К теории некоторых обобщений методов разностной прогонки для сеточных граничных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

КРЕМЕНЬ КРИИ АЛЕКСЕЕВИЧ

К ТЕОРИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИИ МЕТОДОВ РАЗНОСТНОЙ ПРОПЖИ ДЛЯ СЕТОЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

.Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1994

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Монастырный Петр Ильич, кандидат физико-математических наук, доцент Басик Василий Алексеевич.

Официальные оппоненты - член-корреспондент АН Беларуси

доктор физико-математических наук, профессор Янович Леонид Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент Самусенко Анатолий Васильевич

Ведущая организация - Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 3Л \ллc<i\ 1994 г.

в I f часов на заседали специализированного совета К 006.19.01 при Институте математики АН Беларуси (220072, Минск, ул. Сурганова, 11, конференц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

Автореферат разослан 16 QtHpe-ЯОч 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук „

старший научный сотрудник "Островский А.И.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБ(7Ш.

Актуальность темы. Применение различных численных методов для решения линейных дифференциальных уравнений и систем, воэ-никаицих при математическом моделировании явлений и процессов, реально протекающее в физике, химии, механике, акустике, динамике жидкостей и других областях науки и техники, приводит в конечном счете к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) специального вида. - разностные уравнения. Эти оистемы ЛАУ в большинстве случаев обладают рядом важных специфических особенностей: I ) они обычно имеют высокий порядок Сравный числу узлов сетки); 2) матрицы систем являются разреженными; 3) ненулевые элементы расположены специальным образом, матрицы являются ленточными: 4) часто системы уравнений являются плохо обусловленными. Такие системы ЛАУ, возникая, как правило, из уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, обладают как чертами и свойствами присущими исходным дифференциальным задачам, так и важными собственными алгебраическими свойствами. Такой механизм возникновения и природа разностных уравнений позволяют сочетать для их решения положительные свойства и стороны различных методов решения дифференциальных задач с хорошо разработанным аппаратом линейной алгебры и большим вычислительным опытом решения систем ЛАУ.

Проблеме построения, обоснования и исследования вычислительных алгоритмов для решения разностных уравнений посвящен ряд монографий и книг, и мы здесь для сведения назовем авторов только некоторых из них: Бахвалов U.C.; Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.; Годунов С.К.; Годунов С.К., Рябенький B.C.; Ильин В.П.; Ильин В.П., Кузнецов Ю.И.; Крылов ВН.. Бобков В.В., Монастырный П.И.; Марчук Г.И.; На Ц.; Самарский A.A.; Самарский A.A., Андреев В.Б.; Самарский A.A., Гулин A.B.; Самарский A.A., Николаев Е.С.; Keller Н.В.; Lambert I. Несмотря на то, что рассматриваемой проблеме посвящена обширная литература. разработано большое число методов для решения упомянутых выше задач и накоплен определенный вычислительный опыт, проблема численного решения систем разностных уравнений по-прекнему далека от завершенности и содержит в себе еще много принципиальных как в теоретическом, так и, особенно, в вычислительном отношении вопросов. Подчеркнем, что большая часть методов пред-

назначена для решения систем разностных уравнений специального вида, их применение всегда сопряжено с необходимостью выполнения ряда специфических ограничений, налагаемых на задачу. Назовем некоторые из -.ограничений на входные данные задачи. Это -симметричность, положительная определенность, структурность (ленточность) матрицы системы, требование наличия у нее определенных метрических соотношений и возможности получения априорной информации о спектральных характеристиках матрицы системы. В большом числе важных и более сложных задач такого рода упомянутые ограничения могут не выполняться вообще или, если и выполняются, то не в полной мере. Поэтому актуальной является разработка таких вычислительных алгоритмов, которые позволяли бы решать разностные граничные задачи при самых общих предположениях о входных данных.

Актуальность рассматриваемой тематики в целом объясняется, по нашему мнению, следувдзш основными причинами: I) появлением новых классов задач, к решению которых имеющиеся алгоритма неприменимы или их применение не является достаточно эффективным; 2) необходимостью модификаций известных алгоритмов с целью улучшения их вычислительных свойств или с целью расширения области их применимости; 3) потребностью более глубокого изучения новых и известных алгоритмов с целью выявления их свойств и действительных возможностей, а также с целью проведения работы по классификации методов; 4) развитием и расширением возможностей вычислительной техники (увеличение быстродействия и памяти ЭВМ, появлением многопроцессорных компьютеров).

