатий. Функцион. анализ и его прил., М., 1981, т.15, № 4, с.91-93.

33. Якубов С.Я. О разрешимости задачи Коши для эволюционных уравнений. Докл. АН СССР, 1964, т. 156, № 5, с.1041-1044.

34. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Функцион.анализ, Труды йн-та матем. АзССР, 1967, с.187-206.

35. СМиубт, ё.а., Sn*rMS. V.O&-.Л^&си,- МаМ. fat., /59, л/3 , f>. 203-2М.40. ^frcPinc (X. z£>a^>/a,ce г^ъаш^еъпге. /n^Atyd J^z.Hm>d. m,<U„ j97-9, /г, //3-4Л />. 5-f<-s36.