Альтернативные алгебры в физике частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Логинов Евгений Константинович

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ В ФИЗИКЕ ЧАСТИЦ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ИИ4600849

Москва - 2010

004600849

Работа выполнена на кафедре теоретической физики, математического и компьютерного моделирования Ивановского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Дубровский Владислав Георгиевич (НГТУ)

доктор физико-математических наук, профессор Ольшанецкий Михаил Аронович (ИТЭФ)

доктор физико-математических наук, профессор Фролов Борис Николаевич (МПГУ)

Ведущая организация:

Томский государственный университет

Защита состоится 25 мая 2010 г. в 15.30 на заседании Диссертационного Совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов (117198, г. Москва, ГСП, ул. Миклухо-Маклая, д. 6).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РУДН.

Автореферат разослан 4 апреля 2010 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 212.203.34 кандидат физико-математических наук

С. А. Будочкина

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время происходит все большее и большее проникновение алгебраических идей и методов в различные области физики. Определенную нишу занимают здесь исследования, связанные с изучением возможности использования в физике альтернативных неассоциативных алгебр, самым известным примером которых является алгебра окто-нионов или чисел Кэли. С альтернативными алгебрами тесно связаны алгебры Мальцева и аналитические лупы Муфанг, между которыми имеется соответствие, аналогичное соответствию между алгебрами и группами Ли. Все эти алгебраические структуры хорошо изучены и в той или иной степени находят применение в физике частиц.

По-видимому, впервые интерес к октонионам возник в связи с проблемой классификации элементарных частиц в период после введения понятия странности в середине прошлого века. Экспериментальные данные о спектре частиц тогда были весьма скудными, поэтому между собой конкурировали разные схемы симметрий, связанные с группами 51/(3), С2, 50(8) и др. Некоторые из них были сформулированы на языке октонионов. Однако, после того, как приближенная Б11 (3) симметрия адронных мультиплетов была твердо установлена, эти работы потеряли актуальность и не получили дальнейшего развития.

Вновь интерес к октонионам усилился в начале 70-х, после работ Гюнайдина и Гюрши. В этих работах был предложен октонионный формализм для ненаблюдаемых цветных кварков с точной цветовой 5Е/(3)-симметрией и наблюдаемых бесцветных адронных состояний. Для описания внутренних степеней свободы адронов было построено одноча-стичное представление группы Пуанкаре в гильбертовом пространстве векторов состояний с октонионными компонентами. Было показано, что октонионное гильбертово пространство позволяет описывать пленение кварков, поскольку не все элементы этого пространства соответствуют наблюдаемым физическим состояниям. Однако позже октонионная квантовая механика Гюнайдина - Гюрши подверглась значительной критике, поскольку было доказано, что удержание цвета не может иметь алгебраического происхождения в рамках рассматриваемого формализма.

Примерно в те же годы началось изучение единых калибровочных

моделей сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий. После того, как Пати к Салам предложили идею объединения цвета и аромата, появилось ряд моделей основанных на простых и полупростых калибровочных группах. Простейшими из них были модель Джорджи и Глешоу, основанная на группе SU(5), и модель, основанная на ортогональной группе SOCIO). Среди теоретических моделей, использующих группы более высокого ранга, особое внимание было уделено тем, в которых происходит объединение фермионов различных поколений. В частности, были исследованы модели великого объединения, основанные на исключительных простых группах Ее и £7. Хорошо известно, что эти группы связаны с октонионами. Поиск единых калибровочных теорий продолжается и в настоящее время, хотя не так активно. Последней заметной работой была предложенная Лиси год назад единая теория поля, основанная на группе Е

В начале 80-х годов в теории элементарных частиц возродилась фантастическая идея Калуцы о том, что пространство-время имеет больше чем четыре измерения. Современное развитие этого подхода началось после работ Шерка и др., которые предложили рассматривать дополнительные измерения как физические, равноправные с наблюдаемыми четырьмя измерениями, а очевидное различие между наблюдаемыми и добавочными измерениями интерпретировать как результат спонтанной компактификации дополнительных измерений. Были исследованы различные механизмы спонтанной компактификации: механизмы Фройнда-Рубнна, Энглерта и др. Одновременно активно изучались теории супергравитации в многомерном пространстве-времени и их вакуумные решения. Одно из таких решений одиннадцатимерной супергравитации, найденное Энглертом в 1982 год}', можно представить в виде прямого произведения пространства анти-де Ситтера и семимерной сферы, допускающей наряду со стандартной римановой метрикой две плоские геометрии с кручением. Дальнейший анализ этого решения выявил тесную связь кручения с неассоциативностью алгебры октонионов. Позже свойства алгебры октонионов были использованы для нахождения мембранных решений одиннадцатимерной супергравитации и их классификации. После появления в 1995 году М-теории интерес к теориям типа Калуцы - Клейна вновь возрос. Среди работ, в которых свойства октонионов использовались для изучения непертурбативных эффектов в М-теории, отметим исследование компактификации М-теории на многообразиях с Сг-голономией и исследование мембранных инстан-

тонов.

Примерно в те же годы началось систематическое изучение многомерных калибровочных теорий. После пионерской работы Корригана и др. 1984 года, где были классифицированы автодуальные уравнения Ян-га - Миллса (уравнения автодуальности) в евклидовых пространствах размерности восемь и менее, встала задача о нахождении и последующей интерпретации решений таких уравнений. Следует отметить, что уже в первой статье Корригана была отмечена связь октонионов с уравнениями автодуальности в размерности <1 = 7 и 8. Позже эта связь была использована для получения ряда тензорных тождеств, которые существенно упростили поиск нетривиальных решений многомерных уравнений Янга - Миллса. Простейшее из них, 5рт(7)-симметричное решение было найдено в том же 1984 году. Годом позже был найден универсальный способ построения решений уравнений автодуальности в размерности й = 4к, обобщающий известную АБНМ-конструкция инстантонов в й = 4. Использование развитой в этой работе техники позволило найти серию новых (2 /с) - сим метр ичных решений уравнений автодуальности. Новое, бг-симметричное решение, было построено в 1992 г. Исследование многомерных уравнений автодуальности и поиск их решений продолжается в настоящее время.

После открытия в 1984 году Грином и Шварцем сокращения аномалий и расходимостей в эффективной локальной теории для групп 50(32) яЕъхЕ* резко возрос интерес к суперструнным теориям. Вскоре это привело к открытию гетеротической струны. Как и в большинстве других суперструнных теорий, изучение гетеротической струны началось с исследования ее низкоэнергетических возбуждений. Весьма интересной оказалась задача, связанная с поиском Б-бранных соли-тонов в десятимерном пространстве Минковского. Исследование таких солитонов позволили изучать низкоэнергетическую теорию гетеротической струны без проблем связанных с компактификацией. Впервые 5-бранное солитонное решение низкоэнергетической теории гетеротической струны в десятимерном пространстве Минковского было построено Строшшгером в 1990 году. Годом позже Калан и др. показали, что это суперсимметричное решение является точным решением теории струн. Позже были построены 1- и 2-бранные решения в десятимерном пространстве Минковского и 3-бранные решения на комплексных многообразиях Ивасава. При нахождении этих, а также ряда других подобных солитонных решений, эффективно использовались решения автодуаль-

ных уравнений Янга - Миллса в размерности 7 и 8.

