Устойчивость классов аффинных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

V Б ОД

б РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи Егоров Александр Анатольевич

УЛК 514.757.3

УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 01.01.01. — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализ Новосибирского государственного университета

Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор А. П. Копылое

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н., профессор В. В. Асеев,

заседании специализированного совета К 002.23.02 в И нети ауте математики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирсг Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ин ститута математики СО РАН.

д. ф.-м. н. В. И. Семенов.

Ведущая организация — Омский государственный

университет.

Защита состоится

Автореферат разослан

199 1 I

специализированного совета

Ученый секретарь

к. ф.-м. II.

В. В. Ивано]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В общей метрической теории отображений важное место занимает теория устойчивости классов плоских и пространственны* конформных отображений в классе квазиконформных. Последняя теория восходит к ранним работам М. А. Лаврентьева по теории квазиконформных отображений. Свое дальнейшее развитие она получила в основном благодаря трудам как самого М. А. Лаврентьева, так и Л. Альфорса, П. П. Белинского и Ю. Г. Решетняка. Другим заметным направлением в построении теории устойчивости классов отображений -гтг.чйг»- теория Ф. Джона устойчивости изометрических отображений.

Пово? рмвития л&нн&я теыатита получил» Ыиц-ид^ А. П. Копыловым общих концепций устойчивости в С-нориц кл-гсоя отображений, являющихся попытками построения общих точек зреаия на проблемы устойчивости классов отображений. На данный момент им построено две концепции устойчивости. Первая из них, концепция £-ус-тойчивости классов отображений (А. П. Копылов, 1982 г.), восходит к теории устойчивости класса конформных отображений и регулярным образом с ней согласуется. В рамках этой концепции удалось исследовать устойчивость ряда новых классов. К яим относятся классы многомерных голоморфных отображений, классы С°°-решений систем линейных уравнений в частных производных с С°°-гладкими коэффициентами и другие (А. П. Копылов, О. Л. Безрукова, Н. С. Даирбеков, Н. Н. Тарханов). Вторая из концепций устойчивости классов отображений, концепция и>-устойчивости (А. П. Копылов, 1984 г.), восходит к теории Ф. Джона устойчивости изометрических отображений, регулярно с ней соотносится и представляет собой теорию устойчивости в С-норме классов липшицевых отображений. На основе этой концепции А. П. Копыловым была установлена устойчивость класса отображений / = (Д,...,/[): Д С —•

(К")' с /„(*!,.. .,!*)= Е 9?(гД (*1,.",*ь) € Д, еК", где : К" - И" -

изометрия, 11 = 1,..., V = 1,..., /, и класса С[Р(0) локально липшицевых отображений с фиксированной константой С. В то же время им доказано, что класс РОЬ(к,С) всех отображений / = (Д,.. .,/я.) : Д С К" —► Ит из ЫР(С), координатные функции которых есть многочлены степени не выше к, (¿»-устойчив только в том случае, если этот класс является классом постоянных отображений, т. е. когда 4 = 0.

Цель работы. Диссертация посвящена дальнейшему развитию теории устойчивости в С-норме классов отображений. В ней мы изучаем устойчивость классов аффинных отображений, а также ряд других классов липшицевых отображений на основе концепции ^-устойчивости А.П.Ко-пылова.

Методика исследований. В диссертации используются современные

методы геометрической Теории функций, разработанные в связи с исследованиями устойчивости в теоремах единственности геометрии и анализа, а также ставшие уже классическими результаты из анализа, геометрии, топологии, теории распределений и теории систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

В работе предложены подходы к систематическому изучению устойчивости классов аффинных и классов липшицевых отображений с выпуклыми порождающими множествами. На их основе удалось получить следующие результаты.

Доказана устойчивость классов Я аффинных отображений, порождающие множества ЛЯ = {Од, д £ Я} С ¿(И",11т) которых имеют нулевую топологическую размерность.

В случае, когда порождающее множество 1791 есть линейное многообразие пространства £(К",К.т)> найдено достаточное условие для устойчивости класса Я аффинных отображений.

Установлена [¿-устойчивость подклассов О П ЫР(С) пучка О решений неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, уравнения которой не зависят от символов искомых функций.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при изучении аффинных и липшицевых отображений, при исследовании решений систем линейных уравнений в частных производных, а также в дальнейшем развитии теории устойчивости классов отображений.

