Алгоритмы оптимизации в системах канонических гиперболических уравнений с частными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Итерационные процессы принципа максимума

§1. Постановка задачи

§2. Формула приращения.

§3. Принцип максимума

§4. Двухпараметрический итерационный процесс.

Глава 2. Алгоритмы точной релаксации

§1. Нетрадиционный вид формулы приращения.

§2. Линейно-вогнутая задача оптимального управления с управляемыми коэффициентами.

§3. Квадратичная задача оптимального управления с управляемыми коэффициентами.

Глава 3. Оптимизация в классе гладких, ограниченных управлений

§1. Постановка задачи

§2. Допустимые вариации, формулы приращения на них

§3. Необходимые условия оптимальности.

§4. Итерационные процессы внутреннего варьирования

Теория оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана. Созданы эффективные вычислительные методы решения задач оптимального управления. В то же время число примеров их практического использования в управлении реальными естественно-физическими, инженерно-производственными или экономическими процессами сравнительно невелико. Это объясняется тем обстоятельством, что реальные процессы не столь часто могут быть описаны системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Как правило, состояние (как и управление) реального процесса является функцией не только времени, но и некоторых пространственных переменных. Отсюда наиболее естественно описание этого процесса системой уравнений с частными производными. Тогда мы приходим к задачам оптимального управления в системах уравнений с частными производными, которые имеют тот же смысл, что и задачи оптимального управления в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. В то же время при таком подходе мы совершаем глубокий качественный скачок, сравнимый с переходом от задач математического программирования к оптимальному управлению в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Действительно, класс уравнений с частными производными или уравнений математической физики значительно более широк, чем класс обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому разработка здесь общего анализа универсальных методов крайне затруднена глубокими различиями типов уравнений, типов начально-граничных условий, а также известной незавершенностью качественной теории при кусочно-непрерывных управлениях. Отсюда исследование задач оптимизации в системах уравнений с частными производными или, как сейчас принято говорить, в системах с распределенными параметрами существенно привязано к конкретным типам задач (тип системы, связывающей состояние и управление, тип начально-граничных условий). Понятно, что эти исследования имеют тем большую актуальность, чем больше реальных прикладных задач описывается данным типом.

В настоящей работе рассматриваются задачи оптимального управления системами канонических уравнений гиперболического типа первого порядка с условиями Гурса [36]. Эта математическая модель весьма удачно используется для описания каталитических процессов в химии, и задача оптимизации в них моделирует процесс оптимизации работы химических реакторов с изменяющейся активностью катализатора [13,29-31,45-47,61]. Таким образом, задача имеет глубокий прикладной смысл. Впервые эта задача была исследована Г.М.Островским и Ю.М.Волиным [29-31,45-47], которые получили для нее необходимое условие оптимальности в виде поточечного условия максимума функции, аналогичной функции Л.С.Понтрягина для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование принципа максимума для решения конкретной задачи оптимизации работы химических реакторов, например, было дано в работе [13]. Однако, предложенный здесь алгоритм был далек от совершенства и практически не был математически строго обоснован. Этой задачей занимались многие исследователи (см, например, [4,17-24,27,29-31,42,45-47,53,59,61,65]), и в результате были созданы достаточно надежные и математически строго обоснованные в смысле релаксации и сходимости алгоритмы оптимизации, основанные на принципе максимума [24,27] и вариационном принципе максимума В.А.Срочко [53]. Построены градиентные методы [15,24,27], которые в конечном счете уже основывались на линеаризованном или дифференциальном принципе максимума. Все эти алгоритмы ориентированы на поиск оптимального управления в классе кусочно-непрерывных (измеримых) управляющих функций, стесненных прямыми ограничениями.

В то же время практика поставила перед исследователями новую проблему, когда по условиям модели класс допустимых представляет собой гладкие, тождественно не равные константе управляющие функции, опять же стесненные прямыми амплитудными или более сложными интегрально-амплитудными ограничениями. Для исследования таких задач существующей теории необходимых условий оптимальности уже недостаточно. В такой (как и в традиционной) постановке задача оптимального управления системами канонических гиперболических уравнений будет изучена в настоящей диссертационной работе.

Методика исследования заключается в следующем. Прежде всего на двух произвольных допустимых управлениях конструируется формула приращения целевого функционала. Именно эта процедура формирует сопряженную задачу. Формула приращения рассматривается на такой вариации управления, которая гарантирует допустимость варьируемого управления при изменении параметров варьирования. В этом случае главный член по параметрам вариации в формуле приращения определяет необходимое условие оптимальности, а сама формула служит основой для построения релаксационных алгоритмов оптимизации, сходящихся к выполнению необходимых условий оптимальности.

