Устойчивость стационарных движений диска на горизонтальной плоскости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

1. Аналитический обзор и постановка задачи.

Выводы.

2. Некоторые сведения вспомогательного характера.

2.1. Системы отсчета и преобразование координат.

2.2. Связи.

2.2.1.Случай чистого качения диска по плоскости без прос -кальзывания.

2.2.2.Случай движения диска на гладкой плоскости.

2.2.3.Случай движения диска на полугладкой плоскости.

2.3. Об устойчивости решения одного дифференциального уравнения.

Выводы.

3. Устойчивость стационарных движений диска на горизонтальной плоскости.

3.1. Уравнения движения.

3.2. Устойчивость движения диска, несущего материальную точку, на шероховатой горизонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали

3.2.1.Устойчивость движения системы диск - материальная точка, когда диск вертикален.

3.2.2.Устойчивость движения системы диск - материальная точка, когда центр масс системы и точка контакта диска с плоскостью находятся на одной вертикали.

3.2.3.Устойчивость движения однородного диска и обруча.

3.3. Устойчивость движения диска, несущего материальную точку, на гладкой горизонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.

3.3.1.Устойчивость системы диск - материальная точка,когда диск вертикален.

3.3.2.Устойчивость системы диск - материальная точка,когда центр масс системы и точка контакта диска к плоскостью находятся на одной вертикали.

3.3.3.Устойчивость движения однородного диска и обруча на гладкой плоскости.

3.4. Устойчивость движения диска, несущего материальную точку, на полугладкой горизонталъной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.

3.4.1.Устойчивость системы диск - материальная точка,когда диск вертикален.

3.5. Устойчивость стационарных движений диска, несущего материальную точку, на шероховатой плоскости при неполной диссипации энергии.

3.6. Устойчивость стационарных движений диска, несущего материальную точку, на гладкой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии.

3.7. Устойчивость стационарных движений диска, несущего материальную точку, на полугладной горизонтальной плоскости при неполной диссгаацш энергии.

Выводы.

4. Устойчивость стационарных движений диска, несущего гироскоп и материальную точку, на гладкой горизонтальной плоскости.

4.1. Конструирование прибора.

4.2. Уравнения движения.

4.3. Устойчивость движения гиростата на шероховатой горизонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.

4.3.1.Устойчивость движения гиростата, когда диск верти -кален.

4.3.2.Устойчивость движения гиростата при отсутствии ма -териальной точки.

4.4. Устойчивость движения гиростата на гладкой горизонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.

4.4.1.Устойчивость движения гиростата, когда диск верти -кален.

4.4.2.Устойчивость движений гиростата при отсутствии материальной точки.

4.5. Устойчивость движения гиростата на полугладкой горизонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.

4.5.1.Устойчивость движения гиростата, когда диск вертикален.

4.6. Устойчивость стационарных движений гиростата на шероховатой плоскости при неполной диссипации энергии ill

4.7. Устойчивость стационарных движений гиростата на гладкой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии. И

4.8. Устойчивость стационарных движений гиростата на полугладкой плоскости при неполной диссипации энергии. Выводы.

С момента величайшего изобретения цивилизации - колеса прошло более 5500 лет, а людей до сих пор не перестает волновать и восхищать удивительная способность колеса не терять устойчивость при быстром качении. Понимание парадоксальной сущности этого явления пришло только в XIX веке,в конце которого Г.Герцем в механике были введены термины голономной и неголо-номной систем. Ярким примером неголономной системы является тяжелое твердое тело, оканчивающееся острым ребром, имеющим форму окружности, которое заставляют катиться без скольжения по неподвижной абсолютно шероховатой поверхности. Если такое твердое тело имеет динамическую ось симметрии и центр окружности совпадает с центром масс, то тело называют круговым диском или просто диском. Наглядным примером диска может служить катящаяся по горизонтальной плоскости монета, которая предполагается достаточно тонкой по сравнению с её диаметром.

