Задача стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ НЕГОЛОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ.

1.1. Уравнения движения системы. Стационарные движения.

1.2. Постановка задачи стабилизации стационарных движений неголономных механических систем.

1.3. Обзор основных работ по стабилизации установившихся движений неголономных механических систем.

ГЛАВА 2. УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ.

2.1. Управляемость системы с циклическими координатами в общем случае.

2.2. Управляемость системы с циклическими координатами в основном случае.

2.2.1. Управляемость систем в ст"гае тривиальных установившихся движений при условии

С = о.

2.2.2. Управляемость системы в случае существенных установившихся движений и условии

С =0.:.

2.2.3. Управляемость системы в случае тривиальных установившихся движений и условии

С ^ 0.

2.2.4. Управляемость системы в случае существенных установившихся движений.

2.2.5. Примеры исследования управляемости систем с циклическими координатами в основном случае.

2.3. Управляемость системы с циклическими координатами при различных дополнительных предположениях.

2.4. Исследование управляемости систем с циклическими координатами при различных дополнительных предположениях на примерах четырехколесного и трехколесного экипажей.

2.5. Управляемость систем Чаплыгина в общем случае.

ГЛАВА 3. НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ.

3.1. Наблюдаемость систем с циклическими координатами в общем случае.

3.2. Наблюдаемость систем с циклическими координатами по измерению позиционных координат и скоростей в основном случае.

3.3. Наблюдаемость систем с циклическими координатами по измерению циклических скоростей ,позиционных координат и скоростей в основном случае.

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ

УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ.

4.1 Алгоритмы стабилизации стационарных движений и исследование устойчивости замкнутой системы в общем СЛУЧае.

4.2. Алгоритмы стабилизации стационарных движений и исследование устойчивости замкнутой системы в основном случае.

4.3. Алгоритмы стабилизации стационарных движений системы и исследование устойчивости замкнутой системы при различных дополнительных предположениях.

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ОДНОКОЛЕСНОГО ЭКИПАЖА.

5.1. Уравнения движения системы. Стационарные движения.

5.2 Анализ устойчивости некоторых режимов стационарных движений.

5.3 Анализ управляемости системы. Возможные .алгоритмы стабилизации.

В настоящее время неголономные системы находят все более широкое применение в технике. К таким системам относятся колесные экипажи, сооружения с кинематическими фундаментами, различной конструкции вариаторы и фрикционные механизмы с переменным передаточным числом и многие другие. В связи с изучением динамических свойств систем с неголономными связями стали актуальными исследования в области таких специальных вопросов как устойчивость установившихся движений и их стабилизация.

Особенностью неголономных механических систем, в отличие от голономных механических систем, является то, что в уравнения движения системы входят уравнения неголономных связей. Кроме того, если для голономных консервативных механических систем с циклическими координатами существует единственное определение циклических координат, которое одновременно обеспечивает существование циклических интегралов и стационарных движений, то для неголономных механических систем существует несколько определений циклических координат [18, 19, 30]. При этом уравнения движения системы могут не допускать циклических интегралов, но допускают существование стационарного движения, которое не является изолированным, а принадлежит многообразию стационарных движений, размерность которого не меньше единицы. Под стационарным движением понимается такое движение, при котором позиционные координаты и скорости циклических координат постоянны. Наиболее общим из определений циклических координат является определение [19, 30], допускающее существование стационарного движения, но не допускающее существование 5 циклических интегралов, которое и принимается в настоящей работе. Заметим, что под это определение подпадает большинство механических систем, описываемых уравнениями с неголономными связями , для которых стационарные движения обычно служат рабочими режимами. Отмеченные отличия неголономных механических систем с циклическими координатами от голономных систем и приводят к необходимости отдельного изучения вопросов устойчивости и стабилизации установившихся движений неголономных механических систем.

Подробный обзор результатов об устойчивости положений равновесия и стационарных движений неголономных механических систем, полученных до 1983 года содержится в работах Ю.И. Неймарка и H.A. Фуфаева [55], В.В. Румянцева и A.B. Карапетяна [27, 30,]. Ряд результатов в этом направлении был получен уже после выхода указанных обзоров[27, 30, 55] - работы А. В. Карапетяна[31], Б.Атажанова и Э.М. Красинской[6-8].

