Высокочастотная динамика сложных инженерных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение. Высокочастотаая динамика.

1. Вьюод граничной задачи высокочастотной динамики из динамики сплопшой среды

1.1 Характерные свойства современных сложных инженерных конструкций

1.2 Граничная задача высокочастотной динамики во временной области

1.3 Граничная задача высокочастотной динамики конструкций в частотной области

1.4 Свойства высокочастотной вибрации. Сравнительный анализ низкочастотной и высокочастотной вибраций 35 1.4.1 Сравнительный анализ низкочастотной и высокочастотной вибраций

1.5 Одномерные волновые процессы в протяженньж конструкцР1ях

1.5.1 Пример: ускорения вызванные нагрузкой треугольной формы

2. Альтернативные подходы к моделированию высокочастотной вибрации

2.1 Механика сред сложной структуры

2.2 Модель стержня Коссера с микроструктурой

2.3 Одномерные волны в средах со случайными параметрами

2.3.1 Интегральное уравнение Дайсона

2.3.2 Средняя амплитуда поля вибрации

2.3.3 Асимптотические оценки для усредненной функции Грина для некоторых частных видов корреляционной функции.

2.3.4 Конструкция со случайными параметрами и скрытой периодичностью

2.3.5 Случайная среда с произвольной мелкомасштабной неоднородностью

3. Моделирование локальной вибрации методами высокочастотной динамики

3.1 Принцип локальности в высокочастотной динамике

3.2 Примеры применения принципа локальности вибрации

3.2.1 Стационарная вибрация подсистемы

3.2.1 Нестационарная вибрация подсистемы

3.3 Локализация высокочастотной вибрации в подсистемах

3.4 Второй пример применения принципа локальности

3.5 Случайная вибрация тонкостенных элементов конструкций

3.5.1 Пример: вибрация крьппки головки блока цилиндров. Конечноэлементный анализ конструкций при низких частотах

4. Проблемы динамической устойчивости элементов конструкции

4.1 Динамическая устойчиюсть электродинамического вибростенда при полномасштабных виброиспьп"аниях протяженных конструкций

4.2 Частотное сглаживание транш, области неустойчивости параметрического резонанса подсистем

5 Термодинамический подход к высокочастотной динамике

5.1 Статистический Энергетический Анализ

5.1.1 Уравнение баланса средних мощностей

5.1.2 Уравнение для средней энергии подсистем

5.1.3 Уравнения для полученной, переданной и поглощенной энергии подсистем. Основное уравнение СЭА

5.2 Теория вибропроводности

5.2.1 Основополагающие аналогии и результаты

5.2.2 Граничная задача теории вибропроводности

523 Пример применения теории. Поле вибрации атомной электростанции

513 Принцип локальности в теории вибропроводности

531 Численный пример

514 Параболическое уравнение для описания высокочастотной вибрации

515 Переход вибрации от низших форм к высшим

Существует много динамик. Основные виды динамик вместе с их рабочими частотами показаны на Рис. 0.1. динамика

I динамика I динамика [абсолютно] деформируемого твердого твердого тела 'тела ' ч ч частоты механических колебаний термодинамика классическая квантовая термодинамика термодинамика

ЮГАГ частота ю частоты тепловых движений л

Рис. 0.1 Белое пятно на карте динамики

Исторически, первой была динамика абсолютно твердого тела (И. Ньютон, 1687 [1] и Л. Эйлер, 1736 [2]) и она, с позиций современной теории колебаний, имеет дело с нулевыми собственными частотами. Динамика деформируемого твердого тела появилась столетием позже. Многие имена достойны упоминания, однако систематическое изучение вибрации сплошной среды начал М. Дюамель, 1843, см. [3]. Частоты, с которьми эта динамика имеет дело, составляют область механических частот рассматриваемого тела. Термодинамика также является видом динамики и оперирует с частотами тепловых движений, значительно превьппающими частоты механических колебаний. Классическая термодинамика бьша разработана Дж. Максвеллом в 1867 г. и Л. Больцманом в 1872 г. Они предложили кинетрпсо-статистический подход к тепловым процессам, известный как механическая теория тепла, см. [4], что позволяет рассматривать термодинамику как разновидность динамики. Квантовую термодинамику предложенную М. Планком в 1900 г., см. например [5], также следует рассматривать как релевантную динамику. Квантовые эффекты проявляются только при очень высоких частотах, во всяком случае значительно превышающих частоты тепловых движений молекул.

Ясно, что динамика абсолютно твердого тела легко выводится из динамики деформируемого твердого тела, т. к. твердотельные движения соответствуют нулевым собственным частотам в теории колебаний. Уравнения динамики деформируемого твердого тела могут быть получены из динамики твердого тела при условии, что деформируемое тело моделируется периодической структурой элементарных систем с одной степенью свободы. Фактически, одна из самых ранних работ по колебаниям систем с распределенными параметрами, вьшолненная Лагранжем в 1788 г., была основана на такой дискретной модели, см. [6]. Вьппесказанное означает, что динамика абсолютно твердого тела и динамика деформируемого твердого тела могут рассматриваться как две соседствующие динамики. Классическая термодинамика и квантовая термодинамика также могут рассматриваться как две соседствуюпще динамики. Например, формула Планка для излучения связывает формулу Рэлея-Джинса для низких частот излучения и формулу Вина для высоких частот излучения, см. [5].

Насколько известно автору, все попытки вывести уравнения динамики деформируемого твердого тела прямо из термодинамики и наоборот наталкиваются на огромные трудности. Одним из немногих успешных применений теории колебаний сплошных сред к термодинамике является теория Дебая определения низкотемпературной теплоемкости кристаллов. В этой теории рассматриваемая дискретная кристаллическая решетка аппроксимируется упругим континуумом в длинноволновом диапазоне и берется подходящее число длинноволновых форм колебаний. Трусделл [7] использует феноменологические законы термодинамики для вывода определяюпщх уравнений и ограничений и и налагаемых термодинамикой на механические свойства сплошных сред. С помощью вьппеуказанных феноменологических законов термодинамики Пальмов [8] получает граничную задачу динамики сплошной среды и вариационные принципы, см. также [9].