Задача об устойчивости движений диска на горизонтальной плоскости, как частный случай общей задачи об устойчивости движений неголономной системы с качением, имеет теоретическое значение и практическое применение. Ввиду большого технического приложения она приобрела самостоятельное значение, как одна из задач транспортной механики. Эта и другие особенности обусловили целенаправленность настоящей работы.

I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача о движениях диска на шероховатой плоскости без проскальзывания, наряду с задачей о движениях шара, является классическим примером неголономной системы. Первые решения этой задачи появились немногим более ста лет назад [i, б"] ,полное решение более общей задачи о движениях диска, несущего гироскоп, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости принадлежит классику отечественной и мировой механики С.А.Чаплыгину

38] и опубликовано им в 1897 г. В 1899 году П.Аппель и Д.Кор-тевег [I, б] , независимо от Чаплыгина, решили задачу о движении тяжелого диска на абсолютно шероховатой плоскости и с этого времени задача о диске прочно заняла место классического примера движения твердого тела с линейными неголономными связями почти всех фундаментальных курсов теоретической механики [I, 18, 24, 37] .

Качение однородного кругового диска по заданной поверхности рассмотрел в 1909 году П.В.Воронец [I, б] .

Задачу о движении и устойчивости "катящегося колеса" рассматривал Р.Граммель в монографии [5~] , где им указано значение ".минимальной угловой скорости при котором прямолинейно катящийся в вертикальном положении диск остается устойчивым".

В этой же работе рассмотрены некоторые предпосылки решения задачи об устойчивости диска с центром тяжести лежащим на оси симметрии, но не в плоскости катящегося периметра.

Впервые же вопрос об устойчивости вертикального диска в конце прошлого века рассматривался, повидимому, Г.Гамелем,как указывают в [б J . полное решение задачи об устойчивости стационарных движений диска и обруча было получено в начале шестидесятых годов советскими учеными А.П.Дувакиным [в! и Й.М.Миндлиным [20*].

Мощное развитие методов теории устойчивости движения по А.М.Ляпунову [l7] усилиями выдающихся советских ученых Н.Г. Четаевым [зэ] , К.П.Персидским [27] , В.В.Румянцевым [28 , 29 , 30 , 31, 32 , 33 , 34 , 35*] и его школы [l5, 1б] , трудами Ю.И.Неймарка и Н.А.фуфаева [23, 24] и другими учеными позволили приложить общие методы к решению ряда конкретных за -дач неголономной механики. В обзоре В.В.Румянцева и А.В.Кара-петяна [34] , подводившим итоги развития теории устойчивости движения неголономных систем к 1976 году среди конкретных, решенных задач об устойчивости стационарных движений консер -вативных неголономных систем помещены результаты решения вопроса об устойчивости движений диска, полученные в 1963 году А.П.Дувакиным [8] и о диске, несущим гироскоп, Й.М.Миндлиным [20] .

В работе А.П.Дувакина [в] получены необходимые и доста -точные условия устойчивости движения диска, а также подробно рассмотрены некоторые частные случаи и для бесконечно тонкого однородного диска получены и представлены в виде графиков устойчивые и неустойчивые движения, причем необходимые условия устойчивости, т.е. условия существования движений, представляются в виде гипербол, а достаточные условия в виде эллипсов. Стационарные движения, которым соответствуют точки гипербол, лежащие вне эллипсов, являются устойчивыми по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.

Устойчивость одного из этих случаев - прямолинейного движения вертикального диска исследована болгарскими учеными

А.Анчевым и В.Диамандиевым [42] .

Немного ранее решение задачи об устойчивости движения вертикального диска получено И.М.Миндлиным, как частный случай решения задачи об устойчивости движения тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости [21^| .

В 1965 году И.М.Миндлиным и Г.К.Пожарицким в работе [22~] , как частный случай решения более общей задачи об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, получены достаточные условия устойчивости прямолинейно катящегося колеса.

