Афинные полукольца и их обобщение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ8 ОД 2 3 ПЮП 1993

М1Н1СТЕРСТВО ОСВ1ТИ УКРА1НИ КИЙСЬКИЙ УНШЕРСИТЕТ т. ТАРАСА ШВВЧЕНКА

На правах рукопису

Рябухо Олвна Миколахвна АФ1НН1 МАЙЖЕК1ЛЫЩ ТА IX УЗАГАЛЬНЕННЯ 01.01.06 - математична лог та, алгебра та теори чисел

Автореферат Дисертац1х на здобуття вченого ступанр кандидата ф1зшсо-математичних. наук

К:пв - 1933

Робота вшсонаиа в Китвському университет! Ы. Тараса Шевчеюа

НауковI кер!вники: доктор ф1зико-математичних наук,

професор Кириченко Володимир Васильевич

кандидат фхзико-математичних наук, доцент Усенко ЕЛталхй Михайлович

Оф щШп опононти: член-коресповдент АН Молдови,

доктор фхзико-математичних наук, профеоор Рябуои ЮрЙ Михайлович

кандидат ф1зико-математичних наук, доцент Слшенко Анатолгй Костянгинович

Про адна установа: Львгвський университет хм. I.Я.Франка.

Захист дасертац1х вздбудеться /уСЬОЬСЛ- 1993 р.

в год. на засоданнI Спед1ал1зовано1 ради K068.I8.II

при Кишському ун1верситет1 1м. Тараса шевченка за адресою: м. Кихв, проспект акад. Глугоова, .механпсо-математичний факультет Кинзоького ун1верситету

з дисвртацжио мояна ознайомитись в бхбл^отецх ун1верситету Автореферат розповсвдвено "

сЛ-С&Л^ 1993 р.

ВчениА секретер .

Спецхаизованох ради Сувднсысий В Л.

ч

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА. РОБОГИ.

Актуальнхстъ теми. Використання алгебраиних власти-востей дастрибутивних дефект га - один з найбыып адекватних пдасод1В до проблема класифасадш майжекмаць. один з шляхи, на якому слтд сподхватися виникнення нових, суг. май&екхльцевих, методов клас :фпсацп 2 пов'язаних з ними понять та констругапй, позаяк поняттю дистрибутивного дефекту нема прямих аналог 1й в найближчих до теорх1 майжекыець роз-дхлах алгебри - в теорхх кмець та в теорЛ груц, з боку яких теор1Я майжекмець зазнавалх х зазнае найбхлыпого вшшву.

За вггстивостями дистрибутивного дефекту найбыып просто влаштованиги (за виключенням кыець) е майжекгльця афхнних перьтворень лшИного простору. 3 вивченням цюс майжекхлець (Блекет) пов'язане виникнення класу абстрактних афхнних май-яекглець (Гоншор), будову яких свого часу було докладно вив-чено (Вольфеон, Дашт. Натарайян, Клей, Хетерлг, Б'шонт т, хншх). Одиак до останнього часу дуже мало уваги придиялось розширенш) цього класу майжек глець за рахунок ускладнення бу-дови дистрибутивного дефекту та послабления обмежень на ади-тивну групу майяекыыи. Ливе за оста!ше десятирггая у цьому напрямку отримано результата (Дапич, Земмер, Фейгелсток, Ву-ковнч, Кхртадзе Л.В.), цо дозволяють говорит« про утворення в хдпов здяого налрямку в доелдасеннях з теорхх маЛхекхлець.

За цих перэдумов пошук та вивчення нових. узагальнень поняття афхнного майхекхлыщ в одн1ею з актуальных задач тео-рх5 маЯзекмець. Диеертацхйну роботу вшеонано саш в цг ому напрямку, а це й зумэвг^е актуальность 11 теьи.

Мета роботи. Метою роб от и е роз: грення класу афгнгпгх

майкекЬюць за рахунок розвитку властивостай дистрибутивного дефекту, а такох вивчення властивостей та симетричних зображе нь майжекйець, що при цьому виникають.

Наукова новизна. В роботI отримано такх новх результати

- визначено три клаои майжекыепь, що попарно на сп1в-падають, кожен з яких м ютить клао абстрактних афхнних майже-кмець; вивчено загальнх властивостх майжекыець, що при Фому виникають;

- для майлак глець з кожного клаоу описано IX симвтричнх зобракення.

