Устойчивость разностных схем с переменными весовыми множителями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 »»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукопис: УДК 519.61

ДЕГТЯРЕВ СЕРГЕЙ ЛЬВОВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕСОВЫМИ МНОЖИТЕЛЯМИ

01.01.0/ - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физика - математических наук

Москва - 199(1

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор А. В. Гулин Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

П. Н. Вабшцевич

кандидат физико-математических наук Е. А. Григорьев Ведущая организация - Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Защита состоится " $ " хддб года в часов на

заседании диссертационного совета Д. 053.05.37 в Московском государственном университете имени К!. В. Ломоносова по адресу: 119893, Москва. Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и ки';ер;:?тики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Автореферат разослан " " 1996 года.

Ученый секретарь совета доктор физико-математических наук Л""// /

профессор ( , Е. И. Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность. Теория устойчивости разностных схем для естационарных задач математической физики стала самостоятельной властью исследований уже в 50-ые годы. Однако различные отребности практических вычислений ставят новые вопросы перед ней о настоящего времени.

Интенсивное внедрение в вычислительную практику последних лет ногопроцессорных компьютеров способствовало возрождению интереса явным разностным схемам для решения нестационарных задач матема-ической физики. Однако выбор шага по времени при расчете по явной хеме существенно ограничен из соображений устойчивости величиной ara пространственной сетки, а также величиной коэффициентов в сходном уравнении. Такие ограничения являются, как правило, окальными по пространству. Тем не менее, они приводят к граничению на шаг по времени для всей задачи в целом. Возникает опрос, нельзя ли за счет использования локально неявной схемы в бласти мелкого пространственного шага сетки и больших значений оэффициентов уравнения снять влияние указанных факторов на выбор ременного шага. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо изучить стойчивость разностных схем для нестационарных задач с еременными по пространству весовыми множителями.

Цепь работы состоит в получении необходимых и достаточных словий устойчивости по начальным данным разностных схем с еременными весовыми множителями для уравнения теплопроводности в лучае одной и двух пространственных переменных, в построении римеров, представляющих критерии устойчивости указанных разност-ых схем в аналитической форме, в построении и исследовании окально неявных разностных схем с переменными коэффициентами на

3

неравномерной сетке.

Научная новизна и практическая ценность работы состоят в том что в ней:

найдены критерии устойчивости разностных схем с переменным весовыми множителями для одномерного и двумерного уравнения тепло проводности с переменными коэффициентами и на неравномерной сетке

для нескольких частных случаев распределения весовы множителей критерий устойчивости сформулирован в аналитическо форме;

получены результаты, позволяющие существенно увеличить шаг п времени' при расчетах по явным схемам за счет введения локальнс неявяости в областях большого значения коэффициент теплопроводности и мелкого шага пространственной сетки.

Основные результаты диссертации.

1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивое] двуслойных разностных схем с переменными по пространству весовы» множителями для одномерного и двумерного уравнения теплопроводне сти.

2. Для численного решения уравнения теплопроводности переменными коэффициентами изучены локально неявные разности! схемы с переменными весовыми множителями на неравномерной сетю Показано, что использование локально неявных разностных сх< позволяет исключить влияние величины коэффициента теплопроводное и мелкого шага пространственной сетки на условие устойчивости.

3. Для некоторых специальных случаев распределения весов множителей двумерной разностной схемы решение спектральной зада об устойчивости получено в явном виде.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыв

4

[ись:

- на конференции выпускников факультета ВМиК МГУ (г.Москва, iail 1993г. );

на международной конференции студентов и' аспирантов 'Ленинские горы-95" (г. Москва, апрель 1995 г. );

- на научно - исследовательском семинаре кафедры вычислитель-:ых методов Московского Университета под руководством' академика ..А. Самарского (г. Москва, апрель 1996 г.);

- на научно - исследовательском семинаре под руководством роф. Ю. П. Попова в Институте прикладной математики им. II. В. елдыша РАН (г. Москва, май 1996 г. ).

Методологическую основу диссертации составляют работы А. А.

1 о

амарского и A.B. Гулина ' .

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введе-ия, трех глав и списка цитированной литературы. Объем работы: 110 траниц, библиография: 46 названий.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, формулированы цели исследования, приведен обзор результатов, олученных другими авторами, и кратко изложено содержание иссертации.

Глава 1 посвящена исследованию устойчивости разностных схем с эсами для одномерного уравнения теплопроводности. Гулин A.B., Самарский A.A. Об устойчивости одного класса разно--:тных схем. Диф. ур-ния, 1993, 29, N 7, С. 1163-1173. Самарский А. А., Гулин А. В. Критерий устойчивости семейства разностных схем. Докл. РАН, 1993, 330, N 6, С. 694-695.

