Алгебраические методы в электродинамике истинных и индуцированных монополей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНА1ШШ ИНСТИТУТ ФИЗЖИ им.Б.И.СТЕПАНОВА

На правах рукописи

ТРЕ1УБОВИЧ Артур Ярославович

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭЛЕКТРОДИНАШКЕ ИСТИННЫХ И ИНДУЦИРОВАННЫХ МОНОПОЛЕЙ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации аа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена в Институте физики им.Б.И.Степанова АКБ.

Научный Еуковздавадь - " доктор физико-математических нау.

. £.А .ТОЛКАЧЕВ

Официальные опковевтв - • доктор физико-математических нау.

профессор В.И.СГРАЖЕВ

кандидат физико-математических наук, доцент Б .А .УШАКОВ

Ведущая организация - Институт математики АН Украины

Защита- диссертации состоится 22 апреля 1992 г. в 1200часов са заседании спшдаяиэированного совета Д 006.01.02 при Институт физики АНБ : 220€02, г Линек, пр, Ф.Скорины.ТО.

С диссертацией шик* ознакомиться в библиотеке Института фиэикв АНН.

Авторефера® разосла» " ZO " ^и-серто. 1992 г.

Ученый секретарь спациатазЕрозаягтга совета-кандвдат физшсомагекаигаеских :В8УК

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия хорошо прослеживается закономерность, состоящая в том, что вопросы, связанные с топологически нетривиальными полевыми конфигурациями, играют все большую роль в самых различных разделах теории ноля. В качестве примеров можно привести открытие вихревых решений в 3-D теориях гида Черна-Саймонса, существования специфического отклика среда на ток монополей в классической электродинамике сплошных сред, а также нового нелокального эффекта в квантовой механике, связанного с появлением неиггегрируелых фазовых множителей у волновых функций параметрических квантовых систем (фаза Берри). Последний эффект имеет чисто геометрическую природу и иояаг быть описан в терминах топологии конфнху рационного пространства система.

Исследование этих вопросов потребовало в качестве* адекватного математического аппарата развития новых, в частности, алгебраических и теоретико-групповых методов. При атом параду о но- . выми областями теория поля, зде эти методы могут играть концептуальную роль, продолжает оставаться актуальной алгебраизация некоторых традиционных разделов, там, где это облегчает вычисления aura помогает более наглядно уяснить сиыметрийннй смысл объектов теории. Среди таких методов заметную рольиграетпргагененйа ео-шзчительннх алгебр и, в частности, алгебра ввагв^яйсшов* йс зс- , юльзование уже продемонстрировало их аффегаишос!^ в таких об-хастях, как теория классических шлей имакроскопнческая алектро-*инамика. Наряду о этим, некоторые соображения, касевдвеся связи зазы Берри с интегралами движения системы, делая актуальным во- ; ipoc о примененииметодовдшамичесяой симметрии в'сочетении о «даосическим аппаратом дифференциальное геометрии групп Ли к еы-шслению данного эффекта для ряда физически интервенте случаев.

Делью данной работы являетсяприменение методов кватернпон-юй параметризации группы вращений и ipyiuot Лоренца дляполучв-[ия Галилей-швариантных уравнений ддухзарядовой SuU) -калиб-ювочной теории, исследования кватертионного уравнения Дирака и >азработка универсального метода раочета оптических характерио-:ик движущихся анизотропных гиротропных сред в рамках однозаря-[овой макроскопической электродинамики, à также получение модель-[о-независимых уравнений овязл для ошюшных оред в црисутствии

магаитного тока и, наконец, разработка теоретико-группового № тода вычисления фазы Берри для квантовых систем о конечной ли-евокой алгеброй динамической симметрии.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Исходя из алгебраической реализации процедуры контракци; получены Галилей-инвариантные уравнения Янга-Миллса. Предлсиш и реализована на примере квагернионного уравнения Дирака алге< раическая процедура контракции как процедура перехода к нерел! тивистскоцу пределу для фермионных полей.

2. На основе векторной параметризации группы Лоренца доказ< но, что группой симметрии квагернионного уравнения Дирака явл ется 51Д2)® ЬШа) <3>11(1) , а также подучено кватернионное представление Фолци-Воутхаузена.

