Алгоритм наилучшей параметризации для конечноэлементных моделей нелинейного деформирования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КОСТРИЧЕНКО Аркадий Борисович

АЛГОРИТМ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ДЛЯ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО

ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Специальность 01.02.04 "Механика деформируемого твердого тела"

На правах рукописи УДК 539.3

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор Шалашилин В.И.

*

Москва, 1999.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.........................................3

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ.................6

1.1 Основные соотношения МКЭ........................... 14

1.2 Решение нелинейных алгебраических систем...................18

1.3. Основные соотношения метода продолжения по параметру..........22

1.4. Алгоритмы совместного использования

метода конечных элементов и метода продолжения по параметру........27

2. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.........................34

2.1. Криволинейный стержневой конечный элемент.................34

2.2. Объединение элементов в ансамбль........................41

2.3. Определение вектора обобщенных узловых нагрузок..............45

3. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК.....................50

3.1. Описание геометрии элемента...........................52

3.2. Матрица жесткости элемента........................... 60

3.3. Построение матрицы перехода...........................69

3.4. Исключение центрального узла элемента.................... 73

4. ФОРМИРОВАНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ.............76

4.1. Нелинейный конечный элемент плоского деформирования...........76

5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ..............................92

5.1. Задачи с использованием стержневого элемента.................92

5.2. Задачи с использованием оболочечного элемента.................120

5.3. Использование треугольного элемента плоской деформации..........126

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................... 129

ЛИТЕРАТУРА......................................130

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшей задачей для современной техники было и остается создание оптимальных с весовой точки зрения конструкций и машин, что приводит к использованию в них тонкостенных и стержневых элементов. Для проектирования и создания подобных конструкций требуется достаточно точно оценивать их истинное напряженно-деформированное состояние. Расчет напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций в течение длительного времени остается актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Многие задачи расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций сводятся к решению нелинейных краевых задач. Только некоторые задачи подобного рода допускают решение в замкнутом виде, в основном используются те или иные численные методы. Последнее обстоятельство обусловлено резко возросшим за последнее время уровнем развития вычислительной техники, а также совершенствованием программного обеспечения и появлением программных комплексов, ориентированных на решение указанных задач.

Подобные универсальные комплексы наряду с широкими возможностями имеют и недостатки, как-то:

- сложную структуру,

- необходимость использования достаточно мощных компьютеров,

- высокую стоимость.

Целью настоящей работы являлась разработка эффективного алгоритма, позволяющего решать задачи расчета элементов тонкостенных конструкций в геометрически нелинейной постановке, используя метод конечных элементов совместно с методом продолжения по наилучшему параметру.

В задачу исследований входило:

а) разработка эффективного алгоритма расчета тонкостенных элементов конструкций, позволяющего совместить достоинства метода конечных элементов и метода продолжения по наилучшему параметру;

б) разработка высокоточных конечных элементов, пригодных для расчета различных конструкций;

в) создание единой программы для расчета тонкостенных конструкций в геометрически нелинейной постановке.

В главе 1 приводится постановка задачи нелинейного деформирования тонкостенных конструкций в конечноэлементной форме, рассматриваются соотношения метода конечных элементов, записанные в форме, удобной для дальнейшего совместного использования с методом продолжения по наилучшему параметру. Ввиду того, что применение метода продолжения требует модификации матрицы системы разрешающих уравнений, разработана модификация метода Холецого, позволяющая учесть эти особенности.

Главы 2, 3, 4 посвящены разработке касательных матриц жесткости различных типов элементов. В главе 2 рассматривается касательная матрица жесткости плоского криволинейного пологого стержневого элемента высокого порядка. Приводятся соотношения, используемые для построения матрицы жесткости, а также рассматривается приведение распределенной нагрузки к

узлам. В главе 3 рассматривается касательная матрица жесткости треугольного пологого оболочечного конечного элемента высокого порядка, совместимого с описанным выше стержневым, приводится описание геометрии элемента, преобразование касательной матрицы жесткости при переходе к общей системе координат.

