Оптимизация вычислительных схем пристрелочных алгоритмов в краевых задачах нелинейной механики деформируемых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

КОЗЫРЕВА Екатерина Анатольевна

ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СХЕМ

ПРИСТРЕЛОЧНЫХ АЛГОРИТМОВ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов - 1996

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Кузнецов В.В.

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Крысько В.А. - доктор технических наук, профессор Могилевич Л.И.

Ведущая организация - Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского.

Защита диссертации состоится "16" мая 1996 года п 13 час, в ауд. 216а Саратовского государственного технического университета на заседании диссертационного совета К 063.58.02 по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан "/б" а-иЯ^илЯ- 1996 года.

Отзывы просим направлять по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет.

Ученый секретарь

диссертационного совета Кузнецов В.В.

7Л"

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми.

Развитие вычислительной техники стимулировало создание разнообразных методов расчета деформируемых элементов конструкций различного функционального назначения, а также их качественно новых дискретных моделей, специально ориентированных на использование ЭВМ. В то же время особые трудности вызывает рассмотрение нелинейных сингулярно-возмущенных краевых задач, относящихся к новым перспективным направлениям современной прикладной механики, таких, например, как связанные задачи гидроупругости длинномерных конструкций. Применение к этим задачам известных подходов обычно оказывается малоэффективным, из-за наличия узких локальных зон резкого изменения отдельных компонент прогнозируемого решения (зон краевых эффектов). Таким образом, проблема разработки и теоретического обоснования новых алгоритмов, создания на их основе универсальных стандартных программных модулей численного анализа широкого класса деформируемых элементов тонкостенных конструкций является актуальной и имеет фундаментальное значение для широкого внедрения методов математического моделирования в различные приоритетные области современной техники и производства.

Целью диссертации является дальнейшее развитие нового подхода к построению приближенных решений одномерных краевых задач нелинейной механики деформируемых систем - метода параметризации граничных условий (МПГУ) и анализ возможностей его использования в сингулярно-возмущенных задачах нелинейной механики деформируемых систем.

Научная новизна основных результатов проведенных исследований заключается в следующем:

а) построено асимптотическое решение квазилинейной сингулярно-возмущенной дифференциальной системы критического условно устойчивого типа, являющейся общей формой представления задач расчета характеристик НДС гибких оболочек вращения, а также одномерных уравнений, получающихся в результате применения метода Власова-Канторовича 1С уравнениям прямоугольных в плане гибких пологих оболочек;

б) предложены и теоретически обоснованы алгоритмы МПГУ для

задач механики деформируемых систем с неразделенными граничными условиями, обеспечивающие равномерную сходимость приближенных решений нелинейной краевой задачи к точному в широком диапазоне изменения ее спектрального радиуса;

в) разработан универсальный программный модуль, ориентированный на использование ПЭВМ и предназначенный для численного решения широкого класса одномерных нелинейных краевых задач механики деформируемых систем;

г) установлена область сходимости классических пристрелочных алгоритмов для задач механики глубоководных нефтеподъемни-ков, на основе асимптотического разложения константы Липшица по степеням малого параметра задачи;

д) проведено детальное исследование характеристик НДС и длительной прочности глубоководных морских нефтеподъемников в широком диапазоне изменения формы профиля подводных течений и конструктивных параметров задачи.

На защипу выносятся:

1. Результаты асимптотического анализа задач расчета характеристик НДС гибких непологих оболочек вращения переменной толщины и одномерных уравнений метода Власова-Канторовича для прямоугольных в плане гибких пологих оболочек.

2. Алгоритм МПГУ для нелинейных краевых задач механики деформируемых систем с неразделенными граничными условиями и его теоретическое обоснование.

3. Результаты исследования характеристик НДС глубоководного нефтеподъемника в широком диапазоне изменения его конструктивных параметров и параметров потока окружающей жидкости.

4. Результаты исследования характеристик длительной прочности глубоководного нефтеподъемника при коррозионном износе его внешнего диаметра за счет агрессивного воздействия внешнего потока окружающей жидкости.

