Взаимодействие пневмонапряженных мягких оболочек с жесткими преградами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ХОВАНЕЦ Виталий Анатольевич

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПНЕВМОНАПРЯЖЕННЫХ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК С ЖЕСТКИМИ ПРЕГРАДАМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2004

Работа выполнена в Морском государственном университете имени адмирала Г. И. Невельского

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Друзь Борис Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Олейников Александр Иванович; кандидат физико-математических наук, с.н.с. Ковтанюк Лариса Валентиновна

Ведущая организация: Институт проблем морских технологий ДВО

РАН, г. Владивосток

Защита состоится 30 марта 2004 года в 11 часов 30 минут на заседании регионального диссертационного совета Д 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан февраля 2004

года.

Ученый секретарь диссертационного совета

М. А. Гузев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время все более актуальным становится повышение надежности и эффективности оболочек, изготовленных на основе современных материалов. При создании конструкций, удовлетворяющих современным требованиям, необходимы уравнения и алгоритмы, учитывающие их пространственную сложность, нелинейность материала, геометрическую нелинейность и различные режимы эксплуатации. Экспериментальное исследование поведения оболочек, работающих в условиях сильного деформирования, часто невозможно или экономически невыгодно. Аналитические методы основываются на существенных упрощениях задач и обычно не удовлетворяют практическим требованиям. Поэтому особое значение приобретают численные расчеты с минимальными упрощениями моделей.

Сейчас широко распространены различные устройства из мягких оболочек, особенностью деформирования которых являются геометрическая и физические нелинейности, возможность образования одноосных зон напряженно-деформированного состояния, сложное сочетание пространственных фрагментов и контактное взаимодействие с жесткими преградами в процессе нагружения.

Существенное нелинейное поведение пространственных мягких оболочек при применении численных методов приводит к плохо обусловленным системам, особенно, на начальных этапах нагружения, при появлении зон одноосностей и контактном деформировании. Поэтому большое значение приобретают эффективные процедуры численного решения уравнений движения дискретной модели.

Решение пространственных задач взаимодействия в нелинейной постановке требует значительных вычислительных мощностей, ограничивая анализ поведения амортизирующих и демпфирующих пространственных мягких оболочек, юаимодействующих с движущимися преградами, особенно при оптимальном управлении их работой, откуда следует необходимость в специальных методах решения таких задач.

Целью работы является разработка модели нелинейного деформирования пространственных мягких оболочек с учетом односторонних связей в областях одноосности и контакта; постановка и решение задач статического и квазистатического сдавливания фрагментированных мягких оболочек с использованием методов понижения размерностей и оптимизации; разработка соответствующих численных методов, в рамках

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

исследования деформирования мягких многосекционных оболочек и демпферов, взаимодействующих с движущимися преградами.

Научная новизна работы состоит в следующем: выведены уравнения нелинейной механики мягких оболочек с односторонними связями в областях одноосности и зонах контакта; разработаны комбинированные алгоритмы метода конечных элементов и редуцирования, предназначенные для исследования поведения сложных пространственных мягких оболочек в статической и квазистатической постановках с учетом односторонних связей, а также оптимального управления взаимодействием амортизаторов и демпферов с движущимися преградами.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на строгих математических выкладках и подтверждается численными расчетами тестовых задач, имеющих аналитические решения.

Применение и практическая ценность работы. Предложенные в данной работе методы и алгоритмы расчета сложных комбинированных конструкций их мягких оболочек, взаимодействующих с твердыми преградами, использованы в Научно-исследовательском институте резиновой промышленности (г. Волжский), в ТИНРО-центре (г. Владивосток), в СКБ авиационных устройств Уфимского государственного авиационного технического университета (г. Уфа). Применение разработанных автором диссертации алгоритмов и комплекса программ для решения широкого круга задач подтверждено соответствующими актами внедрения.

Апробация. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на Дальневосточных конференциях по мягким оболочкам (1979, 1983, 1987,1991,1993,1996 годы), на IV и V международных научно-практических конференциях «Проблемы транспорта Дальнего Востока» (2001, 2003 годы), на семинарах Киевского инженерно-строительного института, Института кибернетики АН Украины, Московского государственного технического университета имени В.Э. Баумана, Уфимского государственного авиационного технического университета, Института автоматики и процессов управления ДВО РАН, ТИНРО.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 27 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, пяти глав, заключения, списка литературы (186 наименований) и приложения. Общий объем работы - 199 страниц, в том числе 92 рисунка и две таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определены цель, актуальность, научная новизна и практическая значимость работы.

Первая глава посвящена анализу особенностей поведения мягких оболочек и численных методов, применяемых при исследовании их напряженно-деформированного состояния. В главе выполнен краткий обзор литературы. Существенный вклад в теорию мягких оболочек внесли С.А. Алексеев, Г.А. Гениев, В.Н. Гордеев, А.С. Григорьев, Б.В. Гулин и В.В. Ридель, Б.И. Друзь, В.В. Ермолов, В.Э. Магула, А.Р. Ржаницин, Б.И. Сергеев, В.И. Усюкин, Ф. Отто, Р. Тростель, А. Грин, Дж. Адкинс и другие отечественные и зарубежные ученые. В главе рассмотрены особенности мягких оболочек и критерии мягкости. Основное внимание уделено численным методам расчета, допущениям и ограничениям в их использовании и области применения. Проанализирован метод продолжения по параметру, широко применяемый для численного решения нелинейных задач механики сплошных сред. Рассмотрены методы конечных элементов и конечных разностей и проведен сравнительный анализ этих методов. Подробно изложены и исследованы примеры применения методов конечных разностей и конечных элементов в приложениях к задачам статического и динамического нагружения мягких оболочек. Рассмотрены основные виды конечных элементов, применяемых в нелинейной механике мягких оболочек, сформулированы проблемы в теории мягких оболочек и сделаны выводы о перспективных направлениях в численном исследовании мягких оболочек методом конечных элементов.

Во второй главе выведены основные соотношения нелинейной механики мягких оболочек. В первом параграфе рассмотрены вариационные уравнения движения нелинейной упругой среды и мягких оболочек. В качестве базового используется вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, который утверждает, что истинному движению нелинейно-упругого тела с номером к соответствует стационарная точка функционала действия -

на кинематически возможном поле перемещений. В (1) взятие индекса в круглые скобки означает отсутствие по нему суммирования. При этом суммарная энергия N взаимодействующих тел равна 3 — • ® Функционале действия К^ - кинетическая энергия деформируемого тела, ИЛ) -потенциальная энергия деформации, - работа внешних сил, причем

к.

= Г Рой-й(1у,Ш(к)= Г Идл - Г

(2)

где р0 - плотность среды в недеформированном состоянии; и - вектор перемещений из начальной конфигурации в актуальную; - объем, занимаемый телом к в начальной конфигурации; и - удельная потенциальная энергия деформации; знаком «■» обозначено скалярное произведение; «••» означает свертку тензоров. При описании нелинейного процесса деформирования в (1, 2) и далее используется несколько мер деформаций и напряжений, при отличии базисов, в которых определяются соответствующие тензоры. Это тензор приращений конечных деформаций Коши-Грина 7, тензор напряжений Коши (называемый также тензором истинных напряжений) Т и второй тензор напряжений Пиола-Кирхгоффа а.

При исследовании нелинейных задач применяется интегральный закона состояния, дающий значения тензора напряжений Коши в конечном состоянии - преднапряжения в начальном состоянии, -приращения напряжений при переходе из начального состояния в конечное.

Вариационные уравнения движения мягких оболочек получаются при помощи феноменологических гипотез. По первой гипотезе считается, что из-за малой толщины мягкой оболочки деформации симметричны относительно срединной поверхности, откуда следует постоянство по толщине компонент мер деформаций и напряжений. По второй гипотезе, основываясь на том, что

мембранные напряжения

в мягкой оболочке на несколько порядков

больше нормальных напряжений сг33, полагаем а33 = 0. Тогда из (1, 2) получим вариационное уравнение движения мягкой оболочки:

" 41)

ф

'.¿Я +

• Г РЧ<5г

Сг(ДО)

-Я

С^бщУ а ¿Б = 0,

где - тензор преобразования

из начального состояния в ко-

д/

определитель мет-

нечное; - ковариантная производная;

ах

рического тензора на срединной поверхности оболочки в конечном состоянии. Здесь и далее полагается, что индексы в греческом написании изменяются от 1 до 2, а в латинском - от 1 до 3, производится суммирование по

повторяющимся индексам, и штрихом отмечаются индексы, относящиеся к глобальной декартовой системе координат.

Во втором параграфе выведены уравнения в приращениях, где вариационные уравнения движения нелинейно-упругого тела представляются в форме, удобной для дальнейшего применения методов дискретизации.

Третий параграф посвящен вариационным формулировкам контактных задач. Их характерной чертой является то, что контактные граничные условия определяются на заранее неизвестной области. На основании вариационных уравнений движения в приращениях выводится линеаризованное вариационное неравенство для случая жесткого сцепления мягкой оболочки и контактирующего тела:

Г в^е^бе^йу + Г В.х'би,(1у > 0 ,

справедливое на множестве кинематически допустимых функций, удов-летвогшютттих усттовиям закпепттения на и непгюникновения на Зе:

Хи =

й(х,Ь) — й',х € V*;

Ф(5) + й(х) ■ УФ(х) > 0,\/5 е 5е

где Ф(2,£) - уравнение, описывающее поверхность контакта Зс жесткого тела объема Г2 и мягкой оболочки; В"^ - компоненты тензора упругой податливости; - компоненты вектора реакций.

