Возмущенное движение тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 531.381

Алехнович Ольга Алексеевна

ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Специальность 01.02.01. - "Теоретическая механика"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997 г.

Работа выполнена на кафедре высшей математики и физики Великолукской государственной сельскохозяйственной академии.

Научные руководители -доктор физико - математических наук, профессор

В. Г. Демин

кандидат физико - математических наук, доцент Л. И. Конкина.

Официальные оппоненты -доктор физико-математических наук, профессор Л. А. Куницын, кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Прошкин.

Ведущая организация -Государственная академия приборостроения и информатики.

Защита состоится "_"_1997 г. в ___час на заседании

диссертационного совета К 053.18.02 при Московском

государственном авиационном институте (технический университет)

по адресу: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, д 4. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан "_"_1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 053.18.02

кандидат физико-математических наук А.В.Муслаев

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки - одна из основных задач аналитической динамики. Несмотря на более чем двухвековую историю она по-прежнему привлекает внимание исследователей, что обусловлено многими факторами. Динамика твердого тела является теоретической основой для решения задач о вращении естественных и искусственных небесных тел относительно центра масс в ньютоновском поле тяготения, а также задач инерциальной навигации космических летательных аппаратов при их движении в различных силовых полях, в частности в центральном и однородном потенциальных полях. Успехи, достигнутые в исследовании одного твердого тела могут в той или иной мере распространяться на задачу о движении системы связанных тел. Задача о движении связанных твердых тел возникла в связи с использованием в технике гироскопа в кардановом подвесе и служит теперь основой для описания работы многих гироскопических приборов (гироскопический компас, гировертикаль, гиротахометр и др.). Система уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, являясь нелинейной, допускает три первых интеграла и для полного аналитического решения ее недостает лишь одного интеграла, что делает задачу весьма близкой к завершению. Но, как известно, несмотря на многочисленные усилия ряда выдающихся математиков и механиков прошлого и настоящего, общее решение задачи о движении абсолютно твердого тела, закрепленного в неподвижной точке, в однородном поле тяжести найдено лишь для трех случаев: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Во всех других случаях тем или иным способом строится либо семейство частных решений, либо отдельные решения, описываемые как конечными соотношениями, так и абсолютно сходящимися рядами.

Более сложной, по сравнению с классической является задача о движении гиростата, представляющего собой, по определению В.В.Румянцева "систему, состоящую из твердого тела и подвижных частей, при движении которых геометрия масс системы не меняется". С другой стороны эта задача имеет большое прикладное значение, моделируя поведение сложных механических систем (систем стабилизации космических аппаратов, систем инерциальной навигации и др.).

Целью работы является исследование возмущенного движения

гиростата вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести на базе введения канонических переменных типа первой системы элементов Пуанкаре (Ь, р1, р2> X, ш1, ш2).

Научная новизна Для исследования возмущенного движения тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки в качестве канонических переменных выбраны оскулирущие элементы Ь, р1, р2, Я., ш1, ш2, которые являются аналогом канонических элементов первой системы Пуанкаре, применявшихся ранеэ только в небесной механике. Эти элементы связаны с каноническими переменными Андуайе-Депри следующими соотношениями:

Ь = Ъ, \ = I + ё + Ъ.,

рп= Ь - й, - (8 + Ю,

рг= й - Н, и2= - Ь,

и для динамически симметричного твердого тела являются каноническими переменными типа "действие-угол", что позволяет использовать наиболее эффективную форму уравнений движения на многомерном торе. В переменных Ь, р1, р2, А,, ш1, ш2 все рассуждения и аналитические выкладки оказываются наиболее компактными, что составляет отличие наших исследований от большинства предыдущих.

В работе вйервые записаны явные уравнения возмущенного движения тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки в переменных Ь, р1, р2, X, ш1, ш2. В результате интегрирования усредненных уравнений движения в нерезонансном случае получены новые эволюционные движения гиростата. При усреднении по двум быстрым переменным получено общее решение задачи и с помощью КАМ - теории доказана устойчивость движения по отношению к величинам Ь, р1 и р2; при частичном усреднении по угловой переменной X найден общий интеграл задачи, а при частичном усреднении по переменной ш найдены три семейства частных решений.