Сами трудности, возникающие при попытке связать термодинамику с динамикой деформируемого твердого тела, указывают на то, что между этими двумя теориями существует зазор, "резервируюпщй" место для некоторой новой динамики, см. Рис. 0.1. Эта новая динамика является фактически низкочастотным предельным случаем термодинамию! и высокочастотным предельньпм случаем динамики деформируемого твердого тела. Новая динамика, заполняющая указанный зазор, будет в дальнейшем называться высокочастотной динамикой, а соответствующие частоты - высокими частотами механических колебаний, или для краткости, высокими частотами, см. Рис. 0.2. динамика высокочастотная термодинамика динамика

I динамика I динамика I абсолютно I деформируемого твердого твердого тела I тела классическая квантовая термодинамика термодинамика ч О

Н(л~кТ частота ю частоты механических колебаний высокие частоты механических колебаний частоты тепловых движений

Рис. 0.2 Виды динамик, включая высокочастотную динамику. с исторической точки зрения, развитие динамики это своего рода и т-ч и эволюция напшх знаний о динамических процессах в естествознании. В полной аналогии с эволюцией человека так называемое отсутствующее звено наблюдается и в эволюции динамики, и высокочастотная динамика является этим отсутствующим звеном. В настоящий момент это является не более чем голословным заявлением, хотя даже сейчас из него можно сделать некоторые заключения. Если высокочастотная динамика представляет собой высокочастотный предельный случай динамики деформируемого твердого тела и низкочастотный предельный случай термодинамики, то методы как динамики сплошной среды, так и термодинамики применимы для высокочастотной динамики. В частности, граничные задачи высокочастотной динамики могут быть полнены методами как динамики сплошной среды так и термодинамики, хотя получение уравнений и свойств новой динамики является серьезной задачей, т. к. требует одновременного учета и согласования механического и термодинамического подходов.

Чтобы доказать существование новой динамики следует сделать следующее:

1. Выяснить, какими новыми свойствами обладает высокочастотная динамика в сравнении с динамикой деформируемого твердого тела и термодинамикой.

2. Вьюести граничные задачи высокочастотной динамики.

3. Найти границы высокочастотной динамики.

Это и является глобальной целью настоящей работы.

Ниже приводится анализ высокочастотной динамики сложных инженерных конструкций. Выбор сложных инженерных конструкций для развития вьшхеупомянутой идеи объясняется тем, что моделирование их поведения при высоких частотах является сложной и интересной проблемой. Главные выводы будут общего характера и будут несомненно справедливы для таких традиционных конструщионных элементов как стержни, балки, оболочки и трехмерные тела в общем случае. Нижеприведенный анализ не сводится только к сложным конструкциям, необходимые ссылки и обсуждения для стержней, балок, пластин, и оболочек будут также приведены.

Структура диссертации такова. В первой главе дается вывод граничной задачи высокочастотной динамики из динамики сплошной среды для сложных инженерных сооружений на основе их характерных свойств. Получены граничные задачи как во временной, так и в частотной областях. Выявлены свойства стационарной и нестационарной высокочастотной вибрации и произведено сравнение с низкочастотной вибрацией. Вторая глава посвящена альтернативным подходам к высокочастотной динамике, а именно моделированию конструщий в высокочастотной области методами механики сред сложной структуры, механики стержня Коссера с микроструктурой и как сред со случайными параметрами, причем последний подход использует методы теории рассеяния квантовой механики. Как основной подход первой главы, так и альтернативные подходы приводят к аналогичным граничным задачам, что важно и т-ч и с позиций достоверности проводимого исследования. В третьей главе решается вопрос о моделировании локальной вибрации методами высокочастотной динамики. Предлагаемый метод локальности высокочастотной вибрации позволяет комбинировать интегральные методы высокочастотной динамики как со стандартными методами классической теории колебаний, так и с численными методами. Приведены многочисленные примеры применения вьппеупомянутого принципа. В четвертой главе обсуждаются проблемы динамической устойчивости элементов конструкции, моделируемых с помощью принципа локальности вибрации. Показано, что влияние конструкции на области неустойчивости элементов может быть весьма значительным. В пятой главе предложен термодинамический подход к высокочастотной динамике, позволяющий производить описание высокочастотной вибрации методами термодинамики. Предложен вывод Статистического Энергетического Анализа, сводящего распространение высокочастотной вибрации к дискретной схеме распространения тепла, а также граничная задача теории вибропроводности, дающее поле вибротемператур. Показано, как с помощью принципа локальности вибрации в теории вибропроводности можно эффективно сочетать эти подходы. Предлагается также альтернативный подход, приводяпщй к параболическому уравнению, а также обсужден вопрос о переходе вибрации от низших форм к высшим. Диссертация завершается заключением, где сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Вывод граничной задачи высокочастотной динамики из динамики сплошной среды

Заключение

Ниже приведены основные результаты полученные в диссертационной работе.

1. На основании проведенного анализа динамики абсолютно твердого тела и динамики деформируемого твердого тела замечено, что эти динамические теории являются соседствующими, т.к. могут быть выведены друг из друга. В таких же взаимоотношениях находятся классическая и квантовая термодинамики. Замечено также, что попытки связать классическую динамику и термодинамику наталкиваются на огромные трудности, указывающие на то, что между этими двумя теориями существует еще одна динамика. Эта новая динамика является фактически низкочастотным предельным случаем термодинамики и высокочастотньм предельньм случаем динамики деформируемого твердого тела. Для ноюй динамики предложено название высокочастотная динамика, а частоты, с которыми она оперирует, предложено называть высокими частотами механических колебаний, или для краткости, высокими частотами.

2. Показано, что методы динамики сплошной среды и термодинамики применимы для феноменологического описания высокочастотной динамики. Граничные задачи высокочастотной динамики получены методами как динамики сплошной среды так и термодинамики. Более того, показано, что одновременный учет механических и термодинамических свойств объектов является непременным условием правильного моделирования на высоких частотах.

3. Вывод граничных задач и анализ высокочастотной динамики проведен для сложных инженерных конструкций. Выбор сложных инженерных конструкций для развития вышеупомянутой идеи объясняется тем, что моделирование их поведения при высоких частотах является сложной и интересной проблемой.

Сделанные выводы имеют общий характер и, как показано, оказываются справедливыми для таких традиционных конструкционных элементов как стержни, балки, пластины и трехмерные тела в общем случае. Таким образом, построена общая теория динамического поведения инженерных сооружений в высокочастотной области. Тем самым удалось выявить обпще динамические свойства широкого класса инженерных сооружений несмотря на их разнообразие и внешние различия.