В четвертом параграфе получены соотношения мягких оболочек в одноосных областях. При совместном учете ограничений, накладываемых на напряженно-деформированное состояние оболочки в областях одноосности и в зонах контакта, удобнее использовать единую вариационную формулировку. Для этого необходимо применять вариационные принципы, позволяющие производить варьирование, как вектора места, так и напряжений. Условия одноосности мягкой оболочки формулируются в инвариантной форме:

Л1711 > 0, /3 ^ Г | > 0, х € 5„, где 11г /3 - первый и третий инварианты тензора напряжений Коши Т, определенного в конечной (актуальной) конфигура-

ции.

В параграфе используется вариационная формулировка на основе функционала Рейснера, минимизация которого в областях одноосности на каждом шаге по параметру продолжения соответствует минимаксной проблеме в элементарной области отсчетного пространства,

гпш

Л Л 1 X г Хт £

( \ * ( \ *

к ? >0,/3 Г >0

, А

где

4В --

тензор упругой

податливости.

Пятый параграф посвящен уравнениям состояния нелинейно-упругих мягких оболочек из конструктивно-анизотропного материала. В работе предполагается, что мягкая оболочка представляет собой регулярную последовательность различно ориентированных анизотропных слоев или состоит из нескольких изотропных монослоев. Жесткостные характеристики материала мембранной оболочки получаются осреднением по толщине и даются относительно срединной поверхности. Тогда для совокупности анизотропных слоев:

где п - число слоев оболочки, В^ ' ' - компоненты тензора упругих констант в ортонормированием базисе г-го слоя мембраны, - толщина г-го

слоя

компоненты тензора преобразований базиса орто-

тропии к местному базису системы координат ьго слоя к местному косоугольному базису

Третья глава посвящена выводу соотношений метода конечных элементов для мягких оболочек и численному исследованию сходимости конечно-элементных аппроксимаций. Одной из основных проблем при применении конечных элементов к нелинейным задачам теории мягких оболочек является учет жестких смещений, особенно сказывающийся при решении задач с геометрической нелинейностью. В работе предлагаются два типа конечных элементов: треугольный элемент с линейными восполняющими функциями и криволинейный четырехугольный конечный элемент с полилинейными восполняющими функциями, построенный на основе процедуры моментной схемы конечных элементов (МСКЭ). В двух первых параграфах получены основные уравнения для треугольного конечного симплекс-элемента. В третьем параграфе получены уравнения МСКЭ для криволинейного четырехугольного мембранного многослойного конечного элемента. Согласно процедуре МСКЭ при выводе конечно-элементных соотношений производится разложение градиента вектора перемещений и тензора напряжений, входящих в вариацию потенциальной энергии деформации, в ряд Маклорена. При этом производится удержание только тех членов ряда, которые при

принятом законе аппроксимации перемещений исключают явления «ложного сдвига» и обеспечивают перемещения элемента как жесткого целого. Все соотношения метода конечных элементов строятся из вариационных уравнений движения в форме приращений. В третьем параграфе выведена матрица реакций нелинейного композитного мягкооболочечного конечного элемента..

В четвертом параграфе на основе процедуры МСКЭ и уравнений в приращениях получены линеаризованные матрицы жесткости, преднапряжений и согласованная матрица масс.

Для анализа сходимости численных расчетов с помощью предлагаемых конечных элементов, в пятом параграфе главы решена модельная задача о деформировании криволинейного бруса в виде разомкнутого кольца при действии сосредоточенной нагрузки. В этой задаче происходит смещение всех конечных элементов как жесткого целого. При увеличении количества криволинейных четырехугольных конечных элементов до 40 штук точность расчетов в сравнении с аналитическими значениями возрастает до 0,8 %, что говорит высокой эффективности учета жестких смещений и точности предлагаемых конечно-элементных схем.

Четвертая глава посвящена.численным методам расчета сильно нелинейных задач деформирования сложных пространственных мягких оболочек. В первом параграфе рассмотрены общие принципы построения алгоритмов решения систем нелинейных уравнений в задачах взаимодействия мягких оболочек с преградами. Рассмотрены следующие подходы к решению: методы продолжения по параметру, методы фрагментации (декомпозиции), различные варианты методов установления, явные и неявные методы интегрирования уравнений движения, методы редуцирования (понижения размерности задач), методы релаксации, градиентные методы, специальные методы учета односторонних связей в областях контакта и одноосностей, методы оптимизации. Показано, что основными являются метод продолжения по параметру и методы установления.

В результате применения конечно-элементных дискретизаций и полудискретных методов получены уравнения движения конечно-элементной модели:

[М]{«(0> + [С]{й(0> + {Я«а>,*)>-{«(<»>,«)> = 0, (3)

где [М\ - матрица масс; [С] - матрица конструкционного демпфирования (если оно есть); {Я({и},£)}— вектор нелинейных реакций; {(¿(<и>,1)}-вектор обобщенных внешних сил; - векторы узловых

перемещений, ускорений и скоростей, соответственно; t - время или параметр продолжения.

Во втором параграфе изложены методы декомпозиции и глобальной редукции расчетных моделей. Они основаны на комбинированном применении методов фрагментации и различных вариантов метода редуцирования. Предлагается методика фрагментации, опирающаяся на расчёт с различными схемами и шагами интегрирования по времени для отдельных фрагментов модели. Под фрагментом понимается оболочка, жидкость, твердое или деформируемое тело или их часть. Каждый из фрагментов описывается своей системой дифференциальных уравнений, и фрагментация осуществляется на нескольких уровнях.

В третьем параграфе рассмотрены алгоритмы установления в задачах контактного деформирования, применяемые для решения уравнений движения конечно-элементной модели (3) в комбинации с неявными методами. Из методов установления в работе рассматривались методы динамической и вязкой релаксации и метод дискретных торможений. Метод дискретных торможений является наиболее устойчивой. численной процедурой. В нём ускорение сходимости решения системы (3) обеспечивается не только учетом диссипативных сил, но и введением в процесс численного интегрирования дискретного затухания (торможения) в те моменты времени, когда дискретная система «проскакивает» равновесное положение. Метод дискретных торможений получается на основе представления решения (3) через центральные разности без демпфирования:

Приращение кинетической энергии системы дТо" определяется по формуле ДТ0П ГДС [£>] ■ диагональ"

ная матрица, со специально подобранными коэффициентами.

В четвертом параграфе выведены безусловно-устойчивые неявные разностные схемы интегрирования уравнений движения дискретной конечно-элементной модели. Получена наиболее общая процедура поиска

приращения { Ди"^1 ]• = {и".^1} — {иГ+1} искомых перемещений } на

шаге п + 1 по параметру продолжения и текущей г -Ы итерации Ньютона-Канторовича:

В предлагаемом итерационном процессе в левой части появился вклад регу-2

ляризации а в правой - подчеркнутый член, являющийся вкладом

метода релаксации.

В пятом параграфе рассмотрены специальные алгоритмы решения задач с односторонними связями, основанные на методах релаксации и неопределенных множителей Лагранжа.

В конце главы приведен анализ сходимости рассмотренных алгоритмов решения нелинейных задач. Показано, что наиболее эффективной является процедура, сочетающая методы дискретных торможений и вязкой релаксации.

Пятая глава посвящена решению ряда задач деформирования специальных амортизирующих и демпфирующих мягкооболочечных устройств в статической и квазистатической постановках. Уравнения и алгоритмы, описанные в диссертации, реализованы автором в комплексе программ «ПАРУС» для различных операционных систем. С помощью комплекса программ и разработанных в диссертации алгоритмов решен ряд тестовых и реальных задач нелинейного деформирования мягких оболочек. Рис. 1.

В двух первых параграфах рассмотрены задачи контактного деформирования плоскими бортами и цилиндрическим штампом оболочки резинокорд-ного кранца с жесткой связью между фланцами и без нее, В ненагруженном состоянии кранец имеет форму цилиндра с полусферическими оконечностями, в полюсах которых имеются металлические фланцы диаметром 0,4 м. Начальный диаметр цилиндрической части составляет 2 м, общая длина 3,6 м, длина цилиндрической части - 1,7 м, радиус полусферы -1м, приведенная толщина резинокордной оболочки - 0,014 м. В расчете учтены следующие значения технических констант ортотропного материала монослоя л = 104,5 МПа; £2=73,6 МПа; С12=3,7 МПа; 1/21=0,1; и31 = и2 =0;

£•3=12,52 Мпа. Число монослоёв цилиндрической части равно 12, а на

сферической оконечности изменяется от 12 до 8. Рабочее давление в исходном состоянии доведено до 0,096 Мпа. Выполнено сжатие до 60% размера в исходном состоянии, приведены характеристики кранца в процессе сжатия и построены поля напряжений в оболочке с указанием зон одноосности.

В третьем параграфе главы изложены методы и результаты расчетов высокоэффективного специального многосекционного мягкооболочечного амортизатора (рис. 1), выполняющего демпфирующие функции за счет сжатия подоболочечного воздушного объема. Проведены расчеты нескольких конструктивных вариантов амортизатора при различных схемах нагружения. На рис. 2 изображена дискретная модель расчетного фрагмента конструкции, заштрихованного на рис. 1.

Расчеты специального амортизатора при всех видах статического контактного деформирования выполнялись для дискретной модели, состоящей из 368 треугольных КЭ и 209 узлов. Материал оболочки был принят изотропным с модулем упругости Е = 50 МПа, коэффициентом Пуассона V = 0,4 и толщиной 10~3 м. На первом этапе производилось нагружение избыточным давлением до величины 2 кПа. Анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) после раздувания показывает, что даже небольшие давления создают зоны с одноосным напряженным состоянием, которые в основном расположены в местах резких изломов поверхности (т.е. в стыках различных частей конструкции).