При исследовании движения гиростата в окрестности внутреннего резонанса второго порядка найдено решение системы в квадратурах. В области внутреннего резонанса третьего порядка найдены три семейства частных решений.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты открывают возможность применения канонических переменных типа первой системы элементов Пуанкаре, а также и второй системы для

решения задач динамики твердого тела. Найденные частные решения усредненной системы уравнений описывающей возмущенное движение тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки представляют теоретическую ценность для динамики твердого тела. Многие результаты, полученные в диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов, в постановке курсовых и дипломных работ студентов механико-математических факультетов университетов.

Методы исследования. В работе применялся аппарат гамильтоновой механики, ассимптотические методы теории нелинейных колебаний и метода КАМ - теории.

Апробация работы. Отдельные части диссертации докладывались на VII Четаевской конференции (Казань, 1997г.), на семинаре кафедры теоретической механики Московского авиационного института (1997г., руководитель В.Г.Веретенников), на втором Великолукском симпозиуме по классической и небесной механике (1996 г.), XXXI межвузовской научно-производственной конференции Великолукского сельскохозяйственного института (1994 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах [1 - 71.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (68 наименований). Общий объем 92 стр. Она содержит 89 стр. основного текста и 4 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор современного состояния исследований, посвященных проблемам динамики вращения твердого тела и системы связанных твердых тел вокруг неподвижной точки, обоснована актуальность темы и излагается содержание диссертации по главам.

Первая глава состоит из трех параграфов, в которых получены дифференциальные уравнения возмущенного движения гиростата в форме удобной для применения асимптотических методов теории возмущений и проведено интегрирование невозмущенного движения в переменных Пуанкаре первого рода.

§ 1.1 содержит постановку задачи. Пусть гиростат представляет собой тяжелое твердое тело, несущее на себе симметричные роторы,

оси вращения которых жестко связаны с телом и расположены вдоль его главных осей инерции. Предполагается, что тело близко к динамически симметричному и центр тяжести мало смещен относительно закрепленной точки. Совместим с неподвижной точкой начала двух систем координат: неподвижной системы 0XYZ и системы Oxyz, жестко связанной с гиростатом, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, построенного для точки 0, линию пересечения плоскостей X0Y и хОу (линию узлов) обозначим ON (см. рис. 1). Уравнения движения будем записывать в гамильтоновой форме. Функцию Гамильтона представим в виде

И = «0 + e(?i1 + Пг + П3), (1 )

где HQ - невозмущенный гамильтониан (в качестве невозмущенного движения выбрано эйлерово вращение по инерции вокруг центра масс

А - В

твердого тела с осевой динамической симметрией), е = - -

А

малый параметр (А и В - главные моменты инерции гиростата), E?i1 = R - функция, описывающая возмущения, вызванные нарушением осевой динамической симметрии тела, е%г = R2 - функция, описывающая возмущения, вызванные наличием симметричных роторов, еП3 = R - функция,описывающая возмущения, вызванные смещением центра тяжести от закрепленной точки.

Традиционным образом вводя углы Эйлера <р, ф, 6, запишем сначала гамильтониан задачи в канонических переменных <р, ф, 6, р^,

p^, р0. Затем перейдем к каноническим переменным Андуайе-Депри I, g, h, L, G, H, которые вводятся следующим образом: через неподвижную точку 0 проведем плоскость ОШ', перпендикулярную

вектору кинетического момента G, причем точка М расположена в неподвижной плоскости 0XY, а точка М' - в подвижной плоскости Оху (рис. 1). Тогда I - угол М'Ох, g - угол MOM', h - угол ХОМ, a L, G, Н - сопряженные с этими углами импульсы. И, наконец, от переменных Андуайе-Депри перейдем к аналогу переменных первое системы Пуанкаре к, , ш2, L, р1, р2 по следующим формулам

Ь = L, A. = I + g + h,

р,= L - G, шп= - (g + h),

p2= G - Н, ш2= - h.

