Алгоритмы статистического моделирования решений уравнений эллиптического и параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

\ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

0046

0501

На правах рукописи

СИМОНОВ Николай Александрович

АЛГОРИТМЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук ,.-

,/

Санкт-Петербург 2010

004610501

Работа выполнена в учреждении Российской академии наук, Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Андросенко Пётр Александрович (Обнинский институт атомной энергетики)

доктор физико-математических наук, профессор Григорьев Юрий Николаевич (Институт вычислительных технологий СО РАН)

доктор физико-математических наук, профессор Рябов Виктор Михайлович (Санкт-Петербургский государственный университет)

Ведущая организация: Новосибирский государственный

университет

Защита состоится 2010 года в /3 — часов на за-

седании совета Д 212.232.49 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский проспект, 28, математико-механический факультет, аудитория 405.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан Я 2010 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета у - ^

доктор физико-математических наук у"' ' д д Архипова

roc

ь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Постоянный и неослабевающий интерес к применению статистического моделирования (методов Монте-Карло) как в исследовательских целях, так и для решения практических задач обусловлен многими факторами. В первую очередь методы Монте-Карло используются для вычислительных экспериментов по определению свойств таких явлений, для которых вероятностная модель является, с одной стороны, наиболее адекватной и, в то же время, достаточно эффективно реализуемой. Для многих сложных задач построение такой модели и её непосредственная компьютерная реализация является, по сути, единственно возможным подходом, позволяющим применять численные методы для их решения. Среди прочих следует упомянуть задачи статистической физики, динамики разреженных газов, задачи вычислительной генетики, и вообще задачи моделирования и оптимизации сложных систем. При этом сложность решаемой проблемы может возрастать за счёт изменения всего лишь одного параметра. В частности, при решении систем алгебраических уравнений существует такое пороговое значение размерности, после которого применение метода Монте-Карло становится заведомо более эффективным. Похожая ситуация возникает и как следствие усложнения геометрии расчётной области в задачах компьютерной графики, а также в задачах вычисления макроскопических свойств среды и отдельно взятых молекул.

Во многих случаях вероятностные модели для описания какого-либо феномена используются в совокупности с различными другими моделями, отличающимися друг от друга масштабами, степенью детализации и, как следствие, применяемым математическим аппаратом. Согласование этих моделей, а также алгоритмов, создаваемых для решения поставленных в рамках этих моделей задач, является естественным требованием, обеспечивающим их обоснованность и состоятельность. Для природных явлений, которые на макроуровне описываются дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического и параболического типа, условия согласования состоят в том, что макропараметр, удовлетворяющий уравнению, представляется в виде функционала от случайного диффузионного процесса. Построение оценок метода Монте-Карло для такого функционала обычно основано на моделировании траекторий некоторой марковской цепи. Начало разработки и применения алгоритмов статистического моделирования к решению уравнений эллиптического и параболического типа восходит к пятидесятым годам двадцатого века. К этому времени методы Монте-Карло уже являлись основным вычислительным инструментом решения задач, связанных с переносом излучения. Основоположниками этих методов были J.v.Neumann и S.Ularn, а в СССР развитие и практическое применение алгоритмов статистического моделирования для реше-

ния уравнения переноса связано с именами Г.И.Марчука, В.Г.Золотухина, С.М.Ермакова, Г.А.Михайлова, И.М.Соболя, А.И.Хисамутдинова, Л.В.Майорова, В.В.Учайкина и многих других. Развитие методов Монте-Карло в применении к решению уравнений в частных производных эллиптического и параболического типа восходит к работам W.Wasow, J.Curtiss, M.Muller, G.Brown, A.Haji-Sheikh. Интенсивные исследования в этом направлении были инициированы С.М.Ермаковым, Г.А.Михайловым и продолжают вестись ими и их учениками: К.К.Сабельфельдом, А.С.Расуловым, А.С.Си-пиньш, О.Курбанмурадовым, А.А.Кронбергом, Б.С.Елеповым, В.Вагнером и другими, а также Г.Н.Милынтейном, D.Talay, S.Maire, A.Lejay, M.Masca-gni, J.Given, I.Dimov и многими другими. Данная диссертация продолжает традиции новосибирской школы методов Монте-Карло. Работа над ней велась в рамках исследований, проводившихся группой Стохастических задач математической физики Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук. Начиная с 1985 года, группу возглавляет профессор К.К.Сабельфельд, чьи взгляды и идеи оказали существенное влияние на формирование научных интересов автора и направление его собственных исследований.

Актуальность продолжения исследований в этом направлении и создания новых алгоритмов статистического моделирования для оценивания параметров природных феноменов, описываемых параболическими и эллиптическими уравнениями, объясняется, в частности, необходимостью решать задачи определения макроскопических свойств неупорядоченных сред и тел со сложной геометрией, таких, например, как макромолекулы, погружённые в раствор соли. Несмотря на бурное развитие вычислительной техники, компьютерное моделирование решений таких задач, основанное на подробном описании молекулярной структуры, осуществимо только для простейших случаев. По этой причине используются различные усреднённые модели, приводящие к эллиптическим или параболическим уравнениям. Специфика математической постановки этих задач заключается в том, что на границе требуется выполнение условий не только для собственно решения дифференциального уравнения, но и условий, которым должен удовлетворять поток, то есть, по сути, предельное значение нормальной производной этого решения. Учёт таких краевых условий является трудной алгоритмической проблемой, в силу того, что граничные поверхности имеют очень сложную структуру. Дополнительные трудности возникают как следствие необходимости решать задачу не в ограниченной области, а во всём пространстве.

Использование алгоритмов статистического моделирования позволяет преодолеть многие из имеющихся проблем. Особенностью методов Монте-Карло, применяемых к решению задач, связанных с эллиптическими и па-

раболическими уравнениями, является возможность точного учёта сложных геометрических деталей и поведения решения на бесконечности. К другим привлекательным чертам методов статистического моделирования относятся возможность вычисления отдельных функционалов и точечных значений без необходимости нахождения всего поля решения, а также статистический характер сходимости, который, несмотря на относительно малую скорость уменьшения ошибки при увеличении объёма статистики, позволяет получать достоверные апостериорные оценки погрешности вычисляемого результата. Существенным достоинством методов Монте-Карло является то, что использование весовых оценок при решении задач молекулярной биофизики даёт возможность получать точную зависимость вычисляемых функционалов от параметров. Кроме всего прочего, методы Монте-Карло обладают свойством естественного распараллеливания вычислений, позволяющим наиболее продуктивно использовать постоянно растущие возможности современных компьютеров.

Таким образом, разработка, развитие и использование методов статистического моделирования наряду с детерминированных методами является актуальной задачей и позволяет получать численные результаты, адекватные постоянно усложняющимся моделям, применяемым для описания диффузионных и электростатических свойств тел и сред со сложной геометрической структурой.

Основные цели и задачи работы.

• Построение и обоснование новых алгоритмов статистического моделирования решений уравнений эллиптического и параболического типа.

• Эффективная компьютерная реализация построенных вычислительных методов.

• Применение разработанного программного обеспечения к решению практических задач электростатики и диффузии в областях со сложными границами.

Методы исследования. В работе использовалась теория методов Монте-Карло, методы математического и функционального анализа, теория интегральных и дифференциальных уравнений, теория вероятностей, методы математической статистики и теория проверки статистических гипотез. Программирование осуществлялось на языке Фортран.

Научная новизна.

Все основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем.

1. Впервые построен класс эффективных алгоритмов статистического моделирования функций, удовлетворяющих уравнению эллиптического типа и граничным условиям, включающими в себя нормальную производную. Разработанные численные методы обладают свойством параллелизма и позволяют достоверно оценивать погрешность построенного решения

2. Разработаны новые алгоритмы статистического моделирования для решений уравнений параболического типа, в том числе и со случайными параметрами

3. На основе эффективной компьютерной реализации разработанных вычислительных методов создан комплекс программ для решения диффузионных и электростатических задач молекулярной биофизики

4. С использованием разработанных алгоритмов и созданного на их основе программного обеспечения получено новое решение важной практической задачи определения электростатических свойств макромолекул в растворе

Практическая значимость работы. Результаты работы вносят существенный вклад в вычислительную математику и. в частности, в теорию методов Монте-Карло. Алгоритмы статистического моделирования, разработанные в диссертации и реализованные в виде комплекса программ, позволяют решать широкий класс практически важных задач, в том числе задач, связанных с определением электростатических и диффузионных свойств макромолекул.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, регулярно, начиная с 1979 года, докладывались и обсуждались на семинарах отдела Статистического моделирования в физике Вычислительного це?1тра (Института вычислительной математики и математической геофизики) СО РАН под руководством чл.-корр. РАН Г.А.Михайлова.

Результаты диссертации были представлены на семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета под руководством профессора С.М.Ермакова, а также на следующих конференциях.

VII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1985; Всесоюзная конференция 'Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики', Новосибирск, 1987; Третья республиканская конференция 'Интегральные уравнения в прикладном моделировании', Одесса, 1989; Актуальные проблемы статистического моделирования и его приложения, Ташкент,

1989; VIII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1991; Международная конференция АМСА-95, Новосибирск, 1995; Математические модели и численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1996; The 2nd St. Petersburg Workshop on simulation, St. Petersburg, 1996; GAMM Annual Meeting, Regensburg, Germany, 1997; First IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Brussels, Belgium, 1997; 15th IMACS World Congress, Berlin, Germany, 1997; Munchener Stochastik-Tage, Munich, Germany, 1998; SiblN-PRIM-98, Новосибирск, 1998; The 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg, 1998; SibINPRIM-2000, Новосибирск, 2000; Algorithms and Complexity for Continuous Problems, Schloss Dagstuhl, Wadern, Germany, 2000; The 4th St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg, 2001; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2002, Новосибирск, 2002; The International Conference on Computational Science ICCS-2003, St. Petersburg, Russia, 2003; 4th International Conference on 'Large Scale Scientific Computations', Sozopol, Bulgaria, 2003; IVth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Berlin, Germany, 2003; AMS 2004 Spring Southeastern Section Meeting, Tallahassee, USA, 2004; NATO Advanced Research Workshop: Advances in Air Pollution Modelling for Environmental Security, Borovetz, Bulgaria, 2004; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2004, Новосибирск, 2004; SIAM Conference on Computational Science and Engineering, Orlando, USA, 2005; The 5th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Tallahassee, USA, 2005; The International Conference on Computational Science ICCS-2005, Atlanta, USA, 2005; 5th International Conference on 'Large Scale Scientific Computations', Sozopol, Bulgaria, 2005; 17th IMACS World Congress, Paris, France, 2005; 7th International Conference on Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods in Scientific Computing, Ulm, Germany, 2006; 6th Conference on Numerical Mathematics and Applications, Borovets, Bulgaria, 2006; Workshop on Quantitative Computational Biophysics, Tallahassee, USA, 2007; Всероссийская конференция по вычислительной математике ICCM-2007, Новосибирск, 2007; The 6th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Reading, UK, 2007; Международная конференция 'Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений' посвященная 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева, Новосибирск, 2008.

Публикации. Результаты диссертации изложены в 41 опубликованной работе, в том числе в двух монографиях и 12 статьях, напечатанных в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора наук. Перечень публикаций приведён в конце автореферата. Издания [3, 4, 6, 12J входят в список ВАК, а издания [5, 7 - 10, 11, 13, 14] входят в систему

цитирования Web of Science.

В совместных работах [1, 2] Н.А.Симонову принадлежит детальная разработка алгоритмов случайного блуждания для решения первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа и уравнений Ламе. В работе |4j автору диссертации принадлежит разработка алгоритма для вычисления итераций сингулярного интегрального оператора. В работах [10, 11, 13, 30 - 38] Н.А.Симонову принадлежит разработка и обоснование алгоритма, проведение численных экспериментов и анализ результатов. В работе [14] расчёты проводились с использованием программы, созданной автором, он принимал участие в анализе результатов и формулировке выводов. В работе [19] автору принадлежит алгоритм блуждания в подобластях и его реализация в виде подпрограмм. В работе [27] Н.А.Симонову принадлежит разработка и реализация алгоритма метода Монте-Карло и проведение численных экспериментов.

Все результаты, выносимые на. защиту, получены лично автором диссертации.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, дополнения и заключения. Результаты исследований изложены на 286 страницах с использованием 26 рисунков и 9 таблиц. Библиографический список состоит из 282 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, даётся обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам, краткое содержание диссертации по главам и параграфам, приведен перечень результатов, выносимых на защиту.

В первой главе рассматриваются алгоритмы статистического моделирования для решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа.

Параграф 1.1 носит вводный характер. В нём описывается общая схема построения алгоритмов, основанных на интегральной формуле Грина и её связи с вероятностным представлением. Приводится определение стандартной марковской цепи блуждания по сферам и описываются её известные свойства.

В параграфе 1.2 описываются новые эффективные методы моделирования распределения точек выхода винеровского процесса на границу области, основанные на случайном блуждании в подобластях, доказываются свойства построенных с использованием такого алгоритма оценок.

Пусть область, в которой ищется решение, представляется в виде объединения пересекающихся подобластей Gj, в каждой из которых оценка

решения задачи Дирихле в точке х имеет вид

где ^ е Gj,t > 1 - марковская цепь случайных блужданий, ít - точка первого выхода на границу этой подобласти, а д^ - значение функции щ на этой границе. Тогда оценка для решения во всей области представляется в виде

и обладает всеми свойствами оценок (1). Здесь ^ - последовательность точек выхода из подобластей, = х, д - функция, заданная на границе.

Теорема 1. 1. Если оценка £,{щ}(х), определяемая равенством (1), является несмещённой оценкой решения задачи Дирихле в каждой из подобластей С,-, рассматриваемых отдельно, то оценка £[ц](:е), построенная в соответствии с формулой (2), будет, несмещённой оценкой решения зам

дачи Дирихле во всей области С = .

.7 = 1

2. Если оценка (1). обладает некоторым смещением:

где < £Bj, а В^ = вир ¡гг.^- (:Х') то оценка £(х) решения задачи Ди-

хес,

рихле в области С? также смещённая и

где q = тах^^, В = вир |и(ж)|. Здесь < 1 - константа из леммы ' хей

Шварца в применении к паре подобластей С^ и С^-3. Дисперсия оценки С(^) конечна.

В параграфе 1.3 описано построение алгоритма блуждания по сферам для решения задачи Неймана и смешанной краевой задачи. Выводится интегральная формула среднего для значения решения на границе области. Эффективные методы статистического моделирования строятся на основе рандомизации этой формулы.

Пусть функция и является решением линейного уравнения Пуассона-Больцмана (Гельмгольца):

Е £[и,-](а:) = и^(х) + ,

(3)

1ЕС(*)-Ф01< в,

А и — к2,и = 0 , к = const > О

(4)

в области GcR3. Обозначим

1 smh(K.(« — | у — a:j))

Ф«,а(2/) =

4л \у — х\sinh(«;a)

функцию Грина, задачи Дирихле для уравнения (4) в шаре В(х,а). Тогда значение решения в точке х € G удовлетворяет при любом а < d(x) формуле среднего (d(x) - расстояние до границы области Г)

f 1 ка

щх) = / ---—7-7 и ds ■ (5)

Js{xm) 47га smh(Ka)

Рассмотрим смешанную краевую задачу для уравнения (4): ди

Р(у)и(у) =д(у) , у £Т , (6)

где а = 1, ¡3 = 0 на Г0 и наоборот а = 0, ¡3 — 1 на Гг = Г\Г0. Для построения алгоритма случайного блуждания выведено и используется следующее интегральное соотношение

и(х) = [ 2^*'° и ds

Jrs\(x\ dn

г

г) 7/

[~2ФЛ,0] <1з , (7)

гпв^.оды с/п

где Г5 - граница области С р| В(х, а). Здесь х € Г0. Рандомизация соотношений (5). (7) позволяет построить марковскую цепь случайного блуждания {.г к, к = 0,1,...,^} и определить оценку решения краевой задачи и(хо) в виде функционала от траектории этой цепи. Внутри области используется блуждание по сферам, основанное на рандомизации (5) при а = ¿(х), вплоть до первого попадания точки хк в е-окрестность границы. При выходе цепи в окрестность границы с условиями Неймана

— (у) = д(у) к оценке решения прибавляется величина, равная второму оп

интегралу в (7) при х = х*к1 х*к £ Го - ближайшая к Хк- При этом моделирование марковской цепи продолжается, а её следующая точка выбирается на Г5 в соответствии с равномерным распределением по углу видимости из х*к. При х*И 6 I1! используется граничное условие Дирихле и моделирование цепи обрывается.