Как показал анализ, проведенный многими авторами, асимптотическая устойчивость или просто устойчивость установившихся движений имеет место далеко не всегда. Поэтому актуальна задача о стабилизации таких движений. Для неизолированных установившихся движений можно рассматривать как задачу о стабилизации всего многообразия установившихся движений, так и задачу о стабилизации некоторой точки этого многообразия по отношению ко всем фазовым переменным или их части, которая и рассматривается в настоящей работе. Следует отметить, что характер задачи стабилизации стационарных движений для неголономных систем существенно отличается и от задачи стабилизации положений равновесия систем этого класса. Задача стабилизации стационарных движений 6 состоит в том, чтобы надлежащим выбором управляющих воздействий, приложенных как по циклическим координатам, так и позиционным координатам (или по части этих координат) сделать стационарное движение асимптотически устойчивым (или просто устойчивым) по отношению к позиционным координатам, позиционным и циклическим скоростям. Обзор работ, в которых рассматриваются вопросы стабилизации стационарных движений неголономных механических систем сделан в разделе 1.3. При этом характер задачи стабилизации стационарных движений существенно зависит от дополнительных условий, которые накладываются на механическую систему. Заметим, что изложенные в этих работах методы решения задачи стабилизации фактически сводились к анализу устойчивости нулевого решения замкнутой выбранным стабилизирующим управлением в виде обратной связи системы. Эти методы, вообще говоря, не используют в полной мере имеющихся возможностей управления. В указанных работах упоминаются понятия управляемости и наблюдаемости, однако все рассмотрение вопросов управляемости и наблюдаемости сводится к формальному выписыванию критерия Калмана без какого-либо анализа условий управляемости и наблюдаемости.

Основанный на линейной теории управления подход к решению задач стабилизации установившихся движений голономных механических систем,развитый в работах В.М.Морозова, В.И.Каленовой и М.А.Салминой[25,26],в настоящей работе применяется в сочетании с теорией критических случаев к решению задач стабилизации стационарных движений неголономных механических систем со стационарными связями. Этот подход позволяет наиболее полно использовать имеющиеся возможности упра ял е ния.Предполагается, что управляющие силы могут 7 быть приложены как по позиционным, так и по циклическим, координатам (или по части этих координат). Отдельно исследуются возможности стабилизации стационарных движений путем приложения управляющих сил только по циклическим координатам (или их части). Такая задача стабилизации стационарных движений голономных систем была впервые сформулирована В.В. Румянцевым [62].

В отличие от работ [5, 35, 38 ], в которых рассматривается задача стабилизации при наложении дополнительных условий типа [29] (^акая ситуация в настоящей работе называется основным случаем), рассматривается задача стабилизации неголономных систем со стационарными связями как в общем случае, т.е. без наложения каких-либо дополнительных условий, так и при наложении условий отличных от [29]. Еще раз подчеркнем, что наложение дополнительных условий при исследовании задачи стабилизации неголономных механических систем является принципиальным моментом: существенное упрощение структуры уравнений возмущенного движения приводит к решению отличных друг от друга задач. Подход к задаче стабилизации, основанный на линейной теории управления, позволил наиболее полно использовать имеющиеся возможности управления и позволил сформулировать более простые и эффективные по сравнению с [5, 35, 38] условия стабилизации неголономных механических систем со стационарными связями.

В первой главе диссертации дана постановка задачи стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами.

В разделе 1.1 выписаны уравнения движения неголономной механической системы в форме уравнений Воронца при условии, что наложенные на механическую 8 систему неголономные связи, среди которых есть связи Чаплыгина, являются идеальными и однородными. В предположениях, что среди обобщенных координат имеются циклические координаты в смысле принятого в настоящей работе определения, на систему по позиционным координатам действуют потенциальные, диссипативные и возможно управляющие силы, а по циклическим координатам (или их части) управляющие силы, приведены условия существования стационарного движения, которое не является изолированным, а принадлежит многообразию стационарных движений, размерность которого не меньше единицы. Рассмотрены особенности существования стационарных движений при наложении на систему дополнительных условий, некоторые из которых ранее в литературе по устойчивости и стабилизации стационарных движений неголономных механических систем не исследовались, однако возникают в конкретных задачах, описываемых неголономными механическими системами с циклическими координатами. Далее, предложена удобная при дальнейших исследованиях классификация стационарных движений путем выделения тривиальных и существенных стационарных движений, аналогичная сделанной в работах А. С. Клокова, В.А. Самсонова [32, 33, 66] для стационарных движений голономных механических систем.

