Выживающие решения дифференциальных включений с невыпуклой правой частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0 3

РОСаыСКЛЛ АКАДЕ'.Ш НАУК СИБЛРСКОЬ ОТДКЛЕНЛЕ Иркутский вычислительный центр

На правах рукописи

ГОН'{АРОВ Владимир Владимирович

В1ШВА)Х;'ДЕ РЕШЕНИЯ Д,1'ЖРЫЩИАЛЬНЫХ ВЮШЧЕНЛЛ С НЬВсШУКЛО.1 ПРАВОП ЧАСТЬЮ

01.01.02 - дифференциалы!!"? уравнения

А В Т О Р К Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

'¡ркутск - 19^2

Работа выполнена в Иркутском вычислительном центре СО РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.А.Толстоногов.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук Ю.С.Ледяев, - кандидат физико-математических наук Г.А.Колокольникова.

Ведущая организация - Институт математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук.

Защита состоится " , марта_1992 г. в_часов на

заседании Специализированного совета К 003.64.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Иркутском вычислительном центре СО РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, 33, ул. Лермонтова,•134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутског вычислительного центра СО РАН.

Автореферат разослан " М>" о^лЛ^ЫЛ 1992 г.

УченыЛ секретарь •

Специализированного у'-

совета __■ А.И.Тятишкин

- 3 -

ОБЦЛЯ ХАРАИЬРЛСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Во многих областях науки и техники, в теории динамических систем, теории дифференциальных игр и т.д. возникают разнообразные задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Эти задачи, в силу установленной А.Ф. Филипповым в 60-е годы связи между дифференциальными включениями и управляемыми системами, приводят к необходимости изучения вопросов существования и свойств решении дифференциальных включений на замкнутых множеств.»; (так называемых, вычшвакцих релений).

Проблема существования выпивающих решений впервые рассматривалась м.Киеито в 1942 году для дифференциальных уравнений, а в работах а.Н.чййаа, 0,-1'. АиЫп н др. для дифференциальных вклю -пений с выпуклой правой частьп,. Однако, в связи с приложениями к оптпмальноиу управлении, особое значение имеют решения дифферен -циалького ьклпчения с невыпуклой правой частью, а такие соотношения между семейством всех решений и множеством траекторий ьключе-ния с "овшуклениой" правой частью.

П|)слста|»ляетск актуальным изучение выживающих решений диф'.е-1счц>шн!>.т г!:лот;ан'5',, (дродаиионных включений с линейным неогра -лтчоншл! оператсро!«) и бесконечномерной банаховом пространстве , поскольку к таым вижэчекиям сводятся различные управляемые сас -темы, егшеипаемке уравнениями в частных производных.

Большой интерес представляет также задача выживаемости для дифференциально-операторных уравнений, частными случаями которых являются некоторые виды интегро-дифференциальных уравнении, днф -ференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и т.д., широко используемых в практике.

Цельи работы является исследование вопросов существования решений некоторых классов дифференциальных включений с иевилуклей

правой частью на замкнутых подмножествах банахова пространства и изучение качественных свойств семейства выживающих траекторий.

Методы исследования. Используется общая теория дифференци -альных уравнений, методы теории многозначных отображений, теории меры, а также современные методы функционального анализа.

Научная новизна. В работе установлена непрерывная версия теоремы А.А.Ляпунова о выпуклости образа векторной мери со зна -чениями в банаховом пространстве; доказаны теоремы о существовании общих непрерывных селекторов у конечного числа многозначных отображений со значениями в пространстве суммируемых функций; впервые применён метод непрерывных селекторов к исследованию решений дифференциальных вклпчзний на замкнутых множествах, с по -мощью которого, в частности, доказано существование радения за -дачи Коши и периодического решения; установлены такие свойства семейства выживающих траекторий, как полунепрерывная снизу зависимость от начальных условий и параметров, плотность и граничность в множестве решений включения с "овыпукленной" правой частью; обобщена на случай бесконечномерного банахова пространства тео -рема о существовании решения дифференциального включения с лип -¡лицевой правой частью, выживающего на компактном множестве и непрерывно зависящего от начальных условий.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшем развитии теории дифференциальных включений на замкнутых множествах, при решении задач оптимального управления с фазовыми ограничениями, при математическом моделировании эколого-эко-номическкх и других процессов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе "Актуальные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Ногинский научный центр АН СССР, Черноголовка, 1988); XI конференции молодых учёных механико-мате -ыатического факультета МГУ (Москва, 1989); Международной школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Иркутск, 1989); Мини --семестре "Дифференциальные включения и их приложения" (Междуна -родный центр им. С.Банаха, Варшава, Польша, 1989); XXI региональной молодёжной школе-конференции ИМИ УрО АН СССР (Свердловск,1990); на семинарах международной школы SI3SA (Триест, Италия, 1991); семинаре профессора В.М.Тихомирова (Москва, МГУ, 1991), а также на конференциях и семинарах ЙрЬЦ СО АН СССР.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 117 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, за -ключения, комментариев и списка литературы, включающего 125 наи -менований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении очерчен круг вопросов, изучаемых в диссертации, и приведен обзор литературы по теории дифференциальных включений на замкнутых множествах. Кратко изложено содержание работы.

