Вложение колец в радикальные кольца и рациональные тождества радикальных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕИЙЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТШТИКИ Специализированный совет Д 002.23.01

На правах рукописи

Валициао АлоксеЯ Игоревич

УДК 512.552

ВЛОЖЕНИЕ КОЛЕЦ В РАДИКАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА РАДИКАЛЬНЫХ АЛГЕБР •

01.01.06 - ыатематическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации ка соискание ученой стегани кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1988 г.

Работа выполнена в Новосибирском государственной университете, Инсгияуве математики СО АН СССР и Институте автоматики и элетароиетрии СО АН СССР.

Научный руководитель - доктор физико-иатевдгическшс наук

Бокуть Л .А.

Официальные оппоненты - доктор физано-матеыагичвснюг наук

Рябухия Ю.Ы. - доктор физико-натеиатичвснях наук Мальцев Ю.Н.

»

Ведудэо учреждение - Московский государственный университет им. М.В» Ломоносова

Защита состоится »21 " октября 1988 г. в " 18 " часоз на заседании специализированного'совета Д 002.23.01 при Институте катематики СО АН СССР (630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4).

С диссертацией нозно ознакомиться в библиотеке Института математика СО АН СССР.

Автореферат разослан "_" . _ 1988 г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-ы.к.

Е.А. Лалютин

Л^«?*3/' ОШЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

-, - '7"7 'J

Актуальность темы. В современных алгебраических исследованиях важное место занимаю? проблемы влскения. Задаче, о вложении полугрупп в группы была решена А.И. Мальцевым [ 1С,с. 39-5? 3 ° Ии была явно указана система квазктс--доста, определяющая кваэиыногообразве полугрупп» вло»им<.; в группы, и было доказано,, что полученная система квазитождеств не эквивалентна никакой своей конечной подситае-В-раб ог е [ ÏO,c. 12-15] А .И. Мальцев построил при тк области целостности, иультиплякаткзпак полугруппа которой ко влозика в группу. Ок поставил вопроси о оуцеозвовапиг: колец, m злонимых в тела, мультипликативная полугруппа которых вкладывалась бк в группу, к-о нападении необходимых и достаточных условий влозицосги произвольного ко-* лэда з

Первый из згке вопросов" был пезавненао решен А. Баугеь-ao.'j [12 j , А« Клейкой [15] и Л.А. Бокутегл [з ] » не-строившими примера колец с требуейви свойсгзсм.- Принерв найденный Л.А. Ескухен,'занзчзгелен со дзуи яричиааи. Во-первых,, кольцо» построенное eu, является полугруппово.'' алгеброй (над nose« аз двух элеиектов)» а во-вгорых, она из только не влояэа в тело, ко к не обрагико (sse. нз« который его элекваг но иоввг tfusb ооратшшк вп s' xbuqv объемлющей .¡олхцо). J..A. Бокугеи [?,вопр. 2«22 ] бы£ поставлен вопрос о существования необратима колец произвольной характеристики» мультипликативная полугруппа которых вкладывалась бн в группу. .

Необходимые к достаточные условия влознкосхя пропз--вольного кольца в тело.бкла кайдеин П. Конок [ 8,гл.7] . Открытие П. Кона состояло з том,.что гоиокорфизк веяного кольца в тело определяется (с точностью до влозен:?)5 тол) множество« всех матриц, отобразазаых на в оорати гае матрицы*

П.- Коном [напр. 8,0. 350 ] и Б.й. Гвраокггова»: [ k ] было доказано, ч?<"> произвольная конечная- совокупность условий, найденных П. Конои, выполняется в

'л гТ -кольцах при достаточно большой натурально« п, „ " Поскольку каздый из классо_ ц р]_ -колец содеркит невло-зггаые в тела кольца (примеры А. Баухелла а А» Клейна) 1:лесо' колец, злоншых в тела, на моает быть задан конечной системой аксиом. Напомним, что кольцоЙ называется Я, ГХ-кольцом, если какдый его -поронденный правый йдеал является свободным Д. -модулем однозначно определенного ранга. П. Коном [8,с. 8? 3 был сформулирован запрос о том, являются ли %рX -кольца обратимыми.

