Восстановление изображений в радиоинтерферометрии на базе обобщенных методов нелинейной оптимизации тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

РГБ ОЛ

Г

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК .. .. р'-<1 ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ АСТРОНОМИИ

: о Ш2'}

На правах рукописи

БАЖОВА Аниса Талгатовна

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В РАДИОШГЕРВЕРОМЕТРИИ НА БАЗЕ ОБОБЩЕННЫХ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность 01.03.02. - Астрофизика, радиоастрономия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени ■ доктора физико-математических наук

Сашст-Петербург 1ЭЭ4

Работа выполнена в Институте прикладной астрономии Российской академии наук (г. Санкт-Петербург)

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН доктор технических наук

профессор С.С.Лавров

член-корреспондент РАН доктор технических наук

профессор Л.Д.Бахрах

доктор технических наук профессор Л.М.ГольденОерг

Ведущая организация: Научно-исследовательский радиофизический институт (ШРФИ), г. Ншший Новгород

час. на заседании Специалиэ . . [-200.06.01 при

Институте прикладной астрономии РАН (197042, Санкт-Петербург, Ндадавская ул., 8)

Отзывы на диссертацию направлять в адрес специализированного совета.

С диссертацией моино ознакомиться в библиотеке Института прикладной астрономии РАН.

Зацита диссертации состоится

1995 г. в II

Автореферат разослан

и

- СидУ ЬХ 1994 г.

I

И.о. ученого секретаря специализированного совета д.ф.-м.н.

Стоцкий А.А.

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Р/БОТН Актуальность проблемы В астрономии актуальность задачи восстановления инобрнжениП в значительной степени определяется проблемами сверхразрешения и восстанонления ф^н. В радиоастрономии о целью достижения сверхвысокого разрешения слабнх источников был изобрети интер]>эрометричеокий способ Яоршроьшия изображений, иоиользущий метод апертурниго синтеза. Благодаря методу апертурного синтеза стало- возможным получение разрешения, эквивалентного разрешению радиотелескопов с диаметром, рашшм максимальной базе штерХерометра. ' Однако такие основные недостатки опертурного синтез» как япертурное ограничение и большие незаполненные участки и области пространственных частот источника, так навиваемые "дыры", а также влияние среди распространения на точность измерения фазы функции когерентности, делают невозможным синтез карт неба с приемлемым качеством беи применения изощренных математических методов восстановления изображений. Особенно остро андачо восстановления изображений летает в фазонеотабильной радаомнторфорометрии со сверхдлиннши (несколько тысяч км) базами (РСДБ), где указанные недостатки апартурного синтеза выражены наиболее ярко.

Актуальность темы диссертационной работа определяется ностаноький и решением следумщх задач, не получивших своего решения до настоящего времени:

I )синтез :х5фэктипных нелинейных прюцедур восстановления с хорошими с ьерхряэ^макщими свойствами, обеспечивающих минимально возможный уровень нелинейных искажений, вызнанных ошибками в данных, и, тем самим, позволяющих строить изображения источников со сложной структурой, с минимальном числом артефактов, при измерениях с низким отношением "сигнал/шум";

?.Чмнтеа надежных процедур восстановления изображений радиоиоточников при полной фаяоыой неопределенности Функции ирюетрннстпчнииЯ когерентности;

3)синтез ¡»ЭДнктивных процедур восстановления комплексных изображений когерентных космических источников искусственного происхождения для задач распознавания и идентификации космических аппаратов с целью контроля космического нроотрпнетно.

Цель работы

Цзлью настоящей диссертационной работы является, исследование класса методов восстановления изображений со сверхразрешаюиими. свойствами. основанных на оптимизации нежнейшие функционалов - информационных мер типа энтропии, обобщение их для восстановления изображений в пространстве комплексных функций, исследование приложения новых алгоритмов для восстановления изображений, получаешх средствами рэдиоинтерфероыегрии со сверхдлинными базами, и исследование радиоштер$ероыетрического комплекса "КВАЗАР" дай задач построения изображений естественных и искусственных космических радиоисточников в интересах астрономии и задач распознавания космических аппаратов.

Научная новизна работы

I .Предложи принцип обобщения методов нелинейной оптимизации для восстановления изображений в пространстве комплексных функция.

2.Разработаны обобщенный метод максимальной энтропии в Формулировках Шеннона и Кульбаха, а также обобщенный штод минимума информационной меры Гене для восстановления изображений в пространстве комплексных функций, позволяющие, в отличие от традиционных методов, обрабатывать сигналы любого вида и самой различной физической природы, в том числе, изображения когерентных рздиоисточникоз.

3.Предлокеш и исследованы следующие приложения обобщенных нелинейных методов восстановления: для регуляризации решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений общего вида на примерах задач интерполяции комплексных распределений и спектров и восстановления фазн минимально-фазовых эквивалентах сиг-налов; регуляризации решения задачи оптимизации нелинейных функционалов при больших ошибках в данных.

4.Установлено, что га сравнению с традиционными методами обобщенные методы восстановления изображений обеспечивают минимальный уровень нелинейных искажений, вызванных ошибками в данных, поэтому они более предпочтительны для обработки изображений при малом отношении "сигнал/шум" даже .в случае вещественных неотрицательных распределений, которыми описываются

некогерентше радаоисточники.

5.На основе обобщенных методов нелинейной оптимизации предложен метод факторизации многомерных алгоритмов восстановления сигналов на ряд алгоритмов меньшей размерности для систем формирования изображений с комплексным факторизуемпм ядром, в частности, радиоинтерферометрнческих систем апертурного синтеза, позволяющий существенно снизить внчислительнуя сложность многомерной обработки.

6.Предложен принцип обратной связи для алгоритмов, основанных на оптимизации смещенных • функционалов, позволяющей существенно повысить качество восстановления изображений источников с протяженны®! компонентами благодаря появляющейся возможности пошаговой минимизации меры "расстояния" меззду текущим и искомым состояниями.

7.Предложен алгоритм восстановления фазы по амплитуде спектра, основанный на нелинейных методах оптимизации, в частности, методах максимума энтропии и минимума меры Рене. позволяющий картографировать источники с помощью фазонестабильной (независимой) интерферометрия.

Практическая ценность

Предложенные обобщенные алгоритмы позволила существенно расширить диапазон практического приложения мэтодов, которые до ста пор применялись только для восстановления распределений, описываемых вещественными неотрицательными функциями. В диссертационной работе рассмотрено несколько наиболее вакних практических приложений предложенных алгоритмов в астрономии: восстановление комплексных изображений когерентных радиоисточников; интерполяция комплексных спектров (функций пространственной когерентности) и восстановление комплексных диаграмм направленности параболических антенн по отсчетам, заданным на неравномерной сотке; восстановление мтшюльно-фазовых сигналов по амплитуде спектра, известной только частично; регуляризация решений нелинейных функционалов при больших ошибках в данных.

В случае измерения функции пространственной когерентности с большими ошибками обобщенные метода нелинейной оптимизации являются более предпочтительными но сравнению с классическими

даже при иоссгиновлтши традиционных изображений некогерентных источников, опиеыяа^мих. вещественними неотрицательном«. Функциями. Это объясняется тем, что только обобщенные метода, работящи» ь пространстве комплексных функций, способны обеспечить корректно!? согласование искомого решения о ладными, измаранными в частотной области, которым в общем случае соответствует комплексное радение из-за имеющихся ошибок измерения. Тем самим достигается минимум нелинейных искажений. В традиционных же алгоритмах требование вещественной неотрицательности решения может в ятом случае привести к большому числу артефактов. Минимальный уровень нелинейных искажений, вызванных ошибками в данных, является основным преимуществом разработанных обобщенных методов с точки зрения их практического использования в астрономии для получения радиокарт источников по реальным денным, измеренным с низким отношением "сигнал/шум".

Принцип, лежащий в основе обобщенных методов, может быть иогюльиоквн для суивстньннот еникишя требуемого объема памяти л вычислительной сложности мжтемерных алгоритмов'восстановления в случае систем формирования изобрааений с комплексна факторизуемнм ядром, которым описываются, ь частности, радиоинтйрфэромбтрические системы формирования изобракений, что имеет важное практическое значение с точки зрения увеличения скорости обработки изображений, или, увеличения размера обрабатываем»* карт.

Предложенный алгоритм восстановления флзы по амплитуде спектра, осаованний на методах нелинейной оптимизации, а также улучшенный алгоритм Фьенала предназначена для использования при картографировании источников средствами фаэонестабильной М>*Тв]!ф»рОКдГрИИ .