Цель работы. Построение, обоснование и исследование алгоритмов, основанных на унитарных и ортогональных преобразование и позволяющих решать широкие классы разностных граничных задач при самых общих предположениях о входных данных, а также сопутствующие им вопросы занимают центральное место в диссертации.

Научная новизна. Для решения трехточечных векторных сеточных уравнений эрмитова вида с разделенными двухточечными граничными условиями построен и исследован новый класс алгоритмов унитарной разностной прогонки, основанный на преобразовании Коли. Выполнены численные эксперименты по решению некоторых разностных граничных задач, носящих испытательный и калибровочный характер и позволяющее оценить общность и универсальность раз-

личных алгоритмов. Доказана устойчивость в малом алгоритма. Рассмотрена адаптация алгоритмов унитарный разностной прогонки для решения трехточечных скалярных сеточных уравнений. Проведено численное решение типичных сеточных граничных задач с по-гранслоем и дана сравнительная характеристика полученных результатов с существующими. Предложен новый класс вычислительных алгоритмов для решения трехточечных векторных разностных уравнений общего вида с разделенными двухточечными граничными условиями, основанных на унитарной разностной прогонке, и доказана их устойчивость в малом. Для решения двухточечных сеточных уравнений с разделенными граничными условия;«!, а также с разделе ннши граничными условиями и условиями на решение в точках разрывов решения первого рода, построены и исследованы алгоритмы ортогональной разностной прогонки, основанные на обобщении и развитии некоторых идей Годунова С.К. и позволяющие осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств метода в зависимости от свойств сеточной граничной задачи за счет выбора и модификации основных параметров метода. Выполнен ряд вычислительных экспериментов и проведено изучение вычислительных свойств ортогональной прогонки в зависимости*от изменения числа и длшш прогоночных подынтервалов, от места их расположения. Проведено изучение спектральных характеристик матриц замыкающих систем, подученных при применении метода ортогональной прогонки для различных разбиений, и установлены возможности регулировки вычислительных свойств за счет выбора точек ортого-нализадии. Предложен общий подход к построению вычислительных алгоритмов, основанных на ортогональной разностной прогонке, для решения систем сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка.

Практическая значимость. Алгоритмы, разработанные в диссертации, могут применяться во многих областях науки и техники для решения на ЭВМ прикладных граничных задач, рассматриваемых при наиболее общих предположениях о входных данных. Они позволяют существенно расширить круг разностных граничных задач, численное решение которых будет эффективным и успешным. Особенно отметил алгоритмы ортогональной прогонки, позволяющие производить оптимизацию вычислений в смысле выбора числа, длин и расположения прогоночных подынтервалов, регулировки свойств матрицы Яко-6и для замыкающих систем, существенного уменьшения требуемой

з

компьютерной памяти, а зачастую, и уменьшения числа арифметических операций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по вычислительной математике в БГУ и ИМ АН Беларуси.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11-10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, содержит 17 таблиц и Ю рисунков. Список литературы включает 71 наименование. Общий объем работы 160 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование выбора темы работы, приведен краткий обзор близких по направлению алгоритмов, изложены цели работы и краткое содержание диссертации по главам и параграфам.

В первой главе для решения трехточечных векторных сеточных уравнений эрмитова ввда с разделенными двухточечными граничными условиями строятся и исследуются алгоритмы унитарной разностной прогонки (у.р.п.), основанные на преобразовании Коли.

э $1 строится и исследуется алгоритм унитарной разностной прогонки для решения трехточечных сеточных граничных задач эрмитова вида:

».с.^»*

+B*fr.=h. <э>

где Dk=J>* , вообще говоря, произвольная эрмитова матрица размерности ж*», go, g, , hn_,, нм - известные матрицы той же размерности и rang fG^G^lr*, rang Ihn_ t |ны]=ж, /k, e, h - известные векторы. Также предполагается что решение ук, а=о7» задачи (г)-(3) существует и единственно.

Вычислительная схема правой унитарной разностной прогонки состоит в следующем 11,21.

I. Решая разностную задачу Коии

X!! - «к гяЧ*' >-2Ч4' *' >t2iEJ'1 •

находим унитарные матрицы , k=T$.

