Закон повторного логарифма в форме Чжуна для зависимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

у I

Севанский государственный эттизерситвт

На правах рукописи

КАЗАНЧЯН ТАТЕВИК ПАРСАМОВНА

ОТ 519.21

ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРЩМА В ФОРМЕ ЧЗША. ДЛЛ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1992

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей п математической статистики Ереванского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

1. Академик Академии наук Армении, доктор физико-математических наук, профессор АМБАРЦУМЯН Р.В.

2. Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЧЖЧЯН Р.Н.

Ведуцая организация: Институт проблем передачи информации Российской АН, г.Москва.

*

Защита состоится "ИВ " Й/.&992 г. в % час. .

на заседании Специализированного совета К 055.01.12 при Ереванском государственном университете по адресу: г.Ереван, ул.Ыравяна, I, факультет математики Е1У, ауд.47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ереванского государственного университета (ул.Мравяна, I).

профессор ДАНИЕНЯН Э.А.

профессор ПЕТРОВ В.В.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета

;оц. ОГАНЯН В.К.

Актуальность темы. Установление закономерностей, имеющих мес-

то с вероятностью I, является одной из важнейших задач теории вероятностей. Классическими примерами здесь является усиленные законы больших чисел, различные формы закона повторного логарифма для сумм независимых случайных величин. Достаточно исчерпывапце эта теория изложена в известных монографиях Б.В.Петрова (1972, 1987) и В.М.Золотарева (1986). С другой стороны, многочисленные практические приложения теории вероятностей, как собственно и ее внутренние запросы, указывают на излишнею ограничительность требования независимости слагаемых в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин. По указанным причинам задача распространения известных предельных законов теории вероятностей на более широкие клаосы случайных последовательностей (главным образом на слабо зависимые случайные процессы и мартингалы) является в настоящее время одной из самых актуальных. Центральной предельной теореме (ц. п.т.) и принципу инвариантности для различных классов слабо зависимых случайных величин посвящены некоторые разделы книг Ю.А.Розанова (1963), П.Биллингсли (1977), И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника (1965). Предельным теоремам для мартингалов посвящена монография Холла и Хиде (1980), а также некоторые главы книги Р.Ш.Липцера и А.Н.Ширяева (1986). Иного работ посвящено законам больших чисел к повторного логарифма для слабо зависимых случайных величин и мартингалов. Отметим среди них работы М.Х.Резника (1968), Х.Оодаиры и К.Йопшхары (1971), В.Филиппа (1969), В.А.Егорова (1960).

Тема настоящей диссертации лежит в русле этих исследований. В 1946 г. Эрдеш и Кац для нормированной последовательности максимумов модулей сумм независимых случайных величин нашли предельное распределение. Ими била доказана следуюцая теорема.

Теорема (Этшеш-Кац). Пусть , , ..., § л . • • • последовательность независимых случайных величин, такая, что Ь .

r\

£f„ ^ , f< , (3n =£>Sn f и nyc,!, —

= # 2 <S& exP ( - j • X« К ■ .ОЛИ

эта последовательность удовлетворяет ц.п.т., то _ / max I Sk. I N _

Б 1948 г. Чжун оценил скорость сходимости в этой теореме и установил форму закона повторного логарифма.

Теотзема I (Чжтн). Цусть fi , fj,..... ^n , ... центрированная последовательность независимых случайных величин, удовлетворяющих условиям:

I.

3

< I

2. та* Ук С= О (¿Г)

Здесь 0< &<■ ± - О л = 5П , Бп ~ Тогда, если (э ^ 00 при п <=*о , то ^ гах ^ ~,,

РС —0((JL^r) )

Теорема 2 (Чите). Пусть выполнены условия Теоремы I. Тогда / , тах I в* 1 _ I \ I

Утверждение Теоремы 2 Чжуна будем называть законом повторного логарифма в форме Чяуна.

Основной задачей, рассматриваемой в диссертации, является получение условий справедливости указанных результатов Чжуна для различных классов случайных процессов, а именно, для схемы серий независимых в каждой серии случайных величин, для слабо зависимых

случайных процессов, а также для мартингалов.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении излагается общая постановка вадачх и история вопроса. В первой глазе диссертации приводятся необходимые сведения и формулируются озновше результаты. Во второй главе теоремы Чжуна доказываются для слабо зависимых случайных величин. Рассматриваются стационарные случайные процессы (с.с.п.), удовлетворявшие некоторым из наиболее употребительных в настоящее время условий слабой зависимости, а именно, условиям абсолвтной регулярности, и ^ -перемешивания.

Научная новизна-и осноакке разультагч. Дли различных мае сев стационарных случайных процессов получены новые достаточные условия справедливости закона повторного логарифма в форме Чжуна л логаргфлгсесхно сцопгл скорости сходимости в теореме Зрдеше-Кзца.

Б принятой методике исследования предложена новая версия известного метода Барнштейна, использущая блоки различной длина.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит з основном теоретический характер. Результаты работы могут быть примене-лп в теории случайных процессов и матег.'зтпчоской статистике.

Апробация работн. Результаты диссертации докладывались на се.'пнарах в Института математики АН Армении, в Ереванском Государственном Университете, на 7 Меддународной Вильнюсской конференции (1989), на воэсоезннх сколах по математической физике в Цах-кадзорэ (1982) и Нор-Амберде (1988), на межреспубликанских конференциях работников Высшей пколы (1986) и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I] - И.

Содержание работы.

Пусть Обозна*

родцвкнуг случайные величинами Говорят, что

о.с.п. , í 2 , является абсолютно регулярным, если

ften^EUup lP(A/m® ) - PÍA-)!] ¿ 0;щ>и n-oo.