Рис. 1

Функция Гамильтона % в этих переменных представленная в виде (1) запишется следующим образом

р. (р - 2Ь) Ъг г р (р - 2Ь) 2

Я = —!-3- + - +. е —5-1- совг(Х + и.) +

2А 2С I- 2В 1

+ Б (р + q + г) П - ш в (7 Р, +7' Р2 + 7" Р3)] • (2)

Здесь А, В, С - главные моменты инерции гиростата; р, я, г -проекции угловой скорости на подвижные оси системы Охуг, выраженные через переменные Ь, р , р2, X, , ш2; Б находится из соотношения J = еБ, где J - момент инерции роторов относительно их осей вращения, П - относительная угловая скорость роторов (О = сопзЮ, т - масса гиростата, 7, 7', 7" - направляющие косинусы вертикали 0% относительно подвижной системы координат, выраженные через переменные I, р1, р2, X, ш1, ш2; Р1, Р2, рз

у , яс следующими

связаны с координатами центра масс гиростата хс

соотношениями:

= Хс' Р2е = уе. Р3е = V

Канонические уравнения движения гиростата

первой системы Пуанкаре имеют вид:

<31 д?{ 6Х дП

д\ аъ

Ф, дП дП

(И 9со1

ар2 дП сЗш2 дП

<и аш2 си дрг

(3)

Таким образом, возмущенное движение гиростата вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести описывается системой шести дифференциальных уравнений первого порядка, в которой неизвестными являются шесть функций: Ь, р1, р2, Л, ш1, ш2. Очевидно, что эта система нелинейна, но многие существенные свойства эволюции движения могут быть выявлены с помощью методоЕ усреднения, которые и используются при исследовании возмущенного движения тяжелого гиростата в нерезонансном и резонансном случаях.

В § 1.2 рассматривается Эйлерово вращение по инерции твердогс тела вокруг неподвижной точки в различных канонических переменных: Эйлера (р^, рф, р0, ф, ф, 6), Андуайе-Депри (Ь, в, Н, I, е, Ю,

типа первой системы Пуанкаре (Ь, р1, р2, X, , ш2) и, наконец, типа второй системы Пуанкаре (Ь, X, тц, Т72). Для всех

типов переменных доказана каноничность преобразования, составлено выражение для функции Гамильтона 71 указанной выше задачи и получены системы дифференциальных уравнений движения.

В § 1.3, определив кинетическую энергию гиростата как

1 3 1 = - (Ар2 + Bq2 + Сг2) + J (р + q + г) П + —

2 2

J Q

гамильтониан задачи представляется в виде (1) затем находится явное выражение возмущающей функции И = 5(7^ + %г + И ) в канонических переменных всех типов, рассматриваемых в § 1.2. Все дальнейшие исследования проводились в переменных типа первой системы Пуанкаре. Используя выражение (2), были получены в явном виде дифференциальные уравнения (3) для возмущенного движения гиростата и проведено интегрирование невозмущенного движения, являющегося регулярной прецессией. Решение канонической системы уравнений (3) для невозмущенного движения (е = 0) в переменных типа первой системы Пуанкаре имеет вид

L = LQ = const, X = гц t + г»1,

р1 = р10 = const,

ш. =

+ v„

Р2 = Р:

Ш„

20

= const,

Ы20 = сопз1;'

где

гц = -

Pi

L С

п2 =

движения,

Р, - ь

А

a v.

и v„

(4)

постоянные

частоты невозмущенного интегрирования.

Во второй главе исследуются нерезонасные случаи движения гиростата с помощью различных методов усреднения.

В § 2.1 проведено усреднение возмущающей функции Н = е (7Ц + + + П3) по двум быстрым переменным X и ш1 при помощи оператора сглаживания

1 2я 2тс

м, м [ш = —=- ; ; н(ь, р , р , х, и,. <зя аш ,

Л,ш1 41^ о о 1 Й 1 ^ 1

после чего функция Гамильтона приняла вид

п . »1-гь> ,

2А

2С

Г Р, (Р,- 2Ь>

4В

где

DIQ

ьг =

- p3 ш g Ьг (L - p, - рг) Ь

(5)

(Ь - Р1 )с

а решение усредненной системы канонических уравнений записалось следующим образом

L = bQ = const, Pi = рю = const'

Рг = Рго где п1, п£ формулами (4),

л. = сп^ + H,)t + v;.