При зтом справедлива

1 e u u а 1.1, Пусть выполнятся условия: I) матриц* ок-эрмитовы; 2) Gta*=ooa', тогда матрицы и'к" унитарны и det )*2tE}/o при всех ы,», где определяется по

(4).

2. Решая разностную задачу Коши k ♦ t к k k ' • •

is>

где Dk*lE- находим про гоночные

векторы«^*', ь=Т7Л.

3. Проверяем условие det а/о, и, если оно выполняется. •

то, решая разностную задачу Коши

(6)

где <"=|п>к

* * ^ —¿^м - t * * ^ • находим прого-

ночные векторы- *', *=t7w.

Корректность обратного хода прогонки обеспечивает следующая лемма.

Лемма 1,3. Пусть лещялр определяется кок решение матричной разностной задачи Коши (4) и матрице! Dk- эрмитова, а матрицу gq, at удовлетворят условию g^'^g* , тогда литрссцы u'kz' невырожденные при всех *=»,».

4. По формулам

находим i/t, - искомое решение задачи (i)-O).

Унитарная разностная прогонка при весьма высокой степени универсальности сохраняет в основном логику и сильные черты классической прогонки, и в этом отношении она моагет рассматриваться как естественное и перспективное обобщение последней.

Предлагаемый алгоритм унитарной разностной прогонки основан на использовании связи между эрмитовыми и унитарными матрицами по формуле Кэли и на построении унитарной матрицы перехода

от вспомогательных про гон очных вектор-пункций %, к искомым значениям решения. ук, _ 4, что позволяет переформулировать исходную -граничную задачу в виде нескольких разностных задач Ко-ши, благоприятных в вычислительном отношении. Одно из примечательных свойств этой вычислительной схемы состоит в том, что вычисляемые в ней вспомогательные прогоночкые вектор-функции % > "к > с помощью которых выражается искомое решение сеточной граничной задачи, имеют одинаковый с ¡этим решением порядок роста, ибо верно тождество "ш^*' п2*»«^" и^и^^н2*« ^^а2. Это в целом оказывает положительное влияние на вычислительные свойства у.р.п.

С целью согласования вычислительных свойств сеточной граничной задачи и особенностей реализации прямого и обратного хода прогонки построены и исследованы алгоритмы левой, правой и встречных унитарных разностных прогонок, которые адаптируются к особенностям сеточных задач и наиболее важную их часть моделируют, в частности, они позволяют, например, учитывать специфику расположения пограничных слоев .исходной задачи.

Рассмотрено приложение у.р.п. к численному решению задачи Дирихле для уравнений Пуассона, Гельмгольца и некоторых других уравнений, приводящих к системам ЛАУ и, в частности, с незнако-определенной матрицей. Такого рода задачи являются трудными в вычислительном отношении, так как незнакоопределенность матрицы системы, непостоянность матрицы 1>к и невыполнимость определенных метрических соотношений не позволяют эффективно использовать для решения этих задач большинство вычислительных методов (например метод полной редукции, быстрое дискретное преобразование Фурье, матричную прогонку). Рассмотренные задачи носят испытательный и калибровочный характер и позволяют оценить общность 'и универсальность различных алгоритмов. Приведенные в таблицах 1.1-1.4 результы вычислительных экспериментов подтверждают высокую эффективность и точность у,р.п. для решения сложных в вычислительном отношении задач, численное решение которых с использованием большей части специализированных алгоритмов невозможно или затруднительно.

В 52 излагается понятие устойчивости в малом на примере трехточечных сеточных уравнений общего вида с разделенными двухточечными граничными условиями и доказывается теорема 2.1 об устойчивости в малом метода у.р.п., изложенного в §1.

Т е о р е к а 2.1 Если сеточная граничная задача устойчива относительно лама: изменений величин, определяющих ?е, то устойчив и рассматриваелиа летав правой уншарноа оазностной прогонка решения этой задачи.

Предлагаемые здесь исследования устойчивости и доказательство теоремы имеют не только прикладное, но и методическое значение, так как основные идеи и технические приемы, положен-ше в основу доказательства данной теоремы, могут быть полезны также и для исследования устойчивости в малом некоторых других алгоритмов унитарной и ортогональной разностных прогонок.

