Задача Коши для параболических уравнений с некоторыми вырождениями в пространствах обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЧЕРНОВИЦКИЛ ГиСУ ДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЮРИЯ ФЕШОВИЧД

На правах рукописи

Житарюк Иван Васильевич

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ С НЕКОТОРЫМИ ВЫРОЖДЕНИЯМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.02 - .Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черновцы 1992

/

Работа выполнена в отделе № 26 Института прикладных проблем механики и математики АН Украины имени Я.С.Подстригача

Научны» руководитель - кандидат физико-матоматичеоких наук,

старший научный сотрудник,доцент IV ,ч)децкий В.В,

Официальные оппононты - дл<тор физико-математических наук,

профессор Горбачук МЛ.

- кандидат физиков \; уматических ьаук, доцент Ленюк М.П.

Ведущая организация - Киевский государственный универб.нет

Защита оостоитпя " " ШОК$Ь 1992 г. в час. н

заседании специализированного сов?-и К 068.16.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Черновицко государственном университете имени Юрия Федьковича ( 274012, г. Чирновцы.ул. Коцюбинского, 2 )

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Черновицкого государственного университета имени Юрия #едьковича ( г. Черновцы, ул. Л. Украинки, 23 )

Автореферат разослан " ^ " _ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

А.М.Садовяк

ОЬШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЦ

Актуальность тены. ¿ля линейных параболических краевых задач получены достаточно полные результаты по вопросам их корректной разрешимости в пространствах Гельдера.Соболева-Слободецкого и некоторых пространствах обобщенных ' ''шций^нтегрального представления речений,исслед'" 'ния свойств решении и ядер их интегрального представления. Ото касается главным образом краевых задач ( в том числе и задачи Коши ) для обыкновенных равномерно параболических по Петровскому уравнений и систем уравнений с гладкими ограниченными коэффициентами в областях с достаточно гладкой границей.

Значительно меньше исследованы краевые задачи с различными вырождениями и особенностями.когда,например,коэффициенты задачи имеют особенности в одной или в нескольких точках,уравнение вырождается по некоторой группе переменных или содержит оператор Бесселя.

Исследованиями задачи Коши для таких уравнений занимается значительное число отечественных и зарубежных математиков в случае,когда начальные данные являптся обычными функциями,хотя такая задача имеет естественную постановку и в различных классах обобщенных функций бесконечного порядка. В связи с этим и необходимостью построения математических моделей для описания диффузионных процессов в анизотропных средах и тепломассообмена актуальным является исследование разрешимости задачи Коши,а также изучение свойств ее решений для таких уравнений в случае,когда начальные данные являются обобщенными функциями конечного или бесконечного порядка.

Часто такие функции совпадают с обычными за исключением только нескольких точек или части границы,где они имеют особенности. Если порядок особенностей выше степенного,то тогда эти функции не входят в класс обобщенных функций конечного порядка ( распределений Соболева-Шварца ),а являются обобщенными функциями более высокого порядка С например,ультрараспределениями класса Аевре Таким образом,определенный интерес представляет изучение свойств решений задачи Коши для уравнений о указанными вырождениями и особенностями при приближении к отдельным частям границы в зависимости от свойств начальных данных ( локализация решений ),а также поведение решений при неограниченном возрастании временной переменной ( стабилизация решений ).

_ Ц -

Цель работы. I. Установить разрешимость задачи Коши для пар болических уравнений: с особенностями при производной по Ь ,с вы рождением по некоторой группе пространственных переменных ( ультр параболические уравнения ),с оператором Бесселя в пространствах обобщенных функций типа Б.

2. Изучить свойства локализации и стабилизации для указанных выше уравнений в пространствах обобщенных функций бесконечного по рядка.

Методы исследований. Методика доказательств существенно испо зует теорию обобщенных функций.теорию уравнений с частными произ! ными параболического типа,теорию самосопряженных операторов в гил бертовом пространстве.

Научная новизна. I. Доказано однозначную разраашмость задач* Коши для параболических уравнений.имеющих особенность при произве ной пс Ь . Установлено свойство локализации ее решений в просгре ствах обобщенных функций типа 5.

2. Установлено достаточное ( а для уравнений специального в; и необходимое ) условие стабилизации решений задачи Коши для ура) ний типа Колмогорова в пространствах обобщенных функций босконеЧ! порядка.