Отве® на этот вопрос был дан В.Н. Герасимовым С 5-6] а П. Мальнольмсояоа- [14-15] , которые независимо построили'явкув конструкцию универсального 2 -обращающего кольца для произвольного кольца Я, и ынокест-5а катриц 2 • Кольцо Й21'1 однозначно определяется : (о точностью до изоморфизма) следующим универсальным звоКством; для любого гомоморфизма-С; У кольца £ ;з кольцо Т 5 переводящего матрицы из 21 * обратимые ыазрицы над Т » существует единственный гомоморфизм 75; 9- .Т » дополняющий" следующую диаграмму до коадутагивной! '•'..•"'■'..."'

рч

- Построение конструкции сделало возможный при-

менение техники локализаций в некоммутативных кольцах. Описание ядра универсального 2? -обращающего гоыомор-фшша б' позволило В.Н. Герасимову и П.- Маяьколъмсопу доказать, в частности, обратимость £ -колец.

'Гакиц образом, при изучении вложений колец в тела рассматривались следующие классы колец: УСо - кольца без делателей нуля, Жх - области, мультипликативная полугруппа которых влокииа в группу, УС& ~ обратимые кольца, - кольца, вложиыые в тела. Результаты А.И. Мальцева, А.Ба-

утелла, Л. Клейна, Л.А. Бокутя, В.Н. Герасимова, П» йаль-кольнсона показывают, что-все включения.в цепочке

%Q з> Х± г? JCX Л3

являются строгими.

Затронутые выше вопроси возникают и при изучении ило-. яений колец в радикальные (по Джекоосону) кольца: встречающиеся свойства мультипликативной полугруппы кольца нукно заменить соответствующий свойствами его присоединенной полугруппы, укнокение в которой определяется пра~. видом й-оВанность решения этих вопросов обусловлена ведущей ролью радикала Джокобсона в исследованиях по структурной теории колец. Вопрос о наховдении не- • обходимых я достаточных условий блояпмосгй произвольного кольца в. радикальное, кольцо был сфоркулирован З.А. Аид-рунакиевичем [ ?,вопр, 1.7. J , доказавши,- что кольцо, присоединенная полугруппа которого удовлетворяет условие, яа Ope и двустороннего сокращения, влогино в радикальное.

Изучение радикальных колец связано ецз с одним взшшн ' ■ направлением современной seopaa колец ~ исследованием то-ндеств з расвирениоЗ сигнатуре. Эта связь обусловлена те;:, что.класс радикальных колец является многообразием в сигнатуре, состоящей из кольцеяш: операций к унарной опорацш-квазиобрацония» Тоядссгга в расширенной сигнатуре, выполняющиеся кг. кольцах гхого многообразия, будем называть рациональными по. аналогии, с рациональными тождества::!,; взоденшиа С. Дшгацуроы для класса тел. .

Основной результат, доказанной С. Лшицуроц [II] » состоит в 101!, что всякое тело а бесконечным центром, удовлетворяющее нетривиальному рациональному тоздоству, является PI-кольцом.■ вопрос.о том» будет ли PI-кольцоа ради-.калыме кольцо, удовлетворяющее.нетривиальному рациональному тоздеству, сформулирован В.Н, Геразииошш [ 7,воир. 2.31 1 .

Упомянутые вше вопросы рассматриваются в настоящей

диссертации.

Цель работы. I) нахождение необходимых и достаточных условий вликиности произвольных колец в радикальные кольца (ответ на вопрос Е.А. Андрунакиёвича),

2) доказательство отсутствия конечного оазиса квазито-адаств у кваьимногообразия колец, влоаишх в радикальные,

3) лрогроешш примеров' необратимых (ненвазиобротииых) алгебр над произвольны!! полем, мультипликативные (присоединенные) полугруппы которых влоаиш в группу (.отаех на . вопрос Л.А.. Б0Н^5Я)9 . : ' .