Теорема 2. Функция £[и](:го), построенная на траектории случайного блуждания по сферам, которое используется как внутри области, т,ак и при моделировании отражения от границы. является, оценкой для решения смешанной краевой задачи (4), (6). Дисперсия этой оценки конечна,

а смещение есть величина того же порядка, чт.о и ширина полосы вблизи границы, то есть совпадает по порядку со смещением оценки решения задачи Дирихле. Трудоёмкость построенной оценки (для выпуклой границы) есть 0( 1с^(<5) 5~2). Здесь 6, требуемая точность решения, совпадает с шириной приграничной полосы е.

Если к > 0, то утверждение остаётся верным и для задачи Неймана.

Для невыпуклой границы используется аппроксимация интегрального представления (7), которая позволяет преодолеть алгоритмические трудности, вызванные знакопеременностью ядра интегрального оператора. Вводится касательная плоскость в точке х'к и следующая точка марковской цепи выбирается равномерно на полусфере отсекаемой этой плос-

костью. Выбирая е — 0(а/2Я)3 при малых а/Я, где Я - минимальный радиус кривизны поверхности в данной точке, получаем оценку с трудоёмкостью 0(1о§(<5) 6~5/2).

В параграфе 1.4 соотношение о среднем обобщается для значения решения в точке, находящейся на границе раздела областей с различающимися свойствами. Решения различных эллиптических уравнений согласованы друг с другом через условия непрерывности. Краевые задачи в такой постановке возникают в электростатике, в реакторной физике (диффузионное приближение), в задачах гомогенизации, диффузии в кусочно-однородных средах, и т.п. Строится алгоритм метода Монте-Карло, позволяющий решать поставленную задачу в любой точке пространства и вычислять значения линейных функционалов.

Пусть функция ие удовлетворяет линейному уравнению Пуассона-Больц-мана (4) во внешности ограниченной области С, а функция щ удовлетворяет внутри (7 уравнению Пуассона

Для построения алгоритма блуждания по сферам в С и её внешности С?1 используется рандомизация соотношения о среднем (5). Во внешней области при к > О весовой множитель в этой интегральной формуле интерпретируется как вероятность выживания. В случае к = 0 используется модификация алгоритма блуждания по сферам с прямым моделированием ухода диффузионной траектории на бесконечность.

Правая часть уравнения Пуассона учитывается с помощью представ-

6.; Ащ = -4жр .

На границе заданы условия непрерывности решения и потока:

(8)

ие = щ

'I 1

(9)

ления щ в виде суммы объёмного

и регулярной} слагаемого. Учёт условйй на границе раздела приводит к интегральной'.формуле (х 6 I1): \

\ <,• /' / 1 ка

и(х) = —■— / -—2-Г—Г-,■■—гие ав

\ + Ч п с/ 2па втгцка) < , , у /' /' 1

-м,- ав

• .1.ч[г.;,г\<; 2?га2 зть(ка)

--1 / I 2 йй (10)

«е + ег ^1)'ПВ(х,а)\{х} 0,71

[ —2к2Фк,о]Мг ¿У

бе + б.

'/В(1,«)пс

[ [-2Ф«,а] Р ^ ,

+ е? •) В(х,а)

+ ]в(х,а)Г)С

^ , . 8шЬ(«(а - г)) + к?-созЬ(к(а - г) „ , .

где г = --—- , , ч-—-" < 1, г = [а- - у|.

Бтгцка)

Для построения марковской цепи используется приближённая рандомизация этой формулы, основанная на разделении шара В(х, а) касательной плоскостью в точке х ~ х%. С вероятностью ре = --— следующая точка

£г +

марковской цепи Хь+1 выбирается равномерно на той полусфере 3+(х*к,о,), в которую направлен вектор нормали, а с дополнительной вероятностью Pi - в замкнутом полушаре, В~(х*к,а). Значение объёмного потенциала с плотностью р оценивается по одной случайной точке, которая выбирается с плотностью, согласованной с Ф.

При к > 0 коэффициент, стоящий под интегралом, рассматривается при Хк+1 & 5'+(х*к,а) как вероятность выживания. Если же направление вектора выбрано так, что (х^+х — х*к,п{хк)) < 0, то с вероятностью

<7(к, а) = . —г следующая точка цепи выбирается на 3~(х*к,а), а с до-втЦ/га)

полнительной вероятностью - внутри полушара В~(х*к,а).

Лемма 1. Среднее число выходов построенной марковской цепи на гра-2у

ницу есть ЕЛГ* = —(1 + ¿у). Здесь у - ограниченное решение задачи (8),

ду-

(4) с условием на границе ег~о~(у) = ее~д—(у) + а ¿у = 0(а) при а —» 0.

Пусть {х*к^ е Г, ^ = 1,... - последовательность точек выхода построенной марковской цепи из области С на границу, а £ = — 1} - последовательность точек возврата цепи в эту область.

Тогда

Теорема 3.

£МЫ = д(х0)-д(х*кл) + ^ Ыхк+1:3)-9(^1.3+1)] (и)

является оценкой для решения краевой задачи (8), (4), (9). Для е = (а/2/?)3 смешение оценки равно 0{а2) при а —> 0. Дисперсия оценки конечна, а трудоёмкость равна 0(^(<5) 6~5/2) при заданной точности 5.

В параграфе 1.5 описываются алгоритмы случайного блуждания по границе для решения эллиптических уравнений. Вначале даётся описание общего подхода к построению оценок для решений интегральных уравнений теории потенциала для уравнения Лапласа. В силу того, что в случае задач Неймана и Дирихле ряд Неймана для этих уравнений не сходится, используется метод вычисления решения, основанный на аналитическом продолжении резольвенты. Применение такого подхода в приложении к методам Монте-Карло было предложено К.К.Сабельфельдом в его работе 1982 года1, которая открыла возможность решения методом Монте-Карло интегральных уравнений с расходящимся рядом Неймана. В частности, в ней впервые сформулирована идея построения алгоритма блуждания по границе для задач теории электростатического и упругого потенциалов, которая далее была развита и обобщена в совместных работах и подытожена в совместных монографиях [1,2].

Аналогичный подход применяется для построения алгоритма статистического моделирования в случае задачи нахождения решения во всём пространстве с условиями непрерывности, заданными на границе раздела областей с разными коэффициентами диэлектрической проницаемости (диффузии).

Далее строятся алгоритмы случайного блуждания по границе для решения краевых задач для линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана. Вначале рассматриваются задачи Дирихле и Неймана, а затем, на основе специально подобранного представления решения строится алгоритм, совмещающий случайные блуждания по границе и по сферам внутри области, который позволяет построить оценку решения задачи с условиями непрерывности.

Для задачи с условиями непрерывности и к = 0 во всём пространстве используется представление решения в виде суммы регулярной части и объёмного потенциала д. Регулярная часть ищется в виде поверхностного

1Сабельфельд, К. К. Векторные алгоритмы метода Монте-Карло для решения эллиптических уравнений второго порядка и уравнений Ламе / К. К. Сабельфельд // Доклады АН СССР.— 1982,- Т. 262, № 5,— С. 1076-1080.

потенциала простого слоя с неизвестной плотностью /¿. Учёт граничных условий и свойств нормальной производной потенциала даёт интегральное уравнение, которому должна удовлетворять плотность:

М=-А0/СМ+/. (12)

Здесь ее > е.,-, Aq = —-'— > 0. Ядро интегрального оператора К имеет

ее + Ч

1 COS (pvvi

вид —-- to • где <pvv> есть угол между внешней нормалью в точке у и

2 тф-УТ'

q

вектором у — у'- Свободный член уравнения равен / = А0 и вычисля-

дп(у)

ется аналитически. При се е* ряд Неймана для (12) сходится медленно, а в невыпуклом случае сходимость при замене ядра оператора на его модуль не сохраняется. Применяется аналитическое преобразование ряда с помощью замены спектрального параметра и используется конечное число членов. В результате, 0(дга+1)-смещённая оценка для регулярной части решения есть

п

^ = ■ (13)

¿=0

Здесь hx(y) = -Ц—-—г, q = ^ < коэффициенты ¿(п) определя-27г \х — у\ 1 4- 2|Ао| о

ются способом аналитического продолжения, Q0 = рц(у„) ■ Для построения оценки используется марковская цепь изотропного случайного блуждания по границе {уо5 Уь ■ • ■ > Уп}- В невыпуклом случае используется либо равновероятный выбор одного из пересечений, либо моделирование ветвящейся марковской цепи. В последнем случае Qi+х = Qi siga(cos<j>Vi+iyi).

Для применения алгоритма случайного блуждания по границе к решению задачи с условиями непрерывности в случае к > 0, используется другое разложение решения на регулярную и сингулярную составляющие: и — ur + us. Регулярная часть удовлетворяет уравнению Лапласа внутри G, а в Gi - уравнению (еАиг — еек2(иг + us) = 0. Функция us является решением задачи с условиями непрерывности при к = 0. Для его оценки используется либо алгоритм блуждания по границе, либо блуждание по сферам. Оценка для иг строится с использованием блуждания по сферам.

Вторая глава посвящена разработке и обоснованию алгоритмов статистического моделирования для решения задач, описываемых уравнениями параболического типа.

В параграфе 2.1 рассматривается уравнение общего вида

wt = vAw-{u-V)w + cu> + f, (х, t) G Н = Rm х (0, Т], (14)

где u{x,t) = (ui,u2,---,um) - ограниченное поле: |u| < Си, и > 0 - некоторый постоянный коэффициент, a c(x,t), f(x,t) - ограниченные функции. Для решения уравнения (14) выписывается интегральное представление в виде суммы тепловых потенциалов, ядрами которых является фундаментальное решение уравнения теплопроводности Z — Z(x — x',t — t'). Показано, что если поставлена задача Коши w(x,0) = U'o(x), х <Е К™, то функция w и её производные по пространственным переменным удовлетворяют системе интегральных уравнений Вольтерра:

W = K.W + F, (15)

где W = (Wo, Wi,..., Wm)T, К, - матрично-интегральный оператор с матрицей ядер К = {kij}^j=Q. Здесь

koo(x,t',x't') = Zc(x\t'), ко j{x,t\x'tr) = —Zuj(x',t'),

km{x,t:x't') = ~c{x\t'), ki:j(x,t;x't') = -~Uj{x',t'), ox¿ ox¡

i,j-l,...,m , (16)

a Fi) и Fi - тепловые потенциалы, определяемые свободным членом уравнения и начальными данными.

Теорема 4. Пусть функции иj(x,t), c(x,t), f(x,t)

a) непрерывны в Н;

b) ограничены;

c) непрерывны по Гёлъдеру относительно х равномерно по t, а функция wo(x) непрерывна и ограничена в Rm.

Тогда

1) ряд Неймана для уравнения (15) сходится к вектор-функции W с компонентами в LX(H);

2) w(x,t) — Wo(x,t) является решением задачи Коши для уравнения (14);

3) Wi{x,t) = dw/dxi, т.е. г-я компонента суммы ряда Неймана совпадает с соответствующей производной нулевой компоненты.

Рандомизация системы интегральных уравнений (15) позволяет построить различные оценки метода Монте-Карло как для самого решения задачи Коши, так и для его производных. Разработаны скалярные и векторные оценки, прямая и сопряжённая, локально-векторная оценка. Показана несмещённость и конечность дисперсии построенных оценок. Впервые выписано в явном виде выражение для второго момента локально-векторной оценки общего вида.

Скалярная сопряжённая оценка (£д,..., £*Г})Т для вектора w (xq, íq)

строится на основе рекуррентных соотношений

777.

£о(жп>*п) = + Р0{хп,гп), (17)

,)=0 т

= +1,< + 1) + (18) ¿=0

Здесь а4+1 = хп + 2(1у(гп - 1'П+1)^!!П )1/2и)', = а'гп , а' - выборочное значение равномерно распределённой на отрезке [0,1] случайной величины, 7'т - 7-распределённая с параметром т/2 случайная величина, а ш'

2 i

- единичный вектор с изотропным случайным направлением, ао = — с

9о

вероятностью д0 и ао = О с вероятностью 1 — д0.

<+1 = + 2{у(1п - Си = (1 - К)2)««. при этом а",

7™+1, ш" и а', 7™, ¿У попарно независимы, а весовой множитель аг = ~2 2

2 I1 ("'+1)

—--. 2 .--с вероятностью д1 и а, = 0 с вероятностью 1 — Та-

Г(^) 1/2

ким образом, оценка, несмотря на линейность интегрального уравнения, строится на траекториях ветвящейся марковской цепи, каждая точка которой (ж„,£„) с вероятностями д0 и <71 порождает в следующем поколении независимые точки (х'п+1,Ь'п+1) и

Теорема 5. Рекуррентные соотношения (17), (18) определяют несмещённую оценку с конечной дисперсией для решения задачи Коши для уравнения (14) и для его первых производных по пространственным переменным в точке (хо,^о)-

При с = 0 строится векторная оценка £* для градиента решения IV (х, £). При этом её можно вычислять, не оценивая собственно решение задачи. Несмещённая сопряжённая оценка определяется соотношением

n

С(х0,10 ) = ^С2*пР{хп,гп), (19)

71=0

где <2Гг+1 = А* (¡п, - матричные веса, СЦ = Е - единичная матрица, — {О'гС]}1^,]-!-

n

п=О n

= + Ро(х,Ь), (20)

п=0

где <3д = -а0й(ж0,<о). <2^+1 = А*г §*п - векторные веса. К' =

Р Гт)т.

Несмещённая локально-векторная оценка для определяется со-

отношениями

n

С{х, t) = С(х, t; х0, to)Qo + F(x, t) = К'(х, t: хп, tn)Qn + F(x, t) .

n=0

Здесь весовые матрицы Qn и векторные веса Qn определяются соотношениями

Qо = Е, Qn+i = Ап Qn ,

Qn+i = AnQn Qo = —' PoMxo-h)

для согласованной плотности р0_2,

2 Г (m+1) (f — t' li

(аоу = тг 1

92 i (TJ z/2

с вероятностью g2 и (Ап)^ — 0 с вероятностью 1 —

Матрица вторых моментов локально-векторной оценки полностью определяется массивом матриц

eip = {ЕСуСрЛ™ =1 '

Каждая из этих матриц есть сумма сходящегося ряда Неймана для соответствующего интегрального уравнения:

Г (K')TQipK' - - - -.

&ip = / ----+ Lfkp + kjLp + kjkp, /./;• 1.....n>.

J P 2

X

Здесь = ((W'K'U (W*K')im).

Далее рассматривается первая начально-краевая задача для уравнения (14): w(y,t) — g(y,t), у 6 Г, t Е (О,Г]. Решение этой задачи представляется в виде суммы тепловых потенциалов, в которую добавляется по-

t

//* dZ

dt' J ds(y')2^ ^¡j.(y',t') с неизвестной плот-

0 г

ностыо. Получена система интегральных уравнений Вольтерра со слабо полярными ядрами, которой удовлетворяет вектор-функция с компонентами w и ц. Показана сходимость ряда Неймана для этой системы. Её рандомизация определяет ветвящуюся марковскую цепь Хр = {{xn,tn),n =

0,1,...} с фазовым пространством, включающим в себя как внутреннюю часть области решения, так и её боковую цилиндрическую поверхность. Оценка решения начально-краевой задачи I) строится на траекто-

риях цепи Хг в соответствии с рекуррентными соотношениями

СМОГЛО

П + 1 ) ' ^-Л^п + 1.4+1)) 0*4 + 1 п + 1 /

п +1 хп +1' ^г + х) ' а +1' £ п-Ы /

2 к

• ешп++ . (21)

3=1

= а0Хс(х'п+1){(11Уи(х'п+1,Ь'п+1) + Ф4+1Х.+1)) ГН(®п+1.4+1)

а'гг + 1 > ^п

+ 1) ' а)

?г Н-1 /

2/с~1

+ Е + Р(Уп,гп) -д(уп,гп), (22)

]=1

Здесь хв и хг ~ индикаторные функции области С и поверхности Г соответственно.

Теорема 6. Рекуррентные соотношения (21), (22) определяют несмещённую оценку с конечной дисперсией для решения ш(х, Ь) первой начально-краевой задачи для уравнения (Ц)-

В параграфе 2,2 рассматривается уравнение диффузии с конвекцией, выписывается интегральное уравнение Вольтерра, которому удовлетворяет его решение. Строится марковская цепь, согласованная с интегральным уравнением, и определяются оценки как решения задачи Коши, так и начально-краевой задачи. Доказывается их несмещённость и конечность дисперсии.

