Алгоритмы стабилизации программных движений управляемых механических систем с приложениями к работотехнике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

санкт-петербургский государственный университет

- - - _ На правах рукописи

; I \

бурков Илья Владимирович

АЛГОРИТМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К РОБОТОТЕХНИКЕ

Специальность 01.01.09 - математическая кибернетика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

Санкт-Петербург 1391

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики иатеыатико-маханического факультета Санкт-Петербургского государственного универститета.

Защита состоится ^С^- 139£ г. Е^.Зфасов на заседании специализированного совета К 063.57.49 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная пл., дом 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени Ы. Горького Санкт-Петербургского государственного унгшерститета.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор В. А. Якубович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

A. Л. Фрадков, кандидат фгаико-матемагичэских наук, доцент

B. Г. Быков

Ведущая организация: Институт нэханшш Московского государственного университета

Учений секретарь шециализяровяичэго совята

А.И.Шапзляшй

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Важной практической задачей является разработка и исследование алгоритмов стабилизации программных движений механических и электромеханических систем. Такого рода задачи трудны из-за нелинейности и нестационарности уравнений динамики объектов. Большинство ранее разработанных алгоритмов стабилизации программных движений требует проведения большого объема вычислений в процессе управления, что затруднительно для современной вычислительной техники. Поэтому представляется актуальным разработка и исследование .алгоритмов управления, не требующих проведения вычислений в режиме реального времени, поскольку они могут быть реализованы аппаратно.

Большинство ранее предложенных асимптотически стабилизирующих законов управления механических систем требует для реализации измерения скоростей системы, что в ряде случаев может быть затруднительно. Поэтому представляется актуальным разработка простых в реализации законов стабилизации, не требующих измерения скоростей.

Основной целью работы является разработка и исследование алгоритмов стабилизации программных движений нелинейных механических систем при указанных выше ограничеких.

Общая методика исследований. Главными средствами для решения поставленных задач являются метод функций Ляпунова и теория сингулярных возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений для полубесконечного • интервала времени. Использовались также сведения из математического анализа, высшей алгебры и теоретической механики.

Научная новизна.

1. Доказана асимптотическая устойчивость следующей замкнутой системы: для заданного уравнения динамики натуральной механической системы и заданного программного движения вычисляется программная сила как вектор-функция времени, система управляется регулятором "программный момент+линейная обратная связь по положению и скорости"

(гл. 1).

2. Предложена математическая модель стабилизации механической системы,' описываемой уравнениями Лагранжа

- -

второго рода, При условии, что эта система управляется электродвигателями постоянного тока с независимым возбуждением. Доказано утверждение об устойчивости замкнутой системы (гл. 1).

3. Предложена математическая модель стабилизирующего управления плоским упругим манипулятором . Доказано утверждение об устойчивости замкнутой системы, (гл. 2).

4. Предложены математические модели стабилизации механических систем, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода, при условии, что эти системы управляются без измерения их обобщенных скоростей. Доказаны утверждения об устойчивости замкнутых систем (гл. 3,4).

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для стабилизации программных движений роботов-манипуляторов, включая плоские манипуляторы с упругими шарнирами, а также для стабилизации желаемых положений и перманентных вращений спутников, управляемых реактивными двигателями.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях [2,4,5,6,7,10-12] на семинарах кафедры теоретической кибернетики ЛГУ и на семинарах Института проблем машиноведения РАН (С.-Петербург).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [2-13]. Наиболее важным являются статьи [3.4,0,9,11,12,131.

Структура и объем работы.' Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 95 страниц. Список литературы содержит 101 название.

Нумерация формул в автореферате соответствует нумерации в диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Алгоритмы стабилизации манипулятора с абсолютно жесткими и упругими звеньями

1.1. Уравнения динамики объектов.