5

В § 1.1 излагается теория устойчивости двуслойных операторно разностных схем с переменными весовыми множителями. Пусть дан двуслойная операторно-разностная схема, записанная в каноническо виде

В у т У + Ауп = 0 , п = 0,1...- . (1)

где уп = уЧп) бН, ^ = п т , т > 0 - шаг по времени, Н

евклидово пространство со скалярным произведением (•,•)^ , А и В

линейные операторы, действующие в Н и не зависящие от г

Предполагается, что В существует. Схему (1) можно записать в

п+1

разрешенном относительно у виде

yn+1 = S у11 ,

где S = Е - т В-1А .

Разностная схема (1) называется симметризуемой, если существует невырожденный оператор К : Н ■* Н такой, что оператор

S = К S К"1 (2

является самосопряженным.

Устойчивость схемы (1) исследуется в' нормах, порожденн некоторым самосопряженным положительным оператором D, действуют в Н. .Через Н^ обозначается линейное пространство, состоящее элементов пространства Н и снабженное скалярным произведем (y.v, = (Dy,v)H и нормой II у lljj^= V(Uy,y)jj . Разностная схема (

называется устойчивой в пространстве Hq , если при любом у0 « для решения задачи (1) выполняются оценки (Dyn+1,yn+b £ (Dyn,yr n = 0,1,... .

Рассматривается класс симметризуемых разностных схем, именно, схем (1), с операторами А и В, удовлетворяющими условия)

п-

Самарский A.A. Теория разностных схем. М., Наука, 1989.

6

А*= Л , В = Е +■ т о- А , сг* = сг , (3)

•де Е - единичный оператор, а с - самосопряженный оператор в Н. [реобразование (2), приводящее Б к самосопряженному виду, юуществляется здесь оператором К = В .

Разностная схема (1) с оператором В = Е + т с А , где а -1Ператор в Н, получила название схемы с переменными весовыми сожителями. Она является обобщением известной схемы с постоянным ;есом (Г.

Если операторы А и сг - не перестановочны, то оператор В = Е +

; сг А не является самосопряженным. В этом случае для схем (1), (3)

1 диссертации получено неулучшаемое ( за счет выбора нормы )

'словие устойчивости в виде операторного неравенства, выполнение

оторого необходимо для устойчивости в любом Нц и достаточно для

стойчивости в некотором Нд . Доказана

Теорема1. Пусть операторы А и сг не зависят от п.

уществует и выполнены условия (3). Предположим, что А =

, Ь : Н -> Н^ , Ь* : Н, где Н^- евклидово пространство.

ели схема (1) устойчива в каком-либо пространстве Нр, то в Н|

праведливо операторное неравенство

О = Е + т Ь ц I* г 0 . (4)

де ц = сг - 0.5 Е . Обратно, если выполнено (4), то схема (1), (3)

стойчива в Н „ . Если существует, то схема (1), (3)

В В

стойчива и в Н о .

А

Теорема 1 является обобщением на случай вырожденного операто-

2

а А теоремы, приведенной в работе .

В § 1.2 рассматривается двуслойная разностная схема с пере-енными по пространству весовыми множителями на неравномерной сете для одномерного уравнения теплопроводности с переменным коэффи-

7

циентом к(х) и краевыми условиями второго рода. Схема имеет вид

у?+:1- у? П+1 п

— -- = (Г, (а + (1 - сг,) (а у_)Л , 1 = 1,... ,N-1,

X X 1 X X 1

т

„п+1 „п

Уо

т

„п+1 ..п

Ун ~ Ум

+ (1 - °-о> Ух о ) • 1 = 0 .

1

— а»Г(Гм уп+1 + (1 - О-») у11 1 , 1 = N . Ь„ М х N х N

(5)

п = 0,1..... у? = и0<х1), 1 = 1,2,...,N-1,

где у? - разностное решение в узле сетки 1 в момент времен 1п = пт, т>0 - шаг по времени,

¡^ = < х1 = х1-:1+ 1 = 1.....N. х0= 0 , хм= 1 > .