Ц) исследование шозтоот ъ радикальные кольца универсальных обертывающих нонечнокорпш: алгебр Ли (частичный озает на вопрос ЛЦ. Бокутя)9

5) доказательство теоремы, аналогичной теореме С. Аии-лщгра о рациональных тондеетвах (частичный ответ ка вои-])сс В.Н. Герасимова).

Общие методы исследования, основным инструментом, ис-псиьзувыьш в диссертации, является конструкция матричной локализации, принаддазацая В.И. Герасимову. используется такаэ метод иошюамцнй Шираова и теореш структурной теории колец. ' '

ручная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являагся ковьш. некоторые из иих отвечает на известные вопросы, результаты получены диссертантом без соавторов. ■ Л ■ .

Практическая кенвосуь. Диссертация является исследованием но теории колец а косит теоретический характер. Ее результаты и погоды ыогуг быть использованы в дальнейиих исследованиях по влояенияы колец в тела и в радикальные кольца, при чтааан слецкурсоэ; в монографиях.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на семинарах "Алгебра и логика", "Теория колец",. "Ассоциативные кольца и кольца Ли™ института математики СО АН СССР и Новосибирского государственного университета, а также на пятой Всесоюзной симпозиуме по теории колец, елгебр и модулей (Новосибирск, 1982).

Публикации. Результаты исследований опубликованы в работах автора £ 16-19 3 • *

Структура и объем работы. Диссертация состоит из bes™ дения и четырех глаз. Она содержит 114- страниц иашинопи--сного текста; список литературы включает 41 наименование.

• СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Первая глава диссертации посвящена доказательству следующего результата:

Теорема 1.7. Квазимногообразие килец, вложииых в радикальные, не нижет быть задано конечной систе-иои квазитсгдеств.

Основополагающую роль во зсех рассуждениях играет конструкция матричной локализации, предложенная В.Н. Герасимовым [б ] . Для удобства читателя эта важная конструкция приводится (без доказательств) в первой параграфа.

Бо втором параграфе методы» развитые, В.Н. Герасимовым, приценяются к исследованию локализации кольца £ с единицей относительно множества матриц £ , удозлдтзоряюцего следувщеку свойству г существует такой идеал R в кольце g , что естественная проекция £ —является -обращающей. В частности, даются условия (в термина?, квазйтоядесгв), необходимые, и достаточные для иньективно-сти тономо; *тзна Й —>- SZ!*1 * В тон случае 5 когда Я получено из ^ .внешнии присоединением единицы, а 21 множество всех матриц, переходящих э.обрапшне пря вве- . денной проекции, эта система квазитождеств определяет ква-зииногообразие колец, влониыых в радикальные кольца.

В третьем параграфе главы приводятся некоторые достаточные условия потенциальной обратиыости ыноаества иатриц.. Исследуемые а этом параграфе кольца являются обобщением Yl FI -колец п.,Кона. Другой частный случай введенных понятий - класс /¡п. -колец - выполняет ту ке функцию при изучении вложений колец в радикальные кольца, что и класс ti FJ-колец для вложений в тела: инозество квадратных

?

матриц порядка Л- над- Аш кольцом потенциально квази-ойратиио. Приводимые в четвергом параграфе примеры А п. - ■ гголац показывают существование квааиобратииых. колец, не влояииых в радикальные кольца, \й гавершают доказательство !£бо?вШ1 I.?. , ,

Вторая глага посвящена построение примеров необратимых {Езкаазиобратимых) алгебр над произвольный! полеа, мультипликативные (присоединенные) полугруппы которых .вложимы в крупку, искмвш приыероы необратимой алгебры является ал-?ес>рз $ » заданная следующими определяющими соотношениями, еаписавншга г матричном виде;