Публвацп, апробацал работы. Результаты диссертации апробировались на семинарах отдела геометрии и анализа и его лаборатории геометрии и теории функций действительного переменного в Институте математики СО РАН (г. Новосибирск); на семинаре по теории устойчивости классов отображений под руководством профессора А. П. Копылова в Новосибирском государственном университете; на семинаре под руководством профессора В. А. Зорича в Московском государственном университете; на семинаре под руководством профессора В. М. Миклюкова в Волгоградском государственном университете. Основные результаты работы опубликованы в работах (1, 2).

Структура ■ объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, дополнения и списка литературы и содержит 102 страницы текста. Библиография состоит из 43 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ1'

Глава I "«-устойчивость классов аффинных отображений с нульмер-__________

ными порождающими множествами".

Пусть пит — произвольная пара натуральных чисел, и пусть 15" и К"1 — вещественные арифметические евклидовы пространства размерностей пи т соответственно, евклидову норму которых будем обозначать далее символом | • |. Рассмотрим класс ® = {} : Д С К" Кга} отображений в !?"* областей Д пространства К". Заметим, что под областью мы понимаем открытое связное множество.

Предположим далее, что класс в удовлетворяет следующим условиям.

П*. ^уптмггиу^т «^гп^гтпврттл» 7Т" С* — '—" ~

щее от класса в) такое, что для ггяждого отображения д : Д С Й" —» ¡8"" из класса 0 имеет место неравенство

«ед I»-* IV )

02- Если отображение д : Д С Л" —► Кт принадлежит классу 0, 5 — вещественное положительное число, о — вектор пространства И" и Ъ — вектор пространства Кт, то отображение до : До —► Ит, определяемое формулой

До Э г 8'1д(8х + а) + Ъ,

где До = А(Д), а Л(у) = — а), у 6 Н", также принадлежит 0.

03- Если Д — область в 1?", : Д —> Кта}„6м — последовательность отображений из класса 0 и д : Д —► Кт — отображение такие, что д„ равномерно сходится к д на каждом компактном подмножестве Е области Д, то тогда д принадлежит 0.

0$. Если отображение } : Д С К" И"1 принадлежит классу 0 и До — подобласть Д, то сужение д|д0 отображения д на область До также принадлежит 0.

8$. Если отображение д : Д —»Лт области Д пространства К" обладает

свойством: для каждой точки х € Д существует ее окрестность II(х) С Д такая, что сужение /\и(х) принадлежит классу 0, то тогда д принадлежит 0.

Условия 0*-05 были введены А. П. Копыловым2'. Следуя А. П. Ко-пылову, мы называем их условиями нормальности, а класс 0, удовлетворяющий этим условиям, именуем нормальным. Отметим, что если класс 0 ф Й удовлетворяет условиям нормальности, то каждая область пространства К" является областью определения хотя бы одного отображения из класса 0.

В обзоре нумерация всех определений, утверждений, формул и т. п. совпадает с принятой в диссертации.

Копылов А. П. Об устойчивости изометрических отображений // Сиб. мат. журн., 1984, т. 25, X» 2, с. 132-144.

Рассматривая отображение / : Д С R" —► Rm области А в пространство Rm и шар В = г) с центром в точке х и радиуса г, лежащий в Л, положим

"*(/.«):= _ Si .^{'"'»»Pl/íri-íM}.

С помощью определенного таким образом вспомогательного функционала Ufl(-,e) построим ^}ХКЧ*вН«Д

f(/.e) ••= тор вед

гдобадкмов близости и, соответственно, функционал

П(/, в) := вир П(®, /, в) = вир {ES иВ(«,,,)(/, 0)} «ед "—о J

локальной близости к классу в. Функционал 0) глобальной близости измеряет близость отображения / к отображениям класса 0 во всех шарах, лежащих в области определения отображения, а функционал iî(-, 0) локальной близости — только в бесконечно малых. Обращение в ноль значения функционала ш глобальной близости для отображения /, т. е. «(/, 0) — 0, равносильно принадлежности / классу 0.

Центральным понятием в теории (^-устойчивости является следующее.

Определение 1.1.1 (А. II. Копылов2)). Нормальный класс 0 называется u>--)cmottueu*¿\ если существует функция а : [0, оо[—► [0,оо[ такая, что

1) а (с) <т(0) = 0 при г —► 0;

2) для каждого отображения / с П(/, 0) < оо справедливо неравенство

Другими словами, устойчивость класса 0 означает, что локальная близость отображения / к классу 0 влечет глобальную близость »того отображения к классу 0. При »том ^-устойчивость класса 0 равносильна тому факту, что первому условию определения 1.1.1 удовлетворяет функция

iiJe(e) := gup u(f, 0), с > 0. «</.•)<«

В диссертации используется еще одно понятие, полезное при изучении «»»-устойчивости и представляющее несомненно самостоятельный интерес.

