Построение и исследование вычислительных алгоритмов, основанных на пристрелке и понижении порядка систем сеточных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

■ч Ь ин

академия наук беларуси

1 д АН? 1503 институт, математики

На правах рукописи

нгуен тхи >Й£НГ МАЯ

построение и исследование вычислительных алгоритмов, основанных на пристрелке и понижении порядка систем сеточных уравнения

01.-01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1933

Работа выполнена на кафедре численных методов и программирования Белорусского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор П. И. Монастырный

Официальные оппоненты - Янович Леонид Александрович-член-корреспондент АН Беларуси, доктор физико-математических наук (ИМ АН Беларуси) Жадаеьа Наталия Григорьевна - кандидат физико-математических наук, доцент (БГУ, • физический факультет)

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится аирмл- 1993 года в 46°°

часов на заседании специализированного совета К 006.19.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу : 220072, г.Минск, ул.Сурганова, 11, Институт математики АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан " Мо^а, 1993 ГОда

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ. -мат. наук

лл С>-м-|\э|" А. И. Астровский

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В вычислительной математике одной из актуальных и важных является проблема разработки вычислительных методов решения

систем сеточных уравнений, которые обычно возникают в приложениях и, в частности, при применении различных разностных методов для решения как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. Такие системы сеточных уравнений в большом числе случаев обладают целым рядом специальных свойств: они имеют очень большой порядок, равный числу узлов сетки; системы, как правило, плохо обусловлены (в случав систем линейных сеточных уравнений) или их матрицы Якоби (в случае систем нелинейных сеточных уравнений) являются разреженными и ленточными. По этим и ряду других причин этой проблеме уделяется особое внимание в большом числе монографий известных советских и зарубежных математиков: Марчука Г.И., Самарского

A.A., Андреева В.Б., Николаева Е.С., Яненко H.H., Лебедева

♦

B.И., Воеводина В.В., Ильина В.П., Кузнецова И).А., ХеЙгемана Л., Янга Д. и других.

Д-чя решения систем линейных сеточных уравнений построен и исследован ряд прямых методов, в том числе метод матричной прогонки и различные его варианты, экономичные прямые методы: метод полной редукции, метод разделения переменных,, комбинация метода полкой редукции с быстрыми преобразованиями Фурье и некоторые их модификации. Эти методы обладают достаточно . удобной реализацией, высоким быстродействием и точностью, однако надо отметить, что они предназначены в основном для решения систем сеточных уравнений невысокого порядка и специального вида, их применение требует большого объема памяти . ЭВМ и всегда сопряжено с необходимостью выполнения множества

специфических ограничений, налагаемых на свойства элементов матрицы решаемой системы, на их размерность и других условий, обеспечивающих сходимость и устойчивость названных методов. Вычислительная практика показывает, что в ряде случаев такие требования не выполняются и применение этих методов становится затруднительным или невозможным.

Итерационные методы применяются главным образом для решения сложных задач большой размерности, для которых в силу ограничений, налагаемых на объем памяти ЭВМ и число арифметических операций, использование прямых методов оказывается весьма затруднитеньным или недостаточно эффективным. К итерационным методам можно отнести различные двухслойныетрех-. слойные методы (метод с чебышевским набором параметров, .метод скорейшего спуска, метод минимальных невязок, метод сопряженных градиентов и др.), метод переменных направлений (метод Зейделя» метод верхней релаксации), попеременно-треугольный метод и др. Теории таких методов посвящено большое число работ Самарского A.A., Яненко H.H., Николаева Е.С., Хей-гемана Л., Янга Д., Марчука Г.И., Лебедева В.И., Фадеева Д.К., Кузнецова Ю.А., Ильина В.П., Капорина И.Е., Воеводина В.В., Асельсона 0., Банка Я.^ Дйниела Дж., Бузби Б., Голуба ffi., Яо-вела Дж., Конноса П. и др.