/.прободал результатов работа

Материалы диссертации Снпа подставлены на: Всесоюзной тол-} "Аиертурннй оинтиг и методы интерферометрии", ТОЯЯ, г.Горьки.!; рабочей ьотрнче по кетодьм восстановления изобрикений, проведанной в соответктьни с {изданием Всасошиой школы "ЛнертурниВ синтез и методы инт^рр-рчл^трии", 1930, г.Харьков: XXII Всмсомэной кон^р^ыаи "Га^иотелесканы и интчр1^р.'.«ет||.ч", ТО'.Ю, г.Бр^ичн; кон^рашвм "Пробл^.н создания

слотом обработки, анализа и понимания изображений", 1991,' г.Ташкент; International Workshop "Holography Testing or Large Radio Telescopes", 1991, нос. Н.Архыз, Специальная астрофизическая обсерватория РАН; IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, 1992, Chicago, П11по1з, USA; Symposium on Signals, Systems and Electronics, 1992, Paris; Scintillation International Meeting for Wave Propagation in Random Media, 1992, Seattle, Washington, USA; International Symposium on Antennas and Propagation, 1992, Sapporo, Japan; International Worlcshop on Maximum Entropy and Bayeslan Methods, 1992, Paris; the Optical Society oi America Annual Meeting, 1S92, Albuquerque, Кет? Mexico, USA; IAU Symposium 158 "Very High .Angular Resolution Imaging", 1993, Sydney, Australia; XV астрокомиеской конференции, 1993, Пущдао; XXIV General Assembly oi the International Union of Radio Science, 1993, Kyoto, Japan; the First Euroaslan Symposium on Space Sciences and Technologies, 1993, (ШВ1ТАК Marmara Research Center-Gebze, Turkey; Progress in Electromagnetics Research Symposium, 1994-, European Space Agency, Hoordfli;Jlt, the Netherlands; International Symposlmon Optics, Imaging, and Instrumentation, SPIE's Annual Meeting, 1994, San Diego, USA; семинарах и заседаниях, ученого совета Института прикладной астрономии РАН.

Публикации з вклад автора Материала диссертации пзлоаэвн в 41 работе. Во всех работах, кроме £5,6,16], автору принадлежат постановка задачи, разработка алгоритмов, программная реализация алгоритмов, численное моделирование, проведение исследований, формулировка научных результатов. В работах [5,6,161 автору принадлежат обобщенный алгоритм максимальной энтропии, участив в моделировании и обсуждение результатов.

На защиту выносятся I.Принцип обобщения методов нелинейной оптимизации для восстановления изображений в пространстве комплексных функций.

2.Обобщенный метод максимальной энтропии по Шеннону и Кульбаху, а такта обобщенный метод минимума информационной меры Рене для восстановления изображений в пространстве комплексных функций, позволяйте, в отличие от традиционных методов,

обрабатывать сигналы любого вида и самой различной физической природа, в том числе, изображения когерентных радиоисточников. .

3.Новые приложения нелинейных, методов восстановления, следующие из их обобщенных форм, а именно, для регуляризации решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений общего вида (на примерах задач интерполяции комплексных распределений и Фурье-спектров по отсчетам, заданным на неравномерной сетке, и восстановления фазы минимально-фазовых эквивалентных сигналов по частично известной амплитуде спектра); регуляризации решения задачи восстановления изображений методом нелинейной оптимизации при больших ошибках в данных.

4.Обобщенные метода восстановления изображений, обеспечивавшие по сравнению с традиционными нелинейными методами минимальный уровень нелинейных искакений. вызванных ошибками в данных, и поэтому являющиеся более предпочтительными для обработки изображений при малом отношении "сигнал/шум" даже в случае вещественных неотрицательных распределений, которыми описываются некогерентние радиоисточники.

б.Факторизованные версии многомерных нелинейных алгоритмов восстановления изображений, основанные на обобщенных методах нелинейной ' оптимизации, обладающие существенно меньшей вычислительной сложностью.

6.Алгоритмы, основанные на оптимизации смещенных функционалов и использующие принцип обратной связи. Введение обратной связи позволяет существенно повысить, качество восстановления изображений источников , с протяженными компонентами благодаря появляющейся возможности итерационно использовать в качестве смещения текущее изображение. и. тем самым, добиваться пошаговой . минимизации "расстояния" между восстанавливаемым изображением и его оригиналом. Предложенный принцип обратной связи позволяет также учитывать априорную информацию об источнике путем включения в цепь обратной связи соответствующих ограничивающих операторов.

7.Алгоритма восстановления фазы по амплитуде спектра, основанные на нелинейных методах оптимизации, в частности, методах максимума энтропии и минимума меры Рене, позволяющие картографировать источники с помощью фазонестабильной

(независимой) интерферометрии.

3.Пакет научно-исследовательских программ, реализующий модель адаргурного синтеза изображений в радиоинтерфэрометряи со сверхдлинными базами и математические процедуры восстановления изображений.

9.Математическая модель и результаты моделирования радиоинтерферометрического комплекса "КВАЗАР" для задач высокоточного картографирования радиоисточников как естественного, так и искусственного происховдения, в интересах астрономии и задач распознавания космических, аппаратов.

Состояние вопроса и задачи исследования

В настоящее время в астрономии среди методов восстановления изображений по функциям пространственной когерентности наибольшее признание получили методы, основанные на алгоритме "чистки" (СШН) по Хегбому и метод максимальной энтропии.

"Чистка" теоретически обоснована только для источников с ' точечной структурой, в идеале, совокупностей Б-функций. Для восстановления же источников с произвольной структурой, содержащих наряду с точечными и протяженные компоненты, использование "чистки" на может считаться корректным. Это серьезное ограничение побудило астрономов к поиску других, более фундаментальных методов, не зависящих от структуры источника.

Таким оказался метод максимальной энтропии (ММЭ), который заключается в оптимизации энтропийного функционала при ограничениях, задаваема* измерениями, и априорной информацией о<3 источнике, те имеет вполне определенное теоретико-информационное обоснов?кве, и его можно отнести к более общему .классу методов оптимизации теоретико-информационных мер. Являясь сугубо нелинейным методом. ШЭ обладает хорошими экстраполирующими свойствами в частотной области, обеспечивая, соответственно, сверхразрешение в пространственной области источника. Однако, свойство нелинейности, только в силу которого и возможно восстановление изображения, при больших ошибках измерения, содержащихся в данных, приводит к нелинейным искажениям, проявляющимся в виде большого числа артефактов, что может сделать применение метода неприемлемым. В связи с этим возникает задача такой модификации метода, которая, с одной

стороны, сохранила бы его сверхразреиакщие свойства, а, с другой стороны, качественно изменила бы влияние искажений данных на, искомое решение.

Рассмотрение выше методы предназначены для восстановления радиояркости некогеренташх радиоисточшков на множестве вещественных неотрицательна функций. В диссертационной работе рассматривается задача восстановления изображений не только некогэрентшх источников естественного происховдения, описываемых вещественными неотрицательными функциями, но и когерентных источников искусственного происхождения, описываемых комплексными функциями. Такая задача возникает, например, в связи с необходимость» картографировать космические аппараты, когда применяется радиоголографический метод построения изобракений. В атом случае объект подвергается с Земли .мощному СВЧ-облученшо, в результате чего космический аппарат превращается в источник когерентного излучения, распределение поля по которому описывается комплексной функцией. Поскольку, в настоящее время не имеется достаточно эффективных алгоритмов восстановления комплексных распределений, возникает задача их разработки. В диссертации ставится _задача обобщения метода максимальной энтропии и других методов нелинейной оптимизации, обладающих свойством высокого сверхразрешения, для восстановления комплексных изобракений.

Такое обобщение автоматически расширяет возможности нелинейных методов благодаря расширению пространства восстанавливаемых функций. Важным является приложение обобщенных методов для решения задач, которые ранее не могли быть решены с использованием методов в традиционном представлении. Одной из задач диссертации является поиск новых приложений с целью решения задач обработки сигналов в интерферометрии.

В задачах восстановления изображений, рассмотреных выше, предполагалось, что измеряемая функция пространственной когерентности имеет как амплитудные, так и фазовые составляющие. Однако, в независимой (фазонестабильной) интерферометрии фазовые составляющие не удается измерить с достаточной надежностью. Поскольку фаза спектра является более важной характеристикой для получения изображения, чем амплитуда, возникает задача

восстановления фазы по ашлитудо функции пространственной когерентности. Эта задача получила название фазовой проблоки.

В самой общей постановке, когда накладываются ограничения только на амплитуду спектра, задача ьосстановления функции имеет бесконечное множество решений. Действительно, любая функция, имеющая данный спектральный модуль и произвольную спектральную фазу удовлетворяет этим ограничениям, и, если известно хотя бы одно решение. другое может быть получено в результате свертки этого решения с функцией, имеющей произвольную фазу и спектральный модуль, равный единице на всех частотах. Но оказывается, что при определенных априорных условиях, накладываемых на восстанавливаемую функцию в пространственной облает:', возможно существенное сужение множества решений. Одним из таких ограничений является ограниченно на пространственную протяженность, т.е. искомая функция должна иметь конечный носитель. Другим сильным ограничением в пространственной области является требование взщеетвзнности и неотрицательности решения. В дальнейшем при рассмотрении фазовой проблемы всегда будем предполагать, что ' искомая функция удовлетворяет этим двум ограничениям, т.е. является -вещественной и неотрицательной и имеет конечный носитель. Заметим, что в случао одномерных сигналов наличие даже этих очень сильных ограничений не гарантирует однозначного восстановления по кмплитуде спектра. С увеличением размерности сигнала (32) становится возможным. зв исключением вырожденных случаев, определенных на множестве мэры нуль, однозначное (с точностью' до сдвига, обращения знака и центрально-симметричного . отракения) реаенш. однако существование единственного решения еш.« не гарантирует сходимости алгоритмов восстановления. Синтез надежных алгоритмов восстановления является самостоятельной сложной проблемой, которая и решается в данной работе.

В настоящее время Российской академией наук в Институте прикладной астрономии РАН создастся уникальный физический инструмент - радиоинтерфороматр со СБерхдлшшкли базами. В диссертационной работе ставится задача исследования потенциальных возможностей этого инструмента для задач гисокт очного кчртпгра^лровпиия ряя^ойстрчтжо» как

естественного, так и искусственного происхождения.