Определение 1.1.2. Пусть Ц) — некоторый класс отображений в Rm областей пространства R". Нормальный класс 0 называется ш-насищенным относительна класса ф, если для любого отображения / € 5) условие П(/, 0) 0 влечет принадлежность / классу 0.

Важность »того понятия, в частности, состоит в том, что если класс 0 и>-устойчив, то он w-пасыщен относительно произвольного класса Ц), т. е. ьннасыщенность является необходимым условием (^устойчивости.

3) В силу теоремы 7 статьи Л. П. Копы лова1) это понятие равносильно понятию ^-устойчивости в предельном смысле, на основе которого построена концепция (^устойчивости в цитируемой статье*).

Основная задача рассматриваемой теории состоит в нахождение критериев ^устойчивости для различных классов отображений.

Главным объектом исследования диссертации являются классы аффинных отображений, определяемые следующим образом.----------------------

Определение 1.1.3. Классом аффинных отображений будем называть класс Я, состоящий из ограничений д\д на области Д пространства И" всех аффинных отображений д : Нп —> Нт вида

д(х) = а(х) + Ь, х 6 К", (1.1.1)

где а принадлежит наперед заданному множеству А С £(Кп,Кт), а вектор Ь — пространству Кт. При этом о множестве А будем говорить, как о порождающем для класса Я.

Здесь £{1?п,Кта) — пространство линейных отображений Я" в Нт, операторную норму в г.оюром мы иСозаачаем символом ■ а индуцированную ею метрику — символом Пространство ¿(Я",К"*) мы естественным образом отождествляем с множеством вещественных п X т-матриц.

Заметим, что порождающее множество Л класса Я совпадает с множеством

т ~{пд, д еа}

значений йд производных аффинных отображений д из класса 91. По »той причине, рассматривал класс Я аффинных отображений, мы говорим о

множестве БЯ как о порождающем для класса Я.

Примерами классов аффинных отображений могут служить рассмотренные выше классы /„, РОЬ(0,С), а также классы лоренцевых и псевдоизометрических отображений, устойчивость которых изучалась Л. Г. Гуровым, и класс преобразований гомотетии, исследовавшийся на устойчивость Т. В. Соколовой.

Отметим, что нормальность класса Я аффинных отображений равносильна компактности множества £>Я. Поэтому мы предполагаем далее, что рассматриваемые нами классы аффинных отображений имеют компактные порождающие множества.

Напомним введенное Ф. Джоном понятие областей с конечными внутренним и внешним радиусами.

Определение 1.1.4. Пусть Д — область пространства 1?", а г и Я — положительные числа. Говорят, что г является внутренним радиусом области А, а Л — ее внешним радиусом, если существует точка г € Л такая, что любая точка у 6 Д может быть соединена в Д с точкой г спрямляемой кривой х(#), 0 < » < 5 < Я (параметр $ — длина дуги), для которой г(0) = у, «(5} = г, и для всякого $ 6 [0,5] выполняется неравенство

<;(*(.), АД) >«г/5, (1.1.2)

где <1(х, ЯД) := шГ |г — е| — расстояние от точки х до границы дА обла-сти Д.

Область Д с конечными внутренним и внешним радиусами далее именуем также областью Джона.

Для классов аффинных отображений следующее утверждение является усилением теоремы 1 из статьи Л. П. Копылова}\

Теорема 1.1.1. Пусть SI — нормальный класс аффинных отображение, Д С R" — облаеть Джона с внутренним радиусом г * внешним радиусом R. Тогда для каждого отображения /: Д —»Rm с ш(/,Я) < оо существует отображение g : Д —► Rm из класса St такое, что

II/ - illс(д.«-) == вир |/(*) - í(*)| < Mí, Я)Я2/г < 4«<6я(П(/, Я))Я2/г. (1.1.3)

В случае устойчивого класса Я соотношения (1.1.3) дают оценку устойчивости втого класса в целой области.

Во втором параграфе данной главы доказывается основной ее результат о достаточности нульмерности порождающего множества для и-устойчивости класса аффинных отображений. При атом также устаг навливается, что это условие является и необходимым в случае, когда размерности пространств R" и R™ равны 1.

Теорема 1.2.1. Пуст* пит — произведшие натуральные числа «01 — норл4»д»кы< класс аффинных отображений a Rm областей пространства R" с dimZ/Я = 0. Тогда Я — ш-устойчие.

Теорема 1.2.2. Пусть n = m = 1. Тогда нормальный класс а аффинных отображений ш-устойчив в том * только том случае, если dim £81= 0.