Как известно, динамика робота с абсолютно жесткими звеньями описывается уравнением Лагранжа второго рода

которое запишем в виде

А(ч)ч'+Ь(ч.Ч)=М, (1.1.1)

где ч^н" - вектор обойденных координат, а(ч) - положительно определенная симметричная матрица инерции, К=ч*А(ч>ч/2 - кинетическая энергия, g(q)-вeктop потенциальных сил, ь(ч,ч)-вектор

квадратичных членов по ч и потенциальных сил, М - вектор об-общеннных управляющих сил. Пусть чр (■Ь)«с*10,«о) - вектор программного движения и пусть функции ^ (t), (1;) ограничены на полуоси. Мы предположим, что матрицы А(ч), А_1(ч),

вектор Ъ(ч,ч) и их первые и вторые частные производные по ч> ч равномерно ограничены в некоторой окрестности программного движения. Пусть * означает транспонирование, |-| — евклидову норму вектора, : = - равенство по определению. Предположим

также, что |ч',А(ч)ч|>о1|ч|г, И*А~'(ч)ч1>о_, |ч|* где

о1,о_1=оопз1>0.

Приводы, реализующие непосредственно обобщенные силы пока еще применяются редко, чаще применяются электродвигатели постоянного тока с независимым возбуждением, динамика которых описывается уравнением

ТМ+М+Нч=и, (1.1.2)

где Та,К - диагональные матрицы с положительными элементами на диагонали, и - вектор управляющих напряжений. Отметим, что диагональные элементы Та весьма малы. В дальнейшем, при рассмотрении уравнений (1.1.2) будем предполагать, что

Чрвс'Ю.оо) и Чр(1;), чр(1), чрШ ограничены на полуоси.

При определенных предположениях [1] динамика плоского упругого манипулятора с электроприводом описывается уравнением

Кс1М+М+Нч=7?, (1И.Э)

где Нс1 - трехдиагональная матрица с постоянными элементами, ее элементы на главной .и двух ближайших к главной диагонали положительны, V» - вектор управляющих напряжений.

- б -

В отличие от уравнения (1.1.2) положительные элементы матрицы лс1 не малы.

Как обычно принято программнуюебобщенную силу определим

Мр(г)=А(Чр)дЧь(Чр,^р), (1.1.4)

Определим программное напряжение и (1;) для уравнений (1.1и) и (1.1.2) формулой

ир (t) »ТД+Мр+11^ (1.1.5)

и программное напряжение и» (1;) для уравнений (1.1.1),

(1.1.3) формулой

Физический смысл вектор-функций времени Ыр(1). ир(ъ), VI а) -решение обратной задачи динамики для соответствующих уравнений. Эти функции можно вычислить до реального движения и запомнить, например, в виде сплайна.

Ввведем переменные отклонений г=м-мр .

1.2. Стабилизация программного пути робота с абсолютно жесткими звеньями, управляемого непосредственно обобщенными силами.

В диссертации изучается регулятор

М=Мри)~7(кох+аЖ1у), (1.2.1)

который ранее исследовался численно и экспериментально. Здесь - диагональные матрицы с положительными элементами

на диагонали.

Теорема 1..2.1. Замкнутая система (1.1.1), (1.2.1) равномерно (по времени) асимптотически устойчива по с: ношению к переменным х, у при всех достаточно больших 7,»>о.

1.3. Стабилизация программного пути робота с абсолютно жесткими звеньями, управляемого электродвигателями постоянного тока с независимым возбуждением. Рассмотрим регулятор

t^UJtbTO^x+a^y). (1.3.1)

Теорема 1.3.1. Замкнутая система (1.1.1), (1.1.2), (1.3.1) равномерно not асимптотически устойчивв по отношению к переменным х, у, а при всех достаточно больших 7, ж и всех достаточно малых Та.

1.4. Стабилизация программного пути упругого робота, управляемого электроприводами при доступности измерения моментов в шарнирах.

Рассмотрим регулятор

w=-^7(Kox+3eKty)+K2(M-Mp(t))]+wp(t), (1.4.1)

где к - диагональные матрицы с положительными коэффициентами на диагонали, v,y,x>>0.

