Стационарные движения гиростата на плоскости с трением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

1. Введение.

2. Глава 1. Инвариантные множества диссипативных систем с симметрией и их устойчивость.

3. Глава 2. Инвариантные множества гиростата на плоскости с трением и их устойчивость.

4. Глава 3. Атлас бифуркационных диаграмм.

Задача о движении тяжёлого гиростата (в частности, твёрдого тела), опирающегося одной из своих точек о горизонтальную плоскость, представляет собой классическую задачу теоретической механики. В зависимости от характера взаимодействия тела с плоскостью различают три случая:

1) случай абсолютно гладкой плоскости, если тело может скользить по плоскости без трения;

2) случай абсолютно шероховатой плоскости, если тело вообще не может скользить по плоскости;

3) случай плоскости с трением скольжения, если тело, вообще говоря, может скользить по плоскости, но этому скольжению препятствует сила трения.

В первом случае динамика тела на плоскости описывается в рамках динамики гамильтоновых систем, а во втором - в рамках динамики консервативных неголономных систем. Эти случаи довольно хорошо изучены (см., например, [8]). Случай плоскости с трением скольжения изучен в меньшей степени, причём большинство результатов относится к задаче о движении абсолютно твёрдого тела [1-5, 8, 11, 16, 18,22]. Задача о движении гиростата на плоскости с трением наиболее полно изучена, по-видимому, в работе [15].

Таким образом, дальнейшее исследование вопросов существования, устойчивости и ветвления стационарных движений тяжёлого гиростата на горизонтальной плоскости с учётом трения скольжения представляет собой весьма актуальную задачу. Интерес к этой задаче вызван не только её важностью в теоретическом плане развития динамики гиростатов на плоскости с трением, но и возможными её приложениями к динамике колёсных экипажей, мобильных роботов и т. д.

В случае, если гиростат динамически симметричен и ограничен сферической поверхностью, уравнения движения гиростата по плоскости с учётом трения скольжения всегда (независимо от вида трения ) допускают невозрастающую функцию (полная механическая энергия) и первый интеграл (обобщённый интеграл Желле). Это даёт возможность применять модифицированную теорию Рауса - Ляпунова -Сальвадори [4,6,7,10-14,17,19-21,23-30] для исследования задачи о существовании, устойчивости и ветвлении стационарных движений гиростата на плоскости с трением скольжения. Применение этой теории значительно упрощается, если невозрастающая функция квадратична, а первые интегралы линейны по квазискоростям, поскольку в этом случае можно построить эффективный потенциал [ 4, 17] и свести исследование поставленной задачи к анализу эффективного потенциала. В случае, когда невозрастающая функция не содержит линейных по квазискоростям членов, а линейные интегралы не содержат свободных членов, построение эффективного потенциала осуществлено в [4, 17]. В задаче о движении гиростата по плоскости с трением полная механическая энергия удовлетворяет указанному условию, а обобщённый интеграл Желле содержит свободный член.

Поэтому определённый интерес представляют проблемы построения эффективного потенциала в общем случае и в задаче о движении гиростата по плоскости с трением, а также проблема анализа последнего с целью исследования всех стационарных движений гиростата.

Решению этих проблем и посвящена настоящая диссертация.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы (34 наименования). Общий объём диссертации - 74 страницы.

Заключение.

В заключении приведём коротко основные результаты данной работы.

Исследования, проведённые выше, дают возможность определить все стационарные движения тяжёлого, неоднородного, динамически симметричного и ограниченного сферической поверхностью гиростата, который движется по горизонтальной плоскости с учётом трения скольжения. Эти стационарные движения представляют собой равномерные вращения и регулярные прецессии. Также получены условия их устойчивости и ветвления.

Аналитический анализ условий существования, устойчивости и ветвления стационарных движений гиростата даёт основания для разбиения пространства параметров гиростата на области, различающиеся характером устойчивости стационарных движений и видом бифуркационных диаграмм. Выделены все возможные области.

Результаты численных исследований множества стационарных движений гиростата и условий их устойчивости представлены в виде атласа бифуркационных диаграмм при различных значениях гиростатического момента.

1. Карапетян A.B. О регулярной прецессии тела вращения на горизонтальной плоскости с трением // ПММ. Т.46. Вып. 4. С. 568572.

2. Карапетян A.B. Об устойчивости стационарных движений систем с трением //ПММ. 1987. Т.51. Вып. 4. С.552-558.