В 1966 году M.A.Deakm[43] рассмотрел движение неоднородного круглого диска на горизонтальной плоскости и получил необходимые условия устойчивости для некоторых частных случаев.

В 1981 году В.К.Пойда в статье [2б] исследовал влияние трения скольжения на движение диска и показал, что достаточное условие устойчивости движения накладывает на угловую скорость собственного вращения диска ограничения снизу, а требование сохранения связей ограничивают её сверху и движение диска будет устойчиво в целом, если угловая скорость будет лежать между этими предельными значениями.

В 1983 году А.П.Маркеев в работе [l9] исследовал .движение тяжелого твердого тела с острым краем,в форме выпуклой кривой, по неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Для случая, когда острый край имеет форму окружности проведено качественное исследование движения и изучена устойчивость и неустойчивость движений диска на гладкой плоскости; а также исследована устойчивость движения эллиптического диска.

Все эти результаты, за исключением [19"] , были получены с помощью исследования корней характеристических уравнений.В монографии [24] , посвященной проблемам динамики и устойчивости движения неголономных систем, подводившей итоги многолетних исследований, Ю.И.Неймарк и Н.А.Фуфаев указали, что исследование устойчивости диска с помощью линеаризованных уравнений возмущенного движения приводит к критическому случаю устойчивости по А.М.Ляпунову и поэтому требуют дальнейшего изучения. Проведенные ими исследования позволили дать точное решение вопроса об устойчивости диска и полученные необходимые и достаточные условия устойчивости полностью совпали с решениями, полученными ранее [8, 20, 21, 22^ . В этой же работе [24 J приведены результаты цикла работ Ю.И.Неймар-ка и Н.А.Фуфаева об устойчивости стационарных движений неголономных систем с неполной диссипацией энергии, в частности рассмотрена задача об устойчивости диска и получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений диска на шероховатой плоскости при неполной диссипации энергии,связанной с наличием вязкого трения.

В 1963 году И.М.Миндлиным [20 ] была решена задача об устойчивости прямолинейного движения вертикального диска, несущего гироскоп, а также приведены достаточные условия устойчивости вертикального диска с гироскопом при движениях на гладкой горизонтальной плоскости.

Им же в работе [2I-] , как частный случай решения более общей задачи об устойчивости движения тела вращения на горизонтальной плоскости, вновь получено достаточное условие устойчивости движения вертикального диска с гироскопом на абсолютно шероховатой плоскости.

В.В.Румянцев в 1961 году [ЗСГ] рассмотрел движение гироскопа Жерве или эквилибристической стойки, которая представляет собой оправу, имеющую плоскую ножевую опору в виде сегмента, позволяющую оправе качаться вокруг горизонтальной оси и поворачиваться вокруг вертикальной оси. В оправу вмонтирован тяжелый ротор, ось которого перпендикулярна плоскости опоры. Построением функции Ляпунова В.В.Румянцев получил необходимые и достаточные условия устойчивости гиростата.

Эту же задачу другими методами рассматривал в 1965 году В.Н.Скимель [Зб] .

В.С.Новоселов в монографии [2б] исследовал устойчивость катания одноколесного экипажа переменной массы.

В 1969-1973 годах И.С.Емельяновой в работах [l0, II, 12~] решена задача об устойчивости и неустойчивости стационарных движений моноцикла, катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Моноцикл представляет систему тел, состоящую из однородного диска, в центре которого шарнирно укреп -лен невесомый стержень, несущий быстро вращающийся шар. В этих работах рассмотрены различные частные случаи движения, приведены необходимые и достаточные условия устойчивости и диаграммы устойчивых движений моноцикла при наличии вязкого сопротивления, рассмотрены случаи неустойчивого движения моноцикла.

В последнее время интерес к теоретическому исследованию вопросов о движении и устойчивости диска на горизонтальной плоскости вновь усилился. Свидетельством тому служат появление новых публикаций на эту тему [l9, 2б] . Повидимому, это связано с реализацией идеи самоходного одноколесного экипажа.

