Быстросходящиеся итерационные методы для решения разностных граничных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

1 5 ДЕК

СТРЕЖ АНЖЕЛИКА ИВАНОВНА

БЫСТРОСХОДЯЩИЕСЯ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

(V1.W1.UV - вычислительная математике)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фнэнко-матемагическнх наук

Минск - 1996

Работа выполнена в Белорусском государственном университете.

Научные руководители: кандидат физико-математических наук,

доцент

Басик Василий Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор Монастырный Петр Ильич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Матус Петр Павлович,

кандидат физико-математических наук, доцент Самусенко Анатолий Васильевич

Оппонирующая организация: Московский государственный

университет имени М.ВЛомоносова

Зашита состоится 1996 г. в часов на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 в Институте

математики АН Беларуси по адресу : 220072, г. Минск, ул. Сурганова, 11.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан 996 года,

Ученый секретарь совета

по защите диссертаций „

кандидат физ.-мат. наук и^Лс-т-л«!-— А.И.Астровсю.Р

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Постоянно возрастающие требования к повышению эффективности анализа результатов численного решения дифференциальных уравнений, в частности, уравнений математической физики, требуют разработки быстрых и экономичных методов их численного решения. Здесь, в первую очередь, следует отметить важную задачу построения специальных алгоритмов для решения дифференциальных уравнений эллиптического типа, разностная аппроксимация которых приводит к плохо обусловленным системам ЛАУ большой размерности, что требует при их решении значительных затрат машинного времени и большого объема хранимой информации.

Следует отметить, что в настоящее время дня решения систем разностных уравнений применяются как прямые, так и итерационные методы, разработке и исследованию которых посвящен ряд работ В.Н.Абрашина, Н.С.Бахвалова, В.В.Бобкова, С.К.Годунова, В.П.Ильина, В.И.Крылова, Г.ИМарчука, П.П.Матуса, П.И.Монастырного, Е.С.1 1иколаспа, А.Л.Самарского и многих других авторов.

Использование точных методов требуег выполнения ряда ограничений, налагаемых либо на размерность задачи, либо на свойства коэффициентов матрицы, что существенно сужает круг решаемых задач. Итерационные методы позволяют решать более сложные задачи. Одн;1КО, большая чаегь существующих приближенных aiirapirTMOB применяется, как правило,.при наличии у матрицы системы уравнений свойсп! симметричности, положительной определенности и некоторых иных специальных свойств. Кроме того, скорость сходимости большинства из них при общих условиях ухудшается с возрастанием числа обусловленности решаемой системы. При этом, такие структурные характеристики как размерность, ленточность не используются или используются не в полной мере.

Поэтому аетуачыюсть рассматриваемой тематики объясняется следующими причинами: 1) необходимостью разработки алгоритмов, учитывающих структуру матрицы системы разностных уравнений; 2) необходимостью модификаций известных алгоритмов с целью эффективного использования и улучшения их вычислительных характеристик; 3) потребностью более глубокого изучения новых и известных методов с целью выявления их свойств и действительных возможностей; 4) развитием и расширением возможностей использования вычислительной техники.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Работа выполнена в соответствии с темой "Оптимизация вычислительных методов и вычислительный эксперимент для дифференциальных и сеточных граничных задач физики, электроники, динамики жидкостей и теории упругости" № 0189008697, вкто-

чеимой на 1991-1996 г.г. в план НИР, выполняемой на кафедре численных методов и программирования механико-математического фа культе га Белгосуниверситета.

Цель и задачи работы. Целыо диссертационной работы является построение, обоснование и исследование экономичных быстросходящихся итерационных методой для решения разностных граничных задач. Дня достижения указанной цели в диссертации были решены следующие задачи:

- разработана методика построения итерационных методов для решения разностных граничных задач, основанных на композиции различных алгоритмов;

- построены модификации методов двусторонней пристрелки, неявной матричной прогонки, неявной полной редукции для решения разностных граничных задач с учетом их структурных характеристик;

- построен и исследован ряд итерационных методов на основе быстросходящихся итерационных и экономичных точных алгоритмов, основные характеристики которых определяются значениями числовых и матричных параметров;

- получены оценки скорое™ сходимости построенных итерационных алгоритмов;