4, Для вывода граничной задачи высокочастотной динамики из динамики сплошной среды были определены характерные свойства современных сложных инженерных конструкций, важные для последующего описания. Указаны четыре важных фактора. Первое, сложные инженерные конструкции представляют собой ансамбли подсистем. Второе, современная конструкция является динамически слабосвязанной на высоких частотах, т.е. вибрация локализуется в подсистемах. Третье, принципиальную роль на высоких частотах играет существование многих неконтролируемых факторов, порожденных флуктуациями параметров из-за вариаций свойств конструкционных материалов и допусков при производстве составляющих и последующей сборке. Наконец, должны учитываться существенная неоднородность и наличие сложных подсистем (оборудование). Эти факторы постулированы с позиций механики и на основании их построена теория высокочастотной вибрации сложных инженерных конструкций.

5. При выводе граничной задачи высокочастотной динамики использованы методы динамики сплошной среды, а именно модальный анализ и вариационный принцип Гамильтона. Принималось, что фактическое поле вибрации имеет две составляющие принципиально разной природы. Первая составляющая медленно меняется в пределах всей конструкции, т.е. моделирует глобальную тенденцию вибрации, и по своему физическому смыслу является перемещением несущей конструкции. Вторая составляющая - это модальная сумма, которая описывает локальные эффекты, такие как локализация вибрации, слабая связанность подструктур, неопределенность параметров и прочее. Показано, что с математической точки зрения, декомпозиция поля вибрации подразумевает применение метода многих масштабов, где перемещение несущей конструкции -медленная переменная, а модальная сумма - быстрая переменная.

Получены граничные задачи для перемещения несущей конструкции как во временной, так и в частотной областях. Дифференциальное уравнение оперирует с глобальными параметрами, а его своеобразие заключается в появлении обобщенной массы конструкции. Этот параметр оказался ключевым для последующего анализа. Он отражает инерционные и спектральные свойства сложной конструкции и скомпонован из бесконечного числа модальных резонансных кривых, причем каждая кривая соответствует системе с одной степенью свободы. Показано, что в области низких частот обобщенная масса состоит из отдельных резонансных кривых, а в области высоких частот резонансные кривые перекрьшаются, и обобщенная масса становится гладкой функцией частоты.

6. Доказано, что для любой механической системы, характеризуемой плотностью спектра собственных частот и демпфированием существует критическая частота. Получена простая аналитическая формула для критической частоты. На частотах вьппе критической, конструкция проявляет свойства механической системы со сплошным спектром собственных частот. Наличие этой частоты продемонстрировано аналитичесвси для стержней, балок и пластин. Анализ известных из литературы результатов измерений вибраций сотовых пластин и атомных электростанций подтверждает факт наличия высокочастотной вибрации и критической частоты.

7. Показано, что поле высокочастотной вибрации несущей конструкции является решением граничной задачи, параметрами которой является глобальные упругие и массовые характеристики и коэффициент пространственного поглощения. Доказано, что пространственное поглощение высокочастотной вибрации конструкцией не в первую очередь определяется внутренним демпфированием в материалах. Для исчезающе малого трения величина поглощения определяется функцией распределения собственных частот подсистем. Это означает, что внутренние степени свободы действуют на несущую конструкцию как набор динамических гасителей. В области высоких частот, где спектр собственных частот густ, резонансные кривые внутренних степеней свободы сливаются, обеспечивая значительное пространственное поглощение вибрации во всем высокочастотном диапазоне. Как известно, динамические гасители обеспечивают гашение вибрации на своих собственных частотах, и тогда становится понятной интенсивная вибрация в подсистемах. А поскольку некоторые из подсистем могут а быть весьма чувствительны в вибрации, то они могут бьггь или повреждены, или их штатное функционирование может быть нарушено. Именно это обстоятельство является основной побудительной причиной внимания к высокочастотной вибрации инженерных сооружений.

8. Дан анализ свойств высокочастотной вибрации и произведено сравнение и и и и т~ч свойств низкочастотной и высокочастотной вибраций. В частности выяснено, что амплитуда высокочастотной вибрации содержит экспоненциально убывающую составляющую и быстроосциллирующую компоненту, которая описывается тригонометрическими функциями. Эта быстроосциллирующая компонента зависит существенно от граничных условий, которые содержат элемент неопределенности. Усреднение по множеству граничных условий доставляет достоверную составляющую поля высокочастотной вибрации. Ключевые отличия низкочастотной и высокочастотной вибрации сводятся к следующему. В низкочастотной области глобальные собственные частоты конструкции формируют дискретный спектр, который сильно зависит от граничных условий. С точки зрения высокочастотной вибрации любая конструкция представляется бесконечным телом со значительным пространственньм поглощением вибрации. Непрерьшный спектр собственных частот и нечувствительность к граничным условиям на удаленных границах подтверждают это заключение. Другими словами, низкочастотная вибрация охватывает всю конструкцию, тогда как высокочастотная вибрация распространяется от источника возбуждения.

9. Предложены также три альтернативных подхода к построению моделей сложных инженерных сооружений при высоких частотах. Показано, что несмотря на различия в подходах, все они приводят к полученной ранее граничной задаче. Данная часть исследования важна, т.к. убеждает в достоверности полученных результатов.

Первый метод - это использование механики анизотропных сред с и "1—г и и и микроструктурой. Постулируется наличие анизотропной упругой несущей " среды, к каяедой точке которой прикреплен набор невзаимодействующих между собой осцилляторов с непрерьшным спектром собственных частот.

Второй метод - использование стержня Коссера с микроструктурой. Стержень Коссера выбран для описания несущих поверхностей протяженных конструкций, а микроструктура введена так же, как и в первом методе.

Третий метод использует представление сложной протяженной конструкции как тела со случайными параметрами. Этот метод позволяет учесть в рамках единого подхода существенную неоднородность механических параметров инженерных конструкций и неопределенность их параметров вследствие разброса механических характеристик и неточностей сборки. Ввиду того, что стандартные методы асимптотического анализа применимы только к слабонеоднородньм телам, то они неприменимы к существенно неоднородным конструкциям. Поэтому был осуществлен переход к новым параметрам динамической природы, а именно к скорости звука и волновому сопротивлению. Для решения полученного уравнения было использовано интегральное уравнение Дайсона, впервые примененное в теории рассеяния в квантовой механике. Основное преимущество этого уравнения заключается в том, что оно приложимо для анализа мелкомасштабных неоднородностей, при этом не играет никакой роли является ли конструкция слабонеоднородной или сильнонеоднородной.