Теорема 1.4.1. Пусть матрица -1Г|к2 гурвицева. Тогда при всех достаточно больших v,y,x>0 звмкнутая ситема (1.1.1), (1.1.3), (1.1.6), (1.4.1) равномерно асимптотически устойчива по отношению к переменным x,y,z.

1.5. Стабилизация программного пути упругого робота управляемого электродвигателями при доступности измерения ускорений.

Преобразуем уравнения (1.1.1), (1.1.3) таким образом, чтобы вектор (q,q,q") был фазовым. Продифференцировав (1.1.1), получим

A(q)q"+o(q,q,q')=M, (1.5.1)

где функция o(q,q,q ) определяется очевидным образом. Уравнение (1.1.3) представим в виде

M+if ¡M+R~ j Rq=W, (1.5^2)

где w=r"'w-hobob управление. Подставив (1.5.1) в (1.5.2) получим

А(чй"+а(ч,ч,ч')=я. (1.5.3)

Функция легко определяется по выражениям (1.1.1),

(1.1.3) с помощью операций дифференцирования и алгебраических операций.

- 8 -

Определим программное нацряжение

). (1.5.4)

Рассмотрим регулятор

й=-7МСаг-7К у-7Кох+йр (г), (1.5.5)

где К^ - диагональные матрицы с положительными элементами на

диагонали, 7,ае>>0,

Теорема 1.5.1. Замкнутая система (1.5.3), (1.5.5) асимптотически устойчива по отношению к переменным х,у,г при всех достаточно больших у,х>о.

В главе 1 также рассмотрены регуляторы типа сильной обратной связи (без использования решения обратной задачи динамики). Результаты главы 1 опубликованы в [3,4,8].

Глава г. Алгоритмы стабилизации плоского' манипулятора с упругими шарнирами

2.1. Постанока задачи. Динамика п-звенного плоского манипулятора с упругими шарнирамй с учетом инерционности роторов двигателей описывается уравнениями [1]

А(е,(11)а^ъ(9,Ч1,41)+к(51-^)=о, ^-к(Ч1-Чг)=м, (гии)

где (^ей"- вектор координат звеньев манипулятора,

qг«Rn - вектор координат роторов двигателей,

¿(8,^) - положительно определенная симметричная матрица ,

Ы.б.ч,^)«!^ - кориолисовы и потенциальные силы, J - диагональная матрица моментов инерции роторов двигателей о положительной диагональю,

к - диагональная матрица жесткосТей шарниров с положительной диагональю,

м<Лп - вектор управляющих моментов, бей"' - вектор массо-инерционных параметров.

Пусть задан желаемый путь ч1р((;)ес',Цо,го)-.йп) и пусть перпые четыре производные его ограничены на полуоси. Требуется построить регулятор, обеспечивающий отслеживание заданного

пути.

2.2. Управление при известных параметрах. Определим Векторные функции времени ч2р(10, мр(Ъ)

(0.'ч,р )^р+ь(в>Ч1р. )+кч,р),

(2.2.1)

Отметим, что функции ч^Ш и Мр(4) можно вычислить до реального движения манипулятора и запомнить, например, в виде сплайна. Введем следующие обозначения з^ч^ч,,,. у=ч1-ч1р,

Рассмотрим регулятор

М=М (t) -аек^г-зетк^-аттлс у-ае7икхзс, (2.2.2)

где Кг, к,, Ку, - диагональные матрицы с положительными диагональными элементами, а величины ге,7,г1>>0." Физический смысл величин -

матричные коэффициенты усиления, а физический

смысл - решение обратной задачи динамики.

Теорема 2.2.1. Пусть матрицы А(ч,), А",(ч1) и вектор

Ь(ч1,ч1) дважды непрерывно-дифЕврешшруемы по ч1, ч1, они и их производные ограничены в некоторой окрестности программного движения, а также |ч*А(ч, )ч, рсогш^ч^ (оогш1;>0). Тогда замкнутая система (2.1.1), (2.2.2) равномерно асимптотически устойчива при всех достаточно больших х, у, г»о.

