Решение задач нелинейной механики гибких систем методом наилучшей параметризации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ДАНИЛИН АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

УДК 539.3:534.1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ ГИБКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА-2005

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) на кафедре «Строительная механика и прочность»

Научный консультант:

доктор физико-математических наук,

профессор

Шалашилин Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Баженов Валентин Георгиевич;

доктор технических наук, профессор Докучаев Лев Викторович;

•f

доктор физико-математических наук,

профессор

Тарлаковский Дмитрий Валентинович.

Ведущая организация: Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук.

Защита состоится 16 ноября 2005 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 при Московском Авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125 993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125 993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба отправлять по вышеуказанному адресу.

Автореферат разослан 11 октября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета

к.т.н., доцент В.Н. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Нелинейная механика начала интенсивно развиваться в последние три десятилетия главным образом благодаря появлению новых видов технических устройств, аппаратов и систем. Во многом это объясняется развитием авиации, космонавтики и робототехники, которые определяют свой круг проблем, связанных с моделированием нелинейного нестационарного движения деформируемых конструкций.

С развитием техники конструкции летательных аппаратов становятся более легкими, менее жесткими, а их габаритные размеры увеличиваются. Появились крупногабаритные космические конструкций, к которым, например, мояфю отнести несущие конструкции космических станций, платформы, радиотелескопы, крупногабаритные антенны и пр. Такие системы собираются, развертываются и функционируют в условиях космоса, подвергаются малым нагрузкам и поэтому могут быть очень гибкими. Большую группу космических конструкций образуют трансформируемые системы, например, орбитальные краны, манипуляторы антропоморфного типа, ферменные конструкции больших развертываемых телескопов, космические тросовые системы.

Колебания больших упругих космических конструкций могут возникать под действием возмущающих и управляющих сил в процессе их развертывания, выполнения технологических операций, сборки, стыковки, маневрирования и ориентации. При этом действующие нагрузки, а также гравитация и ускорение, особенно во вращательном движении, могут оказывать существенное влияние на упругодинамические характеристики гибких конструкций и, в результате, на их динамику в целом. Это влияние в общем случае неустановившегося движения может быть учтено корректно только на основе геометрически нелинейной теории деформирования тела, даже если упругие деформации малы.

Следует отметить также практически важный класс нелинейных задач механики, связанный с моделированием статических состояний и колебаний воздушных линий электропередачи.

При составлении нелинейных уравнений движения гибких систем имеет место неоднозначность различных подходов и неправомочность некоторых гипотез при переходе от линейных моделей к нелинейным. Деформирование гибких систем может носить существенно нелинейный характер, сопровождаться конечными перемещениями и углами поворотов, и конечными деформациями. Это ведет к проблеме создания сложных математических моделей,

опирающихся на геометрически нелинейные сос пр<№еИОДи9ЯЗД?му~р~азработ-

Библиотека

СПепфрг

о»

ка математических моделей, адекватных физическому процессу, является актуальной и важной задачей. Достоверность и точность моделирования определяют жизнеспособность и безопасность научно-технически гфЬектов.

При решении проблем нелинейной механики имеет бб^ьЙое значение разработка эффективных способов решения соответствующих математических задач и вычислительных алгоритмов, оптимальных по быстродействию и расходованию машинных ресурсов. Причина этого заключается в постоянном усложнении задач, решаемых численными методами, и стремлении оптимизировать динамические процессы.

При исследовании процессов нелинейного деформирования основные соотношения и уравнения традиционно формулируются в неизвестных, соответствующих конечному результату процесса деформирования. Однако наиболее интересен не столько конечный результат, сколыЛг процесс его достижения, то есть процесс деформирования, поскольку упр&вленйё этим процессом открывает широкие возможности проектирования эффективный и'экЗкомичных технологических процессов. С другой стороны, однШ из нЗкбЙиее 'мощных методов численного решения задач сильнЬго нелинейного деформирования является метод продолжения решения по параметру, который по своей идеологии предполагает получение конечного решеййя как результата вычислительного процесса, фактически адекватного процессу !деформиройания. С этой точки зрения представляет интерес такая форма ЙСходнЫх соотношений, которая была бы наиболее адекватна методу их численной реализации - методу продолжения решения по параметру.

Поэтому тема диссертации, посвященной разработке нелинейных моделей деформирования гибких систем, формулировке прйбЫмй нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по параметру и, как следствие, построению высокоэффективных методов получения численного решения соответствующих математических задач, является актуальной.

Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 97-01-00091, 99-01-01187, 00-01-00072, 03-01-00071); федеральной целевой программы «Интеграция науки и высшего образования России» (код проекта: Б0053); научно-технической программы министерства образования Российской Федерации «Фундаментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных наук. Университеты России» (учетный номер проекта 015.04.01.19); международного гранта ЮТАБ (код проекта 3736)1

Цель работы. Проблема нелинейного деформирования может быть эффективно решена, если она будет поставлена в форме, адекватной методу её решения. Это предложение положено в основу диссертационной работы с целью:

- формулировки проблемы нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по наилучшему аргументу, представляющему собой параметр длины интегральной кривой множества решений;

- разработки методологии построения общей системы параметризованных уравнений нелинейного деформирования в рамках метода конечных элементов;

- разработки простых и экономичных неявных вычислительных алгоритмов пошагового интегрирования параметризованных уравнений без использования трудоемких итерационных процедур по типу итераций Ньютона-Рафсона;

- анализа и математического обоснования эффективности разработанных алгоритмов интегрирования начальных задач, реализующих процесс продолжения решения по параметру;

- демонстрации эффективности разработанной методологии на решении конкретных задач нелинейной механики гибких и трансформируемых систем.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработана эффективная методология параметризации общей системы разрешающих уравнений механики нелинейного деформирования с выбором наилучшего аргумента;

- построены уравнения продолжения на основе локальной линеаризации геометрических и физических соотношений, уравнений движения (равновесия) с использованием в качестве неизвестных лагранжевых координат точек тела; геометрические соотношения получены в форме, позволяющей легко использовать любую форму тензора деформации, как то: тензоры кратности удлинений, Коши, Грина, Альманси и логарифмических деформаций; физические соотношения представлены в общей дифференциальной форме, соответствующей методу продолжения; новый аргумент задачи вводится при помощи специального дифференциального соотношения;

- предложена конечно-элементной формулировка задачи о деформирования твердых тел на основе принципа минимума полной энергии системы и процедуры продолжения решения по параметру;

- дан сравнительный анализ трех вариантов геометрически нелинейных соотношений (точным, полным и неполным квадратичным соотношениям), используемым при построении конечно-элементных моделей;

- разработаны новые математические модели и алгоритмы численного решения нелинейной динамики гибких и развертываемых упругих систем;

- разработан новый общий подход к построению высокоэффективных неявных алгоритмов прямого интегрирования параметризованных уравнений движения с использованием простых итераций Пикара;

- доказаны теоремы о сходимости итераций, даны явные оценки шага интегрирования, обеспечивающие сходимость.

Методы исследований:

- преобразование уравнений теории нелинейного деформирование к уравнениям продолжения по наилучшему аргументу;

- сведение статических и динамических задач о нелинейном деформировании к задаче Коши в неявной форме;

- формулировка и доказательство теорем о вычислительных свойствах разработанных неявных алгоритмов с использованием схемы простых итераций;

- применение различных методов дискретизации по пространственным координатам для построения дискретных аналогов исходной непрерывной задачи.

Достоверность научных положений, результатов и выводов основывается:

- на корректности математических моделей;

- на учете нелинейностей системы и оценках их влияния на результаты;

- на строгости математических решений, оценках и математических доказательствах их сходимости;

- на сравнении результатов расчета, полученных разными методами.

Практическая значимость исследований:

- предложенный метод параметризации системы нелинейных уравнений механики деформирования твердого и соответствующие алгоритмы численного решения носят достаточно общий характер и поэтому могут быть использованы при моделировании разнообразных технологических процессов, связанных с сильным формоизменением;

- конечно-элементные уравнения продолжения могут использоваться при создании высокоэффективных программных комплексов для решения прочностных и технологических задач;

- предложенные математические модели могут использоваться при проектировании и расчетах гибких, в tow числе, трансформируемых конструкций, например, крупногабаритных космических систем, составленных из стержневых фрагментов регулярной структуры, тросовых систем, воздушных линий электропередачи;

- разработанные алгоритмы численного интегрирования начальных задач механики являются высокоэффективным математическим инструментом, который можно использовать в вычислительной практике: высокое быстродействие и рациональное использование машинной памяти дают возможность проводить оптимизационные расчеты, связанные с большим объемом вычислений.

На защиту выносяпгся:

- методология параметризации общей системы разрешающих уравнений механики нелинейного деформирования с выбором наилучшего аргумента;

- уравнения продолжения на основе локальной линеаризации геометрических и физических соотношений, уравнений движения (равновесия) с использованием лагранжевых координат точек тела в качестве неизвестных;

- методология построения общей системы параметризованных уравнений нелинейного деформирования в рамках метода конечных элементов;

- математические модели и алгоритмы численного решения нелинейной динамики гибких и развертываемых упругих систем;

- общий подход к построению разнообразных вычислительных алгоритмов интегрирования начальных задач нелинейного деформирования с использованием наилучшей параметризации;

- доказательство сходимости итерационных процессов, используемых при построении неявных алгоритмов численного интегрирования динамических задач; явная оценка шага интегрирования, при котором обеспечивается сходимость итерационных процессов; оценка скорости сходимости итераций;

- решение на основе разработанных алгоритмов с использованием наилучшей параметризации частных задач о нелинейном деформировании конструкций в геометрически и физически нелинейных постановках.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

- Гагаринских чтениях по космонавтике и авиации. (Москва: 1988, 1990, 1991 гг.);

- международной научно-технической конференции "Крупногабаритные космические конструкции" (Севастополь: 1990 г.; Новгород: 1993 г.);

- XV научных чтений по космонавтике, посвященных памяти акад. Королева и других советских ученых - пионеров освоения космического пространства (Задачи ориентации и управление движением космических аппаратов) (Москва: 1991 г.);

- IV Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Харьков: 1991 г.);

- международной молодежной научно-технической конференции "Космо-навтика-ХХГ' (Москва-Калининград: 1991 г.);

- международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец: 19951998, 2000-2005 гг.);

- школе-семинаре, посвященном 80-летию со дня рождения акад. И.Ф. Образцова (Москва: 2000 г.);

- VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь: 2001 г.);

- международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва: 1999, 2002 гг.);

- международном конгрессе по вычислительной и прикладной математике (Бельгия, Лёвен: 2002 г.);

- VI международном симпозиуме по динамике гибких систем (США, шт. Южн. Каролина, Чарльстон: 2005 г.)

Публикации. Результаты диссертации представлены более чем в 70 работах, опубликованных в российских и зарубежных научных журналах и сборниках, материалах всероссийских и международных конференций. В автореферате приведены 30 основных публикаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Общий объем диссертации 290 е., включая 103 рисунка, 10 таблиц, 216 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение

Во ведении дан краткий обзор проблем нелинейной механики, связанных с математическим описанием движения гибких систем. В качестве объекта исследований рассматривается преимущественно класс гибких конструкции летательных аппаратов, к которым можно отнести многие виды развертываемых или собираемых на орбите крупногабаритных космических конструкций (орбитальные краны, антенны, манипуляторы антропоморфного типа, ферменные конструкции больших развертываемых телескопов или интерферометров, космические тросовые системы). Чувствительность таких систем по отношению к внешним и внутренним возмущениям ставит целый ряд трудных проблем перед конструкторами и разработчиками систем управления. Трудности усугубляются возможностью изменения конфигурации, а также высокими требованиями к точности управления движением системы в целом и отдельными ее элементами или к точности сохранения формы (например, для телескопов или интерферометров). Деформирование может носить существенно нелинейный характер, сопровождаться конечными перемещениями и углами поворотов, и конечными деформациями. Это ведет к проблеме создания сложных математических моделей, опирающихся на геометрически нелинейные соотношения. При этом требования к точности и достоверности таких моделей в большой степени обусловлены тем, что они, как правило, не могут быть проверены экспериментально из-за практической невозможности моделирования космических условий эксплуатации даже для конструктивных фрагментов. Задачи управления гибкими системами также ведут к разработке уточненных методов расчета.

Обращается внимание на практически важный класс нелинейных задач механики, связанный с моделированием статических состояний и колебаний воздушных линий электропередачи. Исследование аварийных и особых режимов их работы требует, например, решения задач об обрывах проводов на линии, анализа состояний при сильных оледенениях, расчета субколебаний проводов при их обтекании ветровым потоком и, наконец, моделирования яйления галопирования - сильного хаотичного движения, которое, как правило, приводит к разрушению участков линий большой протяженности.

Указаны работы, в которых освещаются различные аспекты, связанные с разработкой адекватных моделей деформирования движущихся систем и методов решения соответствующих математических задач. Наибольший вклад в

9

развитие нелинейной механики деформируемых конструкций, в том числе гибких систем, внесли: В.Г. Баженов, Н.В. Баничук, В.В. Белецкий, A.C. Вольмир, А.Г. Горшков, Э.И. Григолюк, В.И. Гуляев, JI.B. Докучаев, Е.М. Левин, А.И. Лурье, В.Н. Паймушин, В.А. Светлицкий, В.И. Усюкин, Ф.Л. Черноусько, К.Ф. Черных, В.И. Шалашилин, Ф.Н. Шклярчук, Л.И. Шкутин, S.N. Atluri, K.-J. Bathe, А.Н. von Flotov, D.H. Hodges, J.C. Simo, L. Vu-Quoc, E.L. Wilson и др.

Отмечается, что нелинейные задачи механики деформируемого твердого тела, можно характеризовать некоторым рядом общих признаков. Во-первых, они формулируются в виде связанной системы нелинейных уравнений статического состояния, либо в виде нелинейных уравнений движения при заданных граничных и начальных условиях, а также дополнительных уравнений связи, например, кинематических. Во-вторых, такие задачи являются, как правило, однопараметрическими, т.е. их решение зависит от одного параметра или аргумента. Таким параметром может бьггь, например, естественный параметр времени. Параметром задачи может быть также параметр нагрузки, характерная температура или некоторый геометрический или конструктивный параметр. Физическая природа нелинейных задач позволяет рассматривать их решения как непрерывно зависящими от этого параметра. В-третьих, для таких задач, как правило, существенен вопрос об изменении решения по мере изменения параметра. Поэтому метод продолжения решения по параметру для них является естественным и в определенной степени универсальным методом исследования, который позволяет линеаризовать исходную нелинейную задачу, т.е. свести ее решение к упорядоченной серии решений линейных задач.

Дается краткий обзор развития методологии продолжения решения по параметру (аргументу), первые применения которой восходят к работам У. Леве-рье (1886 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.). Указаны основополагающие работы М. Лазя (1934, 1948 гг.), Д.В. Даввденко (1953, 1965 гг.), И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой (1965 г.), Е. Рикса (1972, 1979, 1984 гг.), В.И. Шалашилина (19792004 гг.).

Отмечается также, что важной частью диссертационной работы является разработка нового общего подхода к построению неявных алгоритмов пошагового интегрирования начальных задач механики деформируемого твердого тела. Подход основан на аналитическом преобразовании исходной задачи к наилучшему аргументу - параметру длины интегральной кривой в пространстве решений. Это преобразование позволяет сформулировать разнообразные неявные алгоритмы с использованием простых итераций Пикара, реализация

которых, как известно, является простейшей и не требует привлечения каких-либо дополнительных трудоемких численных процедур.

Предлагаемый в диссертации подход носит комплексный характер, нацеленный на разработку не только общей методологии параметризации уравнений теории нелинейного деформирования, но и на получение конечного результата в виде алгоритмов и программ, адекватных процессу деформирования и эффективных с вычислительной точки зрения.

Указываются опубликованные по теме диссертации работы автора. Дано краткое содержание диссертации, поясняется взаимосвязь глав диссертации.

Предложенные в диссертации модели и счетные алгоритмы реализованы в конечно-элементном комплексе ERGO - программной разработке автора диссертации совместно с д.ф.-м.н., проф. В.И. Шалашилиным, к.ф.-м.н., доц. А.Б. Костриченко, к.т.н. H.H. Зуевым. На базе ERGO автором диссертации разработана специализированная версия программы {ErgoLine), адаптированная для моделирования нелинейной нестационарной динамики проводов ЛЭП при их обтекании воздушным потоком. Эта программа внедрена на производственном предприятии ЗАО «Электросетьстройпроект».

Глава 1. Параметризация нелинейных уравнений деформирования

твердого тела

Первая глава носит общий характер и посвящена формулировке проблемы нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по параметру. Рассматриваются статические и динамические задачи, решение которых непрерывно зависит от некоторого параметра или аргумента.

Положения движущейся материальной точки в начальный и текущий моменты времени описываются радиус-векторами х° = x°kik и х = xkit соответственно, где /,, »2, /3 - ортонормированный базис координатной системы Ох,х2х3. Пространственные координаты х,, хг, х} деформированного состояния тела рассматриваются в качестве основных неизвестных.

Вводится положительно определенный тензор Л" = VF" • F , описывающий

изменение расстояния между точками материальной частицы, где F и F* тензор-градиент и сопряженный ему тензор, характеризующие локальное движение точек материальной частицы. В качестве меры деформации принимается тензор деформаций произвольного вида Е" = /(Л") = Е°ь ikit из семейства тензорных функций /(Л*) , соосных Л*.

Физические соотношения записываются в виде: ф{х' ,е" , где ф

представляет собой заданную вектор-функцию или функционал; е° й а Являются векторами, образованными из компонент тензора деформаций Е* и тензора напряжений X соответственно. Считается, что ф удовлетворяет условию, чтобы в любой момент деформирования малые изменения вектора напряжений diт были бы однозначно определены малыми изменениями вектора деформаций ds'.

Уравнение движения материальной частицы рассматриваются в недефор-мированной конфигурации:

VZn+p'(/-*) = 0.

Здесь: V° = í, д/дх°г - набла-оператор, р° - плотность материала в неде-формированной конфигурации, / = fkik - вектор внешней силы, отнесенной к единице массы, x = i¡d1xjdt2 - вектор ускорения. Величина Z„ =F_1-JE представляет собой номинальный тензор напряжений; величина деформационной кратности изменения объема где dv' и dv - объемы

элементарной частицы до и после деформации; тензор F~' является обратным к F.

Задача нелинейного деформирования формулируется как неявная задача Коши по параметру t. Неизвестные координаты точек деформированного тела *, тензоры деформаций Е* и напряжений Е, а также естественный параметр задачи (нагрузки р или времени t) считаются непрерывными функциями I.

Локальная линеаризация уравнений статического равновесия приводит к уравнениям:

гдх'мдх\) PJj

Здесь и далее верхний штрих обозначает производную по параметру I; еук - символ Леви-Чивита.

Для динамической задачи осуществляется переход от * к параметру продолжения I, в результате чего уравнения движения записываются в виде pV = /'(V En+p-/), x' = t'u (и = дг).

Дифференцирование по I физических соотношений приводит к уравнению

Г гч в/

где I), --{дф/да) ' (дф/де} - касательная матрица.

Уравнения продолжения для деформационных соотношений получаются в виде выражений для производных тензоров деформаций по параметру продолжения I через производные пространственных координат хр х2, хг по (.

Показывается, что: для тензора кратностей удлинений Л" =0.5Л" (С)-1 С";

для тензора деформации Грина 8" =0.5 С" ; для тензора деформации Альман-

си (У =0.5(С°)~'-С" (С)-1; для тензора логарифмических деформаций

(1пЛ*), = 0.5(С")"' С. Выражение для производной тензора Коши по £ имеет вид

и является основным при построения позиционных уравнений продолжения для деформационных соотношений.