Теорема 1.2.1 фактически означает, что если отображение / локально близко к отображениям класса Я аффинных отображений с нульмерным порождающим множеством, то оно близко в С-норме к классу Я и глобально. Важной и интересной задачей представляется изучение близости производных такого отображения / к производным отображений из класса Я.

Решению этой задачи для классов аффинных отображений с нульмерным порождающим множеством и посвящен третий, а также отчасти четвертый параграфы. В третьем параграфе доказана

Теорема 1.3.1. Пусть Я — хо;.мauixutf класс аффинных отображений с dim/?a = 0. Тогда существует функция а : [0,оо[—> [0,оо[ такая, что

1) о(с) -»<г(0) = 0 вр« е —♦ 0;

2) для каждого отображения f : Д —» Rm области Л пространства R" с

3) < со существует а £ 2)Я такое, что

II/' - д-)) ••= ess вир ||/'(*) - о||п,т < *(П(/, Я)). (1.3.1)

В последнем неравенстве производное отображение /' определено почти всюду в области Д, так как в силу условия íl(f, Я) < оо по лемме 3 из работы А. П. Копылова*) отображение / удовлетворяет локально условию Липшица, а в силу теоремы Степанова-Радемахера оно дифференцируемо почти всюду.

В силу теоремы 1 из статьи А. П. Копылова2' (^-устойчивость класса 0 ведет к возможности аппроксимации в С-норме локального близкого к классу 0 отображения / отображениями g £ 0 на внутренних (компактно вложенных) подобластях dom /. Важной проблемой является установле-

ние возможности такой аппроксимации в целой области, т. е. во всей области определения отображения /. Решению этой проблемы для класса 21 аффинных отображений с нульмерным порождающим множеством и посвящен четвертый параграф.

В случае областей Джона ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение, вытекающее непосредственно из теорем 1.1.1 и 1.2.1.

Теорема 1.4.1. Пусть SI — нормальный класс аффинных отображений с dim ¿>21 — 0. Тогда существует функц ля a : [0, оо[—»[0,оо[ такая, что

1) а {с) -♦ о(0) = 0 при с —V 0;

2) для любой области Джона Д С R" с внутренним радиусом г и внешним радиусом R * любого отображения / : Д —» R"1 с П(/, Я) < оо существует отображение р ; Д —» Rm «э tutees St, для которого

II/ - o¡u,a < 4<г(0(/. а)')Ят/р.

В следующей теореме 1.4.2 предъявлен еще один класс областей — класс звездных областей, для которых возможна оценка устойчивости класса аффинных отображений с нульмерным порождающим множеством в целой области.

Теорема 1.4.2. Пуст», как и в теореме 1.4.1,Я — нормальный класс аффинных отображений с dim 1*21 = 0. Тогда существует функция а : [0, оо[—► [0, оо[ такая, что

1) а(е) —► <7(0) = 0 при с 0;

2) для любой области Д С R", звездной относительно некоторой своей тонки, и каждого отображения / : Д —► R"1 с П(/, 21) < оо существует отображение g : Л —► Rm из класса 21 такое, что

II/ < ff(fi(/,a))diam Д. (1.4.1)

Опираясь на теорему 1.3.1, мы усиливаем теоремы 1.4.1 и 1.4.2, оценивая близость не только самих отображений, но и их производных.

Теорема 1.4.1'. Пусть 21 — нормальный класс аффинных отображений с dim £>21 = 0. Тогда существует функция о : [0, оо[—»[0, оо[ такая, что

1) а(с) -> «г(0) = 0 при е —► 0;

2) для любой области Джона Д С R" с внутренним радиусом г и внешним

радиусом R * любого отображения / : Д —» R™ с Q(/,2l) < оо существует отображение g : Д —♦ Rm из класса 21, для которого

II/ - íl|tv£(A,«~) := ||/ - íll£„CA,R~) + II/' - /lli«,(A,

<<7(П(/,20)(4Д'/' + 1)-

Теорема 1.4.2'. Для каждого нормального класса 21 аффинных отображений с diml>2l = 0 существует функция а : [0,оо[—»[0,оо[ такал, что

1) а(е) <г(0) = 0 при с —► 0;

2) для любой области Д С R", звездной относительно некоторой своей точки, и каждого отображения / : Д —► Rm с Щ/, 21) < оо существует отображение g : Д —» Rm «э класса Я, для которого

II/ - »IIVitAji») '■= II/ - ÍIU.(A,*™)+ДЦ/' - a'IU-íA, г<«"д»))

< 2<r(íl(/,2l))diam Д.