3. В пространствах обобщенных функций типа ^ доказана ра: шимость задачи Копи для параболических уравнений с оператором Бв1 ля ; исследованы свойства локализации и стабилизации ем решений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоре ческий характер.Результаты диссертации могут быть использованы с циалистами в области теории уравнений с частными производными па Поличоакого типа в доказательствах существования и единствекност решений методами, аналогичными изложенным в работе,а также при и довании математических моделей диффузионных, процессов в анизотро средах и тепломассообмена.

На защиту выносится. I. Доказательство однозначной разрешив задачи Коши для параболических уравнений,которые имеют особенное при производной по 4 и свойства локализации С в частности,скс

локализации) еэ решений в пространствах обобщенны.: функций типа 6.

2. Достаточные (а для уравнений типа урезнэний диффузии с инерцией и необходимые) условия стабилизации рвшгний задачи Коги для некоторых ультрапараболи аких уравнений в указанных выше пространствах.

3. Доказательство разрешимости задачи Коии для параболических уравнений с оператором Бесселя, а также свойства локализации и стабилизации ее решений в пространствах обобщенных функций бесконечного порядка.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на : школе-семинаре по применению методов математического под шрования в научных исследованиях С Донецк, 1988 ) ; научной конференции молодых ученых Одесского государственного университета ( Одесса, 1988 ) ; Республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики ( Черновцы, 1989 ) ; семинарах по теории уррвнений с частными производными ( Черновцы, руководитель - доктор физико-мгтематических наук, профессор Ивасишен С.д., 1991 - 1992 ).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 1АО страницах машинописного текста и состоит из введения, двух г.пав и библиографического списка, содержащего1^ названия.

СОДЕРЖАНИЯ РАБОТА

*Зо введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, даетст обзор результатов по теме диссертации и излагается краткоэ содержание работы.

Первая глава посвящена изучению разрешимости задачи Коши с различными вырождениями и особенностями,когда,например,исходное уравне-

нив имеет особенности при производной по Ь или вырождается по некоторой группе 'Переменных,а также изучению свойств ее решений ( локализации и стабилизации ) в пространствах обобщенных функций.

Исследованиями задачи Коши для таких уравнений занималось и за нимается значительное число отечественных ».зарубежных математиков : случае,когда начальные данные является обычными функциями.-хогя та«а задача имеет естественную постановку и в различных классах обобщенных функций С распределений, ультрараспределений,гиперфункций и др. В связи с этим представляет определенный научный интерес исследован разрешимости задачи Ковш,а также изучение свойств решений таких ура нений в случае,когда начальные данные являются обобщенными функциям конечного или же бесконечного порядка.

§1.1 содержит в основном известные сведения,необходимые для д нейших исследований, Символами , , , ¿.ъ-о,^?-

будом обозначать пространства типа 2 .введенные И.М.Гельфандом и Г.Е.Шиловым,а через ^(О/ .(&*<&"))',$*(№))' обозначим пространства всех линейных непрерывных функционалов над соответствуют» ми основными пространствами. Элементы этих пространств будем называ обобщенными функциями.

В § 1.2 рассматривается эволюционное уравнение вида

¿с/; щ{) = Ра,А)«ю, ¿с(о,п, < п

¿е __

где Р({,А) =Л й*(ОАк, а* е С([о,т1) к= г,л.4, ^

К={

- скалярная непрерывная положительная на (О/Т] функция таке что *00 ( последнее условие означает,чго рассматри-

О -

вается случай "слабого вырождения" ), /1 неотрицательный самосопря женный о. зратор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н.

Под решением уравнения (I) будем понимать сильно^непрерывно

дифференцируемую в Н функцию : (0,Т1 •—" П ^СА") ,

удовлетворяющую этому уравнению. Основной результат этого параграфе составляет

Теорема 1.2.1 Функция И является решением уравнения (I) тогда и только тогда,когда она представима в виде

ГД9 Ае^ £ , /с-.-сАао.

/е /ееI "*==5- VЗс = С^>о: I С е-у^сС /I**Д

|, <ст,1\ - ортонормированныЛ базио из собственных векторов , {'Лк , <с? ^} " последовательность соответствующих собственных чисел оператора А , расположенных в ''орядке возрастания.

Задача Когаи для уравнения (I) состоит в нахождении решения этого уравнения .удовлетворяющего начальному условию = £ в топологии'пространства , т.е.