Задача дополняется начальными и граничными условиями.

В качестве С принимается параметр длины интегральной кривой множества решений в пространстве, объединяющим одномерное евклидово пространство параметра задачи (нагрузки или времени) и гильбертово пространство лагранжевых координат задачи:

Для задачи динамики возможно также введение наилучшего параметра продолжения I в гильбертовом пространстве функций t, х, и с помощью соотношения

Показывается, что такой переход к такому аргументу доставляет системе разрешающих уравнений наилучшую обусловленность процесса построения решения. Обсуждаются методы дискретизации по пространственным координатам и даются аналоги уравнений продолжения в конечномерных случаях.

Глава 2. Конечно-элементная формулировка задачи нелинейного деформирования на основе параметризации

Конечно-элементная формулировка задач о деформировании с использованием нелинейных деформационных и физических соотношений приводит к системам нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, или к системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений по параметру времени. Дальнейшая численная реализация решения таких систем опирается, как правило, на локальную линеаризацию задачи, которая наиболее рационально осуществляется в рамках метода продолжения решения по параметру (нагрузки, времени и т.д.). Поэтому во второй главе дается конечно-элементная формулировка задачи о деформирования твердых тел на основе принципа минимума полной энергии системы с использованием процедуры продолжения решения по параметру. Рассматриваются нелинейные задачи, решение которых непрерывно зависит от одного параметра. Предлагается в качестве нового параметра продолжения решения Л (аргумента задачи) использовать параметр длины интегральной кривой в евклидовом пространстве, образованном начальным (естественным) параметром задачи и неизвестными, принятыми в качестве основных (координаты деформированного состояния, их скорости).

Нелинейные дифференциальные уравнение движения относительно векторов обобщенных координат ? и скоростей V -д записывается в параметризованном виде

£V, П, ] V + 0 -1 ©г/ ¿Р ~ /

< I ) V 5

Здесь: матрицы П, =\гр®т{дв,!дц)(1У , 0=Эи/а?, где вектор в, =5и/5д,, и - вектор перемещений; величина М = представляет собой мат-

рицу масс, где р - объемная плотность тела; б = |к Вта<1У -вектор-столбец

обобщенных сил, где а - вектор, составленный из компонент тензора напряжений, В - дР/дц , нелинейная вектор-функция Р определяется геометрическими соотношениями с учетом выбранных функций формы; / и р - векторы объемной и поверхностной нагрузок, трактуемые как обобщенные функции координат.

М— + (1Л

<к п <1щ Л Л — = 0, —-V —= 0. йЛ йЛ аЛ

Связь между дифференциалами параметра времени Л и параметра продолжения ¿Я устанавливается формулой ¿Л2 = А2 + йщйч +

реализующей процесс построения решения вдоль интегральной кривой в евклидовом пространстве®.2'"1 .

Использование наилучшей параметризации в динамических задачах позволяет использовать при численном интегрировании специальные неявные алгоритмы, обладающие существенными преимуществами по сравнению с традиционными неявными схемами численного интегрирования. Это обосно-выадется в третьей главе диссертации.

Для статической задачи параметризованные уравнения равновесия записываются в виде

Здесь: t - параметр нагрузки, К1 - К + Ка - касательная матрица, структурные компоненты которой представляют собой, соответственно, матрицу больших перемещений К = ^ВТВ<1У и матрицу геометрической жесткости

Ка с элементами каМ = £ [8Ви1дЧ1) •

Задача дополняется начальными и граничными условиями.

Дополнительным соотношением, определяющим параметр Я и обеспечивающим наилучшую обусловленность перехода к нормальной форме Коши, является соотношение

'-О--

Конечно-элементное моделирование нелинейных задач связано с построением сетки конечных элементов, которые могут подвергаться большим перемещениям и произвольно большим поворотам. Подчеркивается, что эта задача еще далека от полного решения. Причина кроется в неадекватности представления деформационными соотношениями больших перемещений элементов как жесткого целого. В связи с этим, во второй главе диссертации да-

ется также сравнительный анализ трех вариантов геометрически нелинейных соотношений - точных, полных и неполных квадратичных соотношений, используемым при построении конечно-элементных моделей.

Показывается, что использование приближенных вариантов геометрических соотношений может вносить в расчет значительную погрешность. На простых примерах сделаны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений, даны сравнительные примеры и рассмотрена конечноэлементная формулировка частной задачи о геометрически нелинейном деформировании консольной балки с использованием процедуры наилучшей параметризации:

1. Определены величины погрешностей, получаемых при использовании различных вариантов ГНС в случае поворота на угол <р в плоскости х,у линейного элемента длиной с!х , испытывающего только линейную деформацию Е0 =(<£*, -сЬс)/<Ь]

2. Получены аналогичные оценки погрешности деформации сдвига. Для этого случая рассмотрен прямоугольный элемент с размерами ёх, ¿¡у, получивший начальную деформацию чистого сдвига у0 и поворот <р;

3. На основе конечно-элементного подхода определены деформации элемента в форме треугольника, находящегося в плоском напряженном состоянии;

4. Рассмотрен изгиб полосы, конечноэлементная модель которой включала 80 треугольных элементов, 55 узлов. Дано сравнение с результатами, полученными с использованием коммерческого конечноэлементного комплекса

га-клвтат

На основе проведенных исследований сформулированы выводы:

1. В конечно-элементных расчетах деформирования гибких элементов конструкций необходимо учитывать перемещения элементов как жестких тел, причем эти перемещения (поступательные и вращательные) невозможно учесть за счет выбора функций формы, так как они определяются зависимостями «перемещения-деформации».

2. Использование приближенных вариантов геометрически нелинейной теории может вносить в расчет значительную погрешность и сопровождаться такими явлениями, как появление «искусственных» точек бифуркации и расходимостью решения, причем это обусловлено не особенностью алгоритма поиска решения, а является методической погрешностью (погрешностью, заложенной в теорию);

3. При малых деформациях оба квадратичных варианта дают одинаковые результаты, однако при больших деформациях неполный квадратичный вариант позволяет получать результаты, адекватные процессу деформирования с некоторой ошибкой, в то время как полный квадратичный вариант работает только до определенного предела.

В заключительном параграфе второй главы дается простой и удобный в реализации способ выделения из тензора деформации компоненты, определяющей движение конечного элемента как твердого тела. Этот способ заключается в том, что с каждым конечным элементом ассоциируется (связывается) локальная координатная система, которая двигается совместно с элементом. В этом случае описание локальных перемещений точек элемента, характеризующих деформацию элемента, можно делать с использованием простых деформационных соотношений. Однако пространственное движение локальной системы, определяющее перемещения и повороты элемента как жесткого тела, описывается строго. Поэтому, вопрос о корректности использования различных форм нелинейных деформационных соотношений в рамках локальных систем теряет свою принципиальность.

При построении дифференциальных характеристик элементов большое значение имеет выбор обобщенных координат, описывающих произвольные повороты локальных координатных систем. В качестве таких обобщенных координат в работе предлагается использовать компоненты векторов конечных поворотов или однозначно связанных с ними параметры Родрига-Гамильтона. Это позволяет избежать вырождения кинематических соотношений, описывающих геометрию больших поворотов, а также дать компактное и симметричное описание поворотов без использования громоздких выражений, содержащих направляющие косинусы локальных координатных систем. Здесь указаны фундаментальные работы А.И. Лурье и Л.В. Докучаева.

Глава 3. Неявные алгоритмы интегрирования задачи Коши для параметризованных уравнений нелинейной динамики гибких систем

Задачи статического нелинейного деформирования твердых тел обычно сводятся к построению непрерывного и дифференцируемого однопараметри-ческого множества решения по параметру. Поэтому для них естественно применение метода продолжения решения по параметру. Здесь при использовании наилучшей параметризации наблюдается увеличение эффективности численных методов, которая проявляется через понижение погрешности вычислений, либо в виде уменьшения вычислительных затрат. Отмечается важность оценки

17

локальной ошибки интегрирования для коррекции величины шага интегрирования, поскольку такие оценки позволяют, с одной стороны, обеспечить длину шага достаточно малую для достижения требуемой точности вычислений, с другой стороны, гарантировать достаточно большую длину шага во избежание бесполезных вычислений.

Задачи динамики деформируемых конструкций относятся, в общем случае, к классу жестких задач для которых явные методы либо не работают, либо их работа неэффективна. Для устойчивой их реализации на алгоритмы накладываются непомерные ограничения на шаг интегрирования, а в неявных методах ограничения на шаг определяются, как правило, только лишь условиями аппроксимации. Однако для явных методов возможно использовать специальные (регуляризирующие, стабилизирующие) процедуры, которые могут существенно повысить эффективность расчетов. В этой связи отмечаются работы В.Г. Баженова и В.И. Лебедева.

Основным недостатком традиционных неявных методов, опирающихся на итерационный алгоритм Ньютона, является большой объем вычислений, связанной с формированием матриц Якоби и решением систем линейных уравнений. Эти вычисления трудоемки и требуют для исследовательских и практических задач значительных машинных ресурсов (быстродействия, оперативной и дисковой памяти). Причем эти требования нелинейно возрастают с ростом размерности задачи.

В третьей главе показано, что при численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих динамические процессы в конструкциях и средах, возможно построение простых и экономичных неявных вычислительных алгоритмов пошагового интегрирования без организации трудоемких итерационных процедур, основанных на процессах по типу итераций Ньютона. Предварительно исходная задача должна быть преобразована к новому аргументу - длине ее интегральной кривой. На примере метода линейного ускорения, который является основой известных методов Ньюмарка и Вилсона, показана процедура построения неявного алгоритма с использованием простых итераций для численного решения преобразованной задачи Коши. Сформулированы и доказаны теоремы о вычислительных свойствах итерационного процесса. Даны явные оценки шага интегрирования, обеспечивающие сходимость простых итераций.

Рассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, разрешенная относительно старшей производной

и=/(/,и,и), и(/0) = и0, й(10)^0. (3.1)

Здесь и (() - неизвестная вектор-функция, описывающая перемещение точки в и -мерном евклидовом пространстве, вектор-функция / = /((, и,у), действующая как оператор /: К2"*1 -» К", представляет собой ускорение точки в пространстве Я", зависящее от времени /еИ, перемещения и скорости V = и . Будем полагать, что функция / е(£2(£>), где й с Л2"*' - некоторая

область в евклидовом пространстве К2""'.

В области £> вводится вещественная гладкая функция Я = Я(у) = Я(и, V, г) (£>) и производится замена независимой переменной I на параметр Я. При этом важное значение имеет дифференциальная характеристика J функции Я - ее полная производная по времени вдоль интегральной кривой: J{y)~J{u,v,t) = Я[>»(0] • Переход к параметру Я позволяет преобразовать систему дифференциальных уравнений (3.1) к автономной системе первого порядка в фазовом пространстве^2"*'

/ = ^00, У(*ъ) = Уо> Р = Г*{?,Г,\)Те<Сф). (3.2)

Штрих означает полную производную по параметру Я.

Показано, что оптимальное улучшение (т.е. наилучшая параметризация) достигается в случае, когда в качестве Я выбирается длина интегральной кривой в евклидовом пространстве Л.2"*1 • Этому соответствует следующее уравнение в дифференциальной форме:

йЯг = Л2 + йи ¿и + ¿V йг (3.3)

или уравнение для нормирующего множителя

лу> = ф + ™ + ■ (3.4)

Очевидно, что = ?.

Из формул (3.2)-(3.4) следует, что при наилучшей параметризации выполняется важное свойство для нормы правой части уравнения (3.2): в области £> норма правой части равна единице. Переход к аргументу Я обеспечивает также наилучшую обусловленность линеаризованных систем уравнений, получающихся при реализации пошаговых процедур численного построения интегральной кривой задачи (3.1) методом продолжения решения по параметру, и в этом смысле переход к аргументу Я назван наилучшей параметризацией, а аргумент Я - наилучшим.

Дается обобщение метода линейного ускорения на систему уравнений (3.2), параметризованную наилучшим образом. Для этого из вектора у выделяется вектор дг по правилу: у = {и, х)т, где х-(у, е]^"*1. Соответственно этому правая часть уравнения (3.2) представляется в виде Т7 = 7"' {у, ¿)т, где £ = (/, 1)Г.

Область изменения параметра интегрирования Л разбивается на интервалы точками ЛХ)<Л1< ...< Лп < ... Переменная х приближается (в параметризованном виде) на каждом интервале Л е {Лп, ) линейной функцией

хХЛ) = х'п+^г(х1,-х'„); т = Л-Лк, гап=л^~л„. (3.5)

На основе (3.5) и соотношения и' = У'у выводится следующая неявная численная схема для определения величин ия+, = и (Ля+1) и дся+| = х(Лп^ ): АЛ .

г (3.6)

(3-7)

где = =(/„> =Ул'/я; начальные значения и0 и х0 счита-

ются известными.

Полученная численная схема (3.6), (3.7) - неявная относительно неизвестной =(ип+], дгп+| )Г , поэтому на каждом шаге требуется решать систему из 2л +1 нелинейных уравнений. Это решение трактуется с позиции теории гладких отображений евклидова пространства Т&.2"+1.

Схема (3.6), (3.7) записывается в виде

у = Ф (у), Ф(у) = 9аф + 4%) • (3.8)

Решением задачи (3.8) является неизвестная уяН, а промежуточное значение уп^2 и функция Ч'(.у) определяются по данным предыдущего шага формулами

Уя>|/2 ~

АЛ, г_, (АЛ ) гЧ ~

и +—+ " У;'/.

л 2 п л ^ я + я АЛ, „

ё(у)

Ня (у)=- {[ЗУ- (у)+Л"' ] /00+5Г1 (у)Л} •

Тогда решение нелинейного уравнения (3.8) эквивалентно поиску неподвижных точек отображения

У = Ф(У), ФеС2ф), (3.9)

действующего в пространстве &1,1+1.

Доказывается лемма: для системы (3.2), (3.3), параметризованной наилучшим образом, отображение (3.9) действует в би-шаре Вг А(уп^2) с центром

в точке у„уг =(илф, хаф)Т, где

Вг.л(У*+у2) = = («. Х)Т • 1" -ил11/2| * Л, | х-хя^г\<, г) ,

г = г(АЛй) = ~*-, А = А{уп, ДА„) = ^

На основе этой леммы формулируются и доказываются две теоремы о сжимаемости отображения (3.9) и о явной оценке шага интегрирования АЛЯ вдоль интегральной кривой решения, обеспечивающим сходимость итераций.

Теорема 1. Всегда найдется такое значение величины ДА,, что решение нелинейного уравнения (3.8) существует, единственно и может быть построено при помощи итерационного процесса ук*х = Ф(ук), у0 = уп^г, как предел

= >- = Нт/, к —> <х>.

Теорема 2. Решение нелинейного уравнения (3.8) существует и единственно при условии АЛЯ < 2 и может быть построено при помощи итерационного процесса:

ж1*1 = фк = *»), = * = Нт-х**' = , х"=х. + \

(АЯ.)г

2

-т 2 * «

6

-У/ -

н /я '

Эффективность предложенной методологии продемонстрирована на численном решении трех тестовых задач. Для них дан сравнительный анализ численных решений, полученных с использованием и без использования параметризации исходных задач.

Глава 4. Конечно-элементная реализация частных задач о нелинейном деформировании упругих тел с использованием наилучшей параметризации

В четвертой главе дается конечно-элементная формулировка и решение частных задач о нелинейном деформировании упругих тел. Первая часть главы посвящена деформированию стержневых систем. Вторая носит методический характер и демонстрирует применение параметризации к решению плоской задачи теории упругости.

В первом параграфе главы дается математическое описание нелинейного деформирования стержневых систем в трехмерной и двумерной постановках. Основные деформационные соотношения для стержней получены из общих соотношений нелинейной теории упругости с использованием асимптотического подхода. Полученные деформационные соотношения связывают между собой продольные и сдвиговые факторы, включая поперечные сдвиги и кручение. Функции формы выводятся из решения однородной краевой задачи в переменных локальных координатных систем. Это позволяет корректно включить в конструкцию функций форм аналитические особенности решения с учетом сдвига по двум направления в сечении стержня (ссылки на работы Ф.Н. Шклярчука).

Сечение 1 Каждый элемент связывается с ло-

кальной (элементной) системой координат Оху, совершающей движение совместно с конечным элементом относи-2Г Сечение 0 тельно глобальной (инерциальной) сис-

Рис. 4.1. Способ связи конечного темы координат. Такую связь можно элемента с локальной системой осуществлять различным образом. В координат Охуг работе предлагается «привязывать» ло-

кальную систему к элементу таким образом, чтобы ось Ох проходила через полюсы, принадлежащие краевым сечениям элемента (рис. 4.1). В этом случае, во-первых, достигается наибольшая точность описания перемещений и поворотов стержневого элемента как твердого тела; во-вторых, модель становится

инвариантной относительно перенумерации узлов системы; в третьих, формулы, аппроксимирующие локальные перемещения точек упругой оси элемента, приобретают симметричный и компактный вид. При построении модели перемещения, углы поворотов, поступательные и вращательные скорости элементных осей, совершающих движение относительно глобальной системы координат, учитываются строго. Выражения локальных углов поворотов концевых сечений стержневого элемента относительно системы Оху получаются с использованием теоремы о вычитании конечных поворотов, один из которых представляет собой поворот концевого сечения, другой - поворот локальной координатной системы относительно глобальной системы координат.

■При математической формулировке учитываются также геометрические нелинейности упругого деформирования элементов, соответствующие конечным деформациям и нелинейности инерционных сил, обусловленные вращением, а также изменением геометрии системы вследствие предписанных относительных перемещений, поворотов и деформаций.

Выражения для деформаций удлинений и сдвиговых деформаций получены в квадратичном приближении с использованием локальных переменных. В случае малых деформаций и средних деформаций сдвигов используется смешанный вариант кинематических соотношений (ссылка на работу В.Н. Пай-мушина, В.И. Шалашилина), когда деформации удлинений вычисляются, следуя Доннеллу, по формулам

'д\ дV

дх 2

+ дхг

а сдвиговые деформации, следуя Новожилову, - по формулам

ди ду ди ди дуду дю дн> вШУ » £•„, =-+-+---И--+--, ...

* ""дудхдхдудхдудхду Для анализа достоверности модели, а также эффективности счетных алгоритмов во втором параграфе главы дается ряд примеров о сильном статическом деформировании гибких стержневых систем. Рассмотрены задачи об эластиках Эйлера при нагружении консольного стержня силой, сохраняющей свою величину и вертикальное направление в процессе изгиба, а также при действии следящей силы. Рассмотрены также задачи о деформировании консольного стержня сосредоточенными моментами, изгибающими стержень в кольцо или «восьмерки». Для этих задач были сделаны сопоставления с аналитическими решениями, показавшими высокую вычислительную точность и быстродействие построенных алгоритмов. Эффективность методологии про-

демонстрирована также на решении задач об упирании консольной балки в упругую стенку и о сильном деформировании стержневых конструкций при действии на них различных нагрузок.

В третьем параграфе представлены методология и численные решения задачи об изгибе стержней, выполненных из нелинейно-упругого материала.

Четвертый параграф главы посвящен моделированию нестационарной динамики гибких систем. Рассмотрены задачи, для которых сопоставляются численные решения, полученные с использованием и без использования процедуры параметризации. Показывается эффективность неявной схемы интегрирования (3.6), (3.7) для параметризованных уравнений по сравнению с интегрированием исходных (непараметризованных) уравнений по неявной схеме метода линейного ускорения.