В пятом параграфе рассматривается пример, показывающий существование устойчивых классов аффинных отображений с нульмерными порождающими множествами, имеющих нелинейные оценки устойчивости. Нами построен класс Я аффинных отображений, указанного типа, для которого существуют постоянные Ci и С? такие, что

С\ < lim »tbv.{c)/eílk < ¡Ы ,rta(e)/el/* < С3. «-о г—°

Глава II "(^устойчивость классов аффинных отображений с ¿-мерными порождающими множествами".

В первом параграфе »той главы найдено следующее достаточное условие устойчивости для классов аффинных отображений с линейными порождающими множествами.

Теорема 2.1.1. Пусть Я — класс аффинных отображений с к

0a = {£w + /M = (< i.....U)eJ}, (2.1.1)

Ral

где a", fi € Z,(Rn,Rm), к = 1.....k, J — компакт a R*. Если существуют

"ь'Ъб {1, • ••>»»}> "i Ф "2, такие, что

rank (ai,,...,<, aj,,..., <) = 2*, (2.1.2)

то Я — и-устойчивий класс отображений.

Здесь aj обозначает р-ый столбец канонического матричного представления линейного отображения а", к = I,... ,1с, v = 1, ...,п, т. е. если (eI»)/"-i.—,m. — матрица, соответствующая отображению а*, то

, "=1.....(21.3)

Во втором параграфе даются достаточные условия для насыщенности класса аффинных отображений, порождающее множество которого есть гладкое многообразие.

Пусть Т представляет собой пространство R* или его полупространство R$. := {* = (zi,...,*í) € R*, *k > 0}, и 7 : T -> L(Rn,Rm) — гладкое отображение. Будем говорить, что у обладает свойством (**), если для каждой точки 1 6 Т существуют vi и v?, G {l,...,n}, ф v^, такие,

что ранг матрицы

(fix7„(<),... (').»!7.,(').....fafeW) : Rn -Rm

равен 2k. Здесь 7» : Т —* Rm — отображение, получающееся выделением v-ro столбца матричнозначного отображения 7, v = 1,...,п. Далее мы предполагаем, что йЯ представляет собой гладкое i-мерное подмногообразие пространства i(R",Rm). При атом в случае, когда каждая локальная параметризация 7 : Т —» L(R",Rm) многообразия йЯ обладает свойством (**), мы называем йЯ (**)-многообразием (многообразием с (**)-структурой).

Теорема 2.2.1. Пусть Я — нормальный класс аффинных отображение. Если DSI — С1-гладкое (**)-многообразие, то класс Я и-насыщен относительно класса С2. ___

Здесь С2 — пучок всех С2-гладких отображений, т. е. С2 := U С2(А,

ДСП"

Rm), где С2(Д,Кт) — множество всех СЯ-гладких отображений в Rm области Д, а объединение ведется по всем областям Д пространства Rn.

В случае, когда у класса Я аффинных отображений множество DtH является одномерным гладким многообразием, условие наличия (»^структуры в теореме 2.2.1 может быть ослаблено.

В самом деле, пусть J — промежуток (открытый, полуоткрытый либо замкнутый) в R и f: J —» £(R",Rm) — гладкое отображение. Будем говорить, что 7 обладает свойством если множество тпирг t с Л «• ттл. рых ранг линейного преобразования '/{it • —»Jrt'"1 меньше 2. не содержит внутренних точек. Здесь j(i) — производная отображения у в точке t. Гладкое одномерное подмногообразие пространства £(Rn,Rm) мы называем (»^многообразием (многообразием со (*)-структурой), если каждая его локальная параметризация обладает свойством (*). Ясно, что каждое одномерное гладкое многообразие, наделенное (**)-структурой, обладает также и (*)-структурой.

Теорема 2.2.2. Если Я — нормальный класс аффинных отображений, порождающее множество DtH которого является С1-гладким одномерным (*)-многообразием, то класс Я to-насыщен относительно класса С2.

Третий параграф посвящен доказательству необходимости полученных в первом и втором параграфах условий для устойчивости и насыщенности классов Я аффинных отображений в случае, когда их порождающие множества являются одномерными многообразиями. Оказывается, что для такого рода классов отображений теорема 2.2.2 при дополнительном предположении С2-гладкости многообразия ВЯ допускает обращение, которое вместе с самой »той теоремой приводит к следующему утверждению.

Теорема 2.3.1. Пусть Я — нормальны-i класс а^яипы! отображени-Х. Если Dm — одномерное СР-гладкое многообразие, то huiw у него (^-структуры равносильно ш-насыщенности класса Я.