ш.

- (ilg + Ng)t + V'z,

(6)

Ш2 = N3t + V

= const,

- частоты невозмущенного движения, определяемые

N1 =

N2 = e

Pi .

2B

Pi -L

2B

D П

+ P, и g Ь

С

p3 m g to.

2.L

(7)

9з = -8М«ьг,Р,

V1' va' уз ~ постоянные интегрирования.

Ьг.ь- b2,Pl

b.

г.р.

- частные производные от коэффициента Ь?

'1 ' 2 (5) соответственно по Ь, Р.,, р£.

Из этого решения (6) усредненной системы следует, что

обобщенные импульсы Ь, Р1, рг являются постоянными, а угловые переменные ш, иг - линейными функциями времени, причем частоты п1 и п2 невозмущенного движения изменяются на величины N и Кг, определяемые формулами (7). Таким образом, если невозмущенное движение представляет собой регулярную прецессию тела вокруг

постоянного вектора кинетического момента С, то в возмущенном движении гиростат совершает регулярную прецессию вокруг вектора

кинетического момента й, а сам вектор кинетического момента совершает медленную регулярную прецессию вокруг вертикальной оси ог неподвижной системы координат.

+

Вычислив Hess К, получим дП дП

Hess П =

дЪ

дП дП 1

Эр/ дрг J

а (Ь, P1t р2)

ß2 m2 g2 [C(L + p )(3L - p ) - 4-АЪ2]

= -3-]- ^ + 0(s ).

А С (Ъ - р1 )

Таким образом, при С (L + p1) (3L - P1) MAL2 Hess U ф О, и, следовательно, согласно теореме Колмогорова- Арнольда, в связи с отсутствием собственного и предельного вырождения, возмущенное движение вечно будет достаточно близко к невозмущенному или другими словами движение будет устойчиво по Арнольду по отношению к величинам L, р1 и р2.

В § 2.2 проведено частичное усреднение по угловой переменной \ с использованием оператора усреднения

1 2тс

М. [R] = —J R dA.

Л 2ТС2 о

Полученная система усредненных, уравнений возмущенного движения имеет три первых интеграла в инволюции и интегрируется в квадратурах.

В § 2.3. проведено частичное усреднение по угловой переменной ш , при этом получен усредненный гамильтониан 71 в виде

7i

р (р - 2L) L - +-

2А

+ S

D I Й +--m

[

2С

Ь1 (Ь4 + 1 )

Р1 (Р,- 2L)

—!-!- +

4В

[ ß1 sill (А. + ш2) +

+ ß2 cos (Л, + u2) ] + ß3 b2 ]

где

bi =

/р2 (2Ъ - 2р1 - рг)

Ь4 =

'1

ь - Р1

ь.

2 орпределяется формулой (5). Полученная при этом система уравнений имеет три первых

1

L

интеграла p1 = const, U = conat и L - p2 = const, следовательно ее решение может быть найдено в квадратурах. Но эта система позволяет найти и некоторые частные решения. При р2 = О, р1 = 2L - 2р1 и ß1 cos(Л, + ш2) - ß2 sln(X + ш2) =0 найдены три семейства частных

решений, в которых обобщенные импульсы I, р1 и р2 являются величинами постоянными, а все угловые переменные X, ш1, являются линейными функции времени.

Согласно теоремам обоснования асимптотических методов найденные решения усредненных систем уравнений во второй главе

диссертации на промежутках времени t го -1- с точностью порядка е

описывают возмущенное движение -тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки.

В третьей главе прозводится исследование резонансных движений тяжелого гиростата методом усреднения Делоне-Хилла.

В § 3.1 рассматривается движение гиростата в однородном поле тяжести в окрестности внутреннего резонанса второго порядка kt rkg = 1:1, т.е. когда имеется соизмеримость частот п( и ^ и

выполняется равенство (к, п) = 0 при некоторых целочисленных

векторах к с отличной от нуля нормой.