где з левой части яеремнояайтся общие матрицы с выделении« разбиение« на клетки, согласованным с выполняемой операцией умноаения; О? ,в° - квадратные верхнетреугольныо матриц!, порядок каждой из которых не ыеныае двух, авездоч-йой обозначены элементы, значение которых не регламентируемся» - ■ ""/..'' ■ \

В первой параграфе"главы изучается строение мультипликативной полугруппы пополнения кольца £ . Доказывается '¿'еорена 2»1, аналогичная Теореме 2 работы Л.А. Бокутя . £ 2.11 3 ♦ Ее доказательство является упрощенный вариан-2оа рассуждений Л.А. Бокутя й приводится лишь для полноты ззлохаиия. С помощью теоремы 2.1 изучаемая полугруппа расцепляется в свободное произведение двух подполугрупп.с объединенной подгруппой (Теораыа 2.2). .

3© зтороы параграфе доказывается, что каждый из полу- ' ченныя свободных множителей вдоаиы а группу. При этом ме- 1 пользуется теорема Р. Дссса (о влоаении аесткой полугруппы 4 сокращение!! в группу) а идеи работа З.Г. Когшвого [9 ] . В качестве следствия получается пример неквазиобратииой алгебра, присоединенная полугруппа которой влсшша в груа-

В третьей главе диссертации доказана Теорема 3.1. Следующие условия для конечномерной алгебрн ли £ : эквивалентны: "

(а) универсальная обертывающая (без б, лнацы) алгебра«^ влоаима в радикальное кольцо,

(б) алгебра^ влозима в присоединенное кольцо Ли некоторого радикального кольца,

(в) алгебра £ разрепима.

Основным коментом доказательства этой теоремы является обоснование влоаикости универсальной обертывающей разре-аииой (не обязательно конечномерной) алгебры Ли з радикальное кольцо. Результата первой главы диссертации сводят эту задачу к вопросу .о потенциальной квазйобратииости ино- , лестза ззеех ' квадратная матриц над универсальной обертыва- : щей, которая (ввиду разрешимости алгебры & ) является область» Ope. Следовательно, з рассматриваемом.случае унв-зерсалькаа обертывающая алгебры £ обладает классическим гелоы частных. Проверка того, что упомянутое мнозестзо квадратных матриц квазиобратимо над этим телом, завершает доказательство Теорекы 5.1. ^

Наконец, з четвертой главе изучаются радикалыше алге- ; •Яры» удовлетворяющие нетривиальному рациональному тоздас- ; тзу. оказывается справедливой следующая • Teopeua 4.1. Если радикальная алгебра над бесконечным полем удовлетворяет нетривиальному рациональ- , . пому тождеству, то на ней выполнено некоторое ;

"Г полиномиальное токдество. • • ;

Доказательство этого разультата идейно близно к работе , С. Амитцура [и] в приводится зо втором параграфе гла- i за. Ключом к доказательству Теорены 4.1 является дока&ия- j иая в третьей параграфе

Теорема 4.2. Всякая первичная радикальная алгебра над I яроизводышм полем8 удовлетворяющая нетриви- ! альиому рацяокальзоиу тождеству, яваяемя -., ; яорядюиг » голаде нмрац над талг -, а

у

Рассувдешш, применяемые для доказательства, близки к известному доказательству теоремы И» Капланского о щшми-; тивных PI-адгебрах, использувщеиу теорему плотности Н. Дне-ноооона. Такг предположив, что первичная радикальная алгебра, удовлетворяющая нетривиальному рациональному тождеству не является кольцом Голди, удается доказать существование в ней униформного правого идеала. Это позволяет, применив общую теорему плотности С. Амитцура, заключить, что такая алгебра является плотным кольцом линейных преобразований модуля без нручения над областью Оре. наличие в рассматриваема алгебре нетривиального рационального тождества легко приводит и требуемому противоречию*

Первый параграф главы носит технический харантер. В ■не« вводятся некоторые специальные виды элементов свооод-ной радикальной алгебры»

Автор выраяает благодарность своему каучниму руководители профессору Л.А. Бокутю, научное общение с который во многой определило тематику диссертации, и В.Н, Герасимову, чьи результаты леаат в основании выполненной работы« , v \..