В £3 конкретизируются алгоритмы правой, левой и встречных унитарных разностных прогонок для решения трехточечных скаляр-шх сеточных уравнений. Проведено численное решение типичных :еточных граничных задач с одним погранслоем, двумя погранслоя-ш и точкой возврата. Результаты вычислительных экспериментов фиведены в таблицах 3.1-3.3 и представлены в виде графиков на шс. 3,1-3.3. Проведено сравнение полученных результатов с точ-шм решением и результатами, представленными в монографии Дула-га Э.. Миллера Дж., Шилдерса У. "Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем".Численные решения задач с юграничннм слоем, полученные по методу у.р.п., .оказались более 'очными, чем решения, полученные по схемам экспоненциальной юдгонки, что свидетельствует о высокой эффективности метода 'акже и для класса задач с пограничным слоем.

Во второй главе для решения трехточечных векторных сеточ-пы уравнений общего вида с разделенными двухточечными гранич-пши условиями разработаны новые алгоритмы унитарной разностной фогонки (у.р.п.).

В И строится и исследуется вариант унитарной разностной фогонки для решения трехточечных сеточных граничных задач об-1его вида:

. . (9>

<г0)

\де предполагается, что \, вк, ск, ао, а1, ио, н1 - вообще го-юря, произвольные матрицы, <1е1 лкск*о, *=!,»-». Предполагается •акже, что решение , к=о,и задачи (9)-(№) существует и

¡динственно.

В основу метода положены идеи перехода от значений искомого сеточного решения к новым вспомогательным прогоночным вектор-функциям с помощью унитарных преобразований и переформулировка на »той основе сеточной граничной задачи в виде нескольких разностных задач Коши. благоприятных в вычислительном отношении.

Вычислительная схема предлагаемого алгоритма для решения задачи вида (9)-(П) состоит в следующем.

I. Используя формулы ортонормирования векторов по Шмидту, выполняется процесс определения начальных значений при *=» для

л л > < а > ( 1 >

матриц , иу и вектора

Обозначим через е1 <-ю строку матрицы Юо|о1через

<-*> координату вектора а. и выполним процесс ортонормирования

векторов е^ по Шмидту в левом граничном условии сю):

к

к

Образуем из векторов вк и компонент тк, *=>,т матрицу /34|зж7 и вектор х таким образом, чтобы выполнялось условие

(1 э>

Тогда должно быть: *[2>=зг и »/'^х.

2. Вычислим в прямом ходе прогонки матрицы 1', у/'кг> и векторы «ь**, решая следующие разностные задачи Коши:

„(П „ 2 > ,.,< 1 » - 1 „ . I л > „

Ик*,=Кк<№к -"к Ск ВУ>. -V <>*>

к+1кккк'* 2 *

< % ) „ < ± > _„ ,„< « > - 1 „ < » > "Кк»к ск К-

где кк1, верхняя треугольная матрица, которая

строится при реализации основного этапа метода квадратного корня. Она определяется через элементы эрмитовой положительно определенной матрицы лк 1' с~ 1 ¿к (1' с~ 1 лк * + ....( 2 > ,.,( 1 + ""к

1 1

'Ч' '»Г».

1 « < к > , ,( к ) , < к >

t .

» 1 ' » .1 М

к ) ^ х * ( к > , * < к >

/К. .

к> Е | Г . 1>1. (17)

VI ' р

Р=1

ч I | . Р1 Р > "

р -

К}. J-^*t,m.

3. Определим начальные значения при для матриц *к ■, »к"' и вектора «к1'.

Выполнив перенос левого граничного условия (>о> в прямом ходе правой унитарной прогонки, получим

N •М-« N N N

Применим к строкам матриц» (по 7 ортонормирование по Шмидту с тем, чтобы преобразованные строки вместе со строками матриц» ' ' ] и как их продолжение составляли ортонорми-роваинум систему гж векторов. Это позволит записать преобразованное правое граничное условие ои в эквивалентном виде:

3 у *Я V =е

(19)

где С^, ,2п есть (J-n)-Я строка МаТрИЦЫ И в^

которые выражаются через

есть (З-т)-я координата вектора е

с

I 1

1-1 ,т с но строку матрицы (л^' ], и через ^ , ь1 , 1-е

компоненты векторов и^" и ь по формулам:

к

о , =<:1 . /Яд Я а ,

т + к + 1 к + » " т* к * * " ' т+ к + 4 к*1

2 <Рк.,.<\><\.