Решение динамических задач осуществлялось с автоматическим управлением длиной шага интегрирования вдоль интегральной кривой решения: шаг выбирался из условия, чтобы локальная погрешность интегрирования, вычисленная с использованием экстраполяции Ричардсона, не превышала предписанной величины. Для сравнения с известными способами решения рассмотренные задачи были проинтегрированы по неявной схеме линейного ускорения без процедуры параметризации, но с использованием итерационного метода Ньютона, а также его модифицированного варианта. Такое решение было также проведено с управлением длиной шага интегрирования вдоль оси параметра времени по оценке локальной ошибки интегрирования (в противном случае время интегрирования оказывалось чрезмерно большим). При этом матрица Якоби вычислялась численно, а соответствующая система алгебраических уравнений разрешалась по методу Холецкого. В модифицированном методе Ньютона вычисление матрицы Якоби и решение системы алгебраических уравнений осуществлялось через каждые 10 шагов по параметру времени. В случае расходимости итераций или превышения их числа некоторого предельного значения (принятого равным 20), шаг интегрирования уменьшался вдвое и вычисления повторялись от предыдущего момента времени.

В главе рассмотрены три задачи о расчете нелинейной нестационарной динамики гибких стержневых систем.

В первой задаче моделируется нелинейное динамическое поведение упругого гибкого стержня, консольно закрепленного на одном конце. В начальном состоянии стержень свернут в кольцо изгибающим моментом, приложенным на свободном от закрепления конце и равным 2жEJ|L, где Е/ - изгибная жесткость, Ь - длина стержня. В момент времени ( = 0 действие момента

24

прекращается и начинается процесс динамического движения (развертывания) под действием упругих и инерционных сил.

Задача решалась в конечно-элементной постановке с использованием наилучшей параметризации. Силы гравитации и демпфирование колебаний не учитывались. Для упрощения вычислений распределенные массовые характеристики стержня (масса, моменты инерции) и нагрузка приводились к узлам конечно-элементной модели. Обобщенными координатами являются абсолютные координаты узлов и углы поворотов поперечных сечений стержня, ассоциированных с этими узлами, относительно глобальной системы координат.

Для расчетов принимались следующие значения параметров задачи: ¿ = 10 м, ЕР = 2.88-107 # , £У = 960 Н м2, СГс =1.108-Ю7 Я, массовая плотность р = 2800 кг/мг . Стержень был разбит на 100 элементов равной длины.

Некоторые результаты расчетов приведены на рис. 4.2-4.3. На первом из них показаны различные конфигурации стержня, соответствующие движению

У,м

У„М

-в -в -4 -2 О 2 4 ( в 10 х,м Рис. 4.2. Конфигурации стержня Рис. 4.3. Изменение узловых координат в различные моменты времени в Ук с течением времени

интервале ,

в интервале 0 < / < 3 с и упорядоченйые по времени с шагом около 0.1 с. Кривая 0 на рис. 4.2 - окружность, соответствующая начальной (статической) конфигурации стержня. На рис. 4.3 представлены зависимости узловых координат Ук как функции времени *. Кривые построены для ряда узлов с номерами, показанными справа. Узлы были последовательно пронумерованы от 1 до 101, начиная от заделки стержня до его свободного конца.

При заданных параметрах точности вычислений среднее число итераций оказалось равным трем.

Интегрирование уравнений движения по методу линейного ускорения с использованием простых итераций, но без процедуры параметризации оказалось практически невозможным: итерационный процесс расходился в начале интегрирования при всех разумных значениях шага интегрирования. Интегрирование непараметризованных уравнений по методу линейного ускорения с использованием итераций Ньютона, позволило решить задачу. Однако вычисления оказались менее эффективными по сравнению с методом простых итераций в параметризованном случае из-за сложности используемого алгоритма, связанного с вычислением матриц Якоби и решением линейных систем алгебраических уравнений. Время интегрирования непараметризованной задачи с использованием итераций Ньютона оказалось примерно в 1.8 раза больше времени интегрирования параметризованных уравнений с использованием простых итераций, причем эта разница имеет тенденцию к значительному увеличению с ростом размерности задачи (числа конечных элементов). Интегрирование задачи с использованием модифицированного метода Ньютона также не дало выигрыша: потребовалось примерно в 1.6 раза больше времени по сравнению с интегрированием параметризованных уравнений.

Вторая и третья задачи четвертой главы посвящены моделированию нестационарных процессов развертывания систем, состоящей из гибких стержней, соединенных шарнирами. Ниже приводится фрагмент решения задачи, связанной с расчетом динамики раскрытия вращающейся системы, состоящей из шести гибких стержней и одного жесткого (несущего) стержня.

Рассматривается упругая система из 7 последовательно соединенных шарнирами

Рис. 4.4. Схема раскрытия стержней, которая изменяет свою конфигура-стержневой конструкции

цию в результате предписанного изменения углов между соседними стержнями. Вид системы показан на рис. 4.4. Стержень 1, имитирующий некоторое несущее тело, считается абсолютно жестким. Длины гибких стержней равны: Ц-5 м, Ь2 = ¿7 =1 м, =£, =£5 =/-6=2 м.

Поперечные сечения стержней имеют одинаковые геометрические и жес-костные характеристики: площадь поперечного сечения Р = 10"4 мг; геомет-

рический момент инерции сечения ./ - 8.3333 ■ Ю"10 м*; жесткость на растяжение-сжатие ЕР =1.2 106 Н, изгибная жесткость Ш = 60 Н м2\ сдвиговая жесткость GF = 2.7692-106 Н . Считается также, что стержни выполнены из одного материала с массовой плотностью р = 2800 кг/м*.

В начальном состоянии (до раскрытия) система имеет Т-образный вид, показанный на рис. 4.5 как начальная конфигурация 1. В этом состоянии гибкие стержни располагаются перпендикулярно жесткому стержню и параллельно глобальной оси ОХ. В начальном состоянии углы раскрытия <з,(0) = тг/2, /р2(0) = <р3(0) = <р4(0) = <р5(0) = <р6(0) = 0. Принимается, что до раскрытия система свободно вращается относительно начала координат ОХУ с постоянной угловой скоростью со = п\Ъ рад/с . Началу интегрирования системы отвечает начало раскрытия системы. Г,м 5

4 -у» лу ¿атг -1

8- 7 -Мчу г 1 _ / I /л / Г // /

10 /чО \ и Г Л. /1 111 11 г ' >/ у—* 1; | 13

-10 -5 о Х,м 0 5 Ю 15 20

Рис. 4.5. Конфигурации стержня в Рис. 4.6. Изменение узловых координат

Ук от времени

ДА, с

различные моменты времени в интервале 0 < / < 7 с

N

0.03

0.02

0.01

О 5 10 15 20 /> с

Рис. 4.7. Изменение шага интегрирования с течением времени

0 5 10 15 20 /> с

Рис. 4.8. Изменение числа простых итераций с течением времени

X

•........НЬп

В процессе раскрытия углы ср1 (/), / = !,..., 6, начинают монотонно увеличиваться, следую предписанному закону раскрытия во времени I:

при 0 5/<10 = (1 + //10) • я/2, <рг = = я, = -ф5 = <рь = -Я-//10 ; при />10, <РХ=-Фг=<ь=-<РА=<РЬ=—<РЬ=Я.

Задача решалась в конечно-элементной постановке. Силы гравитации и демпфирование колебаний в расчетах не учитывались.

Для упрощения вычислений распределенные массовые характеристики стержня (масса, моменты инерции) и нагрузка приводились к узлам конечно-элементной модели.

Конфигурации конструкции в различные моменты времени с шагом 0.5 с от 0 до 7 с движения изображены на рис. 4.5. На рис. 4.6 показаны координаты Ук как функции времени / для выбранного ряда значений номера узлов к, отмеченных на рисунке рядом цифр: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45. На рис. 4.7 показаны значения шага интегрирования вдоль интегральной кривой решения. Средний шаг интегрирования оказался равным примерно 0.01. Количества итераций, необходимых для получения решения на каждом шаге интегрирования, даны на рис. 4.8. Среднее число итераций - примерно 5~6 на шаг интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений движения.

Интегрирование уравнений движения по предложенному алгоритму, но без использования процедуры параметризации оказалось практически невозможным: итерационный процесс расходился в начале интегрирЪвания при всех значениях шага, приемлемых для успешного завершения расчета.

Интегрирование непараметризованных уравнений с использованием итерационного метода Ньютона или его модифицированного варианта позволило получить решение. Но это оказалось менее эффективным по сравнению с процедурой интегрирования параметризованных уравнений с использованием простых итераций. В этом случае временные затраты оказались примерно в 2 раза больше. При этом разница временных затрат увеличивается с ростом размерности задачи.

Предложенная методология конечно-элементного моделирования с использованием наилучшей параметризации обладает достаточной общностью и может применяться для описания нелинейного деформирования твердых тел произвольной геометрии с использованием объемных, оболрчечных и стержневых конечных элементов. Вопрос связи локальных координатных систем с конечными элементами не принципиальный и решается в каждом случае отдельно, руководствуясь удобством записи основных соотношений и компакт-

ностью алгоритмов. В связи с этим, в пятом параграфе четвертой главы дается применение методологии к решению плоской задачи теории упругости в геометрически нелинейной постановке.

В качестве плоского конечного элемента рассмотрен треугольный элемент с узлами в трех вершинах. Для него построены дифференциальные характеристики (вектор обобщенных сил, касательная матрица жесткости), необходимые для реализации процедуры продолжения решения по параметру.

В качестве примера рассмотрена статическая задача о сильном нелинейном изгибе плоской балки, консольно закрепленной на одном конце и нагруженной моментом на другом, свободном от закрепления. Момент моделировался парой следящих сил, приложенных к угловым точкам балки. При этом для сохранения плеча между нагружаемыми узлами был введен жесткий стержень. В качестве приближения к строгому решению использовалось балочное решение, которое при выбранных параметрах дает поворот нагружаемого сечения 2л радиан. В качестве генератора конечно-элементной сетки из плоских треугольных элементов использовался 81ЖС-РЕМАР. Расчетная модель содержала 3208 плоских треугольных элементов, 1709 узлов. Число степеней свободы 3400. Вычисления показали, что значение угла поворота нагружаемого сечения отличается от балочного решения на 0.55%. Время расчетов составило около 3 с на персональном компьютере Репйшп-4 средней мощности.

Содержание шестого параграфа четвертой главы носит методический характер. Здесь показывается применение методологии наилучшей параметризации к решению статических задач о деформирования твердых тел из нелинейно-упругого материала. Перемещения точек тела считаются по величине в определенной степени произвольными, деформации - малыми, но с учетом нелинейности физических зависимостей (диаграмм) между напряжениями и соответствующими деформациями. Процесс деформирования рассматривается как равновесный и обратимый. Как известно, такой процесс имеет место для идеально упругого тела, когда разгрузка происходит вдоль кривой нагрузки, но в обратном направлении. В этом случае состояние тела вполне определяется семью независимыми параметрами состояния, за которые можно принять, например, компоненты деформации и температуру. Связь между напряжениями и деформациями устанавливается в форме уравнений Генки. Дифференциальные характеристики для конечных элементов получены в терминах интенсив-ностей напряжений и деформаций. В конце параграфа дается пример о геометрически нелинейном деформировании нелинейно-упругой плоской балки (полосы) в рамках плоской теории упругости.

Глава 5. Решение задач нелинейной механики абсолютно гибких стержней с использованием параметризации уравнений

Понятие абсолютно гибкого стержня имеет широкое применение в различных областях техники: к абсолютно гибким стержням в прикладной механике принято относить провода воздушных линий электропередачи, кабели оптоволоконной связи, шланги для перекачки жидкости, транспортировочные ленты, космические тросовые системы и т.п. Задачи, связанные с моделированием движения таких гибких систем, являются, в подавляющем большинстве, нелинейными.

В пятой главе рассматривается применение наилучшей параметризации к решению двух задач, имеющих практическое значение.

Первый параграф пятой главы посвящен моделированию нелинейной динамики развертывания космической тросовой системы на околоземной орбите. Здесь дан краткий обзор космических экспериментов, выполненных с тросовыми системами, а также основных технических приемов, позволяющих осуществить процесс развертывания тросов. Обсуждаются известные подходы и актуальные проблемы, связанные с математическим моделированием движения таких систем. На основе метода конечных элементов предлагается простая и эффективная в вычислительном плане модель космического аппарата с выпускаемым тросом (ссылка на совместную работу с Ф.Н. Шхлярчуком и Т.В. ГришанИной). Представлены возможные варианты выпуска троса, обеспечивающие устойчивость движения. В результате численных экспериментов показано, что переход от параметра времени к длине интегральной кривой решения в евклидовом пространстве, образованном параметром времени и основными неизвестными задачи и их скоростями, позволяет значительно повысить эффективность построения численного решения (существенно уменьшить расчетное время и объем оперативной информации) по сравнению с решением задачи без параметризации уравнений. Счетное быстродействие дает возможность многократно повторять расчеты для поиска приемлемых решений в допустимых пределах по времени, что является важным при проведении оптимизационных расчетов.

Рассматривается динамика пространственного движения космического аппарата с выпускаемым тросом в центральном гравитационном поле. Космический аппарат считается абсолютно жестким. С ним связывается подвижная система координат Ох1хгх} с началом в произвольной точке (рис. 5.1). Трос,

который выпускается в некоторой точке (*', х\, х'г) по заданному закону, счи-

тается растяжимым и абсолютно гибким. В расчетной модели трос разбивается на участки (конечные элементы) с длинами /, (/ = 1,2,...,и), а его распределенная масса заменяется системой сосредоточенных в узлах масс т1 (/= 1,2,...,я + 1).

Положение подвижной системы координат Ох1х2х1 относительно инерци-

альной системы ОХ1Х2Х1 характеризуется

\Т

радиус-вектором т

*о(0 = [Xm{t), Xn(t), Xm(t)) и вектором 0(t) = (0,(O,02(O,03(O) , компоненты которого, соответственно, являются углами крена, рыскания и тангажа.

Векторы скорости поступательного (в точке О) и вращательного движений системы Ох,х2х3 относительно системы ОХ,Х2Х} обозначаются черел

voW = (v0.1(0,v0,2(0,v0j(0)r и ®(0 = Ц(0, ю2(0, <а3(0)Г, где v0Jr(t), o)t(t) -

проекции этих векторов на локальные оси.

, 2 Используя матрицу направ-

ляющих косинусов А между неподвижной и подвижной системами координат и матрицу

Рис. 5.1. Конечно-элементная модель выпускаемого троса

А =

(1 sin вг О 4

0 COS 0, COS в, sin 0, 0 - sin 0, COS въ COS вх J

v0 = A*0, со = Ав.

устанавливаются кинематические соотношения между векторами v0

и Rg, <о и в в виде:

(5.1)

Векторы абсолютного ускорения любой точки недеформируемого тела космического аппарата а и /-й массы троса а1 в проекциях на оси подвижной системы координат записываются в виде:

а = а0 + аг + а>а>г, а0=у0 + ау0; а1=а + 2аг1+г1, (5.2)

где гиг- радиус-векторы произвольной точки несущего тела и 1-й массы троса относительно подвижной системы Охгх2х}. Здесь и далее верхним значком обозначается кососимметричная матрица, образованная из компонент соответствующего вектора (в данном случае ш).

Вектор сил тяготения в любой точке космичебкогЪ аппарата в центральном гравитационном поле при условии |г|Дйо|«1 определяется формулами:

"=Л ¡*1 ■ <5-3) где - ускорение свободного падения в точке О; Ма - масса планеты; у - универсальная постоянная тяготения; V - единичный вектор, направленный вдоль Я0 и записанный в проекциях на оси подвижной системы координат.

Векторы сил тяготения в узлах троса вычисляются как

8. = ~8о ПлИМ" ^+ ',]' Л-=Я0+ • (5.4)

I 1

На основе формул (5.3), (5.4) определяются векторы равнодействующих гравитационных сил Рг и моментов М^ , действующих на космическую систему:

где

¿V— 1*1

- векторы сил и моментов центрального гравитационного поля, действующие на космический аппарат без троса, масса которого, а также вектор моментов инерции и матрица инерции равны т° = Г dm, I? = \ г Ля и /° = - Г гг йт .

*У% •''в "о

Потенциальная энергия растяжения троса

иЛуШк, (5.5)

ЕЕ,' У '

где N¡=EF¡(íi -/¡)Д - растягивающее усилие на 1-ом участке, ЕЕ1 и

I = ^(г, -гм)г - жесткость на растяжение и деформированная длина 1-го участка.

№ (5.5) следует, что вектор упругих сил

р Ж- пД/г , >

дг1 '/-1 I,

При учете внутреннего демпфирования троса по модели Фойгхта растягивающие усилия определяются по формуле = £7^ 7, - /, , где

т], - коэффициент вязкого демпфирования /-го участка троса.

Уравнения движения системы следуют из принципа возможных перемещений:

\

(о = Р.+ Р$ >

maQ -Leb + ^mfi - cóL + l^mfi 1=1 V i-i

~ я f я

¿a0 + /¿>+ £»i,/;r;+ ¿>/-2

\

a> = Mg+Ms, (5.6)

m,ao -mlrié + mlrl-ml(ñrl+2rl)a> = mg, + P¡- PNJ (i = 1,2,..., и). Здесь:

я я я 1 1

m = m' + Ydmi, L = L0+Yimlrí, I = Ioftr,; i-i /«i i-i

- масса, вектор моментов масс и матрица инерции космического аппарата с деформируемым тросом в рассматриваемый момент времени

Ps^lpdS + ^P,, Ms = j rpdS + ^r¡Pi

a» <=« Жц

- векторы равнодействующих поверхностных сил и моментов;

P¡ (/ = 1,2,..., и) - векторы поверхностных сил, приведенных к узлам троса.

Уравнения (5.6) с учетом формул (5.2) преобразуются к виду m°(v0 +¿óv0)-L°eo- á>L°cu = Р° + Р° + Рт,

Z°(v0 + ая>й) + í°á> + cbfw = М\ + М\ + ГРТ, (5.7)

m, [v0 + а»0 - г.ю + г; - <w( r¡t¡o - 2г,)] = m,g, + P,-PNJ О' = 1,2,...«),

где

= Af^JrjpdS, PT=^L(rn-r). (5.8)

% '«

Уравнения (5.7) соответствуют случаю, когда трос мысленно отделяется от несущего тела на л-ом участке и его действие на аппарат заменяется вектором реакций Рт.

Уравнения (5.7) объединяются с кинематическими дифференциальными соотношениями (5.1) в виде

Д,=Лгу0> 0 = А-'е>. (5.9)

В результате получается замкнутая система уравнений для определения всех 3(4+л) компонентов векторов Л^,, в, У0, а>, г( (г = 1,...,и) . Эта система

нелинейных дифференциальных уравнений при заданных внешних нагрузках и заданных начальных условиях, интегрируется численно.

Усилия в тросе Ы, не могут быть сжимающими. Поэтому, если при движении троса на каком-либо его участке Л/, < 0, то при интегрировании уравнений необходимо в данные моменты времени считать N¡=0; это означает, что трос на этом участке складывается.

В случае выпускаемого троса в момент выхода /я+1 очередной массы тяН к уравнениям (5.7) добавляется уравнение при г" = п +1 для гя+| с начальными условиями гп+1(/л+1 ) = /•', = , где Г =(гя -г')/\ г„ -г' | -

единичный вектор, указывающий направление выхода троса.