В разделе 1.2 составлены уравнения возмущенного движения в окрестности стационарного движения, выбранного в качестве невозмущенного с выделением линейных членов. Полученные уравнения являются основными при решении задачи стабилизации неголономных механических систем с циклическими координатами на основе комплексного использования теории критических случаев и линейной теории управления. Проведен анализ структуры уравнений возмущенного движения при 9 наложении на систему различных дополнительных условий , рассмотренных в разделе 1.1. Показано существенное упрощение структуры уравнений в этих случаях, приводящее к решению отличных друг от друга задач на основе линейной теории управления. Подход к решению задач стабилизации, основанный на линейной теории управления, включает в себя следующие этапы: первый - выяснение принципиальной возможности стабилизации; второй- анализ информационного обеспечения задачи; третий - построение собственно алгоритма стабилизации. Математически первые два из трех перечисленных этапов сводятся к анализу управляемости и наблюдаемости линеаризованной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Диссертационная работа посвящена задаче стабилизации до асимптотической устойчивости (или просто устойчивости) установившихся движений склерономных неголономных механических систем с циклическими координатами управлением, вводимым по позиционным и циклическим координатам (или только по их части). При этом рассматривается задача стабилизации неголономных механических систем со стационарными связями как в общем случае, то есть без наложения каких-либо дополнительных условий, так и при наложении условий, которые приводят к решению отличных друг от друга задач на основе линейной теории управления. Основные результаты, полученные в работе следующие:

Реализован подход к задаче стабилизации до асимптотической устойчивости (или просто устойчивости) установившихся движений склерономных неголономных механических систем с циклическими координатами с точки зрения линейной теории управления и теории критических случаев, позволивший всесторонне исследовать задачу, обобщив известные в зюй области результаты. Подход включает ряд этапов: исследование управляемости, решающее вопрос о принципиальной возможности стабилизации, анализ информационного обеспечения задачи и построение алгоритма стабилизации, обеспечивающего наперед заданные свойства замкнутой системы. В рамках этого подхода с учетом специфики структуры рассматриваемых систем: сформулированы и доказаны теоремы о сведении исследования управляемости и наблюдаемости к исследованию управляемости и наблюдаемости систем меньшей размерности;

156 сформулированы и доказаны новые простые и эффективные критерии управляемости и наблюдаемости. Полученные критерии, по сравнению с известными существенно упрощают решение принципиальных вопросов задачи стабилизации, что иллюстрируют рассмотренные в работе примеры анализа конкретных механических систем; построены алгоритмы стабилизации стационарных движений и доказана асимптотическая устойчивость (или просто устойчивость) замкнутых линейным управлением систем; исследованы вопросы о принципиальной возможности стабилизации стационарных движений механических систем таких как : прямолинейное движение трехколесного и четырехколесного экипажа, верчение вокруг вертикали неоднородного диска, стационарных движений гиростата; решена задача об устойчивости стационарных движений одноколесного экипажа и принципиальной возможности их стабилизации при помощи различных управляющих воздействий, вводимых по части координат.

Полученные результаты могут быть использованы при решении задач о стабилизации стационарных движений неголономных механических систем управлением, вводимым по позиционным и циклическим координатам (или только по их части ). Прикладное значение имеют и рассмотренные в работе задачи стабилизации стационарных движений колесных экипажей.

157

1. Александров В.В., Злочевский С.И., Лемак С.С., Парусников НА. Введение в динамику управляемых систем. - Из-во МГУ, М. 1993, 181с.

2. Альбрехт Э.Г., Шелементьев Г.С. Лекции по теории управления. Свердловск, Из-во УРГУ, 1972, 273с.

3. Аллель П. Теоретическая механика. В 2-х томах. Физматгиз, 1960, т.2, 487с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики М. Наука, 1989, 472 с.

5. Атажанов Б., Красинская Э.М. О стабилизации стационарных движений неголономных механически::- систем. ПММ, т.52, в.6, 1988, стр. 902-908.

6. Атажанов Б., Красинская Э.М. К устойчивости стационарных движений неголономных систем. -Изв. АН УзССР, сер. техн. наук, 1985, №6, стр. 39-43.

7. Атажанов Б., Красинская Э.М. К устойчивости стационарных движений неголономных систем. Изв. АН УзССР, сер. техн. наук, 1985, №1, стр. 41-46.