= Е .О )е ]/ Ца | к-0,т-1

с + I . ** к ♦ I • и I « т+к»! И ' • *

(20)

В процессе ортонормирования должен выясниться вопрос о .....

Если ее ранг равен гт и, зна-

ранге матрицы

я

^ о

N

Н

чит, лы/О, то определяем начальные значения для

< з > к

И V.

по формулам:

иг.

4. Вычисляем в обратном ходе прогонки матрицы л'/ векторы «к'' , решая следующие разностные задачи Кош:

(21 )

И

=3

к к к * N ■*

С^к'^.-к "к-к

к + 1 к*4 к

< 1 >

где

(С и'"-«;»'"^'/,., ь к к ♦ 1 к к+1 к 'к' 1

рк < * X1°к (< "Ч1' -Б>- <<' 1 -К* 1кЧ К"'Ч1' к к + 1 к к к к к*1к*1ккк к

(22)

(23)

При этом ок =о~* и к.' ) - верхняя треугольная матрица, ко-

торая строится при реализации основного этапа метода квадратного корня и определяется через элементы эрмитовой положи-

тельно определенной матрицы х>к =р|ь Рк+як л.

к *

/. _< к > Г < к> < к > ( к > —-

1-1

< к > / ,< к ) ~ ~ . < к >

а - Е я .<>', (25)

II , 1 ^р ^ ' ' *

Р-1

< к > ^ - < к » 1 _4 - (к) < к > , , < к >

лам:

ч =(Л - Е ч ч >/я , «3, 3=1+>.™.

чЧ Ч РЛ

р* » ___

5. Вычисляем значения искомого решения ук, к=о,н по форму-

„,< 1 ) * < 1 > < в > * < 1 > „

Ук-.^к "к ♦»к ик . • _(!!• < 1 ) ,„<<>• < 1 >

«^"к "к «к •

С целью согласования вычислительных свойств сеточной граничной задачи и особенностей реализации прямого и обратного хода прогонки построены и исследованы алгоритмы левой, правой и встречных унитарных разностных прогонок, которые позволяют учитывать сцецифику сеточной задачи, в частности, например, расположение пограничных слоев исходной'задачи.

В §5 доказывается теорема 5.1 об устойчивости в малом метода у.р.п., изложенного в §4.

Теорема 5.1 Если сеточная граничная задача (9)-(11) устойчива относительно малых изменений величин, определяющих ее, то устойчив и рассматриваемый метод правой унитарной разностной прогонки решения этой задачи.

В третьей главе рассматриваются двухточечные и многоточечные сеточные уравнения общего вида с различными видами граничных условий и условиями разрывов на решение. Для них строятся и исследуются алгоритмы ортогональной разностной прогонки (о.р.п.), основанные на обобщении и конкретизации основных идей, изложенных в работах С.К. Годунова. Предлагаемые в этой главе алгоритмы позволяют гибко и конструктивно осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств метода в зависимости от свойств сеточной задачи за счет возможностей выбора и модификации основных параметров метода.

В §6 строится и исследуется алгоритм о.р.п. для решения

сеточных задач вида: . •

OS»»-'. , (28)

Вцо=Р, (29)

Cvr=y, (30)

где А( = (а' ^ ' rang B=g, Рек3, C<5L(®nxl ) ,

rang с-г r , R*i=n,

Предполагается, что задача (гв)-(зо) имеет единственное решение. Других каких-либо специальных требований к задаче и величинам, определяющим задачу (гз)-(зоу, не предъявляется.

В конструктивном отношении предлагаемый алгоритм является существенным усилением известного метода Годунова С.К., в кЬто-ром используется значительное уменьшение числа точек ортоГона-лизации, позволяющее существенно уменьшить компьютерную память для хранения промежуточных прогоночных вектор-функций и значительно понизить порядок замыкающей системы ЛАУ. что делает предлагаемый алгоритм экономичным и эффективно настраиваемым. Предлагаемый алгоритм может бить полезен при решении сеточных задач с большим числом неизвестных, значительное число которых играет баластную роль и часто ненужно для целей практических экспериментов, так как он позволяет в процессе вычислений уделять основное внимание только полезным неизвестным, имеющим значимую физическую интерпретацию, а баластнке неизвестные при необходимости восстановить без больших вычислительных затрат. С целью изучения вычислительных свойств и ■ особенностей о.р.п. проведен ряд вычислительных экспериментов и исследовано применение ортогональной разностной прогонки к решению следующих, хорошо известных в литературе тестовых сеточных граничных задач.