Для уравнения конвекции-диффузии во внешности ограниченной одно-связной области Со с односвязной границей Г

= г/Лги — (и ■ У)ги, (23)

{х,г) € X = в х [0,Т), С = Мт\Со, т> 2

рассматривается первая краевая задача. Её решение представляется в виде суммы объёмных и поверхностного тепловых потенциалов, что позволяет

получить систему интегральных уравнений Вольтерра, которой удовлетворяют решение и плотность поверхностного потенциала:

■ш = Ки) + Кц + Р,о (24)

ц = ВКи> + ВК/л + ВР0 - д . (25)

Здесь ядро интегрального оператора К определено соотношением

2 1

7гт/2 (4г/(4 - ¿'))",/2+1 х ехР ' ' (х ~ *')] , (26)

Ро = / 2{х — х',Ь)у)о{х'). Оператор К с ядром в

Их у' I') - _к-уЧ-сов^Ух ^ ~ А Г27ч

переводит функции из ЬХ(У) (У = Г х [О, Т)) в функции, бесконечно дифференцируемые в любой точке, отделённой от границы. Здесь сру>х = /1(п(у'),х — у'), а вектор нормали п(у') считаем для определённости направленным внутрь (Зо (то есть п(у') - внешняя по отношению к С нормаль). Предполагаем также, что поверхность I1 - ляпуновская из класса ЬХ(В, А). ВК - интегральный оператор с ядром к(у, х', ¿'), определённым в (26), действующий из £00(Я') в С (У), В К - интегральный оператор с ядром /с(у, t; у', £'), действующий из Ьсо(У) в С(З^), - граничное значение функции ^о, а д - краевое условие.

Определяется ветвящаяся марковская цепь, на траекториях которой строится оценка решения:

1/2 р/т+1

= X! • 2 [ - и№) • еф,г] ± ■

2к

+ ' -8г$п(сов^ао)1 еН(У/) +^0(Х0). (28)

¿=1

/у. \ V2 р/- ш+1 Ч 1

= •2 (7) Т#Г["и{Х2)' €ф'"] я'с[и,]

2к—\ ^ ^

+ х1 ■ + -д{¥г). (29)

V У2У1 а

3 = 1

Здесь х, х:> ~ индикаторные функции области С и поверхности Г.

Лемма 2. Обозначим и п^^х,^) - среднее число точек вет-

вящейся марковской цепи, начинающейся в точке (ж, ¿) Е X, в С и на Г соответственно. В условиях поставленной начально-краевой задачи /г'с'(.г', £) ограничены.

Теорема 7. Случайная величина £[г«](Х), построенная на основе рекуррентных соотношений (28), (29), является несмещённой оценкой с конечной дисперсией для решения т{х,Ь) первой начально-краевой задачи.

В параграфе 2.3 линеаризованное уравнение Навье-Стокса рассматривается как система уравнений параболического типа. Использование тепловых потенциалов позволяет выписать систему линейных интегральных уравнений для вектора завихренности. Показано, что при решении задачи Коти ряд Неймана для этой системы сходится. Это даёт возможность построить векторные оценки метода Монте-Карло для завихренности, удовлетворяющей линеаризованному уравнению Навье-Стокса.

В параграфе 2.4 рассматривается первая краевая задача для параболического уравнения, в которой граничная функция зависит от решения внутри области. На основе применения тепловых потенциалов выписываются интегральные уравнения для решения и для плотности поверхностного теплового потенциала. Доказана сходимость ряда Неймана, построена оценка решения задачи, показаны её несмещённость и конечность дисперсии.

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности. Для оценки решения применяется алгоритм случайного блуждания по границе. В невыпуклом случае оценка строится на траекториях ветвящейся марковской цепи, переходная плотность которой есть

р(Уг,и У1+1Л+1) =

2|соз(рУ1У1+1|

_<?т\Уг МУг ~Уг + 1\т

Г(22)(4!/(*._^ + 1))т/2-Н

Уг + 1\

■ ехр

(30)

\Уг - Уг + Л2

(и -

Доказана следующая лемма, позволяющая обосновать реализуемость оценок метода Монте-Карло при решении уравнений параболического типа в невыпуклых областях.

Лемма 3. Среднее число точек нестационарного ветвящегося случайного блуждания по границе равно

г

п = J J <кг{уо)т(уо,Ь)р0(у0,Ь0) , о г

где т - решение интегрального уравнения г

т(у, Ь) = У <Й7 I Му'Му, * -> ¡Л +1, (31)

О Г

Ро - плотность распределения начальной точки цепи.

В параграфе 2.5 рассматривается двумерное уравнение Прандтля для завихренности, построено интегральное уравнение, которому удовлетворяет эта функция. Для решения этого уравнения определяется итерационный алгоритм и доказывается его сходимость. На основе рандомизации итерационного процесса построена ветвящаяся марковская цепь и конструктивно определена монте-карловская оценка решения.

Параграф 2.6 посвящён рассмотрению задачи Коши для параболического уравнения со случайными параметрами: коэффициенте при линейном члене, правой части и начальными данными. Вначале рассматривается задача со случайными данными. Выписываются интегральные уравнения для решения и для его вторых моментов. Показана сходимость ряда Неймана, определены оценки статистического моделирования и доказаны их свойства. Далее получено интегральное уравнение, которому удовлетворяет решение уравнения со случайным коэффициентом. Определены условия, которым должны удовлетворять случайные параметры для обеспечения сходимости ряда Неймана в различных вероятностных смыслах. Построена оценка решения и доказаны её вероятностные свойства. Рассмотрим уравнение

Wt = г/Дш + ст + /, (32)

где коэффициент с(х, Р, ш), /(х, со) и начальные данные и>о (х; со) являются случайными полями над некоторым подходящим вероятностным пространством (П,.Д, Р), (ж,£) € Дг = х (О,Г). Решение представляется в виде суммы тепловых потенциалов и> = КгоСи> + Ро, где ~~ фундаментальное решение уравнения теплопроводности, Р0 = / ж', Ь)то(хк, со). Это

Щт

представление рассматривается как интегральное уравнение, а его решение

ищется в виде суммы ряда

со

= о, (33)

71=0

где предел рассматривается либо почти наверное (п.н.), либо в среднеквадратичном (с.к.) смысле.

Марковская цепь X = {(хп^п), п = 0,1,...} с фазовым пространством Вт определяется начальной точкой и переходной плотностью р(хп,Ьп

Яп + Ъ^п-н) — г — З-'п+Ь^п ~ ¿71 + 1)-

)

С'п = Е(сп |Х) (Со = 1) - моментные функции случайного поля с(х, Р, и>),

__^ п

С„ = Е(|с„| |Л") и Сп = вир (С?г|, гдесп(Х;ш) есть произведение

-V з=1

значений случайного коэффициента рассматриваемого параболического уравнения в точках последовательности X.

Оценка решения определяется рекуррентными соотношениями

[ад] (;£„,■£„; и;) = б'„ ^с(жп+ь Ьп+1\ ш)С [ш](ж„+1, гп+и и)

где

= <э,*м

+ }{хпЛп,и) , . (34)

к(хп, Ьп, , \)

р{Хп1^п ^ ^п + 11 ¿п-г 1)

= Я1[с\^с(.хп + 1,и1 + 1]и)) , <2о И = 1 >

д - вероятность выживания на переходе (хп,1п) —> (г„+ъ¿«+1)1 а тг = 0,1,...}— последовательность случайных величин, равных единице с вероятностью ц и нулю с дополнительной вероятностью 1 — д, N - случайное число членов в выборочной траектории марковской цепи X.

Теорема 8. 1) если для почти всех фиксированных ш <Е О функции с, / и то ограничены почти всюду в Вт, то п.н. существует, условное математическое ожидание Е(£*[ги]|а>), равное сумме ряда Неймана из (33);

2) условное математическое ожидание Е(£*[ги]|и>) является п.н. решением случайной задачи Когии и условная, дисперсия этой оценки конечна;

3) для произвольного конечного Ь > 0, £*[ги](а;,£;ш) является несмещённой оценкой для математического ожидания случайного решения Тй(х, = Ею(х, ■) ;

4) если кроме того / и и/о имеют ограниченные вторые моменты, а м,о-ментные функции случайного коэффициента с удовлетворяют условиям Сп < п\\оп/2Ь~па(п) для некоторого сходяш,егося ряда а(п), то дисперсия оценки £*[гу](а;, и) конечна.

В параграфе 2.7 описывается алгоритм решения уравнения Шрёдинге-ра, основанный на преобразовании Хопфа-Коула. переходе к нелинейному уравнению и статистическом моделировании системы взаимодействующих частиц. Построенный метод Монте-Карло позволяет вычислять собственную функцию и собственное значение дифференциального оператора.

Глава 3 посвящена применению построенных методов статистического моделирования к решению модельных и прикладных задач.

В первом параграфе приведены результаты вычислений, полученные на основе использования разработанных в диссертации алгоритмов метода Монте-Карло для определения диффузионно обусловленной константы реакции. Макромолекула рассматривается как компактное множество (?С13, ограниченное односвязной кусочно-ляпуновской поверхностью с?С. Константа реакции макромолекулы С? с броуновскими частицами определяется как интегральный поток этих частиц на поверхности молекулы. Задача вычисления диффузионно обусловленной константы реакции К сводится в стационарном случае к решению внешней краевой задачи для уравнения Лапласа:

А и{х) = 0 , ж е = №3 \ <7, я?/

К,(УМУ) - = «Ду), уедс, (35)

Нт и(х) = 0 .

|х|—юс

Здесь и — 1 — р. р(х) - концентрация частиц, Б - коэффициент диффузии. Вычисления основаны на формуле К = АжНО й(Щ: где й(г) = / с1П а Я таково, что С С В (ж, Я) для некоторого х. Рандомиза-

ция этой формулы приводит к следующей монте-карловской оценке:

К = 4тгЯ£> ЕС(ж0) . (36)

Здесь случайная точка х0 равномерно распределена на Б(х, К), а £ - независимая от неё оценка решения задачи (35). Эта оценка строится на траекториях случайного блуждания по сферам с прямым моделированием

ухода на бесконечность (метод А.С.Сипина). При первом попадании в е-окрестность границы используется рандомизация конечно-разностного приближения к граничному условию третьего рода. Для частного случая смешанной краевой задачи (модель 8о1с-81юсктауег) или задачи Неймана используется алгоритм, основанный на рандомизация формулы среднего, построенный в первой главе. Результаты тестовых расчётов показывают эффективность предложенных алгоритмов в сравнении с использовавшимися ранее оценками, основанными на прямом моделировании броуновского движения.

Во втором параграфе приведены результаты численных экспериментов по решению задач с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную решения. Прояснены свойства построенных методов. На примере смешанной задачи для куба, в котором на одной из граней выполняется условие Неймана, а на всех остальных решение равно нулю, показана эффективность построенного в первой главе алгоритма (см. Рис.1).

'tuiM | рiп j | :.мп—jiBni—|пт—jiii.ni |вм , fiu. | | 1C0C-I 1 Lot ? IUSC-З 1ВЗС-4 l.ME-5 IWC-i " ЭОС'7 T.QOE.e 'QCEE

Рис. 1: Зависимость от е (ширины приграничной полосы, в лог-лог масштабе) среднего числа переходов в блуждании по сферам, в котором отражение от границы с условиями Неймана производилось в соответствии с соотношением о сферическом среднем (7) (ромбы). Результаты расчётов аппроксимируются зависимостью ЕN = —4.419 Ine —9.505, то есть ЕN имеет тот же порядок, что и при решении задачи Дирихле. Для сравнения приведена зависимость среднего числа переходов при использовании конечноразностного приближения к нормальной производной (кресты). Результаты расчётов аппроксимируются степенной зависимостью EN = 0.691 /г-1-059. Здесь /г = е-1/2 - шаг аппроксимации.

На примере задачи с условиями непрерывности для невыпуклой области показана эффективность использования квазислучайных последователь-

ностей при моделировании траекторий блуждания по границе.

В параграфе 3.3 рассмотрено применение разработанных алгоритмов случайного блуждания к решению задач молекулярной биофизики. Показана эффективность методов статистического моделирования в применении к определению зависимости свойств макромолекул от концентрации солей. Приведены результаты вычислений значений потенциала и свободной электростатической энергии для пептидов, помещённых в солевой водный раствор.

Общепринятым подходом, позволяющим вычислять электростатические свойства макромолекул в растворе, является использование физической модели, в которой только структура самой молекулы (область б, С К3) описывается точно, а окружающая её вода с растворёнными в ней солями рассматривается как сплошная среда. При такой постановке задачи электростатический потенциал Ф,; внутри молекулы удовлетворяет уравнению Пуассона

м

< :ЛФ,!.Г! + 4тг ]Г ЯтЦх - Х(т)) =0,16 С,; , (37)

777 = 1

где - величины зарядов, расположенных в точках х'т), ег - диэлектрическая постоянная в С,. В растворе за пределами молекулы (область Се = К3 \ б?;) электростатический потенциал Фе удовлетворяет уравнению Пуассона-Больцмана. При малых значениях потенциала это уравнение линеаризуется:

ДФе(а;) — к2Фе(х) = 0 . (38)

Значения функций Ф,; и Фе согласованы условиями непрерывности вида (9). Для вычисления значений потенциала и электростатической энергии используются оценки вида (11), описанные в первой главе. При этом д = Фс(ж) - сингулярная составляющая потенциала, представимая в аналитическом виде. Здесь ФДсс) = Фг/(а:) + Фс(а:). Для описания геометрии молекулы рассматривается модель, определяемая поверхностью Ван-дер-Ваальса.

Постановка задачи определения электростатических свойств макромолекул такова, что применение методов Монте-Карло для её решения является естественным. Использование построенных в данной работе алгоритмов позволяет, не находя решения во всём пространстве, вычислять значения потенциала в отдельных точках. Не возникает проблем, вызванных неограниченностью расчётной области, в том числе, проблем с компьютерной памятью. Статистический характер погрешности позволяет адекватно оценивать точность полученного решения. Разработанные алгоритмы статистического моделирования позволяют вычислять значения потенциала диэлектрической реакции и энергии одновременно для конечного набора

значений параметра к, квадрат которого линейно зависит от концентрации соли типа ИаС1\

[Фг/](*(т)) = -Ф%х\) •• /•>) 'ф' и'Г) - . (39)

.7=2

Здесь весовая функция Fj(к) = 1 при к, = а при других значениях параметра домножается на каждом шаге во внешней области на отношение с/а;)/(/(к1,¿а:). Оценка для свободной электростатической энергии диэлектрической реакции есть линейная комбинация оценок точечных значений Фг/:

При этом значения потенциала оцениваются непосредственно в местах расположения зарядов, что невозможно при использовании конечноразност-ных и конечноэлементных методов. Тестовые расчёты для модельной задачи, имеющей аналитическое решение, показали, что данное обстоятельство приводит к относительно большим ошибкам в результатах. Например, для концентрации соли 0.1 моль расчёт по широко используемой программе АРВЭ с шагом сетки 0.1 даёт результат с ошибкой 0.856%, в то время как оценка (39) приводит к результату со смещением 0.028%. При = 1 энергия диэлектрической реакции И/Гг/ совпадает с электростатической свободной энергией растворения. На Рис. 2 показана зависимость разности между энергией при заданной концентрации соли и её значением при концентрации 0.5 моль для пептидов которые идентифицируются в РОВ (белковой базе данных) как (А) 1А4Т и (В) 10Р0. Для сравнения приведены результаты решения, полученные на основе метода граничных элементов с ускорением по мультипольному методу. Существенно, что каждое значение, полученное с использованием детерминированного метода, требует отдельного расчёта, в то время как алгоритм статистического моделирования позволяет получить всю кривую на основе одного вычислительного эксперимента. Результаты вычислений по метод}' Монте-Карло сильно кор-релированы, и дисперсия разности результатов, полученных для к\ и «2 стремится к нулю при стремлении к нулю разности 1«! — к2\.

В параграфе 3.4 описан комплекс программ, построенный с использованием разработанных алгоритмов и применяющийся для решения задач молекулярной биофизики. Программа написана на языке Фортран. При её создании использован опыт работы над предыдущими пакетами программ, реализующими алгоритмы блуждания по сферам в сочетании с блужданием в подобластях, описанным в первой главе. Применялись все идеи,

(40)

Рис. 2: Разность между электростатической энергией растворения и контрольным значением энергии при концентрации МаС1 в 0.5 М для двух пептидов: 1А4Т и 1(^(3. Диэлектрические постоянные равны 1 внутри и 78.5 вовне молекулы. В качестве границы используется поверхность Ван-дер-Ваальса. Все детерминированные расчёты проводились с использованием метода граничных элементов с ускорением по мультииольному методу. Результаты обозначены треугольниками (1А4Т) и ромбами (1*^(3). Показаны доверительные интервалы (±2а) для результатов, полученных методом Монте-Карло.