- предложена и обоснована методика построения оптимальных числовых и магрич-ных параметров ш последовательности вложенных сеток;

Научная новизна. Для разностных граничных задач разработана методика построения итерационных методов, основанных на композиции различных алгоритмов с целью эффективного использования и усиления их вычислительных характеристик. На основе полученной методики построен ряд быстросходящихся итерационных алгоритмов, настройка и регулировка основных свойств которых осуществляется выбором чистовых и матричных параметров, получены оценки их скорости сходимости. Предложен и обоснован подход к построению оптимальных параметров итерационных методов на последовательности пложенных сеток. Выполнены численные эксперименты по решению некоторых разностных граничных задач, носящие непитательный и калибровочный характер и позволяющие оценить свойства разработанных алгоритмов.

Праетлческаи значимость. Алгоритмы, разработанные в диссертации, могут гг шенягься дня решения дифференциальных граничных задач эллиптического типа и родственных им задач, возникающих во многих областях науки и техники. Они построены с учетом свойств дифференциальных задач и их дискретных моделей. Предложена методика построения параметров, определяющих экономичные 1лера;шонные алгоритмы.

Экономическая значимости Разработанные в работе специатьные методы, позволяют уменьшить требуемой для их реализации компьютерной памяти и существенно сократить число вычислительных затрат, а, следовательно, повысить эффективность решения приклачных задач.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. В настоящей, диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:

1. Разработала методика построения итерационных методов решения разностных граничных задач на основе конструктивного соединения качественно различных алгоритмов с цель эффективного использования и усиления 1« вычислительных свойств.

2. Построены модификации методов пристрелки, неявной матричной прогонки и неявной полной редукции для решения разностных граничных задач с переменными коэффициентами с учетом их структурных характеристик.

3. Разработан и исследован рад итерационных методов на основе бысгросхо-дящихся итерационных и экономичных точных алгоритмов, основные характеристики которых определяются выбором значений числовых и матричных параметров., >

4. Получены оценки скорости сходимости построенных алгоритмов. Для определенного класса разностных задач найдены условия на параметры итерационных алгоритмов, при которых их скорость сходимости не зависит от числа узлов аяпроксимаш тонной сетки.

5. Предложена и обоснована методика построения оптимальных параметров быстросходящихся итерационных методов на последовательности вложенных сеток.

Лнчный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные о выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики, математическое программирование и программное обеспечение" (Минск, 1992), VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1993), научных семинарах в Институте, математик« АНБ и «а ФПМИ и механико-математическом факультете в Бепгосуниверсигете.

Опублнкованность результатов. По теме диссертационной работы опубликовало 6 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения .общей характеристики работы, пяти глав, выводов и списка использованных источников, включающего 100 наименований. Общий объем работы 115 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении даиа краткая оценка современного состояния проблемы построения и исследования численных методов решения разностных граничных задач, обоснована необходимость проведения исследований по этому направлению.

В первой главе очерчены основные этапы развитая методов решения разностных уравнений, приведен обзор результатов по публикациям последних десятилетий, названы вопросы, которые остались неразрешенными и, таким образом определено место результатов астора в решении проблемы. В конце главы сформулированы основные проблемы работы и задачи, которые необходимо решить для достижения поставленных целей.

Во вто|>он главе дано построение, обоснование и исследование итерационного алгоритма, получе1шого на основе сочетания методов матричной и неявной матричной прогонок для решения разностных граничных задач вида:

М-, - ву + сум = /•;, I=ЦП. (1)

^ = (2) где Д ,С( - диагональные, й, - трехдиагоналыше квадратные матрицы размерности N -1 х N -1, Уп /^е/?"'7. При этом, как правило, выполняются условия: 4 « Е, С,» Б, Я,« Вм, Я(Д) ;> 2 (раздел 2.1).

Применение для решения задачи (1), (2) метода матричной прогонки в случае большой размерности векторов неизвестных, в силу необходимости обращения полных матриц, влечет за собой значительный рост числа арифметических операций и объема хранимой информации. Итерационный метод неявной матричной прогонки свободен от указанных недостатков, обладает высокой скоростью сходимости и требует на каждой итерации объема вычислений примерно равного числу арифметических операций в модифицированном методе матричной прогонки. Однако, являясь методом последовательных приближений не может обеспечишь сравнительно малый полный объем вычиаиггельных затрат .

