К теории обобщений методов разностной прогонки для сеточных граничных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ РГ6 ОД ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

КРЕМЕНЬ КРИИ АЛЕКСЕЕВИЧ

К ТЕОРИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИИ МЕТОДОВ РАЗНОСТНОЙ ПРОГОНКИ ДЛЯ СЕТОЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

.Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1994

Работа выполнена в Белорусском государственной университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Монастырннй Петр Ильич, кандидат физико-математических наук, доцент Басик Василий Алексеевич.

Официальные оппоненты - член-корреспондент АН Беларуси

доктор физико-математических наук, профессор Янович Леонид Александрович, кандидат физико-математических наук, - - доцент Самусенко Анатолий Васильевич

Ведущая организация - Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится .7.7 » уЛС1 <. А 1994 г. в к*) часов на оаседанииспециализиро ванного совета К 006.19.01 при Институте математики АН Беларуси С220072, Минск, ул. Сургаяова, 11, конференц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

Автореферат разослан I 6 ОиА^ЛчЛ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических старший научный сотрудник

наук

Л л /I!

Астровский А.И.

г

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Применение различных численных методов |дя решения линейных дифференциальных уравнений и систем, воз-шкакщих при математическом моделировании явлений и процессов, зеально протекающих в физике, химии, механике, акустике, динамке жидкостей и других областях науки и техники, приводит в конечном счете к необходимости решать системы линейных алгебра-яческих уравнений (ЛАУ) специального вида - разностные уравнения. Эти оистемы ЛАУ в большинстве случаев обладают рядом ваяна специфических особенностей: I) они обычно имеют высокий порядок (равный числу узлов сетки); 2) матрицы систем .являются разреженными; 3> ненулевые элементы расположены специальным образом, матрицы являются ленточными: 4) часто системы уравнений являются плохо обусловленными. Такие системы ЛАУ, возникая, как правило, го уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, обладают как чертами и свойствами присущими исходным дифференциальным задачам, так и важными собственными алгебраическими свойствами. Такой механизм возникновения и природа разностных уравнений позволяют сочетать для их решения положительные свойства и стороны различных методов решения дифференциальных задач с хорошо разработанным аппаратом линейной алгебры и большим вычислительным опытом решения систем ЛАУ.

Проблеме построения, обоснования и исследования вычислительных алгоритмов для решения разностных уравнений посвящен ряд монографий и книг, и мы здесь для сведения назовем авторов только некоторых из них: Бахвалов Н.С.; Бахвалов Н.С., Жидков Н.П.. Кобельков Г.М.; Годунов С.К.; Годунов С.К., Рябенький B.C.; Ильин В П.; Ильин В.П., Кузнецов Ю.И.; Крылов В.И.. Бобков В.В., Монастырный П.И.; Марчук Г.И.; На Ц.; Самарский A.A.; Самарский A.A., Андреев В.Б.; Самарский A.A., Гулин A.B.; Самарский A.A., Николаев Е.С.; Keller Н.В.; Lambert I.. Несмотря на то, что рассматриваемой проблеме посвящена обширная литература, разработано большое число методов для решения упомянутых выше задач и накоплен определенный вычислительный опыт, проблема численного решения систем разностных уравнений по-прежнему далека от завершенности и содержит в себе еще много принципиальных как в теоретическом, так и. особенно, в вычислительном отношении вопросов. Подчеркнем, что большая часть методов пред-

з

назначена для решения систем разностных уравнений специального вида, их применение всегда сопряжено с необходимостью выполнения ряда специфических ограничений, налагаемых на ¡задачу. Назовем некоторые из ограничений на входные данные задачи. Это -симметричность, положительная определенность, структурность (ленточность) матрицы системы, требование наличия у нее определенных метрических соотношений и возможности получения априорной информации о спектральных характеристиках матрицы системы. В большом числе важных и более сложных задач такого рода упомянутые ограничения могут не выполняться вообще или, если и выполняются. то не в полной мере. Поэтому актуальной является разработка таких вычислительных алгоритмов, которые позволяли бы решать разностные граничные задачи при самых общих предположениях о входных данных.