Указаны три причины уменьшения амплитуды распространяющейся высокочастотной вибращш в конструкциях: а) резонансное поглощение энергии в подструктурах. б) дисперсионное рассеяние вследствие неоднородности констр)шщи. Оказалось, что в асимптотическом приближении важен не конкретный вид корреляционной функции неоднородностей, а интеграл от нее. в) внутреннее трение и трение между подструктурами. Показано, что и и т-\ конструкция демонстрирует свои нелинейные свойства. В частности указано на факт насьпцения вибрации, т.е. на существование верхнего предела амплитуды деформации, мажорирующего поле вибрации. Этот предел зависит только от расстояния до источника вибрации и механических параметров, но не зависит от мощности возбуждения.

10. Предложен способ моделирования локальной вибрации методами высокочастотной динамики. Разработанный для этой цели принцип локальности в высокочастотной динамике позволяет комбинировать любые аналитические и численные методы динамики сплошной среды для описания локальной вибрации в подсистемах с методами высокочастотной динамики. Результатом является эффективный способ моделирования локальной вибрации, при котором полученные результаты следует рассматривать как достоверные.

1—г и и и и

Приведено несколько примеров расчета линейной и нелинейной вибрации в подсистеме с использованием принципа локальности. Показано, что при анализе поля вибрации, усредненного в пределах интересующей нас подсистемы, нет необходимости рассматривать всю конструкцию. Достаточно рассматривать только подсистему, а влияние всех остальных подсистем учесть с помощью эффективных собственных частот и эффективного демпфирования. Также показано, как комбинировать МКЭ для описания низкочастотной вибрации и высокочастотную динамику для высокочастотной части спектра. Проведенный анализ показал также, что высокочастотная динамика дает верхнюю и нижнюю границы для истинного поля вибрации даже при низких частотах. Верхняя граница получилась из анализа абсолютно изолированной подсистемы, а верхняя - путем применения принципа локальности вибрации. Это обстоятельство позволяет предложить эффективный способ анализа поля вибрации при широкополосной нагрузке. При низких частотах - это конечно-элементный и и и и и \ анализ (или любой другой стандартный аналитический или численный подход), который следует применять до частот, при которых численный расчет не выходит за разумные временные рамки. Затем можно ограничиться асимптотическими кривыми, полз/ченными методами высокочастотной динамики.

И. Внимание было уделено проблемам динамической устойчивости элементов конструкций. Принцип локальности вибрации был применен к исследованию ситуаций, когда одна из подсистем инженерной конструкции становится динамически неустойчивой. Решена задача о динамической устойчивости электродинамического вибростенда при полномасштабных виброиспытаниях протяженных конструкций. Мембранное состояние подвижной катушки вибростенда оказывается динамически неустойчивым при некоторых соотношениях между параметрами системы и внешнего воздействия. Показано, что большая конструкция при виброиспытаниях значительно меняет область неустойчивости катушки. Анализ области неустойчивости катушки на плоскости координат - частота возбуждения и амплитуда деформации в корневом сечении -показал, что попытки воспроизвести большие деформации в конструкции обречены на провал и приведут только к динамической неустойчивости подвижной катушки. При этом в катушке возникают интенсивные неконтролируемые поперечные колебания, неизбежно приводящие к повреждению обмотки и магнита ввида малости поперечного зазора.

Рассматривалась также задача определения области устойчивости подсистемы, прикрепленной к конструкции с неопределенньми параметрами. Показано, что границы "истинной" области неустойчивости оказываются сильно изрезанными. Фазовое и энергетическое усреднения дают гладкие внутреннюю и внешнюю огибающие области неустойчивости. Границе энергетического усреднения можно доверять, т.к. она нечувствительна к неизбежным неопределенностям сложных инженерных конструкций, вызванных неточностями изготовления и сборки. Выяснено, что в области между огибающими невозможно достоверно гарантировать как устойчивость так и неустойчивость стержня.

12. В рамках разработанного термодинамического подхода к высокочастотной динамике развито несколько теорий. Предложен вывод Статистического Энергетического Анализа для общего случая слабосвязанной конструкции. Показано, что при некоторых предположениях можно получить простые аналитические формулы для баланса энергии в подсистеме, а именно, усредненная энергия, полученная подсистемой, поглощается самой подсистемой и передается соседним подсистемам. Форма записи этого уравнения полностью идентична первому закону термодинамики для дискретных систем с учетом закона теплопередачи Фурье. Полученная аналогия между распространением высокочастотной вибрации и дискретной схеме распространения тепла рассматривалась как обоснование применения методов термодинамики в высокочастотной динамике. Предложенная теория вибропроводности представляет собой континуальное обобщение дискретной схемы теплопередачи. Идентификация параметров теории вибропроводности осуществлено путем сравнения решения, полученного с помощью теории вибропроводности, с решением, полученным из динамики сплопшой среды при высоких частотах. В частности получено, что вибротемпература является квадратом амплитуды перемещения и зависит от частоты вибрации. В этом состоит отличие высокочастотной динамики от термодинамики, в которой энергия равномерно распределена по всем частотам тепловых вибраций. Это отличие описательно определяет границу между высокочастотной динамикой и термодинамикой, хотя и не дает простое аналитическое выражение для верхней граничной частоты высокочастотной динамики. Самая привлекательная сторона теории вибропроводности это единственное скалярное дифференциальное уравнение второго порядка типа уравнения теплопроводности. Особенно эффективным являтся применение теории для объектов сложной геометрической формы. Этот факт позволяет использовать коммерческие пакеты программ, разработанные для расчета температурных полей. В качестве примера применения теории вычислено поле вибрации атомной электростанции, вызванное падением на нее самолета.