Достоверность полученных в диссертации результат)в обеспечивалась теоретическим доказательством предложенных алгоритмов МПГУ, проверкой их практической сходимости, постановкой вычислительных экспериментов и соответствием получаемых на их основе результатов известным экспериментальным данным.

Прикладное значение проведенных исследований заключается в том, что алгоритмы МПГУ, разработанные на их основе вычислитель-

ные комплексы могут найти широкое применение, в частности, для эффективного решения задач определения рациональных конструктивных параметров длинномерных элементов морских гидротехнических комплексов, трубопроводов, используемых в различных технологических процессах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-технических конференциях СГТУ и на научных семинарах кафедры "Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика" (1994-1996 гг.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ в центральной печати.

Объем работи. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии из 77 наименований и содержит 160 страниц наборного текста.

В диссертации одномерные уравнения задач расчета характеристик НДС глубоководных нефтеподъемников с переменной толщиной стенки, находящихся в трехмерном потоке подводных течений (рис.1), приведены к сингулярно-возмущенной системе нелинейных дифференциальных уравнений вида

у'=Г (х,у,2;д), цз' = Р(х,у,г;|1) = Р(у)2*+г(у) + н(У.2),(1) ВоП1)=Ьо, В1У(1)=Ь1, ()'=сЮ/с1х,

где у £ К3, 2 6 ^ - компоненты вектора основных неизвестных (смещений, углов поворота и усилий).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1Ха

О

/

Рис. {

- б -

Аналогичным образом известные уравнения осесимметричного деформирования гибких непологих оболочек вращения преобразованы к системе сингулярно-возмущенных уравнений вида ¡¡Лг/йЬ = А(1,х)у + рБ(1,х,у;м.), р.с!у/с11 = 2, р^х/сИ = С(Ь,х)у + |Ша,х) + ц2Еа,х), Г0СУа0);»1) = о, Г1 (У(Ь1);ц) - 0 , (2) где Y = {г,у,х> - компоненты вектора основных неизвестных: смещений, усилий и моментов (где и - параметр, характеризующий относительную тонкостенность оболочки).

В диссертации показано, что одномерные уравнения, получающиеся в результате применения метода Власова-Канторовича к прямоугольным в плане гибким пологим оболочкам, также преобразуются к сингулярно-возмущенной системе вида (2).

Таким образом, приведенные здесь модельные уравнения задач гидроупругости стержневых систем и расчета НДС гибких оболочек относятся к классу дифференциальных систем сингулярно-возмущенного типа. Это делает возможным асимптотический анализ свойств прогнозируемого решения этих задач.

В отличие от связанных задач гидроупругости длинномерных стержневых систем (1), вопрос о значениях корней характеристического уравнения для задач расчета НДС гибких оболочек (2)здесь уже не решается однозначным образом и требует введения дополнительных ограничений на структуру уравнений рассматриваемой задачи. Так, для систем сингулярно-возмущенных уравнений критического условно-устойчивого типа (2) соответствующее характеристическое уравнение имеет, наряду с действительными корнями разных знаков, и нулевые кратные корни.

В диссертации получено асимптотическое решение уравнений(2) 1

ха)-хоа)+Ет1(са11х0а1))/Аа1.х0а1)))х 1=0

ехрЦ-П^Чха-Ы/цЗ+ООО, (3)

1

у(1)=ц"11:(-1)1+1(Г1/Х1)ехр[(-1)1 + 1А1(Ь-11)/ц]+0(|0 1=0

Оно было использовано для построения главных членов асимптотических разложений уравнений гибких непологих и пологих оболочек вращения, а также для построения асимптотики одномерных уравнений метода Власова-Канторовича в случае прямоугольных в

плане пластин и оболочек.

Для задач гидроупругости длинномерных стержневых систем установлено, что в окрестностях граничных сечений морского трубопровода возникают экспоненциально убывающие пограничные слои. Асимптотическое решение сингулярно-возмущенной системы (1) известно, оно получено В.В.Кузнецовым и О.А.Тороповой. Для задач расчета характеристик НДС нефтеподъемника (райзера) с переменным внешним диаметром и длительной прочности райзера, находящегося под действием однонаправленного потока подводных течений, асимптотическое решение имеет вид:

к(х;х)=ко(х;Т)-к0(0;Х)ехр(-Лох/|1)-ко(1;т)ехр(Л1(х-1)/м.)+0(|1), ко (х; х) = (- аз51пФо+Ус I vccosфo I аесоэфо) / (агТо- а^г 2-ус2а5з!пфо2).