Актуальность рассматриваемой тематики в целом объясняется, по нашему мнению, следувдми основными причинами: I) появлением новых классов задач, к. решению которых имеющиеся алгоритмы неприменимы или их применение не является достаточно эффективным; 2) необходимостью модификаций известных алгоритмов с целью улучшения их вычислительных свойств или с целью расширения области их применимости; 3) потребностью более глубокого изучения новых и известных алгоритмов с целью выявления их свойств и действительных возможностей, а также с целью проведения работы по классификации методов; 4) развитием и расширением возможностей вычислительной техники (увеличение быстродействия и памяти ЭВМ. появлением многопроцессорных компьютеров).

Цель работы. Построение, обоснование и исследование алгоритмов, основанных на унитарных и ортогональных преобразованиях и позволяющих реиать широкие классы разностных граличных задач при самых общих предположениях о входных данных, а также сопутствующие им вопросы занимают центральное место в диссертации.

Научная новизна. Для решения трехточечных векторных сеточных уравнений эрмитова вида с разделенными двухточечными граничными условиями построен и исследовал новый класс алгоритмов унитарной разностной прогонки, основанный на преобразовании Коли. Выполнены численные эксперименты по решению некоторых разностных граничных задач, носящих испытательный и калибровочный характер и возводящих оценить общность и универсальность раэ-

мчных алгоритмов. Доказана устойчивость в малом алгоритма. Рассмотрена адаптация алгоритмов унитарный разностной прогонки ихя решения трехточечных скалярных сеточных уравнений. Проведе-ю численное решение типичных сеточных граничных задач с по-Лранслоем и дана сравнительная характеристика полненных результатов с существующими. Предложен новый класс вычислительных шгоритмов для решения трехточечных векторных разностных урав-шний общего вида с разделенными двухточечными граничными условиями, основанных на унитарной разностной прогонке, и доказана к устойчивость в малом. Для решения двухточечных сеточных р/рэвнений с разделенными граничными условиями, а также с разде-аенными граничными условиями и условиями на решение в точках разрывов решения первого рода, построены и исследованы алгоритмы ортогональной разностной прогонки, основанные на обобщении и развитии некоторых идей Годунова С.К. и позволяюцие осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств метода в зависимости от свойств сеточной граничной задачи за счет выбора и модификации основных параметров метода. Выполнен ряд вычислительных экспериментов и проведено изучение вычислительных свойств ортогональной прогонки в зависимоспгот 'изменения числа и длины прогоночпых подынтервалов, от места их расположения. Проведено изучение спектральных характеристик матриц замыкающих систем, полученных при применении метода ортогональной прогонки для различных разбиений, и установлены возможности регулировки вычислительных свойств за счет выбора точек ортого-нализацш. Предложен общий подход к построению вычислительных алгоритмов, основанных на ортогональной разностной прогонке, для решения систем сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка.

Практическая значимость. Алгоритмы, разработанные в диссертации, могут применяться во многих областях науки и техники для решения на ЭВМ прикладных граничных задач, рассматриваемых при наиболее общих предположениях о входных данных. Они позволяют существенно расширить круг разностных граничных задач, численное решение которых будет эффективным и успешным. Особенно отметим алгоритмы ортогональной прогонки, позволяющие производить оптимизацию вычислений в смысле выбора числа, длин и расположения прогоночных подынтервалов, регулировки свойств матрицы Яко-би для замыкащих систем, существенного уменьшения требуемой

компьютерной памяти, а зачастую, и уменьшения числа арифметических операций.

Апробац'/я работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по вычислительной математике в БГУ и ИМ АН Беларуси.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Il-IOh

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, содержит П таблиц и 10 рисунков. Список литературы включает 71 наименование. Общий объем работы 160 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование выбора темы работы, приведен краткий обзор близких по направлению алгоритмов, изложены цели работы и краткое содержание диссертации по главам и параграфам.

В первой главе для решения трехточечных векторных сеточных уравнений эрмитова вида с разделенными двухточечными граничными условиями строятся и исследуются алгоритмы унитарной разностной прогонки (у.р.п.), основанные на преобразовании Коли.