Расширенная система уравнений (5.7)-(5.9) интегрируется до выхода следующей массы и так далее.

Полученные здесь уравнения движения для космического аппарата с гибким тросом с определенными упрощениями могут быть использованы для шлангов заправки топливом самолетов в воздухе, для провисающих проводов, буксировочных тросов и пр.

В диссертации даны три примера расчетов динамического поведения тросовых систем в различных условиях эксплуатации.

Первый пример является тестовым для анализа достоверности математической модели и компьютерных программ: рассматривается консервативная задача о маятниковом движении длинного весомого троса в однородном гравитационном поле. Трос одним концом прикреплен к неподвижной опоре. На другом конце троса закреплена точечная масса. Распределенная масса троса заменялась системой сосредоточенных масс, равномерно распределенных по узлам конечных элементов. До начала движения трос занимал горизонтальное прямолинейное положение. В момент начала движения позиционные связи, осуществляющие начальную конфигурацию троса, освобождаются и трос, под действием силы притяжения, начинает колебательное движение. Задача не является жесткой, поэтому в расчетах использовался явный метод Рунге-Кутгы-

Вернера пятого и шестого порядков с автоматическим выбором шага интегрирования по оценке локальной погрешности вычислений. Для оценки устойчивости вычислительного процесса, проводился контроль сохранения полной энергии системы. Для всего интервала интегрирования полная энергия системы оставалась величиной постоянной с абсолютной ошибкой не более 0.005 % от начальной величины энергии. Это свидетельствует о том, что система с допустимой ошибкой является консервативной. Приведено также сравнение численных результатов для падающего троса, полученных с использованием разработанной методологии, и по известной программе АВША, в которой использовались конечно-элементная сетка из двухузловых стержневых элементов с нулевой изгибной жесткостью и явная схема интегрирования по методу центральных разностей. Результаты практически совпали в заданных пределах интегрирования по времени, что является еще одним фактом, подтверждающим корректность построенной математической модели, вычислительных алгоритмов и компьютерных программ.

Остальные два примеры относятся к моделированию динамики космических аппаратов с тросами длиной 1.3 км и 3 км, развертывающимися в условиях орбитального движения в центральном гравитационном поле планеты. Ниже показаны фрагменты решения задачи о раскрытии троса длиной 3 км.

ностью находится внутри аппарата, совершающего свободное орбитальное движение (рис. 5.2). За начальную точку принимается момент выброса (отстрела) из аппарата концевой массы, равной 20 кг, к которой прикреплен трос. Трос разбивался на 30 одинаковых элементов. Координаты точки крепления троса к аппарату х2и =2 м, х212 - 0 .

Характеристики троса (кевлар): жесткость на растяжение ЕР = 4105 Я, погонная масса ¡л = 0.03 кг/м, коэффициент демпфирования т] = 10"4.

Рис. 5.2. Начальное состояние системы

Движение аппарата рассматривается относительно неподвижной системы координат с полюсом в центре Земли на низкой орбите равной 200 км над поверхностью планеты. Угловая скорость вращения аппарата относительно осей неподвижной системы принималась равной угловой скорости обращения вокруг Земли.

До момента развертывания трос пол-

Начальные условия для аппарата: Х^ = 6571.1 км, Х02 -0, Х01=0,

Начальная масса и моменты инерции аппарата без учета троса: т0 = 5000 кг, = 4100 кг-м1, /0Д| = 1072 = 4000 кг м2. Учитывалось уменьшение полной массы аппарата и его полного момента инерции относительно оси Ох} при разматывании троса. При этом считалось, что трос в аппарате намотан на специальный барабан по радиусу 0.5 м .

Начальные условия для троса: х,л - х}11, х,2 = 0 для 1 = 1,2,...,30 и х]л = х]2 = 0 для } = 2,3,...,30. Для первой точки: = 6.7 м/с, х, 2 = 0. До

момента полного развертывания принимается, что в тросе, между несущим телом и последней вышедшей сосредоточенной массой, создается постоянное усилие растяжения Л^=0.5Н (к = 1,2,...,30) при условии, если проекция вектора скорости этой массы на прямолинейный участок троса между телом и массой направлена от тела. В противном случае (при сжатии троса), N1 = 0. Для каждого момента, когда выбрасывается текущая сосредоточенная масса троса, принимается условие: х,+и =х(, х(+12 = 0 (/ = 1,...,29). Такой подбор

параметров режима раскрытия троса обеспечивает его плавное торможение к моменту полного вытяжения, с целью избежания рывков и, как следствие, хаотического движения тросовых элементов.

Задача расчета орбитального движения развертывающейся тросовой системы относится к классу жестких задач, поскольку движение такой системы можно разделить на две компоненты с сильно различающимися временными константами. Одна компонента определяет «опорное» орбитальное движение космического аппарата как жесткого целого, вторая компонента связана с возмущением «опорного» движения из-за влияния упругого троса. Поэтому интегрирование ^параметризованных уравнений в виде (5.7)-(5.9) с использованием явных методов положительных результатов не дало. Эволюция параметров, описывающих траекторию движения аппарата относительно центра Земли, оказывалась катастрофической: аппарат двигался по крутой спирали, падая на Землю. Увеличение точности вычислений для различных явных (одношаго-вых и многошаговых) алгоритмов к улучшению результатов не приводили.

Положительный результат был достигнут только после разделения движения несущего тела на опорное движение тела как жесткого целого, для которого были выписаны явно первые интегралы, и дополнительное движение, вы-

36

званное влиянием упругого троса, выпускаемого из несущего тела. В этом случае орбитальное ускорение полюса несущего тела системы достаточно представить в виде суперпозиции: ай-а0- g0v, где а0 - ускорение возмущения, и использовать далее известные формулы для вычисления линейной и угловой скоростей опорного движения по круговой орбите. Параметры дополнительного движения, связанного с влиянием упругого троса, отыскивались в результате интегрирования нелинейных уравнений движения тросовой системы при известных значениях параметров опорного движения.

Рис. 5.3. Изменение во времени Рис. 5.4. Конфигурации троса в

координат первого (концевого) различные моменты времени

узла троса относительно (показаны справа)

подвижной системы координат

В качестве метода интегрирования модифицированных уравнений движения (после разделения движения на две компоненты) использовался явный метод Рунге-Кутты-Вернера пятого и шестого порядков с автоматическим выбором шага интегрирования по оценке локальной погрешности вычислений. Ис-

37

ходная задача интегрировалась также с использованием неявного метода Нью-марка и итераций по модифицированной схеме Ньютона с пересчетом матрицы Якоби и ее обращением через каждые 10 шагов по времени. При этом время расчетов сократилось примерно в 1.5 раза по сравнению с расчетами по явной схеме для преобразованных уравнений при тех же значениях параметров точности вычислений. После параметризации уравнения интегрировались по неявной схеме метода линейного ускорения с использованием простых итераций Пикара. Время интегрирования сократилось по сравнению с интегрированием непараметризованных уравнений по неявной схеме Ньюмарка примерно в 3 раза. Это подтверждает счетную эффективность новых неявных алгоритмов.

Зависимости от времени координат первого (концевого) узла троса показаны на рис. 5.3. Конфигурации троса в различные моменты времени показаны на рис. 5.4, где в правой части даны соответствующие значения времени в секундах, умноженные на 105. Динамика развертывания показана на графиках рис. 5.5, где даны временные зависимости координат узлов троса (с нечетными номерами) в диапазоне раскрытия.

Во втором параграфе пятой главы предлагается новый подход к решению проектных задач о статических состояниях проводов и кабелей многопролетных анкерных участков воздушных линий электропередачи. В отличие от традиционной методологии алгоритм этого подхода обладает большим вычислительным быстродействием и позволяет учесть разнообразные ограничения на эксплуатационные параметры системы. Обсуждается традиционная методология, приводящая к известным уравнениям состояния в форме кубических или трансцендентных уравнений. На основе метода продолжения решения по параметру формулируется система дифференциальных уравнений состояния относительно горизонтальных компонент тяжения в количестве, равном числу пролетов в анкерном участке. Для проводов, подвешенных на поддерживающих гирляндах изоляторов, связь между дифференциальными уравнениями осуществляется через уравнения равновесия гирлянд. В рамках теории тяжелой нити задача формулируется в строгой постановке. В качестве аргумента задачи выступает обобщенный параметр нагрузки, определяющий одновременное изменение внешней нагрузки, температуры и параметров вытяжки. Эффективность предложенной методологии демонстрируется на численном решении двух практических задач, дается сравнение классической методологии и дифференциального подхода, предлагаемого в работе. Предложенная методология позволяет эффективно решать задачи о статическом состоянии проводов и кабелей анкерных участков ЛЭП с детальным анализом тяжений в

38

пролетах и гирляндах изоляторов, а также геометрических параметров линии с учетом всех ограничений согласно принятым нормам.

6. Использование наилучшей параметризации для решения нелинейных задач изгиба стержней из сплавов с памятью формы при прямом превращении

Основа использования элементов из сплавов с памятью формы (СПФ) во многих конструкциях состоит в том, что при нагреве и соответствующем обратном превращении эти элементы возвращают заданную им заранее предварительную деформацию, меняя при этом свою форму и (или) совершая полезную работу. Из двух способов задания предварительной деформации, связанных, соответственно, с активным изотермическим деформированием в мартен-ситном состоянии или с прямым превращением путем охлаждения под действием соответствующим образом выбранных нагрузок, второй обладает целым рядом преимуществ (примерно на порядок меньшие необходимые механические напряжения, большая возвращаемая деформация и больший коэффициент возврата). Явление прямого превращения под нагрузкой можно использовать как первый этап технологической процедуры запоминания элементами из СПФ необходимой криволинейной формы, которая далее будет фиксироваться путем нагрева и выдержке заневоленного образца при соответствующей температуре.

Разработке методов решения краевых задач механики для деформируемых твердых тел, испытывающих прямое термоупругое превращение, посвящено достаточно много работ. Задачи решались, как правило, в геометрически линейной постановке, т.е. деформации считались малыми, а разница между отсчетной и актуальной конфигурациями тела не учитывалась. Если первое из этих предположений и может быть оправдано в качестве начального приближения (в большинстве случаев деформации СПФ в конструкциях не превосходят 5%), то второе часто нарушается, особенно для гибких конструкций.

В шестой главе рассматриваются геометрически и физически нелинейные задачи о прямом мартенситном превращении в изгибаемых балках из сплавов с памятью формы в условиях, когда параметр доли мартенситной фазы не зависит от координаты по высоте сечения. Предложен алгоритм решения соответствующих задач механики деформируемого твердого тела, основанный на методе продолжения решения по параметру. На конкретных примерах продемонстрирована возможность придания стержням из СПФ весьма сложной геометрической формы за счет явления прямого превращения.

39

Рассматривается случай плоского изгиба. Деформации считаются малыми, так что в качестве меры продольной деформации используется величина относительного удлинения, однако разница между отсчетной конфигурацией, в которой решается задача, и актуальной конфигурацией учитывается. Используется гипотеза плоских сечений, приводящая к линейному распределению полных продольных деформаций по материальной координате z, перпендикулярной нейтральной линии.

Для описания поведения СПФ используется система микромеханических определяющих соотношений, предложенная A.A. Мовчаном, одномерный вариант которой для случая прямого превращения имеет вид:

, 2 , а de2 2 2 . (яМ,+к\р\-т)

£ = £+£, £ - — ■, -~—Саа + а„£ , о = sin----1- .

Е dq 3 0 0 4 2 М-М,

ч > J J

Здесь: е, е1 - полная, упругая и фазовая деформации (температурная деформация для упрощения не учитывается), а, Т - действующее напряжение и температура, q - объемная доля мартенситной фазы, Е - модуль Юнга, Ms, М/ - температуры начала и окончания прямого превращения в свободном от напряжений материале, а0, с0, к - параметры материала. Для упрощения не учитывается объемный эффект реакции фазового превращения, величина которого существенно меньше эффекта формоизменения. Кроме того, не учитывается переменность модуля Юнга в процессе фазового перехода, что оправдано для задач, в которых упругие деформации существенно меньше фазовых. В этом случае достаточно точное решение задачи о деформированной форме после полного прямого превращения можно получить, если под Е понимать значение модуля Юнга в мартенситном состоянии.

Задача решается в несвязной постановке, когда можно пренебречь влиянием действующих напряжений на фазовый состав ( к = 0).

Вводятся х2 - декартовы координаты в плоскости изгиба; s, z - материальные координаты вдоль нейтральной оси стержня и в перпендикулярном направлении; s0 - значение s в начальном состоянии; в - угол между осью х и касательной в некоторой точке нейтральной линии. Введенные величины удовлетворяют системе уравнений

^- = (l + £o)COS0, = а + ^ = (1 + £0)К,

позволяющей найти уравнение упругой линии х, = , х2 = х2(д,з0), если

определены зависимости от .т0 относительного удлинения нейтральной оси еа = сЬ1ск0 -1 и ее кривизны к при некотором значении переменной щ. Для определения этих зависимостей используется соотношение £ = £0~ г (к-к0), где к0 - начальная кривизна стержня в аустенитном состоянии.

Поскольку фазовая деформация является линейной функцией г, то ее распределение по сечению однозначно определяется величинами

Используя определяющие уравнения для фазовых и упругих деформаций, для параметров е2 и к2 получается следующая система уравнений:

£0 =-ф+е2, К = М + к0-к2,

г

где Ки2=Ми2Л2/£/, М = МЬ/Ш, Р = F¿7•/, к = к0 =кйЬ,

с0 = с0Е; Р, У - первоначальная длина стержня, площадь его поперечного сечения и момент инерции; - изгибающий мо-

мент, продольная и перерезывающая силы, действующие в поперечном сечении стержня.

Эта система замыкается уравнениями равновесия в виде

л)

'-V

к

I

ш

= 0, ^ + =

Щ,

где 50 =50/Ь; = /¡^ 1}¡Ш, т = т!2/£/; /¡, /г, т - продольная и поперечная распределенные внешние силы и распределенный внешний момент. Задача о прямом превращении из первоначально аустенитного состояния

"ч » > ти- -» * 1

уравнения решается при следующих начальных условиях:

5и(0,ЗГо) = ЗД), =

¿2(0,То) = *г(0Д0) = 0, ^г(ОД0) = ^2(Г0), Л/(ОД0) = Ме(?в),

где верхним индексом е обозначены компоненты упругого решения той же задачи.

Локальная линеаризация уравнений по параметру доли мартенситной фазы q приводит к системе дифференциальных уравнений

d dx. deо . . _ d& л

—--cos в—-+(l + £0)sin# — = 0, ds0 dq dq dq

d dx2 . de0 d6

----sini—--(l + £0)cos в — = 0 ,

ds0 dq dq dq

d dO de0 _ die л

-----лг-О + ^о)— = 0 ;

ds0 dq dq dq

d dM —\ deB . dN, .

ds0 dq v ' dq dq

В работе в качестве метода дискретизации по продольной координате 70 используется метод конечных разностей.

Даются решения 4 задач о деформировании при прямом превращении консольной балки из СПФ (никелид титана), находящейся под действием различных нагрузок.

0.4 02 0 -0.2

-0 4

\ ч2

<3 —— ---

7" 1

*2 0.6

0.2

-0.2

Л

"Ч

i — -- -— ——— -г-

О 0.2 0.4 0.6 0.8 X,

Рис. 6.1. Изгиб стержня при прямом превращении под действием «следящий» силы

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 6.2. Изгиб стержня при прямом превращении под действием двух моментов

На рис. 6.1 представлены результаты решения задачи о прямом превращении балки, нагруженной на правом конце «следящей» силой постоянной величины, направленной в каждый момент процесса прямого превращения по нормали к деформированной нейтральной линии. График построен для безраз-

42

мерного значения нагрузки Q = Q■ = 0.595 . На рис. 6.2 показаны кон-

фигурации балки при прямом превращении под действием двух моментов Мх - $М0, М2 = -4М0, приложенных соответственно в середине балки и на ее конце; безразмерная величина Мд = Ма ■ Ы{Ю) = 0.5196. На этих рисунках кривые 1 соответствуют упругому решению, кривые 2 - прямому превращению до <7 = 0.5, кривые 3 - полному прямому превращению.

Заключение

Основные результаты

В работе получены следующие новые результаты:

1. Дана формулировка проблемы нелинейного деформирования с позиции метода продолжения по наилучшему параметру - длине интегральной кривой множества решений в пространстве, объединяющим одномерное евклидово пространство естественного аргумента задачи (нагрузки или времени) и гильбертово пространство лагранжевых координат задачи. Получены уравнения продолжения, соответствующие основным группам уравнений нелинейной теории деформирования (деформационным и физическим соотношениям, уравнениям равновесия) с использованием в качестве неизвестных лагранжевых координат точек тела.

2. Дана конечно-элементная формулировка задачи о нелинейном деформировании твердого тела на основе наилучшей параметризации. Проведен сравнительный анализ трех вариантов геометрически нелинейных соотношений, используемых при построении конечно-элементных моделей и сделаны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений. Предложен простой и удобный в реализации способ выделения из тензора деформации компоненты, определяющей движение конечного элемента как твердого тела.

3. Одним из основных результатов работы является доказательство, что при численном решении нелинейных задач динамики деформируемых систем возможно построение эффективных неявных вычислительных алгоритмов пошагового интегрирования на основе простых итераций, что позволяет избежать организации трудоемких итерационных процедур типа итераций Ньютона-Рафсона. На примере метода линейного ускорения показана процедура построения неявного алгоритма с использованием простых итераций. Сформулированы и доказаны теоремы о вычислительных свойствах итерационного процесса.

\

4. Рассмотрены частные реализации койечно-элементного моделированиям с использованием наилучшей параметризации. Даны алгоритмы построения векторов обобщенных сил и касательных матриц жесткости для пространственных стержневых элементов, а также плоских элементов в рамках плоской

!

задачи теории упругости.

5. Рассмотрено применение наилучшей параметризации для решения задач нелинейной механики абсолютно гибких стержней. Дано решение задачи о динамике развертывания космической тросовой системы на околоземной орбите. На основе наилучшей параметризации представлено также решение практически важной и актуальной задачи о расчете статических состояний проводов и кабелей многопролетных анкерных участков воздушных линий электропередачи. Показано, что наилучшая параметризация позволяет существенно увеличить счетное быстродействие, что делает возможным многократно повторять расчеты для поиска оптимальных решений в допустимых пределах по времени.

6. Рассмотрено применение методологии параметризации для построения численного решения задачи о геометрически нелинейном деформировании стержня из сплава с памятью формы при прямом превращении. На конкретных примерах продемонстрирована возможность придания стержням из СПФ весьма сложной геометрической формы за счет явления прямого превращения.

7. На основе предложенных в диссертации моделей и счетных алгоритмов разработан конечно-элементный комплекс ERGO. Разработана также специализированная версия программы, адаптированная для моделирования нелинейных статических состояния воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах, а также нелинейной нестационарной динамики проводов при их обтекании воздушным потоком. Эта программа внедрена на производственном предприятии ЗАО «Электросетьстройпроект»

Список основных опубликованных работ по теме диссертации

1. Гришанина Т.В., Данилин А.Н., Марков A.B., Шклярчук Ф.Н. Динамика развертывания тросовой системы в центральном гравитационном поле. Материалы IV Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: 1998. С. 32-33.

2. Данилин А.Н., Марков A.B., Чайковская A.A. Нелинейная нестационарна^ динамика гибких стержней. В сборнике МАИ "Проблемы строительной механики и прочности JIA. М.: Изд-во МАИ, 1990. С. 18-21.