Решение систем нелинейных сеточных уравнений занимает особое место в вычислительной математике, специализированным численным методам решения этой проблемы, по нашему мнению, не уделялось должного внимания,'а в ряде случаев они просто не рассматривались. Для решения таких систем часто используется

_ 4 _

метод Ньютона или различные его модификации, в вычислительных схемах которых из-за высокого порядка системы вычисление матрицы Якоби и решение соответствующих систем ЛАУ являются довольно трудоемкими процедурами, снижающими эффективность методов в целом.

Поэтому актуальной является разработка таких вычислительных алгоритмов, которые сокращали бы размерность решаемых систем, ослабляли бы вышеупомянутые труднооти, присущие традиционным итерационным методам, и при атом в ряде важных случаев сохраняли бы основные конструктивные свойства решаемых систем. Эти проблемы и сопутствующие им вопросы занимают центральное место в диссертации. ■

Цель работы. Построить и обосновать вычислительные алгоритмы, основанные на процедуре множественной разностной пристрелки для решения систем как линейных, так и нелинейных трехточечных векторных уравнений, а также их обобщение на случай систем сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка.Выполнить.ряд испытательных и прикладных вычислительных экспериментов.

Научная новизна. Предложены новые вычислительные алгот ритмы для решения сеточных граничных задач, с помощью которых удается существенно понижать размерность решаемых систем и в большой мере с выгодой использовать другие свойства, сопутствующие успешным вычислениям. Предложены и исследованы на ус- ' тойчивость и сходимость вычислительные схемы метода множест- ,; венной разностной пристрелки для решения систем линейных.и . нелинейных сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка. Проведено изучение спектральных свойств матриц замыка-,

ющих'систем, полученных при применении метода множественной разностной пристрелки. Установлены возможности регулировки их свойств, улучшения и определения оптимального выбора точек пристрелки. Показано, что во многих случаях наряду с уменьшением размерности решаемых систем наблюдается и важное улучшение спектральных характеристик (например, число обусловленности), что может быть использовано при ускорении сходимости соответствующих итерационных процессов. Для решения систем нелинейных сеточных уравнений дэно исследование и применение метода множественной разностной пристрелки. Изучены свойства 1 итерационного процесса для решения замыкающих систем и исследован ряд важных вычислительных характеристик, определяющих качественную сторону вычислений.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при решении широкого класса систем как линейных. так и нелинейных, сеточных уравнений специального и общего вида, а также, при.изучении вопросов сходимости и устойчивости итерационных процессов для их решения. Они позволяют проводить оптимизацию вычислительных алгоритмов в смысле выбора параметров пристрелки, числа и длин подинтервалов пристрелки, регулировки свойств матриц Якоби для замыкающих систем, улучшения сходимости и лучшего использования памяти ЭВМ.

Апробация работы» Результаты диссертации докладывались на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники.для гонения народнохозяйственных задач (1988 ^Республиканских чтениях по дифференциальным уравнениям (Минск, 1990), на семинарах по

вычислительной математике в БГУ и ИМ АН Беларуси.

Публикация. По теме диссертации опубликовано 5 работ [1-5].

Структура и объем диссертации. Диссертация соотоит из введения, четырех глав, заключения, содержит 30 таблиц и'10 ' рисунков, список литературы включает 94 наименования. Общий объем работы ¿и странице»,

П. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ : ' ■' : ' _ • ;

Во введении дано обоснование актуальности темы, работы, ; приведен краткий обзор близких по направлению исследований', .■ изложены цели работы и краткое содержание диссертации по гла» вам и параграфам. ■■ ' ..

В первой главе рассматриваются трехточечные реточные. . ■ граничные задачи эллиптического вида и итерационные адгорит-мы для их решения, основанные на множественной пристрелке.