Таким образом, основными задачами диссертационной работы явились следущкз:

1.Исследование различных информационных мэр тша энтропии для восстановления изобрааений в радиоинтерферометрии.

2.Разработка нелинейных методов и алгоритмов восстановления изображений, обеспечивающих минимально возможный уровень нелинейных искажений, вызванных ошибками во входных данных.

3.Разработка методов и алгоритмов восстановления изобрааений "когерентных источников, описываемых комплексными функциями.

4.Разработка новых, более надежных по сравнения с известными, алгоритмов решения фазовой проблемы, возникающей в фазонестабильной радаозштерфероыетрш со свэрздданныш базаыи.

5.Исследование методом математического моделирования радиоинтерферомэтрнческого комплекса "КВАЗАР" для задач высокоточного построения изображений радвозсточшков естественного и искусственного происхождения.

Объем и структура диссертации

Работа состоит из введения, се;,а разделов, заключения, приложений и списка литературы (121 наименований). Объем диссертации составляет 245 страниц, включая 70 рисунков и 4 таблида.

В первом разделе работы рассмотрен принцип апартурвого синтеза изобравешй в астрономии и его недостатки, приводящие к задаче восстановления кзобракашй. Дая краткий обзор процедур восстановления, используекк. в интерферометрии. Рассмотрена задача восстановления комплексных изображений.

Во втором раздело рассматривается класс алгоритмов восстановления Езобраьъанй, о.сЕовашый на оптимизации информационных мэр типа энтропии. Приводится теоретико-информационное обоснование метода максимальной энтропии и его разновидностей на основе понятий статистической теории связи применительно к описанию изображений. Получен ряд численны* алгоритмов.

Третий раздел посвящен разработав обобщенных методов нелинейной оптимизации для восстановления комплексных изобрагений. Разработаны обобщенные алгоритмы максимальной энтропии и иишшума меры Рене. Сформулирован общий принцип

обобщения нелинейных методов для восстановления комплексных изображений.

Четвертый раздел посвящен демонстрации практического применения обобщенного метода максимума меры кросс-энтропия по Кульбаху для восстановления комплексных изображений, формируемых методом радиолокационного апертурного синтеза.

В пятом разделе предложено несколько практических приложений обобщенных методов, связанных с решением плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений в пространстве комплексных функций для решений задач обработки в радиоинтерферометрии. Рассмотрены вычислительные аспекты многомерных алгоритмов, проблема нелинейных показаний традиционных и обобщенных алгоритмов. Предложен принцип обратной связи для алгоритмов, основанных на оптимизации смещенных функционалов.

Шестой раздел посвящен фазовой проблеме. Предложен новый алгоритм восстановления фазы, основанный на оптимизации функционалов энтрошш по Шеннону и функционала Роне. Рассмотрена воемозность комбинирования с итерационным алгоритмом Фьенапа.

Седьмой раздел диссертации посвящен моделированию радаотмерфэрометрического комплекса "КВАЗАР".

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты работы.

В ПРИЛОЖЕНИИ приводятся перечень программ разработанного пакета "Ш&вЕ" и результаты обработки радиоисточника 0212+-73.Б.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1.АПЕРТУРШЯ СИНТЕЗ И ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1 «Метод апертурного синтеза. Недостатки впертурного синтеза и задача восстановления изображения

О целью получения изображений радаоисточников с высоким угловш разрешением в радиоастрономии используется метод апертурного синтеза, в соответствии с которым комплексная функция пространственной когерентности (спектр распределения яркости по источнику) измеряется одним или несколькими двухэлементными корреляционными интерферометрами с достаточно большими переменными базами. Радиоинтерферометр со сверхдлинными базами длиной в несколько тысяч км позволяет картографировать радаоисточники с угловым разрешением порядка I мс дуги.

Зависимость между функцией пространственной когерентности и

распределением радиояркости да источнику дается теоремой Ван Шгтерга -Цорнике

$ Т(г^)ещ>(-3?-ъ(хи+у1>)/\)сШу, (1.1)

* у

где А. - длича во^шы и:-,лучения; х,у - .координаты пространственной области - картинной плоскости источника; и,у - координаты области пространственных частот (ЦУ-плоскости). параллельной картинной; Т(х,у) - распределение радиояркости по источнику; Р(и,ь) ~ Функция пространственной когерентности источника;

Форму ча (1.1) верна для некогергптных источников, находящихся б дальней зоне, и формально представляет собой двумерное преобразование Фурье от неизвестного распределения Т(х,у).

Всеми парами К-элемеитного интерферометра одновременно измеряется ЩН-1)/2 (по числу баз) отсчетов функции когерентности. Для более полого заполнения ОТ-плоскости, т.е. увеличения числа измеряемых отсчетов применяется принцип суперсинтеза, использующий вращение Земли.

Линейная оценка распределения на небе 1)(х,у), так называемое, "грязное" изображение вычисляется как обратное преобразование Фурье функции Р(и,и), заполненной нулями в точках, где измерения отсутствуют

0(х,у)=$ р Р(и,и)ехр(]2к(хи+уи№№ис[о. (1.2)

и V

Поскольку реально мы имеем отсчеты функции когерентности, измеренные с ограниченной точностью в ограниченной области 1Гу-плоскости в конечном множестве точек (и1,и±), в результате непосредственного применения обратного преобразования Фурье (1.2) мы можем получить лишь очень грубую оценку распределения Т(х,у). причем пространственная ограниченность измеренного спектра приводит к потере разрешелия, а большие незаполненные участки - "дыры" на ИТ-плоскости - к большим боковым лепесткам.

Таким образом, два основных недостатка апертурного синтеза с помощью РСДБ - неполнота покрытия области пространственных частот и ошибки измерения приводят к необходимости применения специальных процедур восстановления.

Принципиальная возможность решения рассмотренной задачи восстановления изображений основывается на ряде априорных

предположений о:

1.конечной пространственной протяженности источника, спектр которого имеет аналитическое продолжение в области,- где измерения отсутствуют;

2.неотрицательности искомого распределения по источнику: Т(х,у) ¿0;

3.конечной энергии, или, интегрируемости в квадрате, т.е. принадлежности Т(х,у) пространству Ъ2.

Основным требованием, предъявляемым к процедурам восстановления, является требование нелинейности, благодаря которому возможно восстановление недостающих . спектральных гармоник.

Задача восстановления изображений относится к классу обратных задач типа свертки, которая в общем случае является некорректно поставленной, и для получения устойчивого решения требуется применение специальных методов регуляризации.

Одним из самых мощных методов регуляризации решения является включение системы уравнений, вытекающих из данных:

г (Т(х,у)=Р(и^1), (1.3)

где ОТ - оператор преобразования Фурье, в задачу оптимизации нелинейных функционалов, реализующих какой-либо крйтерий, например, максимума энтропии

пах X ]■ Т(х,у)1п(1/Т(х,у))<Шу. (1.4)

В этом случае функционал энтропии (1.4) выступает как •регуляризувдий фактор по отношению к системе уравнений (ЬЗ). Регуляризации. решения свыше того, чего можно достичь с использованием критерия (1.4), например, при больших ошибках в данных, можно добиться путем включения в оптимизируемый функционал дополнительного стабилизирующего члена О

яш / / Т(х,у)1п(\/Т(х.у))0хЗу + аЯ(Т(х,у)), (1.б) •

х У

где а - регуляризующий параметр.

1.2.Методы восстановления изображений

В работе дается краткий обзор методов "чистки" (СЬЕАЦ); гибридной "чистки" и самокалибровки, включающих, кроме операции "чистки", уравнения замыкания фаз и амплитуд; итерационного метода Фьенапа восстановления изображения по модулю функции когерентности; методов нелинейного программирования, включающих

классический метод максимальной энтропии.

Методы нелинейного программирования, основанные на оптимизации . нелинейных функционалов, задающих какой-либо критерий кечеотва, являются по сравнению о методами "чистки" более фундаментальными, не имеющими никаких других ограничений на структуру источника, кроме пространственной ограниченности.

В общем виде задача нелинейного программирования записывается следующим образом

min Q(Т(х,у)),

Я±(Т(а:,у)) ? О, 1=1.....к.

Р/Ш,У)) = 0. 3=1.....R,

где Q - нелинейный функционал .- критерий качества, д1 -

ограничения в виде неравенств и р^ - ограничения виде равенств,

вытекающие из данных и априорных предположений об источнике.

1.3.Синтез изображений когерентных радиоисточников ■ Задача восстановления комплексных изображений

В случае картографирования космических аппаратов антенная сеть используется не для измерения функции пространственной когерентности, а регистрации радиоголограммы (поля, рассеянного оОьекток), которая при условии нахождения источника в дальней зоне представляет собой преобразование Фурье распределения поля вблизи источника. В случае Оыстропеременных источников невозможен суперсинтез. Это приводит к очень плохому заполнению UV-плоскости даже при использовании принципа многочастотного синтеза, в связи с чем с еще большей актуальностью встает задача восстановления, в данном случае, комплексных изображений источников когерентного излучения.

?., МЕТОДЫ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ 2.1.Теоретико-информационное обоснование 1ШЭ

Рассматриваемый класс нелинейных методов основывается на понятиях статистической теории связи применительно к описанию изображения и на представлении изображения как некоторой ппотности вероятности. В работе выводятся выражения для шенноновской информации и энтропии. Дается вероятностное описание изображения на основе лучевой модели формирования.