Рис.3. Рис.4. Рис. 5

Рис. 2.

Следующим этапом было выполнено сжатие амортизатора плоской преградой. Давления в подушке и амортизаторе менялись по изотермическому закону. На рис. 3 указаны контуры стенок для состояния нагружения избыточным давлением (контур 1), состояния сжатия на величину 0,02 м (2) и сжатия на 0,09 м (3). Для последней формы деформирования тонкими линиями показана конечно-элементная сетка. На рис. 4 изображено поле минимальных главных напряжений дискретной модели стенки, а на рис. 5 - поле максимальных главных напряжений при максимальной степени сжатия. Значения напряжений относятся к центрам конечных элементов и их величины взяты из расчетных состояний с невязкой, равной 10~7. Из анализа НДС следует, что стенка конструкции, подверженная только нагрузкам, лежащим в ее -плоскости, всегда находится в складчатом состоянии, складки расположены, в основном, параллельно контактной плоскости. На всех этапах сжатия на стенке имеются ненапряженные области- «мешки». При этом при максимальном сжатии вблизи круговой перегородки образуются крупные складки.

В конце параграфа изложены результаты расчетов разных конструктивных вариантов специального амортизатора на моделях малой размерности.

Рис. 6.

Анализ результатов расчетов конструктивных вариантов при сетках различной густоты, показывает, что интегральные характеристики для моделей с густыми и грубыми сетками отличаются незначительно (3-10%). Это говорит о том, что грубые сетки могут дать вполне удовлетворительную точность при нахождении интегральных характеристик деформирования. На рис. 6 показаны формы деформированных стенок двух вариантов конструкции при максимальной степени сжатия.

В диссертационной работе решен ряд задач квазистатического взаимодействия объектов с амортизирующими и демпфирующими мягкооболочеч-ными элементами. Под объектами понимаются устройства, скорость движения которых необходимо довести до нуля при заданных ограничениях на их максимальные перемещения и ускорения и на максимальные давления со

стороны тормозящего элемента. К исследованному классу относятся задачи динамического взаимодействия пневматических и демпфирующих кранцев с наваливающимся судном, задачи сжатия деннажных подушек, посадок на поверхность специальных амортизаторов с объектом и прочее.

В четвертом параграфе главы построена редуцированная модель квазистатического взаимодействия. Уравнения движения объекта при его прямолинейном перемещении имеют вид:

где М - масса объекта; U - перемещение объекта с момента контакта с тормозящим элементом; - сила сопротивления жидкости при движении объекта; - сила реакции тормозящего элемента;

- совокупности параметров, от которых зависят силы сопротивления и реакции, соответственно. Уравнение (4) дополняется соответствующими начальными условиями.

Непосредственное объединение какого-либо неявного метода для решения уравнений движения (4) и метода конечных элементов для расчета НДС и параметров сжатия приводит к неэффективным и неустойчивым процедурам. Поэтому для решения задач деформирования, основываясь на квазистатическом характере взаимодействия, был применен специально разработанный алгоритм редуцирования. В нём производится выделение неизвестных и функций, связывающих взаимодействующие объекты, и решение разделяется на ряд задач в пространстве этих переменных с каждым из объектов отдельно. Для квазистатического взаимодействия объекта с мягкооболочечным тормозящим элементом такими функциями являются площадь контакта и подоболочечный объём, зависящие от степени сжатия (перемещения Ц) и избыточного давления Р под оболочкой:

= = У(и,Р), (5)

где и е [^„ш.^щ«,], Р е [Рщд,] и интервалы изменения Ц и Р определяются из априорного анализа задачи. Для построения редуцированных функций (5) выбирается дискретный ряд давлений, принадлежащий допустимому интервалу, и для каждого из них решается задача контактного сжатия при постоянном давлении по алгоритмам, описанным в данной работе. Это дает дискретное представление функций (5) по сечениям с фиксированными давлениями, принадлежащими интервалу по которому

производится полиноминальное или онлайновое восполнение "на сетке," построенной в области изменения параметров и и Р.

По разработанным алгоритмам были построены редуцированные функции для задачи сжатия оболочки кранца с полусферическими оконечностями без связи между фланцами. В ненагруженном состоянии кранец имеет оконечности радиусом 1 м;. длину цилиндрической части 1,75 м; радиус фланца 0,2 м. Расчеты проводились для изотропного материала с модулем £=50 МПа, коэффициентом Пуассона ^=0,47 и толщиной оболочки, равной 0,028 м. Кранец сжимался плоскими поверхностями, параллельными его оси и друг другу, при этом допускалось скольжение узлов в зоне контакта и свободное перемещение фланцев.

С помощью полученной редуцированной модели в пятом параграфе главы выполнены.расчеты пневматического, гидродемпфирующего и пневмо-демпфирующего кранцев в различных режимах эксплуатации при прижатии кранца к жесткой стенке параллельным ей плоским бортом судна. При этом учитывалось сопротивление жидкости движению судна.

Вначале исследовался пневматический кранец при начальном давлении 0,12 МПа. Получено, что при скорости ио-1 м/с кранец сжимается на величину 1,75 м, что составляет 79% от начального диаметра. Контактное давление возрастает до 0,3 МПа и является допустимым в соответствии с техническими требованиями

» •

Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.

При расчетах гидродемпфирующего кранца использовался стандартный способ определения избыточного давления.под оболочкой при истечении жидкости через отверстие, расположенное во фланце.

Результаты расчетов для общей площади отверстия и коэф-

фициента расхода 0,63 приведены на рис. 7 и 8. Аналогичное исследование проводилось и для пневмодемпирующих кранцев. Расчеты показали качественно одинаковое поведение гидро- и пневмодемпфирующих кранцев с неизменяемой площадью отверстия, особенность которого состоит в том, что наблюдается резкое повышение давления на конечных этапах сжатия,

приводящее к полному торможению судна. Характерным отличием от расчета без учета растяжимости является отсутствие зоны спада давления, что придает демпфирующим кранцам амортизирующие свойства. Также следует подчеркнуть, что во всех случаях контактное давление на борт судна оказывается выше допустимого.

На рис. 9 изображены характеристики различных типов кранцев, позволяющие оценить их энергоёмкость, где кривая 1 - характеристика пневматического кранца, 2 - демпфирующего с неизменной площадью отверстия и 3 -демпфирующего кранца с оптимальным управлением.

Как видно из рисунка, наименее. выгодной является характеристика демпфирующего кранца с неизменной площадью отверстия (кривая 2, у вершины которой показано максимальное значение силы).

В шестом параграфе изложены результаты решения задач оптимального управления пневмодемпфирующими и гидродемпфирующими кранцами при квазистатическом сжатии. При этом для улучшения характеристик и максимального использования демпфирующих свойств используется возможность управления поведением демпфирующего элемента, заключающаяся в изменении площадей отверстий расположенных во фланцах. Управление оптимально, когда энергия судна полностью поглощается на заданном перемещении ит и в конце взаимодействия равны нулю скорость и ускорения объекта, а также давление под оболочкой. При этом накладываются ограничения на максимальные значения контактного давления, скорости и ускорения объекта и скорости изменения площади отверстия (определяемой из технических возможностей устройства управления отверстием). Уравнение (4) дополняется граничными условиями, и решение ищется на интервале времени [О, Г] с неизвестным Т при ограничениях на переменные и их производные, а функция цели содержит величину, обратную энергоёмкости. Рис. 10.

Используя тот факт, что для демпфирующих элементов площадь отверстия однозначно связана с давлением и расходом, решение ищется в классе функций, заведомо дающих максимальную энергоёмкость. Вследствие этого определяется максимальное контактное давление при ограничениях на скорость его изменения, дающее минимум функции цели:

где и^ Ч- IVд - веса, а индекс Т показывает, что значения переменных берутся в конце интервала времени.

На рис. 10 приведены зависимости изменения площади отверстия Q(t), обеспечивающие оптимальное управление работой пневмодемпфирующего кранца, полученное с помощью редуцированной модели. Такое изменение площади отверстия для пневмодемпфирующего кранца дает минимум функции цели (6) и функцию давления (рис. 11), соответствующую максимальной энергоёмкости.

На рис. 9 изображена характеристика гидродемпфирующего кранца с оптимальным управлением (кривая 3). Из рисунка видно, что такой кранец является лучшим из рассматриваемых типов тормозящих элементов.

0 12 1 * 3 *

0 12 3 4 3 6 О л*1

Рис.11. Рис.12.

В выполненных расчетах максимальное контактное давление наблюдалось при скорости навала судна £/о=1 м/с и не превышало допустимого. При этом скорости и ускорения (рис. 12) гасились до нуля на одинаковом во всех случаях пути судна (1,4 м), давления (рис. 11) были ограничены максимально допустимыми значениями, а графики перемещений имели «полочки», соответствующие этапам уменьшения абсолютного значения ускорения. В приложении представлены акты внедрения результатов работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе вариационных принципов для нелинейной упругой среды и феноменологических гипотез выведены вариационные уравнения нелинейного деформирования мягких оболочек. Получены вариационные уравнения в приращениях, учитывающие односторонние связи в областях одноосности и контакта.

2. Разработаны специальные алгоритмы решения задач деформирования нелинейно-упругих фрагментированных мягких оболочек на основе

комбинации метода конечных элементов, методов дискретных торможений, вязкой, динамической релаксации и неявной безусловно-устойчивой схемы интегрирования уравнений движения конечно-элементной модели.