После того как Полчинским в 1995 году было замечено, что открытая струна может заканчиваться на Б-бране и безмассовая калибровочная мода открытой струны генерирует калибровочное поле на мировой поверхности бралы, началось активное изучение суперсимметричных состояний Бр бран на Бр'-бранах. Выло замечено также, что такие Б-бранные конфигурации естественным образом возникают при изучении условий для ненарушенной суперсимметрии в низкоэнергетических суперсимметричных теориях. Оказалось, что существует класс суперсимметричных конфигураций, которые являются решениями многомерных уравнений автодуальности. В частности, такими конфигурациями являются БО-Бр системы, а также Б1-БЗ системы, связанные с решениями обобщенных уравнений Нама в размерности 7. Исследование этих Б-бранных конфигураций в настоящее время активно продолжается, в том числе и методами алгебры октонионов.

В последние годы активно исследовались решения автодуальных уравнений Янга - Миллса на некоммутативном пространстве. Первые примеры таких решений были построены Некрасовым в 1998 году, где он использовал модифицированную АВНМ-конструкцию инстантонов в размерности й — 4 для нахождения несингулярных некоммутативных инстантонов. После того, как в 1998 году было показано, что некоммутативные калибровочные теории поля возникают из теории струн в пределе Зайберга - Виттена, начался активный поиск некоммутативных инстантонов и в высших размерностях. Первое такое решение было найдено в 2001 году Михайлеску и др. Они получили солитонное решение шестимерной некоммутативной калибровочной теории в результате размерной редукции десятимерной N = 1 калибровочной теории. Как оказалось, инстантоны в некоммутативных теориях поля очень хорошо отражают свойства Б-бран в струне. Это стимулировало их активное изучение в последующие годы. В настоящее время изучение солитон-ных решений некоммутативных уравнений Янга - Миллса в высших размерностях и их бранных интерпретаций активно продолжается.

Цели и задачи исследования

1. Изучение многомерных уравнений автодуальности и поиск их решений методами альтернативной алгебры.

2. Изучение условий для ненарушенной суперсимметрии в низкоэнергетических суперсимметричных теориях, исследование соответствующих BPS уравнений.

3. Поиск новых солитонных решений низкоэнергетической теории ге-теротической струны.

4. Исследование моделей калибровочных теорий, в которых структурная группа заменена неассоциативной лупой.

5. Поиск и исследование решений классических полевых уравнений движения для бозонных полей N = 1 супергравитации в одиннадцати измерениях.

Научная новизна

Все основные результаты, представленные в диссертационной работе,

являются новыми.

Положения выносимые на защиту

1. Найдены новые решения уравнений автодуальности в евклидовом пространстве размерности d = 7 и 8.

2. Классифицированы все BPS уравнения в евклидовом пространстве размерности d ^ 8, а также в пространстве Минковского размерности d ^ 6.

3. Описаны нетривиальные состояния с ненарушенной суперсимметрией в суперсимметричных теориях Янга - Миллса на пространстве Минковского.

4. Найдены новые 1-, 2- и 5-бранные солитонные решения низкоэнергетической теории гетеротической струны.

5. Развита теория представлений аналитических луп Муфанг, в основных чертах повторяющая теорию представлений групп Ли.

6. Предложена модель калибровочной теории, в которой структурная группа заменена неассоциативной лупой Муфанг, найдены классические решения инстантонного типа этой теории.

7. Показано, что такая калибровочная теория допускает расширение до N = 1 суперсимметричной неассоциативной калибровочной теории.

8. Найдены новые решения классических полевых уравнений движения для бозонных полей одшгаадцатимерной супергравитации.

Научная и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Методы альтернативной алгебры, развитые в данной работе, могут найти дальнейшее применение в физике частиц.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по квантовой теории поля в ФИАН и ИТФ, на семинарах отделов теоретической и математической физики МИАН, на теоретических семинарах в МГУ, МПГУ, РУДН и ИвГУ, на семинаре в Институте физики университета Сан-Паулу (руководитель семинара — Д. М. Гит-ман) , на третьей международной алгебраической конференции (Красноярск, 1993), на международной конференции "New frontiers in algebras, groups and geometries" (Monteroduni, Italy, 1995), на шестой международной конференции "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Киев, 2005), на 13-й Международной гравитационной конференции (Москва, 2008).

Исследования автора были поддержаны проектами РФФИ и международным грантом FAPESP. Часть результатов диссертационной работы была получена автором во время командировки в Институт математики университета Сан-Паулу (Бразилия).

Публикации и личный вклад автора

Результаты диссертации опубликованы в 14 научных статьях в ведущих российских и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Вклад автора во все полученные результаты является основным.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на параграфы (разделы). Список литературы включает в себя 177 наименований. Общий объем диссертации составляет 241 страницу.

Краткое содержание работы

Во введении дается краткое описание темы работы, обосновывается ее актуальность, сформулированы цели и задачи работы, ее практическая ценность и научная новизна, приведены положения, выносимые на защиту.

В главе 1 исследуются конфигурации в суперсимметричных теориях, которые инвариантны относительно некоторых преобразований суперсимметрии, и классифицируются соответствующие уравнения Богомольного - Прасада - Соммерфельда (или BPS уравнения) в евклидовом пространстве размерности d ^ 8, а также в пространстве Минков-ского размерности d ^ 6. Полученные результаты позволяют описать нетривиальные состояния с ненарушенной суперсимметрией в суперсимметричных теориях Янга - Миллса на пространстве Минковского.

Разделы 1 и 2 настоящей главы носят вводный характер. В них кратко описаны те физические объекты и математические конструкции, которые исследуются позже. Как было замечено выше, BPS состояния относятся к классу полевых конфигураций, которые инвариантны относительно некоторых преобразований суперсимметрии. В суперсимметричных теориях Янга - Миллса на евклидовом пространстве Rd такие состояния являются бозонными конфигурациями, если существует ненулевой постоянный спинор е в унитарном пространстве V размерности "¿¿Ш (символом [d/2] здесь обозначена целая часть числа d/2) такой, что инфинитезимальное суперсимметричное преобразование элементарного фермионного поля

Sx = ЯлГ«»е = 0. (1)

Все собственные спиноры, относящиеся к нулевому собственному значению матрицы Р0бГаь, порождают некоторое подпространство в W С V. Для того, чтобы иметь ненарушенную суперсимметрию, тензор напряженности Fat, должен удовлетворять некоторым условиям. Эти условия можно записать в виде системы линейных уравнений (BPS уравнений), которые связывают компоненты тензора Fab. Мы называем две системы BPS уравнений эквивалентными, если они несовместны или обладают одними и теми же решениями, с точностью до произвольного невырожденного преобразования пространства Ed. В противном случае эти системы называются неэквивалентными. Заметим, что здесь рассматри-

вается глобальная суперсимметрия, поэтому условия, которым должен удовлетворять тензор Fab, не должны зависеть от выбора базиса в ®i!.