Приводы, реализующие непосредственно обобщенные силы, пока еще применяются редко, чаще применяются электродвигатели постоянного тока с независимым возбуждением, динамика которых, как известно, описывается уравнением

тм+м+кча=п. (2.2.10)

В дальнейшем в этом разделе предположим, что ч4р^05[о,<®)

и первые пять производных Ч1р(1:) ограничены на полуоси. Определим программное напряжение

и Ш«=т И +М . (2.2.11)

Р о Р Р 2Р '

Отметим, что ату функцию времени можно вычислить до реального движения манипулятора и запомнить. Физический смысл функции ир((;) - решение обратной задачи динамики для уравнений (2.1.1), (2.2.Ю). Рассмотрим регулятор

U=Up (t.) -aXiü-arrKww-arfuKyy-íeyt«iix, (2.2.12)

.Теорема 2.г.2, Замкнутая система (2.1 И),(2.2.ю),(2,2.12) является асимптотически устойчивой при всех достаточно больших ае, 7, v и всех достаточно малых ® .

2.3. Управление при неизвестных параметрах. Предположи.), что вместо истинных значений параметров системы известны • только их оценки §, j, к. Определим следующие функции времени:

ql(>(t)=Í-1(A(e>qtp)q;t>+b(0tq>p.^l>)+kqlp),

M(t

Положим "»Qj-qjp»

Рассмотрим регулятор

H=-aaí¡tz-íe7Kvw-arfi«)_.v-S7xKiix. (2.3.1)

Ответ об устойчивости системы (2.1.1), (2.3И) дает следующее утверждение.

Теорема 2,3.1. Пусть EeSpeotrA"1(efqJ)>aonst>0 Vq^R". Тогда ve>o аб>0 за*>о 37*>о зг»*>о такие, что, если норма начального^рассогласования достаточна мала, т. е. |x(0)+y(0)+w(0)+z(0)|<a И ае>ае*, у>7*. »и*, то вектор

tQt'%>%.>%,) будет находиться внутри £-трубки вектора

^^'(t),qIp(t),q2p(t)) при te[o,»). Если же начальное

рассогласование не является малым, то вектор (q^.q,^,^) будет находиться в е-трубке программного движения при всех достаточно больших ti tsi >о. 8а счет увеличения коэффициентов

усиления время переходного процесса ^можно сделать сколь угодно малым,

.Результаты главы 2 опубликованы в [9].

Глава з. Алгоритмы стабилизации механических систем без измерения их скоростей

3.1 Введение.

Методы асимптотической стабилизации нелинейных механических систем, предложенные в предыдущих главах (как и методы многих других авторов) требуют измерения скоростей системы. В этой главе предложены схемы управления, не требующие измерения скоростей, но требующие взамен в процессе управления решения линейных дифференциальных уравнений (это решение легко может быть реализовано аппаратно). Заметим, что измерители координат шумят меньше, чем измерители скоростей, кроме того, установка наблюдателейн^ильтров может быть дешевле, чем установка измерителей скоростей.

Основное достоинство предлагаемых в настоящей главе схем стабилизации - простота в практическом воплощении по сравнению с ранее предложенными методами стабилизации без измерения скоростей.

3.2. Асимптотическая стабилизация программной позиции натуральной механической системы.

Пусть желаемое движение есть постоянный вектор др(1)=оопз1. Рассмотрим регулятор

м=-к<ч-др)-кг(ч~5)+й(ч) (3.2.1)

и вспомогательное дифференциальное уравнение

5'=кз(ч-ч) , (3.2.г)

равносильное уравнению да=-Кэ»+а, где »=<¿-5, к,, К2, К, -диагональные матрицы с положительными элементами на диагоьали.

Теорема 3.2.1. Замкнутая система (1.1 и),(3.2.1),(3.2.2) асимптотически устойчива в целом по отношению к переменным

Ч> Ч'Ч.

3.3. Стабилизация программного пути натуральной

механической системы.