Впервые техническое воплощение одноколесного экипажа было реализовано в 1903 году изобретателем Гаравалья,который установил двигатель внутреннего сгорания в обруче диаметром два метра [4l] (рис.1.1).

В 1974 году в журнале "Изобретатель и рационализатор" была опубликована заметка Ю.Егорова [э] об одноколесном экипаже Э.Мельникова ".в котором водитель и двигатель находятся внутри колеса,движущегося на подшипниках по внешнему подвижному ободу.".Устройство и принцип действия одноколесного экипажа простое (рис.1.2). Основа конструкции - колесо, состоящее из двух швеллеров, вставленных один в другой, на внеш -ний обод наложена шина. В движении экипаж приводит двигатель, установленный на внутреннем ободе. Управляется одноколесный экипаж водителем с помощью груза - балансира. ". Держать равновесие внутри колеса ничуть не труднее чем управлять велосипедом. Моя машина устойчива и прекрасно поддается управлению", - утверждает изобретатель Э.Мельников из деревни Яни-но Ленинградской области. В самом деле 20 км в час через ямы, канавы и кустарник, такое под силу трактору или судну на воздушной подушке и ещё одноколесному экипажу с седоком внутри.

Такая легкость хода при преодолении препятствий вообще характерна для колес большого диаметра, достаточно вспомнить сельскохозяйственные трактора, которые делают либо гусеничными, либо высококолесными. Опираясь на эту способность колеса один американский изобретатель предложил проект одноколесной, высокопроходимой бронемашины [з^] (рис.1.3) вооруженной пулеметом.

• ГДРАШАЛьЛ* (MtAAMUl Момкциил с0**Лия ттфгяя мм1 е^тл •'«А | <М1 го«у fjpj»

• '"М »< Ч-О.к- ■•шниу I ОДяпии ->*•«• т ^пт^л "«о*А.»

• -*p«mj^ij»«(MK« д«**»«-1ои ; м

Рис.1.1 ггоиг>ю* Kftntc

Рис.1.3

Инженер Т.В.Шеин [40"] получил авторское свидетельство № 251392 на одноколесный экипаж, управляемый с помощью маховика. В заключении, выданном инженеру Шеину Т.В. говорится : ".предложение впервые обеспечивает реальную основу для создания одноколесных экипажей, которым при определенных условиях может принадлежать будущее как одной из транспортных еди -ниц".

Приведенные выше работы не претендуют на полноту. В литературе, посвященной проблемам неголономной механики очень часто задача о движениях диска служит одним из способов проверки и сравнения различных уравнений и методов неголономной механики, как например [i, ?"] и поэтому в настоящем обзоре не рассматриваются.

ВЫВОДЫ

Задача об устойчивости движений диска или обруча на горизонтальной плоскости представляет как теоретический, так и практический интерес, а ".исследование конкретных задач,возникающих в технике,-отмечает академик А.Ю.Ишлинский [l4] ,-всегда было одной из главных черт механики".

Различными авторами рассмотрены вопросы устойчивости движений однородного диска,центр тяжести которого совпадает с гео -метрическим центром диска или обруча при движениях на гори -зонтальной плоскости. Однако у предложенных самоходных одноколесных экипажей центр тяжести практически не совпадает с геометрическим центром колеса, а, например, у одноколесного экипажа Э.Мельникова управление машиной состоит в изменении центра тяжести колеса. Представляется целесообразным изучить вли яние смещения центра тяжести катящегося диска на его устойчивость по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.

Целью настоящей работы является изучение вопросов устойчивости системы, состоящей из диска, несущего тяжелый гироскоп и материальную точку, центр масс которой не совпадает с геометрическим центром диска, относительно угла наклона плоскости диска к вертикали, как консервативной системы, а также условий асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений системы с неполной диссипацией энергии, при движениях на гладкой, полугладкой и абсолютно шероховатой горизонтальных плоскостях.