В § I рассмотрена общая трехточечная срточная задача; ' > :<'>;

СьХ У 6Д = Р0 , ^ о , ' ( 2)'

^Л-Л + = , N , ( 3)

где ) ; А|" )В| ) ^ = - заданные векторы .и ; •

матрицы размерности И , а - неизвестные, подлежащие

определению. '

При решении граничных задач вида ( 1-3) в большинстве случаев полагается, что матрицы , '

в (I ) являются невырожденными. Поэтому задачу' (1-3) можно '

-1 - •' V ' - Г

.Привести к эквивалентной, более простой задаче, которая записывается в следующем нормализованном виде:

. + (гоЧ0 - ) (5)

,• ММ + Нь^м= • ( б)

, ''г,' Задачи, вида (4-6) являются распространенными в теории вы-..числительных методов. Они представляют собой систему ЛАУ размерности М(Н-н) ; ..Применим к этой задаче метод множест-ренной разностной пристрелки. Пусть , где лги

.'.определяет число подинтёрвалов пристрелки, а.число р их диниа . Выберем точки пристрелки ¡^О^ 5 р, р+4. • ?.и соответствующие параметры, пристрелки л ..

у.►) , • Предсказываем зна-

чений параметров пристрелки ^ ^

¿р решаем разностные задачи Коши на подинтервалах пристрелки

V " Ц < 7)

Значения решения задачи (V) на правом конце подинтёрвалов могут быть записаны в виде:

Хм? ^Чри. + + , ( 8)

• вСЙ Г)1^ л11"* 1,(0 г 1(0

где матрицы ^ , , 6р } и векторы (£>з

вычисляются по рекурентным формулам: ,

Р„ Е , Ро = О , ио^г, М о ^ о г^ _

,и0

]

:(0

«Л

сшива, получим систему:

.. . . ' I .

В силу непрерывности решения,соединяя значения в точках ..'

"■•■•' ; ( 9)

где У- (I, ^ , Чр ? Урн г>. } ^>у>+„ У~£ у-

а матрица

I

имеет вид:

к

Сго ; ^ 0« р;о) р

ЧР » 7

л1<Л 1о)

% ) Рм > °> "Ь

о, - Ь

а; нл.

- я

Численное решение системы (4) потребует сначала вычис-

10 У • С •

Ч-ОЙЧ.-I а затем применить прямые метопы решения системы ЛАУ, Гнйг|рймер, метод исключения Гаусса. Здесь размерность начальной вш ЛАУ уменьшается примерно в раз, а объем памяти

1 .....

ГЭШ,для вычисления Ыр" , "М , $"1 мовно 0ГРани~

уить объемом' памяти для вычисления этих матриц только при оц-

/нбм значении • V

•' I Одним из известных примеров задач типа (1-3) является, на-,пример, '¿калярная задача с постоянными коэффициентами вица:

;.: ^о- * > > > 1>>6>0-

(Ю) (II)

Для этсй задачи ■ зашкающую матрицу легко можно преобразовать к трехдиагональному виду:

а,

7

' сг \ Ир.^ , Нр.^

' Матрица А обладает некоторыми специальными свойствами, что по зволяет применять для решения систем более широкий круг извест-

но -

ных методов. Справедлива следующая лемма.

Лемма I.I. Матрица Д является положительно-определенной.

Лемма 1.2. Спектр матрицы А состоит из следующих чисел

f "(А). Нм ifc^^^f , , i^n

и число обусловленности можно представить следующим образом

Щ).. нн * fHn > * + с Г*1

На основе леммы (I.Í-2) предложен и исоледован алгоритм 1 решения задачи (б—6) методом множественной разностной пристрелки в сочетании с методом сопряженных градиентов.

vi») / fe)T <„1>Г Алгоритм I. Выберем начальное приближение J » ^ у л' JL. ■ ■

■ tv ¿V ^ т \г гай

, V-Opt,) 6 01 ' ' '

п^ } ífil0)T íto)r 01¿)T Y

1. Начало. Вычисляем К я' л- п J = VJ^ , *>р Wj

по правилу: _

CVfj*!} , Wo , Чг-^ , UO^Hr,

получаем Wp и полагаем ^ ? ^ л ^ ?