Поэтому (1), (2) разбивается на т частичных граничных задач размерное™

л-Л _

~ + Сщ+^ЬЦ*)*! = ] ~ Ьп~1, (3)

Ги^Пи* ^Мм=ГМм, 1 = 0^1. (4)

где ¥М1 е - неизвестные, ГМ/ е прогнозируемые граничные условия, I = 0,т-1. При этом, когда в (3), (4) ГК1, = , / = 0,т, то = УА//+у,

Для решения частичных гранитных задач применяется метод матричной прогонки, при этом, (3), (4) предварительно представляются в виде (5), (6):

фр, - = ¿р, } = ЦП. (5)

где диагональные, трехдиатональные квадратные матрицы порядка

п - / х и - /, е IV'1, что позволяет существенно уменьшить размерность

векторов неизвестных, а, следовательно эффективно использовать метод матричной прогонки (раздел 2.3).

С целью согласования краевых условий в частичных граничных задачах (3), (4) используется замыкающая система вида (7), (8), неизвестными в которой являются поправки Щ к решению исходной системы в точках М,:

"+ Сцц = + Ли,. I = А«-/, (7)

1*Мт = 0, (8)

где

Ни, = и*-,(вМ1/2)им,, Пи, = /2),

¿м, = ип-1{вм,/2)а>М1 +

щ = л, =

Построение замыкающей системы основано на возможности выделить для исходной системы пуассоновскую часть и использован дня понижения порядка системы рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева 2-го рода (раздел 2.2).

Для решения системы (7), (8) применяется модификация метода неявной матричной прогонки, которая при большей универсальности сохраняет в основном логику и сильные черты неявной прогонки, и в этом отношении может рассматриваться как естественное и перспективное обобщение последней. Следует отметить, что использование процедур ускорения, характерных для разностных задач с постоянными коэффициентами, матричного параметра I, I ¿Ьйт-1, и небольшого

числа неизвестных в замыкающей системе позволяют экономично определял, ее приближенное решеише .

Таким образом вычислительная схема итерационного алгоритма решения системы (1), (2), основанного на композиции методов неявной и матричной прогонок (МНМП), состоит в следующем:

Ь Задаем 1*730=7. =

2. Положив в (4) ГМ/ - Уу} с помощью метода матричной прогонки определяем / * //,.

3. Находим ЛЛ// *0, / = У,т - У.

4. С помощью алгоритма неявной матричной ггрогонки находим .

5. Положив Гщ » , решаем (3), (4) методом матричной прогонки и определяем ,

6. Находим + Щ, / ~ 1,М - У, и если погрешность полученного приближения не является удовлетворительной, переходим к п. 3. (рис 1).

У,) N

/.ЛГ-/

N

М0=0 . . . Л/М = и(/-У) М,=л/ Мм = п(1+]) М„ = М х,1 Рис 1. Формализованная схема реализации метода МНМП.

Построенный итерационный алгоритм требует на каждой итерации меньшего по сравнению с неявной матричной прогоикой объема вычислительных затрат и

составляет «(п - У)'" + 4{п - У); + - })2 + с2(Ь + 1)(2М - пЩтЫ арифметических операций.

п

Для метода МНМП доказана теорема о сходимости (раздел 2.4). Теорем а2.1. Пусть выполняются неравенства.

Ц/ф^-. г = я>0. II

Л,||<«. (9)

тогда при достаточно мачых а и /} итерационный метод МНМП сходится к решению разностной граничной задачи (I), (7), при этом для погрешностей и е^ справедливо следующее неравенство

характеризующее процесс уточнения граничных усчовий в частичных граничных задачах.

При этом,

. I • 6РУ " I-?1{2у) ип(мИ(г)

б П и^ф)

Следует отметить, что при 1.<т~\ оценка(10) допускает следующее представление :

(1 + пЩ

на основании которого получены условия на параметры п и Ь, при которых скорость сходимости метода МНМП не зависит от числа узлов аппроксимационной сстки (раздел 2.4).