Теоремы 2.1.1 и 2.3.1 позволяют решить проблему устойчивости в полном объеме для класса аффинных отображений с одномерным линейным порождающим множеством, представляющего собой тот частный случай класса вида (2.1.1), когда k = 1, a J — отрезок в R.

Теорема 2.3.2. Пусть Я — класс аффинных отображений с

z?a = {<« + р, <6 J},

фФо.

где а,Р в L{ R",Rm)>T7' — отрезок в R, та. е. У = {( е R, а < t < i}, a,b £ R, а <Ъ. Тогда выполнение соотношения rank а > 2 необходимо и достаточно для ш-устойчивости класса Я.

В четвертом параграфе для класса Я аффинных отображений, порождающее множество которого одномерно и линейно, мы решаем задачу, аналогичную рассмотренной в третьем и четвертом параграфах первой

главы для класса аффинных отображений с нульмерным порождающим множеством, т. е. изучаем устойчивость класса St с учетом близости производных. Следующая теорема утверждает, что класс St устойчив не только в. С-норме (см. теорему 2.3.2), во и в И^'-нормах.

Теорема 2.4.1. Пуст* SI — класс аффинных отображений с

Dü = {ta + ß, le J), (2.4.1)

где о, /9 6 L(Rn, Rm), и J — отрезок в R, т. e. J = {< 6 R, a < i < t}, a,b eR, a < b. Если rank or > 2, roo для любого p > 1 существует фунхция о : [0, оо[х]0,1[—► [О, оо[ такая, \то

1) для каждого 6 е]0,1[ а (с, 6) -ит(0,6) = 0 при с -* 0;

2) для любого отображения / : Л —► Rm области А пространства R" с П(/,Я) < оо, каждого числа 8 б]0,1[ ■ каждой ограниченной подобласти А', лежащей в области А вместе со своей <р-окрсстност*ю Uv(А'), <р = ^^ diam А', найдется отображение g : А' —► Rm класса St, удовлетворяющее неравенству

II/ - II/ - г11!р(Д<,и~) + diam А'||/' - ..^.д..,,

< o(íl(/, Я), Í) diam А',

где для отображения h : А' —» Е области А' со значениями в банаховом пространстве Е с нормой II ■ II

1|А|1Ьр(д^) := (diam A')-"'" (j 1Ж1Р ^ ■

Глава III "Классы липшицевых отображений и решения систем дифференциальных уравнений в частных производных".

В первом параграфе исследуются классы липшицевых отображений с выпуклыми порождающими множествами, определяемые следующим образом.

Поставим в соответствие компакту L пространства £(R",Rm) класс

А(£) := {g € LIP, д'{г) € L для почти всех х € dorn д], (3-1.1)

состоящий из всех локально липшицевых отображений д, значения производных д?(х) которых почти во всех точках z € dorn д принадлежат L. О классе А(£) также будем говорить как о классе ¿«Btuvtfeeuz отображений, порожденном компактом L (или с порождающим множеством L). Здесь LIP — класс всех локально липшицевых отображений. Заметим, что L = Л(£) П í(R",Rm).

Термин "порождающее множество" используется здесь в смысле отличном от того, который мы придавали ему ранее при изучении устойчивости классов аффинных отображений (см. определении 1.1.3). Однако, если класс Я аффинных отображений является оьнасыщенным относительно класса LIP, то Я = A(-DSt).

Ясно, что класс Л(£) удовлетворяет условиям нормальности в*> 821 й и д;.

Теорема 3.1.1. Если множество L есть выпуклые компакт a пространстве £(Rn,Rm), то класс Л (Л) замкнут в топологии равномерноi сходимости на компактных подмножествах, т. е. удовлетворяет условию нормальности gj классов отображение.--------------------------------------

Из теоремы 3.1.1 и предшествующего ей замечания непосредственно вытекает

Следствие 3.1.1. Класс Л(£) липшпцевых отображений, порождающее множество L которого ест* выпуклый компакт, является нормалмым классом отображений, т. е. удовлетворяет условиям нормальности в"-£>5-

В работе А. П. Копылова2' поставлен вопрос об изучении связи между концепциями и w-устойчивости классов отображений. С этой точки зрения представляет интерес следующая проблема. Пусть класс Я являете;! £ И пусть С — неотрицательное число. Требуется вы-ленитт., fíy wT ли класс АП LIP{C) и^-усюйчттпим.