получаем и полагаем цИ). w . ,fK^--V\/t Ч-^рН

2. Положим _ ^ . Предположим, что известно-.

- U -

ЦТ и)г иуг <Г 1К(0Гли>Г

> Лр ? , , вычисляем иь _ ^ ^

11 по правилу:

По определению здесь о е 41м, к. - о, I, I, • • •

Получаем "Ч^'р и полагаем .. Ли) ,.. р

Г Р = I ? V ,

■ ' ГТ

^Р =■ $ , МрН ^ ^ ; .

Получаем и полагаем щ ,

3. Дальнейшие шаги алгоритма представимы в следующих формулах:

Следующие теоремы устанавливают сходимость и конечность предлагаемого алгоритма I.

о

Теорема 1.1. Векторы невязки ^ взаимно ортогональны, то есть

= О , если

Теорема 1.2. Существуем 64 М(л»»-Л ,

при котором (Ь-в О . и ^ , i

- искомое решение задачи (5-6).

Отметим особенности алгоритма I: в процессе численной реализации алгоритма не требуется реальное вычисление матрицы

и вектора правой части , а выполняются лишь умножения матрицы С на векторы, что мохет существенно улучшить вычисления и ослабить накопление погрешностей округления,

№вестно, что успеаное применение большого числа итерационных методов сопряжено с достоверной информацией о спектральных свойствах, с определением числа обусловленности замыкающих систем, от которых во многом зависит сходимость итерационных процессов. В § 2 рассмотрены модельные трёхточечные разностные уравнения, который представляет собой одну из частных разновидностей разностных уравнений вида (10-11):

Система (12-13) возникает, например, в простейшем случае при аппроксимации дифференциальных уравнений второго порядка вида ц- I или - .В этих случаях значение (£ определяется соответственно характерными формулами:

Ь или СгЪ+Ь^ЬУ | где /^-величина

шага сетки, используемой в процессе решения дифференциальных уравнений методом сеток.

Обозначим матрицу замыкающей системы задачи (12-13) через "У •. Справе.длиЕЫ еле,дующие леммы.

-О-

Лемма 2.4. Матрица является симметрической, положи-

тельно определенной.

Лемма 2.5. Спектр матрицы И принадлежит множеству, со-ртоящему из Цм и пар значений:

± ^иД V 4- V ' ^ .где

ЛЗ^иЛ " многочлен Чебышева второго рода степени п-относительно Я* .

В ряде случаев наблюдается существенное улучшение числа обусловленности (?([17) по сравнению с числом обусловленности &(£) начальной системы (см. таблицу 2.4).

............. ..........Таблица.2.4./Лг^>К = /ЧОД?. '/¿00 /

: Р ! п/ю ^ /6 П</4 Г173 <г/2

.407). { 24,095 ] 30,210 . 40,559 62,109 85,312 139,39

игШ) 1 0.0633 | 0,1004 0,1808 0,4075 0,7147 1,5235

6*07) | 380,85 : 300,83 224,33 152,40 119,37 91,495

к*) ; 1 4152.7

В таблице 2.4 мот) и ^ Си) есть максимальное и минимальное собственное значение матрицы "\7 ......

В § 3 основное внимание уделено методу двусторонней пристрелки. В этом случае размерность замыкающей системы сокращается в р раз. Одновременно построен алгоритм решения втоЯ системы, аналогичный алгоритму из 5 I.

¡Во второй.главе построены и исследованы вычислительные

алгоритмы, основанные на множественной разностной пристрелке

(

и понижении порядка систем уравнений в случае сеточных гра-

ничных задач общего вида и произвольного порядка.

