Об устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение

1 Вывод уравнений движения

1.1 Некоторые геометрические и кинематические формулы

1.2 Уравнения движения.

2 Об устойчивости стационарных движений гиростата

2.1 Функция Рауса.

2.2 Стационарные движения.

2.3 Устойчивость стационарных движений

2.3.1 Тело с круговым основанием

2.3.2 Диск с ротором.

2.3.3 Тело, опирающееся на плоскость иглой.

3 Гиростат с жидкостью в полости

3.1 Уравнения движения. Первые интегралы.

3.2 Стационарные движения. Устойчивость.

3.3 Случай тонкой оболочки.

1. Задача исследования движения и устойчивости качения тела по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости является классической задачей, которой начали заниматься во второй половине XIX столетия и которую продолжают изучать до настоящего времени.

В 1861 г. Г. Слессер [65], используя основные теоремы динамики, составил уравнения движения тяжелого тела вращения, отнесенные к системе координат, движущейся относительно тела и в пространстве.

Э. Дж. Раус в своем трактате [63], также записав основные теоремы динамики в полуподвижной системе координат, получил уравнения движения без скольжения тела вращения по горизонтальной плоскости, определил условия существования его стационарных движений, исследовал вертикальные вращения и малые колебания вблизи положения равновесия тела произвольной формы, вывел первые интегралы уравнений движения в случае тела вращения со сферическим основанием.

С. А. Чаплыгин [53] впервые вывел дифференциальные уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах для систем, кинетическая, потенциальная энергии и уравнения связей которых не содержат некоторых из обобщенных координат. Системы, обладающие таким свойством, стали называть системами Чаплыгина. Однако, решая далее задачу о движении без скольжения тяжелого симметричного гиростата — тела вращения с ротором, он записал уравнения движения гиростата на основе общих теорем динамики с последующим исключением входящих в эти уравнения реакций. Далее он указал ряд частных случаев, когда интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам, и сделал ряд замечаний о характере движения гиростата в этих случаях.

В монографии А. Грэя [57] изложена теория движения тела вращения со сферическим основанием, несущего ротор, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, найдено условие существования стационарных движений системы, рассмотрен случай диска с ротором.

Из линеаризованных уравнений движения определены условия устойчивости прямолинейного качения тела с круговым основанием, в частности диска, по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости pi].

В конце XIX столетия Э. Дж. Раус [62] получил условия устойчивости стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами или с известными первыми интегралами. Следует отметить, что для голономных консервативных механических систем существует единственное определение циклической координаты, которое одновременно обеспечивает наличие соответствующего циклического интеграла. В случае неголономных систем существуют несколько определений псевдоциклической координаты [22], среди которых имеются определения, обеспечивающие существование стационарных движений, но вообще говоря, не допускающие циклических интегралов. Таким образом, консервативные неголоном-ные механические системы не имеют, вообще говоря, интегралов, отличных от интеграла энергии. Однако, в некоторых случаях неголо-номная система Чаплыгина допускает первые интегралы, явный вид которых неизвестен, но их можно представить в виде гипергеометрических рядов [20]. Несуществование дополнительных интегралов в случае неголономной системы существенно затрудняло исследование устойчивости ее стационарных движений.

В работах И. М. Миндлина [28] и А. П. Дувакина [7] исследована устойчивость прямолинейного качения диска с ротором и устойчивость прямолинейного качения диска и верчения диска вокруг вертикально расположенного диаметра на абсолютно шероховатой плоскости. И. М. Миндлиным и Г. К Пожарицким [29] получено необходимое и достаточное условие устойчивости стационарных движений гиростата в предположении, что угол нутации отличен от нуля. При исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова использовалось представление неизвестных первых интегралов в виде гипергеометрических рядов.

В монографии Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [31] впервые дано достаточно полное изложение механики неголономных систем. Рассмотрены различные формы уравнений движения неголономных систем, затронуты вопросы малых колебаний около положения равновесия и устойчивости стационарных движений.