( Ь1+1)/ 2 , а^ к((х1_1+ х^)/ 2 ), У_ . = У . , = (УГ Ум17 ^ = ' V' *Ч •

XI Х1"1 А Л 1 1 ' X 1 сг^ , 1=0,1,... - заданные вещественные числа. Показано, что схема (5) принадлежит семейству схем (1), (2 где оператор А определяется согласно формулам 2

ахух 0 , 1 = 0

1

(Ау)! =|- (а У_)Л , 1 = 1,.. .Н-1, х х 1

2

— аы У_ . 1 = N , Ьдо х N

а с-оператор, задаваемый диагональной матрицей с = с! 1 аё (о*0,..., сг^ Построено разложение оператора в произведение А = £ 0 и доказано, что схема (5) удовлетворяет всем условиям теоремы ; Выписана матрица < я—}, соответствующая оператору устойчивое

ф

0 = Е + тЬдЬ , ц = <г - 0.5 Е , для схемы (5). Эта матри!

является якобиевой, ее ненулевые элементы имеют вид

= 1+ т М-^- + —I 11 и. . ь. Л

1 = 1.....Н . Ь = 4 . М

«11-1

= - т

VI

vЛ1íIГT

Ь1

1-1

I = ,

■У а, а

41-11=

= - т

1*1-1

|1[= ^ - 0.5 , 1 =0,1.....N

1 =2.....N ,

Доказана

Теорема2. Если схема (5) устойчива в каком-либо

пространстве Нр, то минимальное собственное значение q|nin матрицы

(6) неотрицательно. Обратно, если минимальное собственное значение

матрицы (6) неотрицательно, то схема (5) устойчива в И , .

В В

Отмечается, что при рассмотрении краевых условий первого рода 1и(0,и = и(1Д) = 0 ) или смешанного типа ( и(0Д)= д^ПД) = 0 ) оператор А соответствующей разностной задачи становится юложительным. Для такой схемы, как и в случае краевых условий второго рода, выполнены все условия применимости теоремы 1. Матрица оператора 0 в этом случае имеет вид (6) с небольшой соррекцией элементов. Условие неотрицательности минимального :обственного значения такой матрицы необходимо для устойчивости в

иобом Нд и достаточно для устойчивости в Н

В В

Н

Установлены достаточные условия устойчивости схемы (5) в виде :истемы неравенств между элементами матрицы 0 (6) , на основании :оторых получен ряд следствий относительно устойчивости схемы с конкретными наборами весовых множителей.

В § 1.3 описаны результаты численного исследования устойчи-

9

вости разностной схемы (5) с переменными весовыми множителями для одномерного уравнения теплопроводности . Минимальное собственное значение матрицы устойчивости (6) определялось методом

бисекции. Из требования Чт}п - 0 получено условие устойчивости разностной схемы (5) и ее вариантов в случае краевых условий первого рода или смешанного типа.

Приведены результаты двух серий расчетов.

Первая - охватывает случай постоянного к(х) = 1 и равномерной сетки. Вторая серия расчётов относится к случаю переменного к<х) и неравномерной сетки. Существенное внимание, в диссертации уделяется исследованию устойчивости локально неявных разностные схем, то есть схем, явных везде за исключением небольшого числг узлов, где схема является неявной. Установлено, что использование локально неявной схемы в областях мелкого шага пространственно! сетки и большого значения коэффициента теплопроводности позволяем исключить влияние этих факторов на границу устойчивости.

Глава 2 посвящена исследованию устойчивости разностных схем < переменными весовыми множителями для двумерного уравнени. теплопроводности.

В § 2.1 критерий устойчивости двуслойной операторно-разност ной схемы ( глава I, теорема 1 ) применен к разностной схеме переменными по пространству весовыми множителями для двумерног уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Схем имеет вид

= *1к (дЬ У'?к+1 + <1-«г1к) (Л11 у)?к ,(х1л>х2<к) € 0)

у?к = 0 , ( х1Л>х2 к) 6 зг , П * 0 .

у?к = ио'х1,1'х2,к' • ( х1,1'х2,к> е 5 •

(л" ? )Ь ■ [« 1 • [ "г ■

где о> - внутренние узлы, у - граничные узлы сетки й, неравномерной

по каждому направлению, м = ^ х (¡2 , й = ии (3, = < х, х

1,г х1(1-1+ Ь1Л- 1 = 1.....х1,о = Н >'

~~ ( х2,к= х2, к-1+ Ь2,к- к = 1.....х2,0 = Х2,Н = 12 } •

у?^ - разностное решение в узле сетки (1,к) в момент времени ^ = пт, а1 и ^ - сеточные аналоги коэффициентов к^х^^) и (х 1 >х2! в исходном уравнении, о-^ - заданные вещественные числа.

Показано, что схема (7) принадлежит семейству схем 11), (3), где операторы А и <т , действующие в евклидовом пространстве Н, определены равенствами .

( Ау )1к = - ( Лйу )1к , _у|г = 0 .