В $1 строится и исследуется алгоритм унитарной разностной прогонки для решения трехточечных сеточных граничных задач эрмитова вида:

у , »D.y «К, =/„, к=1,п-1, (I )

*Jc»J k к к - А к * ' "

Я V +В V =h, (Э>

где х>к =в* , вообще говоря, произвольная эрмитова матрица размерности «*«, оо, Gt, HN t, нн - известные матрицы той же размерности и rang tojcj^, rang [HNt |яы ]=■«., fk, e, h - известные векторы. Также предполагается что решение vk, h-сГя задач! а)-(3) существует и единственно.

Вычислительная схема правой унитарной разностной прогоню состоит в следующем 11, 2J.

I. Решая разностную задачу Коши

<■*)

находим унитарные матрицы u^1',

При зтом справедлива

е

JI в м м а 1.1. Пусть выполняются условия: 1) лищяирл ок-эрмгтави; 2) g4g*=gog*. тогда матриццьс унитарны и det [Dk (Etui * ' при всея где ик ' ' определяете« по

<4>.

2. Решая разностную задачу Коши

<»> т>»> <«> _ . -s—♦ k ♦ t к k k » » •

rs>

где ь'к" sk--~<E~u'k" j , находим прогоночнш

векторы«^1', fc=ï7$.

3. Проверяем условие det и, если оно выполняется.

то. решая разностную задачу Коши

<tl , < <11 „< 1 > <•> _ . . 4 !

<6)

где

Tt=|if!"Ok. * ' * •>, ' ' * > • находим прого-

ночные векторыь=ТГЛ.

Корректность обратного хода прогонки обеспечивает следующая лемма.

Л е м м а 1.3. Пусть матрица * ' определяется ют решение матричной разноатюй эадани Кош (*) и латрит ок~ эрмитова, а матрит go, Gt удовлетворяют условию oto2=oaG*, тогда матрица и'кг' невырожденные при всех *=77».

4. По формулам

' <t>e. <4! i <»>•. ,4> К >vv ■ i?>

i <»>*<!! __

находим t/fc. - искомое решение задачи <i>-(3).

Унитарная разностная прогонка при весьма высокой степени универсальности сохраняет в основном логику и сильные черты классической прогонки, и в этом отношении она может рассматриваться как естественное и перспективное обобщение последней.

Предлагаемый алгоритм унитарной разностной прогонки основан на использовании связи между эрмитовыми и унитарными матрицами по формуле Кэли и на построении унитарной матрицы перехода

от вспомогательных прогоночных вектор-функций к искомым

значениям решения ук, Vк.,, что позволяет переформулировать исходную граничную задачу в виде нескольких разностных задач Ко-ши. благоприятных в вычислительном отношении. Одно из примечательных свойств этой вычислительной схемы состоит в том, что вычисляемые в ней вспомогательное прогоночные вектор-функции "к' "к • с помощью которых выражается искомое решение сеточной граничной задачи, имеют одинаковый с этим, решением порядок роста, ибо верно тождество «и^1' ' и*««^ 1 1)2 • Это в целом оказывает йоложительное влияние на вычислительные свойства у.р.п.

• -С. целью согласования вычислительных свойств сеточной граничной задачи и особенностей реализации прямого и обратного хода прогонки построены и исследованы алгоритмы левой, правой и встречных унитарных разностных прогонок, которые адаптируются к особенностям сеточных задач и наиболее важную их часть моделируют, в частности, они позволяют, например, учитывать специфику расположения пограничных слоев исходной задачи.

Рассмотрено приложение у.р.п. к численному решению задачи Дирихле для уравнений Пуассона, Гельмгольца и некоторых других уравнений, приводящих.к системам ЛАУ и, в частности, с незнако-определенной матрицей. Такого рода задачи являются трудными в вычислительном отношении, так как незнакоопределенность матрицы системы, непостоянность матрицы г>К и невыполнимость определенных метрических соотношений не позволяют эффективно использовать для решения этих задач большинство вычислительных методов Сналример метод полной редукции, быстрое дискретное преобразование Фурье, матричную прогонку). Рассмотренные задачи носят испытательный и калибровочный характер и позволяют оценить общность 'и универсальность различных алгоритмов. Приведенные, в таблицах 1.1-1.4 результы вычислительных экспериментов подтверждают высокую эффективность и точность у.р.п. для решения сложных в вычислительном отношении задач, численное решение которых с использованием большей части специализированных алгоритмов невозможно или затруднительно.