3. Данилин А.Н., Шклярчук Ф.Н. Нелинейные уравнения колебаний гибких стержневых систем. Труды XV научных чтений по космонавтике, посвященных памяти акад. Королева и других советских ученых - пионеров освоения космического пространства (Задачи ориентации и управление движением космических аппаратов). М.: 1991. С. 25.

4. Данилин А.Н., Марков A.B. Динамический расчет развертываемых космических конструкций с гибкими одномерными элементами. Материалы международной конференции по крупногабаритным космическим конструкциям ICOLASS-93. 18-20 мая 1993 г. Новгород: 1993. С. 55.

5. Данилин А.Н. Нелинейные уравнения движения гибких стержневых систем //Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 177-188.

6. Данилин А И. Плоская задача динамики космических систем с гибкими одномерными элементами // Вестник МАИ. 1995. Т. 2. № 1. С. 61-68.

7. Данилин А Н., Солдаткин А.Н. Вычислительные методы динамики упругих конструкций. М.: Изд-во МАИ, 1996. 44 с.

8. Данилин А.Н. Моделирование движения быстровращающихся гибких стержней. Материалы II Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.:

1996. С. 48-49.

9. Данилин А.Н. Модели нелинейного движения стержневых систем. Материалы III Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: 1997. С. 48-49.

Ю.Данилин А.Н., Зуев H.H., Шалашилин В.И. Реализация продолжения по наилучшему параметру в нелинейных динамических задачах метода конечных элементов. Материалы III Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.:

1997. С. 49-50.

М.Данилин А Н., Зуев H.H., Шалашилин В И. Усовершенствование методов численного интегрирования, используемых при решении динамических задач // Космонавтика и ракетостроение. 1998. Вып. 13. С. 99-104.

М.Данилин А.Н., Зуев H.H., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Некоторые количественные оценки эффективности преобразования задачи Коши для дифференциальных уравнений к наилучшему аргументу // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 1999. Т. 39. № 7, С. 1134-1141.

13 .Danilin A.N., Grishanina TV., Shklyarchuk F.N., Buzlaev D.V. Dynamics of a space vehicle with elastic deploying tether // Conçut. & Structures. 1999. V. 72. № 1-3. P. 141-147.

\4.Данилин А.Н., Шалашидин В.И. О параметризации нелинейных уравнений деформирования твердого тела // Изй. РАН. МТТ. 2000. № 1. С. 82-92.

15. Данилин А.Н., Зуев H.H., Снеговский Д.В., Шалашилин В.И. Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач // САПР и графика. 2000. № 4. С. 26-31.

16.,Данилин А.Н., Зуев H.H. Проект ERGO: начало пути // САПР и графика. 2000. № 9. С. 48-50.

П.Данилин А.Н., Сивакова Т.В., Шалашилин В.И. Нелинейные уравнения движения гибких стержней и их параметризация. Материалы VI Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Ярополец 14-18 февраля 2000 г.). М.: 2000. С. 32.

1Ъ.Данилин А.Н., Зуев H.H., Костриченко А.Б., Снеговский Д.В., Шалашилин В.И. Использование метода непрерывного продолжения по параметру при решении нелинейных задач статического деформирования. В сборнике научных трудов ОмГТУ "Механика процессов и машин". Омск: Изд-во Ом-ГТУ, 2000. С. 174-177.

19.Данилин А.Н. Геометрически нелинейное деформирование стержней из сплавов с памятью формы. Сб. трудов Школы-семинара, поев. 80-летию со дня рождения акад. И.Ф. Образцова. М.: Изд-во ИПРИМ РАН, 2000. С. 2635. ' .< -

20.Данилин А.Н., Зуев H.H., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. Принципы построения и результаты тестирования конечно-элементного комплекса ERGO для решения задач нелинейного деформирования. Материалы VII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Ярополец 12-16 февраля 2001 г.). М.: 2001. С. 114-119.

21.Данилин А.Н., Казарина С.А., Мовчан A.A., Сильченко Л.Г., Тютюнников Н.П. Механика деформируемых твердых тел, испытывающих термоупругие фазовые превращения. Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. 23-29 августа 2001 г. Пермь. -Екатеринбург: УрО РАН, 2001 г. С. 224.

22. Данилин А.Н., Волков-Богородский ДБ. О неявных методах интегрирования параметризованных уравнений нелинейных динамических систем Н Вестник МАИ. 2001. Т. 8. № 2. С. 40-52.

23. Danilin A.N., Kuznetsov Е.В., Shalashilin V.l. The best parametrizatíon and numerical solution of the Cauchy problem for a system of ordinary differential

equations of the second order // Functional Differential Equations. 2001. V. 8. № 1-2, P. 141-146.

24.Данилин A.H., Марков A.B. Моделирование динамики развертывания гибких стержневых систем при различных способах изменения их начальной геометрии. Материалы VIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Яро-полец 11-15 февраля 2002 г.). М.: 2002. С. 61.

25. Мовчан A.A., Данилин А.Н. Метод решения геометрически нелинейных задач изгиба стержней из сплавов с памятью формы при прямом превращении // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. № 4. С. 8390.

26. Волков-Богородский Д.Б, Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашшин В.И. О неявных методах интегрирования начальных задач для параметризованных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43. № 11, С. 1684-1696.

21 .Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашшин В.И. О неявных алгоритмах интегрирования задачи Коши для параметризованных уравнений, описывающих динамическое поведение механических систем // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 6. С. 1053-1069.

28.Данилин А Н., Зуев H.H., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 3. С. 53-63.

29. Danilin A.N., Srtegovski D. У., Volkov-Bogorodski D.B. On implicit algorithms of continuation method with applications to dynamic systems // J. of Comp, and Appl. Math. 2004. V. 164-165. P. 207-224.

30. Данилин A.H., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Об использовании неявных алгоритмов метода продолжения решения при численном интегрировании динамических систем // Изв. вузов. Математика. 2005. № 8 (519). С. 14-26.

í

t

! <

%

i

i

f \

il

РНБ Русский фонд

2006-4 17455

Р19146

с

Множительный центр МАИ

Зак. от -// /О 200.5"г. Тир. ffÛ экз.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

1.1. Основные соотношения.

1.2. Уравнения нелинейной теории деформирования.

1.3. Уравнения продолжения.

2. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИф ЗАЦИИ.

2.1. Параметризованные уравнения метода конечных элементов

2.2. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях.

2.3. Вычисление вектора обобщенных сил и касательной матрицы жесткости.

3. НЕЯВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ГИБКИХ СИСТЕМ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Параметризация уравнений.

3.3. Численная схема решения задачи Коши.

3.4. Итерационный процесс.

3.5. Сравнительные вычисления.

3.6. Оценка локальной погрешности метода и выбор шага интегри

4 рования.

4. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ О

НЕЛИНЕЙНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ УПРУГИХ ТЕЛ С ИС

ПОЛЬЗОВАНИЕМ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ.

4.1. Пространственное деформирование гибкого стержня. 4.2. Численные примеры решения задач о нелинейном деформировании гибких стержневых конструкций.

4.3. Изгиб стержня из нелинейно-упругого материала.

4.4. Моделирование нестационарной динамики.

4.5. Конечно-элементная формулировка плоской задачи теории упругости в геометрически нелинейной постановке.

4.6. Геометрически нелинейное деформирование твердых тел из нелинейно-упругого материала.

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ АБСОЛЮТНО

• ГИБКИХ СТЕРЖНЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ.

5.1. Динамика космического аппарата с выпускаемым растяжимым тросом.

5.2. Расчет статических состояний воздушных линий электропередачи

6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ ИЗ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ ПРИ ПРЯМОМ ПРЕВРАЩЕНИИ

6.1. Определяющие соотношения.

6.2. Уравнения состояния и их параметризация.

6.3. Примеры моделирования нелинейного изгиба стержней из сплавов с памятью формы.

Из всего многообразия нелинейных задач линейность (пропорциональность) выделяет лишь некоторую «пограничную область», в которой задачи могут быть решены с использованием теории линейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Желание распространить хорошо освоенные процедуры линейного анализа на решение нелинейных задач привели к идее их линеаризации, которая помогла заметно расширить область решаемых проблем. Появление быстродействующих вычислительных машин стимулировало развитие численных методов моделирования нелинейных процессов, сводя задачу к большим и, как правило, разреженным системам линейных уравнений, для которых разработаны разнообразные методы решения [117, 130]. Однако остается фактом, что математическая формализация и решение нелинейной задачи, в общем случае, уникальны и требуют специальных исследований.

Механика, по-видимому, является одним из основных «поставщиков» нелинейных задач, предлагаемых для решения научной общественности.

Существенный вклад в развитие механики сложных деформируемых систем и методов решения соответствующих нелинейных задач внесли: Н.А. Абросимов [1-3], В.Г. Баженов [2, 3, 6-10], Н.В. Баничук [И], В.В. Белецкий [13, 14], В.В. Васильев [18, 19, 116], А.С. Вольмир [20], А.Г. Горшков [27, 28], Э.И. Григолюк [29-31], В.И. Гуляев [33], Л.В. Докучаев [73], Е.М. Левин [14], А.И. Лурье [93-95], В.Н. Паймушин [118, 119], В.А. Светлицкий [126128], В.И. Ускжин [133], Ф.Л. Черноусько [139], К.Ф. Черных [140], В.И. Шалашилин [22, 29, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 62, 69-71, 77, 85-89, 118, 119, 141146, 161, 163, 165], Ф.Н. Шклярчук [28, 32, 39, 42, 116, 147-150, 162], Л.И. Шкутин [151, 152], S.N. Atluri [176, 177, 180, 181], K.-J. Bathe [155, 156], von Flotov A.H. [195], D.H. Hodges [174, 175, 186, 187], L. Meirovitch [188, 189], V.J. Modi [159, 190, 191-192], J.C. Simo [202, 208], L. Vu-Quoc [202, 208], E.L. Wilson [155] и др.

Авиация, космонавтика, робототехника и сопутствующее высокотехнологичное производство, определяют свой круг проблем, связанных с моделированием нелинейного нестационарного движения деформируемых конструкций [см., например, 7-11, 13, 14, 20-22, 28, 32, 37-51, 115, 138, 139, 148, 188, 189].

При составлении нелинейных уравнений движения имеет место неоднозначность различных подходов и неправомочность некоторых гипотез при переходе от линейных моделей к нелинейным. Поэтому предъявляются очень высокие требования к достоверности и эффективности решения поставленных задач, поскольку адекватность и точность моделирования определяют жизнеспособность и безопасность научно-технических проектов.

Аналитические методы динамики создавались применительно к системам с малым числом степеней свободы. Были разработаны методы составления уравнений Лагранжа и канонических уравнений Гамильтона [93]. Создание новых образцов техники, в дальнейшем, стимулировало развитие методов расчета траекторий и угловых положений движущихся аппаратов, которые при моделировании заменялись некоторыми эквивалентными твердыми телами. При этом описание их движения с помощью уравнений Лагранжа или Гамильтона оказалось трудоемким и громоздким делом. Поэтому, в целях упрощения вывода уравнений вместо обобщенных координат было предложено использовать квазискорости, представляющие собой линейные формы обобщенных скоростей [93]. Содержание рассматриваемой частной задачи подсказывает, какие линейные формы скоростей можно считать квазискоростями. Примером могут служить проекции вектора угловой скорости тела на связанные с телом подвижные координатные оси или проекции на эти же оси вектора скорости полюса твердого тела. В этом случае оказывается возможным «спрятать» в обозначениях громоздкие величины, которые при обычных преобразованиях разрастаются, делая вычисления крайне трудоемкими с большой вероятностью простых ошибок. Однако в общем случае квазискорости неинтегрируемы, т.е. не существует функций (обобщенных координат), дифференциалы которых являются квазидифференциалами, введенными в частной задаче. Квазикоординаты является условным понятием, удобным при выводе уравнений движения. С использованием квазискоростей были получены уравнения Эйлера-Лагранжа, Аппеля-Гиббса и другие варианты уравнений в квазискоростях. В известной книге А.И. Лурье [93] дается систематическое и полное изложение теории динамических систем с конечным числом степеней свободы. В работах Л.В. Докучаева (см., например, [73]) дается краткий обзор по этой теме, и подробно освещаются вопросы моделирования нелинейной динамики летательных аппаратов с упругими элементами и баками, частично заполненными жидкостью. Эти работы отличаются также изложением и анализом теории конечных поворотов, которая применяется при моделировании нелинейной динамики летательных аппаратов.

С развитием техники конструкции летательных аппаратов становятся более легкими, менее жесткими, а их габаритные размеры увеличиваются. Упругие колебания таких конструкций обладают низкочастотным спектром и поэтому существенно влияют на динамику. В последнее время являются актуальными вопросы динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами на участках быстрого вращения, при пассивной закрутке, одноосной ориентации, на участках разворотов при переориентации, т.е. в таких режимах, когда угловые скорости и углы поворотов конструкции являются конечными величинами.

Современный этап развития космической техники связан также с созданием крупногабаритных конструкций [см., например, 11, 13, 14, 32, 138, 169, 185, 188, 194, 195, 214]. Большие космические системы (несущие конструкции космических станций, платформы, радиотелескопы, крупногабаритные антенны и пр.) собираются или развертываются в космосе. Они функционируют в условиях, близких к невесомости и вакуума, подвергаются малым нагрузкам и поэтому могут быть очень гибкими. Колебания больших упругих космических конструкций могут возникать под действием возмущающих и управляющих сил в процессе их развертывания, выполнения технологических операций сборки, стыковки, маневрирования и ориентации. При этом действующие нагрузки, а также гравитация и ускорение, особенно во вращательном движении, могут оказывать существенное влияние на упругодина-мические характеристики таких конструкций и, в результате, на их динамику. Это влияние в общем случае неустановившегося движения может быть учтено корректно только на основе геометрически нелинейной теории деформирования тела, даже если упругие деформации малы. В большинстве опубликованных работ, однако, перемещения определяются только для достаточно жестких конструкций [11, 33, 114, 138, 139, 209-211, 214]. Однако необходимо отметить фундаментальные работы J1.B. Докучаева [73], В.А. Светлицкого [126-128], В.И. Усюкина [133], Ф.Н. Шклярчука [32, 39, 42, 116, 147-150, 162], S.N. Atluri [176, 177, 180, 181], D.H. Hodges [174, 175, 186, 187], М. Iura [176, 177], К. Kondoh [180, 181], L. Meirovitch [188, 189], V.J. Modi [159, 190-192], J.C. Simo [202, 208], L. Vu-Quoc [202, 208], где предлагаются различные варианты описания нелинейного движения конструкций с сильно деформируемыми элементами, даются уравнения движения и алгоритмы построения численных решений. Работы Р.Г. Леви [125], М.Б. Метыо [125], А. Розена [125], Дж. Ч. Чена [138], J.D. Downer [172], Ulsoy A. Galip [215], А.Н. von Flotov [195], R.L. Huston [216], Y.K. Lin [214], C.Q. Liu [216], G.S. Nurre [194], C.E. Padilla [195], K.C. Park [172], R.S. Ryan [194], H.N. Scofield [194], R.A. Scott [215], J.I. Sims [194], B.K. Wada [209-211], A. Yigit [215], Y. Yong [214], D.J. Zhang [216] и др. освещают решение частных задач о деформировании движущихся гибких конструкций и являются хорошим дополнением к отмеченным выше работам.

Большую группу конструкций образуют трансформируемые упругие системы произвольной начальной конфигурации [см., например, 13, 14, 32,

33, 43, 46, 67-69, 162, 169, 172, 188-193, 196, 197, 203-207]. К этому классу конструкций относятся, прежде всего, разнообразные ферменные конструкции изменяемой геометрии, составные фрагменты которых представляют собой стержневые системы регулярной структуры. Примерами таких систем являются также многие виды развертываемых или собираемых на орбите крупногабаритных космических конструкций, таких как: орбитальные краны, антенны, манипуляторы антропоморфного типа, ферменные конструкции больших развертываемых телескопов или интерферометров, а также космические тросовые системы [14].

Чувствительность гибких систем по отношению к внешним и внутренним возмущениям ставит целый ряд трудных проблем перед конструкторами и разработчиками систем управления. Трудности усугубляются возможностью изменения конфигурации, а также высокими требованиями к точности управления движением системы в целом и отдельными ее элементами или к точности сохранения формы (например, для телескопов или интерферометров). Деформирование может носить существенно нелинейный характер, сопровождаться конечными перемещениями и углами поворотов, и конечными деформациями. Это ведет к проблеме создания сложных математических моделей, опирающихся на геометрически нелинейные соотношения [37-46, 48, 49, 73, 125, 138, 148-152, 167, 168, 172, 174-177, 186-195, 202, 208, 215, 216]. При этом требования к точности и достоверности таких моделей в большой степени обусловлены тем, что они, как правило, не могут быть проверены экспериментально из-за практической невозможности моделирования космических условий эксплуатации даже для конструктивных фрагментов. Задачи управления гибкими системами также ведут к разработке уточненных методов расчета. Поиски технического решения этой задачи привели в настоящее время к идеям адаптивности конструкций на основе использования «умных» материалов [209-211].

Практически важный класс нелинейных задач механики связан с моделированием статических состояний и колебаний воздушных линий электропередачи, а также оптоволоконной связи [16, 25, 83]. Проектирование или реконструкция линий связаны с анализом нелинейных прогибов проводов при большом числе ограничений, регламентируемых отраслевыми стандартами [123]. Исследование аварийных и особых режимов работы таких конструкций требует, например, решения задач об обрывах проводов на линии, анализа состояний при сильных оледенениях, расчета субколебапий проводов при их обтекании ветровым потоком и, наконец, моделирования явления галопирования - сильного хаотичного движения, которое, как правило, приводит к разрушению участков линий большой протяженности.

В добавление к вышеуказанным проблемам можно отнести физически нелинейные задачи, в которых исследуется процесс деформирования конструкций при работе материала за пределами закона Гука [77, 145], или при фазовых превращениях сплавов с памятью формы [15, 61, 63, 64, 92, 97-107]. Часто появляется необходимость одновременного учета физической и геометрической нелинейности, например, при решении задач определения предельной несущей способности конструкций и технологических задач.

Указанные выше проблемы, также как и многие другие в области механики деформируемого твердого тела, можно характеризовать некоторым рядом общих признаков. Во-первых, они формулируются в виде связанной системы нелинейных уравнений статического состояния, либо в виде нелинейных уравнений движения при заданных граничных и начальных условиях, а также дополнительных уравнений связи, например, кинематических. Во-вторых, такие задачи являются, как правило, однопараметрическими, т.е. их решение зависит от одного параметра или аргумента. Таким параметром может быть, например, естественный параметр времени. Параметром задачи может быть также параметр нагрузки, определяющий текущие величины нагрузок от нуля до их амплитудных значений, температурный параметр или некоторый геометрический или конструктивный параметр. Физическая природа нелинейных задач позволяет рассматривать их решения как непрерывно зависящими от этого параметра. В-третьих, для таких задач, как правило, существенен вопрос об изменении решения по мере изменения параметра. Поэтому метод продолжения решения по параметру для них является естественным и в определенной степени универсальным методом исследования, который позволяет линеаризовать исходную нелинейную задачу, т.е. свести ее решение к упорядоченной серии решений линейных задач.

Реализация продолжения решения нелинейных уравнений по параметру устанавливается теоремой о неявных функциях [134]. Ограничения, накладываемые этой теоремой, в большинстве нелинейных задач механики деформируемого твердого тела выполнимы.