Для нахождения BPS уравнений определяется проекционный оператор О, который отображает V па IV. В подходящем ортонормированием базисе пространства V этот оператор представляется 2fd/2l х матрицей

где Ег — единичная г х г матрица и г = dim W. Поскольку проекционный оператор диагонализируется в ортонормированном базисе и имеет вещественный спектр (его собственные значения равны 0 или 1), он является эрмитовым. Таким образом,

fi2 = П, fit = fi. (3)

Теперь уравнение (1) может быть переписано в следующем виде

Fa6raifi = 0. (4)

Для того, чтобы получить из (4) систему BPS уравнений, достаточно представить проектор П в виде линейной комбинации единичной матрицы и одночленов

Paiaa-.-ai, = Г^Г^ ...Faj,, (5)

а затем воспользоваться известными тождествами для гамма-матриц. При этом константа и, определенная равенством

Ъг(1 = их№*\ (6)

равна отношению числа ненарушенных суперсимметрий к их общему числу. В том случае, когда v = 0 или 1 ситуация тривиальна. Основной результат настоящей главы содержится в следующем утверждении. .

Теорема 1.1. Пусть постоянный спинор е, удовлетворяющий равенству (1), является вейлевским для четных d, майорановским для d = 7 и майорано-вейлевским для d = 8. Тогда для каждой пары значений d ^ 8 и v = v{d) существует единственная,- с точностью до эквивалентности, система BPS уравнений.

Следующие 3 раздела посвящены доказательству этого утверждения. Заметим, что в процессе доказательства существенно использовались свойства алгебры октонионов, а также идемпотентная структура соответствующей вещественной алгебры Клиффорда.

Общий метод, позволяющий получать системы BPS уравнений в произвольной размерности, описан в разделе 6. Там же найдены все неэквивалентные системы BPS уравнений в евклидовой размерности d ^ 8. Следует отметить, что такие уравнения в четных размерностях уже исследовались в статье Бака и др.1 Однако нечетные размерности, а также вопрос об эквивалентности систем BPS уравнений в этой работе не рассматривался.

В последнем разделе этой главы исследована связь между BPS уравнениями и автодуальными уравнениями Янга - Миллса. Оказалось, что всякое решение BPS уравнений евклидовой суперсимметричной теории Янга - Миллса в размерности d ^ 8 является автодуальным. Причем, обратное утверждение не справедливо. Там же доказана следующая

Теорема 1.2. На пространстве Минковского размерности d ^ G существует единственная, с точностъю.до эквивалентности, нетривиальная система BPS уравнений, связанная с постоянным киральньш спинором.

В заключительной части раздела 7 показано, как полученные выше результаты могут быть использованы для анализа теорий с низкоэнергетической суперсимметрией. Известно, что низкоэнергетической аппроксимацией для открытой суперструны служит суперсимметричная теория Янга - Миллса. Такая теория описываются действием вида

S = JdPx(-\l? + itr-Wy (7)

Суперпреобразования, относительно которых инвариантно (7), имеют вид

6Ар = „ёГцФ,

\ (8)

Н =

где е — постоянный антикоммутирующий спинор. Известно также, что суперсимметричные теории Янга - Миллса могут существовать только

1Bak D.S., Lee К.М., Park J.H. Phys. Rev. D66 (2002) 025021.

в размерностях D = 3, 4, б и 10. Используя полученные выше результаты, можно показать, что нетривиальные состояния с ненарушенной суперсимметрией в суперсимметричных теориях Янга - Миллса существуют только при значениях D = 6 и 10. Причем, в размерности D = 6 такими состояниями являются решения системы

Fai — 2 £аЬс&Ьс)

^56 — Fab + Fa 6 = 0, а в размерности D = 10, — решения системы

Fa8 ~ 2cabcFbci ^^

•Рэю = Fa$ + F0io = 0,

где Sabe и саьс — полностью антисимметричные единичные тензоры, являющиеся структурными константами алгебры Ли sw(2) и простой компактной нелиевой вещественной алгебры Мальцева соответственно. Заметим, что эта алгебра Мальцева тесно связана с алгеброй октонионов.

В главе 2 исследуются автодуальные уравнения Янга - Миллса в евклидовой размерности d ^ 8 и находятся их решения. Затем, используя найденную в предыдущей главе связь между уравнениями автодуальности и BPS уравнениями, эти решения расширяются до 1-, 2- и 5-бранных солитонных решений низкоэнергетической теории гетероти-ческой струны.

Раздел 1 является вводным. Оригинальное изложение начинается со второго раздела. Здесь рассматривается низкоэнергетическое эффективное действие гетеротической струны. Бозонная часть этого действия имеет вид

S = ¿ J V4e~2« (r + mr - ¡H2 - g^F2) dl0x. (11)

Вместо того, чтобы непосредственно решать уравнения движения такой теории, более удобно попытаться найти состояния с ненарушенной суперсимметрией. Это связано с тем, что задача о нахождении ненарушенной суперсимметрии на древесном уровне равносильна задаче о нахождении таких преобразований суперсимметрии, для которых вариация любого фермионного поля равна нулю. В классическом пределе

достаточно проверить это для элементарных фермионных полей. Поскольку в низкоэнергетической эффективной теории поля в десяти измерениях элементарными фермионами являются только гравитино фм, дилатино А и глгоино х> преобразования суперсимметрии, относительно которых инвариантно действие (11), имеют вид

Sx = FMNTMNe,

5Х = (Тмдмф - IhMnpTmnp)£, (12)

5фм = (дм + \^в?Ав)г.

Здесь ф — поле дилатона, Fmn — напряженность поля Янга - Милл-са, Hmnp — калибровочно-инвариантная напряженность поля антисимметричного тензора Дшу> а е — инфинитезимальный антиком мутирующий майорано-вейлевский спинор. Заметим, что связность J], появляющаяся в (12), не является римановой. Она связана с обычной спиновой связностью и равенством

Sljf = ujf - (13)

Поскольку антисимметричный полевой тензор Н играет важную роль в последующих решениях, это свойство связности О является решающим.

Для того, чтобы найти решение системы

Sxa = 5Х = ёфм = 0, (14)

в качестве г выбирается постоянный майорано-вейлевский 50(9, ^-спинор, являющийся (?2-синглетом. Далее предполагается, что поля зависят лишь от локальных пространственных координат с индексами ¡л, v — 1,..., 7 и реперных координат с индексами m,n = 1,..., 7. Из этих условий следует, что вариация

¿X = Fm nIW = 0. (15)

Очевидно, что эти уравнения, с точностью до перестановки индексов, совпадает с BPS уравнениями (1). Поскольку всякое решение BPS уравнений евклидовой суперсимметричной теории Янга - Миллса в размерности d = 7 является автодуальным, необходимо найти решение соответствующих уравнений автодуальности. Такое решение найдено в разделе 2.

В разделе 3 мы, следуя пионерской работе Стромингера,2 выбираем метрику пространства Минковского и антисимметричное тензорное поле в его касательном расслоении в виде

9ни —

_ 1 » (16) Нтпр — ~^тпр»д3ф)

где функция ф{х) отождествляется с полем дилатона. Здесь стпрз — полностью антисимметричный постоянный тензор, который связан со структурными константами в (10) равенством

Cijki = SuSjk - ¿ikSji + CijsCku- (17)

Можно показать, что такой выбор метрики и антисимметричного тензорного поля удовлетворяет условиям (14). Таким образом, если выбрать надлежащим образом напряженность калибровочного поля, а затем определить метрический и антисимметричный тензоры равенствами (16), то соответствующее состояние будет аннулироваться всеми суперсимметричными вариациями, порожденными пространственно-временным постоянным (Зг-инвариантным спинором. При этом, две суперсимметрии из шестнадцати будут сохранятся.