Первач глава носит вспомогательный характер. В §1 вводится ряд обозначений и определений, а также формулируются некоторые известные утверждения из теории векторных мер и теории многозначных отображений, используемые на протяжении всей работы.

Рассмотрим произвольное измеримое просгр >н1'?ео ( Т, 'fît ) , где Т - множество, а "5-алгебра его подмножеств, и ба -

- б -

нахово пространство X с нормой || • ||. . Через К) ^ будем

обозначать пространство компактных мер jh: 7Tt-*-)( ограниченной вариации*^, снабженное нормой * ' ^'(Т) , где |ju|- ва-

риация меры • ,

В §2 установлена непрерывная версия теоремы Л.Л.Ляпунова о выпуклости множества значений векторной меры ji .• Wf-»- X > а тленно, доказана

Теорема Пусть !<( - компактное топологическое прост-

ранство, отображение tcm-j^ из К в непрерывно, а

hit-*- _ конечная неатомическая мера. Если

для каждого ог е К мера jV^ абсолютно непрерывна относительно jk0 , то для любого S >о существует семейство множеств ^ ^JtCo ^ ' УДОвлетворящее условиям

, o(eCc,ll , -хек • Jiet— «¿ji.IT) , «ifeto,!!.-

В §3 с помощью теоремы I получены некоторые результаты о существовании непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми значениями в пространстве суммируемых функций. Здесь X- сепарабельное банахово, К - компактное метрическое простран -ство, а Т-Со,а1 - отрезок числовой прямой с мерой Лебега jiolds) • Под Ау(Т,Х) (Л^Т,/)) понимается пространство

^Используется терминология книги Dinculeanu N. Vector measures.-Oxforci; Pergamon Ггезз, 1967.'

Здесь нумерация теорем и формул не зависит от нумерации, принятой в диссертации.

классов эквивалентности всех интегрируемых по Бохнеру функций

■I

\Г:Т-*-Х с нормой Utf!lv= Мер II j tf(s>c/sil (соответ-

-ttT о

ственно, lltfl^tr j IIaKsjI с(2 ) , а ( - единичный от -

Г

крытый шар с центром в нуле из пространства L^ÍT^t) (Л^Т,*)). Доказана

Теорема 2. Пусть : K-vZ^(T,X), i-i,.., jí, - полунепре-

рывные снизу многозначные отображения с непустыми, замкнутыми, разложимыми3*^ значениями, и полунепрерывные снизу функции

t= ¿j—ja/, таковы, что для каздого 1&К г/

множество О ЫЬ } не пусто. Тогда мно-

i«i 1 1 v

гозначное отображение Я? }(-»- ¿^Т,*} тлеет непрерывный селектор.

Показано, что утверждение теоремы останется в силе, если в определении отображения Ч? шар заменить на .

Конкретизацией теоремы 2 является

Следствие. Пусть |<-*-Л4(Т,X) ~ полунепрерывное снизу

многозначное отображение с замкнутыми разложимыми значениями. Тогда множество ^ непрерывных селекторов отображения со f, (Сй^Х-х) = dóCíC-x)), хе 1С, не пусто, и для любого С] £ ^ и

произвольного &>о существует непрерывный селектор Çy отобра-

-t

гения такой, что II ^ Ut/xXs)- J¡(oc)(.s;))císl|< t, itT, < ■

о "

Здесь Со означает замкнутую выпуклую оболочку.