Имеет место

Теорема 1.2.2 Задача Коши для уравнении (I) однозначно разрешима в пространстве начальных данных Рвение бесконечно дифференцируемо на (о,Т] и дается формулой (2),причем

ад

В том случае, когда Н-¿^СС-О/Ш]) , > где 8Л - оператор,

порожденный в (Го,л.п/) выражением и граничными усло-

виями КС)-* и(*.л) , -и'(о) — ге'(^7С) , изучается свойство локализации решений задачи Коши ( принцип локализации ),заключающееся в том,что если начальное условие - обобщенная функция / - равна нули на некотором интервале ,то решение зада-

чи Коши сходится к пул» при — о разномерно на любом отрезке Гсодержащимся в {о.,(?) (т.е. .другими словами, = а(Г)

(■/•-*с>) равномерно относительно ¿Ф, с Со., В ) ). Впервые подобный принцип э классе ЛЛ _ периодических ультрараопределзний Яевре был доказан В.И.Горбачуге и М.Л.Горбачукам*'длл рэиет'чП задачи

*) Горбачук В.И.,Порбачук МЛ. Тригономе.'рт^'кие ряди и обооцен-

ные периодические функчии /'Ш СССР.-1931.-т.257.?Ш.-С."99-803

Дириуле для уравнения Лапласа в единичном круге.

В данном параграфе изучается вопрос о скорости локализации решений задачи Коши.т.?1 те огранич:ния на начальную обобщенную функцию / , при выпо 1ши которых на, %■) = оУ* а) равномерно относительно а.е [й,, ( если • т0 имеем

принцип локализации ).

Справедлива следующая

Теопема 1.2.3 Пусть % - неотрицательное действительное число. Если обобщенная функция /б (СО,лЛ]) ( , если

о^х I и ^ >, {+¿(¿7-0/? , если ) равна нулю на инт

вале (л,б) с ЩЯЯ] , то равномерно на любом отре

ке СЪ, 6,1 с (<Х.,ё) , причем ■= о({.

Р § 1.3 рассматривается уравнение вида

¿(^ (3)

параболическое в смыгле Шилова с показателем иараболичности к (К^ у ро'дом ¿и ). Задача Коши для такого^равнения однозн

но разрешима в пространстве начальных данных , Где

I ''-А//0 / ° V - *> I

1 , Ее решение дифференцируемо по С ,

( , С.

бесконечно дифференцируемо по х и дается формулой

и

ГДе < /.71ц •)> , 71 л _ оператор сдвига

пространстве , ® <гС1,~1), - фундаментал!

ное реиение Сф.р.) уравнения (Э) ( при каждом 1>о функция я

рассматриваемая как функция Ю .принадлежит пространству СИ'

Теорема 1.3.2. Пуси. фиксировано. Если обобще

ная функция { е^БС; У ,где

та*. 4 -—1-- 5 , ¿¿¿о.

равна нулю в области Q /fí " _ т0 U(fjX) равномерно

на произвольном компакте <? , причем = ОС{*").

3 данном параграфе рассматриваются также уравнения вида (3) с переменными коэффициентами,равномерно параболические по Петровскому в области (0,T]*/R* , в предположении, что коэффициенты ¿Ък (i, scj непрерывны по t , бесконечно дифференцируемы по X. и ограничены вместе со всеми своими производными в области Í^TJ * IR".

Задача Коши для таких уравнений однозначно разрешима в пространстве (IR*)) , где <2 . Ее решение дифференцируемо по бесконечно дифференцируемо по Х- и имеет гид

X) - < f, г и, с, х, О , f е ( s (¡R "))',

где }) (i>o)- \\.<?. уравнения (3) ( при каждом iÉ(o,Tj

и эсzR*1 функция Z(t,P, X-, f) , рассматриваемая как функция / принадлежит пространству St/^C/R11) ).

Имеет место

Теорема 1.3.4 Коли обобщенная функция (S^W1)) равна нулю в области /??" , то •^"zr^T ^ равномерно на произволь-

ном компакте

Если ClKíi= Л< (i) , то оказывается, что задача Komi ^тля уравнений такого вида однозначно разрешима в пространстве (&")).

Теорема 1.3.5 Пусть . Если обобщенная функция

где f>¿f>K равна нулю в области

то U(i,x) •jzz^*'° равномерно относительно ос на произвольном компакте К с G¡ , причем И ~ о (i ,

3 § L.'i рассматривается уравнение вида

W

где

фиксированное число, коэффициенты О.«: —,/К1/к являются

непрерывным.! ограниченными функциями и такими,что оператор

^2)^ равномерно параболический по Петровскому в каздоП

полосе П({,,Т1 ~ ({»¿Т] , Т>^о .