В целях изучения вычислительных свойств метода МНМП, для анализа его качественных характеристик, а также выяснения специфических закономерностей в процессе реализации, рассмотрено его применение к решению модельной задачи Дирихле для уравнения (И) в прямоугольной области £> = ^х,у):0 £ х,у 5 /} с границей Г (раздел 2.5):

где

Г , л (12>

К3(х,у) = / + с[/-(х-0.5) -(у-0.5)'}

В (12) постоянная с подбиралась согласованно с различными значениями отношения с2/с,у где с, = I, с3 = 1 + 0.5с, а функции /(х,у), ^(х,у) определялись таким образом, чтобы функция и{х,у) являлась решением граничной задачи (11).

В работе представлены численные результаты, полученные для разностных задач различной размерности и соотношений (раздел 2.5, таблицы 2.1-2.8). Для характеристики сходимости игеращютюго алгоритма МНМГ1 приведены значения коэффициента сжатия ц и числа итераций к, позволяющие судить о скорости сходимости итерационного алгоритма в зависимости от значений параметров

Таблица.

Значения ц- коэффицие!гга сжатая, к- числа итераций при решении разностной задачи, аппрокаширующей задачу (11) на точном решении и{х,у) = х(1~ х)у{1 - у) методом МНМП при с = ¡022, N = 32.

п Ь 1 2 3 4 5 6 7

7 к 12 6 4 5 6 6 7

Ч 0.64 0.31 0.13 0.17 0.24 0.30 0.31

4 к 5 4 5 5 5 5 5

<\ 0.23 0.11 0.18 0.21 0.21 0.22 0.22

8 к 4 4 4

0.10 0.12 0.12

16 к 3

Ч 0.05

п и А (таблица). Основные результат вычислительных экспериментов евндетелт.-ствуют о высокой эф(1)екп1В11ости метода МНМГ1, о возможности регулировки его вычислительных свойств, таких как, число итераций, количество арифметических операций, требуемый объем компьютерной памяти, что может быть достигнуто за счет выбора параметров и и А.

Tpen.ii глава посвящена вопросам теории и практической реализации итерационного метода, основанного на композиции неявной матричной прогонки н модификации двусторонней пристрелки (ПНМГТ).

Метод пристрелки является одним из наиболее экономичных методов решети задач (1), (2), требующих для реализации числа арифметических операций пропорционального количеству неизвестных. Однако, метод является численно не-устойчтым, и в случае большой длины пристрелочной траектории может вызывать накопление пмрешностей вычислений. Итерационный метод неявной матричной прогонки требует на каиедой итерации большего объема вычислений по сравнению с методом пристрелки, однако свободен от недостатков последнего.

Исходная задача (1), (2) представляется в виде композиции т частичных краевых задач (3), (4) размерности п -1 с прогнозируемыми граничными условиями.

Для решения частичных граничных задач с учетом ах структурных характеристик построена модификация метода двусторонней пристрелки, вычислительная схема которого состоит в следующем (раздел 3.1):

1. Задаем , • М = V- п,=п/2,1 = О.т-1.

2. Определяем , _/ = /,«—/:

3.Находим <РИ/+; *0, Фщ+1-1 *0, / = 0,т-У.

4. Определив

по (15), (16)

Я», —^'К(15)

по "пристрелочным" формулам получаем Нм+у, / = У, л - У:

"и,^, = ^Ц^о-Л^ - Л,У = (17)

= ~ А*-,) 3 = - 2. (18)

5. Определяем новое приближение к решению задачи (3), (4):

У)'* = > + Н1, ) = М,+1.Мм ~ О9)

Чтобы получить следующее приближение к решению задачи (3), (4) достаточно найти новые значения а затем повторить вычисления по

(13X19) (раздел 3.1).

Уточнение граничных условий для частичных задач осуществляется из замыкающей системы (7), (8) с помощью модификации неявной матричной прогонки (рис. 2).

N

агу

Уш 1,П1~1

1*2,»,-!

N

м0-о

м,

м.

м

1*1

м,

м Мм М„ = М

Рис 2. Формализованная схема реализации метода ПНМП.