A. В. Карапетяном было исследовано движение на абсолютно шероховатой плоскости тяжелого тела, распределение масс и форма поверхности которого произвольны [12, 13], а также некоторых частных случаев тел [17, 14]. Рассмотрено движение [19] по абсолютно шероховатой плоскости трехосного эллипсоида, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром. Найдено условие существования перманентных вращений эллипсоида. Изучены случаи перманентных вращений вокруг его главных осей, вокруг осей, расположенных в главной плоскости эллипсоида, и вокруг произвольной оси.

B. В. Румянцевым [40] исследована устойчивость стационарных вращений вокруг вертикали тяжелого гиростата произвольной формы.

В диссертации А. В. Карапетяна [12] разработана теория устойчивости стационарных движений неголономных систем. Показано, что если рассматривается неголономная система Чаплыгина, причем матрица диссипативно-ускоряющих сил, действующих на линейную приведенную систему, тождественно по позиционным координатам обращается в нуль, то для исследования устойчивости справедливо обобщение теоремы Рауса.

В работе А. В. Карапетяна и В. В. Румянцева [22] дан обзор результатов об устойчивости положений равновесия и стационарных движений голономных и неголономных систем, исследованы стационарные движения тяжелого твердого тела на горизонтальной абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостях и на плоскости с трением.

В монографии А. П. Маркеева [25] изложены основные результаты в задачах движения твердых тел по поверхности, в частности, по абсолютно шероховатой плоскости. Исследованы стационарные и периодические движения тела произвольной формы, тела вращения, диска, трехосного эллипсоида.

В работе J1. Сальвадори и Ф. Визентин [64] для неголономной динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями Вольтерра с одной ациклической переменной, построена функция, к определению минимума которой сведено исследование устойчивости динамической системы. Полученные результаты приложены к задаче о качении тела вращения по горизонтальной плоскости, найдены условия устойчивости всех стационарных движений тела вращения, за исключением вращения вокруг вертикально расположенной оси симметрии.

В диссертации Е. Н. Шевелевой [54] рассмотрено движение без скольжения неоднородного диска, представляющего собой однородный круговой диск с расположенной на нем точечной массой; найдены необходимые условия устойчивости верчения системы вокруг вертикально расположенного диаметра, содержащего эту точечную массу. В диссертации [54] и в статье В. И. Каленовой, В. М. Морозова, Е. Н. Шевелевой [11] рассмотрено движение по абсолютно шероховатой плоскости одноколесного велосипеда, состоящего из однородного кругового диска, стержня, прикрепленного к центру диска и движущегося в плоскости диска, и однородного симметричного маховика, установленного на стержне. Найдены необходимые условия устойчивости равновесия системы, вращения диска вокруг неподвижного вертикального диаметра и прямолинейного качения системы.

Исторический очерк развития рассматриваемой проблемы имеется в трактатах П. Аппеля [3], Е. Рауса [63], а также в современной монографии А. П. Маркеева [25]. Исторический обзор достижений в развитии теории устойчивости стационарных движений голономных систем и систем с дифференциальными связями с учетом результатов последних лет дан в монографии А. В. Карапетяна [20].

2. Фундаментальные результаты в задачах динамики твердых тел, имеющих полости, содержащие жидкость, принадлежат В. В. Румянцеву [45, 36, 30, 42, 44, 4, 5 ]. А. В. Карапетяном [16] получены достаточные условия устойчивости регулярной прецессии симметричного твердого тела с неподвижной точкой, имеющего эллипсоидальную полость, целиком заполненную идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

В последнее время возрос интерес к задаче движения тяжелого осе-симметричного тела с полостью, содержащей жидкость, по горизонтальной неподвижной плоскости. Первой в этом ряду исследований была работа А. П. Маркеева [26], в которой рассмотрено движение тела вращения с полостью в форме эллипсоида вращения, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Для случая абсолютно гладкой плоскости найдены необходимые и достаточные условия устойчивости вращения гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Для абсолютно шероховатой плоскости получено необходимое условие устойчивости вертикального вращения гиростата в предположении, что тело и жидкость вращаются с одинаковой угловой скоростью

26]; исследованы колебания около положения равновесия гиростата

27].