Результати робота мають теорвтичний характер х IX буде використано в подалыпих досл1дденнях з теори майгзкхлець.

Загальна методика дослистення.В робот х застосовано за-гальноалгебрахчнх факторизацдйнх методи та деякх спец1альн1 метода, що базуються на редукц1йних методах теори майжекхлець (Кириченко В.В., Усенко В.М. ).

Апробаихя роботи. Результати роботи доповвдались на Симпозиум! в теор11 кыець, алгебр та модулхв (ЛьвЬ, 1990), . на М1жнародн1й кон$еренц11 пам'ятг акадешка М.П.Кравчука (ки1в, 1992), на Сибхрсышй школё з многовидхв алгебра1чних систем (Барнаул, 1988) та на алгебрахчних семхнарах Кихвсько-го унхверситету (1988 - 1993).

ПубджацЛ. Результати роботи опублпсовано в 5 роботах.

Будова та обсяг роботи. Дисертад1йну роботу викладено на 74 стор. машинописного тексту. Робота складаеться з вступу, дев'яти параграф ¿в та первлпсу лггератури, що ммтить 48 роил.

аист роботи.

Вступ М1стить деякг загальнх мотивування до постанови основних задач роботи, а також отислий огляд результатов, що 3£х в робот 1 отримано.

Поршх два параграфа роботи мають загальний харака р I мхстять основн1 ввдомост1 з еорп маЯхекЪюць та огляд ро-д!т, в яких йдеться про афшп майжекЪгьця.

Ма&кекиьцем називаеться а.илебра ¿Г з двома б 1нарниш асоцхативниш операциями (1М,\Т)^>-1С*\Т , (ц, № ТУ ,

такими, що А(Я) - (М,*) -трупа (адативна група маййекхльця- У ), а М(Ю ~(Л,') - напхвгрупа (цультишп-кативна напхвгоупа майжекыьця Ж ). При цьому виконуеться тотшнгсть tJ и,, ьте^Г. Нейтральний

элемент групи А (Л) позначатимемо через , а влвмант, протилелший елементу 04 € АШ), - через ОС . Як х звячайно, [и.;17]~и*1?*и - колдгтатор елементхв [С п -

комутант групи (г . Будемо використовувати так ох позначення {д » , вваяаючи = для будь-яких елв-

меигЬ групи (? .

Якщо Л - майжекхльце, то нейтральний элемент напгв-групи М(Л) (у раз! його хснування) позначимо через <5у .

1деаяш майгекгшрг Ж називаеться гака його нормальна падгрупа ЪС^ А(Л) , для якох виконуються умови:

УЬеЛ 414, с V,,

Уи,&и хл} *-(к*и)уеи.

Один з найвадливнпих клаохв майжак глець утворгшть

майжек1льця перетворень груп. Якщо в - довЬгьна група, £ ) - нал 1вгрупа перетворень множини б , то поклавши

д (у * , У.^еФ^),

отримуемо майжектдъце, яке називаеться повним майжекш>цем перетворень групп б , або симетричним маГиюкиьцем на груп1 6 .

Гомоморф1зм довольного майхекыьця Ж в симетричне майжекмьце на деякхй груп! £ називаеться зоб-

раяенням глайжакхльця Ж над трупов О . Зображення називаеться точним, якщо воно ш'ективне. Будь-яке майяек1льце володге точним зобратенням над вадповадною групою.

Якщо Ж - довшьнэ майжекш>ца, то пвдмнсшши

утворюють в Ж п ад/я¡ишкхльця, перша з яких зветься однородною, а друге - константною частиками майяек хльця Ж . Форду (и;\^)с1 и~Ь ¿¿/^¿'€-//'назвемо дистри-

бутив ним дефектом майжек иьця

Ж .

1атЛ ваюшвий клас майжек мець утворюють майжек ыьщг афгани* перетворень лшхйних просторхв. Абстрактна характери-зац1я цього класу майнсекиець призвела до виникнення класу абстрактних афиших ма&юкыець (Блекет, Гошпор та ш.). Ви-явилось (Дашич, Натарайян), що. майжек мьце. Ж тодх х тхлыси тод1 е абс,трактням аф1нним маЯжекхльцем, коли воно абельове (тобто абельовою е група А(Ж)) I =

при будь-яких Ь, И, & € Ж.