Таким образом, предлагаемый подход позволяет регулируя длину пристрелочных траекторий и, контролировать ншсопление погрешностей вычислений и тем самым обеспечивает необходимую гибкость и эффективность используемому методу пристрелки. Кроме того, применение алгоритма пристрелю1 для решения частичных задач позволяет получить небольшое число отличных от нуля невязок на каждом этапе решения исходной системы и использовать без больших вычислительных затрат методы ускорения сходимости вариационного типа.

Полный объем вычислений при реализации метода ПНМП составляет « кС/ММ + + ]){2М - п1)тИ, где к - суммарное число итераций, проведенных по методу пристрелки, л- число циклов по решению замыкающей системы.

Сходимость итерационного алгоритма зависит 'от сходимости алгоритма, применяемого для решения < ¡стачных граничных задач и метода неявной мэтрич-

и

ной прогонки, используемого для решения замыкающей системы, и определяется следующей теоремой (раздел 3.2).

Теорема 3.1. Пусть выполняются неравенства (9), тогда при достаточно мачмх аир итерационный метод ПНМГ1 сходится к решению разностной граничной задачи (I), (2), при этом дчя погрешностей и справедливо следующее нерапснстпо:

+з- + +

р(«о

йаГ

Л . Л-(2аа + J 2J£Lp) + L + Д б ^

(20)

</=<7

/2

96

h{0) = m<vc

0<1<т

SIR.,!}.

С целью изучения вычислительных свойств и особенностей метода ПНМП проведен ряд вычислительных экспериментов и исследовано его применение к ре-' шению модельной задачи (11). Приведенные в диссертации результаты численных экспериментов (раздел 3.3, таблицы 3.1-3.3) подтверждают высокую эффекшвноеп. и универсальность предлагаемого алгоритма и позволяют рекомендовать его для решения различных граничных задач.

В четвертой главе рассмотрен итерационный алгортм, построенный на основе композиции метода матричной прогонки и модификации метода неявной полной редукции (НПРМП). Итерационный метод неявной полкой редукции обладает высокой скоростью сходимости и требует на каждой терапии объема вычислений примерно равного числу арифметических операций в экономичном точном методе полной редукции. Однако, являясь методом последовательных приближений, он не может обеспечить сравнительно малый объем вычислительных затрат прн решении (1), (2).

В разработанном алгоритме НПРМП наряду с исходной задачей рассматриваются т частичных граничных задач (3), (4) размерности п- I. Задачи (3), (4) представляются в виде (5), (6), что позволяет существенно уменьшите размерность векторов неизвестных, и, следовательно, Э({)фектазио использовать для решения частичных траничньж задач метод матричной проюнки (раздел 2.3).

Для уточнения краевых условий в (3), (4) используется модификация метода полной редукции, построенная с учетом структуры матрицы замыкающей системы, • в соответствии с которой (раздел 4.1):

1. Задаем

р^ = [Щ'нК1г йГ -о, др>- ащ. /=7^7.

2. Определяем 0\к+'К к =(),!-2 пот[юрмулам

' __ (21)

¿•М = р(') + [^М]" [ = V, и = -1,

4 = = = - 2Е.

3. Используя ^ = О, А^. = 0, вычисляем приближенное решение системы (7), к =

' 1 = 2хУ, у*;!,?-*-!.

Определив X, по описанному ачгортгшу, можно уточнить прошозируемые ранее краевые условия для частичных граничных задач

У^^ + Х„1 = 1^1. ' (23)

Описанный подход позволяет сократить на каждой итерации объем вычислений по сравнению с методом неявной полной редукции, сохранив при этом высокую скорость сходимости последнего. Кроме того, такое сочетание позволяет ослабить ограничения на число неизвестных, которое определяется в методе полной редукции как некоторая степень двойки.

В работе исследована сходимость метода Н1РМП, доказана теорема о сходимости (раздел 4.2).

Теорема 4.1, Пусть выполняются неравенства-.