I. Задача Д;фихле для уравнения Пуассона в квадрате:

(7 у О у

= -2(2-х\-х\), -Ks^», -Kr2il, (31)

9хг Jx2 1 2

и(х хг )=0, 11= И, или х2* ±1.

2. Задала Дирихле для уравнения Гельмгольца в квадрате:

2 2 дуду

- —- + Су- Í, -Кя $1, С>0, (32)

дх &Х

12

У(х1,хг)=0, ±1, ИЛИ хг* ±1.

3. Задача Дирихле для уравнения вида:

а у »у

-- ♦ -- ♦ Схгхгу= /, -Ка:,«», с>0, (33)

У(х,,»1)=01 4», "ИЛИ, *г= ±1.

При этом в (зг>, (зз) правая часть / определяется специальным образом.

Таблица 6.2. Анализ о.р.п для решения задачи оч.

¡Разби-1ение и юах|у*-у. 1 V «<в ) м Р(в ) и "(л ) м

1 * 1 »«> я ! * к: * 1 V 900 [3.05891 Е-04 - - -

306 2.98202Е-04 1.60617Е-02 3.62190Ef 00 1.50165Е+01

189 2.94327Е-04 3.97186Е-02 3.38915Е+00 9.23737Е+00

| 9912.919438-04 1.29527Е-01 2.87753Б+00 4.71335Е+00

54 2.73942Е-04 3.52682Е-01 2.14279Е+00 2.46489Е+00

у*. 45 3.02СГ76Е-04 4.60222Е-01 1 .89046^1-00 2.02675Е+00

45|4.65214Е-04' 4.24262Е-01 2.21457Е+00 2.28478Б+00

К" 45^2.71379Е-04 4.44146Е-01 1.95692Е+00 2.09905Е+00

кл> 4514.303345-04 2.48639Е-01 2.96358Е+-00 3.45242Е+00

1 э 3612.93672Е-04 6.19139Е-01 1.58355Е+00 1.59926Е+00

1 в 36 4.09492Е-02 - 1 .75043Е»-0б -

*» 3> а 1 36|2.6СГГ10Е-04 6.00150Е-01. 1 .57331Е+-00 1.61911Е+00

3> а 36 4.33206Е-04 3.90165Е-01 2.26835ЕЩЗ 2.41118Е+00

з>,й> а 27 5.78152Е+07 3.81469Е-06 6.26328Е+00 1.28135Е+03

г 27 5.10715Е-02 2.86102Е-06 4.54439Е+00 1.26030Е4-03

В 2 | 27 1.46451Е-03 1.95503Е-04 3.61461Е+00 1.35973Е*-02

1 2 27 5.27564Е-04 2.81678Е-01 1.99415Е+00 2.66073Е+00

1 1 27 5.06776В-03 7.09533Е-03 1.501 ЗЗЕ4-02 1.45462Е^ 02 I

1 я"" Я 2 1 27 4.21603Е-02 1

У7' 8 2 2713.34052Е-01 - 1.53745Е+05 -

I ^ Ц 1 18 1.05153Е+07 6.48498Е-05 6.50270Е<-00 3.16659Е+02

Здесь ю - матрица замыкающей системы порядка и-,

в =(0 )*о , а(В ) - наименьшее а Рев > - наибольшее собственные и м и и и

значения матрицы в . - некоторое 1-е раэоиение области определения решения на р прогоночных подынтервалов.

Основные результаты вычислительных экспериментов, приведенные в таблицах 6.1-6.10, свидетельствуют о высокой эффективности о.р.п., о возможности регулировки вычислительных свойств метода, таких как устойчивость, точность, требуемый объем компью-

терной памяти, число, арифметических ■ операций, размерность и спектральные свойства матрицы замыкающей системы. Это может быть достигнуто за счет выбора числа р точек ортогонализации, их расположения на области определения решения и длины V про-гоночннх подынтервалов 1}. Для иллюстрации зависимости числа обусловленности »(О > матрицы замыкающей системы т> от выбора числа р прогоночных подынтервалов Х(, га длины и расположения на области определения решения, а также для демонстрации возможности регулировки вычислительных свойств метода приведем таблицу в.2 (для случая сетки <*={ <ч\ , ) | ь%-г/и, ня=2/<и+п,

1=0,я, з=о,и*1, »=»оо, И=9>).