В то время как значения пространственно-временной метрики и поля дилатона ф мы можем задать произвольно, пытаясь удовлетворить условиям (14), значения F и Я нельзя выбрать произвольными. Они должны удовлетворять определенным тождествам Бианки. В теории суперструн эти тождества принимают вид

dH = a' (ttR A R - ^TtF A fJ . (18)

Можно показать, что в первом приближении мы можем отбросить слагаемое с R Л R. Поэтому, осуществляя редукцию к подгруппе Gi С Spin(7) с Ев или SO(32), получаем вместо (18) равенство

dH = —a'trF Л F, (19)

где символом tr обозначен след матрицы в спинорном представлении группы Spin{7). Подставляя точное выражение для напряженности калибровочного поля инстантона, найденное в предыдущем параграфе,

2Strominger A. Nucí. Phys. В343 (1990) 167.

находим следующее дилатонное уравнение

е-* = е~ф° + 4 jW+yv-H» + (20)

(1 + уЧг

Здесь у — вектор-столбец с элементами yi,- уn из алгебры октони-онов, а постоянная À* = (Ai,..., Адг). Очевидно, что метрика и антисимметричные тензорные поля, построенные по этому дилатонному полю, соответствуют суперсимметричному анзацу (16). Заметим, что при N = 1 полученное решение совпадает с решением, которое найдено в работе.3

В разделе 4 изучаются Spin (7)-инвариантные автодуальные уравнения Янга - Миллса в размерности d = 8. Исследование таких уравнений началось с пионерской работы Корригана и др.4 Однако в настоящее время известно лишь считанное число решений уравнений автодуальности в явном виде (см. обзор5). Причем не всякое решение уравнений автодуальности может быть расширено до солитонного решения низкоэнергетической теории гетеротической струны. Представленные в данном параграфе решения допускают подобное расширение. Следуя изложенной выше процедуре, мы находим точное солитонное решение низкоэнергетической теории гетеротической струны, которое сохраняет одну суперсимметрию из шестнадцати. В частном случае это решение переходит в решение, полученное в работе.6

В разделе 5 исследуются Sp{ 1) х 5р(2)-инвариантные автодуальные уравнения Янга - Миллса в размерности d = 8. Изучение таких уравнений стало актуальным после того, как в работе7 известная ADHM-конструкция инстантонов в d = 4 была обобщена на размерность d = 4п и применена для нахождения решений уравнений автодуальности, нарушающих SO(4n) до Sp( 1) x Sp(n). Следуя изложенной выше процедуре, мы находим новые точные солитонные 1- и 5-бранные решения низкоэнергетической теории гетеротической струны.

В заключительном разделе обсуждаются полученные результаты. Хорошо известно, что калибровочные поля в R4 с конечным действием

3 Gunaydin M., Nicolai H. Phys. Lett. B351 (1995) 169;

4 Corrigan В., Devchand G., Fairlie D.B., Nuyts J. Nucí. Phys. B214 (1983) 452;

5Иванова T.A., Попов A.Д. ТМФ 94 (1993) 316;

6Ilarvey J.A., Strominger A. Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 549;

7Corrigan E., Goddard P., Kent A. Commun. Math. Phys. 100 (1985) 1.

в бесконечности близки к чисто калибровочным. Полю с такой асимптотикой можно сопоставить гомотопический класс отображения сферы S3 в калибровочную группу G. В том случае, когда G — простая некоммутативная компактная группа Ли, множество таких гомотопических классов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел. Поэтому каждому полю с конечным действием можно сопоставить целое число (топологическое число поля), которое не меняется при непрерывном изменении поля, если в процессе изменения евклидово действие остается конечным.

Совершенно иная ситуация возникает при интерпретации 1- и 2-бранных решений. В этом случае калибровочные поля не являются чисто калибровочными в бесконечности, их напряженности спадают только как 1/х2 при х оо. Поэтому интегралы, связанные с соответствующими солитонными решениями, расходятся. Чтобы устранить возникающие бесконечности приходится накладывать на полученные решения дополнительные граничные условия. Выбор таких условий неоднозначен и не имеет четкого физического толкования. Подобные проблемы возникают и при интерпретации решения (20). Впрочем иного и нельзя было ожидать, поскольку в размерности d > 4 не существует нетривиальных решений уравнений Янга - Миллса, а значит и уравнений автодуальности, с конечным действием.8

Заметим, что трудности с физической интерпретацией полученных выше инстантонных и солитонных решений стали одной из причин, которая побудила нас исследовать альтернативные модели калибровочных теорий. Однако, прежде чем переходить к построению таких моделей, необходимо развить соответствующий математический аппарат. Этому посвящена следующая глава.

В главе 3 изучаются неассоциативные обобщения групп Ли, впервые рассмотренные А. И. Мальцевым,9 — аналитические лупы Муфанг. Показано, что основные результаты о связи между представлениями групп и алгебр Ли полностью переносятся на аналитические лупы Муфанг и их касательные алгебры Мальцева. Кроме того, доказана полная приводимость представлений полупростой аналитической лупы Муфанг и найдены все ее неприводимые неассоциативные представления.

Раздел 1 носит вводный характер. Он содержит необходимые опре-

sJaffe A., Taubes С. Vortices And Monopoles. Vol. 32. Boston: Birkhaeuser, 1980; aМальцев А.И. Матем. сб. 36 (1955) 569.

деления и известные результаты, касающиеся структурной теории неассоциативных алгебр. Мы напоминаем, что квазигруппой называется бинарная система G, в которой уравнения ах = b и уа — Ь однозначно разрешимы для всех а, Ь € G. Квазигруппа с единицей называется лупой. Аналитической лупой называется аналитическое многообразие, снабженное структурой лупы такой, что операция умножения является аналитической. Лупы Муфанг выделяются из класса всех луп тождеством

(ab)(ca) = а((Ьс)а). (21)

С лупами Муфанг тесно связаны альтернативные алгебры, которые можно определить условием, что ассоциатор

(х, у, z) = [xy)z - x{yz) (22)

в такой алгебре является знакопеременной функцией своих аргументов. Очевидно, что всякая ассоциативная алгебра альтернативна. Классическими примерами неассоциативной альтернативной алгебры является алгебра октонионов и ее обобщение — алгебра Кэли - Диксона.

Множество всех обратимых элементов конечномерной альтернативной алгебры А над полем Ж замкнуто относительно умножения и образует аналитическую лупу Муфанг. Ее касательная алгебра изоморфна коммутаторной алгебре А^ алгебры А. Если А — альтернативная неассоциативная алгебра, то коммутаторная алгебра А^ уже не является алгеброй Ли. Вместо тождества Якоби в ней выполняется тождество

М,*] + [М.*] + (М>»] = 6(*>У.*)- (23)

Антикоммутативная алгебра, удовлетворяющая такому тождествам называется алгеброй Мальцева. Алгебры Мальцева и альтернативные алгебры тесно связаны. Так, всякая простая нелиева алгебра Мальцева изоморфна коммутаторной алгебре алгебры Кэли - Диксона над своим центром.10 В частности, существует единственная, с точностью до изоморфизма, простая компактная нелиева алгебра Мальцева над полем Е. Она имеет размерность 7 и изоморфна коммутаторной алгебре алгебры октонионов О над своим центром.