Таким образом, конечная цель проведенных исследований — алгоритмы оптимизации.

Объекты исследований: 1) задача оптимального управления системой канонических гиперболических уравнений в традиционной постановке. Здесь традиционность связана с определением класса допустимых управлений в виде измеримых функций, стесненных прямыми ограничениями типа включений; 2) задача оптимального управления системой канонических гиперболических уравнений в нетрадиционной постановке. Здесь нетрадиционность постановки определяется тем, что допустимые управления — гладкие функции, но стесненные ограничениями типа включения или интегрально-амплитудными ограничениями типа неравенств.

В первых двух главах диссертации исследуется задача оптимального управления в традиционной постановке. В заключительной третьей главе — задача оптимального управления в нетрадиционной постановке.

К основным результатам диссертации можно отнести следующее.

В главе 1 получен и обоснован двухпараметрический итерационный процесс, который обьединяет известные алгоритмы принци па максимума и итерационные процессы линеаризованного принципа максимума так, что по возможности гасит недостатки каждого из них [8,25]. Метод основывается на традиционной формуле приращения, рассматриваемой на комбинации игольчатой и классической вариации. Релаксацию в итерационном процессе обеспечивает задача конечномерной оптимизации по двум параметрам (параметр игольчатого варьирования и параметр классического варьирования). Эта задача более сложная, чем однопараме-трическая оптимизация, характерная для итерационных процессов принципа максимума и линеаризованного принципа максимума. Эффективность здесь достигается "глубиной"релаксации на каждом шаге. Приведен пример, иллюстрирующий эффективность.

Глава 2 посвящена развитию идеи точной прямой релаксации [2] на системы с распределенными параметрами. Здесь получена новая, нетрадиционная формула приращения, на основе которой в некоторых случаях можно обеспечить прямую релаксацию без внутренней задачи параметрической оптимизации [5,6,8]. Например, этот частный класс задач включает в себя весьма интересную в теоретическом и практическом аспекте линейную систему канонических гиперболических уравнений с управляемыми коэффициентами. Проведено также распространение идеи прямой точной релаксации [2,5,6,8] на квадратичную задачу оптимального управления с управляемыми параметрами.

Наконец, в третьей главе представлены на наш взгляд наиболее интересные результаты по исследованию задач оптимального управления с гладкими, но ограниченными управлениями [7,8]. Здесь для всех типов ограничений: амплитудные, интегрально-амплитудные, интегральные и смешанные, получены:

1. новые необходимые условия оптимальности, использующие идею внутренней вариации [33];

2. построены и обоснованы алгоритмы оптимизации, обладающие релаксационностью и сходящиеся к выполнению необходимых условий оптимальности;

3. приведены примеры действия алгоритмов.

Заключение

В диссертации исследованы задачи оптимального управления системами канонических (по Гильберту) гиперболических уравнений с начально-граничными условиями типа Гурса. Задачи имеют глубокий прикладной смысл, например, в процессах оптимизации работы химических реакторов. В дополнение к многочисленным исследованиям в данном направлении в диссертации получены следующие результаты.

1. Построен и обоснован двухпараметрический итерационный процесс, который более эффективен для численного решения, чем известные итерационные процессы принципа максимума и итерационные процедуры линеаризованного принципа максимума (аналог градиентных методов).

2. Получена новая нетрадиционная формула приращения целевого функционала, позволяющая для линейно-вогнутых и квадратичных задач с управляемыми коэффициентами построить алгоритмы прямой, точной релаксации без внутренних задач параметрической оптимизации.

3. Получены новые необходимые условия оптимальности и построены регулярные итерационные процессы релаксационного типа для исследуемой задачи с гладкими, но ограниченными управлениями.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление.— М.: Наука, 1979.— 429с.

2. Антоник В.Г., Срочко В.А. К решению задач оптимального управления на основе методов линеаризации // Журн. вы-числ. матем. и матем. физики.— 1992.— Т. 32, N 7.— С. 979— 991.

3. Ащепков JI.T., Булатов В.П., Васильев О.В. и др. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления.— Новосибирск: Наука, 1984, 233 с.

4. Бокмельдер Е.П., Дыхта В.А., Москаленко А.И. Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем.— Новосибирск: Наука, 1993, 196с.

5. Бурдуковская A.B. Об одном алгоритме оптимизации в линейных канонических гиперболических системах с управляемымикоэффициентами // International Conference "Some topics of mathematics" .-Abstracts. —Samarkand, 1996.— P.119.