реализовалные ранее при разработке программного обеспечения для более ранних версий операционных систем. Были учтены конкретные особенности геометрических моделей, применяемых в задачах определения электростатических свойств макромолекул в растворе. Внутри молекулы используется блуждание в подобластях, а для нахождения расстояния п;о границы во внешней для молекулы области - алгоритм, основанный на построении многомерных двоичных деревьев. Созданный на основе разработанных алгоритмов программный комплекс используется в настоящее время для исследовательских расчётов в Институте молекулярной биофизики Флоридского государственного университета.

В параграфе 3.5 описывается применение методов Монте-Карло к вычислению электростатической ёмкости. Исследуются свойства эргодиче-ского алгоритма К.К.Сабельфельда, уточнены условия его применимости и скорость сходимости. Показано что при вычислении ёмкости единичного куба данный подход оказывается наиболее эффективным в сравнении как с другими методами статистического моделирования, так и с различными детерминированными вычислительными методами.

Параграф 3.6 посвящён использованию алгоритмов случайного блуждания для вычисления эффективного коэффициента проницаемости пористой среды со случайными параметрами. С помощью численных экспериментов выявлены условия проявления логнормального распределения этого коэффициента. В последующих параграфах даны результаты вычислительных экспериментов по выяснению эффективности алгоритмов, построенных для решения уравнения конвекции-диффузии, системы линеаризованных уравнений Навье-Стокса и параболических уравнения со случайными параметрами.

В дополнении (глава 4) описаны результаты исследований, посвящён-ных разработке алгоритмов и численным экспериментам по решению уравнений, не являющихся ни эллиптическими, ни параболическими. Приведены результаты расчётов по решению методами Монте-Карло уравнений Эйлера (динамики идеального газа) в интегральной форме.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Монографии

1. Курбанмурадов О. А.. Сабелъфелъд К. К.. Симонов Н. А. Алгоритмы случайного блуждания по границе. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.

2. Sabelfeld К. К., Simonov N. A. Random Walks он Boundary for solving PDEs. - Utrecht, The Netherlands: VSP, 1994.

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК

3. Симонов Н. А. Модификация алгоритма блуждания по сферам, удобная в практическом применении // Журн. вычисл. матем. и матем. фаз. - 1984. - Т. 24, № 6. - С. 936-938.

4. Сабелъфелъд К. К., Симонов Н. А. Решение пространственных задач теории упругости в детерминированной и стохастической постановках методом Монте-Карло // Доклады АН СССР. — 1984.— Т. 275, № 4. — С. 802-805.

5. Simonov N. A. Monte Carlo solution of the nonlinear integral equation system in the boundary layer theory // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 1993. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 265274.

6. Симонов Н. А. Стохастические итерационные методы решения уравнений параболического типа // Сиб. матем. журн. — 1997. — Т. 38, № 5. - С. 1146-1162.

7. Simonov N. A. Monte Carlo methods for convective diffusion equation / / Russian Journal of Numerical Analysis and. Mathem.ati.cal Modelling. — 1997. - Vol. 12, no. 1. - Pp. 67-81.

8. Simonov N. A. Monte Carlo solution to three-dimensional vorticity equation // Mathematics and. Computers in Simulation. — 1998. — Vol. 47, no. 2-5. - Pp. 455-459.

9. Simonov N. A. Stochastic iterative method for a system of parabolic equations // Zeit. Angew. Math. Mech. — 1998.-- Vol. 78, Suppl.l. -Pp. S185-S188.

10. Mascagni M.. Simonov N. A. Monte Carlo methods for calculating some physical properties of large molecules // SIAM Journal on Scientific. Computing. - 2004. - Vol. 26, no. 1. - Pp. 339-357.

11. Mascagni M.. Simonov N. A. The random walk on the boundary method for calculating capacitance // The Journal of Computational Physics. — 2004. - Vol. 195, no. 2. - Pp. 465-473.

12. Симонов H. А. Методы Монте-Карло для решения эллиптических уравнений с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную //' Доклады Академии наук. — 2006. — Т. 410, № 2. — С. 164-167.

13. Simonov N. A., Mascagni М., Fenley М. О. Monte Carlo-based linear Poisson-Boltzmann approach makes accurate salt-dependent solvation free energy predictions possible // Journal of Chemical Physics. — 2007. — Vol. 127. - P. 185105 (6 pages).

14. Using Correlated Monte Carlo Sampling for Efficiently Solving the Linearized Poisson-Boltzmann Equation Over a Broad Range of Salt Concentration / M. O. Fenley, M. Mascagni, .J. McClain et al. // J. Chem. Theory Comput. - 2010. - Vol. 6, no. 1,- Pp. 300-314. Publication Date (Web): December 23, 2009. http://dx.D0I.org/10.1021/ct9003806.

Прочие публикации

15. Симонов H. А. Алгоритмы случайного блуждания для решения краевых задач с разбиением на подобласти // Методы и а лгоритмы статистического моделирования. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. — С. 48-58.

16. Симонов Н. А. О рандомизации итерационных процессов решения уравнений первого рода / / Теория и приложения статистического моделирования. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1985. - С. 31-37.

17. Симонов Н. А. Решение граничного интегрального уравнения для третьей краевой задачи методом Монте-Карло // Методы статистического моделирования. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1986. - С. 53-59.

18. Симонов Н. А. Случайные оценки производных от решения задачи Неймана вблизи границы области // Теория и приложения статистического моделирования. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1988. - С. 76-87.

19. Назначение и архитектура пакета прикладных программ НЕКТОН-1 / М. М. Бежанова, И. И. Кабанихина, С. Е. Макаров и др. // VIII Всесоюзное совещание "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике 19-21 февраля 1991г. Часть 1.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1991. - С. 142-145.

20. Симонов Н. А. Монтекарловекая оценка решения системы интегральных уравнений, порожденной уравнениями Прандтля // Труды ВЦ СО РАН, — Новосибирск: Вычислительный центр СО РАН, 1993. — Вычислительная математика. Выпуск 1, —С. 107-112.

21. Simonov N. A. Solution of two-dimensional Prandtl equations by the Monte Carlo method // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. — Novosibirsk: Computing Center SB RAS, 1993. — Numerical Analysis. Issue 4,- Pp. 83-102.

22. Simonov N. A. Stochastic algorithm for solving two-dimensional boundary layer equations // Siberian Journal of Computer Mathematics. — 1995. — Vol. 2, no. 1.- Pp. 41-56.

23. Simonov N. A. Boundary value problem and stochastic algorithm for two-dimensional Navier-Stokes equations // Monte Carlo Methods and Applications. - 1995. - Vol. 1, no. I. - Pp. 59-70.

24. Симонов H. А. Решение методом Монте-Карло первой краевой задачи для параболических уравнений с граничной функцией, зависящей от решения // Труды ВЦ СО РАН. — Новосибирск: Вычислительный центр СО РАН, 1996.-- Вычислительная математика. Выпуск 4.— С.129-145.

25. Simonov N. A. Monte Carlo solution of the first boundary value problem for parabolic equation // Mathematical methods in stochastic simulation and experimental design. Proc. of the 2nd St. Petersburg Workshop on simulation, St. Petersburg, June 18-21, 1996 / Eel. by S. M. Ermakov, V. B. Melas. — St. Petersburg: Pub. House of St. Petersburg University, 1996,- Pp. 109-111.

26. Simonov N. A. Stochastic computational methods for parabolic equations with random data /'/' IMACS World Congress. Berlin, Germany, August 24-29, 1997. Proceedings. Volume 1. Computational Mathematics. - 1997. -Pp. 449-452.

27. Iterative procedure for multidimensional Euler equations / W. Dreyer, M. Kunik, K. Sabelfeld et al. /'/' Monte Carlo Methods and Applications. — 1998. - Vol. 4, no. 3. - Pp. 253-271.

28. Simonov N. A. Nonlinear Monte Carlo estimators for parabolic equation // Simulation 2001, Proc. 4th St. Petersburg Workshop on Simulation / Ed. by S. M. Ermakov, Y. N. Kashtanov, V. B. Melas. - St. Petersburg: St. Petersburg State University, 2001.- Pp. 453- 456.

29. Simonov N. A. Monte Carlo solution of a parabolic equation with a random coefficient // Сибирский журнал, вычислительной математики. - 2001. - T. 4, № 4. - С. 389-402.

30. Mascagni M., Simonov N. A. Random walk on the boundary methods for computing reaction rate and capacitance // The International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, Russia, June 24-28, 2002, Proceedings / Ed. by G. A. Mikhailov, V. P. Il'in, Y. M. Laevsky. -Novosibirsk: ICM&MG Publisher, 2002. - Pp. 238-242.

31. Mascagni M., Simonov N. A. Monte Carlo method for calculating'the electrostatic energy of a molecule // Lecture Notes in Computer Science. —

2003. - Vol. 2657.'— Pp. 63-74.

32. Karaivanova A., Mascagni M., Sim,onov N. A. Solving В VPs using quasi-random walks on the boundary // Lecture Notes in Computer Science. —

2004. - Vol. 2907. - Pp. 162-169.

33. Simonov N. A., Mascagni M. Random walk algorithms for estimating effective properties of digitized porous media // Monte Carlo Methods and Applications.- 2004. - Vol. 10, no. 3-4. - Pp. 599-608.

34. Karaivanova A., Mascagni M., Simonov N. A. Parallel quasirandom walks on the boundary // Monte Carlo Methods and Applications. — 2004.— Vol. 10, no. 3-4. - Pp. 311-320.

35. Simonov N. A., Mascagni M. Random walk algorithms for estimating electrostatic properties of large molecules // The International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, Russia, June 21-25, 2004, Proceedings / Ed. by G. Mikhailov, V.P.Il'in, Y.M.Laevsky. — Novosibirsk: ICM&MG Publisher, 2004. - Pp. 352-358.

36. Fleming C., Mascagni M., Simonov N. An efficient Monte Carlo approach for solving linear problems in biomolecular electrostatics // Lecture Notes m Computer Science. - 2005. - Vol. 3516. - Pp. 760-765.

37. Simonov N., Mascagni M. The method of random walk on spheres for solving boundary-value problems from molecular electrostatics // 17th IMACS World Congress, Paris, Prance, July 11-15, 2005. Proceedings.— 2005. - Pp. Tl-I-62-0945. - ISBN 2-915913-02-1.

38. Karaivanova A., Simonov N. A. Quasi-Monte Carlo methods for investigating electrostatic properties of organic pollutant molecules in solvent / / Lecture Notes in Computer Science. - 2006. - Vol. 3743. — Pp. 172-180.

39. Симонов H. А. Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения смешанной краевой задачи и задачи Неймана // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 209-220.

40. Simonov N. A. Random walks for solving boundary-value problems with flux conditions // Lecture Notes in Computer Science. — 2007. — Vol. 4310.- Pp. 181-188.

41. Simonov N. A. Walk-on-spheres algorithm for solving boundary-value problems with continuity flux conditions // Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2006 / Ed. by A. Keller, S. Heinrich, H. Niederreiter. -Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. — Pp. 633-644.

Подписано в печать 17.02.2010 г. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная

_Усл. печ. л. 2,0_Заказ № 29 Тираж 100 экз.__

Отпечатано в типографии ООО «Омега Принт» 630090 г.Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, оф. 3-021 тел./факс. (383) 335 65 23, e-mail: omegap@yandex.ru

1û- 127

2009194992

2009194992

Введение

1 Алгоритмы статистического моделирования для решения уравнений эллиптического типа

1.1 Случайные блуждания внутри области и моделирование марковских цепей.

1.1.1 Формула Грина и алгоритм блуждания по сферам

1.1.2 Оценки метода Монте-Карло для итераций интегральных операторов.

1.2 Эффективные алгоритмы моделирования точки выхода броуновского случайного процесса на границу.

1.3 Методы Монте-Карло на основе моделирования блуждания по сферам в применении к задаче Неймана и смешанной краевой задаче.

1.3.1 Введение и постановка задачи

1.3.2 Соотношение о среднем для граничной точки.

1.3.3 Решение интегрального уравнения во всей области и алгоритм блуждания по сферам.

1.3.4 Построение оценки решения.37,

1.4 Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения задачи с условиями непрерывности.

1.4.1 Постановка задачи.

1.4.2 Интегральное представление решения в граничной точке

1.4.3 Алгоритм построения оценки.

1.4.4 Другие краевые задачи.

1.5 Методы Монте-Карло, основанные на теории потенциала, в применении к решению эллиптических уравнений.

1.5.1 Марковские цепи блуждания по границе и оценки для решений краевых задач.

1.5.2 Методы Монте-Карло для решения задач с условиями непрерывности.

1.5.3 Алгоритмы случайного блуждания по границе для линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана.

1.5.4 Применение алгоритма случайного блуждания по границе к решению задачи с условиями непрерывности для уравнения Пуассона-Больцмана.

2 Алгоритмы статистического моделирования для решения уравнений параболического типа

2.1 Методы Монте-Карло для решения параболических уравнений

2.1.1 Интегральная формулировка задачи.

2.1.2 Построение оценки для решения задачи Коши.

2.1.3 Оценка решения краевой задачи.

2.2 Алгоритмы случайного блуждания для решения уравнения конвекции-диффузии

2.2.1 Уравнение конвекции-диффузии pi краевая задача

2.2.2 Интегральное уравнение для решения задачи Коши

2.2.3 Оценка решения задачи Коши.

2.2.4 Первая краевая задача.

2.2.5 Оценка решения краевой задачи.

2.3 Алгоритмы статистического моделирования для решения системы параболических уравнений

2.3.1 Сопряжённая оценка для вектора решения.

2.3.2 Прямая оценка.

2.4 Методы Монте-Карло для параболических уравнений с граничной функцией, зависящей от решения.

2.4.1 Краевая задача и интегральное уравнение для плотности потенциала.

2.4.2 Алгоритм построения оценки.118'

2.5 Метод Монте-Карло для решения двумерных уравнений пограничного слоя.

2.5.1 Построение системы интегральных уравнений.

2.5.2 Итерационный метод и его сходимость.134'

2.5.3 Алгоритм метода Монте-Карло и построение оценки

2.6 Решение параболических уравнений со случайными параметрами

2.6.1 Алгоритмы статистического моделирования для решения параболических уравнений со случайными начальными данными и правой частью.

2.6.2 Методы Монте-Карло для решения параболического уравнения со случайным коэффициентом.

2.6.3 Стохастическая задача Коши и вероятностное представление

2.6.4 Интегральное представление решения.

2.6.5 Оценки метода Монте-Карло.

2.7 Метод Монте-Карло для решения уравнения Шрёдингера на основе преобразования Хопфа-Коула.

3 Применение разработанных методов к решению модельных и прикладных задач

3.1 Применение методов Монте-Карло для вычисления физических свойств макромолекул.

3.1.1 Вычисление диффузионно-обусловленной константы реакции

3.1.2 Результаты вычислительных экспериментов.

3.2 Вычислительные эксперименты по решению задач с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную решения.

3.2.1 Результаты тестовых расчётов по применению блуждания по сферам для решения задачи Неймана и смешанной краевой задачи.

3.3 Численные статистические модели для решения уравнения Пуассона-Больцмана и для вычисления свободной электростатической энергии макромолекул в растворе.

3.3.1 Внутренняя энергия молекулы.

3.3.2 Оценка зависимости от концентрации соли.

3.3.3 Вычислительные эксперименты по определению зависимости от концентрации соли

3.4 Комплекс программ для решения задач молекулярной электростатики

3.5 Вычисление электрической ёмкости с использованием алгоритма случайного блуждания по границе.

3.5.1 Поверхностный потенциал и эргодическая теорема

3.5.2 Оценка метода Монте-Карло для электрической ёмкости

3.5.3 Вычисление распределения заряда на поверхности

3.5.4 Результаты вычислений для единичного куба.

3.6 Алгоритмы статистического моделирования для определения эффективных свойств пористых сред.

3.6.1 Аналитические формулы для проницаемости.

3.6.2 Глубина проникновения и прямые вычисления проницаемости

3.6.3 Методы Монте-Карло для вычисления проницаемости

3.6.4 Калибровка алгоритма.

3.6.5 Результаты численных экспериментов.

3.7 Решение уравнения конвекции-диффузии.

3.8 Решение системы линеаризованных уравнений

Навье-Стокса.

3.9 Решение параболических уравнений со случайными параметрами

4 Дополнение

4.1 Рандомизированные итерационные методы решения интегральных уравнений Эйлера.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Численные методы решения.

4.1.3 Результаты вычислительных экспериментов.