3. Карапетян A.B. Качественное исследование динамики волчка на плоскости с трением // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 698-701.

4. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. Москва. 1998. Издательство " Эдиториал УРСС 165 с.

5. Карапетян A.B., Рубановский В.Н. Об устойчивости стационарных движений неконсервативных систем // ПММ. Т. 50. Вып. 1. С. 43-49.

6. Ляпунов А. М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. Харьков: Издательство Харьковского Мат. Общества, 1888.54 с.

7. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Издательство Харьковского Мат. Общества, 1892. 250 с.

8. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. Москва: Наука, 1992. 336 с.

9. Павловский В. Е., Кирикова Е. П. Модельная задача нейроуправления движением материальной точки в поле силы тяжести.// Искусственный интеллект, № 3, 2000. с 235-241.

10. Пожарицкий Г.К. О построении функций Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения // ПММ. 1958. Т. 22. Вып. 2. С. 145-154.

11. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. Москва: Наука, 1988. 304 с.

12. Рубановский В.Н. Степанов С.Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функции Ляпунова из интегралов уравнений движения // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 5. С. 904-912.

13. Румянцев В.В. Об устойчивости равномерных вращений механических систем // Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и маш-ние. 1962. №6. С. 113-121.

14. Румянцев В.В Об устойчивости стационарных движений спутников. Москва: ВЦ АН СССР. 1967. 141 с.

15. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости. // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 4. С. 11-21.

16. Самсонов В.А. Качественный анализ задачи о движении волчка на плоскости с трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 29-35.

17. Смейл. С. Топология и механика // Успехи мат. Наук. 1972. Т.27. № 2. С. 77-120.

18. Сумбатов A.C., Южин Е.К. Очерки о трении. Москва. Москва: ВЦ РАН. 2000. 140 с.

19. Karapetyan A.V. The Routh theorem and its extensions // Colloq. Math. Janos Bolyai. 53. Qualit. Theory of diff. Eq. Amsterdam New York: North Holland, 1990. P. 271-290/

20. Karapetyan A.V. Invariant sets of mechanical systems. In: Modern methods of analytical mechanics and their applications. Wien -N.Y.: Springer, 1998, p. 153-210.

21. Levi-Civita T.Sur la recherché des solutions particulières des syste'mes differentials et sur les mouvments stationnaires // Prace mat.-fïs. 1906. V. 17. P. 1-140.

22. Magnus К. Die Stabiiitat der Drehbewegungen eines unsymmetrischen Korperts auf horizontaler Unterlage // Theorie und Praxis der Ingenieurwissenchaften. Berlin, München, Dusseldorf. 1974. P. 19-23.

23. Poincare H. Sur Г équilibré d'une mass fluide animee d'un mouvment de rotation // Acta Math. 1885. V.4. P. 259-380.

24. Routh E.J. A treatise on the stability of a given state of motion. London: MacMillan and Co., 1877. 108 p.

25. Routh E J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. London: MacMillan and Co., 1884. 343 p.

26. Salvadori L. Un" osservazione su di un criterio di stabilita del Routh // Rend. Accad. Sci. fis. e math. Soc. naz. sci. lett. ed arti. Napoli. 1953. V. 20. P. 269-273.

27. Salvadori L. Criteri d'instabilita per i moti merostatici di un sistema olonomo // Rend. Accad. Sci. fis. e math. Soc. naz. lett. ed. arti. Napoli. 1960. V. 27. P. 535-542.

28. Salvadori L. SulFestensione ai sistemi dissipative del criterio di stabilita del Routh // Ric. mat. 1966. V. 15. P. 162-167.

29. Salvadori L. Sulla stabilita del movimento // Matematiche. Catania. 1969. V.24. P. 218-239.

30. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta Math. 1899. V. 22. P. 257-273.

31. Карапетян A.B., Ситанская Ю.Г. Инвариантные множества ненатуральных механических систем: Вестник МГУ. 1998. №4. С.58-61.

32. Карапетян А.В., Ситанская Ю.Г. О стационарных движениях гиростата на плоскости с трением: Вестник МГУ. 1999. №4. С. 36-39.

33. Кулешов А.С., Ситанская Ю.Г. Об устойчивости прецессий гиростата на плоскости с трением // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: ВЦ РАН. 2000. С. 111-118.

34. Кулешов А.С., Ситанская Ю.Г. Об устойчивости прецессий гиростата на плоскости с трением // Шестой международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва. 2000. с. 108.