В § 4 исследуются системы сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка:

X (5) __(14)

¿л ^ \ - 0,0 > ¿ - ? Л,=-ин * <М го „(Г) -

Предложен общий метод, основанный на пристрелке траекторий, для решения систем (14). Пусть №=.1^+4. , где »уу, р^ , <[ >7^0 . Выберем точки пристрелки | :

-■и 7 г,..., О, I г.., 1 р; Рм.,..., |Ч\>-1

и соответствующие им параметры пристрелки ^ ^д,)-*- V«? ^

V*» ^ V'''' V>1"' ' ""'Ч-''•

Не умаляя общности, можно считать, что _ с • • ■ _ г °

] = -(,N-1 • Решаем пристрелочные задачи Коши на поло-

жительных подинтервалах пристрелки [_Ср "М . Ор > ^

ГД6 ^и ' -некоторые

начальные. приближения к.параметрам пристрелки. ........

Значение решения пристрелочных задач Капп (10) на правом

- 1<Г -

конце подинтервалов пристрелки по своей сути являются некоторыми линейными комбинациями от начальных значений ^^ , С ,\) и могут быть представлены в виде:

,.Л „ ж«)

М

правилам :

где матрицы и векторы . вычисляются по

г СО (^¿Ы _

г (О _

=0 . ^ *

где к, и есть символ Кронекера.

Чтобы значение ^ были решением граничной задачи (14), необходимо выполнение условий непрерывности решения в точках с^иьх и граничных условий, соединяя которые получим систему:

(16)

где замыкающая матрица А имеет вид:

стрелки возможно существенное понижение размерности решаемых задач, и при этом могут быть сохранены такие особенности систем (9), как ленточность, разреженность и т.д.

В § 5 исследовано свойство жесткости и его рол* в граничных задачах и разностных задачах Коши при применении м.р.п. Показан способ определения числа и длин подинтервалов так, чтобы погрешность сеточных пристрелочных траекторий была бы допустимой. В § 6 рассмотрен вопрос, как параметры пристрелки влияют на свойства пристрелочных траекторий на ка;кдом подынтервале и указан способ распределения этих параметров в

методах односторонней и двусторонней пристрелки. Одновременно

- ■

даются сравнительные характеристики алгоритмов метода множественной разностной пристрелки, построенных в §§ 1-4, с некоторыми родственными методами", в частности, с методом матричной прогонки, методом полной редукции по следующим параметрам: по объему памяти ЭШ, необходимому для реализации, по числу арифметических операций, по универсальности. Предлагаемые алгоритмы по сравнения с названными методами являются более экономичными в смысла использования памяти ЭШ, более универсальны- • ми, так как их применение не требует специальных ограничений на коэффициенты, на число N и др. Для решения одинаковых сеточных задач, метод м.р.п. немного, уступает методу матричной .прогонки по объёму вычислений, хотя число операций имеет одинаковые порядки. Указываются также те случаи, когда это проявляется особенно наглядно. •

В третьей глаЕе рассматриваются сеточные граничные.задачи общего вида и итерационные метопу для их решения, основанные на понижении порядка систем и оптимизации.

В § 7 построены и исследованы итерационные алгрритмы, соединяющие пристрелку и метод Ньютона для решения линейной задачи (9), которую запишем в виде:

♦ЭДи*1} > (I?)

(и)'

Мм -Ьн ~о. (19)

Здесь на матриц , ^ , Сг^ , Оо , , Но

никаких жестких условий не налагается и они, вообще говоря, могут быть произвольными.

-ч-

Тогда а) НС?) € , где П^ {*= ¡¡Ь^&У,

V» Л,»* 0 6 ^ро ) V* ? ^р» )''' '; ^ , *'I ) € ^ ,

> 4(2)^=-' 0 и существуют такие .8?о . что у ^ для ^ •

Отметим здесь, что для линейной задачи (11-13) автоматически выполняются все условия теоремы 7.1. На основании этого можно сформулировать теорему о квадратичной сходимости метода Ньютона.

Теорема 7.2. Пусть выполняются условия теоремы (7.1) и, кроме того, ц ^ц ц 6 ^ ) у* £.0, О Г П % .