Теория вибропроводности позволяет определить поле вибрации несущих конструкций. Также предлагается принцип локальности в теории Л вибропроводности, позволяющий использовать Статистический Энергетический Анализ для моделирования локальной вибрации в одной из подсистем и теорию вибропроводности для интегрального описания всех остальных подсистем. С использованием численных примеров показано, что точность теории вибропроводности и принципа локальности возрастает с ростом частоты.

Проведено исследование распространения волнового пакета в сложных протяженных конструкциях, которые могут моделироваться одномерной средой. Применение волнового пакета оправдано, поскольку механические свойства конструкций и особенно их спектральные свойства являются неопределенными при высоких частотах. Показано, что распространение волнового пакета в конструкциях описывается параболическим уравнением, т.е. уравнением типа уравнения нестационарной теплопроводности.

13. Рассмотрен вопрос о переходе вибрации от низших форм колебаний к высшим. Это исследование важно для понимания механизма трансформации вибрационной энергии и перехода энергии из механической в тепловую и наоборот. Был проведен анализ распределения энергии по формам колебаний идеально упругого стержня, соударяющегося с двумя абсолютно жесткими стенками. Моделирование соударения проводилось в рамках модели Сирса. До первого удара вся энергия сосредоточена в твердотельной (нулевой) степени свободы. После большого количества ударов энергия оказывается относительно равномерно распределенной по степеням свободы. Таким образом, феномен равномерного распределения энергии по степеням свободы, постулируемый в термодинамике, наблюдается в механической системе с распределенными параметрами. Дальнейшие вычисления показали, что при каждом ударе действительно происходит перераспределение энергии между степенями свободы, но перераспределение не приводит к тому, что энергия какой-то степени свободы начинает превалировать. Другими словами, не наблюдается какая-либо устойчивая тенденция перераспределения энергии по степеням свободы. Именно это обстоятельство следует рассматривать как феномен равномерного распределения энергии по степеням свободы для механических систем при повторяюпщхся нелинейностях.

1. Newton 1. Philosophiae naturalis principia mathematica. London, 1687.

2. Euler L. Mechanica sive motus scientia analytice expósita. St. Petersburg, 1736 .

3. Timoshenko S.P. History of strength of materials. New York: Dover, 1983. 437 p.

4. Truesdell C.A. Historical introit. The origin of Rational Thermodynamics // r Truesdell C.A. Rational Thermodynamics. New York: Springer-Verlag, 1984,1. P. 1-48.

5. Riedi P.C. Thermal Physics. London: The Macmillan Press, 1976. 317 p.

6. Fahy F.J. Sound and Structural Vibration. London: Academic Press, 1985. 296 p.

7. Truesdell C.A. A First Course in Rational Continuum Mechanics. Baltimore Maryland: The Johns Hopkins University, 1972. 264 p.

8. Пальмов В^ Термодинамическое обоснование вариационных принципов в нелинейной теории упругости // Труды Санкт-Петербургского Государственного Университета, "Механика и процессы управления". 1992. Т. 443. С. 3-9.

9. Belyaev А.К., Palmov V.A. Thermodynamic derivation of heat conduction equation and dynamic boundary value problem for thermoelastic materials and fluids // Acta Mechanica. 1996. V. 114. P. 27-37.

10. Ibrahim R.A. Structural dynamics with parameter uncertainties // Applied Mechanics Review. 1987. V. 40. P. 309-328.

11. Fahy F.J. Statistical energy analysis: a critical overview // Philosophical Transaction of the Royal Society London A, 1994, V. 346. P. 431-447.

12. Kompella M.S., Berahard B.J. Measurement of the statistical variation of structural-acoustic characteristics of automotive vehicles // Proc. SAE Noise and Vibration Conference, Warrendale, USA, Society of Automotive Engineers, 1993.

13. Roozen N.B. Quiet by design: numerical acousto-elastic analysis of aircraft structures, Ph.D. Thesis. Technical University of Eindhoven, The Netherlands. 1992. R 167.

14. Мандельштамм Л.И. Лекции по теор1ш колебаний. M., ГИТТЛ, 1929. 321 с.

15. Hodges CH., Woodhouse J. Theories of noise and vibration transmission in complex structures // Reports on Progress in Physics, 1986. V. 49. P. 107-170.

16. Li D., Benaroya H. Dynamics of periodic and near-periodic structures // Applied Mechanics Review. 1992. V. 45. P. 447-459.

17. Benaroya H. Localization and tiie effects of irregularities in structures, special issue // Applied Mechanics Review. 1996. V. 49. P. 56-135.

18. Pierre C, Do well E.H. Localization of vibrations by structural irregularity // Journal of Sound and Vibration. 1987. V. 114. P. 549-564.

19. Cornwell P.J., Bendiksen O.O. Localization of vibration in large space reflectors // American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1989. V. 27. P. 219-226.

20. Pierre C, Cha P.D. Strong mode localization in nearly periodic disordered structures. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1989. V. 27. P. 227-241.

21. Pierre C. Weak and strong vibration localization in disordered structures: a statistical investigation // Journal of Sound and Vibration. 1990. V. 139. P. 111131.

22. Cha P.D., Pierre C. Vibration localization by disorder in assemblies ofmonocoupled, multimode component systems // Journal of Applied Mechanics. 1991. V. 58. P. 1072-1081.

23. Ariaratnam S.T., Xie W-C. Localization of stress wave propagation in disordered multi-wave structure // Schneller G.I., Shinozuka M., Yao, J.T.P. Structural Safety and Reliability. Rotterdam: A.A.Balkema, 1994. P. 77-83.

24. Langley R.S. Mode localization up to high frequencies in coupled ID subsystems // Journal of Sound and Vibration. 1995. V. 185. P. 79-91.

25. Vakakis A.F., Manevich L.I., Mikhlin Yu.V., Pilipchuk V.N., Zevin A.A. Normal modes and localisation in nonlinear systems. New York: John Wiley & Sons, 1996. 597 p.

26. Anderson P.W. Absence of diffusion in certain random lattices // Physical Review. 1958. V. 109. P. 1492-1505.

27. Пальмов В.A. Интегральные методы исследования вибрации сложных динамических систем // Успехи Механики, Варшава. 1979. Т. 2. № 4. С. 3-24.

28. Станкевич А.И. Трехмерная модель для изучения вибрации в сложных механических системах // Прикладная Механика. 1979. Т. 15. № 10. С. 38-44.