Между локальными аналитическими лупами Муфанг и вещественными алгебрами Мальцева существует соответствие, аналогичное клас-

^Кузьмин E.H. Алгебра и логика, 7 (1968) 48.

сическому соответствию Ли между локальными группами Ли и алгебрами Ли.11 Эти результаты полностью переносятся на аналитические лупы Муфанг в целом.12 А именно, существует единственная, с точностью до изоморфизма, односвязная аналитическая лупа Муфанг G в целом с данной касательной алгеброй Мальцева, и любая связная аналитическая лупа Муфаиг с той же касательной алгеброй может быть получена из G факторизацией по дискретной центральной нормальной подгруппе. Всякая односвязная полупростая лупа Муфанг разлагается в прямое произведение полупростой группы Ли и простых нелиевых луп Муфанг, каждая из которых аналитически изоморфна одному из пространств: S7, S3 х Е4 или S7 x R7. Фактически, односвязная простая неассоциативная лупа Муфанг изоморфна лупе, состоящей из множества элементов нормы 1 в алгебре Кэли - Диксона над полем Е или С.

С раздела S начинается изучение линейных представлений луп Муфанг. Мы определяем понятие линейного представления квазигруппы, используя понятие бипредставления произвольной линейной алгебры.13 Пусть К — некоторый класс квазигрупп и M — линейное пространство над полем F. Построим отображения (R, L) из квазигруппы G € К в группу AutM и определим на множестве G = G х M умножение

(в, х)(Ь, у) = (ab, xRb + yLa). (24)

Если отображения (R, L) : G -4 AutM таковы, что полученный группоид G снова принадлежит классу К, то векторное пространство M называется G-модулем в классе К, а упорядоченная пара отображений (R, L) — линейным представлением лупы G в классе К. Если G — аналитическая квазигруппа, то дополнительно требуется, чтобы и квазигруппа G была аналитической. В частности, если G — группа, то ее представление в классе всех групп задается условиями

Rab — RaRb, RaLb — LbRa, Lab — LbLa. (25)

Если при этом все операторы La из группы AutM действуют тривиально, т. е. La — 1 для любых а 6 G, то мы имеем обычное определение правого представления группы G как гомоморфного отображения G в

11 Кузьмин E.H. Алгебра и логика, 10 (1971) 3;

12Кердман Ф.С. Алгебра и логика, 18 (1979) 523;

13Eilenberg S. Ann. Soc. Polon. Mat. 21 (1948) 125.

группу AutG. Используя тождество (21), мы определяем понятие представления лупы Муфанг в классе всех луп Муфанг, а затем изучаем его простейшие свойства.

В разделе S изучаются условия вложения луп Муфанг в альтернативные алгебры. В частности, оказывается справедливым следующее утверждение

Теорема 3.5. Всякая одпосвязная аполитическая лупа Муфанг изоморфно вкладывается в лупу обратимых элементов некоторой альтернативной алгебры над полем вещественных чисел.

В разделе 4 изучаются неприводимые представления луп Муфанг. Здесь доказана следующая основная

Теорема 3.7. Представление полупростой аналитической лупы Муфанг вполне приводимо. Всякий неприводимый G-модуль аналитической лупы Муфанг G является либо альтернативным, либо мальцев-схим неприводимым бимодулем.

Поскольку описание неприводимых альтернативных и мальцевских бимодулей известно,14,15 теорема 3.7 полностью описывает представления полупростой аналитической лупы Муфанг.

В главе 4 исследуются калибровочные теории, в которых вместо структурных групп Ли используются неассоциативные лупы Муфанг. Здесь находятся инстантонно-подобные решения уравнений движения для калибровочных полей в пустоте и строится модель N = 1 суперсимметричной калибровочной теории на массовой поверхности.

В разделе 1 доказано несколько простых утверждений об изоморфизмах и автоморфизмах алгебры октонионов, которые основаны на следующей конструкции. Пусть и — фиксированный элемент множества

S = {х б ОI п(х) = 1}, (26)

где О — алгебра октонионов. Это множество замкнуто относительно операции умножения и является единственной, с точностью до изоморфизма, аналитической компактной простой неассоциативной лупой Муфанг. Определим на векторном пространстве О новое умножение, полагая

;_го У = (хи-3)(и3у), (27)

ыМсСпттоп К. Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966) 480;

15 Кузьмин E.H. Алгебра и логика, 7 (1968) 48.

и обозначим полученную алгебру символом О'. Легко доказать, что алгебры О и (У изоморфны. Этот изоморфизм можно построить в явном виде. Действительно, пусть Н — подалгебра кватернионов в О, такая, что элемент Рассмотрим линейное отображение а : О О' вида

а(х) = х, если х € И,

а(х) = и~3х, если х € Нх.

Тогда линейное отображение а, определенное равенствами (28), является изоморфизмом указанных алгебр. Заметим, что эти равенства одновременно определяют как изоморфизм О О' алгебр, так и линейное преобразование пространства О. Обозначим символом х' элемент а(х) и рассмотрим линейные преобразования алгебры О вида

tß{X) = uxu .

Можно показать, что линейное преобразование <р = ßa является автоморфизмом алгебры О. Причем, все такие преобразования с u 6 § порождают группу автоморфизмов алгебры О.

В разделе 2 строится модель калибровочной теории, в которой вместо структурной группы Ли используется лупа Муфанг §. Хорошо известно,16 что касательная алгебра к такой лупе изоморфна семимерной алгебре Мальцева

м = {х е О! t{x) = о}, (30)

которая является единственной, с точностью до изоморфизма, компактной простой нелиевой вещественной алгеброй Мальцева. Пусть Aß(x) — векторное поле, принимающее значение в М. Определим поле х), принимающее значение в пространстве V представления лупы §. Из теоремы 3.7 следует, что пространство V совпадает с О или М. И в том и в другом случае мы можем определить ковариантную производную

= + (31)

где оператор Aß действует на пространстве V по правилу

Ä^ = [Alt,iß]. (32)

(28)

16 Кузьмин E.H. Алгебра и логика, 10 (1971) 3.

Как и в ассоциативном случае, мы требуем, чтобы производная И^ф имела те же трансформационные свойства, что и само поле ф, т.е.

(33)

ад £7(ад), ^ '

где и{х) — функция, принимающая значение в группе внутренних автоморфизмов лупы 8. Последнее требование оправдано тем, что в ассоциативной теории группа внутренних автоморфизмов полупростой неа-белевой группы Ли локально изоморфна самой группе Ли.