Ао=/а2(0;х)(Т1-В)-а4(0;Х)Уг2)/со5Ро(0;-с),

Л1=/а2(1;х)Т1-а4(1^)Уг2-а5(1;т)Ус2(1) 31П(РО2(1;^)/СО5ФО(1;Х) ,

Здесь ф0, То - решение "вырожденной" задачи, описывающей поведение райзера с нулевой изгибной жесткостью (д = 0): Фо' = (абУс I уссобфо I - аз^Фо) / (Т0- Г7Vf2- Г8Ус2012э :1п2Фо),

Т0'= аь и' = -ГцЬбфо, ио(0)=0, То(0)=Т1-В, (4)

1

6 = $ а1(х)ёх, ио(1)=0, (ф0 - угол отклонения осевой линии от 0

вертикали, Т0 - продольное усилие, и0 - смещение точек осевой линии в горизонтальном направлении, к - кривизна). Здесь а1=а1(х;Х)=пвх2-Г2. а2=а2(х;х)=1/(г1012-т2)(Гз012+Г4). аз=аз(х;тЬт5012-Тб. а4=а4(х;х)=Т7а2, а5=а5(х;х)=гва2012. аб=аб(х;т)=Г901. ич- физико-геометрические параметры задачи,

(1=1.....12), Т1 - коэффициент тягового усилия на плавсредстве,

К - кривизна, Ус = Ус(х) - уравнение профиля скорости подводных течений, Уг - скорость внутреннего потока гидросмеси, д = (Е1/иоН3)1/2, где Н - глубина океана(длина трубопровода в неде-формируемом состоянии), Е1 - изгибная жесткость, wo - погонный вес трубопровода в морской воде, 81 = 81 (х;г) = ОЛ)о= 1-2бь 8г=с]/ио=1+2б2,0о, с10- внешний и внутренний диаметры в нижнем сечении райзера. В диссертации показано, что значение константы Липшица для задачи (4)

I * ЦО) = Т1(1в21Ро(0) + 1)(Т1 - I)"1 /1+(Т1 - I)2 16 / Г1,

при Т1 - 1+0 !,-•«>, что вызывает появление серьезной неустойчивости счета при использовании классических вариантов численных методов пристрелки.

Несомненным преимуществом алгоритмов метода пристрелки, стимулирующим дальнейшее их развитие, является то, что они применимы непосредственно к исходным алгебраическим и дифференциальным соотношениям соответствующих модельных уравнений . Поэтому вся необходимая подготовка к численной реализации этих алгоритмов ограничивается, как правило, приведением к безразмерному виду соответствующих геометрических, физических соотношений и уравнений равновесия.

В диссертации на основе анализа ведущих отечественных и зарубежных периодических изданий последних лет по математике и механике систематизируются и обсуждаются классические схемы пристрелочных алгоритмов численного решения краевых задач нелинейной механики деформируемых систем. Отмечены особенности практической реализации наиболее известных алгоритмов и их модификаций, которые нашли широкое применение в задачах расчета тонкостенных пластин и оболочек. Сделан вывод о том, что необходимы такие модификации метода пристрелки, которые надежно работают в условиях возможного быстрого роста пристрелочных траекторий, не требуют разрешимости задачи Коши обязательно на всем отрезке интегрирования и сходятся к точному решению при любом, даже "очень грубом" начальном приближении. В работах Кузнецова В.В. предложен и теоретически обоснован новый подход к численному решению нелинейных краевых задач механики с разделенными граничными условиями - методом параметризации граничных условий (МПГУ). Он с успехом был использован в новых, трудных с вычислительной точки зрения задачах механики тонкостенных стержневых систем, пластин и оболочек с учетом различных нелинейных факторов, включая воздействие на них агрессивных сред.

В настоящей диссертации МПГУ развивается для нелинейных краевых задач механики с неразделенными граничными условиями.