, например, Pry s zkowsk i A. Continuous selections for ь class of nonccnvex multivalued maps.- Studio math., 1583. V.76, "2, p. 163-174.

Результаты первой главы представляют и самостоятельный интерес.

Вторая глава посвящена вопросам существования выживающих решений дифференциально-операторных уравнений и дифференциальных включений. Б §1 доказываются вспомогательные утвервдения и обсуждаются некоторые свойства контингентного конуса Т^Оя) к чно -жеству КсХ в точке 'Хб К , который определяется равенством Т.(<х}= Г) Г) и 66), где Ь -замкнутый Ь>0 Х>0

единичный шар с центром в нуле, X - банахово пространство. В §2 устанавливается существование решений уравнения

•¿(4> = ^(гхК*) , (I)

в котором : , - непрерывный оператор,

и дифференциального включения

-¿еШ.,00, (2)

где Г:Т*К-*-Х ^ КсХ, -многозначное отображение с непустыми

замкнутыми значениями. Введём обозначение ¿/¿^(^х)-!,

где - функция типа Ка-

ратеодори, неубывающая по второму аргументу, и такая, что для любых -¿0£ Со, о)5 уравнение

Ъ-^Н,*} (3)

имеет решение *сс-4.'), = на отрезке .

Це!ггральное место занимает следующий результат, полученный

с помощью техники непрерывных селекторов, восходящей к работе

»)

11.А.А1Ноо1е«1с;г 31 А.СеШпа

----

'Antosiewicz Н.А., СеЦЗла A. Continuous* selections and. differential relatione.- J.Diff.Equat., 1975, V.19, H2, p.386-399.

Теорема 3. Предположим, что множество К замкнуто, выпукло, а Г:Т*К-*Х удовлетворяет условиям:

(а) Г сулерпоэиционно измеримо, т.е. отображение

измеримо для любой непрерывной функции

"X : Т->- К ;

(б) полунепрерывно снизу для почти Есех

(п.в.) teT ;

(в) Ikiu^u, ¡Ы) для всех <Si ГЦ,^ ^ хбК, п.в. UT .

(г) (-зс) для кшвдого К почти всюду на Т .

Пусть t0feCo,a> и точка ое^К такова, что для некоторого 6>0 множество К О (•ас. + Е. Ь) компактно в X . Тогда существует решение (типа Каратеодори) oct-i-), х(i0)-^с , включения (2) на некотором отрезке C-to,to-f?3^Т 5 $>о.

Доказано также существование глобального решения.

Теорема 3 . Пусть множество К замкнуто, выпукло и локально компактно, а многозначное отображение Г такое же, как в теореме 3. Тогда для каждого ос0 е К дифференциальное включение (2) имеет решение o:(-fc),ic(с)=ъсс . определенное на Т .

В §3 рассматриваются решения дифференциально-операторного уравнения (I) и включения (2), удовлетворяющие более общим граничным условиям. Возьмем компактное, выпуклое множество К с X" и обозначим через семейство всех непрерывных функций •xfo ,

TCi^tK, -tfcT, наделенное топологией равномерной сходимости. Тогда справедлива

Теорема 4. Если многозначное отображение Г:Т*Кч-Х удовлетворяет условиям (а),(б),(г) теорему 3 и неравенству ¡UlUeU), ('(-К/н (Т,Г) , для всех -it К , п.в.

Т , то для любой непрерывной функции 4?: "З^-»- К существует решение х(4) включения (2) такое, что :г (. о) = 4? .

Отсюда, в частности, следует, что дифференциальное включение (2), в котором отображение Г; ¡2* К-*~Х , 1Й= (-«.,+с-з) , с непустыми замкнутыми значениями удовлетворяет на Т* К , Т= С.о,0-1 , условиям теоремы 4 и периодично с периодом а , имеет периодическое с периодом а решение, определённое на 1С .

В §4 метод непрерывных селекторов, развитый в предвдущих параграфах, применяется к доказательству существования интегральных решений эволюционного включения

и-6 А* +Ги,зО, (4)

в котором А •■ ВСА^Х 5 Х>(А)сК, - инфинитезимальный генера -

тор Си -полугруппы5^ "¿К) , Ьъо , линейных ограниченных операторов.