Возмущенный гамильтониан в переменных первой системы Пуанкаре имеет вид (2), причем за невозмущенное движение, как и ранее, выбирается эйлерово вращение по инерции вокруг центра масс твердого тела с осевой динамической симметрией (А = В), а возмущения вызваны нарушением осевой динамической симметрии, наличием роторов и смещением центра тяжести относительно закрепленной точки.

Введем новую переменную d, называемую в небесной механике аномалией Делоне (резонансная расстройка)

d = Ц X + к, и,, (8)

где Ц = kg = 1. Исключая в (2) X, согласно (8), и, усреднив полученную функцию 71 по <л1, выполняем затем каноническое преобразование к новым переменным L*, р*, р*, X*, со*, to* с помощью производящей функции

F = (X + to1 )L* + (ot р*.

В новых переменных получена функция Гамильтона возмущенного

движения тяжелого гиростата и проведено усреднение по схеме Делонэ-Хилла. Усредненная система обладает тремя первыми интегралами в инволюции, с помощью которых задача сведена к квадратурам.

В § 3.2 рассматривается движение гиростата в окрестности внутреннего резонанса третьего порядка

Ц : = 1 : 2.

Аналогично § 3.1 вводится резонансная расстройка (аномалия Делоне) по формуле (8)

й = к + 2ш ,

выполняется переход к новым переменным, записывается в этих новых переменных функция Гамильтона возмущенного движения и проводится усреднение по схеме Делоне-Хилла. Полученная усредненная система канонических уравнений имеет три первых интеграла, следовательно, может быть проинтегрирована в квадратурах, но эта система позволяет также найти и некоторые частные решения. В результате анализа системы уравнений найдены три семейства частных решений.

Для множества всех начальных условий кроме исключительного множества, мера которого оценивается сверху величиной порядка

■/"е-1, полученные решения усредненных систем уравнений § 3.1 и

§ 3.2 в течение времени описывают движение гиростата в

однородном поле тяжести по меньшей мере с точностью ■/~е~'\ 1п е| (при некоторых достаточно общих предположениях).

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в работе.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод применения канонических переменных типа первой системы элементов Пуанкаре в динамике тяжелого твердого тела и тяжелого гиростата при движении вокруг неподвижной точки, который применялся ранее только в небесной механике.

2. Исследование устойчивости найденного общего решения усредненной канонической системы дифференциальных уравнений по двум быстрым переменным на основе КАМ-теории.

3. Новые частные решения усредненных канонических уравнений движения тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки по одной быстрой переменной.

По основным результатам диссертации опубликованы работы:

1. Алехнович O.A., Конкина Л.И. Возмущенное движение твердого тела в переменных "действие-угол". Тезисы докладов XXXI межвузовской научно-практичесой конференции, г. Великие Луки, 1994, с. 162.

2. Алехнович O.A. Условно-периодические решения в задаче о движении тяжелого гиростата в однородном поле тяжести. Тезисы докладов второго симпозиума по классической и небесной механике, Москва - Великие Луки, 1996, с. 6 - 7.

3. Алехнович O.A., Конкина Л.И. О резонансных движениях гиростата в однородном поле сил тяжести. Тезисы докладов второго симпозиума по классической и небесной механике, Москва - Великие Луки, 1996, с. 7.

4. Алехнович O.A., Демин В.Г. Об устойчивости псевдорегулярной прецессии гиростата. ПММ, 1997, т. 61, вып. 4.

5. Алехнович O.A. Вращение тяжелого гиростата относительнс неподвижной точки при главном резонансе. - М., 1997. - 12 с. -Деп. в ВИНИТИ 29.04.97. Л 1454 - В97.

6. Алехнович O.A., Красильников П.С. Эволюция нерезонанснш вращений гиростата в однородном поле сил тяжести. - М., 1997. - IG с. - Деп. в ВИНИТИ 29.04.97. № 1455 - В97.

7. Алехнович O.A. Возмущенное движение тяжелого гиростата. Тезисы докладов VII Четаевской конференции, г. Казань, 1997, с.4.