Уравнение (4) является вырожденным в том смысле,что в нем отсутствуют производные высшего порядка от неизвестной функции и- по

у и H ( вырождение по двум группам переменных).

Вопрос о стабилизации решении задачи Коши для уравнений вида (4) ( т.е., существование у решения 'НИ,Х.) при '~*00 определенного предела,понимаемого в том или ином смысле ) в классе обычных начальных данных рассматривался С.Д.Ойдельманом.А.П.Малицкой , Ю.Н.Лрожжиновым.

В данном параграфе исследуется стабилизация решений задачи Коши для уравнений вида (4) в пространствах обобщенных функций бесконечно го порядка.

Предполагается,что ф.р. уравнения ('О удовлетворяет условию /1^ , если при каждом

3//

ix d; D; za.*, 4 av^W

где =(è6+3)n + IK( tCAfo/J/PI+d'fi-fJliii/j a. Ci, t)~ непрерывная монотонно возрастающая функция аргумента t~t , a-Ct,V)~Oi

nf У f, fa-è^'V * / fjiz-j+ci-tjifti&ïfxrf

^gr , fr+f»'.

Задача^Коши для такого уравнения с начальной функцией

)' однозначно разрешима в полупространстве i > fB , при

этом

«а,к)za,X-,l;-)>,а,х)сп({е/^.

Рассмотрим однопараметрическое семейство поверхностей

щу) =ct

Уй/R3"t С > О С при фиксировав ■ ■•» l>to ), обладающее следующими свойствами: I) оно состоит из замккутчх поверхностей ; 2) если t(CjoL,t) длина вектоиа,соединяющего начало координат с точкой поверхности Щ(У) ~ С и составляющего углы с

осями ¡¿¡fi, ¡¡ = f,2>n-L декартовой системы координат, то К ( с, f ) имеет непрерывную положительную производную по черамотру С ;3) для

произвольных С , аС , I выполняптся неравенства

. .с. ън

где - тела .ограниченные поверхностями Щ(У)= &, С.Хг Сл —

положительные постоянные. Предполагается также,что при ¿—ч-о° семейства поверхностей стремятся к семейству замкнутых поверхностей Г(У) — С,

Будем говорить,что обобщенная функция ) имеет обоб-

щенное предельное среднее по телам , равное £ и писать

~ £ . если

( здесь (/* *р)1У) = < Ту ?(•)>, ЩУ) = ¥(-У), Ту - оператор сдвига в пространстве )•

Ьсли Ур - шар радиуса С с центром в точке У , то

предыдущее равенство означает,что /'¿(З^/о) имеет обобщенное шаровое предельное среднее ( f) , разное с ( впервые введенное О.Н.Дрожжиновым ^ ).

Справедлива следующая

Теорема 1.^.2 Пусть ф.р. 2.(1, XJ {¡>, О) уравнения (4) удовлетворяет условию Ар и постоянно по X на семействах поверхностей <ЦСЮ- С- С со свойствами 1)~3) ) .стремящихся при к се-

мейству поверхностей

Ксли обобщенная функция такова,что , то решение '^Ш, К), /7({0) + со) задачи

Коши с начальной функцией / стабилизируется'при + к нулю в пространстве ( ) .

Если на начальную обобщенную функцию ^ наложить дополнительное условий неотрицательности ( т.е. ■<£ ? с? для произвольной неотрицательной основной функции ^ ) , то характер тел,по которым предполагается существование обобщенного предельного среднего, безразличен. 3 частности,в качестве таких тел можно брать шары с центром в начале координат.

Аля некоторых ультрапараболических уравнений вида СО существование нулевого обобщенного шарового предельного среднего является не

ч) Дрожжи нов Ю.Н. Стабилизация решений обобщенной задачи Коши для ультрапараболического уравнения /Изв. АН СССР. Сер.мат.-1969.-т. 33,* 2.- С.368-379.

, £ (с, ¿Л) ^ >*ч 6 С*, г ¿с, г*),

только достаточным,но и необходимым условием стабилизации решений задачи Коши к нулю ь пространствах типа (З^}'. Примером такого уравнения является уравнение

«а, х] (5)

где й>0,йх~- , относящееся ¡с уравнениям второго порядка типа

уравнения диффузии с инерцией.