В главе 4 рассматривается касательная матрица жесткости треугольного конечного элемента плоской деформации, полученная с использованием полного квадратичного варианта геометрически нелинейной теории.

В последней главе рассматриваются результаты расчета различных элементов конструкций. В основном используется сравнение результатов с известными решениями для проверки достоверности получаемых результатов и работоспособности разработанного алгоритма, а также для оценки пригодности разработанных элементов для практических расчетов.

В Заключении даются выводы по диссертационной работе, формулируются результаты, которые выносятся на защиту.

Работа состоит из Введения, пяти глав, Заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на /36 страницах, содержит 31-рисунков.

Автор считает своим долгом выразить глубокую признательность профессору Владимиру Ивановичу Шалашилину за высококвалифицированное и неформальное руководство диссертантом, а также за его доброжелательное отношение.

-61. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Многие задачи механики деформируемого твердого тела, особенно задачи расчета напряженно-деформированного состояния сложных тонкостенных конструкций - а это большинство конструкций, используемых в авиастроении - не позволяют получить решение в замкнутом виде. Для расчета подобных конструкций используются различные численные методы, позволяющие получать решение с некоторой погрешностью, однако дающие удовлетворительные результаты.

Среди подобного рода методов особое место занимает метод конечных элементов (МКЭ), используемый в расчетной практике более 50 лет/1-5/. Основными преимуществами этого метода являются:

- универсальность, что позволяет из типовых конечных элементов набирать достаточно

сложные конструкции;

- алгоритмичность, что позволяет основные вычислительные трудности переложить на ЭВМ;

- удовлетворительная точность.

Во многих работах, посвященных разработкам МКЭ, определяется погрешность моделирования конструкции набором конечных элементов. Так как аппроксимация неизвестной (искомой) функции производится некоторой линейной комбинацией функций из полной системы функций, в качестве которой обычно используется система степенных функций, то погрешность аппроксимации на элементе

определяется выражением о(^и+^)/5,6 /, где £ - характерный размер элемента, П -

порядок полного аппроксимирующего полинома. Следовательно, при стремлении

Однако из этого не следует, что для повышения точности расчета следует выбирать размер элемента как можно меньше, так как, во-первых, уменьшение размера элементов ведет к повышению порядка разрешающей системы уравнений, что, в свою очередь, приводит к накоплению вычислительной погрешности, и, во-вторых, часто бывает удобно определять элемент из физических соображений как элемент конструкции (например стрингер, часть лонжерона между нервюрами, элемент обшивки, ограниченный элементами силового набора). Такой выбор элемента тем более предпочтителен, что зачастую удается заранее определить вид функции и, соответственно, удержать в разложении ее по базисным функциям необходимое число членов. Так, например, для стержня, нагруженного сосредоточенными силами, перемещения определяются, при постоянной жесткости, линейной функцией, а для балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, прогибы определяются полиномом четвертой степени. Метод конечных элементов, как отмечалось, широко используется при расчете сложных авиационных конструкций, особенно когда поведение конструкции определяется линейными уравнениями, т.е. справедлив закон Гука, а материал подчиняется гипотезе малых деформаций, что позволяет использовать соотношения Коши /7-9,56/:

размера элемента I к нулю погрешность вычислений стремится к нулю как I

(1.1)

где £:: - деформации,

Ч

II] - перемещения по I -му направлению.

Здесь и далее индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате.

Однако, для широкого класса тонкостенных конструкций их поведение под нагрузкой сопровождается значительным изменением геометрии, даже в пределах справедливости закона Гука. В этом случае уравнения, описывающие соотношения перемещения - деформации, становятся нелинейными, что вызывает значительные вычислительные трудности. Для их преодоления используются различные упрощающие предположения. Например, раскладывая

нелинейную иррациональную функцию в степенной ряд и ограничиваясь той или иной степенью разложения, получают различные варианты нелинейной теории (квадратичный, кубичный и т.д.). Обычно для конструкционных материалов, применяемых в машиностроении, используется квадратичная теория /10,11,57/,