29. Belyaev А.К., Palmov V.A. hitegral theories of random vibration of complex structures // I. Elishakoff, R.H. Lyon Random Vibration Status and Recent Developments. Amsterdam: Elsevier, 1986. P. 19-38.

30. Belyaev A.K. Vibrational state of complex mechanical structures under broadband excitation // International Journal of Solids and Structures. 1991. V. 27. P. 811-823.

31. Belyaev A.K. On the integral description of broad-band vibration of complex structures // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 1990. B. 70. No. 4. S. 62-63.

32. Mindlin R.D., Goodman L.E. Beam vibration with time-dependent boundary conditions // Journal of Applied Mechanics. 1950. V. 17. P. 377-380.

33. Nayfeh A.H. Introduction to Perturbation Techniques. New York: Wiley, 1981. 519 p.

34. Hale A.L., Meirovitch L. A general substructure synthesis method for the dynamic simulation of complex structures // Journal of Sound and Vibration. 1980. V. 69. P. 309-326.

35. Meirovitch L. Computational Methods in Structural Dynamics. Sijthoff-Noordhoff International Publishers, 1980. 461 p.

36. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994. 395 с.

37. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352с.

38. Кунин И.А. Теория упругах сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 416с.

39. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Наука, 1961. 825 с.

40. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластичесвжх тел. М.: Наука, 1976. 328 с.

41. Ziegler F. Random vibrations: а spectral method for linear and nonlinear structures // Probabilistic Engineering Mechanics. 1987. No. 2. P. 92-99.

42. Болотин B.B. Случайные колебания упругах систем. М.: Наука, 1979. 336 с.

43. Clarkson B.L., Ranky M.F. Modal density of honeycomb plates // Journal of Sound and Vibration. 1983. V. 91. P. 103-118.

44. ICrutzik N.J. Reduction of the dynamic response by aircraft crash on building structures // Nuclear Engineering and Design. 1988. V. 110. P. 191-200.

45. Пальмов В.А. Об одной модели среды сложной структуры // Прикладнаяматематика и механика. 1969. №4. Т. 33. С. 1в%-11Ъ.

46. Der Kiureghian А., Igusa Т. Effect of local mode on equipment response // Wittman F.H. Structural Mechanics in Reactor Technology. Rotterdam: A.A.Balkema. 1987. V. K2. P. 1087-1091.

47. Xu K., Igusa T. Dynamic characteristics of multiple substructures with closely spaced frequencies // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 1992. V. 21. R 1059-1070.

48. Saudi A., Aziz Т., Ghobarah A. A new stochastic analysis for multiple A supported MDOF secondary systems: Part Г. Dynamic interaction effects, Part 11:

49. Tuning and spatial coupling effects // Nuclear Engineering and Design. 1994. V. 147. R 235-261.

50. Elishakoff I. Random vibration of structures: A personal perspective // Applied Mechanics Review. 1995. V. 48. P. 809-825.

51. Belyaev A.K. Rheological model of granular media in dynamics // Karamanlidis D., Stout R.B. Wave Propagation in Granular Media. New York: ASME, 1989. P. 102-108.

52. Lyon R.H. Statistical Energy Analysis of Dynamical Systems: Theory and Applications. Cambridge: MIT Press, 1975. 289 p.

53. Fahy F.J. Statistical energy analysis a critical review // Shock and Vibration Digest. 1974. V. 6. P. 14-33.

54. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы сумм, интегралов, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 639 с.

55. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи Математических Наук. 1957. Т. 77. № 5. С. 3-122.

56. Belyaev A.K. Dynamic simulation of high-frequency vibration of extended complex structures // Mechanics of Structures and Machines. 1992. V. 20. P. 155-168.

57. Belyaev A.K. Dynamical simulation of nuclear power plants for short duration loads // Transactions of 11th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology. Tokyo, 1991. V. B. P. 101-104.

58. Gaul L., Boehlen S., Kempfle S. Transient and forced oscillations of systems with constant hysteretic damping // Mechanical Research Communications. 1985. V. 12. P. 187-201.

59. Беляев A.K., Ромазанов А.Б. Нестационарные процессы в объекте сложной структуры при соударении его частей // Труды ЛПИ "Механика и процессы управления". 1988. Т. 425, С. 116-120.

60. Беляев А.К. Распространение плоских волн в анизотропной среде сложной структуры // Прикладная Механика. 1978. Т. 14. №. 5. С. 60-64.

61. Слепян Л.И. Волна деформаций в стержне с амортизированными массами // Инж. журн. Механика твердого тела. 1967. №. 5. С. 34-40.

62. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 371 с.

63. Беляев А.К. Стержень сложной структуры как средство анализа высокочастотной вибрации высотных зданий // Строительная механика и расчет сооружений. М.: Стройиздат. 1990. Т. 3. С. 30-35.

64. Елисеев В.В. Теория упругости стержней основанная на модели оснащенной кривой // Механика твердого тела. Известия Академии Наук СССР. 1976. Т. 1. С. 163-166.

65. Елисеев В.В. Механика упругих тел. С.-Петербург: Санкт-Петербургский Государственный. Технический Университет, 1999. 411 с.

66. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1969. 465 с.

67. Karal F.C., Keller J.B. Elastic, electromagnetic and other waves in a random medium // Journal Mathematical Physics. 1964. V. 5. P. 537-547.

68. Sobczyk K. Stochastic wave propagation. Amsterdam: Elsevier, 1985. 248 p.

69. Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. М.: Машиностроение, 1983. 262 с.

70. Naprstek J. Dispersion of longitudinal waves propagating in a continuum with A randomly perturbated parameters // Prakash S. Proceedings 3rd bit. Conf. on Recent

71. Advances in Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics. St. Louis: University of Missouri Rolla, 1995. P. 705-708.

72. Naprstek J. Propagation of longitudinal stochastic waves in bars with random parameters // Augusti G., Borri C, Spinelli P. Structural Dynamics. Roterdam: A.A.Balkema, 1996. P. 51-60.

73. Belyaev A.K. Comparative study of various approaches to stochastic elastic wave propagation // Acta Mechanica. 1997. V. 125. No. 1-4. P. 3-16.

74. Belyaev A.K. One-dimensional stochastic elastic waves: a benchmark study // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 1998. B. 78. Sl. S. 267270.