В §2 излагается понятие устойчивости в малом на примере трехточечных сеточных уравнений общего вида с разделенными двухточечными граничными условиями и доказывается теорема 2.1 об устойчивости в малом метода у.р.п., изложенного в 51.

Теорема 2.1 Если сеточная граничная задача о>~(Э) стоОчива относительно малых изменений величин, определяющих е, то устойчив и рассматриваемый метод правой унитарной азностлО. прогонки решения этой задачи.

Предлагаемые здесь исследования устойчивости и докаэа-эльство теоремы имеют не только прикладное, но и методическое начение, так как основные идеи и технические приемы, положение в основу доказательства данной теоремы, могут быть полезны акже и для исследования устойчивости в малом некоторых других лгоритмов унитарной и ортогональной разностных прогонок.

В §3 конкретизируются алгоритмы правой, левой и встречных янтарных разностных прогонок для решения трехточечных скалярах сеточных уравнений. Проведено численное решение типичных эточных граничных задач с одним погранслоем, двумя погранслоя-и и точкой возврата. Результаты вычислительных экспериментов риведены в таблицах 3.1-3.3 и представлены в виде графиков на ис. 3.1-3.3. Проведено сравнение полученных результатов с точ-ым решением и результатами, представленными в монографии Дула-а Э., Миллера Дж., Шилдерса У. "Равномерные численные методы ешения задач с пограничным слоем".Численные решения задач с ограничим слоем, полученные по методу у.р.п., оказались более очными, чем решения, полученные по схемам экспоненциальной одгонки, что свидетельствует о высокой объективности метода акже и для класса задач с пограничным слоем.

Во второй главе для решения трехточечных векторных сеточ-ых уравнений общего вида с разделенными двухточечными гранич-ыми условиями разработаны новые алгоритмы унитарной разностной рогонки (у.р.п.).

В $4 строится и исследуется вариант унитарной разностной рогонки для решения трехточечных сеточных граничных задач об-его вида:

де предполагается, что вк, ск, ао, Gt, но, н4 - вообще го-оря, произвольные матрицы, det Akck*o. k=i.w-j. Предполагается акже, что решение ykeIRm, £=57» задачи <9)-(W> существует и динственно.

g

В основу метода положены идеи перехода от значений искомого сеточного решения к новым вспомогательным прогоночным вектор-функЦиям "с помощью унитарных преобразований и переформулировка на этой основе сеточной граничной задачи в виде нескольких разностных задач Коши. благоприятных в вычислительном отношении.

Вычислительная схема предлагаемого алгоритма для решения

задачи вида ( я )-<п> состоит в следующем.

I. Используя формулы ортонормирования векторов по Шмидту,

выполняется процесс определения начальных значений при для

матриц , и вектора «к

Обозначим через <-ю строку матрицы юо \а{через \

координату вектора а и выполним процесс ортонормирования

векторов по Шмвдту в левом граничном условии ао):

к

к

Образуем из векторов вк и компонент <к, *=77« матрицу |з.) и вектор т таким образом, чтобы выполнялось условие

('Э)

Тогда должно быть: " , *' =д2 и *' =%.

2. Вычислим в прямом ходе прогонки матрицы *'. 2' и векторы решая следущие разностные задачи Коши:

СХ^'Ч'ЧЧ'. «Г-*..

где кк=тк*, гк=С^.'}- верхняя треугольная матрица, которая строится при реализации основного этапа метода квадратного корня. Она определяется через элементы эрмитовой положительно определенной матрицы лк =<н'к 1' с~1 1' ск у* +

J~^ 1 1 к > Г 1<1с1 . ^-

«. - 1

„ Е I г . <>', аг)

р= 1

( к > . ( к >

\ / . V Р. / V (Г. I » К » . . » Г » . ........—. - •

t -(V - Е * г у/г ,

Ч Р' Р1 VI' «• » >■

Р~ «

3. Определим начальные значения при для матриц '»Iэ', »¿Л> и вектора г^1'.