Здесь использовано соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Для тонкостенных конструкций не все направления являются равноправными. Для оболочечных конструкций прогиб по нормали к срединной поверхности значительно больше, чем тангенциальные перемещения, а углы поворота элемента оболочки из плоскости, соответственно, значительно больше, чем углы поворота в плоскости элемента. Таким образом, в соотношение (1.2 ) могут быть внесены некоторые упрощения. Если деформацию элемента рассматривать в осях

(1.2)

направлением нормали, то это можно записать в виде:

еЧ = \ + и}Л + из,1 из,} \1> ] = а.3)

В обычных обозначениях, с использованием гипотезы Кирхгоффа - Лява, получаются соотношения Маргерра - Власова /12-14/:

ди 1

ех =--ь —

х дх 2

дх 1

'а**

ду 2\ду

(1.4)

ди ду дп> дм>

7 хх ~ — + — +----•

ду дх дх ду

Здесь и, V - тангенциальные перемещения в направлении осей X, у,\\> - прогиб. Эти соотношения справедливы в предположении, что линейные деформации и углы поворота по абсолютной величине меньше единицы, причем квадраты углов поворота имеют тот же порядок малости, что и линейные деформации.

Соотношения ( 1.4 ) обычно используются для пологих оболочек. Как показано в /15/, любая гладкая оболочка может быть аппроксимирована совокупностью пологих оболочечных конечных элементов. Поэтому при построении матриц жесткости конечных элементов, описанных в главе 2, будут использоваться именно эти соотношения.

Одно из основных требований к матрице жесткости конечного элемента -отслеживание перемещения элемента как жесткого целого, т.е. такие перемещения элемента не должны сопровождаться деформацией элемента и возникновением в нем напряжений /4,5/.

При линейных перемещениях элемента это требование выполняется за счет включения в аппроксимирующую функцию постоянного слагаемого. В соотношениях

(1.3 ) при Щ = const,i = 1,2,3, 8ц —0, и, следовательно, =0,i,j = l,2.

Рассмотрим влияние поворота на деформации, и , следовательно, напряжения в элементе (рис. 1.1).

Для простоты рассмотрим линейный элемент длиной 1 , поворачивающийся относительно начала координат. При этом перемещение правого конца элемента определяется соотношениями

и - Í • COS(p -i- t(cos<p-1), v = t • sin (p.

В соответствии с (1.1)

ди и

£ =-= - = - COS (D.

дх t

(1.5)

(1.6)

Раскладывая функцию COS (р в степенной ряд, получим

cos<p = + о((р

cos (р -1 = - — + о{р4\

Для соотношений типа (1.4 )

(1.7)

ди 1 (д^ 2 и 1 (v\

£ =-+ — — — —

дх 2 i 2 UJ

COS(p - 1 + sin2 (p. (1.8)

Раскладывая Sin (р и COS (р в ряд, получим:

рис J.i.

(р2 (р4

COS (О -1 = --—I-2—+

2 24

о{р6\

1 sin'cp^-^ + oiA

2 2 6 V 7

Отсюда следует:

4

COS ф-1 + — sin2 (р-- + о{^>6 ]l 2 8

Для соотношений полной квадратичной теории типа (1.3 ) имеем:

ди 1 {дU1 2 f^l

£ =-+ — +

дх 2 1 дх)

U 1

—+ —

I 2

г-л2 (и"2 +

и

1

J

\IJ

= COS

<р-1 + — -1)2 + sin2 (p]

После раскрытия скобок получаем:

£

= cos(p-1+^2 (cos2 Ф ~2cosg> +1 + sin2 (p)=

(1.9)

(1.10)

(1.11)

= COS(p- 1 + 1- cos (p - 0.

Таким образом, получаем, что при повороте линейного элемента как жесткого целого на угол (р линейная теория дает деформации в элементе

£ = о{(р2),

неполная квадратичная теория дает деформации в элементе

£ = о((р4),

полная квадратичная теория дает нулевые деформации. Следовательно, с точки зрения точности более предпочтителен полный квадратичный вариант нелинейной теории, однако, при небольших углах поворота могут быть использованы соотношения неполного квадратичного варианта (соотношения Маргерра - Власова). Эти соотношения в основном и будут использоваться в работе.