3. Разработаны алгоритмы,редуцирования задач квазистатического контактного сдавливания демпферов и пространственных многосекционных мягких амортизаторов и алгоритмы оптимального управления характеристиками демпфирующих устройств из мягких оболочек при взаимодействии с движущимися преградами.

4. Предложенные алгоритмы реализованы в программном комплексе расчета мягких оболочек и многосекционных фрагментированных мягко-оболочечных конструкций при статическом и квазистатическом нагру-жениях с оптимальным управлением.

5. Исследовано напряженно-деформированное состояние многосекционного амортизатора при сильном сжатии с приложением нагрузок в плоскости перегородок, при этом показано, что перегородка на всех этапах деформирования находится в одноосном напряженном состоянии.

6. Исследовано напряженно-деформированное состояние оболочки рези-нокордного кранца при сжатии плоским и цилиндрическим штампом; построена редуцированная модель сжатия резинокордного кранца; решены задачи квазистатического сдавливания пневмодемпфирующих и гидродемпфирующих кранцев и показано, что без управления они обладают амортизирующим эффектом.

7. Решены задачи нахождения оптимального управления демпфирующими свойствами пневмодемпфирующего и гидродемпфирующего кранцев, обеспечивающего их максимальную энергоемкость при сдавливании наваливающимся судном.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Хованец В. А. Безусловно-устойчивые неявные методы интегрирования уравнений движения конечно-элементных моделей// Проблемы транспорта Дальнего Востока/ Пленарные доклады пятой международной научно-практической конференции. 1-3 октября 2003 г. - Владивосток: ДВО Российской Академии транспорта, 2003 - С. 133-138.

2. Хованец В. А. Методы редуцирования в численных расчетах мягких оболочек, взаимодействующих со стрелой// Проблемы транспорта Дальнего Востока/ Пленарные доклады четвертой международной

научно-практической конференции. 2-6 октября 2001 г. - Владивосток: ДВО Российской Академии транспорта, 2002 - С. 163-165.

3. Хованец В. А. Методы конечных и граничных элементов в задачах взаимодействия мягких оболочек с деформируемыми телами и жидкостью// Проблемы транспорта Дальнего Востока/ Пленарные доклады четвертой международной научно-практической конференции. 2-6 октября 2001 г. - Владивосток: ДВО Российской Академии транспорта, 2002 - С. 165167.

4. Хованец В.. А., Заводовская А. И. Расчет укрытий методом конечных элементов// Проектирование и расчет конструкций из мягких оболочек/ Дальневост. гос. морская академия им. адм. Г. И. Невельского - Владивосток, 1994 - С. 95-99.

5. Хованец. В. А., Заводовская А. И. Анализ напряженно-деформированного состояния ветрозащитных экранов// Проектирование и расчет конструкций из мягких оболочек/ Дальневост. гос. морская академия им. адм. Г. И. Невельского - Владивосток, 1994 - С. 106-110.

6. Хованец В. А. Методы конечных элементов и конечных разностей в задачах деформирования мягкооболочечных конструкций// Современные конструкции с применением мягких и гибких материалов/ Дальневост. высш. инж.-Морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ) -Владивосток, 1992-С. 51-82.

7. Хованец В. А. Метод конечных элементов в задачах деформирования многосекционных мягкооболочечных амортизаторов// Проектирование и расчет пневмоконструкций/ Дальневост. высш. инж. Морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1991 - С. 71-87.

8. Кислоокий В.Н., Цыхановский В.К., Хованец В.А., Касилова Т.А. Нелинейное деформирование мягкооболочечных систем, усиленных стабилизирующими элементами// Тез. докл./ IX Дальневост. конф.по мягким оболочкам. - Владивосток: Изд-во ДВГМА, 1991. - С. 73-75.

9. Кислоокий.В. Н., Хованец В. А., Цыхановский В. К., Комаров С. С. Взаимодействие сильно деформируемых мягкооболочечных устройств при статическом и динамическом нагружении// Судовые мягкие и гибкие конструкции/ Дальневосточное высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1989 - С. 118-130.

10. Хованец В. А. Метод потенциала в задачах взаимодействия мягких оболочек с жидкой и газообразной средами// Современные судовые мягкие и гибкие конструкции и их расчеты/ Дальневост. высш. инж. Морское

уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1988 - С. 73-84.

11. Хованец В. А., Пузько В. Б., Хван С. В. Определение НДС подушечных пневмооболочек методом конечных элементов// Тез. доклУ VIII Дальне-вост. конф. по мягким оболочкам. - Владивосток: Изд-во НТО им. Крылова, 1987 - С. 244-247.

12. Кислоокий В. Н., Хованец В. А., Цыхановский В. К. Методы конечных и граничных элементов в задаче нелинейных колебаний, жидкости в отсеке, закрытом мягкой оболочкой// Расчетные методы и практика судовых мягких и гибких конструкций/ Дальневосточное высш. инж. Морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1987 -С. 99-113.

13. Кислоокий В. Н., Цыхановский В. К., Хованец В. А. Метод конечных элементов в задаче сжатия оболочки пневматического кранца цилиндрическим штампом// Совершенствование конструкций, изготавливаемых с применением мягких оболочек/ Дальневост. высш. инж. морское уч-ще. им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). - Владивосток, 1986. - с. 112122.

14. Хованец В.А. Теоретическое исследование гидродинамических характеристик мягкооболочечных профилей оснастки тралов/ Тихоокеан. НИИ рыбн. хоз-ва и океанографии (ТИНРО), Владивосток: ТИНРО, 1985. - С. 157-158.

15. Кислоокий В. Н., Хованец В. А., Цыхановский В. К. Метод конечных элементов в задачах квазистатического сжатия амортизирующих и демпфирующих устройств// Оптимизация судовых мягких и гибких конструкций/ Дальневосточное высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1985 - С. 103-116.

16. Кислоокий В.Н., Цыхановский В.К., Хованец В.А., Фесенко О.А. Соотношения метода конечных элементов в нелинейных задачах прочностях расчетов и формообразования мягких оболочек вращения// Оптимизация судовых мягких и гибких конструкций/ Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г.И. Невельского (ДВВИМУ). - Владивосток, 1985 - С. 34-53.

17. Кислоокий В. Н., Цыхановский В. К., Шиповский И. Я., Хованец В. А. Метод конечных элементов в задачах исследования напряженно-деформированного состояния анизотропных резинокордных оболочек сложной формы// Судовые конструкции с применением мягких и гибких

материалов/ Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1984 - С. 41-58.

18. Хованец В.А., Костюков В.М. Расчет гидродинамических характеристик траловых досок с гибким профилем// Поведение рыб и орудия лова/ Изд-во ТИНРО - Владивосток, 1983 - С. 73-82.

19. Друзь Б. И., Хованец В.А. К решению контактных задач в теории мягких оболочек// Состояние и перспективы применения пневматических конструкций из мягких оболочек в горном деле. - Днепропетровск, 1983. -С. 57-59.

20. Кислоокий В. Н., Цыхановский В. К., Хованец В. А. Некоторые особенности решения контактных задач теории мягких оболочек методом конечных элементов// Судовые мягкие и гибкие конструкции/ Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). -Владивосток, 1983. - с. 39-44.

21. Друзь Б.И., Кислоокий В.Н., Хованец В.А., Цыхановский В.К., Фесенко О.А. Постановка и численное решение задач динамики и равновесия мягких оболочек// Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям/ Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г.И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1982. - С. 113-130.

22. Хованец В. А. Численный метод потенциала в задаче определения давлений на мягкую оболочку в потоке жидкости// Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям/ Дальневост. высш. инж. Морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1981 - С. 116-126.

23. Кислоокий В.Н., Шиповский И.Я., Цыхановский В.К., Хованец В.А. Исследование напряженно-деформированного состояния бескамерного пневматического кранца с полусферическими оконечностями под действием плоского штампа методом конечных элементов// Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям/ Дальневост. высш. инж. Морское уч-ще им. адм. Г.И. Невельского (ДВВИМУ) - Владивосток, 1981 -С. 126-138.

24. Кислоокий В.Н., Цыхановский В.К., Шиповский ИЛ., Хованец В.А. Решение задачи контактного сжатия пневматических кранцев методом конечных элементов// Совершенствование эксплуатации и ремонта корпусов судов: Тез. докл. 11 науч.-техн. конфУ НТО судостроит. пром. им. академ. Н.И. Крылова. - Калининград: 1981. - С. 418-420.

25. Друзь Б. И., Хованец В.А Методы граничных интегральных уравнений и конечных элементов в задачах колебаний мембраны в потоке жидкости// Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. - Владивосток, 1979.-Вып. 37.-С. 88-96.

26. Друзь Б. И., Огай С. А., Хованец В.А. Применение метода конечных элементов к задаче колебаний жидкости в отсеке, закрытом мембраной// Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. - Владивосток, 1978.-Вып. 36.-С. 147-156.

27. Друзь Б. И., Огай С. А., Хованец В.А. Определение методом конечных элементов собственных частот колебаний мембраны, закрывающей прямоугольный отсек, наполненный жидкостью// Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. - Владивосток, 1978. - Вып. 36. - С. 156162.

Личный вклад автора. Работы [1-3, 6, 7, 10, 14, 22] выполнены автором лично. В работах [4, 5, 11, 18, 19] автором были выведены основные соотношения, разработаны методологии расчетов и комплексы программ. В работах [8, 9, 13, 16, 17, 20, 23, 24] автор участвовал в постановке задач и разработке конечно-элементных аппроксимаций, реализовал соотношения и алгоритмы в программном комплексе и проводил численные расчеты. В работе [15] автор создал методологию редуцирования квазистатических задач, разработал алгоритмы решения задач взаимодействия и оптимального управления, провел численные расчеты. В работах [12, 21, 25- 27] автору выполнил постановку задач взаимодействия мягких оболочек с твердыми телами и жидкостью, разработал модификации метода граничных интегральных уравнений, получил. основные уравнения для линейных и нелинейных задач взаимодействия мягких оболочек с жидкостью и их дискретные аналоги.