75. Kroner E. Elastic moduli of perfectly disordered composite materials // Joumalof Mechanics and Physics of Solids. 1967. V. 15. P. 319-327.

76. Heading J. An introduction to phase-integral methods. New York: Wiley, 1962. 186 p.

77. Rieder G. Iterationsverfahren und Operatorgleichungen in der Elastizitatstheorie // Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 1962. B. 14. S. 109-155.

78. Kroner E. Elastic moduli of perfectly disordered composite materials // Joumal of Mechanics and Physics of Solids. 1967. V. 15. P. 319-327.

79. Eimer C. Stresses in multi-phase media // Arch. Mech. Stos. 1967. V. 19. P. 521-538.

80. Frisch U. Wave propagation in continuous random media // Bharucha-Reid A.T. Probabilistic Methods in Applied Mathematics. New York. Academic Press, 1968. R 128-159.

81. Gambin E., Kroner E. Convergence problems in the theory of random elastic media //Journal Engmeering Science. 1981. V. 19. P. 313-329.

82. Brillouin L. Wave propagation in periodic structures. New York: Dover Publications, 1953. 384 p.

83. Palmov V.A. Vibration of Elasto-Plastic Bodies. Heidelberg: Springer, 1998. 311 p.

84. Chen K.K., Soong T.T. Co variance properties of waves propagating in a random medium // Joumal Acoustical Society America. 1971. V. 49. P. 1639-1642.

85. McCoy J.J. On the correlation of field quantities in a random linearly elastic solid // Joumal Mathematical Physics. 1972. V. 13. P. 1804-1814.

86. Belyaev A.K. High-frequency vibration of extended complex structures // Probabilistic Engineering Mechanics. 1993, V. 8. P. 15-24.

87. Belyaev A.K. Nonlinear high-frequency vibration of complex engineering structures // Thompson J.M.T., Bishop S.R. Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics. Chichester: Wiley, 1994. P. 285-294.

88. Belyaev A.K. Elastic-plastic wave propagation in engineering structures of power plants // Rocha M.M., Riera J.D. Transactions of 13th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology. 1995. V. 2. P. 831-836.

89. Belyaev A.K., Irschik H. Non-linear waves in complex structures modelled by elastic-viscoplastic stochastic media // International Journal of Non-Linear Mechanics. 1996. V. 31, No. 5. P. 771-777.

90. Belyaev A.K., Ziegler F. Homogenisation in dynamics of heterogeneous structures // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1997. B. 77. S2. S. 461-464.

91. Belyaev A.K., Ziegler F. Uniaxial waves in randomly heterogeneous elastic media // Int. Journal Probabilistic Engineering Mechanics. 1998. V. 13. No. 1. P. 27-38.

92. Belyaev A.K., Ziegler F. Traffic-noise-excited uniaxial waves in complex structures // Schneider W., Troger H., Ziegler F. Trends in Application of Mathematics to Mechanics. Harlow: Longman Scientific and Technical, ISIMM Series, 1991, P. 108-117.

93. Belyaev A.K., Irschik H., Ziegler F. Nonlinear wave propagation in complex structures modelled by random media with self-stresses // Naess A., Krenk S. lUTAM Symposium on Advances in Nonlinear Stochastic Mechanics. Netherlands:

94. Kluwer Academic Publishers, 1996. P. 29-38.

95. Belyaev A. K., Palmov V. A. Locality principle in structural dynamics // Petyt M., Wolfe H.F. Proceedings of the 2nd Int. Conference on Recent Advances in Structural Dynamics. Southampton: University of Southampton, 1984. V. 1. P. 229238.

96. Беляев A.K., Пальмов B.A. Принцип локальности вибрации сложных механических систем // Динамика и вибродиагностика механических систем. Межвузовский сборник. Иваново: Ивановский государственный университет, 1985, С. 14-28.

97. Belyaev А.К. On the application of the locality principle in structural dynamics // Acta Mechanica. 1990. V. 83. P. 213-222.

98. Remington P.J., Manning I.E. Comparison of Statistical Energy Analysis power flow predictions with an "exact" calculation // J. Acoustical Society America. 1975. V. 57. P. 374-379.

99. Belyaev A.K., Krutzik N.J. Localization of high-frequency vibrations of secondary systems of power plants // Acta Mechanica. 1994. V. 102. No. 1. P. 1-10.

100. Belyaev A.K. and Pradlwarter H.J. Broad-band vibrations of driven components of complex structures // Schueller G.I., Shinozuka, M., Yao J.T.P. Structural Safety and Reliability. Rotterdam: A.A.Balkema, 1994. P. 85-91.

101. Belyaev A.K. and Pradlwarter H.J. Wide-band random vibration in members of complex structures // bitemational Joumal of Solids and Structures. 1995. V. 32. 24. P. 3629-3641.

102. Первозванский А.А. Высокочастотные вибрации при значительном поглощении // Доклады Академии Наук СССР. 1986. Т. 288. с. 1068-1071.

103. Левина З.М., Решетов Д.М. Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение, 1971. 304 с.

104. Hsieh W.H., Kuo К.К. Erosive and strand burning of stick propellants, part П: theoretical modelling of erosive-burning processes // AIAA Journal Propulsion and Power. 1990. V. 6. P. 400-406.

105. Kuo K.K., Summerfield, M. Fundamentals of solid-propellant combustion. A Progress in Astronautics and Aeronautics. New York: AIAA, 1984, V. 90. 195 p.

106. Беляев A.K. Широкополосная вибрация тонкостенных элементов сложных систем // Труды ЛПИ "Механика и процессы управления". 1991. Т. 442. С. 128137.

107. Fischer Р., Belyaev А.К., Pradlwarter H.J. Combined integral and FE analysis of broad-band random vibration in structural members // Probabilistic Engineering Mechanics. 1995. V. 10, No. 4. P. 241-250.

108. Herster P., Gschweitl E., Rainer G.Ph. Use of air borne noise calculation to develop low noise engines // Ferguson N.S., Wolfe H.W., Mei C. Structural dynamics: Recent advances. Southampton: University of Southampton, 1994. V. 2. P. 1033-1044.

109. Leung A. Y. T. Dynamic Stiffness and Substructures. London: Springer-Verlag, 1993. 379 p.

110. Ibrahim R.A. Nonlinear random vibration: experimental results // Applied Mechanics Review. 1991. V. 44. P. 423-446.

111. Bucciarelli L .L., Askinazi J. Pyrotechnic shock synthesis using nonstationary broad band noise // Joumal of Applied Mechanics. 1973. V. 40. P. 429-431.