Определение. Непрерывная функция ■ос(о , тс (41 £ К для всех "ЬеТ, "эс (о) = тс , называется интегральным решен и-еы включения (4), если существует в , тЛ^Г^эсИ:))

почти всюду на Т , такая, что ч-^ $(1-1г) , -ббТ.

о

Обозначим

М = W ¡I и У*«,*)«^ - ¿

ах> ii и о" i , -

« ¿M

где функция типа Каратеодо-

ри, неубывающая по второму аргументу, и такая, что для любого %,>,0 уравнение (3) имеет на f решение tíí), t(c)=tü Доказана локальная теорема существования интегрального решения и

к)

См., например, книгу Ptzy A. Semigroups of linear operators a ad applications to partial differential equations.- iíew íorlc¡ Spri.n¿ur-Vurloc, 1933.

Теорема 5. Пусть пространство X сепарабельно, множество К замкнуто и выпукло, компактная С0-полугруппа 5К) линейных ограниченных операторов такова, что £ 1< , "¿>0 ,

а многозначное отображение Т* К-»-Х удовлетворяет условиям (а), (б), (г) теоремы 3 и неравенству И^Ий^* ("ЦИ:х11) для

всех

Г"'1

аеК , п.в. -¿¿Т . Тогда для каждого -хи(г К включение (4) имеет интегральное решение ИИ), =

В третьей главе изучаются некоторые свойства решений дифференциальных включений на замкнутом множестве. В §1 рассматривается сеглейство включений

-¿еХ^и,-»:) , , (5)

где В - метрическое пространство, а отображение определе-

но на множестве Т^К(З) , К{$)сХ, , и принимает непус -

тые замкнутые значения в банаховом пространстве )( . Под функ -дней Камке понимается функция типа Каратеодори со : Т* 13

и)(-ЦсО - о , интегрально ограниченная на ограниченных подмножествах из , и такая, что единственной абсолптно непрерывной

фикцией с^ \ Т-+- -0 , удовлетворяющей почти всюду на Т

дифференциальному уравнению = , является функ-

ция, тождественно равная нулю. Для <5£ ?€«(£) через С5")

обозначено семейство всех решений -хСо , *1<)б , ^¿Т , включения (5) таких, что "Х(с>= | . Доказана

Теорема 6. Предположил. что отображение К X прини-

мает компактные выпуклые значения и полунепрерывно снизу,

: т* X удовлетворяет условиям теоремы 4 для любого

StS , а многозначная санкция 'X) , определен-

ная на множество = : ТС К(Б)^ , полунепрерывна сни-

зу для п.в. -£с=Т . Кроме того, пусть для всех зеЬ,

и п.в. £е*т имеет место неравенство ФСГ^-б,х), Г^-Цу^

£ , где СО ;Т* функция Камке, а <3(•,)-

- метрика Хаусдорфа на пространстве замкнутых ограниченных множеств из X . Тогда множество (5,^)6 ср. К , относительно компактно в пространстве 0(Т}Х) , а (З,^ (]р

является полунепрерывным снизу многозначным отображением из К в С(Т,Х) . Здесь С(Т,Х) - пространство непрерывных функций из Т в X с топологией равномерной сходимости.

Б §2 устанавливается плотность семейства выживающих решений дифференциального включения (2) в множестве решений включения

-хе ад ГНух). (6)

Для "Зо^К через и ^¿Зр^3') обозначаются семейст-

ва всех траекторий *х(о, 'хНиК "зсМ^ос, , включений (2) и

(6), соответственно. С помощью следствия из теоремы 2 доказана

Теорема 7. Пусть множество К с X замкнуто, выпукло и ло -кально компактно, многозначное отображение Г: Т* К.->~Х удовлетворяет условиям теоремы 3, и для каждого ^ £ К существует £>о

и функция Камке О: Т* £> + , неубывающая по второму аргу -менту, такие, что для п.в. -£еТ , всех , имеет место неравенство

, ^ и)«, Нх-уй). (?)

Тогда для любого 1С£К справедливо равенство (тс) ■=

| 1

= ^^СиО . в котором черта сверху означает замыкание в С(Т,Х).

Свойство граничности семейства выживающих траекторий включения (2) в множестве решений включения (6) рассматривается в §3, Здесь для непрерывной функции через Т(х(>)

обозначена совокупность тех ^бТ , для которых множество Г(-£,т(-в)не выпукло. Получен следующий результат.