В § 3 - 6 вивчаються деякх властлвостI симетричних майжекиюць. а також визначаеться I вивчаеться перше уза-гальнення поняття аф иного майжекхльця - майхекмьця, назва-а1 в робот I афшютипнимя.

1£айжекхльца Ж назвемо аф1ннотипним, як^о для во IX Я виконуеться умова

вх-Ь * (и;хг)с16 € КсШ,

да К (Я) - комутант адитивно! групи константно! частини С (Л) майжекиьця Л . До класу афшнотипних майжэкиець належать усх майжакшьця (не обов'язково абельовх), що задо-вольняють тотояност! (11;17)сС{= ~Ь . Головним результатом Ц161 частини роботи е описания симетричних зображень маЛ-кехЪюць. Нэхай & - довиьна трупа. Покладемо

ЖСЫуеЛтМ^О.; [&]},

У* I?

* для всхх , д€& виэначимо перетвореннж Т ^

групи @ заправилой ХЪ^д-ХУ + д. Нехай

уев-}.

Доведено, ею лжа) - афншотипне майжекиьцв. МайжекЪгь-Цв назкватямемо симэтричним афшнотшташ майасе-

киьцви на груп1 (г .

Вудемо говорив, що шЗжекхльцэ Я володге зображен-ням в ма!хек1льц1

, якщо кнуе симетричнв вобраяэнш р * ЛГ^С) з 0,трйМ" . Мае мхсцв

ТЕОЕША. Будь-яке афишотипне маЗжекиьца У зобраяеяням в снмвтриччоцу аф линотипному майжвк Ъсьц! лж) на адягявнй груп! (С($)) свое! константно! частини.

Характеристикою множили

, за допомогою якох будуються симетричн I 61ф1нн0типн1 майжек 1яыщ, в

ТЕОРЕМА. е п1дюйжек1льцем симвтричного май-

ЖвК1ЛЬЦЯ

. Ыножина

е 1двалом майжекыьця ^(б) . При цьому А = ад Узд)-

киьцэ, для якого юнуе гомоморфизм

к!льцэ евдоморф1зм1в абельово! групи С/] .

У цЗД частин! роботи вивчаеться такох один частинний випадок афшнотипних майжек 1лець, описуються його симетричнх зобрахення, вдемпотенти та однобхчн! одиющь

У другой частинх роботи (§7-9) визначаються та вив-чают ься ще два узагальнення поняття аф!нного майжекыьця. Ц1 узагальнення визначаються, виходячи в деяких узагальнвнь поняття дистрибутивного майжекыьця (Кириченко В.В., Усенко В.М.). А сада: нехай Пь'2 - фхксоваяе натуральна число; майжек1льце

Л

назвемо медгально ГЬ -дистрибутивним (або, коротше, А1л-дистрибутивним), якщо

д^ч вогх ОС, и0 и£/ ИЛУ,.,ИП)'ЬеЯ'. Для визначення другого узагальнення дистрибутивностх введемо позначення: якщо & -трупа, $ е С> , то

де к. - циг числа. Майжекиьце Ж називаеться . -дистрибутив ним, якщо для всIX ^¿е/ ( (V — фжсоване цмв, пф'(-/, {, 2. } ).

Вхдпов1дно з цими узагальненнямя дистрибутивное^ ви-ншають такх узагальненяя афганюс майжекхлець (в обох випад-ках вважатимэмо, що IV - фЬюованэ натура-ьне число, ГЬ > 2 ).

Ыайяек 1льца Ж назввмо 1>п -афхннш, якщо

=011)^*9^.

Адитивна будова 1)а-а$хнних майяенмець з'ясовуеться за допомогою /Ъ-абельових труп (Лев:, Калуга ш Л.А.) спецх-ального типу. А сама: п-абвльову групу & . назввмо май-хебернсайдовою показника IV , якщо & розкладаеться в нап хвпртгай добуток И ** Н п-абельовох групи 1А, та бернсайдовох групи Н показника ГЬ . Характеризащею майжебернсайдових труп показника П е

ТВЕРДдЕННЯ. НехаЯ От-11 - нап хвпрямий добуток

Л--абэльово1 групи К- та бернсайдовох групи /У показника П . Група (у тод1 I Т1льки тодг будэ Л^-абельо-вою, коли для всIX и.&'ЬС , ЬбИ виконуеться умова

IX * О-оС * и* . . ..-ГЦ,*.), — щ}„

П пк£ П-!