Н. С. Даирбековым и А. П. Копыловым получено песбходимо« и достаточное условие ^-устойчивости пучка £3 С°°-решений системы линейных уравнений в частных производных с С°°-гладкими коэффициентами, состоящее в том, что эта система должна быть эллиптической и иметь следующий вид

n т

№?)« = * = Л (3.1)

V sel psl

где коэффициенты a"K¡i постоянны. Первоначальной нашей целью являлось установление иьустойчивости подклассов £> П LIP(C) липшицевых решений эллиптической системы (3.1). В процессе исследования выяснилось обстоятельство, подчеркивающее специфику концепции ш-устой-чивости в сравнении с концепцией í-устойчивости: класс £3 П LIP(C) ы-устойчив не только в том случае, когда система (3.1) эллиптическая, но и в случае произвольной системы вила (3.1) (здесь мы естественно уже полагаем, что О является классом всех ^-решений обсуждаемой системы). К тому же оказывается, что возможно рассмотрение и неоднородных систем, соответствующих системе (3.1) (т. е. систем вида (3.2.2)).

Рассмотрим пучок АГ И^-решений <? : Д С R™ —► Rm неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений

п

J^A,(x)e,g(m) + Ао(г)д(г) = q(x), «=i

где Ау : R" -+ L(Rm,Rl), v - 0,1,... ,п, и q : Rn R* — £7°°-гладкие отображения. Из леммы 3.1.1 работы А. П. Копылова4' (точнее из ее доказательства) следует, что, если пучок jV инвариантен относительно пат раллельных переносов пространства R", то он совладает с лучком решений системы того же вида, в которой отображения А„, v - 0,1,... , п, и q

Копылов А. П. Устойчивость в С-норме классов отображений. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1990, 223 с.

являются постоянными. Считая теперь, что е>ти отображения (т. е. отображения А„ и д) постоянны, и предполагая, что пучок Л/" / 0, нетрудно показать, что он будет инвариантным относительно параллельных переносов пространства Rm только тогда, когда Ао = 0.

Так как мы исследуем на устойчивость нормальные, а, следовательно, в силу условия нормальности 82 и инвариантные относительно параллельных переносов в пространствах Rn и Rm классы отображений, то при изучении классов, состоящих из решений линейных систем дифференциальных уравнений первого порядка, мы ограничиваемся тем частным случаем, когда коэффициенты этой системы постоянны, а сами уравнения не зависят от символа искомой функции.

Пусть Q — дифференциальный оператор, определенный следующими соотношениями:

л

Qg(x) в А(6)д(х) = £ А,0,д(х), (3.2.1)

»=1

где в = (öi,...,&„), А„ = (о^)/е=1,...,* — вещественные матрицы порядка

1.....m

к X m, V — 1,..., п, а значение отображения д в точке я рассматривается как столбец.

Рассмотрим следующую линейную систему уравнений

Qg(x) = д, (3.2.2)

где q = (91, • - • )9к)Г — вектор пространства R*. Определим класс ¡3 = •Оф., как множество всех ^-решений д системы (3.2.2). Заметим, что под решением системы дифференциальных уравнений либо неравенств мы понимаем отображение, (обобщенные) производные первого порядка которого почти всюду удовлетворяют этой системе. Множество

Lq,t := {А е £(R",Rm), QX(x) = д, х е R"}

представляет собой линейное многообразие в пространстве £(R™,Rm), и тем самым является выпуклым.

Зафиксируем далее выпуклый компакт L в пространстве ¿(R",Rm) и рассмотрим класс ff = SQ,q,L ■= Qq,t П A(L), являющийся множеством локально липшицевых решений д системы (3.2.2), значения производных х) которых почти во всех точках х £ dorn д принадлежат L. Легко проверить, что ff = M^Q.q п где множество Lqtt П L снова будет выпуклым компактом. По следствию S.1.1 класс ff есть нормальный класс отображений.

Исследованию устойчивости класса ff и посвящен второй, а также третий параграфы главы.

Во втором параграфе мы изучаем следующие семейства отображений.

Пусть с — неотрицательное вещественное число. Рассматривая произвольное число с > 0, определим семейство = как множество всех решений / класса LIP следующей системы дифференциальных

неравенств

¡\Qf(x)-q \<с

\dn¡m(f'(x),L)<ct. ■ > При этом семейство ^"(0) совпадает с"классом У = dq.q.L-------------------------

Нетрудно проверить, что семейство Т{с) совпадает с классом \(Lt) вида (3.1.1), где множество

и = := {А € L(Rn,Rm), |QA(x) — < е, х çR"}ncl {/„(Л) (3.2.6)

является выпуклым компактом в пространстве ¿(R", Rm).