Рассмотрим нелинейную двухточечную краевую задачу (НКЗ) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с неразделенными граничными условиями

dy/dx = f(x,у), (5)

Ay(0) + By(l) = С (6)

Здесь у: [0,1] - Rn, f:[0,l] * Rn - Rn,C 6 Rn, А, В - квадратные (n x n) числовые матрицы. В общем случае задача (5)-(6) является некорректно поставленной, так как может иметь несколько решений, неустойчивых к малым возмущениям граничных условий (6). Введение (исходя из содержательного смысла постановки задачи) некоторых дополнительных условий, выделяющих единственное решение у*(х), позволяет сузить область возможных решений до множества корректности. Будем считать здесь, что такие условия допускают представление в виде

у(х) е 6(Х) с r, X е [0,1] (7)

Кроме того, предположим, что если у*(х) (к = 0,1,...) является решением системы (5), удовлетворяющим возмущенным граничным условиям Аук(0)+ Вук(1) - С » гк, то из сходимости тк - 0 следует равномерная сходимость {ук(х)> - у*(х). Таким образом, имеем краевую задачу (5)-(7), решение которой существует, единственно и устойчиво по отношению к малым возмущениям граничных условий.

"Погрузим" (5)-(6) в однопараметрическое семейство краевых задач вида

у'- Их,у) , А(у(0)-у°(0)) + B(y(t) - у°(т))-0, (8) где 0< t = т(р): т(р°) < ... < Tip1) = 1 - ограниченная функция вектора начальных параметров р = у(0) б R, у°(х) - известное решение некоторой "родственной" задачи

у°' = f°(x,y°) , Ау°(0) + Ву°(1) = С (9)

Непрерывно дифференцируемый оператор f°: [0,1] * Rn Rn может быть выбран произвольным образом, однако, с точки зрения реальных вычислений желательно, чтобы он отражал какие-либо качественные особенности поведения искомого решения.

Условие (7) представим тогда в виде

у(х) е G(x) = S(y°,r) (Ю)

Здесь S(y°,r) = { р е Rn : || Y(x,p) - Y°(x,p°)|| < г> (0 < х < 1), Y°(x,p°) - известное решение соответствующей задачи Коши : у°' = f°(x,y°), у°(0) = р°, г б (0,+~).

Зависимость t(p) необходимо построить таким образом, чтобы получающаяся в методе пристрелки конечная последовательность рк

(к=0,1,...,1<~) обеспечивала достижение конца отрезка интегрирования 0<т(р°)<.. .ctCp^l.a пристрелочные траектории y(x)=Y(x,p) на отрезках tO,r(pk)] были бы ограниченными. Пусть i(pbsup{x 6(0,l]:Y(x',p) £ S(y°,r),0 < х' < х;р £ S(p°,r)> (И) При такой параметризации граничных условий любая траектория у(х) = Y(x,p) с начальным вектором р е S(p°,r) на отрезке t0,t(p)3 находится в шаре S(y°,r), причем если t(p) < 1, то при х = т(р) она оказывается на границе этого шара, а затем вне его.

Для построения последовательности {pk}:T(pk+1)>t(pk),к-0,1, ....1-1<™ будем использовать метод Ньютона-Рафсона-Канторовича pk+i = рк . OF(pk)/ap)-1 F(pk), (IIa)

где F(p) = { А(р-р°) + B(Y(t(p).p) - Y°(T(p),p°)) К Определяем в соответствии с (11) на каждом шаге итерационного процесса(На) функцию t(pk), к > 0 так, чтобы || F(pk) || = г, исходя из найденного относительно известного стартового вектора р° значения х(р°) > 0. На заключительном этапе алгоритма строим последовательность р^р1"1"1,..., минимизирующую норму функционала невязок II F(p) II = II Ар + BY(l,p) - С || при соблюдении в (11а)условий Т(рк) - 1, || F(pk) И > || F(pk+1) И ( к - 1.1+1,...).

В диссертации доказаны теоремы о равномерной сходимости описанного здесь алгоритма МПГУ и конечности числа итераций 1 для достижения конца отрезка интегрирования.