Имеет место ,

Теорема 1.4.3 В классе обобщенных функций г из удовлетворяющих условию

Мр = 0 - необходимое и достаточное условие стабилизации решений задачи Коши для уравнения (5) к нулю в пространство

При более сильных ограничениях на начальную обобщенную функцию ^ . можно говорить о стабилизации решений задачи Коши для уравнения (4) к Нулю в обычном смысле.

Теорема 1.4.4 Пусть ф.р. уравнения (4) удовлетворяет условию р . Если обобщенная функция ^ >{ имеет компактный

носитель,то решение 14(1, Х)( Пц, +0Оу задачи Коши для (4) с начальной функцией / стабилизируется к нулю при / равномерно на каждом компакте ¡{ С

Во второй главе диссертации изучается задача Коши для уравнений параболического типа с оператором Ь;с:;оля в случае .когда начальные данные являются обобщенными функциями бесконечного порядка из пространств типа (8%)' ¡исследуются такжэ свойства локализации и стабилизации решений. Отметим,что вопросами корректной разрешимости задачи Коши для таких уравнений в случае,когда начальные данные являются обычными функциями занимались житомирский В.В., МатиЯчук М.И., Крехивский В.В..Муравник Л.Б..Киприянов А.И. и др.

В § 2.1 определяется пространство — > ° сИ+р Ъ I , как совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций у>'- '-* С четных по переменной ЯГЛ , удовлетворяющих

условиям _ >1 г>Н

ЗС>о 3 а-го 1 К^ел :

/я;: с /4 с д«:.. Сгбух^ш'"^

X Мср^-аЦХ!^] , где //+ ,с'=0<<, «"и-, ) <=■

X -IX,,..., я > Ох„ ЪХ? <*■*

Символом обозначается пространство всех линейных не-

прерывных функционалов над соответствующим пространством основных функций. Его элементы называются обобщенными функциями.

В этом параграфе изучаются также некоторые свойства операторов обобщенного сдвига и свертки в пространствах типа ( ¿«¡Г_) .

В § 2.2 рассматривается дифференциальное уравнение вида

1кЧ

___с.

цсЧ+хйхё с краевым условием ^¿¿¿у

=21 ^ *)=о (б;

0 Г ¡у'/ + 1

о С7)

и начальным

условием (8)

где Я-) £ * — , - числовые коэффициенты

уравнения (б), = = << зь)/Хи * о ] , оператор

Бесселя. Предполагается такие,что уравнение (6) является В ~ пара-болическим.т.е. для любого бе/К-е- и для всех £сг^ /7+

(МП. а^гСС'Г'б^

где 8 - положительная постоянная.

Под решением задачи (б)-(9) будем понимать функцию [Ь,*.) б /7# , дифференцируемую по Ь , раз дифференцируемую по , удовлетворяющую уравнению (б),краевому условию (7) и начальному условию (8) в том смысле,что ^((¡Х) • —*• / • Млее задачу (6)-(8) будем называть задачей Коши для уравнения (б).

Известно,что фундаментальное решение (хИ,*-) уравнения (б) имеет вид -

™ QCi.tS'.b)* cxp

P(C, tf) = <V< ce') 6-;

iK'i+iCbZt

Справедливы

Лемма 2.2.1 I) функция GCi, •) как абстрактная функция пара метра £ е(С,Т] в пространстве St/qf' Дифференцируема по t ; 2) функция G(>, ■Xj как абстрактгая функция параметра ■Х- бесконеч но дифференцируема по -х .

Теорема 2.2.1 Задача Коши (6)-(8) разрешима в пространстве н чальных денных (£) ' . Ее решение дифференцируемо по t , бе нечно дифференцируемо по et и дается формулой

V(t,x) = f*G«,x.)^<-fïtT^ G«,*

7-f*

- оператор обобщенного сдрига,соответствующий оператору

Бесселя.

В § 2.3 исслед'/ются свойства локализации и стабилизации решен задачи Коши (б)-(В). Лсходя из того,что в пространстве Sd. при j естьофинитные функции,будем говорить,что обобщенные функции f C(SÎ)' ^впадают в области (? с JR", если < fi~ fi, f >- ° для произвольной функции >Р с носителем,содержащимся в £$>.