Цб-'Ц,

¡£-0/12 а, Ця-Д-Иа, К-И* а*/,

тогда при достаточно малых аир итерационный метод НПРМП сходится к решению разностной граничной задачи (1), (2), при этом дня погрешностей ¿^'^ и справедливо следующее неравенство

г „ 2 , Ы3р тКа + —та + —— 9 28

с{'\ (24)

характеризующее процесс уточнения граничных условий в частичных граничных задачах,

/ ч п(пг-1)р

К - п(п - 1)а + —-

6

Полный объем вычислений, необходимый для проведения 5 итераций но методу НПРМП составляет

Л/Л/ (/; - п ернфметачеекцх

операции. В работе даны рекомендации (раздел 4.3, те блицы 4.1,4.2) по выбору оптимальной с точки зрения мшшмизации вычислительных зш]>ат размерности п частичных граничных задач. Следует отметить, что при оптимальном выборе параметра экономия машинного времени по сравнению с методом неявной полной редукции при реализации описанного алгоритма может достигать 20-30%.

Актуальной проблемой при разработке итерационных алгортмов является сниже!ше количества вьгшелительных затрат. В построенных выше нтерациоштых методах этот вопрос решается за счет сведения частичных граничных задач, а также за счет выбора числовых и матри'гных параметров. В сил)' вариативности значении последних возникает задача построения оптимальных параметров. В пятой главе упомянутая выше проблема решается для определенного класса задач с помощью введения последовательности вложенных сеток.

Для итерационных методов МНМП, ПНМП, НПРМП были указаны условия на параметры, при которых их скорость сходимости не зависит от шага аппроксн-мационной сетки. Это свойство позволяет на их основе строить итерационные алгоритмы, основаш!ые на рекуррентном использован! ш прибгоскепных решений систем, полученных на последовательности вложенных сеток с таким набором параметров, при котором объем вычислений необходимый для решения дифференциальной задачи с зада)той точностью будет наименьшим.

Предлагаемый подход рассматривается на примере метода МНМП.

Так, определяется последовательность вложенных сеток

j = hpJhp+,=a, a £ 2 и соответствующих им разностных граничных

за-

' дач:

д!фМ _ в\р)у\г\ + (ЛрЦА = f\r\ , = _ д (25)

На основе анализа оценок сходимости и объема вычислительной работы, полученных для метода МНМП, указаны условия на параметры,

пр=а'п0, Lp = Lo, р = 1.к, определяющие оптимальный итерационный процесс со следующей вычислительной схемой (раздел 5.1).

1. Задаем на сетке с самым крупным шагом h0 начальное приближение

в точках к решешио соответствующей разноспюй задачи.

2. Определяем итерационным методом МНМП разностное решение на сете i?^ с точноешо, обусловленной порядком аппроксимации.

<v

ylA

yW

'Mm

<V

И'1

yu0

y\'\ y\> 1

y\>]

--------».

y\t] ¡Я*] yl M y\t\ " "Щ ............ yAll УММ ............ yMm

Рис 3. Формалгоовашия схема численного решения разностных граничных задач (25), (26) на последовательности вложенных сеток методом МНМП.

3. Интерполируем полученные приближения в часть узлов следующей сетки, определяя только граничные условия в частичных задачах.

4. Используем полученные значения в качестве начальных приближений в итерационном алгоритме МНМП (рис 3).

В конструктивном отношении предлагаемый алгоритм является существенным усилением метода, основанного на композиции матричной и нея»1 юГ матричной прогонок, поскольку позволяет существенно сократить вдело арифметических операций и без больших вычислительных затрат решать проблему выбора параметров итерационного процесса и определения граиичных условий в частичных краевых задачах.

Предлагаемый подход может быть полезен при решении разностных задач с большим количеством неизвестных, значительное число которых играет балластную роль и часто не является необходимым для целей практических экспериментов.

ВЫВОДЫ

1. Разработана методика построения итерационных мстодол решения разностных граничных задач (главы 2-4) на основе конструктивного соединения качественно различных алгоритмов с целыо эффективного использовашш и улучшения . их вычислительных свойств.

2. Построены модификации методов двусторонней пристрелки (глава 3, раздел 3.1), неявной матричной прогонки (глава 2, раздел 2.1) и неявной полной редукции (глава 5, раздел 5.1), учитывающие структурные характеристики систем разностных уравнений.

3. Разработаны высокоэффективные итерационные методы решения разностных граничных задач (главы 2-4) на основе быстросходящлхся итерационных и экономичных точных методов, позволяющие осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств методов в запкеимости от значений числовых н матричных параметров.