Успех практической реализации алгоритма МПГУ определяется удачным выбором вектора функции параметризации граничных условий. Метод возмущения области интегрирования был использован для решения краевой задачи нелинейной механики тонкостенных конструкций в кандидатских диссертациях Пакаотовой Е.В., Косян H.A., Кубасовой И.П., Околесновой О.Н., Андрейченко Д.К. и др.

Выбор наилучшей схемы использования МПГУ для конкретной краевой задачи заключается в анализе эффективности применения и других способов построения траекторий переноса граничных условий. В работах В.В.Кузнецова установлена эффективность использования асимптотических формул в качестве траекторий параметризации граничных условий для численного решения задач гидроупругости стержневых систем.

Численная реализация разработанных алгоритмов МПГУ проводилась на основе стандартного программного модуля с использованием системы программирования Турбо-Паскаль (7.0). Для численного ин-

тегрирования задач Коши использовался известный алгоритм Кут-та-Мерсона с постоянным шагом интегрирования h - 0.01.

Были рассмотрены два основных класса задач. Первый из них -это задачи расчета характеристик НДС глубоководного райзера для различных профилей подводных течений, описываемые системой (4), в которой 9i= 62 ■ 1.Далее рассматривались задачи определения характеристик длительной прочности райзера при его агрессивном взаимодействии с внешним потоком окружающей жидкости. Влияние агрессивной среды учитывалось в процессе коррозионного износа стенок райзера

d5j/dt^j(t;6i), 6j (s;0)=0 3=1,2, (12)

где 6j=6j(s;T) - расчетное нормальное напряжение в рассматриваемом сечении: 6i=6t+6bj: 6t=T/F,6bj=Er|k|; T,k - соответственно, продольное усилие и кривизна, rj=-(0,5D (j=l), 0,5d (j=2)>.

Задавая конкретное выражение функционалов Ф^(Г;бi) в (12), определяем на каждом временном шаге t>0 относительные диаметры 8i=0i(x;t) (1=1,2) и расчетные нормальные напряжения 6j=6j(x;t)=6t+6bj из решения краевой задачи (4). Время "жизни" райзера (t*) находится из условий нарушения критерия прочности бi*=тахбj<6r (6r-расчетное сопротивление) или сплошности сечения 0<х<1

5i(Do/do)+62 < 0,5((D0/d0)-l) (13)

В качестве функции прерывания пристрелочных траекторий в алгоритме МПГУ применялась

Т(р) = sup { х 6 (0,1]: |р-р°| < П, |u-u°| < г2 >, (14) где га, гг - искомые параметры метода, р° = Фо°(0), и0- известное аналитическое решение линеаризованного аналога задачи расчета характеристик НДС райзера (4.) (алгоритм 1):

и

О"

U0' = h(x),

Т1 + х -1 (15)

и°(0) = и°(1) = О

г ФйЬ ! Фг^ где и0 = С1Ф1 + С2Ф2+ Ф2 - <3х - Ф1 I-ёх , где Ф1 = 1,

Ф2 = (Та - 1 + х)1_п, = (1 - п)?Т1 - 1 + х)_г1.

Также использовалась процедура переноса граничного условия по длине отрезка интегрирования, когда и0 принималось равным нулю (алгоритм 2).

+

Варьируемыми параметрами модели являлись Та и а (максимальное значение скорости подводных течений), где 1.01 < Т1 < 1.8, 0.5 < а < 2.0. Использовались следующие законы для профиля ско-

рости: 1) Ус = <хх; 2) Ус = ах1/4; 3) Ус = ах4; 4) Ус

ах

1/8.

5) Ус =

Вх, 0 < х < х0 а - В

В +

-(х - х0), х0 < х < 1

1 - х0

где а) хо=0.8 8=0.125, Ь) хо=0.5 В=0.2 с) хо=0.2 В-0.5

6) Ус =

ах, 0 < х < х0 1 + х0

а С х0 -

1 - х0

где х0 = 0.8 (X - Хо)], Хо < х < 1

V) Ус =

где х0 = 0.8 в = а , где а - экстремальное значение скорости подводного течения

Вх, 0 < х < х0 - а , х0 < х < 1

Были найдены оптимальные значения параметров п,гг(обеспечивающие максимальную скорость продвижения по длине отрезка интегрирования. Так, например, для профиля 7) получены Г1=1, гг=1 (алгоритм 1); Г1=1, гг=6 (алгоритм 2). 0 ходе вычислительного процесса итерационного уточнения недостающего начального параметра можно судить по результатам, приведенным в таблицах 1,2.