Статистическое моделирование (метод Монте-Карло) как инструмент научного исследования возникло фактически одновременно с зарождением теории вероятностей и использовалось вначале для получения случайных чисел непосредственно из опыта. Стохастичность результатов физических экспериментов с игральными костями, монетами и другими объектами позволяли высказать предположение о случайности изучаемых процессов, а наблюдаемая устойчивость некоторых усреднённых величин давала возможность исследовать статистические свойства полученных результатов и законы, которым подчиняется их поведение. Использование подобного подхода, основанного на непосредственном физическом эксперименте, позволило впоследствии перейти к применению алгоритмов статистического моделирования для решения задач, которые, на первый взгляд, не поддаются вероятностной интерпретации, таких, например, как вычисление числа 7г [163].

Сильным стимулом к развитию алгоритмов статистического моделирования в современном их виде послужило появление вычислительных машин и возникшая в сороковых годах двадцатого века насущная необходимость решать задачи ядерной физики [272, 204]. Успех в применении методов Монте-Карло к решению этих задач обусловлен был тем, что, во-первых, вероятностная модель достаточно точно описывает взаимодействие излучения с веществом, а во-вторых, компьютерная реализация этой модели приводит к эффективным вычислительным алгоритмам, которые даже на маломощной технике первого поколения позволяли получать необходимые результаты за разумное время. Таким образом, в этом случае одновременно были выполнены два необходимых для практического применения численного метода условия.

Как известно, физические процессы переноса излучения через вещество могут быть описаны в рамках не только вероятностной, но также и других моделей. В частности, на макроуровне используется уравнение переноса, которое может быть записано в дифференциальной, в интегро-дифференциальной либо в интегральной форме.

Подобная ситуация, когда для описания какого-либо феномена применяются различные модели, отличающихся друг от друга масштабами, степенью детализации и, как следствие, используемым математическим аппаратом, является скорее правилом, чем исключением. Естественным требованием, обеспечивающим научную обоснованность и состоятельность моделей в практическом их применении, является Pix согласование. Условие это необходимо должно выполняться также и в отношении вычислительных алгоритмов, создаваемых для решения задач в рамках различных моделей. Таким образом, естественно рассматривать всю совокупность вычислительных методов, как единый набор инструментов для численного исследования различных сторон изучаемого объекта.

В данной работе мы рассматриваем такие природные явления, которые на макроуровне описываются дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического и параболического типа. Одним из таких явлений является, в частности, процесс диффузии. Существуют различные теоретические подходы к изучению этого феномена, и его, как известно, можно описать не только в терминах уравнений в частных производных, но и в рамках теории случайных процессов. Условия согласования в данном случае состоят в том, что макропараметр, удовлетворяющий дифференциальному уравнению, представляется в виде некоторого функционала от случайного процесса. Такие соотношения принято называть вероятностными представлениями.

Заметим, что как дифференциальные уравнения являются следствием некоторых интегральных соотношений (законов сохранения), так и сами макропараметры, удовлетворяющие этим уравнениям, тоже получаются как результат осреднения (интегрирования). Вероятностные представления являются, по сути, тоже интегральными, только интегрирование в них происходит в более сложном пространстве и по более сложной мере. Установление связи между детерминированным и вероятностным подходами к рассмотрению физического процесса диффузии относится ещё к концу девятнадцатого -началу двадцатого века [224, 105, 140, 218]. Строгая математическая формулировка соотношений между решением дифференциального уравнения и диффузионным (в математическом смысле) процессом стала возможна после внедрения аксиоматического подхода в теорию вероятностей и случайных процессов [276, 277, 278, 190, 29]. Построено множество разнообразных вероятностных представлений [182, 183, 11, 181, 5, 153, 91] в виде континуальных интегралов. Эти представления, в принципе, позволяют получать решения краевых задач для эллиптических и параболических уравнений. К сожалению, методы вычисления таких интегралов весьма трудоёмки и малопригодны для рутинных расчётов [98, 16, 70, 65, 64]. Более продуктивным оказалось применение численных методов, основанных, по сути, на прямом моделировании диффузионных процессов, например, с использованием методов численного решения стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 102, 189, 210, 262, 211]. Метод этот универсален, позволяет решать уравнения с переменными коэффициентами, учитывать влияние различных физических полей, включаемых в модель, и т.д. Аналогичный подход применим и к решению более сложных задач, таких, например, как задача о распространении примеси в стохастических полях скоростей, задача об эффективности захвата аэрозолей [28, 7, 67, 92], различные задачи финансовой математики [177, 158] и т.д. Следует отметить, что при решении задач со случайными параметрами, если нет возможности переформулировать эти задачи соответствующим образом, вычисление случайного решения, его моментов и других вероятностных характеристик наиболее эффективно проводится именно с использованием алгоритмов статистического моделирования.

Близким по духу и сути к методам, использующим вероятностные представления, является простой и естественный подход, основанный на рандомизации конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений. Подход этот восходит к исследованиям начала двадцатого века, а его изложение и результаты применения к построению функции Грина приведены в-[38, 129]. Кажущаяся простота алгоритма, возможность использовать унифицированный подход к решению задач с различными краевыми условиями, вычислять решение одновременно во всех узлах сетки, а также другие положительные свойства метода по-прежнему побуждают исследователей к его использованию [147, 168, 148, 169, 20, 54, 58]. Основная проблема в применении случайного блуждания по решётке заключается в том, что такой алгоритм не только наследует все те трудности, с которыми сталкиваются детерминированные методы конечных разностей, но и добавляет к ним специфические для методов Монте-Карло особенности, в первую очередь - статистическую скорость уменьшения ошибки при увеличении объёма выборки.

Как показала практика, наиболее эффективными с вычислительной точки оказались алгоритмы статистического моделирования, основанные на переформулировке задачи, поставленной для дифференциального уравнения, и переходе к решению интегрального уравнения. По сути, именно такой подход лежал в основе методов Монте-Карло, разработанных для решения задач атомной физики. Впоследствии алгоритмы статистического моделирования переноса излучения продолжали развиваться, расширялся спектр задач, к решению которых они применялись. К настоящему времени именно методы Монте-Карло являются основным инструментом исследования и решения практических задач теории переноса [120, 44, 19, 196, 96, 97, 30]. В процессе решения этих задач были выработаны основные принципы построения монте-карловских оценок для итераций линейных операторов и для решения интегрального уравнения [132]. В дальнейшем теория методов статистического моделирования, основанная на естественной связи между интегральными операторами и марковскими цепями, интенсивно разрабатывалась [90, 21, 22, 47, 207, 50, 95, 23], что, в частности, создало возможность использовать её результаты для построения эффективных оценок метода Монте-Карло для решения параболических и эллиптических уравнений.

Существуют различные приёмы перехода от эллиптического или парабо-лическиого уравнения к формулировке задачи в виде интегрального уравнения второго рода, на основе которого затем могут быть выведены оценки метода Монте-Карло. С этой целью используются фундаментальные решения оператора дифференциального уравнения и различные функции, построенные на их основе (функция Грина, параметрикс, функция Леви и др.). Использование этих функций в сочетании с интегральными формулами Грина лежало в основании исходного конструктивного определения случайного блуждания по сферам [212, 115]. Следует, заметить, однако, что все построения полагались исключительно на интерпретации этих формул в духе теории случайных процессов и вероятностных представлений [182, 183]. Позднее было показано, что интерпретация используемых формул как интегральных уравнений с обобщённым ядром позволяет использовать разработанную теорию построения оценок для итераций интегрального оператора и строить алгоритмы статистического моделирования. Такой подход оказался весьма продуктивным и вплоть до настоящего времени используется в целях конструирования методов Монте-Карло для решения различных эллиптических, параболических уравнений и их систем [17, 18, 21, 22, 67, 48, 24, 209, 50, 52, 51, 117, 53, 4, 116, 3].

Возможен PI другой путь перехода к интегральной формулировке задачи, который также использует информацию о фундаментальных решениях дифференциального оператора. Этот подход основан на применении теории потенциала и приводит к интегральным уравнениям, которым удовлетворяет как плотность потенциала, так и само решение. Идея об использовании такого подхода для построения методов Монте-Карло высказана в [66], а подробно они изложены в [42, 234] (см. также [22]). Во многих случаях ряд Неймана для получающегося интегрального уравнения не является сходящимся. Такая специфика привела к необходимости использовать различные приёмы преобразования ряда, позволяющие как строить оценки решения, так и повышать эффективность алгоритмов за счёт ускорения сходимости [233].

Как показывает практика, возрождение интереса к применению алгоритмов статистического моделирования для вычисления свойств объектов, описываемых параболическими и эллиптическими уравнениями, вызвано необходимостью решать всё более сложные задачи, такие, например, как задача определения макроскопических свойств неупорядоченных сред и тел со сложной геометрической структурой. Как известно, для многих сложных явлений применение вероятностной модели и её непосредственная компьютерная реализация является, по сути, единственно возможным подходом, позволяющим применять численные методы для их исследования. Среди прочих следует упомянуть задачи статистической физики, задачи вычислительной генетики, и вообще задачи моделирования и оптимизации сложных систем [164, 232]. Заметим при этом, что сложность задач может возрастать за счёт изменения всего лишь одного параметра, и, в частности, хорошо известно [20, 21, 131], что при решении систем алгебраических уравнений существует такое пороговое значение размерности, после которого применение метода Монте-Карло становится заведомо более эффективным. Похожая ситуация возникает и как следствие усложнения геометрии расчётной области в приложениях, например, к задачам компьютерной графики, а также, как уже отмечено, в задачах вычисления макроскопических свойств среды и отдельно взятых молекул.

Возвращение к широкому использованию метода Монте-Карло, происходящее в последние годы, обусловлено, в частности, тем, что исследователи стали лучше осознавать, где этот метод эффективен в применении [164]. Кроме того, количество таких задач увеличивается, в частности, потому, что стали применяться более эффективные алгоритмы, а также потому, что практические задачи требуют усложнения модели, её детализации и делают неэффективными традиционные вычислительные методы. Нельзя забывать и про такое неотъемлемое преимущество алгоритмов статистического моделирования, как возможность естественного распараллеливания вычислений, позволяющего наиболее продуктивно использовать постоянно растущие возможности современных компьютеров.

Кроме свойства имманентной параллельности, как уже неоднократно отмечалось (см. например, [22, 67, 20]) методы Монте-Карло обладают и другими привлекательными свойствами. В применении к алгоритмам решения задач, связанных с уравнениями эллиптического и параболического типа, необходимо отметить, в первую очередь, возможность учёта сложных геометрических деталей, оценивания отдельных функционалов и точечных значений без нахождения всего поля решения, а также статистический характер сходимости. Скорость этой сходимости относительно мала, но, в тоже время, позволяет получать достоверные апостериорные оценки погрешности вычисляемого результата.

Подводя итог приведённым выше рассуждениям, сформулируем тему диссертации.

Основными целями данной работы являются

• Построение и обоснование новых алгоритмов статистического моделирования решений задач, описываемых уравнениями эллиптического и параболического типа

• Эффективная компьютерная реализация построенных вычислительных методов

• Применение разработанного программного обеспечения к решению практических задач

В первой главе мы рассматриваем алгоритмы статистического моделирования для решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа. Вначале даётся общая схема построения алгоритмов, основанных на интегральной формуле Грина и её связи с вероятностным представлением. Определяется марковская цепь блуждания по сферам и её свойства. В параграфе 1.2 описываются эффективные методы моделирования распределения точек выхода винеровского процесса на границу области, основанные на случайном блуждании в подобластях, доказываются свойства построенных с использованием такого алгоритма оценок. В параграфе 1.3 описано построение алгоритма блуждания по сферам для решения задачи Неймана и смешанной краевой задачи. Выводится интегральная формула среднего для значения решения на границе области. Эффективные методы статистического моделирования строятся на основе рандомизации этой формулы. В параграфе 1.4 соотношение о среднем обобщается для значения решения в точке, находящейся на границе раздела областей с различающимися свойствами. Решения различных эллиптических уравнений согласованы друг с другом через условия непрерывности. Строится алгоритм метода Монте-Карло, позволяющий решать поставленную краевую задачу в любой точке пространства и вычислять значения линейных функционалов. В параграфе 1.5 описываются алгоритмы случайного блуждания по границе для решения эллиптических уравнений. Вначале даётся описание общего подхода к построению оценок для решений интегральных уравнений теории потенциала для уравнения Лапласа. В силу того, что в случае задач Неймана и Дирихле ряд Неймана для этих уравнений не сходится, используется метод вычисления решения, основанный на аналитическом продолжении резольвенты. Далее аналогичный подход используется и для построения оценки метода Монте-Карло в случае задачи нахождения решения во всём пространстве с условиями непрерывности, заданными на границе раздела областей с разными коэффициентами диэлектрической проницаемости. Далее строятся алгоритмы случайного блуждания по границе для решения краевых задач для линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана. Вначале рассматриваются задачи Дирихле и Неймана, а затем, на основе специально подобранного представления строится алгоритм, совмещающий случайные блуждания по границе и по сферам внутри области, который позволяет построить оценку решения задачи с условиями непрерывности.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [73, 74, 75, 69, 76, 78, 77, 79, 42, 234, 199, 200, 186, 202, 201, 254, 185, 255, 151, 240, 187, 85, 86, 252, 253, 256]

Вторая глава посвящена разработке и обоснованию алгоритмов статистического моделирования для решений уравнений параболического типа. В первом параграфе рассматривается уравнение общего вида, для решения которого выписывается интегральное представление в виде суммы тепловых потенциалов, ядрами которых является фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Далее показано, что решение и его производные по пространственным переменным удовлетворяют системе интегральных уравнений Вольтерра, что позволяет построить несмещённую оценку метода Монте-Карло для самого решения задачи Коши и его производных. Рассматриваются различные виды оценок: скалярные и векторные, прямая и сопряжённая, локально-векторная. Добавление поверхностных тепловых потенциалов расширяет систему интегральных уравнений, рандомизация которой определяет ветвящуюся марковскую цепь с фазовым пространством, включающим в себя как внутреннюю часть области решения, так и её боковую цилиндрическую поверхность. Использование этой цепи позволяет построить несмещённую оценку решения начально-краевой задачи типа Дирихле. В параграфе 2.2 рассматривается уравнение конвекции-диффузии, выписывается интегральное уравнение Вольтерра, которому удовлетворяет его решение. Строится марковская цепь, согласованная с интегральным уравнением, и определяется оценка решения задачи Коши. Доказывается её несмещённость и конечность дисперсии. По аналогии с предыдущим параграфом на основе моделирования ветвящейся марковской цепи строится оценка метода Монте-Карло для решения первой краевой задачи. Доказывается конечность среднего числа точек цепи и свойства оценки. В параграфе 2.3 линеаризованное уравнение Навье-Стокса рассматривается как система уравнений параболического типа. Использование тепловых потенциалов позволяет выписать систему линейных интегральных уравнений для вектора завихренности. Показано, что при решении задачи Коши ряд Неймана для этой системы сходится. Это позволило построить векторные оценки статистического моделирования для завихренности, удовлетворяющей линеаризованному уравнению Навье-Стокса. В параграфе 2.4 рассматривается первая краевая задача для параболического уравнения, в которой граничная функция зависит от решения внутри области. На основе применения тепловых потенциалов выписываются интегральные уравнения для решения и для плотности поверхностного теплового потенциала. Показана сходимость ряда Неймана, построена оценка решения задачи, показана её несмещённость и конечность её дисперсии. В параграфе 2.5 рассматривается двумерное уравнение Прандтля для завихренности, построено интегральное уравнение, которому удовлетворяет эта функция. Для решения этого уравнения определяется итерационный алгоритм и доказывается его сходимость. На основе рандомизации итерационного процесса построена ветвящаяся марковская цепь и конструктивно определена монте-карловская оценка решения. Параграф 2.6 посвящён рассмотрению задачи Коши для параболического уравнения со случайными параметрами: коэффициенте при линейном члене, правой части и начальными данными. Вначале рассматривается задача со случайными данными. Выписываются интегральные уравнения для решения и для его вторых моментов. Показана сходимость ряда Неймана, определены оценки статистического моделирования и доказаны их свойства. Далее получено интегральное уравнение, которому удовлетворяет решение уравнения со случайным коэффициентом. Определены условия, которым должны удовлетворять случайные параметры для обеспечения сходимости ряда Неймана в различных вероятностных смыслах. Построена оценка решения и доказаны её вероятностные свойства. В параграфе 2.7 описывается алгоритм решения уравнения Шрёдингера, основанный на преобразовании-Хопфа-Коула, переходе к нелинейному уравнению и стохастическом моделировании системы взаимодействующих частиц. Построенный метод Монте-Карло позволяет вычислять собственную функцию и собственное значение дифференциального оператора.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [80, 241, 242, 244, 243, 81, 82, 245, 83, 246, 247, 248, 84, 249, 250, 251]

Третья глава посвящена применению построенных методов статистического моделирования к решению модельных и прикладных задач. В первом параграфе даны результаты вычислений, полученные на основе использования алгоритмов метода Монте-Карло для определения диффузионно обусловленной константы реакции. Далее приведены результаты численных экспериментов по решению задач с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную решения. Прояснены свойства построенных методов. В параграфе 3.3 рассмотрено применение разработанных алгоритмов случайного блуждания к решению задач молекулярной биофизики. Показана эффективность методов статистического моделирования к определению зависимости свойств макромолекул от концентрации солей. Приведены результаты вычислений значений потенциала и свободной электростатической энергии для пептидов, помещённых в солевой водный раствор. В параграфе 3.4 описан комплекс программ, построенный с использованием разработанных алгоритмов и применяющийся для решения задач молекулярной биофизики. В параграфе 3.5 описывается применение методов Монте-Карло к вычислению электростатической ёмкости. Параграф З.б посвящён использованию алгоритмов случайного блуждания для вычисления эффективного коэффициента проницаемости пористой среды со случайными параметрами. С помощью численных экспериментов выявлены условия проявления логнор-мального распределения этого коэффициента. В последующих параграфах даны результаты вычислительных экспериментов по выяснению эффективности алгоритмов, построенных для решения уравнения конвекции-диффузии, системы линеаризованных уравнений Навье-Стокса и параболических уравнения со случайными параметрами.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [60, 81, 246, 84, 249, 250, 199,. 186, 202, 201, 254, 185, 240, 187, 86, 256, 273]

В главе 4 приведены результаты исследований, близких к теме диссертации, но выпадающих из общей логики изложения. Описано построение алгоритма метода Монте-Карло и на модельных пррмерах показана возможность его применения к решегопо уравнений газовой динамики (Эйлера). Результаты главы 4 опубликованы в работе [175].