Хованец Виталий Анатольевич

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПНЕВМОНАПРЯЖЕННЫХ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК С ЖЕСТКИМИ ПРЕГРАДАМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 18.02.2004 г. Уч.-изд. л. 1,0. Усл. печл. 1,5. Формат 60 х 84/16 Тираж 100 экз. Заказ № 024

Отпечатано в издательско-полиграфическом комплексе МГУ имени адмирала Г. И. Невельского 690059, г. Владивосток, ул. Верхнепортовая, 50а

*- 44 8 3

Введение

Основные условные обозначения и сокращения

Глава 1. Численные методы в задачах деформирования нелинейноупругих мягких оболочек

1.1. Особенности мягких оболочек и их численного расчета

1.2. Методы расчета и анализ их применимости

1.3. Метод конечных разностей в расчетах мягких оболочек

1.4. Расчет мягких оболочек методом конечных элементов

1.5. Выводы

Глава 2. Основные соотношения задач контактного деформирования нелинейно-упругих мягких оболочек

2.1. Вариационные уравнения движения нелинейноупругих мягких оболочек

2.2. Вариационные уравнения в приращениях

2.3. Вариационная формулировка задачи контакта мягкой оболочки с жестким телом

2.4. Уравнения мягких оболочек в одноосных областях

2.5. Уравнения состояния нелинейно-упругих мягких оболочек из конструктивно-анизотропного материала

Глава 3. Метод конечных элементов в задачах взаимодействия мягких оболочек с жесткими преградами

3.1. Основные соотношения МКЭ для треугольного конечного элемента

3.2. Матрицы жесткости, реакций и масс для треугольного конечного элемента

3.3. Соотношения МСКЭ для четырехугольного мембранного многослойного конечного элемента

3.4. Линеаризованные матрицы жесткости и реакций для четырехугольного конечного элемента

3.5. Численное исследование сходимости конечно-элементных аппроксимаций

Глава 4. Специальные алгоритмы решения задач контактного деформирования мягких оболочек

4.1. Общие принципы построения алгоритмов решения систем нелинейных уравнений в задачах взаимодействия мягких оболочек с преградами

4.2. Методы декомпозиции и глобальной редукции расчетных моделей

4.3. Методы установления в задачах контактного деформирования

4.4. Безусловно-устойчивые неявные разностные схемы интегрирования уравнений движения дискретной конечно-элементной модели

4.5. Алгоритмы решения задач с односторонними связями

4.6. Анализ сходимости алгоритмов решения нелинейных уравнений

Глава 5. Исследование контактного деформирования амортизирующих и демпфирующих мягкооболочечных устройств

5.1. Напряженно-деформированное состояние резинокордной оболочки пневматического кранца с полусферическими оконечностями при сжатии параллельными плоскостями

5.2. НДС кранца с полусферическими оконечностями при сжатии жестким штампом цилиндрической формы

5.3. Поведение многосекционного амортизатора с циклической симметрией при взаимодействии с жесткой преградой

5.3.1. Анализ конструктивных особенностей специального амортизатора

5.3.2. Расчётная схема амортизатора

5.3.3. Генерация сетки конечных элементов для сложной фрагментированной мягкооболочечной конструкции

5.3.4. Анализ расчетных схем и описание уточненной дискретной модели

5.3.5. Результаты расчетов специального амортизатора при статическом контактном деформировании

5.3.6. Исследование конструктивных вариантов специального амортизатора на моделях малой размерности

5.4. Редуцированная модель задачи квазистатического взаимодействия кранца с полусферическими оконечностями и наваливающегося судна с плоскими бортами

5.5. Поведение пневматических, пневмодемпфирующих и гидродемпфирующих кранцев при квазистатическом сжатии

5.6. Оптимальное управление работой пневмодемпфирующих и гидродемпфирующих кранцев при квазистатическом сжатии

Перед проектировщиками часто ставятся задачи создания конструкций, работающих в ранее не встречавшихся экстремальных условиях. Зачастую в них используются новые материалы, конструкции должны быть легкими и удовлетворять ряду специальных требований. В распоряжении инженеров, занимающихся изготовлением таких конструкций, имеются три способа, с помощью которых можно получить углубленное представление о характеристиках проектируемого объекта: аналитические методы, вычислительные методы и эксперименты. Аналитические методы дают решение в замкнутой форме, что приводит к минимальным затратам времени счета на ЭВМ (например, при оптимизации конструкции). Но это достигается за счет введения чрезмерно упрощающих и, следовательно, ограничивающих задачу предположений, к которым, например, относятся гипотеза о нерастяжимости материала мягкой оболочки, идеализация геометрии, упрощение внешней нагрузки, характера поведения конструкции и так далее. Отсюда следует, что такие методы применимы лишь к конструкциям простой формы и позволяют определять некоторые интегральные характеристики в идеализированных условиях. Средствами эксперимента могут быть исследованы объекты в натуральную величину, отдельные их элементы или модели. Однако эксперименты требуют больших затрат времени и средств как на изготовление моделей, так и на проведение испытаний. Кроме того, существуют большие сложности при тензометрировании напряженно-деформированного состояния при больших формоизменениях конструкций, фиксации геометрии в быстро изменяющихся процессах, переводе данных с модельного эксперимента на натурный образец и так далее.

По сравнению с аналитическими вычислительные методы требуют привлечения существенно менее сильных упрощений и могут использоваться для расчета неидеализированных конструкций. Кроме того, вычислительные методы почти свободны от ограничений на варьируемые параметры, например, на скорость объекта, характеристики материала и прочее. Однако численное моделирование статического или динамического деформирования мягкооболочечных конструкций с минимумом упрощающих допущений требует применения более мощных вычислительных машин, а также дальнейшего совершенствования численных алгоритмов и программных комплексов, их реализующих. Потребность в более широком применении вычислительных методов возрастает по мере непрерывного роста затрат на модельные и натурные испытания, наблюдаемых на фоне непрерывного снижения стоимости расчетов из-за совершенствования численных методов и самих ЭВМ.

Несомненное преобладание преимуществ вычислительных методов над их недостатками являются причиной возрастания их роли, особенно при создании принципиально новых конструкций. Из высокой стоимости экспериментов, дающих ограниченную информацию, следует рост популярности вычислительных методов механики сплошной среды, базирующийся на значительных достижениях в создании современных высокопроизводительных вычислительных систем, совершенствовании технологий параллельных вычислений и повышении эффективности численных алгоритмов.

Актуальность темы. В настоящее время все более актуальным становится повышение надежности и эффективности оболочек, изготовленных на основе современных материалов. При создании конструкций, удовлетворяющих современным требованиям, необходимы уравнения и алгоритмы, учитывающие их пространственную сложность, нелинейность материала, геометрическую нелинейность и различные режимы эксплуатации. Сейчас широко распространены различные устройства из мягких оболочек, особенностью деформирования которых являются геометрическая и физические нелинейности, возможность образования одноосных зон напряженно-деформированного состояния, сложное сочетание пространственных фрагментов и контактное взаимодействие с жесткими преградами в процессе нагружения.

Существенное нелинейное поведение пространственных мягких оболочек при применении численных методов приводит к плохо обусловленным системам, особенно, на начальных этапах нагружения, при появлении зон одноосностей и контактном деформировании. Поэтому большое значение приобретают эффективные процедуры численного решения уравнений движения дискретной модели.

Решение пространственных задач взаимодействия в нелинейной постановке требует значительных вычислительных мощностей, ограничивая возможности анализа поведения амортизирующих и демпфирующих пространственных мягких оболочек, взаимодействующих с движущимися преградами, особенно при оптимальном управлении их работой, откуда следует необходимость в специальных методах решения таких задач.

Целью работы является разработка модели нелинейного деформирования пространственных мягких оболочек с учетом односторонних связей в областях одноосности и контакта, постановка задач статического и квазистатического сдавливания фрагментированных мягких оболочек с использованием методов понижения размерностей и оптимизации, разработка соответствующих численных методов, в рамках которых выполнение исследования деформирования мягких многосекционных оболочек и демпферов, взаимодействующих с движущимися преградами.

Научная новизна работы состоит в следующем: выведены уравнения нелинейной механики мягких оболочек с односторонними связями в областях одноосности и зонах контакта; разработаны комбинированные алгоритмы метода конечных элементов и редуцирования, предназначенные для исследования поведения сложных пространственных мягких оболочек в статической и квазистатической постановках с учетом односторонних связей, а также оптимального управления взаимодействием амортизаторов и демпферов с движущимися преградами.