Метод максимума энтропии по Шеннону строится на поиске такого распределения вероятностей, которое обеспечивает максимум функционала энтропии, задающего меру качества изображения

Н(Х) = -2 Р(хп)1оцгР(з:г1). (2.1)

п

где Р(хп) - вероятностная мера, заданная на множестве Глгп).

Оценки, получаемые в. результате максимизации (2.1), являются наименее смещенными из всех возможных оценок. "Наименее' смещенная" - значит равновероятная оценка в той степени, в какой это допускают измеренные данные; тем самым условие максимума энтропии оказывает на оценку сглашвэвдев воздействие.

Метод максимума энтропии по Бургу. В этом случае максимизируется следующий функционал

ИВ(Х) = -2 Ю^РГду. (2.2)

Метод максимума информационной меры Кульбаха-Ляйблера, предполагает минимизацию меры "расстояния" мевду двумя вероятностными мерами Р^(х) и Рг (х)

вкь(Х) = -2 (ХП)/Рг<хп»- (2.3)

п

По-другому, (2.3) еще называют мерой кросс-энтропии Р1 (х) и Рг(х).

Задача оценки неизвестного распределения Р,(х) путем максимизации функционала Н^СХ) существенно облегчается в результате введения в функционал заранее известного смещения Р£(х), в качестве которого может слуэить первое приближение пасомого распределения Р^(х), полученное каким-либо иным способом.

Метод максимума информационной меры Дкеффриса, являмщейся симметризированной версией меры Кульбаха, предполагает оптимизации функционала

V*1 " (р, (2п)-Рг(хп) До^СР, (хп)/Рг(хп)). (2.4) 12

В случае, когда Рг(х) является известным распределением, играющим роль смещения, максимизация функционала (2.4) эквивалентна максимизации следующего функционала гсах.-Е Р1 Схп)Ювг(Р1 (хп)/Рг(хп)) - £ РгГ*пЛ°8гР1 (хп), (2.5)

п п

который представляет собой сумму функционала Кульбаха и взвешенного функцией смещения функционала Бурга: Нкъ + Я^.

Соотношение (2.5) представляет определенный интерес с точки зрения установления взаимосвязи рассмотренных информационных мер типа энтропии.

Метод минимума информационной меры Рене предполагает оптимизацию функционала

дн = 1>га-и ; ^(х) Р^^х) Ох. (2.6)

также являщегося мерой "расстояния" меаду распределениями и Рг(х). а - любое вещественное число. Когда а .*» 1 в пределе (2.6) стремится к одной из форм шенноновской энтропии.

2.2.Восстановление изображения как решение задачи нелинейного программирования Задача восстановления двумерной вещественной неотрицательной функции на основе оптимизации информационных мер, рассмотренных выше, может быть представлена в общем виде как следующая задача нелинейного программирования

пах 0(Т(х,у)} (2.7)

при известных ограничениях на функцию когерентности Р(иГ

X { Т(х,у)е-хр(-Л%(и х^ у))бхау=Р(и1_^^, (2.8) л у

а также на неотрицательность искомого решения Т(х,у)ЪО.

В дискретной форме задача оптимизации запишется в виде

шах (2.9)

Ч 2 (2.10)

ш х га X

где Сх ,^ - искомая двумерная последовательность, коэффициенты ага1' определяются дискретным преобразованием Фурье:

с^=со^(г%(пш1к)/П)/П, (2.11)

Впк- вещественная и мнимая части данных соответственно. . Эта задача условной оптимизации далее сводится, с использованием метода Лагранжа, к более простой, двойственной задаче безусловной оптимизации, которая может быть решена' численно любым из градиентных методов.

Решение ищется из необходимого н достаточного условия существования экстремума.. Во всех рассмотренных в работе методах, локальный экстремум совпадает с глобальным, что легко проверить путем исследования матрицы Гессе.

2.3.Основные численные алгоритмы Метод максимума энтропии предполагает оптимизацию функционала энтропии по Шеннону

Е Л х^Ыт^) (2.12)

& 1

при условия выполнения ограничений (2.10).

Решение, нрЭДанноо по методу Дягранжа. выраженное через двойственные переменные а^ и Pn¡r> имеет вид

*ml=expí-E (2.13)

П к

Из выражения (2.13) следует, что неотрицательность является внутренним свойством решения энтропийного функционале, обеспечивающим нелинейность метода максимальной энтропии.

В работе рассмотрены два способа учета ошибок измерения. По первому способу ограничения (2.10) в виде равенств заменятся на двусторонние ограничения в виде неравенств. Второй способ предполагает введение стабилизирующего члена в функционал (2.9), как было предложено Фриденом Б.Р.:

mm Е S ^шс^р Т. .

íft X ПК

при этом условия (2.10) переписываются следующим образом £ £ ^аЧ^Чи- I Я ^шх^Ч^пк- «•.v'n&A».

ml ml

где т^ -вещественная и мнимая части ошибок, смещенные на величину 3?0 с целью обеспечения их неотрицательности.

Метод Кульбаха заключается в оптимизации' функционала энтропии о введенным заранее смещением (а^) min Е Я a^lnf* /а^.

Ш 1

Решение, полученное методом Лагранжа. имеет вид

ТП JL

Метод Бурга предполагает поиск минимума функционала энтропии в формулировке Бурга

^SEiní.V-

Ш 1

Решение имеет вид

п к

(х ,, если х ,>0, хгт=1 (2.141

raL (.0, если s^so. С целью учета известной информации о "грязном" изображений ta предлагается модифицировать рассмотренную выше меру Бурга

следующим образом

2 Г. ^«W*

Ш X

Тогда, решение для хт1 преобразуется следующим образом

П) X

Приведенная модификация имеет то преимущество, что позволяет реализовать предложенный ниже принцип обратной связи. Задача восстановления изображений по Джеффрису: ** 2 2 Г^^^Г^/а^Л

т 1

Метод Рене предполагает поиск минимума функционала Рене П1 д.

В данном случае прямое использование метода Лагранжа приводит к сложному в вычислительном отношению алгоритму. С

целью упрощения используется подстановка

^ - <2Лб>

где а и а связаны соотношением а=1Л/2з. Решение имеет вид

«па = " гэлгз^) ?

'«а

п к

Гг., если ^,>0, = { 01 т1 (2.16) 1^0, если í ,¡50.

т1

В работе проанализирована зависимость качества восстановления от величины а.

Отметим, что решения задачи восстановления изображений о использованием мер Дхсеффриса и Рене применительно к интерферометрии получены впервые.

3.ОБОБЩЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

3.1.Обобщенный метод максимальной энтропии Модифицируем метод максимальной энтропии для восстановления вещественных знакопеременных функций гт1- Очевидно, в этом случае минимизируемый функционал не может быть записан в виде (2.12) в силу того, что г^ могут принимать отрицательные значения.

Тогда предлагается преобразовать функционал (2.12) следующим образом

вш 2 21^1 1п|гт1|. (3.1)

Чтобы избавиться от нелинейной функции абсолютной величины и свести задачу к стандартному виду, рассмотренному выше; представим биполярную последовательность Гг^; в виде следующей

разности неотрицательно определенных последовательностей (хт1) и

ГтЛгУ«Ч- *т!'Ут1 > 0 • <3'2> •

Кроме того, потребуем выполнения условия неперекрываемости последовательностей Ц^) и С^}

если гп1>0. то Ую1= 0 и г^-с^. (3.3)

если гю1<0. то а^- 0 и г^-у^. (3.4)

Тогда последовательность <.хт1) будет определять положительные, а {у^} - отрицательные компоненты распределения (гт1> (Рно.з.1).

При выполнении условий (3.2)-(3.4) функционал (3.1) можно переписать в стандартной форме

ОШ Е 2 Яа^ЦаЗ <3'5>

хп 1

Чтобы выполнить условия неперекрываемости (3.3) - (3.4-)., введем в последний функционал (3.5) параметр а, необходимость в котором была установлена из анализа решения задачи востановления. Окончательно задача оптимизации примет вид

пш Е Е Шаг^у^ВД/^;, (З.б)

т X

2 Е^-у^; а£= Е ЕСга1~ут1) ^ Ъл. (3.7)

т х т 1

Из анализа решения задачи (3.6)-(3.7) следует, что Сх^,

связаны соотношением

хвауоИ = ехр(-2-21пГаЛ - Ш). (3.8)

зависящим только от параметре а.

Из (3,8) следует, что условия

неперекрытия (3.3) и (3.4)

достигаются при К(а)*0. Последнее

выполняется при достаточно

большой величине параметра а.

Перейдем к более общей

задаче восстановления комплексной

последовательности, вещественная и мнимая части которой могут

принимать значения любого знака.

По аналогии с (3.2) представим отсчет искомой комплексной

последовательности в виде

Предполагая, что вещественная и мнимая части комплексной последовательности статистически независимы, и, налагая условие

г

УМ х(« уМ Рис.3.1.

неперекрываемости положительной и отрицательной компонент,

запишем задачу оптимизации следующим образом

ши» 2 Е Зт^^Яу^Шау^ )+2т.т (аг.)^Лп(аи.) (3.10)

ш 1

2 V-

01 1

Е

ш 1

'т1 вгл;.'