В работе И. М. Казмерчука и В. А. Самсонова [10] рассмотрено движение осесимметричного тела с цилиндрической полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью. При различных законах трения исследованы семейства траекторий волчка на фазовой плоскости.

В статье А. В. Карапетяна и О. В. Прокониной [21] исследована устойчивость вращений на горизонтальной плоскости с трением скольжения симметричного твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость, целиком заполненную идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

В конце XIX столетия Уильям Томсон (лорд Кельвин) [66] описал опыты с жидкостным гиростатом, представляющим собой тонкую оболочку в форме эллипсоида вращения, целиком заполненную жидкостью. С. Гафом, А. Б. Бассе и С. В. Жаком были получены необходимые [59, 56] и достаточные [8] условия устойчивости вертикального вращения волчка, движущегося по инерции вокруг центра полости. А. П. Маркеев [26] определил области устойчивости равномерного вращения вокруг вертикально расположенной оси симметрии тонкостенного волчка на абсолютно гладкой плоскости. В статьях А. В. Карапетяна и О. В. Прокониной [21, 50] исследована устойчивость стационарных движений тонкостенного волчка, заполненного жидкостью, на плоскости с трением скольжения. А. В. Карапетяном [15] найдены стационарные и периодические движения тонкостенного сфероида, целиком заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, на горизонтальной плоскости с вязким трением скольжения; рассмотрен вопрос ветвления этих движений, получены необходимые условия устойчивости равномерного вращения сфероида вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Для случая абсолютно шероховатой плоскости в результате анализа корней характеристического многочлена линеаризованных уравнений А. П. Маркеев [26] установил, что необходимое условие устойчивости вертикального вращения выполнено для сжатого вдоль оси симметрии волчка и некоторых вытянутых волчков.

3. Диссертация посвящена вопросам устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, рассмотрено влияние ротора и жидкости на устойчивость стационарных движений. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 67 наименований.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

Показано, что уравнения движения симметричного гиростата — тяжелого симметричного тела вращения с ротором — в форме уравнений Чаплыгина выражают в проекциях на оси полуподвижной системы координат тоерему об изменении кинетического момента гиростата, взятого относительно точки контакта корпуса с опорной плоскостью.

2. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости стационарных движений гиростата. Исследовано влияние ротора на устойчивость стационарных движений. Показано, что с увеличением мгновенной угловой скорости ротора возможно стабилизировать неустойчивое перманентное вращение и прямолинейное качение гиростата.

3. Рассмотрен случай, когда корпусом гиростата является тело с круговым основанием, в частности диск. Показано, что ротор оказывает стабилизирующее влияние на равновесие гиростата. Установлена неустойчивость прямолинейного качения диска с ротором при условии, что осевой кинетический момент такого гиростата равняется нулю.

4. Получено обобщение интеграла Желле для гиростата, корпус которого — тело вращения со сферическим основанием, к телу прикреплен симметричный ротор, в теле имеется полость в форме эллипсоида вращения, целиком заполненная однородной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

5. Найдены стационарные движения гиростата с жидкостью в полости. Построением функции Ляпунова в виде связки первых интегралов получены достаточные условия устойчивости найденных стационарных движений. Показано, что если полость представляет собой сильно вытянутый вдоль оси симметрии эллипсоид и жидкость и корпус вращаются с одинаковой угловой скоростью, то нарушаются достаточные условия устойчивости вращения гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Показано, что вращение ротора в направлении, противоположном вращению корпуса и жидкости, также разрушает устойчивость.

6. Исследован случай, когда ротор отсутствует, а масса корпуса пренебрежимо мала по сравнению с массой жидкости. Показано, что вертикальное вращение сжатого вдоль оси симметрии тонкостенного волчка устойчиво. Если волчок — вытянутый вдоль оси симметрии эллипсоид, то нарушаются достаточные условия устойчивости.

1. Анчев А. Об устойчивости перманентных вращений тяжелого гиростата // Прикладная математика и механика (ПММ). 1962. Т. - XXV1. Вып. 1. С. 22 - 28.

2. Анчев А. О перманентных вращениях тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 49 -58.