Было проведено исследование характеристик напряженно-деформируемого состояния трубопровода с постоянной толщиной стенки. Типичное распределение характеристик НДС по длине нефтеподъ-емника приведено на рис. 2 (Т^ = 1.1, а = 1.0, профиль 1)). Результаты расчета характеристик НДС (для профиля 7)) приведены в табл. 3, где и* - максимальное отклонение точек осевой линии трубопровода, ф* - максимальный угол поворота, бь* - максимальное напряжение изгиба в поперечных сечениях трубопровода, 64* -расчетное нормальное напряжения в поперечных сечениях трубопровода, х* - координата опасного сечения.

Оказалось, что для диапазона изменения параметров 1.2 < Т1< 1.3 и 0.5 < а а 1.0 можно воспользоваться решением линейной краевой задачи (15) (характеристики НДС, полученные из решения задачи (4) практически совпадают с соответствующими их

Таблица 1

Алгоритм 1

(ТыО Р1° Т(Р1°) 1 к Р1к

(1.3,0.5) - 0.0089 1.0 0 1 - 0.0090

(1.1,2.0) - 0.3688 1.0 0 1 - 0.3734

(1.05,1.5) - 0.3766 1.0 0 1 - 0.3843

(1.05,2.0) - 0.6695 1.0 0 2 - 0.7026

Таблица 2

Алгоритм 2

(Та,«) Р1° т(Р1°) 1 к Р1к

-1 0.07 2 1 - 0.009

(1.3,0.5) 1.0 0 1 - 0.009

1 0.07 2 1 - 0.009

-1 0.15 1 2 - 0.3734

(1.1,2.0) 1.0 0 2 - 0.3734

1 0.15 1 2 - 0.3734

-1 1.0 0 3 - 0.3843

(1.05,1.5) 1.0 0 2 - 0.3843

1 0.43 1 2 - 0.3843

-1 1.0 0 2 - 0.7026

(1.05,2.0) 0 1.0 0 3 - 0.7026

1 0.4 1 3 - 0.7026

значениями, полученными из решения ее линейного аналога).Необходимо заметить, что Форш профилей подводных течений по-разному влияют на расчетное нормальное напряжение: в области малых перемещений и углов поворота значение б! практически не зависит от формы профиля подводных течений (Т1 = 1.2, а = 0.5), а при Т1 = 1.2, а = 2.0 - 61 зависит существенно.

ЮОИм

500

<1, Л

О

тон

500

6)

50 %, г/гсу

том

500

о

Рис.2.

г)

30

<4 В)

бь.МПь НО <31,МПа 150

1000н

500

Таблица 3

а 0.5 1.0 2.0

Т1 X* и* X* Ф* X* * и X* ф" X* и* X* Ф*

1.3 450 1.83 0 0.52 450 7.32 0 2.06 450 29.30 0 8.26

1.2 430 2.12 0 0.73 430 8.50 0 2.93 430 34.04 0 11.72

1.1 390 2.53 0 1.33 390 10.12 0 5.31 390 40.63 0 21.40

Т1 X* бь" X* б/ X* бь* X* б!* X* ^ * ьь X* б/

1.3 810 4.46 990 87.90 810 17.83 970 116.81 810 70.28 810 161.31

1.2 810 4.98 980 99.84 810 19.90 970 109.62 810 78.16 810 160.98

1.1 810 5.64 980 91.89 810 22.54 970 102.63 810 88.06 810 162.68

Результаты проведенных исследований показали, что алгоритмы МПГУ надежно работают и для недифференцируемых правых частей и даже для разрывных правых частей (задавая, например, профиль в виде закона 7).