Выполнив перенос левого граничного условия (го> в прямом ходе правой унитарной прогонки, получим

Применим к строкам матрицы (но) ] ортонормирование по Шмидту с тем, чтобы преобразованные строки вместе со строками матрицы К" |»С и как их продолжение составляли ортонорми-рованнум систему векторов. Это позволит записать преобразованное правое граничное условие <п) в эквивалентном виде:

б у « =е (19)

з "-м-1 **м » . у '

где есть (З-т)-я строка матрицы 19д\ал], И

есть координата вектора «) , которые выражаются через

1-1 {но строку матрицы /V* ' ' ], и через , г^ , 1-е

компоненты векторов ' и ь по формулам:

к

" ъ — с! /Ы . |, Л , =РЬ - £ (Р. ,С )С. ,

т* к * 1 к * « " к * 1 11 • к + < 1 к ~ * ^ к + 1 » V г*

1.-1

е '' ) 1 т

Р N Р ' '

В процессе ортонормирования должен выясниться вопрос о

ранге матрицы лы=-

яг'"

N N

«о : Я %

. Если ее ранг равен гт и, зна-

чит, то определяем начальные значения для 3',

и к^1' по формулам:

•Л(Э'=3 . 1/"'=е. (2П

N 3 ' N а ' N

4. Вычисляем в обратном ходе прогонки матрицы 3', *' и вектор« и'к'' , решая следующие разностные задачи Коиги:

и- 4 1- v 1 Ь- » Ь» ► М

где

к ■» » к ' к '

11

торая строится при реализации основного этапа метода квадратного корня и определяется через элементы <*[ ^' эрмитовой положительно определенной матрицы л1с=РкР*+дкй*:

С целю согласования вычислительных свойств сеточной граничной задачи и особенностей реализации прямого и обратного хода прогонки построены и исследованы алгоритмы левой, правой и встречных унитарных разностных прогонок, которые позволяют учитывать специфику сеточной задачи, в частности, например, расположение пограничных слоев исходной'задачи.

В §5 доказывается теорема 5.1 об устойчивости в малом метода у.р.п., изложенного в 54.

Теорема 5.1 Если сеточная граничная задача (9)~(и) устойчива относительно малых изменений величин, определяхщих ее, то устойчив и рассматриваемый метод правой унитарной разностной прогонки решения этой задачи.

В третьей главе рассматривается двухточечные и многоточечные сеточные уравнения общего вида с различными видами граничных условий и условиями разрывов на решение. Для них строятся и исследуются алгоритмы ортогональной разностной прогонки (о.р.п.), основанные на обобщении и конкретизации основных вдвй, изложенных в работах С.К. Годунова. Предлагаемые в этой главе алгоритмы позволяют гибко и конструктивно осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств метода в зависимости от свойств сеточной задачи за счет возможностей выбора и модификации основных параметров метода.

В 66 строится и исследуется алгоритм о.р.п. для решения

< k 1 f~, .1 к ) Г < к> ,< к > . 1 к > , —-

4tt *t ii I. 4tJ =dtj .

лам

(26)

(27)

сеточных задач вида:

^♦^■Ч^к^к' <28>

Вуо=Э, (29)

суг=7, (30)

где = /^¡f", rang B=g, ¡ЗеЕ9, С«Ы'КП><1

rang c-i, . g+i=n, g^i. .

Предполагается, что задача C2S)-iJ0) имеет единственное решение. Других каких-либо специальных требования к задаче и веипннш/, определящим задачу (гв)-(зо), не предъявляется.

В конструктивном отношении предлагаемый алгоритм является существенным усилением известного метода Годунова С.К., в котором используется значительное уменьшение числа точек ортогона-лизации, позволяющее существенно уменьшить компьютерную память для храненет промежуточных прогоночных вектор-функция и значительно понизить порядок замыкающей системы ЛАУ, что делает предлагаемый алгоритм экономичным и эффективно настраиваемым. Предлагаемый алгоритм может быть полезен при решении сеточных задач с большим числом неизвестных, значительное число которых играет баластиую роль и часто ненужно для целей практических экспериментов, Tat; как он позволяет в процессе вычислений уделять основное внимание только полезным неизвестным, имеющим значимую физическую интерпретацию, а баластнке неизвестные при необходимости восстановить без больших вычислительных затрат. С целью изучения вычислительных свойств и • особенностей о.р.п. проведен ряд вычислительных экспериментов и исследовано применение ,ортогональной разностной прогонки к решению ■ следуювдах, хорошо известных в литературе тестовых сеточных граничных задач.

I. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате:

= -2(2-х\~х\), (31)

вх ¿х 1 2

p(xt,хг )=0, xt= ±1, ИЛИ ±».

2. Задала Дирихле для уравнения Гельмгольца в квадрате:

—- f —- + су= f, с>0, (32)

&х дх^

y(xt,xz)=0, ®t= ±1, ИЛИ хг= ±1.

3. Задача Дирихле для уравнения вида:

я1 .2

а у л у

— * —- ♦ сх^гу= /, -клг.,0, с>0, (33)

,хг)=0, 1,= *», ИЛИ Хг= 4».

При этом в (32), (33) правая часть t определяется специальным образом.

Таблица 6.2. Анализ о.р.п для решения задачи <Э1).

Разбиение И- | аааьэс 1V* - V 41 <*(в ) Э(в ) ) и .

з> 900|з.05891Е-04 - - -

р ш я 30612.98202Е-04 1.60617Е-02 3.62190Е+00 1.50165Е+01

Р,о 189|2.94327Б-04 3.97186Е-02 3.38915Е+00 9.23737Е+00

$> »о 99|2.91943Е-04 1.29527Е-01 2.87753Е+00 4.71335Е+00

5412.73942В-04 3.52682Е-01 2.14279Е+00 2.46489Е+00

У" 45|3.02ОТбЕ-04 4.60222Е-01 1 .89046ЕЮ0 2.02675Е+00

уа» 45|4.65214Е-04 4.24262Е-01 2.21457Е+00 2.28478Е+00

451|2.71379Е-04 4.44146Е-01 1.95692Е+00 2.09905Е+00

45«4.303345-04 2.48639Е-01 2.96358Е+00 3.45242Е+00

э 36|2.93672Е-04 6.19139Е-01 1.58355Е+00 1.59926Е+00

» ; зб 4.09492Е-02 - 1 .75043ЕЮ6 -

У" а 36 2.60710Е-04 6.00150Е-01. 1. 57331Е (-00 1.61911Е+00

а 36 4.33206Б-04 3.90165Е-01 2.26835Е+00 2.41118Е+00

у*' 2 27 5.78152Е+07 3.81469Е-06 6.26328Е+00 1.28135Е+03

У" 27 5.10715Е-02 2.86102Е-06 4.54439ЕЧЭ0 1,26030Е*03

а | 27 1.46451Е-03 1.95503Е-04 3.61461Е+00 1.35973Е+02

У4' 2 27 5.27564Е-04 2.81678Е-01 1.99415Е+00 2.66073^00

л« » > Я 2 27 5.06776Е-03 7.09533Е-03 1.501ЗЗЕ+02 1.45462Е+02

I 27' 4.21603Е-02 -

У7' 2 27¡3.34052Е-01 - 1.53745Е+05 -

4 18 1.05153Е+07 6.48498Е-05 6.50270Е+00 3.16659Е+02

Здесь ь^ - матрица замыкайацей системы порядка и-,

в =(0 )хо , а (В ) - наименьшее а Р('В ) - наибольшее собственные и р м Й , 1, м

значения матрицы в , * - некоторое «-е разбиение области определения решения на р прогоночных подынтервалов.

Основные результаты вычислительных экспериментов, приведенные в таблицах 6.1-6.10, свидетельствуют о высокой эффективности о.р.п. . о возможности регулировки вычислительных свойств метода, таких как устойчивость, точность, требуемый объем компыо-

терной памяти, число арифметических операций, размерность и спектральные свойства матрицы замыкающей системы. Это может быть достигнуто за счет выбора числа р точек ортогонализации, их расположения па области определения решения и длины v про-гоночных подынтервалов х . Для иллюстрации зависимости числа обусловленности «чх> > матрицы замыкающей системы » от выбора числа р прогоночных подынтервалов х(, их длины и расположения на области определения решения, а также для демонстрации возможности регулировки вычислительных свойств метода приведем таблицу 6.2 (для случая сетки 5=< (iht, ihx н^г/л, н2=г/(н+>),

i=o,n, j-o,Mtг, it=ioo, ы-9)).