В 57 строится и исследуется алгоритм о.р.п. для решения двухточечных сеточных уравнений общего вида с разделенными граничными условиями и условиями на решение в точках разрывов первого рода:

"кч^к^Л, • О5*5»-'. (34)

»!/ =Р, (35)

V =G у *g , 1= 1.П-1. (36)

ri r t

Cs/N = 7. (37)

где лк .о^ьек"*" )r к", det G"o. BeLi®"*9;, rang в=г,

peR9, cei(tRnX 1 ) r rang C=I, 7<eKL, «♦!=«, gZl, »<rt<r <N-i.

Поясним смысл соотношения об). Для этого рассмотрим значения искомого решения ¡/к в некоторой точке rv разрыва решения на следующих двух подынтервалах: и Обозна-

чим через у'/' значение искомого решения в конечной точке г.

L

подынтервала а через i/*' - значение искомого реше-

i

ния в начальной точке г. подынтервала lrK, Многие задачи

таковы, что в них v\"*vT*\ т.е. значения решения в точке г.

слева и справа не равны, и, значит, связь между ниш может быть представлена в форме соотношения Об). Прямое применение большинства известных специализированных методов, как прямых так и итерационных, к такого рода задачам не всегда возможно, а если оно и возможно, то часто оказывается неэффективным.

Метод ортогональной разностной прогонки естественным образом, без существенных затрат может быть адаптирован к особенностям и форме граничных условий. В данном параграфе дается обобщение алгоритма ортогональной прогонки на класс двухточеч-

ных сеточных граничных задач с разрывными решениями первого рода, т.е. на класс задач вида (Э4)-о?>.

Данному алгоритму присущи все сильные стороны ортогональной прогонки: устойчивость, отсутствие жестких ограничений на входные данные задачи, экономичность, возможность настройки и регулировки основных свойств метода.

В 6 9 рассматриваются многоточечные сеточные уравнения общего вида порядка ¿V с разделенными граничными условиями:

£ К""*.,1*'*- (38)

В;Р>М,^=Р<Р>. Р-'. 2. ... . ро. (39)

) «*"1>

У ч='- 2- ••• • чо- <40>

1

где ¿к . в , с - заданные квадратные матрицы размерности

«. /к. Р"" . У-"", р=1, 2, ... , р0, 2. ... ,

ч0, - заданные векторы из и йе! и^')*о.

Из анализа монографической и журнальной литературы по численным методам видно, что какие-либо специальные методы для решения разностных граничных задач вида (зв)-(40) при »>1 отсутствуют. Объяснить этот факт, по нашему мнению, можно следующими двумя основными причинами. Во-первых, ухудшением собственных алгебраических свойств системы (эв)-(40но сравнению с алгебраическими свойствами трехточечных векторных уравнений (по-видимому, наиболее полно изученного и исследованного в теории численных методов класса разностных уравнений). Во-вторых, трудностями, а зачастую и невозможностью, эффективного обобщения специализированных алгоритмов, предназначенных, например, для решения трехточечных сеточных уравнений, на задачи вида (Зв)-(40), что можно объяснить, по нашему мнению, направленностью так*зх алгоритмов на использование специфических особенностей сеточных уравнений, таких как симметричность, положительная определенность, ленточность, априорно известные или вычисляемые без особых затрат спектральные характеристики матрицы системы, некоторые априорные метрические соотношения на параметры- задачи (например, наличие диагонального преобладания по строкам).

Для решения систем вида (зв)~(40) предложен общий подход, основанный на ортогональной прогонке и позволяющий регулиро-

вать за счет выбора числа точек ортогонализации, их расположения и дл1ш прогоночных подынтервалов свойства матрицы замшаю-щей системы (размерность, число обусловленности) и особенности реализации метода (требуемая компьютерная память, число арифметических операций, точность).