Для отображения / : Д —► Rm области Д пространства Rn, принадлежащего классу LIP, введем числовую характеристику:

hf) = Ir,. ,. Л) := inf{e > 0, / е ^9lIji)C(e)}.

Теорема 3.2.1. Луст* Q — иац'И'лер íkí.i (S 2.1), 5 — «»«тая» »осмнн-cmea Rk, L — выпуклый компакт в L(R",Rm) « с — неотрицательное вещественное число. Для каждого с > 0 семейство /'(г) = замкнуто в топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах, а функционал £(■) — CQ,j,L,c(') полунепрерывен снизу на множестве ^(с).

Теорема 3.2.2. Для дифференциального оператора Q вида (3.2.1), вектора q пространства Rk, выпуклого компакта L в пространстве ¿(Rn,Rm) « неоту*-цательного вещественного числа с существует функция а = <TQ,t,L,c • [0, +оо[—» [О, +оо[, обладающая следующими свойствами:

1) <т(е) -> о(0) = 0 при £ 0;

2) если / ; Л —> Rm — отображение из семейства F(c) = FQ,q,L,c(¿), £ > 0, то w(/,g) < <r(e), где g =

Пусть далее С>0и класс De = £¡Q,q,C := П LIP(C) представляет собой пучок всех решений системы (3.2.2), удовлетворяющих локально условию Липшица с константой Липшица С. Ясно, что Qc совпадает с классом S(j,j,ci В(о,с)' Следующая теорема является первым из основных результатов третьей главы.

Теорема 3.2.4. Класс Qc — и-устойчив.

О. Л. Безруковой, Н. С. Даирбековым и А. П. Коныловым была иссле-доаапа Í-устойчивость пучка О решений эллиптической системы вида (3.1) также и с учетом близости производных. В третьем параграфе мы устанавливаем аналогичный результат для класса Ос, построенного на основе эллиптического оператора Q (см. теорему 3.3.2). При доказательстве итого результата мы используем следующую теорему, представляющую и саг мостоятельный интерес.

Теорема 3.3.1. Пусть Q — дифференциальный оператор вида (3.2.1), q — вектор пространства R*, L — аыяуклыЯ компакт в í(Rn,Rm) в с — неотрицательное вещественное число. Если оператор Q является эллиптическим, то для любого р > 1 существует функция S = ôq,q,ilC,p : [0, оо[х]0,1[—<■ [0, оо[ такая, что

1) для каждого S €]0,1[ à(c,í) -» 5(0,б) = 0 при с-* 0;

2) для любого отображения / : Д —» Rm из семейства F(c) = -Тч^.ь.Де), с >0, и для каждого числа S €]0,1[ « каждой ограниченной подобласти Д', J«-

жащей в области А вместе со своей ^-окрестностью Uv(А'), <р = p(S,A') = 1^-diam А', найдется отображение g : А' —»Rm класса 5 = удовлетво-

ряющее неравенству

В качестве следствия теорем 3.2.4 и 3.3.1 и теоремы 1 статьи А. П. Ко-пылова2) получаем

Теорема 3.3.2. Пусть Q — дифференциальный оператор вида (3.2.1), q — вектор пространстве Rfc к класс £¡c = Oq.q П LIP(C), С > 0. Если оператор Q является эллиптическим, то для любого р > 1 существует функция а = oq,q,c# ■ [0, оо[х]0,1[-> [0, оо[ такая, что

1) для каждого 6 е]0,1[ а(с, 6) 6(0,6) = 0 при с -» 0;

2) для любого отображения f : А —► Rm с íl(í,S3c) < оо, каждого числа 6 б]0,1[ и каждой ограниченной подобласти А', лежащей в области А вместе со своей <р-окрестностью UV(A'), ip — <p(S, A') = ^^ diam Д', найдется отображение g : A' -+Rm класса Qci удовлетворяющее неравенству

II/ - fflPw.CA<) ^ S(il(f,Qc), s)diam A'.

Теорема 3.3.2 второй из основных результатов третьей главы. Вопрос о том, существенно ли условие эллиптичности оператора Q в этой теореме, пока остается открытым.

В заключение искренне благодарю профессора А. П. Копылова за постановку интересных задач и внимание-к работе.

Работы автора по теме диссертации:

1. Егоров А. А. Об устойчивости классов аффинных отображений //

Локл. РАН, 1992, т. 325, № 3, с. 425-427.

2. Егоров А. А. Об устойчивости классов аффинных отображений //

Сиб. мат. журн., принята к печати.

Подписано к печати . № ■ г

Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 1 п. л., 1,2 уч.-изд. л.

Заказ & ? Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте ИМ СО РАН, 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4.