В §7 строится и исследуется алгоритм о.р.п. для решения двухточечных сеточных уравнений общего вида с разделенными граничными условиями и условиями на решение в точках разрывов первого рода:

vv.>=Ábvb*fic' О5*5»-'. <34)

Ву0=Р, ' (35)

v'*'и"'+8- . < = 1.П-1. (36)

Г t • Р V

С1/м= У. (37)

где А^.а <=ь(клХг>), <iet в^ык"*9 rang B=g,

Поясним смысл соотношения (зв). Для этого рассмотрим значения искомого решения ик в некоторой точке гс разрыва решения на следующих двух подынтервалах: J и íri, Обозна-

чим через v't~' значение искомого решения в конечной точке г. i

подынтервала а через - значение искомого реше-

i

ния в начальной точке г-, подынтервала ír4, ^ t). Многие задачи таковы, что в них v^'tv'^, т.е. значения решения в точке

t. V

слева и справа не равны, и. значит, связь между ними может быть представлена в форме соотношения (Зб). Прямое применение большинства известных специализированных методов, как прямых так и итерационных, к такого рода задачам не всегда возможно, а если оно и возможно, то часто оказывается неэффективным.

Метод ортогональной разностной прогонки естественным образом, без существенных затрат может быть адаптирован к особенностям и форме граничных условий. В данном параграфе дается обобщение алгоритма ортогональной прогонки на класс двухточеч-

них сеточных граничных ¡задач с разрывными решениями первого рода, т.е. на класс задач ввда (эл)~(37>.

Данному алгоритму присущи все сильные стороны ортогональной прогонки: устойчивость, отсутствие жестких ограничений на входные данные задачи, экономичность, возможность настройки и регу-■ лировки основных свойств метода.

В $ 8 рассматриваются многоточечные сеточные уравнения общего ввда порядка с разделенными граничными условиями:

Е (зв)

V ^"Ч-^г^4'- 4=1. г, ... , (40,

где в'/\ С;ч> - заданные квадратные матрицы размерности

«, /к, р<р', у"", р=». ... , ро, г, ... ,

<10, - заданное векторы из кт, р0*я0=2" и <1ег и^'д^' )*о.

Из анализа монографической и журнальной литературы по численным методам видно, что какие-либо специальные методы для решения разностных граничных задач вида (Зв)-(40) при » отсутствуют. Объяснить этот факт, по нашему мнению, можно следующими двумя основными причинами. Во-первых, ухудшением собственных алгебраических свойств системы (эв)-(4о>, но сравнению с алгебраическими свойствами трехточечных векторных уравнений (по-видимому, наиболее полно изученного и исследованного в теории численных методов класса разностных уравнений). Во-вторых, трудностями, а зачастую и невозможностью, эффективного обобщения специализированных алгоритмов, предназначенных, например, для решения трехточечных сеточных уравнений, на задачи вида Ов)-(ло), что можно объяснить, по нашему мнению, направленностью таких алгоритмов на использование специфических особенностей сеточных уравнений, таких как симметричность, положительная определенность, ленточность, априорно известные или вн-• числяемые без особых затрат спектральные характеристики матрицы системы, некоторые априорные метрические соотношения на параметры- задачи (например, наличие диагонального преобладания по строкам).

Для решения систем вида (зв)-(40) предложен общий подход, основанный на ортогональной прогонке и позволяющий регулиро-

1е

вать за счет выбора числа точек ортогонализации, их расположения и длин прогоночных подштервалов свойства матрицы замыкающей системы (размерность, число обусловленности) и особенности реализации метода (требуемая компьютерная память, число арифметических операций, точность).