3. Аппелъ П. Теоретическая механика. Т. II / Пер. с фр. — М.: Физматгиз, 1960. 488 с.

4. Владимиров В. А., Румянцев В. В. К обращению теоремы Ла-гранжа для твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 608 612.

5. Владимиров В. А., Румянцев В. В. К обращению теоремы Ла-гранжа для твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 2. С. 190 200.

6. Дувакин А. П. Об устойчивости движения волчка с гироскопом по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Инженерный журнал. 1963. Т. III. Вып. 1. С. 131 134.

7. Дувакин А. П. Об устойчивости движений диска // Инженерный журнал. 1965. Т. V. Вып. 1. С. 3 9.

8. Жак С. В. Об устойчивости некоторых частных случаев движения симметричного гироскопа, содержащего жидкие массы // ПММ. 1958. Т. XXII. Вып. 2. С. 245 249.

9. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 2. С. 152 309.

10. Казмерчук И. М., Самсонов В. А. О квазистационарных движениях волчка с жидким наполнением // Изв. РАН. МТТ. 1996.1. N 2. С. 32 36.

11. Каленова В. И., Морозов В. М., Шевелева Е. Н. Устойчивость и стабилизация движения одноколесного велосипеда // Изв. РАН. МТТ. 2001. N 4. С. 49 58.

12. Карапетян А. В. Некоторые задачи динамики неголономных систем; Дис. . д-ра физ.-мат. наук; 01.02.01. М., 1982. 259 с.

13. Карапетян А. В. О перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости / / ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 5. С. 808 814.

14. Карапетян А. В. О специфике применения теории Рауса к системам с дифференциальными связями // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 17 22.

15. Карапетян А. В. О стационарных движениях сфероида, заполненного жидкостью, на плоскости с трением // ПММ. 2001.

16. Т. 65. Вып. 4. С. 645 652.

17. Карапетян А. В. Об устойчивости регулярной прецессии симметричного твердого тела с эллипсоидальной полостью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1972. N 6. С. 122 125.

18. Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5.1. С. 801 807.

19. Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений систем некоторого вида // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. N 2.1. С. 45 52.

20. Карапетян А. В. Семейства перманентных вращений трехосного эллипсоида на шероховатой плоскости и их ветвление // Актуальные проблемы классической и небесной механики. Межвед. сб. научн. тр. — М.: ТОО "Эльф", 1998. С. 46 51.

21. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

22. Карапетян А. В., Проконина О. В. Об устойчивости равномерных вращений волчка с полостью, заполненной жидкостью, на плоскости с трением // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 85 91.

23. Карапетян А. В., Румянцев В. В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 6. С. 5 132.

24. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 432 с.

25. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение / Пер. с нем. Г. Д. Блюмина и др.; Под ред. Г. Д. Блюмина. — М.: Мир, 1974.528 с.

26. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. 336 с.

27. Маркеев А. П. Об устойчивости вращения волчка с полостью, наполненной жидкостью // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. N 3.1. С. 19 26.

28. Маркеев А. П. О колебаниях твердого тела с полостью, содержащей жидкость, на абсолютно шероховатой плоскости // Некоторые задачи и методы исследования динамики механических систем. — М.: Изд-во МАИ, 1985. С. 19 25.

29. Миндлин И. М. Об устойчивости диска, несущего гироскоп // Инженерный журнал. 1964. Т. IV. Вып. 1. С. 101 104.

30. Миндлин И. М.} Пожарицкий Г.К. Об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 4.1. С. 742 745.

31. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. 440 с.

32. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 520 с.

33. Парс JI. А. Аналитическая динамика / Пер. с англ. К. А. Лурье. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. 636 с.

34. Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой плоскости / / ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 765 778.

35. Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений волчка с жидкостью на абсолютно шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Ч. 2. М.: ВЦ РАН, 2001. С. 147 160. (В печати)

36. Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений гиростата с жидкостью в полости // ПММ. 2002. (В печати)

37. Румянцев В. В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. N 6.1. С. 119 140.

38. Румянцев В. В. К задаче об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости с трением // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982. С. 263 272.