« °УЛк в "нс-Уис •

Построено разложение оператора А в произведение А = , где

I = ( Ц 12 )Т: Н Н , Ь* = ( 1*2 ) : Н Н ,

причем линейные операторы I, : Н На , Ь* : На Н , а = 1 ,2 определены согласно равенствам

ха

( ЬаУ >1к = ( ^ У- >1к аау)1к = " у)

хаДк

а евклидово пространство Н является прямой суммой евклидовых пространств Н^ и ^ ■

Установлено, что схема (7) удовлетворяет всем условиям

11

теоремы 1 и получена матрица устойчивости { , соответствующая

оператору 0=Е+тЬмЬ* , для схемы (7) (мы не приводим здесь выражения для в виду их громоздкости).

В результате доказана

ТеоремаЗ. Если схема (7) устойчива в каком-либо пространстве Нр , то минимальное собственное значение матрицы устойчивости этой схемы неотрицательно. Обратно, если минимальное собственное значение матрицы 0 неотрицательно, то схема (7)

устойчива в Н * и в Н о .

В В кг

В § 2.2 описаны результаты численного исследования устойчивости разностной схемы (7) с переменными весовыми множителями для двумерного уравнения теплопроводности. Минимальное собственное значение матрицы устойчивости схемы (7) определялось методом

обратных итераций.

Проведено три группы расчетов, позволивших исследовать условие устойчивости в зависимости от выбираемого набора весовых множителей <т = < а^} :

1) при постоянном коэффициенте теплопроводности к^х^^) = = к2(х1>х21 =1 на квадратной сетке;

2) при постоянном коэффициенте на неравномерной сетке;

3) при переменном коэффициенте ^^ ^• х2' =к2< х1* х2 х2' • имеющем локальный выброс величиной к0 »1, на квадратной сетке. Наибольший интерес представляют результаты, связанные с изучением условия устойчивости схемы в случае переменного коэффициента теплопроводности и неравномерной сетки. Подтвержден вывод, сделанный в одномерном случае: использование локально неявных схем в областях мелкого шага пространственной сетки и большого значейия -коэффициента теплопроводности позволяет устранить зависимость

12

условия устойчивости от этих факторов.

В главе 3 проведено аналитическое исследование устойчивости разностных схем с некоторыми специальными наборами переменных весовых множителей для двумерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами на равномерной по каждому направлению сетке с шагами и 1^= ^^ .

Рассматриваемая схема является частным случаем схемы (7), приведенной в предыдущей главе, когда а|= ^ - 1. ^ ■ = , к= ^2 ' Следовательно, ее устойчивость, согласно теореме 3,

определяется оператором 0"=Е + т1,цЬ , где операторы Ь =

т ~ * * * ~

(Ц!^) : Н -» Н , I = (Ц!^) Н -» Н определены в главе 2 и

являются в случае постоянных коэффициентов а^ = ад = 1 сеточным аналогом градиента и дивергенции (со знаком минус) соответственно.

В § 3.1 задача на собственные значения для оператора О преобразуется в задачу на собственные значения для оператора

л

О = Е + К*у К ц : Н ,

где

frjEj О

К = (КгК2 )Т : Н Н , . у =

о г2е2

Н Н> н ,

Кк = haLa , a = 1,2 - операторы левой разности, ya= rha , а = 1,2, - единичный оператор в пространстве Ha , а = 1,2. Матрица one-

л

ратора Q называется редуцированной матрицей устойчивости. Установлено, что спектр матрицы Q представляет собой объединение спектра матрицы Q и собственного значения 1 кратности N-^-l. Из теоремы 3 следует

Т е о р е м а 4. Если разностная схема (7) устойчива в каком-либо пространстве Нд, то все собственные значения задачи

Q У = q У, У « 0, у е Н (8)

13

неотрицательны. Обратно, если все собственные значения задачи (8)

неотрицательны, то разностная схема (7) устойчива в пространствах

H 5 и H » . А В В

Изучена связь решений спектральных задач для оператора Q и исходного оператора Q. Эта связь устанавливается в следующих двух теоремах.

Теорема 5. Пусть (y,q) - собственная пара оператора Q.

Тогда

1) если q * 1, то (v,q) - собственная пара оператора Q, где V = у1/2К м У ;

2) если q = 1, то (v,1) - собственная пара оператора Q, где

* 1/2

v - решение уравнения д К ц v = 0 , имеющего s+p линейно независимых решений (s = N^Ng-l, р - число нулевых o-jj, - 0.5).

Теорема 6. Пусть (v,q) - собственная пара оператора Q.