6. Бурдуковская A.B. Алгоритмы прямой релаксации в вогнутой задаче оптимального управления линейными системи канонических гиперболических уравнений с переменной структурой // Труды XI международной Байкальской школы-семинара.— Иркутск, 1998.— Т.2. С.54—57.

7. Бурдуковская A.B., Васильев О.В. Оптимизация систем канонических гиперболических уравнений с гладкими ограниченными управлениями. // Журн. вычисл.матем. и матем. физики.— 2000.— Т.40 , N 1 — С. 43—53.

8. Бурдуковская A.B., Васильев О.В. Об алгоритмах оптимизации в системах канонических гиперболических уравнений с частными производными.- Иркутск, гос. ун—т. Серия: Оптимизация и управление. Вып.2.— Иркутск, 1998.— 55с.

9. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства.— М.: изд—во "Мир", 1965, 276с.

10. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.— М.: Наука, 1965.— 474с.

11. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами.— М.: Наука, 1975.— 568с.

12. Бутковский А.Г. Пустыльников JI.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами.— М.: Наука, 1980.— 383с.

13. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.— М.: Изд—во Моск. ун—та, 1974. — 374с.

14. Васильев Ф.П. О градиентных методах решения задач оптимального управления системами, описываемыми параболическими уравнениями // Оптимальное управление.— М.: Знание, 1978.— 34с.

15. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1981.— 400с.

16. Васильев О.В. Об оптимальности особых управлений в системах с распределенными параметрами // Управляемые системы.— Новосибирск, 1972.— Вып. 10.— С. 27—34.

17. Васильев О.В. К необходимым условиям оптимальности управляемых систем.— В кн.: Вопросы прикладной математики. Иркутск, 1975.— С. 11—24.

18. Васильев О.В. Об одной задаче оптимального управления процессами с распределенными параметрами и управляемыми граничными условиями.— В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск, 1976.— Вып. 4.— С. 82—100.

19. Васильев О.В. Принцип максимума JI.C. Понтрягина в теории оптимальных систем с распределенными параметрами//

20. Прикладная математика.— Новосибирск: Наука.— 1978.— С. 109—138.

21. Васильев О.В. Оптимальность особых граничных управлений в системах с распределенными параметрами // Управляемые системы.— Новосибирск, 1979.— Вып. 18.— С. 4—13.

22. Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации.— Иркутск; Изд—во Иркут. ун—та, 1994г.— 344с.

23. Васильев О.В. Срочко В.А. К оптимизации одного класса управляемых процессов с распределенными параметрами // Сиб. матем. журн — 1978.— Т. 19, N 2.— С. 466-470.

24. Васильев О.В., Терлецкий. В.А., Бурдуковская A.B. Об одном подходе к исследованию задач математической физики //VI Всесоюзная конференция по качественной теории дифференциальных уравнений. Тез.докл., Иркутск, 1986.- С. 33.

25. Васильев О.В., Аргучинцев A.B., Бурдуковская A.B. Конструктивные методы оптимизации гиперболических и параболических систем // Шестая всесоюзная конференция по управлению в механических системах. Тез.докл., Львов, 1988. С. 26—27.

26. Васильев О.В., Бельтюков Н.Б., Терлецкий В.А. Алгоритмы оптимизации динамических систем, основанные на принципе максимума — В кн.: Вопросы кибернетики. Модели и методы анализа больших систем.— М.: Наука, 1991, с. 17—38.

27. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения// Оптимальное управление. Ч. 2.— Новосибирск: Наука.— 1990.— 150с.

28. Васильев О.В. Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального управления на основе необходимых условий оптимальности типа принципа максимума.— В кн.: Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. Иркутск: Изд—во Иркут. ун-та, 1983.— С. 43—64.

29. Волин Ю.М., Островский Г.М. Об одной оптимальной задаче.— Автоматика и телемеханика, 1964, т.25, N 10. С. 1414—1420.

30. Волин Ю.М., Островский Г.М. Об одной задаче оптимизации системы с распределенными параметрами.— Прикладнач математика и механика, 1965, Т.29, Вып.З.

31. Волин Ю.М., Островский Г.М. О методе последовательных приближений расчета оптимальных режимов некоторых систем с распределенными параметрами.— Автоматика и телемеханика, 1965.— Т.26, N 7.— С. 1197—1204.

32. Егоров А.И. Об оптимальном управлении в некоторых системах с распределенными параметрами.— Прикл. матем. и ме-хан, 1963, N 4. с 688—696.

33. Забелло Л.Е. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием // Дифференциальные уравнения— 1990. — Т. 26, N 8.— С. 1309—1315.