Основные условные обозначения и сокращения т»1 л,3

JU j «4/ у Us

Ci ei ei i' 1' У координаты в криволинейной местной (лагранжевой, сопутствующей или материальной) системе координат; ковариантный базис в натуральном состоянии; ковариантный базис в начальном состоянии; ковариантный базис в конечном (актуальном) состоянии; координаты глобальной декартовой системы координат; г, г, R — радиус-векторы в натуральном, начальном и конечном состояниях; и, и и векторы перемещении из натурального в начальное и из натурального в конечное состояние, соответственно;

- вектор перемещения из начального в конечное состояние;

О* > С]» 0\ — компоненты тензоров преобразования из местных систем координат соответствующих состояний в глобальную систему; с , — базисные векторы глобальной системы координат; К Ш ковариантные (контравариантные) компоненты метрического тензора местной системы координат в натуральном и начальном состояниях; . о •

•,]■ п3- пУ nJ

S.j ,S.i} S.i, S. j - компоненты тензоров преобразований из начального в натуральное состояние, из начального в конечное и наоборот, соответственно;

7 - тензор приращений конечных деформаций Коши-Грина;

- тензор напряжений Альманзи-Гамеля; f - тензор приращений напряжений Коши; а - тензор приращений напряжений Пиола-Кирхгоффа;

J — функционал действия;

К - кинетическая энергия деформируемого тела;

W — потенциальная энергия деформации;

L - работа внешних сил; pQ — плотность в натуральном состоянии; о v,v,V - объем в натуральном, начальном и конечном состояниях; v — скорость;

- вектор массовых сил;

V - оператор градиента в лагранжевой системе координат начального состояния; Vk — ковариантная производная;

V - оператор Гамильтона; t — вектор поверхностных сил; а - определитель ковариантного метрического тензора на срединной поверхности оболочки; t - время; е^ — ковариантные компоненты тензора скоростей деформации;

- параметры Лямэ;

С — линеаризованный тензор упругих констант материала для трехмерного напряженного состояния; u-j - коэффициенты Пуассона;

В - линеаризованный тензор упругих констант материала для плоского напряженного состояния;

Е{ - модули упругости;

Sa — область одноосности на поверхности мягкой оболочки;

Sc — область контакта; zs,zT — координаты точки оболочки и тела в глобальной системе координат;

N - вектор поверхностных сил на Sc; (х) - коэффициент трения оболочки о поверхность жесткого тела;

1\П - компоненты векторов сил инерции и поверхностных сил, соответственно;

R1 — компоненты инерционных, внешних и псевдосил; п - вектор внешней нормали к области;

XD — кинематически допустимое поле перемещений.

Заключение

1. На основе вариационных принципов для нелинейной упругой среды и феноменологических гипотез выведены вариационные уравнения нелинейного деформирования мягких оболочек. Получены вариационные уравнения в приращениях, учитывающие односторонние связи в областях одноосности и контакта.

2. Выведены соотношения метода конечных элементов для треугольного симплекс-элемента. На основе моментной схемы конечных элементов выведены соотношения для четырехугольного криволинейного многослойного конечного элемента с полилинейным восполнением и полилинейной аппроксимацией толщины оболочки, и проведена его апробация. Проведен численный анализ сходимости конечно-элементных аппроксимаций

3. Разработаны специальные алгоритмы решения задач деформирования нелинейно-упругих фрагментированных мягких оболочек на основе комбинации метода конечных элементов, методов дискретных торможений, вязкой, динамической релаксации и неявной безусловно-устойчивой схемы интегрирования уравнений движения конечно-элементной модели.

4. Разработаны алгоритмы редуцирования задач квазистатического контактного сдавливания демпферов и пространственных многосекционных мягких амортизаторов и алгоритмы оптимального управления характеристиками демпфирующих устройств из мягких оболочек при взаимодействии с движущимися преградами.

5. Предложенные алгоритмы и методы реализованы в программном комплексе расчета мягких оболочек и многосекционных фрагментированных мягкооболочечных конструкций при статическом и квазистатическом нагружениях с оптимальным управлением. Комплекс программ разработан для различных операционных систем и позволяет производить автоматическую подготовку данных для сложных пространственных фрагментированных конструкций.

6. Исследовано напряженно-деформированное состояние многосекционного амортизатора в его различных конструктивных особенностях при сильном сжатии с приложением нагрузок в плоскости перегородок, при этом показано, что перегородка на всех этапах деформирования находится в одноосном напряженном состоянии.

7. Исследовано напряженно-деформированное состояние оболочки резинокордного кранца при сжатии плоским и цилиндрическим штампом; построена редуцированная модель сжатия резинокордного кранца; решены задачи квазистатического сдавливания пневмодемпфирующих и гидродемпфирующих кранцев и показано, что без управления они обладают амортизирующим эффектом.

8. Решены задачи нахождения оптимального управления демпфирующими свойствами пневмодемпфирующего и гидродемпфирующего кранцев, обеспечивающего их максимальную энергоемкость при сдавливании наваливающимся судном.

9. Предложенные в данной работе методы и алгоритмы расчета сложных комбинированных конструкций их мягких оболочек, взаимодействующих с твердыми преградами, использованы в Научно-исследовательском институте резиновой промышленности (г. Волжский), ТИНРО-центр (г. Владивосток), в СКБ авиационных устройств Уфимского государственного авиационного технического университета (г. Уфа). Внедрение в научную деятельность разработанных автором диссертации методологий и комплекса программ для решения широкого круга задач подтверждено актами внедрения, приведенными в приложении.

1. Алексеев С.А. Задачи статики и динамики мягких оболочек// Труды/ V1.Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек, Баку, 1966 г. - М.: Наука, 1966,-С. 28-37.

2. Алексеев С.А. К теории мягких оболочек// Труды/ VI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Баку, 1966 г. М.: Наука, 1966. - С. 945-947.

3. Алексеев С.А. Одноосные мягкие оболочки// Изв. АН СССР. Сер. Мех. твердого тела. 1971. - т. 6. - С. 89-94.

4. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек// Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1967. - Вып. И. - С. 31-52.

5. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек// Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1965. - Вып. 10. - С. 538.

6. Анисимова Н.И. Позиционные гидродинамические характеристики судов при произвольных углах дрейфа// Судостроение, 1968. № 5. - С. 4-8.

7. Аргирис Дж.Г. Вычислительные машины и механика// Теоретическая и прикладная механика: Труды XIV международного конгресса. М.: Мир, 1979.-С. 15-99.

8. Балабух Л.И., Усюкин В.И. Приближенная теория мягких оболочек вращения// ТРуды/ VIII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. -М.: Наука, 1973. С. 230-235.

9. Барская Н.А. Метод конечных элементов в строительной механике. Л.: ВНИИГ, 1973.-Вып. 1.-101 е.; вып. 2.-68 с.

10. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 632 с.

12. Безбородов Ю. М. Индивидуальная отладка программ. М.: Наука, 1982. -190 с.

13. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

14. Бидерман B.JI. Вопросы расчета резиновых деталей// Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1958. - Вып. 3. - С. 40-87.

15. Богнер Ф., Фокс Р., Шмит JI. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов// Ракетная техника и космонавтика. 1967. - Т. 5, N 4.-С. 170-175.

16. Бромболич К.М., Гоулд Т.Х. Конечный элемент высокой точности в форме искривленной оболочки// Ракетная техника и космонавтика. 1971. - Т. 10, N6.-С. 10-12.

17. Вайнберг Д.В., Сахаров А.С., Киричевский В.В. Вывод матрицы жесткостных характеристик дискретного элемента произвольной формы// Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вильник, 1971. Вып. 14.-С. 37-44.

18. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

19. Гениев Г.А. К вопросу о расчете пневмоконструкций из мягких материалов// Исследования по расчету оболочек, стержней и массивных конструкций/ Тр. ЦНИИ Строит, конструкций. М.: Госстройиздат, 1963. -С. 14-24.

20. Герман К.Л., Кэмпбэл Дж.С. Метод дискретных элементов для тонких оболочек// Ракетная техника и космонавтика. 1968. - Т.6, N 10. - С. 2329.

21. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Задачи динамики упругих мембран из несжимаемого материала// Взаимодействие оболочек с жидкостью. -Казань, 1981.-С. 118-126.

22. Гимадиев Р.Ш., Дрибной В.И. Взаимодействие оболочек с жидкостью. -Казань, 1981.-С. 163-169.

23. Гловински Р., Лионе Ж.-JI., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

24. Гогешвили А.А. Геометрическая структура ткани и ее влияние на прочность и деформативность// Сообщения/ Лаб. мягких Оболочек Дальневост. высш. инж. морского уч-ща им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). Владивосток, 1974. - Вып. 26, - С. 29-37.

25. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

26. Гордеев В.Н., Илиев К.Н., Перельмутер А.В., Прицкер А.Я. Исследование совместной работы плоского мембранного настила и податливого бортового элемента// Строительная механика и расчет сооружений. 1972. -N3.-C. 50-54.

27. Григорьев А.С. Большие прогибы прямоугольных мембран// Изв. АН СССР. Сер. Механика и машиностроение. 1959.-N 5.-С. 105-113.

28. Григорьев А.С. О теории и задачах равновесия оболочек при больших деформациях// Труды/ VII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1970. - С. 779-784.

29. Григорьев А.С., Сунгатулина Л.М. Большие прогибы кольцеобразной упругой мембраны// Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1977. - Вып. 23. - С. 5-8.

30. Григорьев А.С., Трушина В.М., Щадрин В.А. О равновесии ортотропных мембран при больших прогибах// Труды/ XII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ереван. Ун-та, 1980. - с. 89-97.

31. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 445 с.

32. Гулин Б.В. Метод дискретных вихрей и задачи взаимодействия// Гидроупругость оболочек. Казань, 1983. - Вып. XIV. - С. 5-34.

33. Гулин Б.В., Давыдов Р.И., Ридель В.В. Численное исследование динамики мягкой оболочки в одноосном состоянии// Нелинейные проблемыаэрогидроупругости: Тр. семинара/ Физ.-техн. ин-т Казан, фил. АН СССР. 1979.-Вып. 11.-С. 43-58.

34. Гулин Б.В., Ильгамов М.А., Ридель В.В. Динамика взаимодействия мягкой оболочки с потоком газа// Взаимодействие оболочек с жидкостью. -Казань, 1981. С. 96-117.