Теорема 8, Пусть выполнены все условия теоремы 7, только в неравенстве (7) отображение СО Г заменено на F . Если, кроме того, lofK и 'ТТС'зс(•>))>о для каждой функции

i6)e , то множество ^^(хЛ ^(iV) не пусто

и справедливо равенство ^ Г ~ ^сЗГ^0^ .

В §4 изучается связь между множествами интегральных решений эволюционного включения (4) и включения

ОС & А-а: •»- to Г(-1, х> , (8)

где линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор А такой же, как в §4 главы 2. Через «f^ (тс,,) и i К»

обозначаются семейства всех интегральных решений -xt-t) , включений (4) и (8), соответственно. Доказана

Теорема 9. Пусть пространство X , множество К . Сй --полугруппа , и многозначное отображение

с непустыми слабо компактными значениями удовлетворяют условиям теоремы 5. Предположи?.! также, что для п.в. £Т , всех

выполнено неравенство £оГ(-Цх), ^ ^ Wiij Hx-ijiO ,

в которой M=W> HS(-t)!| , а сд ;Тх R^Gf- функция Камке,

+ tVn

неубывающая по второму аргументу. Тогда для каждого сх,. е \< множество (ore) компактно в пространстве С(Т,)0 , и спра-

Li) I __________

ведливо равенство ^¡jrl-*"--) = ^Д*..) . гДе черта вверху означает замыкание в 0(.Т,)О.

При доказательстве используется следствие из теоремы 2.

Наконец, §5 посвящен решениям дифференциального включения с липшицевой правой частью, выживающим на компактном (не обязательно выпуклом) подмножестве банахова пространства. Здесь АС1Т,Х)-

- пространство всех абсолютно непрерывных функций :Т-г X , почти всюду на Т имеющих интегрируемую производную, с нормой

. Основное содержание параграфа

Т

составляет следующая теорема, доказанная с помощью модифицированного метода А.Ф.Филиппова

Теорема 10. Предположим, что множество К С )( компактно, а многозначное отображение Г: Т* К ->- X с замкну шли ограниченными значениями удовлетворяет условиям;

(а) П.-,«) измеримо для любого кс- К ;

(б) Г(-(,г)сТ^(а-) для п.в.- ¿¿Т , всех осе к ;

(в) существует суммируемая функция |с;Т-*-|'! такая, что

Ф(Га,-.1>, , . ПОЧТИ всиду

на Т .

Пусть - непрерывная функция, а : Т* К.К , ^(о.д")^'

- *, ^<2 К, такова, что является нсхф.фпвпь'л отображением из К б ДСС?1, >0 , и для некоторой сум'лфуссоП (¡/и-кции о : Т-»- 6* почти всюду на Т шеет место нсравеисюо

а ^ Р(-0 , • Тогда для любой непреры-

вной функции ее": и любого Ь>о существует непрерывний

селектор > = , ^е ^ .многозначного

отображения ус К такой, что

^ См. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных урав -нений с многозначной правой частью.- Вестн. МГУ. Сер.математика, механика, 1967, № 3, с. 16-26.

+ i С II )- ^>11 + t) с exp 5 , -¿eT, f € К f где

4

0

В заключении кратко формулируются основные результаты работы.

Комментарии содержат сопоставление с результатами других авторов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гончаров В.В. О существовании решений одного класса дифференциальных включений на компактном множестве.- Сиб.матем.журн., 1990, T.3I, 15 5, с.24-30.

2. Гончаров В.В. О существовании решений дифференциальных включе -ний на компактных и локально компактных множествах,- XXI региональная молодёжная школа-конференция ИММ УрО АН СССР "Проблемы теоретической и прикладной математики": Тез.докл., Свердловск, 1990, с.12-13.

3. Гончаров В.В. Теоремы существования решений дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью на локально компактном множестве.- Дифференц.уравнения, 1991, Т.27, № 12.

4. Гончаров В.В., Толстоногоб A.A. О непрерывных селекторах и свойствах решений дифференциальных включений с tft -аккретивнкми операторами.- ДАН СССР, 1990, T.3I5, № 5, 'с.1035-1039.

5. Гончаров В.В., Толстоногов A.A. Совместные непрерывные селекторы многозначных отображений с невыпуклыми значениями и их при -лоиения.- .¿атем.сб., 1У91, Т.К2, 13 7, с.?-16-9^9.