Тогда при ' Л - I \ ^ , & }

итерационный процесс метода Ньютона для решения задачи (2.0)

.к.

сходится с оценкой погрешности ^12*1!.где

Теоремы 7.1, 7.2 дают теоретическое обоснование применения метода множественной разностной пристрелки для решения систем сеточных уравнений вида.(17-19). Когда оператор является линейным, система (20) является также линейной. В этом случае матрица Якоби совпадает с матрицей замыкающей системы. Решение, вообще говоря, может быть получено сразу после одной итерации. Этот алгоритм имеет большие возможности применения к решению задач такого типа и многомерным задачам. В ?3 рассмотрен вопрос о спектральных свойствах зашка-

- *в -

Из уравнения(17) мы имеем:

чн = -9 v №< 3 % >№)/ г-^ч

Функции $ ,^ называются соответственно правой и ле- : вой нормальной формой. На этой основе применим метод множественной разностной пристрелки. В результате получим замыкающую систему вида:

НС?%о, (20)

где Н*. Й^'-* - неизвестный вектор,

состоящий из параметров пристрелки, £ - ^ > */р1"> "

. Естественно, что при -*■ / ,г.»г

м* т м* Т уг • . & - * - у«,

У) ■) / выполняется равенство ^^^ ^

Для решения системы (14) можно применить различные методы, например, метод простой итерации, метод.спуска, метод Ньютона. Среди этих методов мы отдаем предпочтение.методу Ньютона и его различным модификациям как.наиболее распространенным, универсальным в смысле больших возможностей, применения этих методов к решению уравнений типа (14). В этом параграфе доказаны леммы и .теоремы о связи между свойствами изолированности решения задачи (13-19) и замыкающей задачи (20), свойствами матриц Якоби. и сходимостью итерационных процессов.

Теорема 7.1 Если решение задачи (17-19) изолировано и . выполняются условия: ^ОсДг) £ <«К.ХМ) - .

где ~ правая часть нормальной формы для (17); р)

- ЛО-

(21)

ющих матриц уравнений в случае трехточечных векторных уравнений частного вида:

Уо - (г0 ) - (Г/1 } где 5 , С - постоянные заданные матрицы М ) (та * (тд , рк - заданные векторы и - неизвестные векторы.

Замыкающую систему задачи (21) можно преобразовать к виДУ ■ , 1г-

Д £ = (х , где

Г

А-

Рр,- Б

-гм Р, Р

С , !р , ^

ч-.л

„м

-с рр-

Теорема 8.3. Если выполняются условия: . ...........

1) -Б , С - симметрические положительно-определенные матрицы.»

2) - б *С+Е

причем С В , то матрица Л является положительно-определенной. ...

Теорема 8.4. Д^я собственных значений матрицы Л верны следующие представления

и. о

где

собственные значения матрицы С •

- ЭЛ -

Рассмотрим здесь как выглядят такого рода характеристики в случае типичной задачи вида:

Таблица 8.1 40, к-

100. : • 1000 | 10000

MCA-) 2,34 . IO2 7,35 . IO2 2,09 . 10

rtvOO 5,8 . IO"1 1,1 . IO1 1,04 . IO4

SU) 4,0 . IO2 6,9 . IO1 2,0 .'IO1

ад 3,6 . IO4 3,96 . IO3 4,0 . IO2

В таблице 8.1 величины WCAT) и »n(fo есть максимальное

и минимальное собственные значения матрицы.. А соответственно; - число обусловленности замыкающей системы А. , ОД - начальной системы. Таблицы 8.1-3 доказывают.зависимость И(А) , »п и &(£) от параметра £ . , от значения шага fv сетки <о • от длины р подинтервалов пристрелки.