В заключении приведены основные результаты диссертации.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРГА1Щ

1. Для решения трехточечных векторных сеточных уравнений эрмитова веда с разделенными двухточечными граничными условиями построен и исследован новый класс алгоритмов унитарной разностной прогонки. основанный на преобразовании Коли. Доказана устойчивость в малом алгоритмов. Рассмотрены некоторое модификации и адаптация алгоритмов унитарной разностной прогонки для решения трехточечных скалярных сеточных уравнений.

2. Предложен новый класс вычислительных алгоритмов для решения трехточечных векторных разностных уравнений общего вида с разделенными двухточечными граничными условиями, основанных на унитарной разностной прогонке, и доказана их устойчивость в малом.

3. Для решения двухточечны:? сеточных уравнений с разделенными граничными условиями, а также с разделенными граничными условиями и условиями на решение в точках разрывов решения первого рода, построены и исследованы алгоритмы ортогональной разностной прюгонки. основанные на обобщении и развитии некоторых идей Годунова С.К. и позволяющие осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств метода в зависимости от свойств сеточной граничной задачи за счет выбора и модификации основных парйметрюв метод?!.

4. Развит и исследован конструктивный подход к построению алгоритмов, основанных на о.р.п., для решения систем сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка.

5. С целью изучения'достоинств и вычислительных особенностей' реализации у.р.п. и о.р.п, их испытания и апробации проведен ряд вычислительных экспериментов по решению тестовых и прикладных задач, носящих испытательный и калибровочный характер и позволяющих оценить' универсальность и эффективность предлагаемых алгоритмов.

4. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ I. Кремень Ю.А.. Монастырный П.И. Унитарная разностная прогонка для трехточечтгах сеточных уравнений эрмитова вида. //Докл.

АН БОСР, 1991. Т.35, №7, с.589-593

2. Кремень Ю.А., Монастырный П.И. О некоторых алгоритмах унитарной разностной прогонки для трехточечных сеточных уравнений эрмитова вида. //Весц1 АН Б, серия ф1з.-мат. н., 1993, * 2; Деп. в ВИНИТИ 28.04.92, № I435-B92, 36 с.

3. Монастырный П.И., Кремень Е.В., Кремень Ю.А. Анализ устойчивости в малом унитарной разностной прогонки для трехточечных сеточных уравнений эрмитова вида. //Весц1 АН Б, серия ф1з.-мат. н. (в печати).

4- Кремень ¡O.A., Монастырный П.И. Унитарная разностная прогонка для трехточечных сеточных уравнений общего вида. //Дифференциальные уравнения, 1992, Т. 28, * 7, с. 1243-1247.

5. Кремень Ю.А., Монастырный П.И. О некоторых алгоритмах унитарной разностной прогонки для трехточечных сеточных уравнений общего вида. //Весц1 АН Б, серыя ф1з.~мат. н.; Деп. в ВИНИТИ 24.03.93, * 706-В93, 31 с.

6. Монастырный П.И., Кремень Е.В. , Кремень Ю.А. Анализ устойчивости в малом унитарной разностной прогонки для трехточечных сеточных уравнений общего вида. //Весц! АН Б, серия ф!з.-мат. н. (в печати).

7. Монастырный П.И., Кремень Ю.А., Болотько Л. Л.. К теории метода разностной ортогональной прогонки для двухточечных сеточных уравнений общего вида с разделенными граничными условиями //Доклады Академии наук Беларуси, (в печати).

8. Монастырный П.И., Кремень Ю.А. К теории метода разностной ортогональной прогонки для двухточечных сеточных уравнений общего вида с условиями на решение в точках разрывов решения первого рода. //Весц1 АН Беларус!, серыя ф1з.-мат. н. (в печати).

9. Монастырный П.И., Кремень Е.В.. Кремень Ю.А. Ортогональная разностная прогонка для двухточечных сеточных уравнений общего вида с разделенными и неразделенными многоточечными граничными условиями. //Весц1 АН Б, серыя ф!з.-мат. н. (в печати); Деп. в ВИНИТИ 09.06.93, * I6I0-B93, 25 с.

10. Монастырный П.И., Кремень Ю.А. К теории метода разностной ортогональной прогонки для двухточечных сеточных уравнений общего, вида с разделенными многоточечными граничными условиями.

//РАН, Математическое моделировании (в печати).

(<> \ -