(3.11)

(ЗЛЯ)

Из анализа .решения задачи (3. Э)-(3.12) также следует, . что положительные и отрицательные компоненты вещественной и шимой частей результата: (х^.у^) и (гт1.ит1) соответственно, также связаны выражением, подобным (3.8),

г = ехоГ-2-21пСаЛ = К(а).

шх ГШ

При различных значениях а получаем различную степень разделения положительных и отрицательных компонент и, тем самым, различное качество восстановления комплексной функции. Результаты моделирования при различных значениях параметра а представлены на Рис.3.2.

3.2.Обобщенный метод Кульбаха Обобщенная мора Кульбаха в пространстве комплексных сигналов представляет собой меру "расстояния" между искомым

Вещественная часть

■¡Г7ТГ,

Мнимая часть

Рис.3.2.

а - "грязное" изображение; Ь,с,(1,е - восстановленное изоб-• ранение: Ь - о=1; с - а-ехр(2); <1 - о=ь^р(5;; е- а=-ехрГГ;.

комплексным распределением {(хт1-УЮ1^*^2т;Г1т1'" и ИЗВ0СТ1ШМ

комплексным смещением <'(ат1-Ьт1;+,Кс1[а-йт1^ и записывается

аналогично обобщенному методу максимальной энтропии

£ ^ 1п ^па/апа > ^П11П /Ьт1' (^Ш1/Ст1 > *Ут11П (аУт1/Й>п1>•

преилущ&отвом обобщенного метода Кульбаха перед традиционным является то, что появляется возможность учитывать как положительные, так и отрицательнее значения смещения. Особенно это важно в •радиоинтерферометрии, поскольку оценки изображений, полученные путем обратного преобразования Фурье -"грязные" изображения, имеют отрицательные лепестки достаточно большой величины при больших "дарах" на ЦУ-плоскости. Обычный Кб метод Кульбаха, как ясно из предыдущего раздела, допускает только положительные, смещения.

3.3.Обобщенный метод Рене

С целью упрощения задачи оптимизации используем подстановку аналогично (2.15):

t(э,r,q)ml=Шy,z,v)!ta/&(Ъ.cia)ml)'>r':a.

По аналогии с обобщенным методом максимальной энтропии зздачу восстановления изображения обобщенным методом Рене запишем следующим образом

^ 2 рпа^Г'^Г^^^^Г1 <злз>

'«!' Ят1 > 0. (3.16)

Решения зацичи (ЗЛЗ)-(ЗЛ<5) для а , ,з ,) и (г

пи т.1. тх *пи.

связали соотношением'

Принимая во внимание свойство реления (ЗЛ6) и принудительное ус;юшр> но неотрицательность типа (2.15), можно сделать вывод о том, что в отличие ст обобщенного метода максимальной энтропии, перекрытие между положительной и отрицательной частями вещественной и мнимой частей комплексного изображения невозможно, что является определенным преимуществом обобщенной меры Рене.

На основании предложенных выше обобщенных алгоритмов в работе формулипуегея общлЯ ш^инцип обобщения метод а нелинейной

оптимизации для восстановления изображений в пространстве комплексных функций.

4.ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИИ МЕТОДОМ БАЙЕСОВСКОЙ КРОСС-ЭНТРОПИИ

4.1.Устранение шума.

Оценка по максимуму апостериорной вероятности

Допустим присутствие аддитивного шума и в

вещественной и мнимой частях измеренного спектра Фурье соответственно. Тогда уравнения для данных измерения запишутся следующим образом

Я = £^С:г -у ;созш £ + (г-ь)Мшг] * гГ. (4.1)

п го ¡А п ш ш п п ю т1

ш

В - ЕГ(х-у)в 1пы I - (г -и )совш 1 7 + я=1,...,Я.

У1 _ т а ш & ю п ш то

го

Встроим механизм устранения шума в алгоритм восстановления. Это приведет к дальнейшей регуляризации решения свыше того, чего ыохно достичь с использованием только нелинейного функционала.

Предположим, что в данных присутствует аддитивный круговой гауссовский шум. Пусть о^ - дисперсия шума вещественной и мнимой частей отсчета спектра на частоте и>п. Тогда в целом принцип оценки изображения записывается следующим образом

шах Е^и.а) - 1/2 X (т^2 + где х-у„)+](г-и ) - искомый комплексный сигнал.

ш ш т т ю .

Это ' эквивалентно поиску решения (и. тр. т) ), которое максимизирует совместную вероятность неизвестных сигналов хт, ут, гт и ит и величин шума т£ и По теореме Вайеса при

известном законе априорной вероятности для и. заданном выражением ац)[Нкь(и; а)], выражение (4.2) представляет собой оценку максимума апостериорной вероятности неизвестных.

4.2.Практический алгоритм

Практический принцип оценки по методу Кульбаха, дополненный ограничениями на данные (4.1) по методу Лагранжа, принимает вид пах Ь = -£ (х 1т\(ах/&) + у 1п (ац/Ъ)

з га га п го ** ш т

ш

г 1п(аг/с) + ит Шао/й ))

го ю п т т т

Е 1 ^ (г-и)вЬъ>г1 + т£ -.11

п т л го т а пт Т1 и

+ 2 Р„ГЦ ((х-у)в1шг- .-У * - В ]

" п " га т пт тт пт тп п

- 1/2 Е * • <4.3)

■4.3. Реш&ниэ

Решение, найденное методом Лагранжа, имеет вид

(4.4.)

х =а ехрГ-1 Га собы I +р э1пш 1 Л, у =а ь Ге2с?х Г1.

га га Г п п га гп п го да ш т т

п

г =с ехрГ-1-1па+2 С« а1пш Г -р созш г и = с а (егогг )"',

ш в Г *-* п пш'п п го т т т ш

п

гГ= ог а , 1^= о2 8 . (4.5)

'П П П Т1 п гп

4.4.Представление двумерной задачи восстановления как последовательности одномерных

Рассматриваемая задача обработки Фурье данных предполагает

систему формирования изображений с факторизуемым Фурье ядром

ехрГЗи^ + и>г1г)] = ехрГ^ш^,; ехрСЗи^,;. (4.6)

где

обозначает номер строки, 1 - номер столбца. Двумерная задача

Я иГ11лг;ехри<и,11 + ыг>гы1?ы2; (4.7)

оценивания может быть представлена в виде совокупности

одномерных задач по построчно-столбцовому принципу следующим образом

где

X Еа^и^ехрГЗи^Лг, = ОСы,;^). (4.8)

х иа1;12;ехр(3<1)2Г2;<иг = Е(г,;(0г). (4.9)

4.5.Результаты моделирования Объектом является силуэт самолета, занимающий карту размера 64x64 пикселов, показанный на рис.4.1. Обьект представляет собой двумерный комплексный сигнал, вещественная часть которого равна +1 и мнимая часть -I внутри контура и О вне контура самолета. (На всех рисунках изображен модуль.) Отметим также точечный источник справа от носовой части самолета. Края и точки являются сильным источником информации о форме обьекта и поэтому их восстановление является решающим для целей распознавания.

На рисунках представлены: Рис.4.2 - незашумленные данные измерения, представляющие собой центральную часть спектра размера 32x32 пиксела; Рис.4.3 - линейный выход: "грязное" комплксное изображение; Рис.4.4 - результат восстановления

разработанным обобщенным методом Кульбаха (4.3) с использованием' в качестве функции смещения "грязного" изображения; Рис.4.5 -результат последующей медианной фильтрации; Рис.4.С зяшумленнке 10% нормальным шумом данные спектра; Рис.4.7 -линейный выход при зашумленных данных; Рис.4.8 - функция смещения, сформированная специальным образом; Рис.4.9 результат восстановления обобщенным методом Кульбаха.

5.ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПЕЯШЕЛШХ МЕТОДОВ 5.1.Регуляризация решений при больших ошибках в данных Метода нелинейной оптимизации допускают введение в основной функционал дополнительных регуляризующих членов с целью учета ошибок измерения данных. В 2.3.1 был рассмотрен функционал энтропии с регуляризующим членом, предложенным Б.Р.Фриденом. Однако, метод Фридена имеет тот недостаток, что предполагает знание априорных характеристик шума с целью смещения ошибок в положительную область значений. Естественно, для обработчика более привлекательными являются методы, не требуюпдае дополнительной труднодоступоной информации. Применение принципов, лежапих в основе обобщенных алгоритмов, 'позволяет . решить эту проблему.

Для этого необходимо представить вещественную и мнимую части комплексного шума в виде разности положительно определенных компонент следующим образом

и ввести их в основной функционал (2.12) и линейные ограничения (2.10) и уже решать более сложную задачу оптимизации относительно неизвестного распределения по источнику и ■неизвестных компонент аддитивного шума.

5.2.Интерполяция двумерных комплексных спектров Пусть комплексная функция опередэлена своими отсчетами в соответствии с теоремой дискретизации Котелъникова-Шеннона. Пусть требуется определить значение этой комплексной функции в любой точке области ее определения. Эта задача может быть легко решена в случае равномерной дискретизации, с использованием интерполяционных функций типа 31пс=а1п(^)/г. При неравномерной дискретизаций задача интерполяции в общем случае является некорректно поставленной. Действительно, наличие хотя бы двух

достаточно близко расположенных отсчетов даже при незначительных ошибках измерения может привести к расходимости обычного' алгоритма обращения, основанного на решении систем линейных уравнений..В этом случае предлагается восстановить значения функции на равномерной сетке с использованием обобщенного метода максимальной энтропии. В радиоинтерфэрометрии задача интерполяции возникает, например, в связи с необходимостью определить значения измеренной комплексной функции когерентности э узлах координатной сетки, чтобы в дальнейшем можно было использовать аппарат дискретного преобразования Фурье.