Далее мы ищем закон изменения поля А^ при калибровочном преобразовании, определяемом функцией II(х). Рассматривая эту функцию как композицию и = ¡За инфинитезимальных преобразований

а(г) = 1 + А(®),

Р(х) = 1 + в(х),

находим следующий закон преобразования:

Здесь значение функции в(х) определяется выбором элемента и = 1 + 6 в окрестности единицы лупы оператор V,, определен равенством

^ = (д,ф)\ (36)

а поля А'^ и ф' принимают значения в алгебре О7. Очевидно, что при редукции алгебры октонионов к подалгебре Н, функция а(х) становится тождественной. В этом случае мы получаем обычный закон преобразования ¿>£/(2) калибровочной теории. Определяя тензор напряженности в виде

^ = дцА„ - диАЙ - А„}, (37)

находим закон его изменения при инфинитезимальных калибровочных преобразованиях:

+ (38)

Заметим, что предложенную конструкцию калибровочного поля легко обобщить, если вместо алгебры М рассматривать конечномерную

вещественную полупростую алгебру Мальцева. В этом случае мы получаем естественное обобщение классической теории неабелевых калибровочных полей.

В разделе 3 находятся решения уравнений движения классической неассоциативной калибровочной теории в евклидовом пространстве размерности д. = 7 и 8. В первой части параграфа рассматриваются поля, определенные в пространстве й7 и принимающие значения в алгебре М. Варьируя функционал действия

> Ртп ) + (39)

где векторное поле

■Л» — Ар, -Аз), (40)

находим уравнения движения

] = л. (41)

Используя тождество (23), доказываем, что всякое решение уравнений автодуальности

-Ртп ~ ~^СтПр3Рр3 (42)

является решением уравнений движения (41). Причем выполнение условий автодуальности (42) дает решение уравнений движения, которое отвечающее минимуму функционала действия. Решения уравнений автодуальности (42) ищем в виде

(43>

где А — ненулевая константа, а е,- — базисные элементы алгебры окто-нионов. Получаем выражение для тензора напряженности

р / ч _ 2сСТп,(<%А2 + . .

тп{ ) ~ (А2 + |х|2)2 ' 1 '

Легко показать, что тензор (44) является автодуальным. Вместе с тем, поле (43) не является чисто калибровочным в бесконечности, его напряженность спадает только как 1/х2 при х -* оо. Поэтому функционал (39), связанный с этим решением, расходится.

У = "ха ■ '--Ш' (47)

=___/48)

Альтернативно решение получается, если выбрать анзац в виде

где ет — базисный элемент алгебры О, а элемент у(х) удовлетворяет условию

У = и3|»| (46)

для каждого значения и(х) б §. Поскольку О — алгебра с делением, такой выбор поля и(х) всегда возможен. Мы выберем функцию у(х) в виде

х — Ь А2 + \х - Ъ\2

где Ь и А — восемь произвольных постоянных параметров. В результате получаем

(А2 + \х - Ь|2)2

Очевидно, что этот тензор является автодуальным. При редукции алгебры О к подалгебре кватернионов, это решение переходит в известное одноинстантонное решение.17 Однако, несмотря на то, что напряженность (48) спадает как 1/а;4 при х оо, функционал (39) вновь расходится.

Наконец, можно получить решение уравнений автодуальности, если наложить на тензор условие

стпзГ^п = 0. (49)

Можно показать, что это условие эквивалентно требованию (анти)авто-дуальности поля Р'тп. Решение уравнения (49) ищем в виде

Ут — к———, (50)

у

где <р(х) — произвольная функция. Легко видеть, что условие (49) выполняется, если дтдт1р — 0 и к = 1/5. Выбирая

17Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwartz A.S., Tyupkin Yu.S. Phys. Lett. B59 (1975) 85.

получаем решения уравнений автодуальности. В этом случае калибровочное поле Aft спадает как 1/х6 при х -¥ оо. Однако функция (51) остается сингулярной при х -> Ь{.

В оставшейся части этого раздела исследуются уравнения автодуальности в размерности d = 8 и находятся аналоги решений (48) и (51).

В разделе 4 строится N = 1 модель суперсимметричной неассоциативной калибровочной теории на массовой поверхности. Модель содержит калибровочное поле Ар и безмассовый майорановский спинор ф, причем оба поля определены в пространстве Минковского Л/зд и принимают значения в алгебре Мальцева М. Исследуемая конструкция аналогична N — 1 суперсимметричной теории Янга - Миллса. Рассматривается калибровочно-инвариантный лагранжиан

С = ~\(FliV,Fn + (52)

где Ицф и Fp.v — ковариантная производная и тензор напряженности, определенные равенствами (31) и (37) соответственно. Доказывается, что он инвариантен относительно инфинитезимальных преобразований

6А„ = гё7м1р,

1 (53)

W = £

где е — постоянным антикоммутирующий майорановский спинор. Затем показывается, что коммутатор двух преобразований суперсимметрии дает пространственную трансляцию

[Suh ) = -2i{erfei)Bv (54)

на калибровочно инвариантных полях. Отсюда следует, что преобразования (53) действительно являются преобразованиями суперсимметрии на массовой поверхности для рассматриваемой модели.

В главе 5 исследуется механизм Фройнда - Рубина - Энглерта спонтанной компактификации N = 1 супергравитации в одиннадцати измерениях и находятся новые решения классических полевых уравнений движения для бозонных полей этой теории. Показывается, в частности, что любое такое решение можно получить используя свойства подходящей неассоциативной алгебры.

Раздел 1 носит вводный характер. Здесь излагается механизм спонтанной компактификации одиннадцатимерной супергравитации, предложенный Фройндом и Рубином,18 а также механизм Энглерта.19 Описываются соответствующие вакуумные решения полевых уравнений

Rmn ~ \omnR = 12 {8FMpqrFNP<1R - SmnFSPqrFSPQR) , (55)

FMNP®;M = - ^eNPQM> -M*FMl м3м3мАмвмтма, (56)

отвечающее представлению одиннадцатимерного многообразия в виде M = Mi х К, где М4, — четырехмерное пространство-время, a К — компактное "внутреннее" пространство. Здесь и ниже символом eMl,"Mr обозначен полностью антисимметричный ковариантно постоянный тензор q-го ранга, удовлетворяющий равенству ei„.r = л/[э|- Далее используется тот факт,20 что бозонный сектор d = 11 сунергравитации можно рассматривать как чистую гравитацию с кручением Smnp> которое определяет 3-форму калибровочного потенциала Amnp и его напряженность Fmnps равенствами

Amnp - Щмяр], (57)

Fmnps = %-Amjvp]- (58)

Доказывается, что деформация римановой связности

TNP -4 TNP + SPP (59)

превращает M = М4 х К в пространство аффинной связности с кручением Smnp = S[mnp]~

Ключевым в последующем изложении является понятие геодезической лупы пространства аффинной связности, которое ввел Киккава в работе.21 Пусть M — пространство аффинной связности и е — его произвольная точка. В окрестности этой точки можно ввести бинарную операцию следующим образом. Пусть хну — две точки, принадлежащие этой окрестности. Соединим их с точкой е геодезическими

18Fnvnd P.G.O., Rubin М.А. Phys. Lett. В97 (1980) 233;

19Englert F. Phys. Lett. B119 (1982) 339;

20Bars I., MacDowetl S.W. Phys. Lett. 129B (1983) 182;

21 Kikkawa M. J. Sci. Hiroshima Univ. 28 (1964) 199.

линиями ех и еу. Затем дугу ех перенесем параллельно в положение уг. Получим криволинейный четырехугольник ехгу. Тогда по определению точка г = ху, т. е. является произведением точек х и у. Прямым вычислением можно показать, что таким образом введенная бинарная операция определяет в окрестности точки е локальную дифференцируемую лупу, которая называется геодезической лупой пространства М. Легко показать, что точка е является единицей этой лупы.