Численная реализация продолжения решения, как правило, осуществляется в виде некоторого шагового процесса по параметру задачи. Действительно, рассмотрим систему из п нелинейных уравнений относительно вектора JC = (x,,A:2,.,xn), содержащую параметр р:

F(x,p) = 0. (1)

Нас будет интересовать поведение решений системы (1) при изменении параметра р. Принимая известным некоторое начальное решение jc(0), р0 уравнения (1), рассмотрим окрестность А точки |*(0),р0)бКл+1 :{•*,/?} в ви~ де прямоугольного параллелепипеда в Mn+1 с центром в точке (*(0),р0).

Из теоремы о неявных функциях следует [29, 146], что если:

1) вектор-функция F определена и непрерывна в А;

2) в А существуют и непрерывны частные производные от F по всем аргументам х(, i-\,.,n и параметру р;

3) в точке (дс(0),р0) отличен от нуля якобиан det(J) = det (dF/dx), то в некоторой окрестности точки (*(0),/?0) решения системы (1) являются однозначными непрерывными функциями xt=x({p) такими, что хХРо) = хцо)> и производные dxjdp также непрерывны в этой окрестности.

При выполнении этих условий решение системы нелинейных уравнений в некоторой окрестности точки (дс(0),/?0), являющейся решением этой системы, образует единственную кривую К, проходящую через точку (дс(0),/?0). Чтобы получить теперь решение д:(1) системы (1) при близком к р0 значении рх мы можем продвинуться вдоль К. Иными словами, мы можем из точки (*(0)'А)) однозначно продолжить решение в пределах некоторой окрестности. Если условия теоремы выполняются в точке то решение снова можно продолжить, и т.д. Этот процесс, схематично показанный на рис. 1 для случая трехмерного пространства 1R3 :{х{,х2,хг,р), как раз и реализует метод продолжения решения по параметру.

Рис. 1. Схема продолжения решения вдоль интегральной кривой К

Идея продолжения решения известна давно. Важно отметить, что именно она лежит в основе известного метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого восходят к работам У. Леверье (1886 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.).

Эта идея использовалась также для доказательства существования решений нелинейных уравнений [173]. Схема такого доказательства следующая: в исходное нелинейное уравнение вводится параметр так, чтобы при его начальном значении решение уравнения было известным, а при некотором другом его значении уравнение обращалось в исходное. В этом случае, вопрос о существовании решения исходного уравнения сводится к существованию непрерывной кривой К. В теории пластин конечного прогиба такой способ доказательства успешно применил Н.Ф. Морозов [108-111]. Он ввел параметр р в виде множителя при нелинейных частях операторов уравнений Феппля-Кармапа и доказал топологическую гомотопность операторов уравнений при р = 0 и р = 1.

Первое использование идеи продолжения в вычислительных целях принадлежит, по-видимому, М. Лаэю [183] (1934). Он ввел в трансцендентное уравнение Н(х) = 0 параметр р так, чтобы при р = р0= 0 можно было легко получить решение х(0) =х(р0), а при р = рп= 1 уравнение обратилось бы в исходное. Продвигаясь по последовательности р0< рх< . < рп, Лаэй предложил строить решения для каждого pt методом Ньютона-Рафсона, используя решение для предыдущего значения р1Л в качестве начального приближения, которое должно быть достаточно близким к искомому решению. Формулируя свой процесс, М. Лаэй ставил задачу решить центральную для метода Ньютона-Рафсона проблему выбора начального приближения. Основное в работах М. Лаэя то, что он дал пример построения шагового процесса, где используется информация о решении из предыдущего шага. С этой точки зрения несущественно становится использование для итерационного уточнения решения метода Ныотона-Рафсона. Возможна реализация шаговых процессов по параметру с применением и других итерационных процессов. Позднее в работе [184] М. Лаэй распространил свой подход на системы уравнений.

Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения называются дискретным продолжением решения [146].

Другую формулировку метода продолжения по параметру дал Д.В. Да-виденко [34, 35] (1953). Он, по-видимому, был первым, кто рассматривал процесс продолжения решения как процесс движения и применил к нему математический аппарат дифференциальных уравнений.

Д.В. Давиденко рассмотрел систему из п нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений относительно вектора jc = (x,,x2,.,xn)r, содержащую параметр р. В и-мерном евклидовом пространстве К" эту систему можно представить в форме F(x,p) = 0, где F = (F{,F2,.,Fn)T вектор-функция в пространстве К". Дифференцируя уравнения по р, он сформулировал задачу отыскания множества решений системы, как задачу Коши:

Tdx dF ■ dF dp op ox

Система уравнений этой начальной задачи называется уравнениями продолжения в неявной форме [146].

Такой подход открывает возможности использования для построения решений х{р) различных и хорошо исследованных схем интегрирования. Простейшая из этих схем - схема Эйлера. К этому алгоритму сводится известный метод последовательных нагружений, предложенный В.З. Власовым и В.В. Петровым [120] (1959). Можно построить алгоритмы других схем, имеющих более высокий порядок точности (Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и др.). Такие работы выполнены многими авторами и отражены в публикациях [см., например, 35, 36, 158, 178, 179].

Продолжение решения па основе интегрирования задачи Коши с помощью явных схем называется непрерывным продолжением решения [146].

В указанных работах Д.Ф. Давиденко и, далее, И.И. Воровича и В.Ф. Зи-паловой [23] (1965) показано, что с точки зрения продолжения решения нет принципиальной разницы между неизвестными xi (/ = l,.,w) и параметром задачи р. Действительно, рассмотрим одно уравнение с двумя неизвестными F(xvx2) = 0. Множество решений этого уравнения образует кривую К, показанную на рис. 2.

Рис. 2. Наилучший параметр продолжения - параметр длины интегральной кривой решения

Процесс продолжения решения рассматривается как процесс интегрирования задачи Коши по параметру задачи. Этот процесс оперирует приращениями на каждом шаге. Поэтому, если в качестве параметра продолжения выбран х,, то вычислительная ситуация будет наилучшей в окрестности точки А. При приближении к точке В вычислительная ситуация ухудшается, т.к. вблизи нее Дх2 » Ах,, т.е. малому приращению аргумента Ах, соответствуют немалые приращения функции Дх2, что является признаком неустойчивости. Если же в качестве параметра выбрать х2, то наоборот, наилучшая вычислительная ситуация окажется вблизи точки В, а вблизи точки А появится неустойчивость.

Наилучшая ситуация в окрестности точек А и В реализуется, когда ось отсчета параметра параллельна касательной к кривой К в этих точках. Этого можно достичь, выбрав в качестве параметра продолжения длину дуги Я, отсчитываемую вдоль кривой К.

Как известно, точки на кривой К, где касательная становится нормальной к оси параметра р, называются предельными. Переход от уравнений продолжения по параметру р к уравнениям продолжения по параметру хк в окрестности предельной точки лежит в основе известного приема смены параметра продолжения. Было высказано много предложений по выбору такого параметра продолжения решения, который позволил бы избежать смены параметра [31].

В работах 1972-1979 и 1984 г.г. Е. Рикс [198-201] поставил вопрос о выборе такого параметра продолжения, который бы обеспечил наибольшую обусловленность решения соответствующей ему системы линейных уравнений. Эта система была дополнена уравнением (а,х) = 1, где компоненты вектора а определялись из условия максимума меры обусловленности расширенной линейной системы. В качестве этой меры была принята величина определителя, отнесенная к произведению квадратичных норм его строк. В результате было показано, что наибольшую обусловленность обеспечивает движение в направлении по касательной к кривой К и тем самым Рикс обосновал предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой. Но практическая реализация выбора оптимального параметра продолжения у Е. Рикса оказалась связанной с громоздкими вычислениями, что отмечает и сам автор.

Дальнейший вклад в развитие идей параметризации внесли работы В.И. Шалашилина [29, 85-89, 141-146]. В его работах рассмотрено и всесторонне обосновано применение метода продолжения по наилучшему параметру для решения различных классов задач, решениями которых являются однопара-метрические множества, т.е. кривые. Главным результатом исследований является доказательство факта, что наилучшим параметром продолжения решения является параметр длины интегральной кривой множества решений. Определение «наилучший» понимается в том смысле, что использование длины интегральной кривой множества решений в качестве нового аргумента задачи доставляет наилучшую обусловленность процессу построения решения.

В 1988 г. в России вышла книга Э.И. Григолюка и В.И. Шалашилина «Проблемы нелинейного деформирования» [29], посвященная методу продолжения по наилучшему параметру и применению алгоритмов наилучшей параметризации для решения задач механики деформируемого твердого тела. В 1991 г. она была переведена на английский язык и выпущена издательством Kluwer1. Окончательное оформление этот метод нашел в работах 1993-1997, в которых было доказано, что переход к наилучшему аргументу осуществляется с помощью универсального аналитического преобразования, названного Я-преобразованием, имеющего простую геометрическую интерпретацию. В работах этого периода было также показано, что метод продолжения по наилучшему параметру имеет гораздо более широкую область применения, чем обычный метод продолжения. Его использование значительно расширяет класс задач, для которых становится возможным получить численные решения. Этот метод одинаково пригоден для решения любых однопараметрических задач, когда решение достаточно гладко зависит от переменных и параметра, так как позволяет добиться наилучшей обусловленности системы линеаризованных уравнений. Алгоритмы метода наилучшей параметризации нечувствительны к наличию предельных точек на кривой деформирования и дают возможность без затруднений проходить особые точки решения.

В 1999 г. в России вышла вторая книга В.И. Шалашилина в соавторстве с Е.Б. Кузнецовым «Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике» [146]. В книге рассмотрено и обосновано применение наилучшей параметризации для решения различных классов задач, решениями которых являются однопараметриче-ские множества.

1 Grigolyuk ЕЛ., Shalashilin V.I. Problems of nonlinear deformation. Dordrecht et al.: Kluwer, 1991.262 p.

Проблема нелинейного статического и динамического деформирования может быть эффективно решена, если она будет поставлена в форме, адекватной методу её решения. Это предложение положено в основу настоящей работы с целью получения разрешающих уравнений продолжения, соответствующих известным уравнениям механики деформируемого тела и моделирующих процессы сильного нелинейного деформирования [56]. В итоге, поставленная задача сводится к задаче Коши по параметру продолжения в неявной форме.

Полученные уравнения продолжения содержат частные производные по пространственным координатам. Поэтому для дальнейшего построения численного решения необходимо использовать какой-либо из методов координатной дискретизации. Наиболее универсальным и мощным методом дискретизации является метод конечных элементов [26, 76, 115, 116, 155, 156]. Благодаря своей физической наглядности, высокой алгоритмичности и удобству применения в областях сложной формы этот метод получил широкое распространение, особенно в задачах механики деформируемого твердого тела. В связи с этим в диссертации дается методология построение общей системы параметризованных уравнений нелинейного деформирования в рамках метода конечных элементов.

В настоящее время остается актуальной проблема эффективности численных схем интегрирования начальных задач нелинейной динамики деформируемых систем, оптимальных по быстродействию и расходованию машинных ресурсов. Причина этого заключается в постоянном усложнении задач, решаемых численными методами [6-10], и стремлении оптимизировать динамические процессы.

При решении динамических задач исследователь должен сделать выбор между явными и неявными схемами. Известно, что у явных схем временной шаг определяется устойчивостью алгоритма, а у абсолютно устойчивых неявных - точностью вычислений. Традиционно основным аргументом в пользу выбора явных схем является трудоемкость при реализации неявных алгоритмов. Однако при использовании классических явных алгоритмов шаг интегрирования может оказаться катастрофически малым, поскольку он определяется высокочастотными колебаниями, существенно не влияющими на процесс деформирования конструкций. Для преодоления этой ситуации в литературе предлагаются разнообразные регуляризирующие или стабилизирующие операторы, позволяющие искусственно подавить высокочастотные колебания без искажения «основной» картины деформирования. Здесь необходимо отметить основополагающие работы В.Г. Баженова [6-10] и В.И. Лебедева [91], в которых развиваются и обосновываются методы повышения эффективности явных схем численного решения начальных задач математической физики, включая нелинейные задачи динамики деформируемых конструкций.

В связи с этим, важной частью диссертационной работы является разработка нового общего подхода к построению неявных алгоритмов пошагового интегрирования начальных задач механики деформируемого твердого тела. Подход основан на аналитическом преобразовании исходной задачи к наилучшему аргументу - параметру длины интегральной кривой в евклидовом пространстве решения. Это преобразование позволяет сформулировать разнообразные неявные алгоритмы с использованием простых итераций Пика-ра, реализация которых, как известно, является простейшей и не требует привлечения каких-либо дополнительных трудоемких численных процедур.

Известно, что при решении нелинейных задач механики деформируемого твердого тела неявные алгоритмы строятся, как правило, на основе итерационной схемы Ньютона или ее модификации в виде алгоритма Ныотона-Рафсона. Простые итерации не используются, поскольку они либо не сходятся, либо сходятся крайне медленно при допустимых значениях шага интегрирования.

Итерации Ньютона обладают свойством квадратичной сходимости, которое придает методу особенную ценность. Однако имеются три обстоятельства, которые препятствуют его успешному применению.

Проблема заключается в нахождении приближенного решения системы уравнений xp.,xn) = 0, / = 1, где /,.,/„ - заданные нелинейные функции п переменных дс,,

При реализации метода Ныотона (Ньютона-Рафсона) необходимо, во-первых, на каждом шаге (или через несколько шагов) вычислять матрицу Якоби, что требует вычисления п2 частных производных dfJdXj, (J = 1,.,«). Если это число велико или если функции ft достаточно сложны, то получение аналитических выражений для производных и последующее программирование формул может оказаться исключительно трудоемкой работой, чреватой ошибками. Как правило, получение аналитических формул для частных производных не представляется возможным, поэтому частные производные аппроксимируются конечными разностями. Однако на практике это оказывается дорогостоящей процедурой с точки зрения машинных ресурсов (времени, оперативной и дисковой памяти компьютера).

Второй недостаток связан с необходимостью решения на каждой итерации (или через некоторое небольшое число итераций) системы линейных уравнений, что также может потребовать значительных машинных ресурсов.

Третьей и наиболее серьезной трудностью, возникающей при использовании метода Ныотона, является то, что при заданном начальном приближении итерации могут расходиться, поскольку локальная теорема сходимости гарантирует сходимость только в том случае, если начальная точка окажется достаточно близкой к искомой точке. В этом случае необходимо определить наиболее близкую к искомой начальную точку исходя, например, из физических или каких-либо еще соображений. Однако это не всегда приводит к успеху.

Наилучшая параметризация исходной задачи позволяет либо полностью устранить, либо значительно смягчить указанные выше проблемы. Этому посвящена большая часть диссертационной работы, где предлагается методология построения неявных алгоритмов с использованием простых итераций, и дается обоснование разработанных итерационных алгоритмов. Является принципиально важным, что при использовании простых итераций не нужно вычислять матрицу Якоби и решать систему линейных уравнений, как в методе Ныотона.

В работе формулируются и доказываются теоремы о сходимости простых итераций (сжимаемости отображения, формируемого итерационной функцией), даются явные оценки шага интегрирования вдоль интегральной кривой решения, при которых обеспечивается сходимость простых итераций. Как показывают расчеты, связанные с моделированием нелинейного нестационарного движения деформируемых систем, основное ограничение на шаг интегрирования параметризованных уравнений накладывает не сходимость простых итераций, а вычислительная точность, которая определяется локальной ошибкой интегрирования. Построенные алгоритмы обладают высокой эффективностью: они просты в реализации, обладают большим быстродействием и не требуют в работе значительных машинных ресурсов. Использование таких алгоритмов дает возможность, рационально сочетать неявные схемы с явными, ограничиваясь одним итерационным циклом.

Таким образом, предлагаемый в диссертации подход носит комплексный характер, нацеленный на разработку не только общей методологии параметризации уравнений теории нелинейного деформирования, но и на получение конечного результата в виде алгоритмов и программ, адекватных процессу деформирования и эффективных с вычислительной точки зрения.

Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 97-01-00091, 99-01-01187, 00-01-00072, 03-01-00071); федеральной целевой программы «Интеграция науки и высшего образования

России» (код проекта: Б0053); научно-технической программы министерства образования Российской Федерации «Фундаментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных паук. Университеты России» (учетный номер проекта 015.04.01.19), международного гранта INTAS (код проекта 3736).

По теме диссертации автором опубликовано более 70 работ. В диссертации даются ссылки только на основные работы, имеющие прямое отношение к предмету диссертации.

В работах [37-49, 67, 68] рассмотрены математические нелинейные модели и задачи динамики гибких систем с учетом конечных перемещений и поворотов упругих тел. Здесь же рассмотрены задачи нестационарной динамики трансформируемых конструкций, начальная конфигурация которых может испытывать сильные изменения. Большой акцент в указанных работах делается на методы получения численных решений, адекватности их реальному динамическому процессу и анализе используемых счетных алгоритмов. Работы [32, 162] посвящены изучению динамики развертывания тросовых систем.

Применению параметризации к решению частных нелинейных статических и динамических задач с выбором параметра длины интегральной кривой множества решений в качестве наилучшего аргумента посвящены работы [51, 53, 54, 59, 60, 79]. В них даются также количественные оценки эффективности преобразования исходной задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений к наилучшему аргументу.

Работа [56] носит основополагающий характер. В ней формулируется проблема нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по наилучшему параметру и предлагается общая методология построения параметрических аналогов основных уравнений теории нелинейного деформирования.

Метод конечных элементов является в настоящее время основным методом дискретизации по пространственным координатам при моделировании процессов статического и динамического деформирования. Поэтому работы [50, 57, 58, 62] посвящены конечно-элементной формулировке задачи о нелинейном деформирования твердых тел с позиции метода продолжения решения по наилучшему аргументу. В обзорных статьях [52, 55, 78] дается анализ существующих программных средств для решения задач нелинейной механики деформируемых систем.

В работах [21, 22, 65, 69, 71, 161, 163-166] предлагаются и обосновываются новые неявные методы интегрирования нелинейных уравнений движения деформируемых систем, параметризованных с использованием длины интегральной кривой решения. Предложенные алгоритмы отличаются большой эффективностью по сравнению с алгоритмами интегрирования непара-метризованных уравнений.

Анализ корректности использования различных форм нелинейных деформационных соотношений при решении существенно нелинейных задач механики деформирования твердого тела сделан в работах [66, 70]. В этих работах даны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений и показано, что использование приближенных вариантов геометрических соотношений может вносить в расчет значительную погрешность.

В работах [61, 63, 64, 105-107] предложен метод анализа механического поведения стержней из СПФ при прямом превращении под действием изгибающих нагрузок в несвязной постановке. Здесь дается алгоритм решения соответствующих задач механики, основанный на методе продолжения решения по параметру, в качестве которого выбирается объемная доля мартен-ситной фазы.

Указанные выше опубликованные работы составили основу диссертации.

Содержание диссертации изложено в шести главах.

Первая глава носит общий характер и посвящена формулировке проблемы нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по параметру [56].

При исследовании процессов нелинейного деформирования основные соотношения и уравнения традиционно формулируются в неизвестных, соответствующих конечному результату процесса деформирования. Однако наиболее интересен не столько конечный результат, сколько процесс его достижения, то есть процесс деформирования, поскольку управление этим процессом открывает широкие возможности проектирования эффективных и экономичных технологических процессов. С другой стороны, одним из наиболее мощных методов численного решения задач сильного нелинейного деформирования является метод продолжения решения по параметру. Этот метод по своей идеологии предполагает получение конечного решения как результата вычислительного процесса, который фактически адекватен процессу деформирования или может быть сформулирован в такой форме. С этой точки зрения представляет интерес такая форма исходных соотношений, которая была бы наиболее адекватна методу их численной реализации -методу продолжения решения по параметру. Поэтому одним из основных новых результатов диссертационной работы является построение полной системы уравнений продолжения, соответствующих уравнениям механики деформирования твердых тел.