Настоящая работа выполнена в учреждении Российской академии наук, Институте вычислительной математики и математической геофизики (Вычислительном центре) Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск (ИВМ и МГ СО РАН).

Изложенные в ней результаты были представлены и докладывались на следующих конференциях.

VII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1985; Всесоюзная конференция 'Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики', Новосибирск, 1987; Третья республиканская конференция 'Интегральные уравнения в прикладном моделировании', Одесса, 1989; Актуальные проблемы статистического моделирования и его приложения, Ташкент, 1989; VIII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1991; Международная конференция АМСА-95, Новосибирск, 1995; Математические модели и численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1996; The 2nd St. Petersburg

Workshop on simulation, St. Petersburg, 1996; GAMM Annual Meeting, Regensburg, Germany, 1997; First IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Brussels, Belgium, 1997; 15th IMACS World Congress, Berlin, Germany, 1997; Munchener Stochastik-Tage, Munich, Germany, 1998; SibINPRIM-98, Новосибирск, 1998; The 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg, 1998; SiblNPRIM-2000, Новосибирск, 2000; Algorithms and Complexity for Continuous Problems, Schloss Dagstuhl, Wadern, Germany, 2000; The 4th St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg, 2001; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2002, Новосибирск, 2002; The International Conference on Computational Science ICCS-2003, St. Petersburg, Russia, 2003; 4th International Conference on 'Large Scale Scientific Computations', Sozopol, Bulgaria, 2003; IVth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Berlin, Germany, 2003; AMS 2004 Spring Southeastern Section Meeting, Tallahassee, USA, 2004; NATO Advanced Research Workshop: Advances in Air Pollution Modelling for Environmental Security, Borovetz, Bulgaria, 2004; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2004, Новосибирск, 2004; SIAM Conference on Computational Science and Engineering, Orlando, USA, 2005; The 5th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Tallahassee, USA, 2005; The International Conference on Computational Science ICCS-2005, Atlanta, USA, 2005; 5th International Conference on 'Large Scale Scientific Computations', Sozopol, Bulgaria, 2005; 17th IMACS World Congress, Paris, France, 2005; 7th International Conference on Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods in Scientific Computing, Ulm, Germany, 2006; 6th Conference on Numerical Mathematics and Applications, Borovets, Bulgaria, 2006; Workshop on Quantitative Computational Biophysics, Tallahassee, USA, 2007; Всероссийская конференция по вычислительной математике ICCM-2007, Новосибирск, 2007; The 6th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Reading, UK, 2007; Международная конференция 'Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений', посвященная 100-летию со дня рожденрш C.JI. Соболева, Новосибирск, 2008.

Результаты диссертации были представлены на семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета под руководством профессора С.М.Ермакова.

Результаты регулярно, начиная с 1979 pi вплоть до последнего времени, докладывались и обсуждались на семинарах отдела статистического моделирования в физике (СМФ) ИВМ и МГ СО РАН.

Выражаю благодарность pi признательность основателю новосибрфской школы методов Монте-Карло pi многолетнему руководителю отдела СМФ члену-корреспонденту Российской Академии наук Г.А.Михайлову, моему научному руководителю профессору К.К.Сабельфельду, а также всем сотрудникам отдела за поддержку и создание творческой атмосферы.

Большое спасибо руководителям Российского научного центра компании Бейкер Хьюз профессорам Л.А.Табаровскому и С.В.Егереву за поддержку моего стремления завершить работу над диссертацией.

Заключение

Сформулируем основные результаты.

1. Впервые построен класс эффективных алгоритмов статистического моделирования функций, удовлетворяющих уравнению эллиптического типа и граничным условиям, включающими в себя нормальную производную. Разработанные численные методы позволяют достоверно оценивать погрешность построенного решения

2. Разработаны новые алгоритмы статистического моделирования для решений уравнений параболического типа, в том числе и со случайными параметрами

3. На основе эффективной компьютерной реализации разработанных вычислительных методов создан комплекс программ для решения диффузионных и электростатических задач молекулярной биофизики

4. С использованием разработанных алгоритмов и созданного на их основе программного обеспечения получено новое эффективное решение важной практической задачи определения электростатических свойств макромолекул в растворе

1. Андросенко П. А., Ломтев В. Л. Решение краевых задач методом Монте-Карло в приближении теории переноса излучений // Вопросы атомной науки и техники. — 2006. — С. 44-53.

2. Артемьев С. С. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. — Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1993.

3. Бурмистров А. В. Модификация случайных блужданий для оценки градиента решения эллиптических краевых задач // Вычислительные технологии. — 2008. — Т. 13. — С. 20-26.

4. Бурмистров А. В., Михайлов Г. А. Вычисление производных от решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2003. — Т. 43, № 10. — С. 1517— 1529.

5. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. — Москва: Наука, 1975.

6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 4-е, исправ. изд.— Москва: Наука, 1981.

7. Галкин Л. М. Решение диффузионных задач методом Монте-Карло. — Москва: Наука, 1975.

8. Голяидина Н. Э. Некоторые функциональные неравенства и исследование скорости сходимости марковских цепей к границе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1991. — Т. 31, № 7. — С. 1029-1041.

9. Гурса Э. Курс математического анализа. Пер. с. фр. — Москва Ленинград: ГТТИ, 1934. - Т. 3. Часть 2.

10. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. — Москва: Гостехиздат, 1953.

11. Дапецкий Ю. Л. О представимости решений операторных уравнений в виде континуальных интегралов // Доклады АН СССР. — 1960. — Т. 134, № 5,- С. 1013-1016.

12. Джетыбаев Е. О., Сабелъфелъд К. К. Решение смешанной задачи для уравнений параболического и гиперболического типа методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 20, №5.— С. 677-685.

13. Дуб, Л. Дж. Вероятностные процессы. — Москва: Изд-во иностранной литературы, 1956.

14. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. — Москва: Физматгиз, 1963.

15. Дядъкин Н. Г., Стариков В. Н. Об одной возможности экономии машинного времени при решении задачи Дирихле методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1965. — Т. 5, № 5. — С. 936-938.

16. Егоров А. Д., Соболевский П. И., Янович Л. А. Приближенные методы вычисления континуальных интегралов. — Минск: Наука и техника, 1985.

17. Елепов Б. С., Михайлов Г. А. О решении задачи Дирихле для уравнения А и — си — —д моделированием "блужданий по сферам" // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1969. — Т. 9, № 3. — С. 647-654.

18. Елепов Б. С., Михайлов Р. А. Алгоритмы "блуждания по сферам "для уравнения Аи-си = -д // Доклады АН СССР. — 1973. — Т. 212, № 1. — С. 15-18.

19. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — Москва: Наука, 1975.

20. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. — Санкт-Петербург: СПбГУ, 2008.

21. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование.— Москва: Наука, 1982.

22. Ермаков С. М., Некруткин В. В., Сипин А. С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. — Москва: Наука, 1984.

23. Иванов В. М., Кореневский М. Л., Кульчицкий О. Ю. Адаптивные схемы метода Монте-Карло повышенного порядка точности // Доклады Академии наук. — 1999. Т. 367, № 5. — С. 590-593.

24. Избранные алгоритмы метода Монте-Карло / С. М. Ермаков, А. С. Ра-сулов, М. Т. Бакоев, А. 3. Веселовская. — Ташкент: Издательство Ташкентского госуниверситета, 1992.

25. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. — 1962.-Т. 17.-С. 3-140.

26. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — 3-е пере-раб. изд. — Москва: Наука, 1984.

27. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. — 5-е исправ. изд. — Ленинград: Физматгиз, 1962.

28. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика. — Москва: Физматлит, 2001.

29. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Пер. с нем. // Успехи матем. наук. — 1938. — Т. 5. — С. 5-41.

30. Кольчуоюкин А. М., Учайкин В. В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. — Москва: Атомиздат, 1978.

31. Копылов Ю. Н. Ветвящийся процесс случайного блуждания по границе для невыпуклых областей // Теория и применения статистического моделирования. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1991. — С. 52-57.

32. Кронберг А. А. Об алгоритмах статистического моделирования решения краевых задач эллиптического типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. Т. 24, № 10. - С. 1531-1537.

33. Кублановская В. Н. Применение аналитического продолжения посредством замены переменной в численном анализе // Труды матем. института АН СССР. 1959. - Т. 53. - С. 145-185.

34. Кудрявцев А. И., Андросенко П. А. Построение методов Монте-Карло для решения краевых задач блужданием по неоднородным областям. — Обнинск: ФЭИ, 1995.

35. Кудрявцев А. И., Андросенко П. А. Решение краевых задач математической физики блужданием по полушарам. — Обнинск: ФЭИ, 1997.

36. Кузнецов А. Н., Сипин А. С. Универсальный алгоритм расчёта электрических ёмкостей системы проводников методом Монте-Карло // Математическое моделирование. — 2009.— Т. 21, № 3,— С. 41-52.

37. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.-Л.: Го-стехиздат, 1951. —Т. 2.

38. Курант Р., Фридрихе К., Леей Г. О разностных уравнениях математической физики. Пер. с нем. // Успехи матем. наук. — 1941.— Т. 8.— С. 125-160.

39. Курбанмурадов О. А. Оценка математического ожидания числа шагов е-сферического процесса // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Часть 2.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. С. 137-144.

40. Курбанмурадов О. А. Метод блуждания по шароидам для решения уравнения теплопроводности / / Теория и алгоритмы статистического моделирования. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. — С. 67-77.

41. Курбанмурадов О. А., Сабельфельд К. К. Решение многомерных задач теории потенциала алгоритмами блуждания по границе // Численные методы механики сплошной среды. — 1984. — Т. 15, № 1. — С. 77-102.

42. Курбанмурадов О. А., Сабельфельд К. К., Симонов Н. А. Алгоритмы случайного блуждания по границе. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.

43. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. — 3-е, перераб. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— Т. VI. Гидродинамика.

44. Методы Монте-Карло в атмосферной оптике / Г. И. Марчук, Г. А. Михайлов, М. А. Назаралиев и др. — Новосибирск: Наука, 1976.

45. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. Пер. с итал. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1957.

46. Михайлов Г. А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью // Доклады АН СССР. — 1978. — Уо1. 238, по. 4. — Рр. 793-795.

47. Михайлов Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. — Москва: Наука, 1987.

48. Михайлов Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения уравнения Гельмгольца // Доклады Академии наук.— 1992.— Уо1. 326, по. 6.— Рр. 943-947.

49. Михайлов Г. А. Рекуррентные формулы и принцип Беллмана в методе Монте-Карло. — Новосибирск, 1993. — 32 с. — (Препринт / ВЦ СО РАН; 1001).

50. Михайлов Г. А. Весовые методы Монте-Карло.— Новосибирск: СО РАН, 2000.

51. Михайлов Г. А., Бурмистров А. В. Новый метод Монте-Карло для решения стационарного диффузионного уравнения // Сиб. матем. жури. — 2000. Т. 41, № 5. - С. 1098-1105.

52. Михайлов Г. А., Бурмистров А. В. Решение стационарного уравнения диффузии методом Монте-Карло с вычислением производных // Доклады Академии наук. — 2000. — Т. 372, № 6. — С. 736-739.

53. Михайлов Г. А., Бурмистров А. В. Весовой метод Монте-Карло для оценки производных от решения сопряженного диффузионного уравнения // Доклады Академии Наук. — 2002. — Т. 386, № 1. — С. 18-21.

54. Михайлов Г. А., Лукинов В. Л. Решение многомерного разностного бигармонического уравнения методом Монте-Карло // Сиб. матем. оюурн. — 2001. — Т. 42. — С. 1125-1135.

55. Михайлов Г. А., Макаров Р. Н. Решение краевых задач второго и третьего рода методом Монте-Карло // Сиб. матем. оюурн. — 1997. — Т. 38, № 3.- С. 603-614.

56. Михайлов Г. А., Макаров Р. Н. Решение краевых задач методом блуждания по сферам с отражением от границы // Доклады Академии наук. 1997. - Т. 353, № 6. - С. 720-722.

57. Михайлов Г. А., Толстолыткин Д. В. Новый метод Монте-Карло для вычисления ковариационной функции решения общего бигармонического уравнения // Доклады Академии наук.— 1995.— Уо1. 50, по. 2.— Рр. 316-320.

58. Михайлов Г. А., Чешкова А. Ф. Решение разностной задачи Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. — Т. 38, № 1. — С. 99-106.

59. Мишустин Б. А. О решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом статистических испытаний // Журн. вычисл. матем. и машем. физ. 1967. - Т. 7, № 5. - С. 1178-1187.

60. Некруткин В. В., Пригаро(Голяндина) Н. Э. О скорости сходимости к границе некоторых вариантов сферического процесса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1986. — Т. 26, № 4. — С. 626-631.

61. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. Пер. с англ. — М.: Мир, 1989.

62. Расулов М. Л. Применение метода контурного интеграла к решению задач для параболических систем второго порядка. — Москва: Наука, 1975.

63. Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б. С. Елепов, А. А. Кронберг, Г. А. Михайлов, К. К. Сабельфельд. — Новосибирск: Наука, 1980.

64. Сабельфельд К. К. О приближённом вычислении винеровских континуальных интегралов методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.- 1979,- Т. 19, № 1.- С. 29-43.

65. Сабельфельд К. К. Векторные алгоритмы метода Монте-Карло для решения эллиптических уравнений второго порядка и уравнений Ламе // Доклады АН СССР. 1982. - Т. 262, № 5. - С. 1076-1080.

66. Сабельфельд К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. — Новосибирск: Наука, 1989.

67. Сабельфельд К. К. Эргодический процесс блуждания по границе для решения задачи робена // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.- С. 118-123.

68. Сабельфельд К. К., Симонов Н. А. Решение пространственных задач теории упругости в детерминированной и стохастической постановках методом Монте-Карло // Доклады АН СССР. — 1984. — Т. 275, № 4. — С. 802-805.

69. Сабельфельд К. К., Татарский В. И. О приближённом вычислении ви-неровских континуальных интегралов // Доклады АН СССР. — 1978. — Т. 243, № 4.- С. 905-908.

70. Симонов Н. А. Численная реализация алгоритма "блуждания по сферам "для одного класса трёхмерных областей // Численные методы механики сплошной среды. — 1981. — Т. 12, № 6. — С. 90-96.

71. Симонов Н. А. Универсальная программа метода Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Алгоритмы и программы. — 1982. — № 6(50). — С. 28-28.

72. Симонов Н. А. Алгоритмы случайного блуждания для решения краевых задач с разбиением на подобласти // Методы и алгоритмы статистического моделирования. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. — С. 48-58.

73. Симонов Н. А. Алгоритмы случайного блуждания по границе для решения некоторых краевых задач. — Новосибирск, 1984. — Препринт / ВЦ СО РАН; 472.