4. Доказана сходимость разработанных алгоритмов (Теоремы 2.1, 3.1, 4.1). Найдены условия на числовые и матричные параметры итерационных процессов, при которых скорость сходимости построенных итерационных алгоритмов не зависит от числа узлов шпроксимациониой сетки (разделы 2.4,3.2,4.2).

5. Разработала и обоснована методика построения оптимальных парамет]Х)в, харакгер)пующих итерационный процесс (глава 5) на последовательности вложенных сеток.

6. Выполнены численные эксперименты по решению модельных граштчных задач (разделы 2.5, 3.3, 5.2), носящие испытательный, калибровочный характер и • позволяющие оценить свойства разработанных алгоритмов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

1. Сгреж А.И., Басик В .А., Монастырный П.И. О композиции двух вариантов метода матричной прогонки// Известия АНБ. Сер физ.-мат. н. Минск, 1992,- 20 с,-Деп. в ВИНИТИ 28.04.92, № 1434-В92.

2. Сгреж А.И., Басик В.А., Монастырный ГШ. Вариант композиции методов пристрелки и неявной матричной прогонки дня решения разностных граничных задач// Известия АНБ. Сер. физ.-мат. и,-1995,- № 1,- С. 23-30.

. 3. Сгреж А.И., Басик В.А. Об ускорении сходимости одного итерационного алгоритма решения разностных граничных задач// Материалы межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы нн^юрматики, математическое программирование и программное обеспечение".-Минск,-1992.-С. 27.

4. Сгреж А.И., Басик В А, Монастырный П.И Об одном итерационном методе, основанном на соединении пристрелки с неявной матричной прогонкой// Тезисы докладов VI конференции математиков Беларуси,- Гродно,- 1992,- Ч. 2.- С. 127.

5. Сгреж А.И., Басик В.А., Гладун О.М. О композиции методов полной редукции и матричной прогонки// Известия АНБ. Сер. физ.-мат. н. Минск, 1995,-16 с,-Деп в ВИНИТИ 20.04.95, № 1109-В95.

6. Сгреж А.И. Об одном варианте многосеточного метода решения дифференциальных уравнений в сочетании с неявной прогонкой// Известия АНБ. Сер. физ.-мат. н. Минск,-1995.- 20 е.- Деп. в ВИНИТИ 19.05.95, № 1406-В95.

РЕЗЮМЕ

диссертационной работы Стреж Анжелики Ивановны "Быстросходящиесп итерационные методы для решения разностных граничных задач"

Ключевые слова: матричная прогонка, неявная матричная прогонка, двусторонняя пристрелка, неявная полная редукция, замыкающая система, частичные граничные задачи, сходимость, числовые и матричные параметры, последовательность вложенных сеток.

Целью диссертационной работы является построение, обоснование и исследование экономичных быстросходящихся итерационных методов для решения разностных граничных задач.

В диссертации использованы методы матричной прогонки, пристрелки, неявной матричной прогонки, неявной полной редукции, процедуры ускорения, характерные для разностных задач с постоянными коэффициентами.

Основные результаты диссертации:

- разработана методика построения итерационных методов решения разностных граничных задач, основанных на композиции качественно различных алгоритмов;

- построены модификации методов двусторонней пристрелки, неявной матричной прогонки и неявной полной редукции, учитывающие структурные характеристики систем разностных уравнений;

- разработаны высокоэффективные итерационные методы решения разностных граничных задач на основе быстросходящихся итерационных и экономичных точных методов, позволяющие осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств методов в зависимости от значений числовых и матричных параметров;

- доказана сходимость разработанных алгоритмов, найдены условия на параметры итерационных процессов, при которых скорость сходимости ие зависит от числа узлов аппроксимационной сетки;

- разработана и обоснована методика построения оптимальных параметров, характеризующих итерационный процесс на последвательности вложенных сеток;

- выполнены численные эксперименты по решеншо некоторых модельных граничных задач.