8. Атажанов Б., Красинская Э.М. Об одном случае устойчивости стационарных движений неголономных систем .- II Всесоюзная конф. «Нелинейные колебания механических систем.» Тезисы докладов, ч.1, Горький, стр. 144-145.

9. Бакша А. О оптимально стабилизации стационарних кретаньа нехолономных систем. Математички Весник, 1973, в. 10(25), стр. 24>247.

10. Бобылев Д.К. О шаре с гироскопом внутри, катящегося по горизонтальной плоскости без скольжения. Мат. сб.,1892, т.16, в.З, стр. 544 - 581.

11. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М. Наука, 1984, 320 с.158

12. Воронец П.В. Уравнения движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости. Киев: Тип. Университета св. Владимира, 1903, 152 с.

13. Воронец П.В. Об уравнениях движения для негололомных систем. Матем. сб., 1901, т.22, в. 4, стр. 659-686.

14. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., Наука, 1979, 335с.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. Наука, 1988, 548 с.

16. Девянин Е.А. О движении колесных роботов. Доклады научной школы -конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы» (с международным участием), М., 1999, стр. 169-200.

17. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. М. Высш. школа, 1970, 271 с.

18. Емельянова И.С. К определению циклических координат и стационарных движений механических систем. В сб. Динамика систем, в. 3 , Горький, 1974, стр. 117-130.

19. Емельянова И.С., Фуфаев H.A. Об устойчивости стационарных движений. В сб. Теория колебаний, приклад, мат. и кибернетика, Горький, 1974, с.3-9.

20. Жуковский Н.Е. О гироскопическом шаре Д.К. Бобылева. Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии, 1893, т.6, в.1, стр. 11-17.

21. Жуковский Н.Е. Динамика твердого тела. Собр. соч., т. 1, M.-JL: Гостехиздат, 1948, стр. 441-540.159

22. Иртегов В.Д. Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость. Новосибирск, Наука, Сиб. отд., 1985, 142 с.

23. Ишлинский А.Ю., Малашенко С.В., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Некоторые задачи установившихся движений твердого тела. Механика и научно-техн. прогресс, т.1. Общая и прикладная механика., М. Наука, 1987, стр. 102-116.

24. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем,- М. Мир, 1971, 400 с.

25. Каленова В.И., Морозов В.М., Салмина М.А. К задаче стабилизации установившихся движений систем с циклическими координатами ПММ, 1989, т.53, вып.5, с.707-714.

26. Каленова В.И., Морозов В.М., Салмина М.А. Управляемость и наблюдаемость систем с циклическими координатами. ПММ, 1992, в.6, с. 959-967.

27. Карапетян A.B. Румянцев В В. Устойчивость движения неголономных систем. -Итоги науки и техники. Общая механика.т.З, М. ВИНИТИ, 1976, стр. 5 42.

28. Карапетян A.B. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина. ПММ, 1978, т.42, в.5, стр.801-807.

29. Карапетян A.B. К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем .- ПММ, т.44, в. 3,1980, стр. 418-426.

30. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. Итоги науки и техники. Общая механика, т.6, М. ВИНИТИ, 1983, 132 с.

31. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. -М.Эдиториал, 1998,168 с.

32. Клоков A.C., Самсонов В.А. О стабилизируемости тривиальных установившихся движений гироскопически связанных систем с псевдоциклическими координатами. ПММ, 1985, т.49, в.2, стр. 199-202.

33. Клоков A.C. О стабилизируемости установившихся движений гироскопически связанных систем. Вестник Московского университета, сер. Математика, механика, 1985, № 2, стр. 87-90.

34. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Неголономная динамика мобильных роботов и ее моделирование в реальном времени. Доклады научной школы - конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы» (с международным участием), М., 1999, стр. 107- 123.

35. Красинская Э.М. К стабилизации стационарных движений механических систем. -ПММ, т.47, в. 2, 1983г., стр302-309.

36. Красинский А.Я. Об устойчивости и стабилизации положений равновесия неголономных систем. ПММ, 1988, т.52, в.2, стр. 194-202.

37. Красинский А.Я. О стабилизации установившихся движений механических систем с циклическими координатами ПММ, 1992, т.56, стр. 939-949.

38. Красинский А.Я. Об устойчивости и стабилизации неизолированных установившихся движений механических систем. Доктор, диссер., Ташкент, 1992.

39. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. Физматгиз, 1959, 211с.

40. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений. в книге Малкин И.Г. Теория устойчивости движения, Дополнение 4, М. Наука, 1966, стр.475 - 514.161

41. Красовский H.H. Теория управления движением. Линейные системы. М. Наука, 1968, 475с.

42. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М. Физматгиз, 1962, 483 с.

43. Линейкин П.С. О качении автомобиля. ТР. Сарат. автомоб.-дор. ин-та, 1939, №5, стр. 3-22.

44. Лобас Л.Г. Неголономные- модели колесных экипажей. Киев, Наукова думка, 1986,231с.

45. Лобас Л.Г. Замечания относительно неголономных систем Прик. механика, 1970, 6, №5, стр. 108-113.

46. Лурье А.И. Аналитическая механика. М. Физматгиз, 1961, 824 с.

47. Ляпунов A.M. Собрание сочинений, т.2 .- Из-во АН СССР, 1956, 475с.

48. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М. Гостехиздат, 1950, 471 с.

49. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. Наука, 1966, 530с.

50. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М. наука, 1992, 336с.

51. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. Наука, 1971, 312с.

52. Метелицин И.И. Устойчивость движения автомобиля. Укр. мат. журн., 1953, 5, №1, стр. 80-92.

53. Мин длин И.М., Пожарицкий Г.К. Об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.-ПММ, 1965, т.29, в.4, стр. 742 745.162

54. Мироновский JI.A. Аналоговые и гибридные модели динамических систем. Л. Ленинград, ин-т авиац. Приборостроения, 1985, 113с.

55. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем М. Наука, 1967, 520 с.

56. Николенко И.В. Динамика управляемых неголономных систем. Киев, Вища школа, 1985, 184 с.

57. Новоселов B.C. Аналитическая механика систем с переменными массами. Из-во Ленинградского университета, 1969, 240 с.

58. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Наука, 1976, 392с.

59. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация по отношению к части переменных,- М. Наука, 1987, 256 с.

60. Румянцев В.В. Об устойчивости движения неголономных систем.-ПММ, 1967, в. 31, в.2, стр. 260 -271.

61. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем. ПММ, 1970, т.34, в.З, стр. 440- 456.

62. Румянцев В.В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами. ПММ, 1972, т.36, в.6, стр. 966-976.

63. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида. ПММ, 1961, т.25, в.4, стр. 778-784.

64. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1980, №4, стр. 11-21.163

65. Румянцев В. В. К зада«? об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости с трением- Современные проблемы механики и авиации. М. Машиностроение, 1982, стр. 263-272.

66. Самсонов В.А. О стабилизируемое™ установившихся движений систем с псевдоциклическими координатами. ПММ, 1981, т.45, в.З, стр. 513 - 520.

67. Харламов А.П. Гирошар Жуковского. Мех. тв. тела, Киев, 1985, в. 17, стр. 9-15.

68. Харламов А.П. Гирошар Жуковского (специальные случаи) Механика тв. тела, Киев, 1989, в. 18, стр. 22-34.

69. Чаплыгин С.А. О движений тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости. Собр. сочинений. Гостехиздат, 1948, т.1, 482с.

70. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Мат. сборник, 1903, т.24, в.1, стр. 139 -168.

71. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М. Наука, 1989, 176 с.

72. Шелементьев Г.С. О стабилизации неголономной системы- ПММ, 1966, т.ЗО, в.6, стр. 993- 999.

73. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. -M-JI, ОНТИ, 1937, 500с.

74. Bloch A.M., McClamroch N.H. Control of mechanical systems with classical nonholonomic constraints. Proc. IEEE, Conf. on Decision and Control, 1989, Tampa, pp. 201-205.

75. Bloch A.M. , McClamroch N.H., Reyhanoglu M. Controllability and stabilizability properties of a nonholonomic control systems. Proc. IEEE, Conf. Decision and Control, 1990, Honolulu, pp. 1312-1314.164

76. Bloch A.M., McClamroch N.H., Reyhanoglu M. Control and stabilization on nonholonomic Caplyign dinamic systems. Proc. IEEE, Conf. Decision and Control, 1991, Brihton, pp. 1127-1132.

77. Bloch A.M. , McClamroch N.H., Reyhanoglu M. Control and stabilization on nonholonomic dinamic systems. IEEE, Transactions on Automatic control, 1992, vol. 37, №11, pp. 1746-1757.