35. Гулин Б.В., Ридель В.В. Динамика парашюта. Теория// Исследования по теории пластин и оболочек: Тр. семинара/ Физ.-техн. ин-т Казан, фил. АН СССР. 1983-Вып. 17. С. 11-15.

36. Гулин Б.В., Ридель В.В. Динамика парашюта// Гидроупругость оболочек/ Физ.-техн. ин-т Казан, фил. АН СССР. 1983 - Вып. 16. - С. 116-132.

37. Гулин Б.В., Ридель В.В. К динамике мягких анизотропных оболочек// Нелинейные проблемы аэрогидроупругости: Тр. семинара/ Физ.-техн. ин-т Казан, фил. АН СССР. Вып. 11. - С. 24-42.

38. Гулин Б.В., Ридель В.В. К нелинейной теории мягких оболочек// Тез. докл./ VI Дальневост. конф. по мягким оболочкам. Владивосток: Изд-во НТО им. Крылова, 1979. - С. 48-51.

39. Гулин Б.В., Ридель В.В. Пространственные задачи динамики мягких оболочек// Статика и динамика оболочек: Тр. семинара/ Физ.-техн. Ин-т Казан, фил. АН СССР. 1979. - Вып. 12. - С. 202-214.

40. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.-664 с.

41. Друзь Б. И. Нелинейные уравнения теории колебаний мягких оболочек// Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. Владивосток, 1973.-Вып. 24.-С. 35-40.

42. Друзь Б. И. О форме поперечного сечения воздухоопорной цилиндрической оболочки// Строительная механика и расчет сооружений. 1973.-N4.-С. 1-9.

43. Друзь Б. И., Огай С. А., Хованец В.А. Применение метода конечных элементов к задаче колебаний жидкости в отсеке, закрытом мембраной// Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. Владивосток,1978.-Вып. 36.-С. 147-156.

44. Друзь Б. И., Хованец В.А. К решению контактных задач в теории мягких оболочек// Состояние и перспективы применения пневматических конструкций из мягких оболочек в горном деле. Днепропетровск, 1983. --С. 57-59.

45. Друзь Б. И., Хованец В.А. Методы граничных интегральных уравнений и конечных элементов в задачах колебаний мембраны в потоке жидкости// Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. Владивосток,1979.-Вып. 37.-С. 88-96.

46. Дымников С. И., Лавендел Э. Э. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов. Рига: Зинатне, 1980. - 238 с.

47. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. -384 с.

48. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. М.: Машиностроение, 1978. -464 с.

49. Ермолов В.В. Воздухоопорные здания и сооружения. М.: Стройиздат,1980.-304 с.

50. Ермолов В.В. Основные задачи развития пневматических строительных конструкций// Оболочечные конструкции и их применение в народном хозяйстве. Новочеркасск, изд-во НПИ, 1979. - С. 3-15.

51. Ермолов В.В. Пневматические конструкции воздухоопорного типа. М.: Стройиздат, 1973. - 287 с.

52. Ермолов В.В. Проблема воздухоопорных оболочек больших пролетов// Пространственные конструкции зданий и сооружений. М.: Стройиздат. 1977.-Вып. 3. С. 158-163.

53. Зелковиц М., Шоу А., Гэннон Дж. Принципы разработки программного обеспечения. М.: Мир, 1982. - 368 с.

54. Зенкевич О.М. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -543 с.

55. Ишин К.С. Проектирование и расчет пневматических сооружений// Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1983. - С. 273-299.

56. Йодан Э. Структурное проектирование и конструирование программ. М.: Мир, 1979.-416 с.

57. Кантин Дж. Смещения криволинейных конечных элементов как жесткого целого// Ракетная техника и космонавтика. 1970. - Т. 8, N 7. - С. 84-88.

58. Кассель А.Ц., Хоббс Р.Е. Динамическая релаксация// Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение, 1971. - т. 2. - С. 259-274.

59. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. - 256 с.

60. Кислоокий В.Н. Алгоритм численного решения задач статики и динамики нелинейных систем. Прикладная механика, 1966, т. 2, вып. 6. - С. 87-91.

61. Кислоокий В.Н. Реализация МКЭ в расчетах мембранно-стержневых, висячих, пневмонапряженных и комбинированных систем// Комплексный расчет зданий и сооружений с применением ЭВМ. Киев, 1978. - С. 61-65.

62. Кислоокий В. Н., Сахаров А. С. Метод конечных элементов в контактных задачах динамики упругопластических тел// Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 42. - Киев: Будивельник, 1983. - С. 53-58.

63. Кислоокий В. Н., Цыхановский В. К. Соотношения метода конечных элементов в нелинейных задачах статики мягких оболочек// Численные методы решения задач строительной механики. Киев, 1978. - С. 46-51.

64. Кислоокий В. Н., Цыхановский В. К., Фесенко О. А. Сравнительный анализ алгоритмов решения задач статики мягких оболочек методом конечных элементов// Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 43. Киев: Будивельник, 1983. - С. 53-58.

65. Клебанов Г. В. расчет мягкой цилиндрической оболочки надувных булей// Судовые устройства, системы и гибкие конструкции/ Николаев, корабдестроит. Ин-т (НКИ). Николаев, 1982. - С. 22-29.

66. Коровайцев А. В., Усюкин В. И. Некоторые особенности решения задач теории мягких оболочек при больших деформациях// Труды/ Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1980. - С. 249-254.

67. Коровайцев А. В., Усюкин В. И. Некоторые особенности решения задач теории мягких оболочек при больших деформациях// Труды/ XII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1980 т. 2.- С. 249-254.

68. Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно- упругих тел конечных размеров// Прикл. мат. и мех. 1977. - т. 41, N 2. - С. 308-310.

69. Кутлер П. Перспективы развития теоретической и прикладной вычислительной аэродинамики//Аэрокосмическая техника, 1985, Т. 3, N 8. -С. 11-29.

70. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -415с.

71. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972.-558 с.

72. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

73. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

74. Магула В. Э. Актуальные задачи теории оболочек/Сообщения/ Лаб. мягких оболочек Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). Владивосток, 1976, - Вып. 34. - С. 22-27.

75. Магула В. Э. Геометрическая изгибаемость и классификация мягких оболочек// Сообщения/ Лаб. мягких оболочек Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). Владивосток, 1968,-Вып. 2.-С. 1-7.

76. Магула В. Э. Критерии мягкости оболочки// Сообщения/ Лаб. мягких оболочек Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). Владивосток, 1971, - Вып. 14. - С. 8-15.

77. Магула В. Э. О противоречии, порождаемом гипотезой нерастяжимости мягкой оболочки// Труды НКИ. Николаев, 1975. Вып. 106. - С. 3-13.

78. Магула В. Э. Общие закономерности складкообразования мягких оболочек// Труды НКИ. Николаев, 1972. - Вып. 63. - С. 3-10.

79. Магула В. Э. Одноосное состояние мягкой оболочки при действии краевой нагрузки// Сообщения лаборатории мягких оболочек/ Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). -Владивосток, 1970. Вып. 13. - С. 77-94.

80. Магула В. Э. Основные зависимости теории мягких оболочек// Труды НКИ. Николаев, 1973. - Вып. 78. - С. 3-15.

81. Магула В. Э. Основные зависимости теории мягких оболочек// Труды НКИ. Николаев, 1974. - Вып. 80. С. 2-14.

82. Магула В. Э. Расчет мягких оболочек// Строительная механика СССР, 1917-1963.- 1963.-С. 203-211.

83. Магула В. Э. Судовые эластичные конструкции. Л.: Судостроение, 1978. -263 с.

84. Майовецки М., Тирони Дж. Проектирование пневматических сооружений с помощью ЭВМ в режиме «человек-машина»// Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1983. - С. 33-361.

85. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416 с.

86. Марчук М. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. -556 с.

87. Метод конечных элементов в строительной механике сплошных сред: Реф. обзор зарубежной лит. за период 1966-1970 гг. Л.: ВНИИГ, 1971. - 160 с.

88. Метод конечных элементов в строительной механике/ Под ред. А.Г. Угодчикова. Горький: Изд-во ГГУ, 1975. - 165 с.

89. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

90. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.-468 с.

91. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1980.-512 с.

92. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

93. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 558 с.

94. Ш.Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1967. - 320 с.

95. Постнов В. А., Хархурим В. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. 342 с.

96. Прочность-75. ч. 1. Общее описание системы. Киев: УкрФАП, 1978. -179 с.

97. Прочность-75. ч. 3. Статика и динамика оболочечных систем. Киев: УкрРФАП, 1981.-т. 1.-190 с.

98. Ржаницын А. Р. К вопросу о расчете мягких нерастяжимых оболочек вращения на гидростатическую нагрузку// Труды/ ВВА им. Н. Е. Жуковского. 1952. - С. 70-83.

99. Ридель В. В. К расчету каркасированных мягких оболочек// Гидроупругость оболочек/ Физ.-техн. ин-т Казан, фил. АН СССР. 1983 -Вып. 16. С. 133-145.

100. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.-420 с.

101. Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнениц. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1955. - 290 с.

102. Розин JI. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

103. Роуч П. Вычислительнвая гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 632 с.

104. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. -552 с.

105. Сахаров А. С., Кислоокий В. Н. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982. - 479 с.

106. Сдобников А. Н. К расчету мягкой сферической оболочки при действии ветровой нагрузки// Сообщения/ Лаб. мягких оболочек Дальневост. высш. инж. морского уч-ща им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). -Владивосток, 1979. Вып. 37. - С. 109-117.