74. Симонов Н. А. Модификация алгоритма блуждания по сферам, удобная в практическом применении // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 24, № 6. — С. 936-938.

75. Симонов Н. А. О рандомизации итерационных процессов решения уравнений первого рода // Теория и приложения статистического моделирования.— Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1985.— С. 31-37.

76. Симонов Н. А. Алгоритмы статистического моделирования для решения элиптических уравнений второго порядка. — Новосибирск, 1986. — Препринт / ВЦ СО РАН; 698.

77. Симонов Н. А. Решение граничного интегрального уравнения для третьей краевой задачи методом Монте-Карло // Методы статистического моделирования. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1986.—С. 53-59.

78. Симонов Н. А. Случайные оценки производных от решения задачи Неймана вблизи границы области // Теория и приложения статистического моделирования. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1988. С. 76-87.

79. Симонов Н. А. Монтекарловская оценка решения системы интегральных уравнений, порожденной уравнениями Прандтля // Труды ВЦ СО РАН. — Новосибирск: Вычислительный центр СО РАН, 1993. — Вычислительная математика. Выпуск 1.— С. 107-112.

80. Симонов Н. А, Стохастические алгоритмы решения первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения конвективной диффузии. — Новосибирск, 1995. — 22 с. — Препринт / ВЦ СО РАН; 1053.

81. Симонов Н. А. Стохастические итерационные методы решения уравнений параболического типа // Сиб. матем. эюурн. — 1997. — Т. 38, № 5. — С. 1146-1162.

82. Симонов Н. А. Метод Монте-Карло для уравнения диффузии со случайным коэффициентом поглощения. — Новосибирск, 1998. — 18 с. — Препринт / ИВМ и МГ СО РАН; 1127.

83. Симонов Н. А. Методы Монте-Карло для решения эллиптических уравнений с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную // Доклады Академии наук. — 2006.— Т. 410, № 2.— С. 164167.

84. Симонов Н. А. Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения смешанной краевой задачи и задачи Неймана // Сибирский эюурнал вычислительной математики. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 209-220.

85. Сипин А. С. О решении задачи Неймана методом Монте-Карло // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1976.— С. 129-135.

86. Сипин А. С. Процессы блуждания внутри области и их применение к решению краевых задач // А.Н. Тихонов и современная математика. Труды международной конференции, — Москва, 2006.— С. 113-114.

87. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1981.— Т. IV, 2.90 9192 93 [94 [9596 97 [98 [99100101

88. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. — Москва: Наука, 1973.

89. Справочник по теории вероятнотей и математической статистике / В. С. Королюк, Н. И. Портенко, А. В. Скороход, А. Ф. Турбин.— Москва: Наука, 1985.

90. Теверовский Е. Н., Дмитриев Е. С. Перенос аэрозольных частиц турбулентными потоками.— Москва: Энергоатомиздат, 1988.

91. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— 4-е изд. — Москва: Наука, 1972.

92. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. Пер. с англ. — Москва: Мир, 1968.

93. Хисамутдинов А. И. Единичный класс оценок для вычисления по методу Монте-Карло функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.— 1970.— Т. 10, № 5.- С. 1269-1280.

94. Хисамутдинов А. И. Методы Монте-Карло в ядерной геофизике. — Наука: Новосибирск, 1983.

95. Хисамутдинов А. И., Стариков В. Н., Морозов А. А. Алгоритмы Монте-Карло в ядерной геофизике. — Наука: Новосибирск, 1985.

96. Янович Л. А. Приближённое вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. — Минск: Наука и техника, 1976.

97. A Brownian dynamics algorithm for calculating the hydrodynamics friction and the electrostatic capacitance of an arbitrary shaped object / H.-X. Zhou, A. Szabo, J. F. Douglas, J. B. Hubbard // J. Chem. Phys.— 1994. — Vol. 100, no. 5.-Pp. 3821-3826.

98. All-atom empirical potential for molecular modeling and dynamics studies of protein / J. MacKerell, A. D., D. Bashford, R. L. Bellott et al. // J. Phys. Chem. B. 1998. - Vol. 102. - Pp. 3586-3616.

99. Anderson C. A. Vorticity boundary conditions and boundary vorticity generation for two-dimensional viscous incompressible flows // J. Comput. Phys. 1989. - Vol. 80. - Pp. 72-97.

100. Artemiev S. S., Averina T. A. Numerical Analysis of Systems of Ordinary and Stochastic Differential Equations.— Utrecht, The Netherlands: VSP, 1997.

101. Arya S., Mount D. M. Approximate nearest neighbor queries in fixed dimensions // Proc. 4th ACM-SIAM Sympos. Discrete Algorithms.— 1993. Pp. 271-280.

102. Atkinson K. E. The numerical solution of Laplace's equation in three dimensions II // Numerical Treatment of Integral Equations / Ed. by J. Albrecht, L. Collatz. — Basel: Birkhauser, 1980.

103. Bachelier L. Theorie de la speculation // Ann. Ec. norm. sup. — 1900. — Vol. S. 9, no. T. 17. Pp. 21-86.

104. Bally V., Talay D. The law of the Euler scheme for stochastic differential equations (I): convergence rate of the distribution function // Probability Theory and Related Fields. — 1996. — Vol. 104, no. 1. — Pp. 43-60.

105. Barth P., Alber T., Harbury P. B. Accurate, conformation-dependent predictions of solvent effects on protein ionization constants // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2007. — Vol. 104.-Pp. 4898-4903.

106. Becus G. A. Random generalized solutions to the heat equation // J. of Math. Anal, and Appl. — 1977. — Vol. 90. — Pp. 93-102.

107. Binding of Ca+2 to Calmodulin and its tryptic fragments: theory and experiment / B. Svensson, B. Jonsson, E. Thulin, C. E. Woodward // Biochemistry. — 1993. — Vol. 32. — Pp. 2828-2834.

108. Boschitsch A. H., Fenley M. O. Hybrid boundary element and finite difference method for solving the nonlinear Poisson-Boltzmann equation // J. Comput. Chem. — 2004. Vol. 25, no. 7. - P. 935-955.

109. Boschitsch A. H., Fenley M. O., Zhou H.-X. Fast boundary element method for the linear Poisson-Boltzmann equation // J. Phys. Chem. B. — 2002. — Vol. 106. Pp. 2741-2754.

110. Bossy M., Talay D. A stochastic particle method for the McKean-Vlasov and the Burgers equation // Math. Comp. — 1997. — Vol. 66. — Pp. 157-192.

111. Brinkman H. C. Problems of fluid flow through swarms of particles and through macromolecules in solution // Research (London).— 1949.— Vol. 2. — Pp. 190-194.

112. Brown G. W. Monte Carlo methods // Modern Mathematics for the Engineer / Ed. by E. F. Beckenbach. — New York: McGraw-Hill, 1956. — Pp. 279-303.

113. Burmistrov A. V. Random walks inside a domain for estimation of the gradient of solutions to elliptic boundary value problems // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2007. — Vol. 22, no. 6.-Pp. 515-530.

114. Burmistrov A. V., Mikhailov G. A. Estimation of the gradient of the solution of an adjoint diffusion equation by the Monte Carlo method // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2002. — Vol. 17, no. 4. Pp. 367-380.

115. Campillo F., Lejay A. A Monte Carlo method without grid for a fractured porous domain model // Monte Carlo methods and applications. — 2002. — Vol. 8, no. 2. Pp. 129-147.

116. Carmona R., Lacroix J. Spectral theory of Schrodinger operators.— Reading, Mass.: Birkhauser, 1990.

117. Case K., Zweifel P. Linear Transport Theory. — Boston: Addison-Wesley, 1967.

118. Chorin A. J. Numerical study of slightly viscous flow // J. Fluid Mech. — 1973. Vol. 57. - Pp. 785-796.

119. Chorin A. J. Vortex sheet approximation of boundary layers //J. Comput. Phys. 1978. - Vol. 27, no. 3. - Pp. 428-442.

120. Chow P.-L. On the exact and approximate solutions of a random parabolic equation // SIAM J. Appl. Math. — 1974. — Vol. 27, no. 3. — Pp. 376-397.

121. Coker D. A., Torquato S. Simulation of diffusion and trapping in digitized heterogeneous media // J. Appl. Phys. — 1995. — Vol. 77. — Pp. 955-964.

122. Computational Approaches to Biochemical Reactivity / Ed. by G. Naray-Szabo, A. Warshel. — New York: Springer Verlag, 2002.— Vol. 19 of Understanding Chemical Reactivity.

123. Computational Geometry: Algorithms and Applications / M. de Berg, O. Cheong, M. van Kreveld, M. Overmars. — 3rd revised edition. — SpringerVerlag, 2008.

124. Connolly M. L. The molecular surface package // J. Molec. Graph. — 1993.-Vol. 11, no. 2.-Pp. 139-141.

125. Conway R. W. Some tactical problems in digital simulation // Management science. — 1963. — Vol. 10. — Pp. 47-61.

126. Courant R., Friedrichs K. O., Lewy H. Uber dir partiellen Differenzengleichungen der mathematische Physik / / Mathematische Annalen. 1928. — Vol. 100. — Pp. 32-74.

127. Cross-property relations and permeability estimation in model porous media / L. M. Schwartz, N. Martys, D. P. Bentz et al. // Phys. Rev. E.~ 1993.- Vol. 48, no. 6).- Pp. 4584-4591.

128. Curtiss J. H. Monte Carlo methods for the iteration of the linear operators // J. Math. Phys. — 1954. —Vol. 32, no. 4. —Pp. 209-232.

129. Dagan G. Flow and Transport in Porous Formations. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.

130. Deaconu M., Lejay A. A random walk on rectangles algorithm // Method. Comput. Appl. Probab. — 2006. — Vol. 8.-P. 135-151.

131. Dreyer W., Kunik M. The maximum entropy principle revisited // Contin. Mech. Thermodyn. — 1998. — Vol. 10, no. 6. — Pp. 331-347.

132. The effects of ionic strength on protein stability: the cold shock protein family / B. N. Dominy, D. Perl, F. X. Schmid, C. L. Brooks III // J. Mol. Biol. 2002. - Vol. 319. - Pp. 541-554.

133. Efficient sampling of ion motions in molecular dynamics simulations on DNA: variant Hamiltonian replica exchange method / D. Min, H. Li, G. Li et al. // Chem. Phys. Letters. — 2008.- Vol. 454, — Pp. 391-395.

134. Elcock A. H., McCammon J. A. Electrostatic contributions to the stability of halophilic proteins // J. Mol. Biol. — 1998. — Vol. 280. —Pp. 731-748.

135. Electrostatic steering at acetylcholine binding sites / R. H. Meitzer, E. Thompson, K. V. Soman et al. // Biophys. J.— 2006.— Vol. 91,— Pp. 1302-1314.

136. Electrostatics of nanosystems: application to microtubules and the ribosome / N. A. Baker, D. Sept, S. Joseph et al. // Proc. Natl. Acad. Sei. USA. — 2001. — Vol. 98.-Pp. 10037-10041.

137. Ermak D. L., McCammon J. A. Brownian dynamics with hydrodynamic interactions // J. Chem. Phys. — 1978. — Vol. 69, —Pp. 1352-1360.

138. Ermakov S. M., Nekrutkin V. V., Sipin A. S. Random processes for classical equations of mathematical physics. — Dodrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1989.

139. Ermakov S. M., Wagner W. Monte Carlo difference schemes for the wave equation // Monte Carlo Methods and Applications. — 2002. — Vol. 8, no. 1. — Pp. 1-29.

140. Ettelaie R. Solutions of the linearized Poisson-Boltzmann equation through the use of random walk simulation method // J. Chem. Phys. — 1995. — Vol. 103.-Pp. 3657-3667.

141. Feller W. An introduction to probability theory and its applications. — New York: Wiley, 1968. Vol. 2.

142. Fick A. On liquid diffusion // Phil. Mag. 1855. - Vol. 10. - Pp. 30-39.

143. Fleming C., Mascagni M., Simonov N. An efficient Monte Carlo approach for solving linear problems in bioraolecular electrostatics // Lecture Notes in Computer Science. — 2005. — Vol. 3516. — Pp. 760-765.

144. Formaneck M. S.} Ma L., Cui Q. Effects of temperature and salt concentration on the structural stability of human lymphotactin: Insights from molecular simulations // J. Am. Chem. Soc. — 2006. — Vol. 128. — Pp. 9506-9517.

145. Freidlin M. Functional integration and partial differential equations.— Princeton: Princeton University Press, 1985.

146. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications. — New York: Academic Press, 1976. —Vol. 1.

147. Ghoniem A. F.} Sherman F. Grid-free simulation of diffusion using random walk methods //J. Comput. Phys. — 1985. — Vol. 61. — Pp. 1-37.

148. Given J. A., Hubbard J. B., Douglas J. F. A first passage algorithm for the hydrodynamic friction and diffusion-limited reaction rate of macromolecules // J. Chem. Phys. — 1997. — Vol. 106, no. 9.— Pp. 37613771.

149. Glasserman P. Monte Carlo methods in financial engineering.— Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. — Vol. 53 of Stochastic Modelling and Applied Probability.

150. Golyandina N. Convergence rate for spherical processes with shifted centres // Monte Carlo Methods and Applications. — Vol. 10, no. 3-4.— Pp. 287-296.

151. Goto E., Shi Y.; Yoshida N. Extrapolated surface charge method for capacity calculation of polygons and polyhedra // J. Comp. Phys. — 1992. — Vol. 100.-Pp. 105-115.

152. Greenspan D., Silverman E. The calculation of electrostatic capacity by means of a high-speed digital computer // Proc. I.E.E.E.— 1965.— Vol. 53. — P. 1636.

153. Haji-Sheikh A., Sparrow E. M. The floating random walk and its application to Monte Carlo solutions of heat equations // SI AM J. Appl. Math.— 1966.- Vol. 14, no. 2.- Pp. 570-589.

154. Hall A. On the experimental determination of Pi // Messenger of Mathematics. 1873. — Vol. 2. — Pp. 113-114.

155. Hammersley J. M., Handscomb D. C. Monte Carlo methods.— London: Methuen, 1964.

156. Happel J., Brenner H. Low Reynolds number hydrodynamics. — Dordrecht Boston Lancaster: Martinus Nijhof Publishers, 1986.

157. Ilennion H., Herve L. Limit theorems for Markov chains and stochastic properties of dynamical systems by quasi-compactness. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2001.

158. Hida T. Brownian motion. — New York: Springer-Verlag, 1979.

159. Hoshino S., Ichida K. Solution of partial differential equations by a modified random walk // Numerische Mathematik. — 1971.— Vol. 18, no. 1.— Pp. 61-72.

160. Hunt F. Y., Douglas J. F., Bernal J. Probabilistic computation of Poiseuille flow velocity fields // J. Math. Phys. — 1995, — Vol. 36, no. 5. — Pp. 23862401.

161. Hwang C.-O., Given J. A., Mascagni M. On the rapid estimation of permeability for porous media using Brownian motion paths // Physics of Fluids. 2000. — Vol. 12, no. 7. - Pp. 1699-1709.

162. Hwang C.-O., Given J. A., Mascagni M. The simulation-tabulation method for classical diffusion Monte Carlo //J. Comp. Phys. — 2001.— Vol. 174, no. 2. — Pp. 925-946.

163. Hwang C.-O., Mascagni M. Capacitance of the unit cube // Journal of the Korean Physical Society. 2003. — Vol. 41. — Pp. L1-L4.

164. Hwang C.-O., Mascagni M. Electrical capacitance of the unit cube // Journal of Applied Physics. ~ 2004. — Vol. 95, no. 7. — Pp. 3798-3802.

165. Im W., Beglov D.} Roux B. Continuum solvation model: Electrostatic forces from numerical solutions to the Poisson-Bolztmann equation // Comp. Phys. Comm.- 1998.-Vol. 111. Pp. 59-75.

166. Iterative procedure for multidimensional Euler equations / W. Dreyer, M. Kunik, K. Sabelfeld et al. // Monte Carlo Methods and Applications.— 1998. Vol. 4, no. 3. - Pp. 253-271.

167. Iverson R. B., Le Coz Y. L. A floating random-walk algorithm for extracting electrical capacitance // Mathematics and Computers in Simulation. — 2001.-Vol. 55.-Pp. 59-66.

168. Jâckel P. Monte Carlo Methods in Finance. — New York: John Wiley & sons, 2001.

169. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — New York: John Wiley & sons, 1962.

170. Kac M. On distribution of certain Wiener functionals // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. - Vol. 65. - Pp. 1-13.

171. Kac M. On some connection between probability theory and differential and integral equations // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. — University of California Press, 1951.-Pp. 189-215.