ВЫВОДЫ гообразия стационарных движений гиростата, как системы с не -полной диссипацией энергии совпадают между собой, а необходимые условия устойчивости консервативной системы, являющиеся условиями существования движения совпадают с состоянием равновесия многообразия стационарных движений гиростата, как системы с неполной диссипацией энергии, как для голономных, так и для неголономных движений гиростата на горизонтальной плоскости.

Сравнивая необходимые и достаточные условия устойчивости для голономного и неголономного движения гиростата на горизонтальной плоскости следует отметить, что необходимые и достаточные условия в случае голономной системы жестче по сравнению с аналогичными условиями неголономной системы.

Наличие у движущегося диска гироскопа в общем случае усиливает устойчивость гиростата, однако в отдельных случаях, как показано в работе гироскоп может и снижать или вовсе сводить на нет способность самого диска совершать устойчивое движение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача об устойчивости движений диска на горизонтальной плоскости имеет теоретическое значение, как одно из исследований конкретной модели механической системы с неголономны-ми и голономными связями и практическое применение, как ре -шение одного из вопросов транспортной механики. Различными авторами были рассмотрены и решены вопросы устойчивости движений диска на горизонтальной плоскости, у которого центр тяжести совпадает с геометрическим центром диска. Однако у самоходных одноколесных экипажей центр тяжести не совпадает с центром колеса. В этом плане в диссертации были изучены вопросы устойчивости движения диска, центр масс которого располагается на динамической оси симметрии, проходящей перпендикулярно к плоскости диска и получены решения следующих вопросов:

1.Рассмотрена задача об устойчивости движения диска, несущего материальную точку, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и получены необходимое и достаточное условия устойчивости диска по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали; изучен вопрос об устойчивости вертикального диска, а также случай когда центр масс и точка контакта находятся на одной вертикали. Как следствия следуют известные ранее результаты, полученные другими авторами.Рас-смотрены различные частные случаи.

2.Рассмотрена задача об устойчивости движения диска, несущего материальную точку на гладкой горизонтальной плоскости и получены необходимое и достаточное условия устойчивости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали; изучен вопрос об устойчивости вертикального диска, а также случай, когда центр масс и точка контакта находятся на одной вертикали, приведены необходимое и достаточное условия устойчивости однородного тяжелого диска на гладкой плоскости. Рассмотрены различные частные случаи.

3.Рассмотрена задача об устойчивости движения диска, несущего материальную точку, на полугладкой горизонтальной плоскости и получены необходимое и достаточное условия устойчивости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали; изучен вопрос об устойчивости вертикального диска. Рассмотрены различные частные случаи.

4.Рассмотрена задача об устойчивости стационарных движений диска, несущего материальную точку, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии и получены условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений. Как следствия из полученных решений следуют ранее известные результаты.

5.Рассмотрена задача об устойчивости стационарных движений диска, несущего материальную точку, на гладкой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии и получены условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений.

6.Рассмотрена задача об устойчивости стационарных движений диска, несущего материальную точку, на полугладкой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии и получены условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений.

7.Рассмотрена задача об устойчивости движения диска, несущего гироскоп и материальную точку, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и получены необходимое и достаточное условия устойчивости гиростата по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали; изучен вопрос об устой -чивости гиростата, когда диск вертикален. Как следствия из полученных решений следуют ранее известные результаты.Рассмотрены различные частные случаи.

8.Рассмотрена задача об устойчивости движения диска, несущего гироскоп и материальную точку, на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости и получены необходимое и достаточное условия устойчивости гиростата по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали; изучен вопрос об устойчивости гиростата, когда диск вертикален, а также случай отсутствия материальной точки. Как следствия из полученных решений следуют ранее известные результаты. Рассмотрены различные частные случаи.

9.Рассмотрена задача об устойчивости движения диска, несущего гироскоп и материальную точку, на полугладкой горизонтальной плоскости и получены необходимое и достаточное условия устойчивости гиростата по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали; изучен вопрос об устойчивости гиростата, когда диск вертикален. Рассмотрены различные частные случаи.