С целью проверки точности получаемых на основе использова-

ния МПГУ результатов была рассмотрена тестовая задача стационарной буксировки металлического троса с присоединенной концевой массой сферической формы в плоскости потока окружающей жидкости при отсутствии подводных течений. Интерес к этой задаче обусловлен тем обстоятельством, что по ней имеются как экспериментальные данные натурных измерений характеристик НДС троса, так и результаты их численного определения на основе использования метода конечных элементов. В табл. 4 приведены результаты определения характеристик НДС троса, полученные различными методами. Они свидетельствуют о высокой степени точности алгоритмов МПГУ и достоверности получаемых на его основе результатов.

Таблица 4

МПГУ Метод конечных элементов Эксперимент

Фо(0),гр и 14 10

Фо(1).гр -79 -89 -82

То(0),кН 2.67 2.61 2.66

Т0(1)»кН 2.78 2.88 2.96

(Фо(1) - значения угла отклонения от нормали в граничных сечениях 1=0 и 1=1,Т0(1)-соответствующие значения продольного усилия).

В качестве закона коррозионного износа в задачах определения характеристик длительной прочности глубоководного райзера использовалась математическая модель, предложенная И.Г.Овчинниковым, В.В.Петровым, которая достаточно адекватно описывает поведение металлоконструкций, взаимодействующих с агрессивными средами:

с! 1

— (И/Ь0) = -- (»0+016!), И/Ио = (01-ро)/(1-РО). (16)

с!т Ьо

где 11о - значение толщины стенки райзера при г=0, |1=Ь(х;Т), Во.

- эмпирические параметры модели, б¡=бь(х;т)+(тю/а1)То, гю=2шнН2/Е0о. На каждом временном шаге определялось новое значение распределения толщины стенки райзера в соответствии с законом (16). В качестве начального приближения (т»°) к времени разрушения (т») райзера использовалось точное аналитическое решение рассматриваемой задачи, если считать, что в (16) б1=б1=гюТо/а1 (х;Г), То=по(Т1+х-1), т.е. в условиях пренебрежения изгибных напряжений. В этом случае опасным сечением является х=1 и из условия б! (1; т) =6р находим

01"(1)= /1/п(иоТ1/бК+г1-1)

Такой прием позволил существенно сократить время счета по определению окончательного распределения толщины стенки райзера при его разрушении и позволил использовать для определения х» обычный вариант метода Ньютона, решая уравнение тах (х;т) =

0<х<1

х*х*° не более, чем за две - три итерации. Некоторые результаты решения задачи для профиля 6) представлены в таблицах 5-7. В таблице 5 приведены значения безразмерного времени "жизни" райзера в зависимости от значений параметров Тх, о. Экстремальные значения абсолютных величин смещения (и»), углов поворота (ф«), осевой линии райзера, изгибных напряжений (бь«) и расчетных нормальных напряжений (61«) приведены для различных временных интервалов в таблице 6 СТа=1,1, а=2,0). Таблица 7 иллюстрирует положение опасного сечения (х*,м,где б^-тах).

Таблица 6

Таблица 5 X

а Т 1.1 1.2 1.3 0 0.5г„ X,

0 5 2. 5874 2.2204 1.8991 и* 22.3612 22.1160 21 9452

1 0 2. 4740 2.1128 1.8031 ф« 11.1614 11.0670 10 9996

1 5 2. 2175 1.8818 1.5840 <>Ь« 37.8141 35.8599 37 3579

2 0 1. 7084 1.4327 1.1947 6а„ 123.0567 147.0891 188 3138

Таблица 7

(Т1;«),м 0 0.5т» X«

(1.2;2.0) 980 980 990

(1.05;2.0) 980 980 990

(1.3;0.5) 990 990 990

Из этих таблиц видно, что, например, положение опасного сечения (где 61 = тах) практически не зависит от формы профиля подводных течений. Полученные результаты позволяют сделать вывод о различном влиянии на характеристики длительной прочности формы профилей подводных течений - в области малых перемещений и углов

поворота значение времени "жизни" райзера ( t * 2.22) практически не зависит от формы профиля подводных течений (Т1=1.2,а=0.5).