107. Сдобников А. Н. Применение метода конечных элементов к рассчету мягких оболочек вращения// Сообщения/ Лаб. мягких оболочек Дальневост. высш. инж. морского уч-ща им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). Владивосток, 1976. Вып. 34. - С. 15-20.

108. Сдобников А. Н. Расчет пневматических конструкций лепесткового раскроя методом конечных элементов// Судовые мягкие и гибкие конструкции/ Дальневост. высш. инж. морское уч-ще им. адм. Г. И. Невельского (ДВВИМУ). Владивосток, 1983. - С. 68-73.

109. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

110. Седов JI. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. - т. 1. - 492 е., т. 2. - 584 с.

111. Сергеев Б. И. Расчет мягких конструкций гидротехнических соооружений. Учебн. пособие. Новочеркасск: Изд-во НИМИ, 1973. - 176 с.

112. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-351 с.

113. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-512 с.

114. Усюкин В. И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек// Изв. АН СССР Сер. Механика твердого тела. 1976. - N 1. - С. 70-75.

115. Усюкин В. И. Техническая теория мягких оболочек и ее применение для расчета пневматических конструкций/ Пневматические строительные конструкции. М., Стройиздат, 1983. - С. 299-333.

116. Усюкин В. И. Техническая теория мягких оболочек. Дис. д-ра техн. наук. -М.: 1971.-361 с.

117. Усюкин В. И., Терещенко В. А. Расчет пневматических строительных конструкций с использованием ЭВМ// Доклады/ Междунар. конф. по облегченным пространственным конструкциям. Алма-Ата, 1977. - М.: Стройиздат, 1977.-С. 146-151.

118. Усюкин В. И., Терещенко В. А., Борсов Р. Г. Разностные методы решения двумерных задач статики мягких оболочек// Расчет пространственных конструкций. М., 1979. Вып. XVIII. - С. 57-62.

119. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение к проектированию и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304 с.

120. Фондер Г. И., Клауф К. С. Явное добавление смещений тела как жесткого целого в криволинейных конечных элементах// Ракетная техника и космонавтика. 1973. - Т. 11, N 3. - С. 62-67.

121. Форсайт Дж., Мальком М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

122. Форсберг К. Оценка методов конечных разностей и конечных элементов в применении к расчету произвольных оболочек// Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. JI.: Судостроение, 1974. Т. 2. - С. 296-312.

123. Хауг Э. Проектирование и расчет пневматических конструкций с использованием метода конечных элементов// Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1983. С. 361-383.

124. Хованец В. А. Методы редуцирования в численных расчетах мягких оболочек, взаимодействующих со средой// Проблемы транспорта Дальнего

125. Востока/ Пленарные доклады четвертой международной научно-практической конференции. 2-6 октября 2001 г. Владивосток: ДВО Российской Академии транспорта, 2002 - С. 163-165.

126. Хованец В. А., Завадовская А. И. Расчет укрытий методом конечных элементов// Проектирование и расчет конструкций из мягких оболочек/ Дальневост. гос. морская академия им. адм. Г. И. Невельского -Владивосток, 1994 С. 95-99.

127. Хованец В. А., Завадовская А. И. Анализ напряженно-деформированного состояния ветрозащитных экранов// Проектирование и расчет конструкций из мягких оболочек/ Дальневост. гос. морская академия им. адм. Г. И. Невельского Владивосток, 1994-С. 106-110.

128. Хованец В.А., Костюков В.М. Расчет гидродинамических характеристик траловых досок с гибким профилем// Поведение рыб и орудия лова/ Изд-во ТИНРО Владивосток, 1983 - С. 73-82.

129. Хованец В. А., Пузько В. Б., Хван С. В. Определение НДС подушечных пневмооболочек методом конечных элементов// Тез. докл./ VIII Дальневост. конф. по мягким оболочкам. Владивосток: Изд-во НТО им. Крылова, 1987 - С. 244-247.

130. Хофер Э., Лундерштед Р. Численные методы оптимизации. М.: Машиностроение, 1981. - 192 с,

131. Цыхановский В. К. Интегральный закон состояния нелинейно-упругих мягких оболочек/ Киев, инж.-строит. Ин-т, 1981. 50 с. - Деп. в Укр. НИИНТИ 16.06.81, N2832.

132. Цыхановский В. К. Интегральный закон состояния нелинейно-упругих мягких оболочек/ Киев, инж.-строит. Ин-т. Киев, 1981. - 50 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 16.06.81, N 2832.

133. Argyris J. Н., Dunne Р. С. Haase Т. Higher-order simplex elements for large strain analysis natural approach// Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1978. -No. 16.-p. 369-403.

134. Argyris J. H., Dunne P. C., Angelopoulos T. Large natural strains and some special difficulties due to nonlinearity and incompressibility in finite elements// Сотр. Methes. Appl. Mech. Eng. 1977. - N10. - pp. 105-132.

135. Argyris J. H., Knudson W. C. Computation of Membrane Structures// Weitgestante Jlache tragwerke, 2 Int. Sim. Stuttgart, 1979 - pp. 86-99.

136. Bathe K. J., Bolourchi S. A geometric and material nonlinear plate and shell element// Computers Structures. 1980 - v. 11 - pp. 23-48.

137. Bathe K. J., Ramm Т., Wilson E. L. Finite element formulations for large deformation dynamic analysis// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975 - N9 - pp. 353-386.

138. Bushnell D., Almroth B.O., Brogan F. Finite difference energy Method for nonlinear shell analysis // Сотр. Structures. 1971 - v. 1 - p. 361-387

139. Cendrowicz J., Tribillo R. Variational approach to the static analysis of plates of an arbitrary shape (in Polish)// Arehiwum Inznieril Ladowej. 1978. - v.3 - p. 24.

140. Coons S. A. Surface for computer aided design of space forms: Project МАК -TR 41 Report// Mit. - 1967 - June.

141. Dupuis G., Goll 1.1. Curved finite element for thin elastic shells// Int. Journ. of solids and struct. 1970. - V. G. - pp. 1413-1428.

142. Griffith D. S. Kellogg R. B. A numerical solution for axially Symmetrical and plane elasticity problems // Int. J. of Solids and Structures. 1967. - v. 3. - p. 781-794.

143. Haug E., Powell G.H. Finite element analysis of nonlinear membrane structures. Proc. 1971 I ASS Pacific Symp. Part II, Tokyo and Kyoto-p. 165-175.

144. Haug E., Powell G. H. Finite element analysis of nonlinear membrane structures// University of California, Berkeley, Report. No/ 72-7 1972.

145. Hung N.D., Gery S. Frictionss Contact of elastic bodies by finite element method and mathematical programming technique// Computers and structures. -vol. 11, 1980. p. 55-67.

146. Jensen P. S. Finite difference techniques for variable grids// Сотр. Structures1972.- V. 2.-p. 17-29.

147. Jrey W. H. Flexible finite difference stencils form isoparametric finite elements //IJ.NME. 1977.-V. 11.-p. 1653-1665.

148. Kurowski Z. The solution of set of linear partial differential equations by FEM. Wojskowa Akademia Tehnica, Warsaw. - 1977.

149. Leonard J. W., Li С. T. Strongly-Curved finite elements for shell analysis // ASCE 1973 - v. 99, No EM3 - June. - pp. 515-535.

150. Li С. Т., Analysis of inflatable shells by finite element methods. Ph. Diss. State University of New York at Buffalo, 1971.

151. Li С. Т., Leanard J. W. Finite element of the End Mechanics Division// ASCE1973. v. 39, No EM3. - June. - pp. 495-514.

152. Li С. Т., Leonard J. W. Nonlinear response of a general inflatable shell to in service loads. Proceedings// IASS Shell Structures and climatic influence. -Calgary, 1972.-July.-pp. 171-179.

153. Liszka Т., Jrkisz J. The finite difference method at arbitrary irregular grids and its application in Applied Mechanics // Сотр. structures 1980, v. 11, p. 83-95.

154. Mac Neal R. H. An asymmetrical finite deference network// Q. Appl. Math. -1953 V. 11-p. 295-310.

155. Nay R.A., Utku S. An alternative for the finite element method. Variational methods in Engineering - 1973. - v. 1 - p. 3/62-3/74.

156. Norrie D., de Vrics G. Finite element bibliography// IFI/ Plenum, Publishing corporation, 1976.

157. Oden J. T., Sato T. Finite strains and displacements of elastic membranes by the finite element method// Int. J. Solids. Struct. 1967. -N 1. p. 471-488.

158. Oden J. T. A nalysis of large deformations of e lastic m embranes by t he finite element method. Proc. lass. Int. Congr. Large splat shells.

159. Oden J. T. Discussion of finite element analysis of nonlinear structures // J. Struct. Div. ASCE.- 1969.-v. 95,NST6.-p. 1379-1381.

160. Oden J. Т., Kubitza W. K. Numerical analysis of nonlinear pneumatic structures // In : Proc. Int. Collog. Pneum. Struct. Stuttgart. 1967. p. 82-107.

161. Perrone N., Kac R. A. General finite difference method for arbitrary meshes // Сотр. Structures. 1975. v. 5. - p. 45-58.

162. Striclin J. A., Haisler W. E. Formulations and solution procedures for nonlinear structural analysis// Сотр. Structures. 1977. - p. 125-136.

163. Tochtn J.L. The evolution of the finite element method // SAE. Techn. Pap. Ser. 1980. p. 5.

164. Verta V. K., Leanard J. W. Cable reinforced membranes using nonlinear finite elements// Journal at the End. Mech. Div.// ASCE. 1976 - v. 25, July. pp. 283296.

165. Webster R.I. On the static Analyses of structures with strong geometric nonlinearity/ Computers and structures, 1980, v. 11, p. 137-145.