10.Рассмотрена задача об устойчивости стационарных движений диска, несущего гироскоп и материальную точку, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии и получены условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений гиростата.

11.Рассмотрена задача об устойчивости стационарных движений диска, несущего гироскоп и материальную точку, на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии и получены условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений.

12.Рассмотрена задача об устойчивости стационарных движений диска, несущего гироскоп и материальную точку на полугладкой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии и получены условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений.

Сравнивая необходимые и достаточные условия устойчивости консервативных систем с одной стороны с соответствующими условиями систем с неполной диссипацией энергии с другой стороны отметим, что достаточные условия устойчивости движения консервативных систем по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали и условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений, как системы с неполной диссипацией энергии, совпадают; а необходимые условия устойчивости консервативной системы, являющиеся условиями существования движения, совпадают с состоянием равновесия многообразия стационарных движений, как для голономных, так и для не-голономных движений диска.

Наличие у диска гироскопа, как и следовало ожидать, в общем случае усиливает устойчивость диска по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали. Однако в отдельных случаях гироскоп может и снижать или вовсе сводить на нет способность самого диска совершать устойчивые движения.

1. Аппель П. Теоретическая механика.-М.: Физматгиз,1960,т.2, 487 е.,Ил.

2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики.-М.:Наука, 1972, т.2, 332 е.,ил.

3. Внуков В.П. Физика и оборона страны.-М.:0НТИ,1936,495 е., ил.

4. Галиуллин А.С. Устойчивость движения.-М.:Университет дружбы народов им.Патриса Лумумбы, 1973, 104 е.,ил.

5. Грамме ль Р. Гироскоп, его теория и применение.-М.: ШЛ, 1952, т.I,с.284-306.

6. Григорьян А.Т., Фрадлин Б.Н. История механики твердого тела.-М.: Наука, 1982, 292 с.

7. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем.-М.: Высшая школа, 1970, 270 е.,ил.

8. Дувакин А.П. Об устойчивости движений диска.-Инж.журнал, 1965, т.5, № I, с.3-9.

9. Егоров Ю. Одноколесный экипаж.-Изобретатель и рационализатор, 1974, № 3, с.46-47.

10. Емельянова И.С. Об одной модели моноцикла,катящегося по плоскости без проскальзывания.-Вестник МГУ,сер.мат.механика, 1969, № 5, с.89-94.

11. Емельянова И.О. К вопросу о стационарных движениях моноцикла, катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости.-Тезисы докладов 1У Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике,ч.2,механика. -Алма-Ата : 1971, с.8-10.

12. Емельянова И.С. Устойчивость стационарных движений одной модели моноцикла.-Уч.записки Горьковского университета,сер. механика, 1974, вып.174, с.74-79.

13. Жуковский Н.Е. О гироскопическом шаре Д.К.Бобылева.-М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1937, ПСС,т.1, с.352-369.

14. Ишлинский А.Ю. Задачи механики в свете решений ХХУ1 съезда Коммунистической партии Советского Союза.-ПММ, 1982, т.46, вып.2, с.188-203.

15. Карапетян А.В. Об устойчивости установившихся движений механических систем:Автореф. дис. . канд.физ-мат.наук.-М. :1975, 13 с.

16. Карапетян А.В. Некоторые задачи динамики неголономных систем: Автореф. дис. . доктора физ.-мат.наук.-М.:1982,23с.

17. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.-М. : Гостехиздат, 1950, 471 с.

18. Леви-Чивита Т. и Амальди У. Курс теоретической механики.-М.:ИИЛ, 1951, т.2, ч.2, 555 е., ил.

19. Маркеев А.П. 0 движении тела с острым краем по гладкой горизонтальной плоскости.-Изв.АН СССР, МТТД983, В 5, с.8-16.

20. Миндлин И.М. Об устойчивости диска, несущего гироскоп.-Инж.журнал, 1964,т.4,J£ I,с.101-103.