3. С помощью кватернюнной векторной параметризации группы Л ренца разработан метод расчета оптических характеристик движу! ся анизотропных гиротропннх сред.

4. Подучено обобщение материальных уравнений днухзарядовой макроскопической электродинамики и найдена нелокальная симмет] соответствующей функции Грина.

5. Вычислена фаза Берри в задаче о распространении электромг нитной волны в слабонеоднородаой среде.

6. Предложена новая геометрическая интерпретация фазы Берри на этой основе вычислена фаза Берри для обобщенных когерентны: состояний.

7. Предложен теоретико-групповой метод вычисления фазы Берр] для кьантовомеханической системы с конечным дискретным спектрс

Научная новизна..Бее результаты, перечисленные в положен! выносимых на защиту, являются новыми.

Научная и практическая ценность. Полученные результаты мс быть использованы:

а) при вычислении фазы Берри для квдатовых систем с конечне лиевской алгеброй динамической симметрии,

. б) при вычислении оптических характеристик движущихся анизс тройных гиротропных сред, .

в) в дальнейших исследованиях'по приложению исключительных алгебр в теории классических полей.

Апробация работы. Основные результаты, содержащиеся в дис- ■ сертации, докладывались на международных конференциях по физике высоких энергий (Протвино-88), "Геометрические аспекты квантовой теории" (Дубна-88), "Теоретико-групповые метода в физике" (Моск-ва-90); международных семинарах "Методы симметрии в физике" (06-нинск-89,91); всесоюзных' совещаниях и семинарах "Гравитация и электромагнетизм" (Минск -87,89,91), "Теоретико-групповые методы в физике" (Баку-88), "Метода теории представлений групп в физике" (Тамбов-89), а также на республиканской конференции шлодых ученых (Минск-84)...

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3D научных работах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений, заключения и списка литературы, содержащего ISO наименований. Общий объем диссертации - 150 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая'характеристика работы и обосновывается актуальность темы исследования. Изложена цель диссертации, приводится ее краткое содержание л сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрено применение кватернионной параметризации группы Лоренца и алгебраической реализации процедуры контракции в теории классических полей Янга-Миллса и полей со спином 1/2.

В §1 алгебраическая процедура контракции применена для получения Галилей-инвариантных двухпотенциальных уравнений Янга-Миллса. Установлена (как и в максвелловской электродинамике) неоднозначность этой процедуры и существование двух различных нерелятивистских пределов уравнений Янга-Миллса - "магнитного" и "электрического". "Магнитный" предел данных уравнений имеет вид

[?ВЧ = е£йЬШ]Ш) , ' (D

Л* пЬ с*

где п^ , р„ - соотвегстдуацие "цветные" потенциалы, a t

- напряженности

VA*l->e/il*bc[AbAC], ■ ga= - - VAo - е еаЬсд* дс, <2)

о'

"Электрический" предел получается из (1)»(2) дискретным преоб£ зованиеи й п* _ Аа

— IV » АГ '

f Нй--£й . (3)

В §2 кватернионная параметризация группы Лоренца применен для исследования кватернионного уравнения Дирака. Показано, чт полевые уравнения для спина 1/2 имеют в кватернионах общий вцц

О, (4)

где - кватернионная функция поля,

v=-i Y= -ь Эо + 'Эке* , (aVs)с; = a^ , ев*е0,ек---ек ,

О. ^ - четверка ортонормированных кватернионов, а - образующие алгебры кватернионов 1Нс . Роль If -матриц в данном случае играют кватернионные операторы л

rh = Car,!l^) + Ca П^) (5)

г

с законом действия

(û,b)oe s aocb

для любых кватернионов ¿L , ос , Ь . Показано, что симметрия уравнения (4), реализуемая внутренними автоморфизмами 34с соответствует группе £Ц(й)® SLLС LL(i) в отличие от LL(4) в стандартном подходе. С поющьго преобразования из най-

денной группы получено представление Фолди-Воутхаузена. Данное преобразование имеет ввд

(6)

где

р~ ( Ра, р) - 4-ИМПуЛЬС.

В этом же параграфе получена модификация алгебраической процедуры контракции, пригодная для получения Галилей-инвариантных уравнений для фермионных полей.