78. Bottema O. On the small vibrations of nonholonomic systems Kon. Neder. Akad., Wette Amsterdam, proceeding, 1949, vol. 52, № 8, pp. 848-850.

79. Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization, in Differential geometric control theory (R.W. Brockett,R.S. Millmann, H.J. Sussman eds.) Birkhauser, Boston, 1983, pp. 181-191.

80. Brown Jr. H.B., Xu Y. A Single-Wheel, Gyroscopically Stabilized Robot. Proc. of 1996 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, 1996, Minneapolis, pp. 3558-3661.

81. Coron J.M. Global asymptotic stabilization for controllable systems without drift. -Math. of control signals and systems, 1992, vol. 5, pp. 295-312.

82. Hautus M.L.J. Controllability and observability conditions of linear autonomous systems-Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch, ser. A, vol.72, 1969, pp. 443-448.

83. Hughes P.C., Shelton R.E. Controllability and observability of linear matrix-second-order systems.- J.Appl. mech., 1980, vol. 47, pp. 415-420.

84. Karapetyan A. V., Rumiantsev V V. Stability of conservative and dissipative systems. -New York, Hemisphere Publ. Co., 1990, App. Mech., Soviet Reviews, v.l, Stability and Analiticial Mechanics, pp. 3-144.165

85. Khennouf H., Canudas de Wit, A.J. Van der Schaft. Pleliminary results on asyptotic stabilization of hamiltonian systems with nonholonomic constraints Proc. IEEE, Decision and Control, 1995, New Orleans, pp. 4305-4310.

86. Isidori A. Nonlinear control systems.- 3 Edition, Springer, London, 1995, p.549.

87. Laub Alan J., Arnold W.F. Controllability and observability criteria for multivariable linear second-order models IEEE, Transactions on Automatic control, 1984, vol AC-29, №2, pp. 163-165.

88. Maroulas J., Barnetts S. Canonical forms for time invariant linear control systems: A survey with extentions. - Int. J. Syst. Sci., 1079, v. 10, №1, p. 33-50.

89. McClamroch N.H., Chanlei Rui. Stabilization and asymptotic path tracking of a rolling disk. Proc. IEEE, Conf. Decision and Control, 1995, New Orleans, pp. 4294-4299.

90. McClockey R.T., Murray R.M. Exponential stabilization of driftless nonlinear control systems via time-varying homogeneous feedback.- Proc. IEEE, Conf. Decision and Control, 1994, Orlando, Florida, pp. 1317-1322.

91. Oriolo G., Nakamura Y. Control of mechanical systems with second order nonholonomic constraints: underactuated manipulators IEEE, 1991, p. 2398-2402/

92. Pomet J. Explicit design of time-varying stabilizing control law for a class of controllable systems without drift .- Systems and control letters, 1992, 18, pp. 147-158.

93. Reyhanoglu M. On the stabilization of class nonholonomic systems using invariant manifold techique Proc. IEEE, Conf. Decision and Control, 1995, pp. 2125-2126.

94. Serdalen O.J., Egeland O. Exponential stabilization of nonholonomic chained systems .IEEE Transactions on Automatic Control, 1995, pp. 35-49.166

95. Sheng Z.,.Yamafuji К, Ulanov S. Study on stability and motion control of a unicycle. -- 3rd and 4th Reports, fuzzy gain Schedule PD Controller for Managing Nonlinearity of System) -JSME International Journal, v.39, ser. С, 1996, p.560-568; 569-576.

96. Takemori F., Okuyama Y. Stabilization Control of a mono-cycle based on Hco Control Theory. Proc. of the Asian Control Conf., 1994, Tokyo, pp. 591-594.

97. Морозов В. М., Каленова В.И., Шевелева E.H. О стабилизации установившихся движений неголономных механических систем. Труды международной конференции "Математика в индустрии" , Таганрог, 1998, стр. 232-233.

98. Морозов В. М., Каленова В.И., Шевелева E.H. Устойчивость и стабилизация движения одноколесного велосипеда МТТ, 1999 (в печати).167

99. Морозов В. М., Каленова В.И., Шевелева E.H. Устойчивость и стабилизация стационарных движений одноколесного экипажа Харьков, Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте, 1999, №4(19), стр.70.

100. Морозов В. М., Каленова В.И., Шевелева E.H. Стабилизация установившихся движений неголономных механических систем. Отчет института механики МГУ, 1999.