39. Румянцев В. В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // ПММ. 1957. Т. XXI. Вып. 3. С. 339 346.

40. Румянцев В. В. Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. N 4. С. 11 21.

41. Румянцев В. В. Об устойчивости движения гиростатов // ПММ. 1961. Т. XXV. Вып. 1. С. 9 16.

42. Румянцев В. В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида // ПММ. 1961. Т. XXV. Вып. 4. С. 778 784.

43. Румянцев В. В. Об устойчивости перманентных вращений несимметричного гироскопа с жидким заполнением // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. N 6. С. 4 9.

44. Румянцев В. В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: ВЦ АН СССР, 1967. 141 с.

45. Румянцев В. В. Об устойчивости установившихся движений гироскопа с жидким наполнением / / Проблемы прикладной математики и информатики: Докл. конф. Ч. 1: Механика и математическая физика. — М.: ВЦ РАН, 1990. С. 30 46.

46. Румянцев В. В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью // ПММ. 1957. Т. XXI. Вып. 6. С. 740 748.

47. Румянцев В. В., Скимелъ В. Н. Устойчивость гироскопов, гиростатов и гироскопических систем // Труды Второго Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике (1964). Вып. 2. — М.: Наука, 1965. С. 199 216.

48. Самсонов В. А. Ветвление и некоторые свойства нелинейных механических систем // Нелинейная механика. Под ред. В. М. Мат-росова, В. В. Румянцева, А. В. Карапетяна. — М.: Физматлит, 2001. С. 323 -361.

49. Самсонов В. А. Качественный анализ задачи о движении волчка по плоскости с трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. N 5. С. 29 35.

50. Самсонов В. А. О квазистационарных движениях механических систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. N 1. С. 32 35.

51. Селюцкая О. В. О стационарных движениях волчка, заполненного жидкостью / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Ч. 1. М.: ВЦ РАН, 2000. С. 150 156.

52. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостех-издат, 1952. 343 с.

53. Цодокова Н. С. О перманентных осях вращения гиростата с закрепленной точкой Ц ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 6. С. 1104 1107.

54. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. M.-JL: Гостехиздат, 1949. С. 9 27.

55. Шевелева Е. Н. Задача стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами; Дисс. . канд. физ.-мат. наук; 01.02.01. М., 1999. 167 с.

56. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1955. 207 с.

57. Basset А. В. On the Steady Motion and Stability of Liquid Contained in an Ellipsoidal Vessel // The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 1914. Vol. 45. No 179 (3). P. 223 238.

58. Gray A. A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion: Theory and Applications. London: Macmillan and Co, 1918. 530 p.

59. Hadamard J. Sur les mouvements de roulement // Appell P. Les mouvements de roulement en dinamique. — Paris: Gauthier-Villars, 1899. P. 47 68.

60. Hough S. S. The Oscillations of a Rotating Ellipsoidal Shell Containing Fluid // Phil. Transactions. Roy. Soc. London. Ser. A. 1895. Vol. 186. Pt. 1. P. 469 506.

61. Jellett J. H. A Treatise on the Theory of Friction. Dublin; London: MacMillan, 1872. 230 p.

62. Routh Е. J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. London: MacMillan and Co, 1877. 108 p.

63. Routh E. J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. London: McMillan, 1882. V. 2. = Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел / Пер. с англ.; Под ред. Ю. А. Архангельского и В. Г. Демина : В 2-х т. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.

64. Salvadori L., Visentin F. Stability Problems for a Class of Nonholonomic Mechanical Systems // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. 1996. Vol. 2. No 4. P. 461 476.

65. Slesser G. M. Notes on Rigid Dinamics // Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 1861. Vol. IV. P. 65 77.

66. Thomson W. On the Motion of a Liquid within an Ellipsoidal Hollow // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh: Neill and Company, 1885 1886. Vol. XIII. No 121. P. 370 - 378.

67. Vranceanu G. Sulla Stabilita del Rotolamento di un Disko // Atti della Royale Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Sc. fisishe, mat. e Nat. 1924. V. 33. P. 383 388.