Рассмотрим регулятор

Ы=Ир(1)-т(К0х+эеК^). (3.3.1)

где и=гк4ч-ц, вектор ч есть оценка вектора Ш^. В процессе управления должно решаться линейное ди$4еренциальное уравнение

¡Г =ика (гж^ч-ч)+гК4др. (3.3.2)

Здесь К. - диагональные матрицы с положительными элементами на диагонали, -и,ае,7>0.

Теорема 3-3-1. Замкнутая система (1.1.1),(3.3.1)■(3.3.2) асимптотически устойчива по отношению к переменным х.у.и при всех достаточно больших у,х,хг>о.

Рассмотрим регулятор, не требующий знания решения обратной задачи динамики

М=-Т(К0х+К1я). (3.3.5)

Теорема 3.3.2. Для любой е-трубки (е>0) программного пути

(ОрШ).ОрШ) движение системы (1.1.1),(3.3.2).(3.3.5) будет находиться в ней для всех Ь, если 7>о достаточно велико и |х(0)|+|у(0)|+|п(0)| достаточно мало. Если же начальное рассогласование не мало, то для любого существуют у,у >о такие, что при всох 7>7? г»и* движение будет находиться в "Б-трубке При tгto.

При большом отклонении требуемое управление станет слишком большим и физически нереализуемым. Если в какой-то момент времени ^ отклонение стало очень большим, то можно рекомендовать построить новый программный путь чрп(1;), У

которого и начиная с некоторого

момента времени ^ новый программный путь должен'

совпадать со старым.

3.4. Стабилизация программной позиции плоского упругого манипулятора.

Динамика плоского манипулятора с упругими шарнирами в отсутствие силы тяжести может быть описана уравнениями, (2.2.1), В которых g(q)=0.

Пусть ч1р=(1гр=оопв'; есть желаемая позиция. Равенство о, соответствует ненапряженному состоянию шарниров манипулятора.

Рассмотрим регулятор

м—ко(чг-ч2р)-кг(ч2-чг) (3.4.2)

и вспомогательное дифференциальное уравнение, которое должно решаться в процессе управления

(3.4.3)

где к^ - диагональные матрицы с положительными элементам на диагонали.

Теорема 3.4.1. Замкнутая система (2.1.1),(3.4.2),(3.4.3) асимптотически устойчива в целом по отношению к переменными

Результаты главы 3 опубликованы в (7,11].

Глава 4. Алгоритмы стабилизации твердого тела с неподвижной точкой

4.1. Уравнения динамики объекта.

Пусть твердое тело имеет неподвижную точку, совпадающую с его центром инерции. Пусть взаимно перпендикулярные орты вг, вз неподвижны в инерциальной системе координат, а взаимно перпендикулярные орты г2, га неподвижны относительно твердого тела

Как известно, динамика вращения твердого тела описывается уравнениями Эйлера

е и + и х 9 ы =о , (4.1.1)

где ш - вектор угловой скорости твердого тела, . 8 диагональная матрица инерции.

Кинематика твердого тела описывается" уравнениями

Пуассона

8=8^0) , 1=2,3. (4.1.2Ь)

4.2, Стабилизация пары ортов, связанных с твердым телом. Рассмотрим управляющий вектор

- It -

I\i) +к>Г1х8,+к,Г1(хВв1 (4.1.4)

ГД8 F=dlag{ a, p, У }. a, p." 7 >0« kj( ke>0, k^k,.

•Теорема 4.2.1. Замкнутая система (4.i.D,(4.i.2b),(4.i.4) обладает асимптотически устойчивым положением равновесия вх" Г2" вя° *»• u и неустойчивыми положениями равновесия в , в »-г , и =0; в =-г , В = Г , 0) =0! в •= г , в =-г ,

z 1 * В а я я а в ' в 2 з э

(0=û.

3.3 Стабилизация пары ортов, связанных с телом без измерения вектора скорости тела.