5.3.Восстановление комплексных диаграмм направленности больших антенн

Часл ым случаем задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, является задача восстановления комплексных диаграмм направленности больших параболических антенн. В работе получены результаты моделирования восстановления комплексной диаграммы направленности большой параболической антенны по измерениям на неравномерной сетке в дальней зоне. Для демонстрации свойств обобщенного метода максимальной энтропии был смоделирован случай плохо обусловленной системы уравнений, связывающей искомые значения диаграммы в узлах равномерной координатной сетки с данными измерений. Обычный метод, основанный на матричной инверсии,не дал желаемого результата уже при 10% уровне ошибок по отношению к каждому измеренному отсчету. С помощью же обобщенного метода максимальной энтропии удалось восстановвить с достаточной точностью по крайней мере главный лепесток и два ближайших боковых лепестка комплексной диаграммы.

5.4.Восстановление фазы минимально-фазовых сигналов

В работе решается задача восстановления фазы мвнимально-Ф&зовых сигналов из амплитуды спектра, известной на множестве точек в ограниченной области пространства частот, которая в общем случае также является некорректно поставленной.

Задача восстановления с использованием обобщенного метода максимальной энтропии выглядит следующим образом:

т!п 2 хт1п(агп)+у 1п(ау ЛгКа/^ )+/121п(оЛ ),

где Ап - известные отсчеты логарифма амплитуды спектра: -искомые отсчеты Фаза спектра; -. неизвестное средаее

значение амплитуды спектра; а^ - элементы импульсной характеристики преобразователя Гильберта.

Рассмотренные 'п. 5.2-5.4 примеры, являются лишь частными случаями более общей' задачи ^ регуляризации решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений. Предложенный метод может быть распространен на ренюнио плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

5.5.Вычислительные аспекты мнохюмёринх алгоритмов

Благодаря изобретения обобщенных методов дая восстановления комплексных' функций. становится . возможным факторизация многомерных алгоритмов, как традиционных, так и обобщенных, на ряд алгоритмов меньшей размерности (в пределе одномерных алгоритмов) в случае факторизуемого комплексного ядра, которым описывается система формирования изображения, Радиоинтерфероыетр относится как раз к системам такого рода, поскольку осуществляет измерение отсчетов пространственного спектра Фурье источника. Механизм разложения двумерного алгоритма на ряд одномерных по построчно-столбцовому принципу рассмотрен в п.4.4.

Преимуществом факторизованного варианта многомерных алгоритмов является существенное снижение вычислительной сложности.

5.б.Нелинейные искажения восстановления- изображений при больших оиибках в данных

В данном разделе производится сравнение традиционных и обобщенных методов нелинейной оптимизации с точки зрения нелинейных искажений, вызываемых ошибками- измерений. Очевидно, применение традиционных нелинейных алгоритмов с вещественном неотрицательным выходом применительно к источникам нокогерентного излучения корректно только щгл условии измерения входных данных о достаточно высокой точностью. При превышении определенного, уровня ошибок свойство нелинейности алгоритма, вытекающее из требования вещественной неотрицательности выхода, приводит к большим нелинейным искажениям, ттроявлятимоя п виде артефактов на карте источника. Ото происходит потому, что в общем случае данным, измеренным с большими сшибками.

соответствует комплексное решение. В работе показано, что обобщенные алгоритмы восстановления функций в пространстве комплексных функций свободны от описанного недостатка традиционных алгоритмов, обеспечивая . минимальный уровень нелинейных искажений при сохранении свойств сверхразрешения полезного сигнала. Отсюда делается вывод, что обобщенные нелинейные методы следует применять для восстановления изображений любого вида, не только комплексных, но и вещественных неотрицательных, представляя их предварительно в обобщенной. Комплексной форме. При этом в качестве искомого результата из общего решения следует выделить необходимую часть, удовлетворяющую априорно известным требованиям. На Рис.5.1 представлены результаты моделирования.

5.7.Принцип обратной связи Рассмотренные выше смещенные функционалы являются мерами "расстояния" между искомым изображением и заданным смещением.

Минимизация этого "расстояния" приводит, при условии

удовлетворения данным, к' распределению, наиболее близкому заданному. В связи с этим возникает идея сделать поиск решения итерационным. На первой итерации - найти распределение, наиболее близкое к первоначальной оценке - "грязному" изображению; на второй - в качестве смещения использовать выходное

распределение, найденное на Рис.5 Л. первой итерации и т.д. Т.е. на

а - модель; Ь - "грязное" каждой последующей итерации в изображение; с - традиционный качестве входного распределения, ММЭ; а - обобщенный ММЭ. предполагается использовать

выходное распределение предыдущей итерации. Такой итерационный алгоритм реализует, по-существу, принцип обратной связи,_ когда выход алгоритма соединен со входом.

Как показывает моделирование, применение уже нескольких

(2-3) итераций приводит к существеиному улучшению изображений, особенно источников с протяженными компонентами,

б.ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО АМПЛИТУДНОМУ СПЕКТРУ (ФАЗОВАЯ ПРОБЛЕМА) 6.1.Проблема единственности решения

Если определить класс эквивалентных сигналов с точностью до линейного сдвига, обращения аргумента и поворота на ISO0, iо все сигнала, принадлежащие этому классу, имеют одинаковую амплитуду спектра. Решение фазовой проблемы считается единственным, если оно определено с точностью до класса эквивалентных сигналов.

Если z-преобразование многомерной функции является неприводимым и несимметричным, то амплитуда преобразования Фурье однозначно, с точность» до класса эквивалентных функций, определяет фазовую частотную характеристику.

Поскольку в ряботе решается двумерная задача, то предполагается, что решение фазовой проблемы существует, и задача заключается только в разработке достаточно надежного алгоритма.

6.2.Восстановление фазы на основе методов нелинейной оптимизации

Предлагается восстановление фазы непосредственно из значений амплитуда спектра с использованием методов, рассмотренных выше. Причем вариационная задача приводится к стандартному виду задачи оптимизации нелинейных функционалов с линейными ограничениями.

В нашем случае ограничения, следуйте из измеренных значений амплитуды спектра, запишем следукщкм образом

2 2 л? ,апЫ4 , ---И , со-зФ , , V V х ,bní =В , =tf . я1пФ , . (б.Ч )

f¿ Y rol ml nl'. nie 'nk V ml ral nk nk ' nk ra 1 ml

В уравнениях (6.1) cos<j)nk и slntj» такле являются неизвестными. Используя известные тождества сояф^соз8^.^) - 1,

sin4.nk-falnr(J)I¡k/2.) + созГФп,/2.);2 - 1, и делая замену переменных

• írk=2coaXv/2'- созГф^;)2.

задачу оптимизации в общем виде можно переписать так

min Q(^nl.tnk.enk^. (G.2)

ml m J

>

(6.4)

Кроме того, • накладывается дополнительное нелинейное вытекающее из следующего тождества

ограничение на и з^-

з1пф^ +

Поскольку, рассматриваемые в работе функционалы являются выпуклыми, обладающими одним глобальным экстремумом, и решение фазовой проблемы в многомерном случае существует и единственно (за исключением вырожденных случаев), кз условия согласования решения с данными измерений следует, что предложенные алгоритма обеспечивает надежную сходимость решения к искомому.

В работе получены конкретные алгоритмы реализации подхода (6.2)-(6.4) на основе метода максимальной энтропии и метода Рене.

На рис. 6.1 показан пример К ^ восстановления изобракошя 20 итер.

Объект

Г* ^¡^

10 итераций

25 итер.

-«С

50 итер.

<Г

100 итер.

и 5

методом максимальной

энтропии с использованием метода покоординатного спуска для поиска глобального экстремума двойственного функционала Лаграшш. Моделирование тем медленнее сходится что в первую

__%

Рис.6.1.

показало, что чем сложнее объект, алгоритм. Цри этом оказывается, что в первую очередь восстанавливаются фазы у тех спектральных составляющих, которые имеют амплитуду наибольшей величины.

6.3.Итерационные алгоритмы восстановления и проблема сходимости

Рассматривается итерационный алгоритм Фьенапа уменьшения

ошибки. Обсуадаются основные причины расходимости алгоритма, а

также проблема выбора начального приближения.

6.4.Комбинированные алгоритмы .Поскольку сходимость предложенных выше алгоритмов может быть очень низкой в случае сложных источников, с целью увеличения скорости сходимости предлагается их комбинирование с итерационным алгоритмом Фьенвпа. В этом случае алгоритм восстанои-ления состоит из двух частей: нелинейного алгоритма оптимизации и алгоритма Фьенапа. Причем, изображение, полученное на пир-

вом этапе, служит в качестве начального приближения, обеспечивающего надежную сходимость алгоритма Фьенапа к искомому решению.

Предлагается также форма начального прнблииения, обобщенная для всех пространственно 'ограниченных объектов, найденная эмпирическим путем.

Кроме того, предложена модификация алгоритма Фьенапа уменьшения ошибки, предотвращающая расходимость, вызванную шчислительними особенностями при замене модуля спектра.