34. Кирин Н.Б. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем.— JL: Изд—во Ленинградск. ун-та, 1975 — 160с.

35. Крылов В.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. матем. и матем. физики.— 1962.— Т. 2, N 6.— С. 1132—1139.

36. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.— Л.: Гостехиздат, 1945 — Т. 2.— 620с.

37. Лионе Ж.— Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.— М.: Мир, 1972.— 414с.

38. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики.— М.: Наука, 1975.— 480с.

39. Любушин A.A. Модификация и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн.вычисл. матем. и матем. физики.— 1979.— Т.19, N 6.— С.1414—1421.

40. Любушин A.A. О применении модификаций метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн.вычисл.матем. и матем. физики.— 1982.— Т.22, N 1 — С.ЗО—35.

41. Любушин A.A., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управленияобзор).— Изв. АН СССР. Техн.киберн., 1983, N 2.— С.147— 159.

42. Маркин Е.А., Стрекаловский A.C., О существовании, единственности и устойчивости решения для одного класса динамических систем, описывающих химические процессы// Вестник МГУ. Сер. Вычисл. матем. и киберн.— 1977.— N 4.— С. 3—11.

43. Матвеев A.C. Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми распределенными системами.— Сиб. матем. журн., 1978.— Т. 19, N 5.— С. 1109—1140.

44. Новоженов М.М. Плотников В.И. Обобщенное правило множителей Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями.— Дифференц. уравнения, 1982.— Т. 18, N 4.— С. 584—592.

45. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов.— М.: Химия, 1967.— 248с.

46. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации сложных химико-технологических систем.— М.: Химия, 1970.— 328с.

47. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических систем.— М.: Химия, 1975.— 311с.

48. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами.— М.: Наука, 1977.— 479с.

49. Срочко В.А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами // Сиб. матем. журн.— 1976.— Т. 22, N 5.— С. 1108—1115.

50. Срочко В.А. Метод квадратичной фазовой аппроксимации для решения задач оптимального управления // Изв. вузов. Математика. 1993. N 12. — С: 81—88.

51. Срочко В.А. Необходимые условия оптимальности для гиперболических систем с распределенными параметрами при ограничениях на состояние.— В кн. Управляемые системы. Новосибирск; 1984, Вып.24, С. 46—58.

52. Срочко В.А. Условия оптимальности типа принципа максимума в системах Гурса — Дарбу // Сиб. матем. журн.— 1984.— Т. 25, N 1.— С. 126—132.

53. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления.— Иркутск: Изд—во Иркутск.ун—та, 1989.— 154с.

54. Терлецкий В.А. К обоснованию сходимости одной модификации метода последовательных приближений, основанного на принципе максимума.— В кн.: Численные методы анализа и их приближения. Иркутск, 1983, с. 58—69.

55. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики — М.:Наука, 1966.— 724с.

56. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления.— М.: Наука, 1978.— 487с.

57. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления // Сиб. матем. журн.— 1977.— Т. 18, N 3.— С 685—707.

58. Butkovsky. A.G., Egorov A.I., Lurie K.A. "Optimal control of distributed systems(A survey)",— SIAM J. Control, 1968, v.6, N 3, p. 437—476.

59. Vasiliev O.V. Optimization Methods — World Federation Pablishers Company, Atlanta, Georgia, USA, 1996, 275p.

60. Haimovici A. "Un theoreme d'existence pour des equations fonoctionnelles généralisant le theoreme de Peano"— Analete stiintifice ale universitatil "Al.I.Ciza"din. iasi., (serie noua)., tomul VII., Anul, 1961, fasc 1, 65—76.

61. Georgakis C., Aris R., Amundson N.R. Studies in the control of Tubular Reactors.— Chemical Engineering Sciense, 1977, v. 32, N 11, p. 1359—1387.

62. Martin Brakate "Nassasary optimality condition for the control of semilinear huperbolic boundary value problems" SIAM J. Control and optimization, 1987, v. 25, N 5, p. 1353—1369.

63. May ne D.Q. Polak E. First order strong variation algorithms for optimal control.- Journ. Optimiz. Theory and Appl., 1975, v. 16, N 3—4, p. 277-301.

64. Suryanarayana M.B. Necassary conditions for optimization problems with hyperbolic partial differential equations.— SIAM J. Control, 1973, v. 11, N 1, p. 130—141.

65. Wu Z.S., Teo K.L. First order strong variation algorithms for optimal control involving hyperbolic systems.— Journ. Optimiz. Theory and Appl., 1983, v. 39, N 4, p. 561—587.