21. Миндлин И.М. Об устойчивости движения тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости.-Инж.журнал,1964,т.4, № 2, с.225-230.

22. Миндлин И.М. и Пожарицкий Г.К. Об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости.-ПММ,1965,т.29,Л 4, с.742-745.

23. Неймарк Ю.И. Динамика неголономных систем.Механика в. СССР за 50 лет.-М.:Наука, 1968, т.1,0.171-178.

24. Неймарк Ю.И. и фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем.-М.:Наука,"1967, 519 е.,ил.

25. Новоселов B.C. Аналитическая механика систем с переменными массами.-I.:ЛГУ,1969, с.213-222.

26. Пойда В.К.Об устойчивости в целом катящегося диска.-Вест. ЛГУ.Матем.,механ.,астрон.,1981,№ 19,вып.4, с.82-88.

27. Персидский К.П.Избранные труды.-Алма-Ата:Наука,1976,т.I, 272 е.,т.2, 248 с.

28. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений.-ШМ, 1966,т.30, № 5, с.922-933.

29. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений.-ШМ, 1968, т.32, В 3, с.504-508.

30. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида.-ПММ,1961, т.25, с.778-784.

31. Румянцев В.В. Об устойчивости движения неголономных систем.-ПММ,1967,т.31, №2, с.260-271.

32. Румянцев В.В.Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости.-Изв.АН CCCP,MTT,I980,M,c.II-2I.

33. Румянцев В.В. К задаче об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости с трением.Современные проблемы механики и авиации.-М.:1982,с.263-272.

34. Румянцев В.В.,Карапетян А.В.Устойчивость неголономных сис-тем.Итоги науки и техники.Общая механика:-М.:1976,т.З,с.5-42.

35. Румянцев В.В.,Скимель В.Н. Устойчивость гироскопов, гиростатов и гироскопических систем. Труды II-го Всесоюзного съезда по теор. и прикладной механике.-М.:Наука, 1964,с.199-216.

36. Скимель В.Н. Об устойчивости некоторого типа гиростатов.-Труды КАИ, 1965, $ 89, с.33-40.

37. Уиттекер Е.Т. Аналитичеекая динамика.-М.: ОНТИ, 1937, 500 с., ил.

38. Чаплыгин С.А. О движении тяжелого тела вращения на плоскости.- M.-I.: 0ГИЗ, 1948, ПСО, т.1, с.57.

39. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике.- М.:АН СССР, 1962, 535 с.

40. Шеин Т.В. Мотоцикл внутри колеса.- Изобретатель и рационализатор, 1969, В 12, с. 35-36.

41. Шутуров I. Мотоцикл как таковой. Наука и жизнь.- 1982, $ I, с.86-89.

42. Анчев А.,Диамандиев В. Върху устойчивостта на праволиней-ното движение на търкалящ се диск.- Годишник Софийск. ун-т. Матем фак.,1963-1964 (1965), 58, с.195-202.

43. Beakin М.Е. Trans. ASME, Ш6, ЕЗЗ,2^0'220

44. Джаембаев Р.Т. Устойчивость движения тяжелого диска на плоскости с проскальзыванием. Тезисы докладов У1 Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике, ч.2, механика. -Алма-Ата: 1977, с.13-14.

45. Джаембаев Р.Т. Устойчивость движения тяжелого диска на гладкой плоскости. Тезисы докладов У1 Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике ч.2, механика.- Алма-Ата : 1977, с.15.

46. Джаембаев Р.Т. Движение тяжелого диска на плоскости с проскальзыванием. Тезисы докладов У1 Казахстанской межвузовской конференции по математике и механике, ч.2механика.- Алма-Ата : 1977, с.16.

47. Джаембаев Р.Т. Устойчивость стационарных движений диска,несущего гироскоп, катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Расчет и конструирование машин и механизмов. MB и GC0 Каз.ССР. Каз 1ГГИ им.В.И.Ленина. - Алма-Ата: 1979, с.136-141.