7.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РШОЖЕШЕРОЮТРМЧЕСКОГО ШШЕКСА "КВАЗАР" ДЛЯ ЗАДАЧ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

7.1.Основные характеристики комплекса Радиоинтерферометрический комплекс "КВАЗАР", вначале создаваемый в СССР, а в настоящее время в России, представляет собой систему из шести радиотелескопов диаметром 32 м,

расположенных на территории бывшего Советского Союза и разнесенных по долготе на Д\=128° и го широте на Дср=23°, и объединенных каналами спутниковой связи с Центром управления, сбора и обработки данных в г. Санкт-Петербурге. В работе представлены основные характеристики ко?отлекса, дающие представление о геометрических и технических параметрах. Конфигурация

наблюдательных пунктов комплекса, включая "КВАБАР-Интернэшнл", показана на Рис.7.1.

7.2.Основные задачи комплекса Основными задачами комплекса являются задачи высокоточного построения земной и небесной систем координат, определение взаимной ориентации этих систем и получение высокоточной баллистической информации при навигации космических аппаратов.

При определении координат источников, входящих в радиоастрономическую инерциальную систему координат с погрешностью, меньшей 1 мсек дуги, необходимо принимать во внимание структуру источников и, следовательно, осуществлять их

ю» к>* уг >а* ив* чо' ш*

Л

-о г 2 с

/ < г г

0 ) 1 7 № Я * ■ 3 =

Со ¡чР Ц, Ш л 1 4-

> > V- 1 & й Г

г г 1 л, /

/ г А о1

Конфигурация наблюдательных пунктов радиоинтерТ'ерометркческого комплекса "КВАЗАР"

Рис.7.1.

картографирование•

Масштаб; х 1000 >

' покрытия №-плоскости при различном

числе элементов интерферометра (К); • синтезированные диаграммы; (склонение источника 60°).

Рис.7.2. служат для приема космическим когерентного радиоголограммы

а антенны рассеянного аппаратом излучения

распределения

Проектом предусматривается также возможность использования комплекса для построения изображений космических аппаратов для задач распознавания. Поэтому ставится также задача

исследования активного режима работы сети, когда одним, или несколькими передающими антеннами производится облучение объекта достаточно мощным СВЧ-излучешем, комплекса "КВАЗАР"

поля вблизи объекта. В случае нахождения объекта в дальней зоне радиоголограмма представляет собой преобразования Фурье распределения поля по объекту. В этом случае, как ■ обсуждалось также в первом разделе, искомое распределение по обаекту описывается комплексными функциями и, таким образом, возникает необходимость в процедурах восстановления комплексных

изображений.

7.3.Результаты моделирования Настоящий раздел посвящен моделировании комплекса "КВАЗАР" с целью исследования его возможностей для картографирования

11 /

N /

1» /

„ /1 ! 1

1

С А

* е у •

/ / / и..,

• Время превыванид источников в "поле зрения" интерферометров в зависимости от склонения.

—— 6-элементный интерферометр: Светлое, Зеленчукскал, Бадары, Фириэа, Одесса, Камчатка;

--- 5-элеменгныП интерферометр: Светлое,

Зеленчукская, Бадары, Фироэа, Одесса;

----9-элементный интерферометр: Светлое,

Зеленчукск&л, Бадары, Фирпэа, Одесса, Камчатка, Бангалор, Куньмин, Соф<я; 8-элементный интерферометр: Светлое, Зеленчукская, Бадары, Фирюэа, Одесса, Бал гало р. Куньмин, Со<1ия;

-- 4-элементный интерферометр: Зеленчукскал, 4ирюэа, Бангалор, Куньмин.

Рис.7.3.

радиои с то ч 11 и ков нг.тегтвоыного, так искусственного происхождения.

кзк

а

I!

Цасштав: х 1000 км

а ч о • 5 В 9

- • '9 -9 • • /3 •9 •9

г 9 л 9 $ 9

•9 •я • • •Я "•' :9 •9

Покрытия иу-плоскости 5-60°, Н-6"

В работе представлены результаты моделирования комплекса как в режиме суперсинтеза изображений некогереитных радиоисточников естественного происхождения, так и мгновенного многочаототного синтеза изображений источников когерентного излучения искусственного происхождения. Проанализировано покрытие ЦУ-шюскости с изменением числа баз радиоинтерфэрометра (Рис.7.2), изменением склонения источника и конфигурации сети. Представлено расчетное время пребывания источников в общей зоне видимости (Рис.7.3). Исследован режим мгновенного синтеза изображений (Рис.7.4). Получены покрытия ХГУ-шюскасти в активном режиме работы сети в зависимости от числа передающих и приемных станций, набора частот излучения, синтеза полосы частот излучения. Проведено моделирование космического радиоинтерфэрометра. Для каждого случая вычислены синтезированные диаграммы направленности. Исследовано применение различных процедур восстановления ("чистки",

НеЛИНеЙНЫХ МеТОДОВ ОПТИМИ- иточника ' Тря3нов"изобр<и. Обобщенный ммэ

зации с использованием Рис.7.5.

различных информационных критериев качества, а также алгоритма Фьенапа) для улучшения качества синтезируемых изображений. На Рис.7.5 показан результат восстановления изображения комплексного 3-точечного источника, полученного в результате мгновенного синтеза в активном режиме работы ооти, о использованием обобщенного метода максимальной энтропии. Как следует из анализа результатов моделирования, процедуры

Синтезированные, диаграммы

Национальная 6-элоивитиал сеть "КВАЗАР" К-б

а - X. 3.8 си, в - Д» 1.35,3.5с»,

в - Л. 3.5,13 си, г - 13,13 см,

д - А. 3.5,13,13 си, е - Л . 1.35,3.5,13,13 см

РЯС.7.4.

восстановления позволяют эффективно компенсировать недостатки апертурного синтеза.и, тем самым, существенно повысить качество картографирования радиоисточников.

На основании проведенного исследования делается вывод, что радиоинтерферометрический комплекс "КВАЗАР" с заданной проектной конфигурацией пунктов в совокупности с разработанным программным обеспечением для восстановления изображений может быть использован для качественного картографирования с разрешением около 0.1мс дуги радиоисточников как естественного, так и искусственного происхождения в интересах астрономии и задач распознавания искусственных космических объектов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

I.Предложен принцип обобщения методов нелинейной оптимизации для восстановления • изображений в . пространстве комплексных функций.

. 2.Предложены обобщенный метод максимальной энтропии в формулировках Шеннона и Кульбаха, а также обобщенный метод минимума информационной меры Рене для восстановления изображений в пространстве комплексных функций, позволяющие, в отличие от традиционных методов, обрабатывать сигналы любого вида и самой различной физической прхфоды, в том числе, изобракения когерентных радиоисточников.

3.Предложены и исследованы ноше приложения нелинейных методов восстановления, следующие из их обобщенных форм, а именно: для регуляризации решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений общего вида на примерах задач' интерполяции комплексных распределений и спектров по отсчетам, заданным ра неравномерной сетке, и восстановления фазы минимально-фазовых эквивалентных сигналов по частично известной амплитуде спектра; регуляризации решения задачи восстановления изображений методами нелинейной оптимизации при больших ошибках в данных.

4.Установлено, что обобщенные методы восстановления изображений, обеспечивают, по сравнению с традиционными нелинейными методами, минимальный уровень нелинейных искажений, вызванных ошибками в данных, и поэтому являются более

предпочтительными для обработки изображений при малом отношении "сигнал/шум" даже в случае вещественных неотрицательных распределений, которыми описываются некогерентные радиоисточники.

5.Разработаны факторизованные версии многомерных нелинейных алгоритмов восстановления изображений, основанные на обобщенных методах нелинейной оптимизации, обладающие существенно меньшей вычислительной сложностью.

6.Предложены алгоритмы, основанные на оптимизации смещенных функционалов и использующие принцип обратной связи. Введение обратной связи позволяет • существенно повысить качество восстановления изображений источников с протяженными компонентами благодаря появляющейся возможности итерационно использовать в качестве смещения текущее изображение и, тем самым, добиваться пошаговой минимизации "расстояния" между восстанавливаемым изображением и его оригиналом. Предложенный принцип обратной связи позволяет также учитывать априорную информацию об источнике путем включения в цепь обратной связи соответствующих ограничивающих операторов.

7.Предложены алгоритмы восстановления фазы по амплитуде спектра, основанные на нелинейных методах оптимизации, в частности, методах максимума энтропии и минимума меры Рене, позволяющие картографировать источники с помощью фазонестабильной (независимой) интерферометрии.

8.Разработан пакет научно-исследовательских программ, "реализующий модель апертурного синтеза изображений в радиоинтерферометрии со сверхдлинными базами и математические процедуры восстановления изображений.

9.Получены результаты моделирования радиоинтерфэро-метрического комплекса "КВАЗАР" для задач высокоточного картографирования космических радиоисточников как естественного, так и искусственного происхождения.

Таким образом, в диссертации решены все задачи, сформулированные выше, наиболее важными из которых являются синтез нелинейных алгоритмов, обеспечивающих минимум нелинейных искажений при больших ошибках в данных, синтез алгоритмов для восстановления комплексных изображений когерентных

радиоисточников и синтез надеиных алгоритмов восстановления фазы. Перше две из перечисленных задач решены путем обобщения методов нелинейной оптимизации для восстановления распределений в пространстве комплексных функций, третья задача решена на основе классических методов нелинейной оптимизации, в частности, метода максимума антропш к минимума меры Ренэ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОШПБЛИЕОВАЕЫ В СЩгаЦИХ РАБОТАХ:

1 .Модификация метода максимальной энтропии для восстановления комплексных функций. - Известия вузов. Радиофизика, том 34, И 8, 1991,. с. 919-925.