Тогда

1) если q*l, то (у,q) - собственная пара оператора Q, где у = = К* r1/2v,

2) если q = 1, то (у,1> - собственная пара оператора Q, где у - решение уравнения д у = 0, имеющего р > О линейно независимых

решений только в случае вырожденного оператора д.

Редуцированный оператор Q , в отличие от оператора Q, не

/Г

является самосопряженным оператором. Однако установлено, что Q -оператор простой структуры, а именно, доказана следующая

Л

Теорема7. У оператора Q : H -» H существует n линейно независимых собственных функций, где n = dira H .

В § 3.2 приведено решение спектральной задачи для редуцированной матрицы (8) в случае шахматного распределения весовых множителей. В шахматном разбиении множество внутренних

точек сетки 0 представляется в виде объединения двух подмножеств и = И и V причем требуется, чтобы центральная точка пятиточечного шаблона < С1,к), (1+1,к), ИДИ) ) и ее окрестность принадлежали разным подмножествам. Весовые множители выбираются в соответствии с правилом

<Г[, если (1,к) € И,

0*2, если И,к) е У, (9)

°1к *

где сг^ и 0"2 - заданные постоянные.

Для трех возможных случаев выбора значений (Д^ =о^-0.5,

I = 1,2) в шахматном распределении : 1) ^ = 0 , * 0 , 2) * 0 , [¡^ - 0 , 3) * 0 , ¡¡2 * 0 < ^ * ^

А

спектральная задача для оператора 0 решена в явном виде, найдены собственные значения и базис из собственных функций.

Исследование устойчивости рассматриваемой разностной схемы для шахматного распределения весовых множителей (9) сводится, согласно теореме 4, к нахождению условий неотрицательности всех собственных значений оператора 0 . Такие условия содержит

Теорема 8. Для устойчивости разностной схемы (7) в случае шахматного распределения весовых множителей (9! необходимо и достаточно выполнение хотя бы одной из групп неравенств

1 ♦ -у* Л0 г О- »1"2 5 (Аоу1+ 1)(\>»2+ 5 0 ' 1 + 2 А0 а 0, Рг1>2 2 о, 5ДУ1Р2 + у2) + 1 2 О,

где = т(о^ - 0.5), I - 1,2, Л0= 0.5(9 +Д), 5 и Д - соответственно минимальное и максимальное собственные значения

15

пятиточечного разностного оператора Лапласа.

В § 3.3 получено решение задачи на собственные значения для

матрицы 0 в случае распределения весовых множителей в виде чередующихся полос

"а, для к нечетного,

(10)

<г2 Для к четного,

°1к

где Пк)е и, и с*2 - заданные постоянные. Для каждого из трех возможных вариантов выбора значений Дд приведенных выше, спектральная задача для оператора 0 решена в явном виде, найдены собственные значения и базис из собственных функций.

Доказан следующий критерий устойчивости.

Теорема 9. Для устойчивости разностной схемы (7) в случае распределения весовых множителей в виде чередующихся полос (10) необходимо и достаточно выполнение хотя бы одной из групп неравенств

/V М2 - 0 • ^^ - 0 •

(11)

1^ + * 0 , ^^ < 0 , - 12 • (12)

пкп 9

)и1ц2< О, С2>12. щ2> " ^Мг^соэ-^ Г г 0, (13)

^ + < 0 , <0,1 + + 2 0 , 5 12 ' (14>

^ < 0 , ^^ <0,1 + (д^ а 0 , > ,

пкр 9 (15)

м2 < > %<11' ^^ " 4^1,х2(у2СОБ_1^ )2 г !16;

¿¿2 < 0 , = 0,1+ 2^+ ^ - 0 . (17

В неравенствах (12)-(17) через tj и tg обозначены корни

о

квадратного трехчлена f(t) = 1 + t + ^fig tb , причем

t2< t2 , = y2 ♦ } Aj , r2 = г / h| , Äj= 4 (cos -l^)2/ hf ,

k2 = [N2/2].

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. A.B. Гулин, С. Л. Дегтярев. Об устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями. Вестн. Моск. ун-та, Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. , 1994, N 3, С. 23-29;

2. С. Л. Дегтярев. Об устойчивости разностных схем с переменными весами для одномерного уравнения теплопроводности. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т. 34, N 8-9, С. 1316-1322;

3. С. Л. Дегтярев. Устойчивость локально неявных разностных схем для двумерного уравнения теплопроводности. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, Т. 36, N 4, С. 50-61;

4. А. В. Гулин, С. Л. Дегтярев. Критерий устойчивости двумерной разностной схемы. Препринт Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, 1996, N 15.