Рассмотрим управляющий вектор M

И= 2 • <&*Г.1г*№б) . (вг-в^) (4.3.1)

Также рассмотрим дифференциальные векторные уравнения наблюдения

В^А^вД), 1=2,3 . (4.3.2)

где Д. - диагональные матрицы с постоянными положительными элементами на диагонали.

Теорема 4.3.1. Замкнутая система (4.i.D,(4.i.2b),(4.3.i). (4.Э.2) обладает асимптотически устойчивым положением равновесия вг= г , га, ш »0, w2=0, ®а=о и неустойчивыми положениями равновесия бв=-г3, и =0, *г=о, w3=o »

В =-Г , В'Г.и =0, Л =0. W =0: в = г . в =-г .

I я я я 1 • в * £ 2 а а

В главе 4 предложены Таете стабилизирующие законы управления для случая, когда кинематика твердого тела описывается уравнениями Эйлера-Крылова (см., (13)). Результаты главы 4 опубликованы в (12,131.

Автор выражает глубокую благодарность В.А. Якубовичу за руководство выполнением диссертационной работы и C.B. Гусеву за многочисленные обсуждения и советы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бурков И.В., Заремба А.Т. Динамика упругого манипулятора с электроприводом // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1987. Л 1. С. 57-64.

2. Бурков И.В. Стабилизация движения робота посредством сильной линейной обратной связи // Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение. Матер, межресп. конф. Мн.: ИМ АН БССР, 1990. С. 226-227.

3. Бурков И.В. Стабилизация движения жесткого и упругого робота посредством сильной обратной связи // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990. Вып.1. с. юз-105.

4. Бурков И.В. Отслеживание заданного пути роботом посредством сильной обратной связи//Математическое моделирование, управление и оптимизация. Тр. конф. молодых специалистов (Горький, дек. 1989 г.) /Горьк. ун-т. Горький. 1990. деп. В ВИНИТИ 28.09.90, N 5198-В90. С. 24-35.

5. Бурков И.В. Стабилизация программного движения нелинейных механических систем посредством сильной линейной обратной связи // Динамика твердого тела и устойчивость движения. Тез. докл. респ. конф. Донецк: Ин-т прикл. мат. и мех. АН УССР. 1990. с. 34.

ь . Бурков И.В. Стабилизация движения механических систем с неопределенными параметрами линейной обратной связью // Адаптивные и экспертные системы в управлении. Тез. докл. междунар симпоз. Ч. 2. Л.: ЛДНТП. 1991. С. 7-9.

7 . Бурков И.В. Стабилизация программного движения лагранжевой системы с использованием наблюдателя состояния // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Тез. докл. междунар. семин. М.: МПУ РАН. 1992. С.20.

з . Бурков И.В. Стабилизация программного движения электромеханических систем на основе решения обратной задачи динамики // 6th Int. Oonf. on the Theory or Machines and Mechanisms. Czechoslovakia, Libereo: Techn. Univ. of Liberec. 1992. Vol. B. P. 61-66.

9 . Бурков И.В. Отслеживание заданного пути манипулятором с упругими шарнирами // Изв. АН. Техн. кибери. 1992. М-4. С.169-174.

10. Burkov I.V. Hierarchical stabilization of the elastic robot program motion // 1st European Solid Mechanics Conference. Abstracts. Germany, Munich: Tech. Univ. of Munich. 1991. P. 40-49.

11. Burkov I. V. Asymptotio stabilization of nonlinear Lagrangian systems without measuring velooities//Aotive Control in Mechanical Engineering. Proo, Int. Syrapos.

- 16 -

(Lyon, Franoe, 1993). Lyon: Assooiation И72. Vol.- 2. 10 p.

12. Burkov I.V. Stabilization of rigid body by using only position measurements // European Control Conference. The Netherlands, Groningen: Groningen Univ. 1993. P. 2019-2024.

13. Бурков И.В. Асимптотическая стабилизация заданного положения и перманентного вращения твердого тела с измерением и без Измерения его скоростей // Изв. АН. Технич. кибернет. 1993. К 4. 0. 133-140.