Разработанные в диссертации вычислительные алгоритмы могут применяться для решения разностных граничных задач, возникающих во многих областях науки и техники. о

РЭЗЮМЭ

дысэртацыйнай работы Страде Анжалнп(ванауны "Хутказбягаючыя пэрацыГшмя метады для рашэння рознастных граничных задач"

Юпочавыл словы: матрычныя прагонка, няя^ная матрычная прагонка, двубаковая прыстрэлка, няяуная полная рэдукцыя, замыкальная астэма, ча-стковыя гратчныя задачи, збежнасць, лшавыя 1 матрычныя параметры, пас-лядоунасць укладзеных еетак.

Мэтай дысзртацыйнай работы з'яуляецца пабудова, абфунтаванне 1 даследванне эканам1чных хупсазбягаючыхся пэрацыйных метадау для рашэння рознастных граничных задач.

У дысэртацьн выкарыстаны метады матрычнай прагонм, прыстрэлм, няяунай матрычнай прагоню, няяунай поунай рэдукцьи, працэдуры паскарэн-ня, характэрныя для рознастных задач з пастаянным! каэфщыентамт , Асноуныя вынш дысэртацьн:

- распрацавана методыка пабудовы ¡тэрацыйных метадау рашэння рознастных гратчных задач, аснованных на кампазщьй якасиа розных алга-рытмаУ;

- набудаваны мадыфкыцьп метала}/ двубаковай прыстрэлю, няяунай матрычнай прагоню 1 няяуная поунай рэдукцьн, ул1чваючыя струкгурныя ха-рактзрыстык! с1стэм рознастных ура^ненняу;

- распрацаваны высокаэфектыуныя ¡тэрацыйныя метады рашэння рознастных граничных задач на аснове хутказбягаючых ¿тэрацыйных I эка-налйчных точных метадау, дазваляючых ажыццяуляць настройку I рз-гулгроуку а спорных вьяпчальных уласщвасця^ метадау у залежнасщ ад зна-чэнняу л1кавых 1 матрычных параметра?;

- даказана збежнасць распраиаваных алгарыгмау, знойдзены умовы на параметры пэрацыйных працэсау, пры яюх хуткасць збежнасщ не залежыць ад л)ка узло^ алраксшацыннай села;

- распрацавана 1 абгрунтавана методыка пабудовы аптымальных пара-мстрау, характэрызуючых геэрацыйный працэс на паслядоунасш Укладзеных " сетак;

- выкананы лжавыя эксперименты па рашэннпо некатарых мадельных грашчных задач.

Распрацаваныя у дысэртацьн вьшчальныя алгарытмы могуць ужывацца для рашэння рознастных грашчных задач, узшкаючых ва мнопх абласцях на-вую 1 тэхкиа.

SUMMARY

of the thesis "The I light-Convergence iterative methods for tlie solution of the boundary value problems" by Strezh Anzhelika Ivanovna

Key words: matrix pivotal condensation, implisit matrix pivotal condensation, doublesided target method, implicit reduction, surrouding system, partition boundary value problems, convergence, numerical and matrix parameters, a set of the input meshes.

The propouse of the thesis is to costruct, justify and invest;^ate the economical hight-convergence iterative methods for the solution of the difference boundary value problems.

The methods of matrix pivotal condensation, implisit matrix pivotal condensation, doublesided target method, implicit full reduction, the procedure of the convergence of the difference problems with the constant coefficients have been used in the thesis.

The main results of the thesis are the following:

- the technique of constructing the iterative solution methods of the difference boundary value problems has been developed and it is based on the compozition of the qualitativly different algorithms;

- the modifications of the doublesided target method, implisit matrix pivotal condensation and implicit reduction have been created and they take into consideration the structural description of the difference equations systems;

- on the base of the hight-convergence iterative methods and economical. exact methods the hight-effective algorithms have been developed and they allow to cany out the basic properties of the methods depending on the values of the numerical and matrix parameters;

- the convergence of these algorithms have been proved, the conditios of jarameters of iterative process, under which the convergence docs not depend on he number of nodepoints have been found;

- the technique of constcucting the optimal parameters of the iterative process ms been developed;

- the numerical experiments on the solution of some boundary value iroblems have been fulfilled.

These numerical algorithms can be used for the solution of difference >oundary value problems, arrising in various fields of science and technology.