Известно,22 что на касательном пространстве Ад к геодезической лупе в ее единице можно определить бинарную [ж, у] и тернарную (х, у, г) операции, превращающие Аа в линейную алгебру. В координатной форме эти операции можно записать в следующем виде:

[х,у]* = 2сх)кх1ук, (60)

(х,у,гУ = 2%ых*укг1, (61)

где х*, у-7, гк — координаты векторов х, у, 2 пространства Ав- Введенные операции связаны тождеством

4*']=«[>1]т, (62)

которое называется обобщенным тождеством Якоби. Тензоры а1^ и /¡'к1 называются основными тензорами геодезической лупы. Известно,23 что основные тензоры геодезической лупы произвольного пространства аффинной связности, построенной для некоторой его точки, выражаются через значения в этой точке его тензоров хфучения, кривизны и кова-риантных производных от тензора кручения по формулам

С*}* = (63)

= (64)

Эти выражения для основных тензоров геодезической лупы, полная антисимметричность тензора кручения, а также тождества Бианки играют весьма существенную роль в последующих построениях.

В разделе 2 детально исследуется компактификация одиннадцатимерной супергравитации на четырехмерное пространство-время М\ и

22Акивис М.А. Сиб. мат. ж. 17 (1976) 5;

™Акивис М.А. Сиб. мат. ж. 19 (1978) 243.

семимерное "внутреннее" компактное пространство К. Здесь доказывается, что при компактификации на М4 и известных ограничениях на физические поля (ненулевыми являются лишь компоненты, определенные на Л/4) анзац Фройнда - Рубина

где р — константа, является единственно возможным решением уравнений движения для бозонных полей одиннадцатимерной супергравитации. Заметим, что при доказательстве этого утверждения использовались лишь локальные свойства пространства М4. Потому оно справедливо для любого четырехмерного риманова пространства лоренцевой сигнатуры.

При исследовании компактификации одиннадцатимерной супергравитации на "внутреннее" пространство К мы ограничиваемся рассмотрением геодезических луп Муфанг. Оказывается, что при таком ограничении деформация риманбвой связности превращает пространство К в пространство аффинной связности с полностью антисимметричным тензором кривизны Я^ы- Верно и обратное утверждение: если тензор кривизны аффинного пространства К полностью антисимметричен, то геодезическая лупа <Зе этого пространства является муфанговой. Более того, оказывается, что лупа локально изоморфна либо компактной группе Ли, либо неассоциативной компактной лупе Муфанг 8.

В разделе 3 мы переходим к построению решений полевых уравнений (55) и (56) в том случае, когда физические поля имеют неисчеза-ющие компоненты в пространствах М4 и К. В работе24 в качестве К выбиралось пространство с абсолютным параллелизмом и предполагалось, что тензор аффинной кривизны Щк1 = 0. Здесь мы ослабляем это условие и считаем, что тензор Яцы является полностью антисимметричным. В этом случае геодезическая лупа Се либо ассоциативна, либо локально изоморфна лупе Если лупа Ое ассоциативна, а многообразие М = М4 х К является пространством Эйнштейна, то нетривиальных решений нет. Если же геодезическая лупа ве локально изоморфна лупе Муфанг то уравнения движения (56) на К принимают вид

-Р1и^сгА — р£ц1><г\

(65)

Fra"p«;m = у/2,реп™к1Рт.

24ЕпдкН Р. РЬуз. Ье«. В119 (1982) 339.

Оставшаяся часть раздела посвящена решению уравнений (66). Доказывается, что анзац

(67)

дает нам автодуальное и антиавтодуалыюе решения уравнений (66). При автодуальном решении аффинный тензор кривизны Дуы = 0, а при антиавтодуальном И^ы Ф 0. Заметим, что равенство Я^н = 0 является необходимым и достаточным условием параллелизуемости пространства К. Именно это условие было использовало в работе25 для построения решений 11-мерной супергравитации на сфере 87. Существование антиавтодуального решения уравнений (66) показывает, что это условие не является обязательным.

В разделе 4 исследуется М = АйЭ^ х 57 компактификации й — 11 супергравитации и находятся новые решения классических уравнений движения в одиннадцати измерениях. Метод построения этих решений не отличается от того, что был использован в предыдущем разделе. Однако, в отличие от полученных выше, найденные решения связаны с неассоциативными немуфанговыми геодезическими лупами.

В заключительном разделе 5 обсуждаются полученные результаты, а также возможности их обобщения. Здесь отмечается, что использование развитой выше техники, позволяет построить решение уравнений движения для бозонных полей одиннадцатимерной супергравитации на некомпактном пространстве Эйнштейна К с некомпактной геодезической лупой Муфанг. При этом весьма интересным оказывается выбор некомпактного параллелизуемого пространства К = З3 х М4. Дело в том, что некомпактное пространство Б3 х Е4 можно рассматривать как многообразие с (?2-голономией и асимптотически конической сингулярностью, в окрестности которой возникают киральные ферми-оны и неабелевы калибровочные бозоны. Именно по этой причине, в последние годы, активно изучается М-теория на сингулярных многообразиях с Ог-голономией.26,27 Поскольку в низкоэнергетическом пределе М-теория хорошо аппроксимируется одиннадцатимерной супергравитацией, исследование решений уравнений движения для бозонных полей на некомпактном пространстве представляет очевидный интерес.

25Englert F. Phys. Lett. ВХ19 (1982) 339;

26 Atiy ah M.F., Witten E. Adv. Theor. Math. Phys. 6 (2003) 1;

27 Achary a B.S., Gukov S. Phys. Rept. 392 (2004) 121.

Список литературы

[1] Loginov Е.К. Spontaneous compactification and nonassociativity // Phys. Rev. - 2009. - D80. - P. 124009.

[2] Loginov E. K. Classification of BPS equations in higher dimensions // Phys. Rev. - 2008. - D78. - P. 065010.

[3] Loginov E. K. Remarks on string solitons // Phys. Rev. - 2008. - D77.

- P. 105003.

[4] Loginov E. K. On a class of gauge theories //J. Math. Phys. - 2007. -48. - P. 073522.

[5] Loginov E. K., Grishkov A. N. On a construction of self-dual gauge fields in seven dimensions //J. Nonlin. Math. Phys. - 2007. - 14. -P. 562.

[6] Loginov E.K. Multi-instantons and superstring solitons // Phys. Lett.

- 2005. - B618. - P. 265.

[7] Loginov E. K. Multi-instantons in seven dimensions // J. Math. Phys.

- 2005. - 46. - P. 063506.

[8] Логинов E. К. О конструкции мультиинстантонов в пространствах размерности d < 8 // ТМФ. - 2005. - 145. - С. 191.

[9] Loginov Е. К. Self-dual Yang-Mills fields in pseudo-Euclidean spaces // J. Phys. - 2004. - A37. - P. 6599.