Во второй главе рассмотрено применение кватернионных методов в одно- и двухзарядовой электродинамике сплошных сред.

В §1 с помощью кватернионной параметризации группы вращений и группы Лоренца предложен метод расчета оптических характеристик движущихся анизотропных гиротропннх сред. Метод основан на полученных кватернионных уравнениях связи в движущихся средах» которые имеют вид

я* (7)

ъ* т(и&-б и) , ЗМ* С^-ю'"),

где

причем Ц = с + Ц- - 4-скорость, Р и О - соответствующие полевые тензоры

а кватернионы 1-, параметризуют группу Лоренца. На основании уравнений (7) получены общие уравнения связи в движущихся средах. Б матричных обозначениях они имеют ввд

@ «£•**)£ +Л) Н,

где матрицы £ , сС , у* • Г являются функциями скорости и параметров среды в собственной системе отсчета. Общий ввд этих функций приведен в диссертации. Б качестве примера рассмотрен случай одноосной среды без гиротропии

£ш£0 +£'с.с- ^у.+ус-с /Ы.;р*о, {9)

где С,-Ь обозначает матрицу-диаду - <з Ь^' . при

этом выражения для и шеют ввд

. а0(У) + а«(у>с-с +ал(у)у.О+а30д1сУН£Й4

+ йцСуХд^+У-с), . }

4 ь3су) й- ий+Л [ей-5; 0? =£,

(И)

где У = , а явный вид функций

приведен' в диссертации. Соответствующие выражения для ¿е (У получаются из (9),Ш) дуальным поворотом на 90°, что равносильно замене , Рассмотрено также приведение тензоров , ^(У) , ¿¿ЧУ), ]ЬвчУ) к стандартному ввду и . уравнение нормалей.

В §2 данной главы рассмотрена проблема уравнений овязи в двухзарядовой электродинамике сплошных сред. Показано, что в присутствии магнитного тока модельно-независимые уравнения связи должны иметь ввд '

(12)

где <*>) , • - тензоры, входящие в "старые" урав-

нения связи, а тензор (описывает специфический отклик среды на магнитный ток * На этом основании делается вывод, что при учете магнитного монополя даже в ввде формального наличия магнитного гока £ Ч'Е. ¿) во второй паре уравнений Максвелла, уравнения связи с необходимостью становятся нелокальными.

В третьей главе рассмотрен ряд задач, связанных с расчетом йектов, связанных с фазой Берри.

В §1 вычислена фаза Берри для двух видов слабонеоднородных ред. Для среды с зависящим от координат направлением осевого ектора, когда тензор £"' имеет ввд * V

г* = и г'(*„+<*« (с^.и^сяСжу-с^ус^щ

аза Берри, которую приобретают изонормальные волны после перио-ического изменения соответствующих параметров, равна

(13)

це, , , Т^э _ полярные углы векторов £1 к£л ,2 ^ответственно, а ёл- . Другой вид олабонеоднородной среды, ассмотренный в этом параграфе - это неоднородная вглубь среда, иисывается в лучевом приближении. Соответствующая фаза Берри ¿числена для такой среды с учетом поглощения при отсутствии кор-зляции затухания между изонормальными волнами. Она комплексна и леет вид

X = (14)

1 ^II

Р-К, 0)

В1 = ,-яЬп-х2 .■^«х.-'х-,

6ла Со, о, д$> , ' ФЪУ-ч!^ . ,

эичем гХ('Х.}-ГК ¿■'Х (2) _ матрица Дконса, и все величины (14) берутся при Х - О

В §2 третьей главы дана новая геометрическая интерпретация *зы Берри на основе теории индуцированных представлений. В част->сти, показано, что оператор эволюции параметрической квантовой ютемы о гамильтонианом Н С В*) при адиабатической завиоимос-

I от времени набора параметров может быть представлен

$

в виде произведения

л

где оператор умножает каждо_е собственное состояние ква-

зистационарного гамильтониана Н(Я) на динамический фазовый множитель ехрС-^б^гЫг) , а операторы реализу-

ют индуцированное представление группы путей в пространстве параметров по ее подгруппе петель.