2."QUASAR" very long baseline network. - Astronomical and Astrophysical Transactions, vol. 1, 1992, p. 159-1 TO. (Соавтор: Fli&elstein A.M.)

3.The generalization oi maximum entropy method for reconstruction oi complex functions. - Astronoialcal and Astrophyslcal Transactions, 1992, vol. 1, p. 313-320.

4.Generalized maximum entropy. Comparison 71th. classical maximum entropy. - In the boolc "Maximum ■ Entropy and Bayeslan Methods", ed. by Hoharnnad-Djafarl, G.Bemoment, Kluv?er Acad. Publ., Netherlands, 1992, p.407-414.

5.Entroplc reconstruction or complex Images. - Optics Communications,v.102, 1993, p. 515-522. (Соавтор: Prleden B.R.)

6.Bayeslan cross-entropy reconstruction oi complex images. - Applied Optics, v. 33, И 2, 1994, p.219-^26. (Соавтор: Prleden B.R.)

7.Reconstruction oi complex signals using minimum Renyl information. - International Symposium on Optics, Imaging, and Instrumentation, 26-29 July, Si IE Proceedings, 1994, v. 2298, 12. accepted and to be published in "Applied Optics". (Соавтор: Prleden B.R.)

8.Использование комплекса "КВАЗАР" для построения изображений радиоисточников с высоким угловым разрешением. -Тезисы докладов ХШ Всесоюзной конференции "Радиотелескопы и интерферометры", Ереван, 1990, с. 145-146. (Соавтор: Финкельштейн A.M.)

9.Модификация метода максимальной энтропии для

восстановления комплексных полей. - Тезисы докладов XXII Всесоюзной конференции "Радиотелескопы и интерферометры", Ереван, 19Э0, с. 147-148.

10.Построение изображений радиоисточников с высоким угловым разрешением в радаоинтерферомэтрической системе "КВАЗАР" со сверхдлинныш базами для задач астрофизики и распознавания. -Тезисы конференции "Проблемы создания систем обработки, анализа п понимания изображений", Ташкент, 1991, с. 147-148. (Соавтор: Финкельштейн A.M.)

11.The reconstruction algorithm of two-dimensional field distribution in radio holography based on maximum entropy method. " - In the hook.: "Holography Testing of Large Radio Telescopes", Special Astrophyslcal Observatory, Leningrad, 1991, p. 110-112.

12.Applications of the new generalized form of maximum entropy method to solving inverse problems.' - Proceedings of IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, Chicago. Illinois, ОБА, July 20-24, 1992, p. 238-241.

13.New generalised form of maximum entropy method and its applications to image processing. - Digest of Scintillation International Meeting for Wave Propagation in Random ■ Media, Seattle, Washington, USA, 1992, Th37.

14.Nonuniform sampling techniques based on maximum entropy method for antenna applications. - Proceedings of International Symposium on Antennas and Propagation, Sapporo, Japan, 1992, v. 3, p. 697-700.

15.Generalized versus classical' maximum entropy for imaging. - Proceedings of IAU Symposium 158 "Very High Angular Resolution Imaging", Sydney, January 11-15, 1993.

16.Maximum entropy restoration of ISAR images. Proceedings of the Optical Society of America Annual Meeting, Albuquerque, New Mexico, USA, Sept. 20-25, 1992. (Соавтор: Frieden B.R.)

17.Принцип обратной связи для улучшения качества восстановления изображений с использованием статистических мер. - Тезисы докладов Х7 астрономической конференции, Пупшно,

Москва, 1993, с.222-223.

18.How to malce Pienup's algorithm convergent to sought solution? - Abstracts of th.e Ш General Assembly of the International Union of Badlo Science, Kyoto, Japan, 25 Aug.- 2 Sept., 1993, p.56.

19.Development oi Image reconstruction procedures. -Proceedings or ths First Eurasian Symposium on Space Sciences and. Technologies, TUBITAK Marmara Research Center-Gebze, October 25-27, 1993-6 p.

20.Combined phase retrieval algorithm using maximum entropy method and Hemp's iterations. - Proceedings oi Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS), July 11-15, the Netherlands, Kluwer Academic Publisher, 1994, 4 p.

21.Численное решение задачи восстановления изобраконий в радиоастрономии методом максимальной энтропии. - Препринт Института прикладной астрономии АН СССР, N 13, 1990, 28 с. (Реф. в журнале "физика и кинематика небесных тел", т.7, К 5, 1991.)

22.Восстановление комплексной двумерной функции методом максимальной энтропии. - Препринт Института прикладной астрономии АН СССР, N 14, 1990, 18 с. (Реф. в аурнале "Физика и кинематика небесных тел", т.7, Н 5, 1991.)

23.Радаоинтерферомегрический комплекс "КВАЗАР": построение изображений. - Препринт Института прикладной астрономии АН СССР, N 15, 1990 , 31 с. (Соавтор: Финкельштейн A.M.) (Реф. в аурнале "Физика и кинематика небесных тел", т.7, N 5, 1991.)

24 .Восстановление изображений в радиоинтерферометрии. Результаты численного моделирования. - Препринт Института прикладной астрономии АН СССР, N 17, 1990, 35 с. (Реф. в курнале "Физика и кинематика небесных тел", т.7, Н 5, 1991.)

25.Пакет научно-исследовательских программ "IMAGE" на персональном компьютере IBM-PC-AT для задач построения изображений в радиошгерфэромегрии' (Руководство для пользователя). - Препринт Института прикладной астрономии АН СССР, N 22, 1990 , 34 о. (Реф. в журнале "Физика и кинема-гака небесных тел", т.7, N 5, 1991.)

26.Радиоштерферометрический комплекс "КВАЗАР": мгновенный

многочастотный синтез изобранений когерентных источников. - препринт Института прикладной астрономии АН СССР, N 24, 1990, 26 с. (Реф. в журнале "Физика и кинематика небесных, тел", т.7,„II 5, 1991.>

27."QUASAR" Very long Baseline Network: Mapping oi sources. - Preprint oi the Institute of Applied Astronomy, N 27, 1990, 31 p. (Соавтор: Finkelstein A.Ii.) (Реф. в куриале "(Сизяка и кинематика небесных тел", т.7, N 5, IS9I.)

28.The Generalization of Maximum Entropy Method for Reconstruction of Complex Functions. - Preprint of the Institute of Applied Astronomy, N 32, 1991, 15 p. (Реф. в нурнале "Физика и кинематика небесных тел", т.7, N 5, 1991.)

29.Generalised Maximum Entropy Liethod and Its Application to Antenna Pattern Reconstruction. - Preprint of the Institute of Applied Astronomy, N 30, 1991, 44 p. (Реф. в куриале "Физика и кинематика небесных тел", т.8 К, I, 1992.)

30.New Applications of liaximum Entropy Method to Solving Inverse Problems. - preprint of the Institute of Applied Astronomy, N 36, 1991, 9 p. (Реф. в нурнале "Сйхзика и кинематика небесных тол", т.8 N, I, 1992.)

31.Развитие методов восстановления изображений на основе оптизягзации информационных пор. - Сообщения Института прикладной астрономии РАН, N 58, 1993, 42 с.

32.Прнменениэ меры Рене для восстановления изображений в астрономии. - Сообщения Института прикладной астроноглии РАН, N 59, 1994, 37 с.

33.Восстановлние изображений при полной фазовой неопределенности. - Сообщения Института прикладной астрономии РАН, N 62, 1994, 22 с.

34. The principle of generalization of nonlinear optimization methods for reconstruction of complex Images. -Communications of the Institute or Applied Astronomy of RAS, N 63, 1994, 7 p.

35.Phase retrival algorithm using maximum entropy method and Plenup's iterations. - Communications of the Institute of Applied Astronomy of RAS, К 66, 1994, 10 p.

Зб.Радаоин^ерферометричвский комплекс "КВАЗАР-КВ0и. Эскизный проект. Системная часть - ИЗЛГЭ 01.01.ПЗ, 1983, 392 с.

ЗТ.Радиоинтерферометрмческий комплекс "KBA3AP-KB0". Эскизный проект. Построение изображений - ИЗЛГЭ 01.01.009.ПЗ, 1У98, 395с.

38.Отчет о НИР "Гайана-АН". - CAO АН СССР,Ленинград, 1987, 187 с.

39.Отчет о НИР "Гайана-АН". - ИПА АН СССР, Ленинград, 1988, 396 с.

40.Отчет о НИР "Риастра". - ИПА РАН, Санкт-Петербург, 1992,

БЗ с.

41.Отчет о НИР "Риастра". - ИПА РАН, Санкт-Петербург, 1993,

47 с.

Приложение

Результаты обработки реальных РСДБ-данных:

источник 0212+73

41

" г V ' * го6 А ' 1

--115 " -225-| V О 225

Покрытие У V -плоскости

та$

8200 МГц

•«.25

. «X с.< -

-«.25- -

.. * 1 1

..МГц.

<» . <5?

о

сЛ»>

1Л 1.2.У 0 -<.25т45

л

ОММЭ + комбинированный алгоритм

шщ,

(5 « 5 « 5 я»

"Чистка"* замыкание ^

о

О