Рассмотренные примеры позволяют сделать общий вывод о высокой степени эффективности МПГУ, так как его применение обеспечивает: 1. Адекватное воспроизведение характеристик механической системы в пределах принятых гипотез и допущений; 2. Автоматическую адаптацию хода вычислительного процесса к качественному изменению траекторий дифференциальной системы в условиях возможной неединственности решения (при наличии предельных или бифуркационных точек); 3. Независимость программной реализации метода от конкретной постановки задачи исследования.

Основные результаты работы и краткие выводи:

1. Для произвольно выбранной ограниченной вектор-функции параметризации граничных условий доказана теорема, устанавливающая конечность итерационного процесса движения по длине отрезка интегрирования и равномерную сходимость последовательности пристрелочных траекторий к своим точным значениям.

2. Существует два принципиально возможных способа построения вектор-функции параметризации граничных условий: использование известного решения соответствующих линейных краевых задач и главных членов асимптотических разложений искомого решения.

3. По единой схеме построены главные члены асимптотического разложения уравнений нелинейного деформирования гибких оболочек вращения, а также одномерных уравнений метода Власова-Канторовича для прямоугольных в плане гибких пологих оболочек.

4.Разработан универсальный программный комплекс,подразумевающий использование ПЭВМ и предназначенный для численного решения широкого класса краеьых задач в механике деформируемых систем.

5. Для рассмотренных в диссертации задач расчета статических характеристик глубоководных нефтеподъемников алгоритмы МПГУ надежно работают для дифференцируемых, недифференцируемых правых частей и даже для разрывных.

6. Применение в качестве траектории параметризации граничных условий известного линейного аналога рассматриваемой нелинейной задачи механики глубоководных трубопроводов значительно ускоряет движение по длине отрезка интегрирования.

7. При решении задачи определения статических характеристик глубоководных нефтеподъемников морских гидротехнических комплек-

сов методом прямого переноса граничных условий по длине отрезка интегрирования оптимальные значения постоянных метода следующие: П - 1, г2 - 6.

8. При решении задачи определения статических характеристик глубоководных нефтеподъемников морских гидротехнических комплексов методом линейной параметризации граничных условий оптимальными значениями постоянных метода являются: ri = 1, = 1.

9. Решение задачи определения статических характеристик глубоководных нефтеподъемников морских гидротехнических комплексов является наиболее близким к решению соответствующей линейной задачи в диапазоне изменения параметров 1.2<Ti<1.3 и 0.5<а<1.0.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Кузнецов В.В., Козырева Е.А. Применение метода параметризации граничных условий в задаче расчета тонкостенной сферической оболочки, сжимаемой жесткой пластиной. - Сарат. полит, ин-т. - Саратов, 1991 г. - 5с.: ил. - Библиогр. 3 назв. - Рус. -Деп. в ВИНИТИ 25.06.91, N2688-B91.

2. Кузнецов В.В., Козырева Е.А. Результаты тестирования алгоритмов метода параметризации граничных условий. 4.1. Умеренно- жесткие дифференциальные системы.- Сарат.полит.ин-т.-Саратов, 1991г.-15с.: ил.-Библиогр.7 назв.-Рус.- Деп. в ВИНИТИ 25.06.91, N2689-В91.

3. Кузнецов В.В., Козырева Е.А. Результаты тестирования алгоритмов метода параметризации граничных условий. 4.2. Дифференциальные системы с большими значениями константы Липшица.-Саратовский полит.ин-т.-Саратов,1992. -1 Зс.: ил.-Библиогр.йназв.-Рус. -Деп. в ВИНИТИ 09.03.92, N773-В92.

4.Кузнецов В.В., Козырева Е.А. Результаты тестирования алгоритмов метода параметризации граничных условий. Ч.З.Исследование продолжения решения по параметру.-Сарат.полит.ин-т.-Саратов, 1992. - 11с.: ил.- Библиогр. 1 назв.-Рус.-Деп.в ВИНИТИ 09.03.92, N774-В92.

5. Кузнецов В.В., Козырева Е.А. Эффективный алгоритм численного решения нелинейных двухточечных краевых задач с неразделенными граничными условиями.-Сарат.техн.ун-т-Саратов,1993.- 12с. 5-Библиогр.4 назв.-Рус.-Деп.в ВИНИТИ 10.01.94, N 34-В94.