В § 9 рассмотрен вопрос о зависимости числа обусловленности от выбора числа и длин подинтервалов пристрелки. Показано, что применение процесса множественной разностной пристрелки к системе сеточных линейных уравнений снижает размерность замыкающей матрицы и может дать такие благоприятные, условия для применения метода Ньютона, как, например, хорошую обусловленность якобиановой матрицы, ленточность и т.д.

С такой же целью в § 10 исследована первая краевая задача вида: _ __

X = fo > \ - ,

- n-

Лемма ЮЛ. Матрица V замыкающей системы (22) является симметрической положительно-определенной.

Лемма 10.2. Собственными значениями матрицы "\7 являются следующие величины:

~ин а и4 ± Лйх Зд), 1* £ ыь Шм %

К^мй , и^лы., . где есть

многочлен Чебышева второго рода от £ . .

Для иллюстрации возможности регулирования числа обусловленности и его оптимизации приведем таблицу 10.1 (когда М-9 , К^ОО . .^.= 0,4/-..,..

е 1п 50 . т- 4 • ¡-¿.О - -М- -

£ 27 63 81 171 351

6"СЛЛ. 35877,6 1674,4 634,63 374,39 570,38

819,83

В таблице 10.1 5 - размерность замыкающей системы, <ЛА) - число обусловленности матрицы начальной системы (23). Дчя данного типа задач . рассматривается метод минимальных не-вяяок в соединении с процессом пристрелки. Эта. идея представляется перспективной в том смысле, что появляются возможности улучшения сходимости итерационного метода.

В четвертой главе дается теоретическое обоснование и.практическое применение метода множественной разностной пристрелки для решения систем нелинейных сеточных уравнений.

В § II построен и исследован алгоритм для решения систем нелинейных уравнений вида:

- ¿л-

(24)

где ^ , ^о'Н - неизвестные векторы, подле-

жащие определению, Р -ЛаД] хДМл :> ...

с] > —- заданные функции, дифферен-

цируемые необходимое число раз.

Задачи (23-24) в вычислительной математике относятся к числу малоизученных, специализированные методы для их численного решения по существу не рассматривались. В общем случае функция р в (23-24) имеет произвольный вид и никаких специальных ограничений на нее не налагается. Для вычислительных целей во многих случаях полезно и выгодно получить из (5Ъ) эквивалентные явные выражения . ^^ через у^ или через . Поэтому вводятся здесь понятия правой и левой нормальных форм для нелинейных сеточных уравнений.. Для решения замыкающих систем приведен алгоритм Бройдена, который мы рассматриваем как одну из возможных модификаций, метода Ньютона. По аналогии рассматриваются системы нелинейных сеточных уравнений обшего вида, все возможные варианты метода м.р.п. для решения таких задач и их специфические проявления.

В § 12 исследованы свойства замыкающих систем уравнений в зависимости от разбиения области интегрирования и локализации начальных приближений. Приводятся результаты и анализ ряда вычислительных экспериментов. Анализ спектральных свойств (верхние и нижние грани спектра, числа обусловленности матриц Якоби замыкающих задач и др.) позволяет обнаружить некоторые закономерности изменения числа обусловленности матриц Якоби, его зависимости от выбора точек пристрелки и тем самым полу-

чить возможность регулировать и улучшать спектральные свойства замыкающих задач путем правильного выбора точек пристрелки.

В § 13 рассмотрен вопрос о сходимости методов, построенных в § II. Доказываются леммы 13.1, 13.2, связывающие свой- ■ ство изолированности решений исходной задачи и полученных при применении метода м.р.п. для ее решения замыкающих задач. В этом параграфе также доказаны теоремы о сходимости и квадратичной скорости сходимости итерационного процесса метода Ньютона для решения замыкающих систем, и исследуется ее связь со свойством изолированности исходной задачи. Приведены результаты численного решения сеточных задач при различных стратегиях выбора точек пристрелки. Эти результаты показывают.достаточно высокую скорость сходимости и точность предлагаемого метода. Его преимущество перед'родственными методами также.было подтверждено в анализе сравнительных характеристик методов, который был приведен в § 6.