Имеет место

Теорема 2.3.1 ( Принцип локализации ). Коли обобщенная функци f^/ц,) » равна ну/в в области Qc.iR+ , то

х} '_* О при i~-0 равномерно на каждом компакте Кс

Следствие. Если обобщенная функция ^{¿f/if.) > совп

Дает в области Q с * с 5 раз непрерывно дифференцируемой i цией ,то

r^* té $(JC)

равномерно на кажАом компакте К с С?.

В этом же параграфе исследуется стабилизация решений задачи Коши (6)-(8) к нули в классах обобщенных функций типа • *

определяются те ограничения на начальную обобщенную функцию ( , п{ выполнении которых * jzz0 для произвольной основь

фукции.

- i 5 -

Отметим, что для уравнений вида (6) аналогичные вопросы рассматривались А.Б.Муравпиком*' в классах обычных начальных функций.

Как и в s 1.4 рассматривается однопараметрическое семейство поверхностей cff('x-)= Cj с?-С>, хе/?^ (при фикгированном t , t * о) ( обладающее свойствами типа 1)-3) ; вводится также понятие тбобшенного предельного среднего Mp(f-) • Справедливы следующие

Теорема ¿.3.2 Пусть ф.р. G(t,X), (i> П+ уравнения (6) постоян-■но по X на семействах поверхностей ePt(X)= С (со свойствами 1)-Э) ), стремящихся при t-—"-oo вк^се.мейству поверхностей ргх)-С , Если -обобщенная функция Ç e(o f/ç. ) такова, что Mp(f)=0, то решение задачи Коши (б)-¿8) с начальной функцией f стабилизируется к нулю в пространстве )• , г " f \'

Теорема 2.3.3 Если обобщенная функция f ¿(S t/ç. ), fi > i, имеет компактный носитель, то решение x)t I7t задачи Коши (б)-(8)

построенное по начальной функции f , стремится при ¿•—■♦в® к нулю равномерно на произвольном компакте

ОСНОВНОЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОлг)

1. доказана однозначная разрешимость задачи Коши для параболических уравнений, которые имеют особенность при производной по Ь ; исследовано свойство локализации (в частности, скорость ло"ализации) ее решений в пространствах обобщенных функций типа й .

2. Установлены достаточные (а для уравнегий типа уравнения диффузии с инерцией и необходимые) услолия ст&билк^ицш: ранений задачи Коши для некоторых ультрапараболических уравнений в указанных выше пространствах.

3. Построены пространства типа Б , инвариантные относительно оператора Бесоелк ; изучена их топологическая структура.

4. Установлена разрешимость задачи Коши для параболических уравнений с оператором Бесселя, исследованы свойства локализации и стабилизации ее ронений в пространствах обобщенных функций бесконечного поряд-

к) Муравник А.Б. О стабилизации решения задачи Коши для одного сингулярного уравнения.- Воронеж, ун-т.- Воронеж,1985.- 8 е.- Деп. в ВИНИТИ 1.11.85, № 8549 - В85 деп.

ка.

5. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами в области теории уравнений о частными производными параболическс го типа в доказательствах существования и единственности решений ме тодами, аналогичными изложенным в работе, а также при исследовании математических моделей диффузионных процессов в анизотропных средаз и тепломассообмена.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Городецкий В.В., Житарюк И.В. О решениях задачи Коти для уравнений параболического типа о вырождением Ц Докл. АН УССР. Сер.]

- 1989. - № 12. - С. 5-8.

2. Еитарюк 1.В. Про розв"язн1сть задач 1 Кош1 для р1внянь пара( л1чного типу з виродженням у деяких просторах Ц Крайов! задач1 з р ними виродженнями 1 особливоотями: 36. наук, праць. - Черн1вщ, 19!

- С. 41-47.

3. Городецкий В.В., Житарюк И.В. О скорости локализации решен! задачи Коши для уравнений параболического типа с вырождением Ц Дифферент уравнения. - 1991. - Т. 27. -14. - С. 697-699.

4. Городецышй В.В., Житарюк 1.В. Задача Кош1 для одного клас; парабол1чних систем з оператором Бесселя в просторах узагальнених функщй // Доп. АН УРСР. - 1991. - В 7. - С. 20-23.

5. Житарюк И.В. Стабилизация решений задачи Коши для одного ю са вырождающихся параболических уравнений в пространствах обобщена функций - Черновиц. ун-т. - Черновцы, 1992. - 13 с. - Деп в УксИНТ; 26.02.92. - К 234 - Ук92.