J Мб^г "£

Говорят, что с.с.п. ^ , , удовлетворяет условию V -

перемешивания (или условию Ибрагимова), если

IP(/Aß)-P(A)P(6)| ó ПШРсеГ);

при л-^оо,

и -перемешивания, если

I Р(А В) ~ РСА")P(ß)) * л) Р(/0 PCS),

A^wr, Bem.L , W)4rO при n-^oo. ^

Теорема 3.1. Пусть центрированный с.с.п. ^ , Ь^ 2 , удовлетворяет одному из следующих условий:

Г -I? I3*5"

A) При некотором о>0 7 Ь '$о' оо и

¿L n' &(n) * ,

n = l J

B) С вероятностью I ]§„|<С и

Л

n=i

C) El§0li<c>0 , >

Д) Е I §о!Ь< 00 , 2 ■

n=¿

Тогда сходится рад б^- Z t §с §п <0о и,

если то

р( исо = too* oabféf)

Л (ЬСп) о=> 00

i its n

Теорема 3.2. Пусть /п ) С и = п -*оо.

Тогда в условиях Теоремы 3.1

и+оео)

Теорема 3.3. В условиях Теоремы 3.1 пкеет место закон повторного логарифма в форме Чкуна.

Теорема 3.4. В условиях Теорэмы 3.1 вероятность

Р( *** I - 2;.)

^ ¿с < л

равна I или 0 в зависимости от того, положительна или отрицатель-па константа <5~ в выражении

p-i pnjf Р P°3r

Тзорд?та 3.5. В условиях Теораш 3.1 и при дополнительном условии Ll( 6"^)foot и-» ^ . вероятность

Р( maxl^'hi^Z/;1^)^ ¿t)

i id r\

равна I или 0 в зависимости от того, сходится или расходится сле-дущий интеграл

Т. -иЧО,

j-£-uz(Oe Jh

о

Стационарный случайный процесс ^ , ¿^¿Z , называется мартингал-разность», если t при любом п = О, ± i ? ...

Теорема 3.6. Пусть ^ , b^l, стационарная мартингал-разность, удовлетзорящая условию -перемешивания, прете u , ¿оо . Обозначим через S(i) такуп случайную функцию, что

П .Г

S(0)-0, при nnj , П5гО . Тогда существу-

ет броуновское движение » такое I что

при -I:-»00 при любом сЛ>0 .

Пуоть , , .... § пксп), п-1,2,... )

при п , схема серий независимых в саадой серии случ!йных величин.

Обозначим

kc.rO

> ¿=4

Далее будут рассматриваться схеш серий, подчиненные следущзщ условиям:

Ь О и для некоторого б1 , О* ©«=4 ,

, тах ХпС (2>§„:) = )

Л я^кш)

(2)

Теошма 3.7. В условиях (а)

> ^ па

РС ^ - с х > ч- о ((М^)''О

Теорема 3.8. В условиях (ж)

|гу>ах I I -ч

2 ч и»

Комментируя полученные результаты, отыэпш, что для с.с.п. с ^р -перемешиванием оценка скорости сходимооти в теореме Эрде-ша-Каца рассматривалась в работах С.Каганавы (1983). Та же задача для абсолптно регулярных процессов рассматривалась К.Йошихарой (1979). В сравнении с работами Кагаяавы, в которых рассматрява-

лись процессы с экспоненциальным убыванием коэффициента перемешивания, в диссертации получена более слабая скорость сходимости (впрочем, вполне достаточная для доказательства закона повторного логарифма в форме Чкуна, к чему мы собственно и стремились), но при более слабых ограничениях на У (степенное убывание).

Сформулированная выше Теорема 3.1 является усилением результатов йошихары по оценке скорости сходимости в теорема Эрдеиа-Ка-ца (см. условия А)). Н.Джейн, К.Иогдео и В.Стаут (1975), используя мартингальный подход Штрассена, получили ряд достаточных условий справедливости теорем Чзуна для процессов с )£ -перемешиванием и мартингалов. Применяемый шли подход обусловил наличие в полученных шля теоремах помимо условий, стандартных для слабо зависимых процессов, еще и условий, специфичных для мартингалов. Используемая в диссертации модификация классического метода Берн-штейна позволила снять эти ограничения (Теорема 3.3, условия С)). Теорема 3.6 показывает, что, если о.с.п. с Ч -перемешиванием является одновременно ыартингал-разностьв, то для оценки скорости сходимости в принципе инвариантности Чжуна ограничение на скорость перемешивания накладывать не надо.

Теоремы 3.7 п 3.8 распространяют Теоремы Чжуна на схему серий независимых в каждой серии случайных величин.

Результаты диссертации опубликованы в следуицих работах:

1. Казанчян Т.П. Закон повторного логарифма в форма Чяуна для № -зависимых случайных величин. - 7ч.зап. Е17, 1984, Л 2,

о.22-29.

2. Казанчян Т.П. Теорема Чжуна для схемы серий. Материалы респ. науч.-практ. конф. по методике препод, мат. и мех. в ВУЗе, 29-31 мая, 1986, 81.

3. Казанчян Т.П. Теорема Чжуяа для схемы серий независимых случайных величин. - Уч.зап. ЕГУ, 1989, К I, с.7-10.

4. Казанчян Т.П. Закон повторного логарифма в форма Чдуна для стационарных последовательностей случайных величин. - Изв. АН АрмССР, 1989, ХПУ, б, с.593-602.

5. Казанчян Т.П. О законе повторного логарифма в форме Чжуна для зависимых случайных величин. Тезисы докладов 7 международной Вильнюсской конференции по теор. вер. п мат. статист., Вильнюс, 1989, с.268.