172. Kac M. Integration in Function Spaces and Some Its Applications. Lezioni Fermiane. — Pisa: Scuola Normale Superiore, 1980.

173. Kakutani S. On Brownian motion in N-space // Proc. Imp. Acad. Japan. — 1944. — Vol. 20. — Pp. 649-652.

174. Kakutani S. Two-dimensional Brownian motion and harmonic function // Proc. Imp. Acad. Japan. — 1944. — Vol. 20. — Pp. 706-714.

175. Kao Y.-H., Fitch C. A., Garcia-Moreno E. B. Salt effects on ionization equilibria of histidines in myoglobin // Biophys J. — 2000.— Vol. 79.— Pp. 1637-1654.

176. Karaivanova A., Mascagni M., Simonov N. A. Parallel quasi-random walks on the boundary // Monte Carlo Methods and Applications. — 2004. — Vol. 10, no. 3-4.- Pp. 311-320.

177. Karaivanova A., Mascagni M., Simonov N. A. Solving BVPs using quasirandom walks on the boundary // Lecture Notes in Computer Science. — 2004. — Vol. 2907. Pp. 162-169.

178. Karaivanova A., Simonov N. A. Quasi-Monte Carlo methods for investigating electrostatic properties of organic pollutant molecules in solvent // Lecture Notes in Computer Science. — 2006. — Vol. 3743. — Pp. 172-180.

179. Kirkwood J. G. Theory of solutions of molecules containing widely separated charges with special application to zwitterions //J. Chem. Phys. — 1934. — Vol. 2, no. 7.-Pp. 351-361.

180. Kloeden P. E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. — Springer-Verlag, 1992.

181. Kolmogorov A. N. Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen.— 1931.— Vol. 104. Pp. 415-458.

182. Kozeny J. Uber Kapillare Leitung des Wassers in Boden // Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch Naturwissenschaftliche Klasse (Abt. IIa). — 1927.— Vol. 136,— Pp. 271306.

183. Kunita H. Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

184. Lanyi J. Salt-dependent properties from extremely halophilic bacteria // Bacteriological Rev. — 1974. — Vol. 38. — Pp. 272-290.

185. Lattice-Boltzmann and finite-difference simulations for permeability for three-dimensional porous media / C. Manwart, U. Aaltosalmi, A. Koponen et al. // Phys. Rev. E.— 2002. — Vol. 66. — P. 16702(11 pages).

186. Luty B. A., McCammon J. A., Zhou H.-X. Diffusive reaction rates from Brownian dynamics simulations: Replacing the outer cutoff surface by an analytical treatment // J. Chem. Phys.— 1992.— Vol. 97.— Pp. 56825686.

187. Lux I., Koblinger L. Monte Carlo Particle Transport Methods: Neutron and Photon Calculations. — CRC Press, 1991.

188. Makarov R. N. Monte Carlo methods for solving boundary value problems of second and third kinds // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 1998.-Vol. 13, no. 2.-Pp. 117-132.

189. M anwart C., Hilf er R. Numerical simulation of creeping flow in reconstruction models of porous media // Physica A. — 2002. — Vol. 314. — Pp. 706-713.

190. Mascagni M.} Simonov N. A. Monte Carlo method for calculating the electrostatic energy of a molecule // Lecture Notes in Computer Science.—2003. Vol. 2657. - Pp. 63-74.

191. Mascagni M., Simonov N. A. Monte Carlo methods for calculating some physical properties of large molecules / / SI AM Journal on Scientific Computing. 2004. — Vol. 26, no. 1. - Pp. 339-357.

192. Mascagni M., Simonov N. A. The random walk on the boundary method-for calculating capacitance // The Journal of Computational Physics. —2004.-Vol. 195, no. 2, — Pp. 465-473.

193. Maxwell J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism. — 3rd edition. — Oxford University Press, 1892. — Vol. 1. — Pp. 148-154.

194. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method //J. Amer. Statist. .4ssoc. — 1949. Vol. 44. - Pp. 335-341.

195. Meyn S. P., Tweedie R. L. Markov chains and stochastic stability.— London: Springer-Verlag, 1993.

196. Michel J., Verdonk M. L., Essex J. W. Protein-ligand binding affinity predictions by implicit solvent simulations: a tool for lead optimization? // J. Med. Chem. 2006. - Vol. 49. - Pp. 7427-7439.

197. Mikhailov G. A. Minimization of computational costs of non-analogue Monte Carlo methods. — Singapore: World Scientific, 1991.

198. Mikhailov G. A. Optimization of weighted Monte Carlo methods. — Berlin New York: Springer-Verlag, 1992.

199. Mikhailov G. A. New Monte Carlo methods with estimating derivatives.— Utrecht, The Netherlands: VSP, 1995.

200. Milstein G. N. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1994.

201. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Simulation of a space-time bounded diffusion // Ann. Appl. Probab. — 1999. — Vol. 9, no. 3. — Pp. 732-779.

202. Miiller M. E. Some continuous Monte Carlo methods for the Dirichlet problem // Ann. Math. Statistics.— 1956.— Vol. 27, no. 3.— Pp. 569589.

203. Northrup S. H., Allison S. A., McCammon J. A. Brownian dynamics simulation of diffusion-influenced bimolecular reactions / J J. Chem. Phys. — 1984. — Vol. 80. — Pp. 1517-1524.

204. An optimal algorithm for approximate nearest neighbor searching / S. Arya, D. M. Mount, N. S. Netanyahu et al. // J. ACM.— 1998.— Vol. 45.— Pp. 891-923.

205. Ortiz-Baerga A., Rezaie A. R., Komives E. A. Electrostatic dependence of the thrombin-thromomodulin interaction //J. Mol. Biol. — 2000. — Vol. 296.-Pp. 651-658.

206. Performance comparision of Generalized Born and Poisson methods in the calculation of electrostatic solvation energies for protein structures-/ M. Feig, A. Onufriev, M. S. Lee et al. // J. Comput. Chem. — 2003,— Vol. 25.— Pp. 265-284.

207. The permeability of a random medium: Comparison of simulation with theory / A. Cancelliere, C. Chang, E. Foti et al. // Phys. Fluids A. — 1990. — Vol. 2, no. 12. Pp. 2085-2088.

208. Philibert J. One and a half century of diffusion: Fick, Einstein, before and beyond // Diffusion Fundamentals. — 2006. — Vol. 4. — Pp. 6.1-6.19.

209. Ponomarev S. Y., Thayer K. M., Beveridge D. L. Ion motions in molecular dynamics simulations on DNA // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2004.— Vol. 101.-Pp. 14771-14775.

210. Prigarin S. M. Spectral Models of Random Fields in Monte Carlo Methods. Utrecht, The Netherlands: VSP, 2001.

211. Quantitative analysis of experimental and synthetic microstructures for sedimentary rock / B. Biswal, C. Manwart, R. Hilfer et al. // Physica A. — 1999. Vol. 273. - Pp. 452-475.

212. Rankin K. N., Sulea T., Purisima E. O. On the transferability of hydration-parametrized continuum electrostatics models to solvated binding calculations // J. Comput. Chem. — 2003. — Vol. 24. — Pp. 954-962.

213. Rayleigh L. On James Bernoulli's theorem in probabilities // Philos. Mag. — 1899.-Pp. 246-251.

214. Read F. H. Improved extrapolation technique in the boundary element method to find the capacitances of the unit square and cube // J. Comput. Phys. 1997. - Vol. 133. - Pp. 1-5.

215. Recent progress in numerical methods for the Poisson-Boltzmann equation in biophysical applications / B. Z. Lu, Y. C. Zhou, M. J. Hoist, J. A. McCammon // Commun. Comput. Phys. — 2008. — Vol. 3, no. 5. — Pp. 973-1009.

216. Reitan D. K., Higgins T. J. Calculation of the electrical capacitance of a cube // J. Appl. Phys.— 1951. — Vol. 22, — Pp. 223-226.

217. Rice S. A. Diffusion-limited reactions.— Amsterdam, The Netherlands: Elsevier, 1985. —Vol. 25 of Comprehensive chemical kinetics.

218. Roberts S. Convergence of a random walk method for the Burgers equation // Math. Comp.— 1989. — Vol. 52, no. 186, — Pp. 647-673.

219. Rosenblatt M. On a class of Markov processes // Trans. Amer. Math. Soc. — 1951.-Vol. 88.-Pp. 120-135.242

220. Rubinstein R. Y., Kroese D. P. Simulation and the Monte Carlo Method. — 2 edition. — New York: Wiley, 2008.

221. Sabelfeld K. K. Monte Carlo methods in boundary value problems. — Berlin Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1991.

222. Sabelfeld K. K., Simonov N. A. Random Walks on Boundary for solving PDEs. — Utrecht, The Netherlands: VSP, 1994.

223. Salt enhances calmodulin-target interaction / I. Andre, T. Kesvatera, B. Jonsson, S. Linse // Biophys. J. — 2006. — Vol. 90. — Pp. 2903-2910.

224. Scheidegger A. E. The Physics of Flow Through Porous Media.— Toronto Buffalo: University of Toronto Press, 1974.

225. Schwartz L. M., Banavar J. R. Transport properties of disordered continuous systems // Phys. Rev. B. — 1989. — Vol. 39. — Pp. 11965-11971.

226. Sherman A., Mascagni M. A gradient random walk method for two-dimensional reaction-diffusion equations // SIAM J. Sci. Comp. — 1994. — Vol. 15, no. 6. Pp. 1280-1293.

227. Shoup D., Lipari G., Szabo A. Diffusion-controlled bimolecular reaction rates // Biophysical Journal. — 1981. — Vol. 36. — Pp. 697-714.

228. Simonov N., Mascagni M. The method of random walk on spheres for solving boundary-value problems from molecular electrostatics // 17th IMACS World Congress, Paris, France, July 11-15, 2005. Proceedings.— 2005. Pp. Tl-I-62-0945. - ISBN 2-915913-02-1.

229. Simonov N. A. Monte Carlo solution of the nonlinear integral equation system in the boundary layer theory // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 1993. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 265274.

230. Simonov N. A. Solution of two-dimensional Prandtl equations by the Monte Carlo method // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. — Novosibirsk: Computing Center SB RAS, 1993. — Numerical Analysis. Issue 4.-Pp. 83-102.

231. Simonov N. A. Boundary value problem and stochastic algorithm for two-dimensional Navier-Stokes equations // Monte Carlo Methods and Applications. — 1995. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 59-70.

232. Simonov N. A. Stochastic algorithm for solving two-dimensional boundary layer equations // Siberian Journal of Computer Mathematics. — 1995. — Vol. 2, no. l.-Pp. 41-56.

233. Simonov N. A. Monte Carlo methods for convective diffusion equation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. —1997.-Vol. 12, no. l.-Pp. 67-81.

234. Simonov N. A. Stochastic computational methods for parabolic equations with random data // IMACS World Congress. Berlin, Germany, August 2429, 1997. Proceedings. Volume 1. Computational Mathematics. — 1997.— Pp. 449-452.

235. Simonov N. A. Monte Carlo solution to three-dimensional vorticity equation // Mathematics and Computers in Simulation. — 1998. — Vol. 47, no. 2-5. Pp. 455-459.

236. Simonov N. A. Stochastic iterative method for a system of parabolic equations // Zeit. Angew. Math. Mech.— 1998.— Vol. 78, Suppl.l.-Pp. S185-S188.

237. Simonov N. A. Monte Carlo solution of a parabolic equation with a random coefficient // Сибирский журнал вычислительной математики. 2001. - Т. 4, № 4. - С. 389-402.

238. Simonov N. A. Random walks for solving boundary-value problems with flux conditions // Lecture Notes in Computer Science. — 2007.— Vol. 4310.— Pp. 181-188.

239. Simonov N. A. Walk-on-spheres algorithm for solving boundary-value problems with continuity flux conditions // Monte Carlo and Quasi-Monte

240. Carlo Methods 2006 / Ed. by A. Keller, S. Heinrich, H. Niederreiter. — Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. — Pp. 633-644.

241. Simonov N. A., Mascagni M. Random walk algorithms for estimating effective properties of digitized porous media // Monte Carlo Methods and Applications.— 2004. — Vol. 10, no. 3-4. — Pp. 599-608.

242. Simonov N. A., Mascagni M., Fenley M. O. Monte Carlo-based linear Poisson-Boltzmann approach makes accurate salt-dependent solvation free energy predictions possible // Journal of Chemical Physics. — 2007. — Vol. 127.-P. 185105 (6 pages).

243. Smythe W. R. Static and dynamic electricity. — 3rd edition. — New York: McGraw-Hill, 1989.

244. Sole K., Stockmayer W. H. Kinetics of diffusion-controlled reaction between chemically asymmetric molecules, i. general theory //J. Chem. Phys.— 1971.- Vol. 54.- Pp. 2981-2988.

245. Stroud A. II., Secrest D. Approximate integration formulas for certain spherical symmetric region // Math. Comp.— 1963. — Vol. 17.— Pp. 105135.

246. Swanson J. M. J., Morgan J., McCammon J. A. Limitations of atom-centered dielectric functions in implicit solvent models // J. Phys. Chem. B. 2005. - Vol. 109. - Pp. 14769-14772.

247. Talay D. Simulation and numerical analysis of stochastic differential systems: a review // Probabilistic Methods in Applied Physics / Ed. by P. Kree, W. Wedig.— Heidelberg: Springer-Verlag, 1995.— Vol. 451 of Lecture Notes in Physics. — Pp. 54-96.

248. Talay D., Tubaro L. Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differential equations // Stochastic Analysis and Applications. — 1990. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 94-120.

249. Tan R., Frankel A. D. Structural variety of arginine-rich RNA-binding peptides // Proc. Natl. Acad. Sci.— 1995. —Vol. 92. — Pp. 5282-5286.

250. Tanford C., Kirkwood J. G. Theory of protein titration curves: I. General equations for impenetrable spheres // J. Am. Chem. Soc.— 1957.— Vol. 79. Pp. 5333-5347.

251. Tausch J., White J. Second kind integral formulations of the capacitance problem // Adv. Comput. Math. — 1998. — Vol. 9, no. 1, —Pp. 217-232.

252. Torquato S. Relationship between permeability and diffusion-controlled trapping constant of porous media // Phys. Rev. Lett. — 1990. — Vol. 64. — Pp. 2644-2646.

253. Torquato S., Kim I. C. Cross-property relations for momentum and diffusional transport in porous media // J. Appl. Phys. — 1992.— Vol. 72, no. 7.-Pp. 2612-2619.

254. Torquato S., Kim I. C., Cule D. Effective conductivity, dielectric constant, and diffusion coefficient of digitized composite media via first-passage-time equations // J. Appl Phys. 1999. - Vol. 85.-Pp. 1560-1571.

255. Traytak S. D., Tachiya M. Diffusion-controlled reaction rate to asymmetric reactants under Coulomb interaction // J. Chem. Phys.— 1995.— Vol. 102. — Pp. 9240-9247.

256. Ulam S., von Neumann J.} Richtmyer R. D. Statistical methods in neutron diffusion. — Los Alamos National Laboratory, 1947. — Report. LAMS-551.

257. Vorobjev Y. N., Scheraga H. A. A fast adaptive multigrid boundary element method for macromolecular electrostatic computations in a solvent // J. Comput. Chem. — 1996. — Vol. 18, no. 4. Pp. 569-583.

258. Wiegel F. W. Fluid Flow Though Porous Macromolecular Systems. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1980.

259. Wiener N. The average of an analytic functional // Proc. Natl. Acad. Sci. — 1921. Vol. 7, no. 9. - Pp. 253-260.

260. Wiener N. The average of an analytic functional and the Brownian movement // Proc. Natl. Acad. Sci. — 1921. — Vol. 7, no. 10. — Pp. 294-298.

261. Wiener N. Differential space // J. Math, and Phys.— 1923.— Vol. 2.— Pp. 131-174.

262. Zhou H.-X. Boundary element solution of macromolecular electrostatics: interaction energy between two proteins // Biophys. J. — 1993. — Vol. 65. — Pp. 955-963.

263. Zhou H.-X. Macromolecular electrostatic energy within the nonlinear poisson-boltzmann equation // J. Chem. Phys. — 1994.— Vol. 100, no. 4.— Pp. 3152-3162.

264. Zhou H.-X. Comparison of three Brownian-dynamics algorithms for calculating rate constants of diffusion-influenced reactions // J. Chem. Phys. 1998. - Vol. 108. - Pp. 8139-8145.

265. Zhou H.-X. Theory of the diffusion-influenced substrate binding rate to a buried and gated active site //J. Chem. Phys. — 1998. — Vol. 108. — Pp. 8146-8154.