1.1. Основные соотношения МКЭ.

Основные соотношения метода конечных элементов (МКЭ) базируются на принципе возможных перемещений, в соответствии с которым вариация потенциальной энергии на любых кинематически возможных перемещениях равна нулю/9, 16-18/.

дп = д{и-л)=о. (1.12)

Здесь П - потенциальная энергия, и - энергия деформации, А - работа внешних сил.

В свою очередь, энергия деформации определяется соотношением

и = ?-\<тц£цау, (1.13)

¿V

где V - объем тела, а выражение для работы внешних сил имеет вид: т I п

^уя/ЮЧЕ \чкикйУ. (1.14) 1=1 к=1ук

Здесь и - неизвестная функция перемещений,

<1 - распределенная по поверхности или по объему нагрузка,

& $ и - области поверхности и объема, на которых действуют эти нагрузки,

Р^ - внешние сосредоточенные силы.

В МКЭ широко используется векторно-матричная форма записи. В соответствии с этой формой будем обозначать через Й вектор-функцию перемещений, компоненты

которой UyVyW представляют собой перемещения в направлении осей выбранной системы координат /1,5,19/.

Й = {u,V,w}T. (1.15)

Здесь знак " Т" означает операцию транспонирования.

Соотношения деформации - перемещения имеют вид

ё = \р\п, (1.16)

где S - вектор перемещений

£ = {£х>£у>Гху\- (117)

в случае плоской деформации, или

s = ^х>£у>ег>Уху>Ууг>Угу\' <1Л8)

в случае объемной деформации.

Матрица [/)] получается из дифференциальных соотношений между перемещениями и деформациями и, с учетом геометрической нелинейности, будет, в свою очередь, функцией вектора перемещений U .

Функция перемещений U, как отмечалось выше, аппроксимируется теми или иными базисными функциями, чаще всего, и это принято в данной работе, полиномами, а коэффициенты разложения представляют собой перемещения некоторых точек области, называемых узлами /3,4/. Обозначая вектор узловых

перемещений S, получим:

H=\N\S, (1.19)

здесь [TV] - функциональная матрица, элементами которой являются функции формы, которые для соответствующего перемещения равны единице в

рассматриваемом узле по рассматриваемому направлению, и нулю в остальных случаях /3,4/.

Подставляя (1.19 ) в ( 1.18 ), получим, что вектор деформаций € является функцией вектора узловых перемещений 3:

ё-\в\8. (1.20)

Здесь матрица [в] получена путем применения дифференциального оператора [/)] к матрице функций формы [Л^] .

В результате аппроксимации функционалы энергии деформации £/ и работы внешних сил А становятся функциями вектора обобщенных перемещений В, и условие стационарности функционала потенциальной энергии П преобразуется к условию минимума функции П{В ):

Используя соотношения напряжения-деформации, которые в общем виде могут быть записаны в форме

& = \Е\ё, (1.22)

общее выражение для энергии деформации

и с учетом (1.13) примет вид:

и=[\8т[в]т[Е\в\ш =

1V

(1.23)

= 1/>\[в\т{Е\в\1У8.

2 V

Выражение для работы внешних сил, с учетом (1.14) может быть представлено в виде скалярного произведения векторов обобщенных узловых сил ^ и обобщенных узловых перемещений 8:

А = $Т ■(). (1.24)

Разрешающие уравнения метода конечных элементов получаются из условия (1.21 ) при подстановке в качестве в П выражения II — А в соответствии с (1.23 ) и ( 1.24 ) и имеют вид:

[К\8 = й- (1-25)

В результате дифференцирования функции потенциальной

п энергии по

вектору обобщенных перемещений В получается система алгебраических уравнений, размерность которой равна числу выбранных обобщенных узловых перемещений.

В случае линейной зависимости между перемещениями и деформациями полученная система будет линейной, и для ее решения могут быть использованы как стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (Гаусса, Холецкого и т.д.), /20-23/, так и специальные методы, разработанные для систем специального ви