В заключении приведены основные результаты диссертации.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ [. Для решети трехточечных векторных сеточных уравнений эрмитова вида с разделенными двухточечными граничными условиями построен и исследован новый класс алгоритмов унитарной разностной -цогонки, основанный на преобразовании Кэли. Доказана устойчивость в малом алгоритмов. Рассмотрены некоторые модификации и адаптация алгоритмов унитарной разностной прогонки для решения грехточечных скалярных сеточных уравнений.

2. Предложен новый класс вычислительных алгоритмов для решения грехточечных векторных разностных уравнений общего вида с разде-пенннми двухточечными граничными условиями, основанных на унитарной разностной прогонке, и доказана их устойчивость в малом.

3. Для решения двухточечных сеточных уравнений с разделенными граничными условиями, а также с разделенными граничными условиями и условиями на решение в точках разрывов решения первого эода, построены и исследованы алгоритмы ортогональной разпострой прогонки, основанные на обобщении и развитии некоторых вдей Годунова С. К. и позволяющие осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств метода, в зависимости от :войств сеточной граничной задачи за счет выбора и модификации юновннх параметров метода.

L Развит и исследован конструктивный подход к построению алгоритмов, основанных на о.р.п., для решения систем сеточных сравнений общего вида и произвольного порядка. >. С целью изучения достоинств и вычислительных особенностей-реализации у.р. п. и о. р.п. их испытания и апробации проведен ряд вычислительных экспериментов по решению тестовых и приклад-1ых задач, носящих испытательный и калибровочный характер и позволяющих оценить' универсальность и эффективность предлагаемых шгоритмов.

4. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ I. Кремень Ю.А., Монастырный П.И. Унитарная разностная прогон-fa для трехточечннх сеточных уравнений эрмитова вида. //Докл.

АН БССР. 1991. Т.35. №7, с.589-593

2. Кремень Ю.А., Монастырный П. И. О некоторых алгоритмах унитарной разностной прогонки для трехточечных сеточных уравнений ормитова вида. //Весц1 АН Б. серия ф1з.-мат. н., 1993, № 2; Деп. в ВИНИТИ 28.04.92, * 1435-В92, 36 с.

3- Монастырный П.И., Кремень Е.В. , Кремень Ю.А. Анализ устойчивости в малом унитарной разностной прогонки для трехточечных сеточных уравнений эрмитова вида. //Весц1 АН Б, серыя ф1з.-мат. н. (в печати).

4. Кремень Ю.А., Монастырный П.И. Унитарная разностная прогонка для трехточечных сеточных уравнений общего вида. //Дифференциальные уравнения, 1992, Т. 28, № 7. с. 1243-1247.

5. Кремень Ю.А., Монастырный П.И. О некоторых алгоритмах унитарной разностной прогонки для трехточечных сеточных уравнений общего вида. //Весц1 АН Б, серыя ф1э.-мат. н.; Деп. в ВИНИТИ 24.03.93, * 706-В93, 31 с.

6. Монастырный П.И.. Кремень Е.В., Кремень Ю.А. Анализ устойчивости в малом унитарной разностной прогонки для трехточечных сеточных уравнений общего вида. //Весц1 АН Б, серыя ф1з.-мат. н. <в печати).

7. Монастырный П.И.. Кремень Ю.А., Болотько Л.Л. . К теории метода разностной ортогональной прогонки для двухточечных сеточных уравнений общего вида с разделенными граничными условиями //Доклады Академии наук Беларуси, (в печати).

8. Монастырный П.И., Кремень Ю.А. К теории метода разностной ортогональной прогонки для двухточечных сеточных уравнений общего вида с условиями на решение в точках разрывов решения первого рода. //Весц1 АН Беларус1, серыя ф1з.-мат. н. (в печати).

9. Монастырный П.И., Кремень Е.В., Кремень Ю.А. Ортогональная разностная прогонка для двухточечных сеточных уравнений общего вида с разделенными и неразделенными многоточечными граничными условиями. //Весц1 АН Б, серыя ф1з.Чат.. н. (в печати); Деп. в ВИНИТИ 09.06.93. * 16Ю-В93 , 25 с.

10. Монастырный П.И., Кремень Ю.А. К теории метода разностной ортогональной прогонки для двухточечных сеточных уравнений общего, вида с разделенными многоточечными граничными условиями. //РАН, Математическое моделировании (в печати).