Для будь-якого майявкхльця У покдадвмо Я„(//)= = - /?-анулятор ыайхекхльця. Я -аяу-

лятор будь-якого майжвкхльця заввди е його вдеалом.

Характеристикою адитивнох будови Х)л-афЬшого майяе-к!льця е

ТЕОРЕМА. Якщо У - Ц,-афйше майжекхльце, то да-тивна група фактормайжэкыьця Ж/{М) е к^йкабарнсайдо-вою групол показника Л, .

Для описания симетричних зображень Д^-афшних майяе-

кхлець в робот! будуоться в¿дловвднI майжекхльця перетворень. А сама: нахай (у —1Л Н - майхебернсайдова група показ-пика гь , 1 = ,

6(С)феЛГР(Ы10&У = % , ^=К Ухе еН ¿бГ^&МТ« I ^е61>п10\ 96Н}.

Визначшло дш елеиентхв з на (г за

правилом*.

*Т%9-х**(9и;Я)9 ссев.

11а Л£1)п((*) при цьому у звичайний сшхиб визнаюгься ком-поэяцхя та сума елемент1в, шдносно яких

Г)п-афхнним кайаакхльцем, цо 1зоморфно занурюеться в си-метричне майжакыьцз

ятса)

. Майгакиьце Л6Ц,(&) на-аввж> сшатричним Вп -афшшш майхакхлъцэм на групх & . Мае М1сцэ

ТЕОРША. Будь-яке Оп-аф1шш майхекЪшца

володхв

эобрахенням в сюлетричному 1)п -афиноцу мьйжекЬвдх на груп!

Виходячи а пояяття М^-даотрибутивного маДжакыьця, отримуемо т одш умгаяимишг афшетх маХшхыаф. МаЬш-кшц9 Ж каааемо Д1а-«ф1швш,. яюцо

(очи,*ос.и&*2СилЪ.

Для характерявац11 М^-двстрхбутивнкх майхекЬищ» викорио-товуеться конструкдхя напхвпрямих добутк гв майжекыець (Усон-

ко В.М.) у застосуванн: до одиорхдних (тобто таких, що ^Г-=•11 ЦТ)) та константних ( ЛГ= С (М) ) майжек хлець. Квхай

Я - довЬшнэ однорхдне, а К -дов1ль"э константне май-хек 1яыш, для якнх визначено антигэмоморфхзм

та вхдображвння Дв

- група виображень адитивнох групп в адитивну ггупу

А(Ю . Вгс.агатимамо вигсонання

слхдуючих умов:

.. ¿Л^, аеК,

((и„сЯ^2\ *(и> ' С»С>£К>

Шохина Ж X К при цьому вхдносно операцхи (и,; ;

/о

да Uh иг€ -tf , С,,ОгеК , в майжекыьцэм, яке i нази-ваеться напхвпрямим добутком майжек1лець N i К ,

Якщо .& - адитивна група, то поклавши Ху = Ц от-римуемо так эване константна майхекмьце (або майжекхльце правах нул1в) на rpyni G* .

М а-дистрибутивах майжекыьця називаються слабко дис-трибутквн;с.я.

Будову Д^-афиних найкак Ъшць характвризуе

7ВЕРДДЕННЯ. Будь-якв Мп-а$тнб майхекхльцв е напхв-прямим добутком слабко дистрибутивного майжок Ьгьця та константного майжекхльця на бернсайдов1й rpyni показника ГЬ .

РОБОТИ АВТОРА SA ТЫ,ЮЛ ДЛСЕРТАЩ1.

1. Рябухо E.H. О константно определенных почтикольцах// Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем. Тезисы сообщ. Ин-т матем. СО АН СССР.- Барнаул, 1988.- С. 62-63.

2. Кириченко В.В., Рябухо E.H. Дистрибутивные мультипликаторы почтяколец//УI Симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тез. сообщ. АН УССР, ИППМ и II.- Львов, 1990.- С. 6667.

3. Рябухо E.H. Аффинные расширения почтиколец преобразований// Международная конф. памяти акад. М.Ф.Кравчука. Тез. докл.- ИМ АН Украины,- Киев - Луцк.- 1992.- С. 185.

4. Рябухо E.H., Уоенко В.М. Об аффяннотнпных почтиколь-

щк// Киев, ун-i.'. — Киев, 1993.- 16 е.- Два. в УкрИНГЭИ 03.02.93, * 86-Ук93.