Ш. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

I. Предложен новый подход к решению систем сеточных . . уравнений, основанный.на идее пристрелки траекторий. Построены и исследованы на устойчивость и сходимость алгоритмы метода множественной разностной пристрелки, и его.модификации для решения типичных трехточечных задач. Предложены вычислительные схемы метода множественной разностной пристрелки для линейных и нелинейных систем.сеточных уравнений, общего вида и произвольного порядка. Такой подход является универсальным и может ослабить или нейтрализовать в большом числе случаев типичные трудности, характерные для традиционных методов реше-

- 2-6' -

ния сеточных уравнений.

2. Дано обоснование методов, основанных на м.р.п., содержащих в себе процедуру решения разностных задач Коши в прямом и обратном направлениях на подинтервалах пристрелки и замыкающих систем ленточного вида. Такие методы обладают рядом преимуществ перед родственными методами в смысле простоты, эконом мизации, быстродействия и легкой применимости к широкому кругу задач. Одновременно исследованы свойства матрицы Якоби для замыкающих систем, свойства пристрелочных разностных задач Коши и некоторые аспекты жесткости. ......

3. Для системы линейных сеточных уравнений построен метод, соединяющий в себе процедуру пристрелки и метод Ньютона. Изучены свойства матрицы Якоби и отмечено, что в этом случае она совпадает с матрицей замыкающей с-истемы. Здесь решение, вообще говоря, может быть получено сразу после одной итерации.

4. Изучены спектральные свойства замыкающих систем, раскрыты возможности регулирования таких свойств с помощью подходящего изменения длин подинтервалов пристрелки и. выбора числа точек пристрелки и дано применение этой методики для оптимизации соответствующих итерационных процессов.

5. Выполнен ряд вычислительных экспериментов, результаты которых подтверждают справедливость теоретических выводов и практических рекомендаций по использованию вычислительных методов, предлагаемых в данной диссертации.

1У. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Динь Куанг Тхай, Монастнрный.П.И., Нгуен Тхи Фыонг. Май. О понижении порядка систем сеточных уравнений в алгоритмах . множественной разностной пристрелки и некоторых их свойст-

- гь-

вах U Вестник БГУ. Сер. мех.-мат.-физ. 1989, № 2. С. 4.448.

2. Динь Куанг Тхай, Монастырный П.П., Нгуен Тхи Фнонг Май. Об оптимизации свойств матриц Якоби для замыкающих систем уравнений в методах пристрелки // Докл. АН БССР. 1991. Т. 35, № 3. С. 209-213.

3. Динь Куанг Тхай, Монастырный П.И., Нгуен Тхи Фыонг Май. Об оптимизации итерационных методов для сеточных задач на основе понижения порядка замыкающих систем уравнений // Ред. ж. Ирв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н. Минск, 1991. № 6. Деп. в ВИНИТИ 23.10.90, № 5469-В90.

4. Монастырный П.И., Нгуен Тхи Фыонг Май. О вычислительных схемах метода множественной разностной, пристрелки в соединении с методом Ньютона для сеточных граничвдх;. задач общего вида.1 // Ред. ж. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н. Минск, 1991. Дел. в ВИНИТИ 20.12.91, № 4724-В91^;Ь;';н. .'..

5. Монастырный П.И., Нгуен Тхи Фыонг Май. О вычислительных схемах метода множественной разностной.'пристрёлкй; в соеди-иениг с методом Ньютона для сеточных граничных задач общего ви,гя. II. // Ред. ж. Изв. АН БССР. Сервиз <-(/ат.н. Минск, 1991. Деп. в ВИНИТИ 20.12.91, № ~4725-Е9Г/ '' '

По "Писано к печати tf дары . Формат 60X84/16. Бумага пис'як. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Tnra^löO. Зтказ ? И 4 Отпечатано па ротапринте БГУ. ссСОГ.О, г.Кглек, ул.Бобр.уГ:с