112. Болотин B.B. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1956. 587с.

113. Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. New York: McGraw-Hill, 1959. 419 p.

114. Roseau M. Vibrations in Mechanical Systems. Berlin: Springer, 1987. 515 p.

115. Belyaev A.K. Failure of vibration testing caused by dynamic buckling of shaker coil // Ferguson N.S., Wolfe H.W., Mei C. Structural Dynamics: Recent Advances. Southampton: Institute of Sound and Vibration Research, 1994. V. 1. P.r 224-233.

116. Belyaev A.K., Irschik H. Zur kinetischen Instabilität von elektrodynamischen Schwingungserregem // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1995. B. 75. Sl. S. 79-80.

117. Belyaev A.K., Irschik H. Kinetische Instabilität elektrodynamischer Schwingungserreger // Elektrotechnik und Informationstechnik (e&i). 1996. B. 113. N. 7/8. S. 489-494.

118. Belyaev A.K. Dynamic buckling of components in engineering structures // August! G., Borri C., Spinelli P. Structural Dynamics, Proceedings of the Third European Conference on Structual Dynamics: EURODYNA96, 1996. V. 1. P. 423430.

119. Belyaev A. K., Irschik H. On the dynamic instability of components in complex structures // International Joumal of Solids and Structures. 1997. V. 34. No. 17. P. 2199-2217.

120. Belyaev A.K. Statistical Energy Analysis of parametric resonance in structural members // Fahy F.J., Price W.G. lUTAM Symposium on Statistical Energy Analysis. Dodrecht: Kluwer, 1999. P. 187-196.

121. Goldstein Н. Classical Mechanics. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company, 1950. 625 p.

122. Lyon R.H., DeJong R.G. Theory and application of Statistical Energy Analysis. Boston: Butterworth-Heinemann, 1995. 412 p.

123. Fahy F.J., Price W.G. lUT AM Symposium on Statistical Energy Analysis. Dodrecht: Kluwer. 1999. 371p.

124. Eichler E. Thermal circuit approach to vibrations in coupled systems and noise reduction of a rectangular box // Journal of the Acoustical Society of America. 1965. V. 37. P. 995-1007.

125. Пальмов B.A. Описание высокочастотной вибрации сложных динамических систем методами теории теплопроводности // "Избранные проблемы приклажной механики". Сборник, посвященный 60-летию академика В.Н.Челомея. М., 1974. с. 214-221.

126. Roberts J.B., Spanos P.D. Random vibration and statistical linearization. Chichester: Wiley, 1990.

127. Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of Heat in Solids. Oxford: Oxford University Press, 1959. 596 p.

128. Abramovitz M., Stegun L Handbook of mathematical functions. New York: Dover, 1972. 462 p.

129. Langley R.S. Analysis of beam and plate vibrations by using the wave equation // Joumal of Sound and Vibration. 1991. V. 150. P. 47-65.

130. Le Bot A., Jezequel L. Energy formulation for one-dimensional problems // Proceedings of the Institute of Acoustics. 1993. V. 15. P. 561-568.

131. Carcaterra A., Sestieri A. Energy trends in high frequency structural problems // Ferguson N.S., Wolfe H.W., Mei C. Structural dynamics: Recent advances.

132. Southampton: The Institute of Sound and Vibrations Research, 1994. P. 482-493.

133. Langley R.S. On the vibrational conductivity approach to high frequency dynamics for two-dimensional structural components // Journal of Sound and Vibration. 1995. V. 182. P. 637-657.

134. Русол A.B. Разработка инженерных методов оценки вибрационной надежности сложных механических систем типа ЛА на ранних стадиях проектирования. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н., 01.02.06, М., 2000. 25 с.

135. Беляев А.К., Пальмов В.А. Теория вибропроводности // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. 1980. Т. 36. С. 93-102.

136. Belyaev А.К., Palmov V.A. Theory of vibroconductivity // Petyt M. Proceedings of the 1st Int. Conference on Recent Advances in Structural Dynamics, Southampton: University of Southampton, 1980. V. 1. P. 157-168.

137. Belyaev A. K. Theory of vibrational conductivity // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1991. B. 71. N. 4. S. 127-129.

138. Belyaev A.K. Vibrational conductivity approach to high-frequency dynamics // Int. Journal Nuclear Engmeering and Design. 1994. V. 150. No. 2-3. P. 281-286.

139. RSK-Leitlinien für Druckwasserreaktoren, LL DWR 10.81.

140. Belyaev A.K. On combination of continuous and discrete energy approaches to high frequency dynamics of structures // Proceedings of the 6th Int Congress of Sound and Vibration. Copenhagen: Int. Institute of Acoustics and Vibration, 1999.Ap. 2341-2348.

141. Беляев A.K. К описанию одномерного вибрационного состояния при помощи параболического уравнения // Прикладная механика. 1985. Т. 21, № 3. С. 99-104.

142. А 143. Belyaev A.K. Parabolic equation for modelling wave propagation in complex structures // Proceedings of the 7th Int. Congress on Sound and Vibration. Garmisch-Partenkirchen: Int. Institute of Acoustics and Vibration, 2000. P. 11071114.

143. Belyaev A.K. Wave propagation in complex structures modelled by medium with internal variables // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2000. B. 80. Sl. S. 101-104.

144. Sears J.E. On the longitudinal impacts of metal rods with rounded ends // Proceedings Cambridge Philosophical Society. 1908. V. 14. P. 45-92.

145. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Hieory of Elasticity. McGraw-Hill, 1970. 578 p.

146. Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая Школа, 1972. 416 с.

147. Зегжда CA. Соударение упругих тел. С. Петербург: Издательство С.-Петербургского Университета, 1997. 316 с.

148. Belyaev A.K. Energy transfer to high-frequency modes due to repeated impacts // Pust L., Peterka F. Proceedings of the 2nd European Nonlinear Oscillations

149. Conference. Prague: Academy of Science of the Czech Republic. 1996. V. 1. P. 8992.

150. Belyaev A.K. Energy transfer from low to high frequency modes // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2000. B. 80. S2. S. 271-272.