Ввиду того, что в рассматриваемой постановке проблемы перемещения не являются малыми, их использование для описания геометрии деформаций теряет первоначальный смысл. Поэтому, геометрические соотношения предлагается записывать через лагранжевы координаты деформированного тела с использованием различных мер деформаций.

Рассматриваются статические и динамические задачи, решение которых непрерывно зависит от некоторого параметра или аргумента. Разработан метод вывода уравнений продолжения, соответствующих основным группам уравнений нелинейной теории деформирования (деформационным и физическим соотношениям, уравнениям равновесия) с использованием в качестве неизвестных лаграпжевых координат точек тела. Уравнения продолжения получены в недеформированной конфигурации тела с использованием различных тензорных мер деформаций. Физические соотношения представлены в общей дифференциальной форме, соответствующей методу продолжения. Специальным дифференциальным соотношением вводится новый аргумент задачи - параметр длины интегральной кривой множества решений в пространстве, объединяющим одномерное евклидово пространство параметра задачи (нагрузки или времени) и гильбертово пространство лаграпжевых координат задачи. Основываясь на фундаментальных результатах, полученных в [85-89, 132, 142-146], утверждается, что такой переход к такому аргументу доставляет системе разрешающих уравнений наилучшую обусловленность процесса решения. Обсуждаются методы дискретизации по пространственным координатам и даются аналоги уравнений продолжения в конечномерных случаях для задач сильного статического и динамического деформирования.

Вторая глава диссертации посвящена конечно-элементной формулировке задачи о деформирования твердых тел на основе принципа минимума полной энергии системы и процедуры продолжения решения по параметру. Предлагается в качестве нового параметра продолжения решения (аргумента задачи) использовать параметр длины интегральной кривой в евклидовом пространстве, образованном начальным (естественным) параметром задачи и ее основными неизвестными. Утверждается, что такой метод адаптации исходных уравнений к форме, адекватной последующему методу их решения, доставляет наилучшую обусловленность процедуре построения их численного решения.

Конечно-элементное моделирование нелинейных задач связано с построением сетки конечных элементов, которые могут подвергаться большим перемещениям и произвольно большим поворотам. Эта задача еще далека от полного решения, поскольку имеет место неадекватность представления деформационными соотношениями больших перемещений элементов как жесткого целого. В связи с этим, во второй главе дается сравнительный анализ трех вариантов геометрически нелинейных соотношений, используемых при построении конечно-элементных моделей. Показывается, что использование приближенных вариантов геометрических соотношений может вносить в расчет значительную погрешность. Сделаны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений.

Во второй главе дается также простой и удобный в реализации способ выделения из тензора деформации компоненты, определяющей движение конечного элемента как твердого тела. Этот способ носит «конструктивный» характер и основан на использовании локальных координатных систем, которые связываются с элементами конечно-элементной сетки. В этом случае описание локальных перемещений точек элемента, характеризующих деформацию элемента, можно делать с использованием простых деформационных соотношений. Однако пространственное движение локальной системы, определяющее перемещения и повороты элемента как жесткого тела, описывается строго. Поэтому, вопрос о корректности использования различных форм нелинейных деформационных соотношений в рамках локальных систем теряет свою принципиальность.

В качестве обобщенных координат, описывающих произвольные повороты локальных координатных систем, предлагается использовать компоненты векторов конечных поворотов или однозначно связанных с ними параметры Родрига-Гамильтона [73, 93]. Это позволяет избежать вырождения кинематических соотношений, описывающих геометрию больших поворотов, а также дать компактное и симметричное описание поворотов без использования громоздких выражений, содержащих направляющие косинусы локальных координатных систем.

В третьей главе показано, что при численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка возможно построение простых и экономичных неявных вычислительных алгоритмов пошагового интегрирования без организации трудоемких итерационных процедур, основанных на процессах по типу итераций Ньютона-Рафсона [21, 22, 65, 67-69, 71, 163-166]. Предварительно исходная задача должна быть преобразована к новому аргументу - длине ее интегральной кривой. Такое преобразование осуществляется с использованием уравнения, связывающего исходный параметр задачи с длиной интегральной кривой. На примере метода линейного ускорения, который является основой известных методов Ньюмарка и Вилсона [20, 47, 115, 155], показана процедура построения неявного алгоритма с использованием простых итераций [131, 135] для численного решения преобразованной задачи Коши. Сформулированы и доказаны теоремы о вычислительных свойствах итерационного процесса. Даны явные оценки шага интегрирования, обеспечивающие сходимость простых итераций. Эффективность предложенной методологии продемонстрирована на численном решении трех тестовых задач. Для них дан сравнительный анализ численных решений, полученных с использованием и без использования параметризации исходных задач.

В третьей главе дается также способ управления величиной шага интегрирования для обеспечения заданной точности интегрирования, основываясь на оценке локальной погрешности вычислений. Этот прием может быть использован не только для одношаговых методов, но и для многошаговых, обладающих более высокими аппроксимативными свойствами.

В четвертой главе дается конечно-элементная формулировка частных задач с использованием процедуры наилучшей параметризации.

Первая часть главы посвящена описанию нелинейного деформирования стержневых систем в трехмерной и двумерной постановках. Основные деформационные соотношения для стержней получены из общих соотношений нелинейной теории упругости с использованием асимптотического подхода [112]. Полученные деформационные соотношения связывают между собой продольные и сдвиговые факторы, включая поперечные сдвиги и деформацию кручения. Функции формы выводятся из решения однородной краевой задачи в переменных локальных координатных систем. Это позволяет корректно включить в конструкцию функций форм аналитические особенности решения с учетом сдвига по двум направления в сечении стержня.

Для анализа достоверности модели, а также эффективности счетных алгоритмов дается ряд примеров о сильном статическом деформировании гибких стержневых систем.

Рассматриваются задачи нестационарной динамики гибких, в том числе трансформируемых, стержневых конструкций. Для них сопоставляются численные решения, полученные с использованием и без использования процедуры параметризации. В работе демонстрируется эффективность неявной схемы интегрирования для параметризованных уравнений по сравнению с интегрированием исходных (непараметризованных) уравнений.

Вторая часть четвертой главы носит методический характер и демонстрирует применение параметризации к решению плоской задачи теории упругости. Здесь же демонстрируется применение методологии параметризации к решению статических задач о деформирования твердых тел из идеального нелинейно-упругого материала. Перемещения точек тела считаются по величине в определенной степени произвольными, деформации - малыми, но с учетом нелинейности физических зависимостей (диаграмм) между напряжениями и соответствующими деформациями. В конце главы дается пример о геометрически нелинейном деформировании нелинейно-упругой полосы.

В пятой главе рассматривается применение наилучшей параметризации для решения задач нелинейной механики абсолютно гибких стержней, к которым в прикладной механике относят, например, провода воздушных линий электропередачи, кабели оптоволоконной связи, шланги для перекачки жидкости, транспортировочные ленты. К таким системам относятся также космические тросовые системы, представляющие собой два и более аппаратов, связанных между собой тонкими тросами или лентами. Этот класс задач является важным в практическом отношении. Задачи, связанные с моделированием движения таких гибких систем, являются, в подавляющем большинстве, нелинейными.

Первая часть главы посвящена моделированию нелинейной динамики развертывания космической тросовой системы на околоземной орбите [32, 162]. На основе метода конечных элементов разработана простая и эффективная в вычислительном плане модель космического аппарата с выпускаемым тросом. Представлены возможные варианты выпуска троса, обеспечивающие устойчивость движения. В результате численных экспериментов показано, что переход от параметра времени к длине интегральной кривой решения в евклидовом пространстве, образованном параметром времени и основными неизвестными задачи и их скоростями, позволяет значительно повысить эффективность построения численного решения (существенно уменьшить расчетное время и объем оперативной информации) по сравнению с решением задачи без параметризации уравнений. Счетное быстродействие дает возможность многократно повторять расчеты для поиска приемлемых решений в допустимых пределах по времени, что является важным при проведении оптимизационных расчетов.

Вторая часть пятой главы связана с построением алгоритма расчета статических состояний проводов и оптоволоконных кабелей связи воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах с учетом большого числа строгих ограничений на прочностные и геометрические параметры, регламентируемых правилами устройств электроустановок [123]. Новые быстродействующие алгоритмы разработаны в рамках теории тяжелой нити на осЕюве метода продолжения решения по обобщенному параметру нагрузки с последующим переходом к длине интегральной кривой решения в евклидовом пространстве, образованном параметром нагрузки и горизонтальными компонентами тяжения в каждом из пролетов анкерного участка воздушной линии электропередачи. Эта задача является важной и актуальной при проведении проектных расчетов моеетэжееых, особых и аварийных состояний проводов и кабелей воздушных линий электропередачи [16, 25, 83].

В заключительной шестой главе рассматриваются геометрически и физически нелинейные задачи о прямом мартеЕЕситном превращении в изгибаемых балках из сплавов с памятью формы в условиях, когда параметр доли мартеЕЕСИтной фазы не зависит от координаты по высоте сечения. Считается, что деформации малы, но разница между отсчетной и актуальной конфигурациями существенна. Показано, что из выполнения гипотезы плоских сечений для полных деформаций следует линейность распределения по поперечной координате продольных упругих и фазовых деформаций, а также про-дольееых напряжений. Предложен алгоритм решения соответствующих задач механики деформируемого твердого тела, основанный на методе продолжения решеЕЕия по параметру. С помощыо предлагаемого метода продемоЕЕСт-рирована возможность придания балкам из СПФ весьма сложной формы за счет явления прямого превращения при действии на балку специальЕЕО вы-браЕЕных ЕЕагрузок. Параметризация разрешаЕОщей системы уравнений (после дискретизации по методу конечных разностей) дает возможность сформулировать быстродействуЕОщие и устойчивые в вычислителыЕом плаЕЕе алгоритмы, позволяЕощие подобрать внешние нагрузки, необходимые для получения заданной конфигурации балки после процесса прямого превращения.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Следует отметить, что предложенные в диссертации модели и счетные алгоритмы реализованы в конечно-элементном комплексе ERGO [50, 57, 58, 62] - программной разработке автора диссертации совместно с д.ф.-м.н., проф. В.И. Шалашилиным, к.ф.-м.н., доц. А.Б. Костриченко, к.т.н. Н.Н. Зуевым. С помощью этой программы были проведены расчеты нелинейной статики и нестационарной динамики деформируемых конструкций, результаты которых представлены в диссертации. Для сравнения некоторые расчеты были проведены также с использованием конечно-элементных комплексов UAI-NASTRAN, MSC-NASTRAN и ABAQUS - общепризнанных программных «лидеров» среди существующих программных средств инженерного анализа [52, 55, 57, 78]. В этих программах реализована одна из простых дискретных схем продолжения решения по параметру - метод «длины дуги» (Arc Length Method) с использованием итераций Ныотона-Рафсона.

Не претендуя на общую эффективность и полноту инженерного анализа, которые предоставляются указанными программными «монстрами», были сделаны сравнения эффективности решения некоторого ряда задач с использованием ERGO и указанных коммерческих комплексов. В расчетах использовались модели, созданные с помощью конечно-элементного генератора FEMAP, известной разработке компании Structural Dynamics Research Corp.

В итоге: (1) процессорное время расчетов с использованием ERGO оказалось заметно меньше (в некоторых случаях существенно меньше: в 5-10 раз) процессорного времени расчетов с использованием коммерческих программ; (2) настройки решателей в ERGO не требовалось, однако это необходимо делать в указанных комплексах, пробами подбирая необходимые величины параметров. Например, в программном комплексе UAI/NASTRAN пользователь должен задать около 20 параметров, управляющих стратегией продолжения решения и итерациями на каждом шаге. По опыту известно, что в ряде случаев подбор параметров, обеспечивающих нахождение решения, является весьма непростой задачей, которую может выполнять только квалифицированный и опытный специалист.

На базе ERGO автором диссертации была разработана специализированная версия программы (ErgoLine), адаптированная для моделирования нелинейных статических состояния воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах, а также нелинейной нестационарной динамики проводов при их обтекании воздушным потоком. Эта программа внедрена на производственном предприятии ЗАО «Электросетьстройпроект».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие новые результаты:

1. Дана формулировка проблемы нелинейного деформирования с позиции метода продолжения по наилучшему параметру - длине интегральной кривой множества решений в пространстве, объединяющим одномерное евклидово пространство естественного аргумента задачи (нагрузки или времени) и гильбертово пространство лагранжевых координат задачи. Получены уравнения продолжения, соответствующие основным группам уравнений нелинейной теории деформирования (деформационным и физическим соотношениям, уравнениям равновесия) с использованием в качестве неизвестных лагранжевых координат точек тела.

2. Дана конечно-элементная формулировка задачи о нелинейном деформировании твердого тела на основе наилучшей параметризации. Проведен сравнительный анализ трех вариантов геометрически нелинейных соотношений, используемых при построении конечно-элементных моделей и сделаны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений. Предложен простой и удобный в реализации способ выделения из тензора деформации компоненты, определяющей движение конечного элемента как твердого тела.

3. Одним из основных результатов работы является доказательство, что при численном решении нелинейных задач динамики деформируемых систем возможно построение эффективных неявных вычислительных алгоритмов пошагового интегрирования на основе простых итераций, что позволяет избежать организации трудоемких итерационных процедур типа итераций Ньютона. На примере метода линейного ускорения показана процедура построения неявного алгоритма с использованием простых итераций. Сформулированы и доказаны предложения о вычислительных свойствах итерационного процесс.

4. Рассмотрены частные реализации конечно-элементного моделирования с использованием наилучшей параметризации. Даны алгоритмы построения векторов обобщенных сил и касательных матриц жесткости для пространственных стержневых элементов, а также плоских элементов в рамках плоской задачи теории упругости.

5. Рассмотрено применение наилучшей параметризации для решения задач нелинейной механики абсолютно гибких стержней. Дано решение задачи о динамике развертывания космической тросовой системы на околоземной орбите. На основе наилучшей параметризации представлено также решение практически важной и актуальной задачи о расчете статических состояний проводов и кабелей многопролетных анкерных участков воздушных линий электропередачи. Показано, что наилучшая параметризация позволяет существенно увеличить счетное быстродействие, что делает возможным многократно повторять расчеты для поиска оптимальных решений в допустимых пределах по времени.

6. Рассмотрено применение методологии параметризации для построения численного решения задачи о геометрически нелинейном деформировании стержня из сплава с памятью формы при прямом превращении. На конкретных примерах продемонстрирована возможность придания стержням из СПФ весьма сложной геометрической формы за счет явления прямого превращения.

7. На основе предложенных в диссертации моделей и счетных алгоритмов разработан конечно-элементный комплекс ERGO. Разработана также специализированная версия программы (ErgoLine), адаптированная для моделирования нелинейных статических состояния воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах, а также нелинейной нестационарной динамики проводов при их обтекании воздушным потоком. Эта программа внедрена на производственном предприятии ЗАО «Электро-сетьстройпроект».

1. Абросимов Н.А. Численное моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости композитных пластинчато-оболочечных конструкций при импульсных воздействиях // Механика композитных материалов. 1999. Т. 35. № 6. С. 757-776.

2. Абросимов Н.А., Баженов В.Г., Елесин А.В. Моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек при импульсном нагружении // Изв. РАН. МТТ. 2000. №2. С. 181-189.

3. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2002. 399 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.271 с.

5. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. 335 с.

6. Баженов В.Г. Численное исследование нестационарных процессов деформации упругопластических оболочек // Проблемы прочности. 1984. № 11. С. 51-54.

7. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 52-59.

8. Баженов В.Г., Чекмарёв Д.Т. Численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций // Изв. РАН. МТТ.2001. №5. С. 156-173.

9. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И., Самыгин А.Н. Численное решение трехмерных зада нестационарного деформирования тонкостенных конструкций, включающих стержневые элементы // Изв. РАН. МТТ.2002. №4. С. 145-151.

10. Баженов В.Г., Пирогов С.А., Чекмарёв Д.Т. Явная схема со стабилизирующим оператором для решения нестационарных задач динамики конструкций // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 120-130.

11. Баничук Н.В., Карпов И.И., Климов Д.М. и др. Механика больших космических конструкций. М.: Факториал, 1997. 302 с.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. 1. М.: Наука, 1973. 631 с.

13. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. О пространственном движении связки двух тел на орбите // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. № 5. С. 23-28.

14. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990.330 с.

15. Беляев С.П., Волков А.Е., Ермолаев В.А., Каменцева З.П., Кузьмин С.Л., Лихачев В.А., Мозгунов В.Ф., Разов А.И., Хайров Р.Ю. Материалы с эффектом памяти формы. Справ, изд. // СПБ.: Изд-во НИИХ СПбГУ, 1998. Т. 4. 268 с.

16. Бошнякович А.Д. Механический расчет проводов и тросов линий электропередачи. JL: Энергия, 1971.295 с.

17. Бранец В.Н., Шмыглевский И.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

18. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 269 с.

19. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассической теории пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 158-167.

20. Вольмир А.С., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989. 248 с.

21. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 5. С. 894-901.

22. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов // Изв. вузов. Математика. 1958. № 5. С. 18-31.

23. Глазунов А.А. Основы механической части воздушных линий электропередачи. Т.1. Работа и расчет проводов и тросов. M.-JL: Госэнергоиз-дат, 1956. 192 с.

24. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонкостенных оболочек. Казань: КФТИ АН СССР, 1989. 269 с.

25. Горшков А.Г., Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механики сплошной среды. М.: Наука, 2000. 214 с.

26. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогид-роупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000. 592 с.

27. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988. 232 с.

28. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Серия «Механика твердых деформируемых тел». Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973. 272 с.

29. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Meтоды решения упругости и пластичности: Сб. статей. Горький: 1979. С. 3-19.

30. Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамика робота-манипулятора с упруго-податливыми звеньями и приводными механизмами // Изв. РАН. МТТ. 2003. №6. С. 18-30.

31. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений //Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 601-602.

32. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Укр. мат. журн. 1953. Т. 5. № 2. С. 196-206.

33. Давиденко Д.Ф. О применении метода вариации параметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162. № 3. С. 499-502.

34. Данилин А.Н., Марков А.В., Чайковская А.А. Нелинейные нестационарные колебания гибкой стержневой системы. Тезисы докладов научно-технической конференции "Крупногабаритные космические конструкции". Севастополь: 1990. С. 44.

35. Данилин А.Н., Марков А.В., Чайковская А.А. Нелинейная нестационарная динамика гибких стержней. В сборнике МАИ "Проблемы строительной механики и прочности ДА. М.: Изд-во МАИ, 1990. С. 18-21.

36. Данилин А.Н. Нелинейная динамика космических конструкций с гибкими одномерными элементами. Тезисы докладов международной молодежной научно-технической конференции "Космонавтика-ХХ1. 1-7 сентября 1991 г". Москва-Калининград: 1991. С. 53.

37. Данилин А.Н., Шклярчук Ф.Н. Нелинейные уравнения динамики движущейся стержневой системы. В книге "Материалы XX и XXI Гагарин-ских чтений. 1990-1991 гг." М.: Наука, 1991. С. 243.