Ю

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

I. Аичрунаккавич В.А. Полурадикальные кольца // Йзз. АН СССР. Сер. мат. - 194?. - T.J2, й2о - С. I29-I7n.

2« Бокуть Л.А. Факгоризациошща теоремы для некоторых классов кодец без делителей нуля. I—II // Алгебра и логика. - 1965. - 1.4, Ы. - С. 25-52; 1965. - Т.*. Ш5. - С. 5-30.

3. Бокуть Л»А. Группа частных кузьтшлакатизных полугрупп некоторых колец. I-III ■// Скб. на** зурн, - 1969. -T.IO, ®2. - С. 246-286; 1969. - T.ID, .№> - С. 744-799; I90J. - Т.10, Й4. - С. 800-819. -

t. Герасимов В.Н. Кольца, близкие к свободная // Кольца II. Новосибирск, 1973. - С. 9-19.

5. Герасимов В.Н. Обравдвдив'гоиоаорфиада колец // Алгебра и логика. - 1979. - 5.18, - С. 648-663.

6. Герасимов В.Н. Локализации в ассоциативных кольцах // Саб. мат. аурк. - 1982.-- Т.23, №6. - С. 36-54.

7. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. Новосибирск, - 1982. - 72 С.

8. Кон Q.M. Свободные кольца и их связи. - 21.: мир, . 1975. - 422 С.

9. КоиевоЯ Э.Г. О сервантных подалгебрах свободных ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. - 1971. - T.IO, £2. - С. 183-18?.

10. Мальцев А.И. Избранные труды. T.I. Классическая 5 алгебра, - и.: Наука, 1976. - 424 С.

IX. Amihur /}. S. Raiiauif¿ckntiíies oju¿ aop&eaéiCMS ' lo a&dra W jeomiry // J. A&efa*- Ш - Y3, 3. -

P. 50V-3S9. '

12. bcwieif A.7.- Qta, «ueJiat of jfafier //JJ&-* mr/mЖ-Ш '

13. Kiein A-A. Kíms мпем&Мг0 mfze¿¿/s w¡é£ MuNipéteaéiüe semf/v¿úo е/п&Ж&гМ ütfmvs/J.Aágg-

hi.~ Ш' V.b ' '

liifrct

14. Wa&cébtsc/z fí fcastruetiort of unioemaf.ncdri* So-

lí

ccA^aiions Лс^я uiMaM.'BerA-я,

V>Ma&o&i&M P. fcca&ta&on of ji-ftrs// Trans. Men Mail See.. -JM'.- V.M^I,. - P. SG3-S2?.

РАБОТЫ АВТОРА НО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ

16. Балицкао А.И. Отсутствие конечного базиса квазк-' югдесхв для квааинвогообразия колец, влоаииых в радикальные и Алгебра и логика. - 1282. - Т.21, (й1. - С. Х5--39»

17. Валицкас А .И. Представление конечномерных алгебр

Ли в радикальных кольца;: //Докл. АН СССР. - 1584..-.1.27?« К»б. - С. 1297-1300.' ■ ' •

18. Валпцкас А.Й. Рацкоцальныз тождества радцкалышг . алгебр .// йзь. вузов". Цавеиатика. - 1925. - Ш. - С. 65-Тс, -. •... .

19. Валицкас А.11. Призера неоЗраэдкых колец, илогиик в группы // Сиб. ьурн. - 1537. - к2. - С. 3545/

М^ -

Подписано в почать ОЭ.03.88 ' ПН 034BG

формат бусап: 60x84 I/Iб Oöslü 0,75 уч.пзд.л.,0е7 u„¡¿=

Заказ й 246 Тиран ICQ акг.

•ч

Отпечатано па ротапринте Пкегшгута ,шгог увки СО АН ССОР 6300909 Новосибирск - 90, Ун"зорсцто2ск::Г. проспект, <г