В §3 на основе вышеуказанной интерпретации вычислена фаза Берри для обобщенных когерентных состояний. В этом случае пространство параметров топологически эквивалентно однородному пространству (Ь(0?о , где О - некоторая полупростая или нильпо-тентная группа Ли, а <Зо - стационарная подгруппа некоторого фиксированного элемента гильбертова пространства !?<>} . При некотором выборе I подгруппа ОЮо такова, что ^/появляется кэлеровым пространством, и выражение для фазы Берри имеет ввд

(ю

с

где ~ - 1-форма связности на в/во . В качестве примеров рассмотрены три частных случая, когда & совпадает с одной из групп $и№) , и группой Гайзенберга-Вейля

V/»/ . Показано, что в последнем случае может быть

представлена как интеграл по траектории в фазовом пространстве системы '

, (Щ

С

откуда для классической траектории С, следует условие квантования Бора-Зшмарфельда.

В §4 предложен метод вычисления фазы Берри для системы с конечным дискретным спектром. Для этого использована связь генераторов группы голономии пространства операторов эволюции со структурными 1-формами Каргана. Для невырожденного случая соответствующее выражение для фазы Берри может быть представлено в виде

Ш

где ^с - соответствующие I-формы Картана, а гъ*. - собственные значения генераторов подалгебры Картана для данного собственного вектора гамильтониана. Если уровень ¡Рт вырожден с кратностью 'Ttm , то соответствующая'фаза" неабелева. Она имеет смысл матрицы монодромии и определяется формулой

йСО = Рехр(-|:Сф^а)Аа), <18)

где О - соответствующие структурные I-формы, а \а. - генераторы группы SUC^™)- , причем соответствующая экспонента понимается как Р-упорядоченная.

В приложениях приведены подробные вычисления тензоров ju,QfUt) , ßei(y) , , vC (y) , характеризующих оп-

тические свойства движущейся одноосной среды и изложена проце-пура приведения их к стандартному. виду.

Краткое заключение содержит несколько замечаний о достовер-юсти полученных в диссертации результатов и о возможности их 1рименения.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ опубликованы в следующих работах: [. Трегубович А.Я. НерелятивисгскиЙ предел кватернионного урав-гения Дирака // Материалы УШ республиканской конференции молодых гченых, Минск..1984.-Минск: Изд-во Б1У, Г986, с.14-16. !. Толкачев Е.А.,Томильчик Л.М., Трегубович А.Я. Кватернионная ¡вантовая механика и кзазикогерентные состояния // Препринт ИЬ Л БССР № 388.- Минск, 1985.-30 с.

|. Березин A.B.,Толкачев Е.А.,Трегубович А.Я.,Федоров Ф.И. Ква-ернионные уравнения связи для движущихся гиротропных сред /ДПС, 987,т .47,И,с .113-118.

„ Березин А.В..Толкачев Е.А.,Трегубович А.Я. Уравнения связи едорова дяя движущихся сред в кватернионах //В сб. Ковариантные етоды в теоретической физике.-Минск: И» АН БССР.1986,о.37-43. Толкачев Е.А»,Трегубович А.Я. Материальные уравнения для сред присутствии магнитного тока // Докл. АН БССР, 1988, т.32,№11, .987-989.

6. Толкачев Е.А.,Трегубович А.Я.,Шнир Я.М. Параметрические монополи в подходе Берри // Труды XI семинара "Проблемы физики вь соких энергий й теории поля", Протвино, 1988.-М.: Наука,1989, о .398-403.

7.Tolkachev Е.А..Tregubovich A.ïa. Berry phaae and projective г resentations of Lie groupa // In Topological phases in Quantum

Theory, Ed.B.Markov3ki, S.I.Vinitsky.- Singapore:. World Scienti fic, 1989, p.119-128. "

8. Толкачев Е.А.,Тре:губович А.Я. Топологическая фаза и 2-коцикл Веб.: Современный групповой анализ .-Баку, 1989, с.216-220.

9. Толкачев Е.А.,Трегубович А.Я. Фаза Берри для элекгромашитно волны в слабонеоднородаой среде // Докл. АН БССР, 1990, т.34, №2, с.119-122.

10 .Tolkachev Е.А..Tregubovich A.ïa. Lorentz group contraction and Galilei field equations for fermions // In Rapid communications on theoretical physics, Minsk,Inst.Phys. Byel. Acad.Sci. N 630,p.18-22.