38. Данилин А.Н., Марков А.В. Динамический расчет развертываемых космических конструкций с гибкими одномерными элементами. Материалы международной конференции по крупногабаритным космическим конструкциям ICOLASS-93. 18-20 мая 1993 г. Новгород: 1993. С. 55.

39. Данилин А.Н. Нелинейные уравнения движения гибких стержневых систем // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 177-188.

40. Данилин А.Н. Плоская задача динамики космических систем с гибкими одномерными элементами // Вестник МАИ. 1995. Т. 2. № 1. С. 61-68.

41. Данилин А.Н. Нелинейная динамика раскрывающихся стержневых систем. Тезисы докладов Всероссийского симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: 1995. С. 21.

42. Данилин А.Н., Солдаткин А.Н. Вычислительные методы динамики упругих конструкций. М.: Изд-во МАИ, 1996. 44 с.

43. Данилин А.Н. Моделирование движения быстровращающихся гибких стержней. Материалы II Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: 1996. С. 48-49.

44. Данилин А.Н. Модели нелинейного движения стержневых систем. Материалы III Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: 1997. С. 48-49.

45. Данилин А.Н., Зуев Н.Н. Программный комплекс SYSNOISE эффективное решение проблем вибро-акустического анализа и оптимизации в инженерном деле // САПР и графика. 1998. № 2. С. 47-49.

46. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Шалашилин В.И. Усовершенствование методов численного интегрирования, используемых при решении динамических задач // Космонавтика и ракетостроение. 1998. Вып. 13. С. 99-104.

47. Данилин А.Н. MATLAB и семейство профессиональных приложений для моделирования и анализа // САПР и графика. 1998. № 7. С. 37-41. Продолжение 1998. № 8. С. 54-59.

48. Данилин А.Н., Шалашилин В.И. О параметризации нелинейных уравнений деформирования твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 1. С. 8292.

49. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Снеговский Д.В., Шалашилин В.И. Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач // САПР и графика. 2000. № 4. С. 26-31.

50. Данилин А.Н., Зуев Н.Н. Проект ERGO: начало пути // САПР и графика. 2000. № 9. С. 48-50.

51. Данилин А.Н. Геометрически нелинейное деформирование стержней из сплавов с памятью формы. Сб. трудов Школы-семинара, поев. 80-летию со дня рождения акад. И.Ф. Образцова. М.: Изд-во ИПРИМ РАН, 2000. С. 26-35.

52. Данилин А.Н., Волков-Богородский Д.Б. О неявных методах интегрирования параметризованных уравнений нелинейных динамических систем // Вестник МАИ. 2001. Т. 8. № 2. С. 40-52.

53. Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. О неявных алгоритмах интегрирования задачи Коши для параметризованных уравнений, описывающих динамическое поведение механических систем // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 6. С. 1053-1069.

54. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 3. С. 53-63.

55. Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Об использовании неявных алгоритмов метода продолжения решения при численном интегрировании динамических систем // Изв. вузов. Математика. 2005. № 8 (в печати).

56. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 332 с.

57. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение, 1987. 231 с.

58. Доннелл Л.Г. Балки, пластины, оболочки. М.: Наука, 1970. 367 с.

59. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.318 с.

60. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

61. Зуев Н.Н., Князев Э.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. С. 136-147.

62. Зуев Н.Н., Данилин А.Н. Комплексный инженерный анализ прочность, динамика, акустика // Автоматизация проектирования. 1998. № 2 (8). С. 31-35.

63. Зуев Н.Н., Шалашилин В.И, Кузнецов Е.Б., Данилин А.Н. Повышение эффективности численных методов анализа механических систем. В сборнике научных трудов ОмГТУ "Анализ и синтез механических систем". Омск: Изд-во ОмГТУ, 1998. С. 105-111.

64. Ильюшин А А. Пластичность. Ч. 1. Упруго-пластические деформации. M.-JL: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. 376 с.

65. Качанов JI.M. Механика пластических сред. JI.-M.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948.215 с.

66. Копылов А.В., Кузнецов Е.Б. Об одном подходе к численному интегрированию задачи Коши для дифференциального уравнения с запаздыванием // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 2001. Т. 41. № 10. С. 1547-1556.

67. Крюков К.П., Новгородцев Б.П. Конструкции и механический расчет линий электропередачи. Л.: Энергия, 1979. 310 с.

68. Куликов Г.М. Деформационные соотношения, точно представляющие большие перемещения оболочек как жесткого тела // Изв. РАН. МТТ. 2004. №5. С. 130-140.

69. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.К Задача Коши как задача продолжения решения по параметру // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т. 33. № 12. С. 1792-1805.

70. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру // Изв. РАН. МТТ. 1993. №6. С. 145-152.

71. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши как задача продолжения по наилучшему параметру // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. №6. С. 964-971.

72. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру//ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 14-21.

73. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решение дифференциально-алгебраических уравнений с выбором наилучшего аргумента // Журнал вычислит, матем. и мат. физики. 1997. Т. 37. № 6. С. 711-722.

74. Ланкастер 77. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 272 с.

75. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие систем дифференциальных уравнений // Вычисл. процессы и системы. 1991. Вып. 8. С. 237-291.

76. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. 216 с.

77. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

78. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 928 с.

79. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

80. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Под ред. А.С. Сахарова и Н. Альтенбаха. Киев: Вища школа, 1982. 479 с.

81. Мовчан А.А. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 4. С. 136-144.

82. Мовчан А.А. Некоторые проявления способности к ориентированному превращению для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1996. Т.37, №6. С. 181-189.

83. Мовчан А.А. Учет переменности упругих модулей и влияния напряжений на фазовый состав в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1998. №1. С. 79-90.

84. Мовчан А.А. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // ПМТФ. 1998. Т. 39, №1. С. 164-173.

85. Мовчан А. А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин.1994. №6. С. 47-53.

86. Мовчан А.А. Микромеханический подход к описанию деформации мар-тенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ.1995. № 1.С. 197-205.

87. Мовчан А.А. Выбор аппроксимации диаграммы перехода и модели исчезновения кристаллов мартенсита для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1995. Т. 36. №2. С. 173-181.

88. Мовчан А.А., Данилин А.Н. Метод решения геометрически нелинейных задач изгиба стержней из сплавов с памятью формы при прямом превращении // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. № 4. С. 83-90.

89. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин. // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114. №5. С. 968-971.

90. Морозов Н.Ф. Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин //Вестник ЛГУ. 1958. № 19. С. 100-124.

91. Морозов Н.Ф. Единственность симметричного решения. // Докл. АН СССР. 1958. Т. 123. № 3. С. 417-419.

92. Морозов Н. Ф. К нелинейным задачам теории тонких пластин с осями симметрии // Тр. Ленингр. технолог, ин-та целлюлозно-бум. пром. 1962. Вып. 11. С. 206-208.

93. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.-М.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. 210 с.

94. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

95. Hyp Г.С., Райан Р.С., Скофилд Х.Н., Симе Дж. JI. Динамика больших космических конструкций и управление ими // Аэрокосмическая техника. 1985. Т. 3. № 6. 129-147.

96. Образцов И.Ф., Савельев JI.M., Хазанов Ч.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. 392 с.

97. Образцов И.Ф., Булычев JI.A., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1986. 536 с.

98. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 288 с.

99. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Уточненные уравнения среднего изгиба трехслойных оболочек и сдвиговые формы потери устойчивости // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 195-200.

100. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Непротиворечивый вариант теории деформаций сплошных сред в квадратичном приближении // Докл. РАН. 2004. Т. 396. № 4. С. 492-495.

101. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // На-учн. докл. высшей школы. Строительство. 1959. № 1. С. 27-35.

102. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. 232 с.

103. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. 331 с.

104. Правила устройства электроустановок. 7-е издание. Раздел 2. Передача электроэнергии. М.: Изд-во "НЦ ЭНАС", 2003. 156 с.

105. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

106. Розен А., Леей Р.Г., Метъю М.Б. Нелинейная динамика тонких стержней // Аэрокосмическая техника. 1987. № 11. С. 92-101.

107. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1. Статика. М.: Высшая школа, 1987. 320 с.

108. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 2. Динамика. М.: Высшая школа. 1987. 304 с.

109. Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: Изд-во МАИ, 2001.429 с.

110. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

111. Съярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 471 с.

112. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1985. 263 с.

113. Треногин В.А. Теорема Люстерника и наилучшая параметризация решений нелинейных уравнений // Функциональный анализ и его приложения. 1998. Т. 32. № 1.С. 87-90.

114. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988. 402 с.

115. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: Наука, 1969. 607 с.

116. Хаусхолдер А.С. Основы численного анализа. М.: Изд-во ин. лит., 1956. 320 с.

117. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. 446 с.

118. Челноков Ю.Н. Кватернионы и связанные преобразования в динамике симметричного твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. С. 1-16.

119. Чен Дж. Ч. Динамика больших космических конструкций с управляемой жесткостью // Аэрокосмическая техника. 1985. Т. 3. № 6. С. 37-43.

120. Черноусъко Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, 1989. 368 с.

121. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. JL: Изд-во ленингр. ун-та, 1988. 254 с.

122. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №4. С. 178-184.

123. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Задача Коши для нелинейно деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру //Докл. РАН. 1993. Т. 329. № 4. С. 426-428.

124. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Об одной формулировке задачи Коши для систем с сосредоточенными параметрами // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. № 3. С. 120-121.

125. Шалашилин В.К, Кузнецов Е.Б. Наилучший параметр продолжения решения //Докл. РАН. 1994. Т. 334. № 5. С. 566-568.

126. Шалашилин В.И., Костриченко А.Б., Князев Э.Н., Зуев Н.Н. Продолжение по наилучшему параметру в нелинейных задачах, решаемых методом конечных элементов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1997. № 4. С. 18-24.

127. Шалашилин В.К, Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 222 с.

128. Шклярчук Ф.Н. К расчету деформированного состояния и устойчивости геометрически нелинейных упругих систем // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1.С. 140-145.

129. Шклярчук Ф.Н. Нелинейные и линеаризованные уравнения движения упругих космических конструкций // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 1. С. 161-175.

130. Шклярчук Ф.Н. Колебания и аэроупругость летательных аппаратов. М.: Изд-воМАИ, 1981. 87 с.

131. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Нелинейные и параметрические колебания упругих систем. М.: Изд-во МАИ. 1993. 68 с.

132. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1988. 127 с.

133. Шкутин Л.И. Инкрементальная модель деформации стержня // ПМТФ. 1999. Т. 40. №4. С. 229-235.153 .Austin F. Nonlinear dynamics of a free-rotating flexibly connected double-mass space station // J. Spacecraft and Rockets. 1965. V. 2. № 6. PP. 901906.

134. Barkow В., Steindl A., Troger H., Wiedermann G. Various methods of controlling the deployment of a tethered satellite // J. Vib. Control. 2003. V. 9. № 1-2. PP. 187-208.

135. Bathe K.-J., Wilson E. L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. Englewood Cliffs, New Jersy: Prentice-Hall, 1976. 528 p.

136. Bathe K.-J. Finite element procedures. Englewood Cliffs, N.Y: Prentice-Hall, 1996. 1037 p.

137. Bergamaschi S., Loria A., Wood G.M. SEDS-1 features and dynamics during deployment // Int. Round Table on Tethers in Space. ESTEC, Noordwijk, the Netherlands.-28-30 September 1994.

138. Bergan P.G., Horrigmoe G., Krakeland В., Soreide Т.Н. Solution techniques for nonlinear finite element problems // Int. J. Num. Meth. Eng. 1978. V. 12. № 12. P. 1677-1696.

139. Chan J.K., Modi V.J. A Closed-Form Dynamical Analysis of an Orbiting Flexible Manipulator// Acta Astronautica. 1991. Vol. 25. №. 2. P. 67-76.

140. Chobotov V.A. Gravity-gradient excitation of a rotating cable-counterweight space station in orbit // J. Spacecraft and Rockets. 1963. V. 30. № 4. PP. 547554.

141. Danilin A.N., Grishanina Т. V, Shklyarchuk F.N., Buzlaev D. V. Dynamics of a space vehicle with elastic deploying tether // Comput. & Structures. 1999. V. 72. № 1-3. P. 141-147.

142. Danilin A.N., Snegovski D.V., Volkov-Bogorodski D.B. On implicit algorithms of continuation method with applications to dynamic systems // J. of Сотр. and Appl. Math. 2004. V. 164-165. P. 207-224.

143. Danielson D.A., Hodges D.H. Nonlinear Beam kinematics by decomposition of the rotating tensor // Trans, of ASME. 1987. V.54. pp. 258-262.

144. Danielson D.A., Hodges D.H. A beam theory for large global rotation, moderate local rotation, and small strain // J. of Applied Mech. 1988. V. 55. P. 179-184.

145. Das S.K., Utku S., Wada B.K. Inverse Dynamics of Adaptive Space Cranes with Tip Point Adjstment. AIAA-90-1166-CP, 1990, pp. 2367-2374.

146. Hairer E., Nor sett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations. Nonstiff Problems. Berlin etc.: Springer, 1987 = Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

147. Downer J.D., Park К.С. Dynamics of spacecraft with deploying flexible appendages // AIAA Dyn. Spec. Conf., Dalas. Collect. Techn. Pap. 1992. P. 6580.

148. Ficken F. The continuation method for nonlinear functional equations // Comm. Pure Appl. Math. 1951. V 4. № 4. P. 435-456

149. Hodges D.H. Finite rotating and nonlinear beam kinematics // Vertica. 1987. V. 11. № 1/2. P. 297-307.

150. Kisner W. A numerical method for finding solutions of nonlinear equations // SIAM J. Appl. Math. 1964. V. 12. P. 424-428.

151. Kleinmichel H. Stetige analoge und iterations verfaher fur nichtlinear gleichungen in banachraumen // Math. Nach. 1968. V. 37. P. 313-314.

152. Kondoh K., Atluri S.N. Large-deformation, elasto-plastic analysis of frames under nonconservative loading, using explicitly derived tangent stiffnesses based on assumed stresses // Сотр. Mech. 1987. V. 2. P. 1-25.

153. Lahaye M.E. Une metode de resolution categorie d'equation transcendantes // C.r. Sci. 1934. V. 198. № 21. P. 1840-1842.

154. Lahaye M.E. Solution of system of transcendental equations // Acad. Roy. Belg. Bull. / CI. Sci. 1948. V. 5. P. 805-822.

155. Lang D.D., Nolting R.R. Operations with tethered space vehicles // Gemini Summary Conference, February 1-2. 1967. Houston, Texas, NASA SP-138. P. 55-56.

156. Marcelo R.M., Crespo da Silva, Hodges D.H. Nonlinear flexure and torsion of rotating beam, with application to helicopter rotor blades I. Formulation //Vertica. 1986. V. 10. №2. pp. 151-169.

157. Marcelo R.M., Crespo da Silva, Hodges D.H. Nonlinear flexure and torsion of rotating beam, with application to helicopter rotor blades II. Response and stability results //Vertica. 1986. V. 10. № 2. P. 171-186.

158. Meirovitch L., Quinn R. D. Equations of Motion for Maneuvering Flexible Spacecraft // J. of Guidance, Control, and Dynamics, 1987, Vol. 10, No. 5, P. 453-465.

159. Meirovitch L., Kwak M.K. Control of Flexible Spacecraft with Time-Varying Configuration // J. of Control, Guidance, and Dynamics, 1992, Vol.15, No.2, pp. 314-324.

160. Misra A.K., Modi V.J. A survey on the dynamics and control of tethered satellite systems // Advances in Astronautical Sciences. 1987. V. 62. PP. 667719.

161. Modi V.J., Chan J.K. Dynamics of the Space Station Based Mobile Flexible Manipulator// Acta Astronautica, 1991, Vol. 25, No. 3, pp.149-156.

162. Morita Y., Modi V.J. Dynamics of a Flexible Orbiting Platform with MRMS. The Institute of Space and Astronautical Science, Tokyo, Rep. No. 625, 1988, 69 p.

163. No T.S., Cochran J.E. Dynamics and control of a tethered flight vehicle // J. Guidance, Control and Dynamics. 1995. V. 18. № 1. PP 66-72.

164. Nurre G.S., Ryan R.S., Scofield H.N., Sims J.I. Dynamics and Control of Large Space Structures // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1984. Vol. 7. №5. P. 514-526.

165. Padilla C.E., von Flotov A.H. Nonlinear Strain-Displacement Relations and Flexible Multibody Dynamics // J. of Guidance, Control, and Dynamics, 1992, Vol. 15. No. LP. 128-136.

166. Paul В. Planar librations of an extensible dumbell satellite // AIAA Journal. 1963. V. l.№ 1. PP. 411-418.

167. Puig-Suari J., Longuski J.M., Traggesser S.G. Aerocapture with a flexible tether // J. Guidance, Control and Dynamics. 1995. V. 18. № 6. PP 13051312.

168. Riks E. The application of Newton's method to the problem of elastic stability // Trans. ASME. Ser. EJ. Appl. Mech. 1972. V. 39. № 4. P. 1060-1065.

169. Riks E. A unified method for computation of critical equilibrium state of nonlinear elastic systems // Acta Techn. Acad. Sci. Hung. 1978 (1979) V. 87. № 1-2. P. 121-141.

170. Simo J.C., Vu-Quoc L. On the dynamics in space of rods undergoing large motions A geometrically exact approach // Сотр. Methods in a Applied Mech. and Eng. 1988. V. 66. P. 125-161.

171. Space shuttle mission STS-46 press kit. NASA. July 1992.

172. Steindl A., Troger H. Optimal control of deployment of tethered subsatellite // Nonlinear Dyn. 2003. V. 31. № 3. pp. 257-274.

173. The tethered satellite system reflight. NASA. February 1996.

174. Tyc G., Vigneron F.R., Jablonski A.M. Tether dynamics investigations for the Canadian OEDIPUS and BICEPS missions // International Round Table on

175. Tethers in Space. ESTEC, Noordwijk, the Netherlands. - 28-30 September 1994.

176. Vu-Quoc L., Simo J.C. Dynamics of Earth-orbiting flexible satellites with multibody components // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1987. V. 10. № 6. P. 549-558.

177. Wada В. K., Fanson J.L, Chen G.-S. Using Adaptive Structures to Enable Future Missions by Relaxing Ground Test Requirements // J. of Spacecraft and Rockets. 1991. Vol. 28. № 6. P. 663-669.

178. WadaB.K. Adaptive Structures. AIAA-89-1160-CP, 1989, P. 1-11.

179. Wada B.K. Adaptive Structures: An Overview // J. of Spacecraft and Rockets. 1990. Vol. 27. No. 3. P. 330-337.

180. Wiedermann G., Steindl A., Troger H. Deployment of a tethered satellite under the action of a braking force // J. ZAMM. Z. Angew. Math. Mech. 2000. V. 80. Suppl. 3. S853-S854.

181. Wood G.M. et al. The small expendable deployer system (SEDS) and mass experiments // Int. Round Table on Tethers in Space. ESTEC, Noordwijk, the Netherlands. - 28-30 September 1994.

182. Yong Y., Lin Y.K. Dynamics of Complex Truss-Type Space Structures // AIAA Journal. 1990. V. 28. № 7. P. 1250-1258.

183. Yigit A., Scott R.A., Galip Ulsoy A. Flexural motion of a radially rotating beam attached to a rigid body // J. of sound and Vibrations. 1988. V.121. № 2. P. 201-210.

184. Zhang D.J., Liu C.Q., Huston R.L. On the dynamics of an arbitrary flexible body with large overall motion: An integrated approach // Mech. Struct. & Mach. 1995. V. 23 (3). P. 419-437.