[10] Логинов E. К. О линейных представлениях аналитических луп Му-фанг // Матем. заметки. - 2003. - 73. - С. 456.

[11] Loginov Е. К. Analytic loops and gauge fields // Nucl. Phys. - 2001. -B606. - P. 636.

[12] Логинов E. К. О вложении аналитических луп Муфанг в альтернативные алгебры // Матем. заметки. - 2001. - 69. - С. 313.

[13] Логинов Е. К. О включении строго простых луп Муфанг в простые альтернативные алгебры // Матем. заметки. - 1993. - 54. - С. 66.

[14] Loginov Е. К. On linear representations of Moufang loops // Commun. Algebra. - 1993. - 21. - P. 2527.

Логинов Евгений Константинович Альтернативные алгебры в физике частиц

Классифицируются BPS уравнения в евклидовом пространстве размерности d ^ 8 и в пространстве Минковского размерности d ^ 6. Находятся новые решения уравнений автодуальности в евклидовом пространстве размерности d = 7 и 8, а также 1-, 2- и 5-бранные солитон-ные решения низкоэнергетической теории гетеротической струны. Развивается теория представлений аналитических луп Муфанг, в основных чертах повторяющая теорию представлений групп Ли. Предлагается модель калибровочной теории, в которой структурная группа заменена неассоциативной лупой Муфанг, находятся инстантонно-подобные решения классических уравнений движения. Исследуется спонтанная компактификация d = И супергравитации, находятся решения классических полевых уравнений движения в одиннадцати измерениях.

Loginov Eugene Konstantinovich Alternative algebras in particle physics

The BPS equations in Euclidean space of d ^ 8 dimension and Minkowski space of d ^ 6 dimension axe classified. New solutions of the self-duality equations in d = 7 and 8 dimensions are found. In addition, 1-, 2-, and 5-bran soliton solutions of the heterotic string theory are found. A representations theory of analytic Moufang loops that generalizes the classical Lie representations theory are developed. The gauge theory with a nonassociative Moufang loop are offered. lnsta.nton-Yike solutions of field equations are found. Spontaneous compactification of d — 11 supergravity is investigated and solutions of the classical equations of motion in eleven dimensions are found.

Подписано в печать 17.02.2010 г. Формат 60 х Бумага писчая. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,8. Уч.-изд. л. 1,6

Издательство "Ивановский государственный университет" 153025 Иваново, ул. Ермака, 39 (4932) 93-43-41 E-mail: publisher@ivaiiovo.ac.ru

Введение

ГЛАВА 1. BPS уравнения в размерности d ^

1.1. Инстантоны Янга - Миллса.

1.2. Классические поля в размерности d > 4.

1.3. Классификационная теорема.

1.4. Доказательство теоремы для d = 3 и

1.5. Доказательство теоремы для d — 5.

1.6. Классификация BPS уравнений

1.7. Обсуждение и комментарии.

ГЛАВА 2. Солитоны в теории гетеротической струны

2.1. Один простой анзац.

2.2. Уравнения автодуалыюсти в размерности d = 7.

2.3. Солитонное 2-бранное решение.

2.4. Обобщения найденных решений в размерности d ^ 8.

2.5. Инстантоны и солитоны в размерности d = 4к.

2.6. Заключительные замечания.

ГЛАВА 3. Линейные представления луп My фанг

3.1. Аналитические лупы.

3.2. Бимодули и бипредставления.

3.3. Точные представления луп Муфанг.

3.4. Неприводимые представления луп Муфанг •.

ГЛАВА 4. Альтернативные модели калибровочных теорий

4.1. Математическое введение.

4.2. Неассоциативные калибровочные поля

4.3. Инстантоны в неассоциативной калибровочной теории

4.4. Модель суперсимметричной калибровочной теории.

ГЛАВА 5. Спонтанная компактификация и неассоциативность

5.1. Введение

5.2. Решения типа Фройнда - Рубина.

5.3. Решения типа Энглсрта (с геодезической лупой Муфанг)

5.4. Решения типа Энглерта (с немуфанговой лупой).

5.5. Заключительные замечания.

В настоящее время происходит все большее и большее проникновение алгебраических идей и методов в различные области физики. Определенную нишу занимают здесь исследования, связанные с изучением возможности использования в физике альтернативных неассоциативных алгебр, самым известным примером которых является алгебра октонио-нов или чисел Кэли. С альтернативными алгебрами тесно связаны алгебры Мальцева и аналитические лупы Муфанг, между которыми имеется соответствие, аналогичное соответствию между алгебрами и группами Ли. Все эти алгебраические структуры хорошо изучены и в той или иной степени находят применение в физике частиц.

По-видимому, впервые интерес к октонионам возник в связи с проблемой классификации элементарных частиц в период после введения понятия странности в 1953 году. Экспериментальные данные о спектре частиц тогда были весьма скудными, поэтому между собой конкурировали разные схемы симметрий, связанные с группами 5С/(3), 50(8) и др. (см. обзоры [5, 9, 161]). Некоторые из них были сформулированы на языке октонионов [83, 142, 143, 148, 169]. Однако, после того, как приближенная (3) симметрия адронных мультиплетов была твердо установлена, эти работы потеряли актуальность и не получили дальнейшего развития.

Вновь интерес к октонионам усилился в начале 70-х, после работ Гю-найдина и Гюрши [97, 98]. В этих работах был предложен октонион-ный формализм для ненаблюдаемых цветных кварков с точной цветовой Би(З)-симметрией и наблюдаемых бесцветных адронных состояний. Для описания внутренних степеней свободы адронов было построено одноча-стичное представление группы Пуанкаре в гильбертовом пространстве векторов состояний с октонионными компонентами [88, 89, 90]. Было показано, что октонионное гильбертово пространство позволяет описывать пленение кварков, поскольку не все элементы этого пространства соответствуют наблюдаемым физическим состояниям [99, 100]. Однако позже октонионная квантовая механика Гюнайдина - Гюрши подверглась значительной критике в работах [127, 153], где было показано, что удержание цвета не может иметь алгебраического происхождения в рамках рассматриваемого формализма.

Примерно в те же годы началось изучение единых калибровочных моделей сильного и электромагнитного и слабого взаимодействий. После того, как Пати и Салам [147] предложили идею объединения цвета и аромата, появилось ряд моделей основанных на простых и полупростых калибровочных группах. Простейшими из них были модель Джорджи и Глешоу [85], основанная на группе 5Е/(5), и модель, основанная на ортогональной группе 50(10) [81, 86], которая содержит 517(5) в качестве своей подгруппы. Среди теоретических моделей, использующих группы более высокого ранга, особое внимание было уделено тем, в которых происходит объединение фермионов различных поколений. В частности, были исследованы модели великого объединения, основанные на исключительных простых группах и Е7 [102, 103]. Заметим, что алгебры Ли всех этих групп имеют похожие схемы Дынкина (группы 5?7(5) и 50(10) можно было бы обозначить как Е4 и соответственно ), кроме того они тесно связаны с октонионами (см. [105]).

В начале 80-х годов в теории элементарных частиц возродилась фантастическая идея Калуцы [123, 126] о том, что пространство-время имеет больше чем четыре измерения. Современное развитие этого подхода началось после работ [52, 53, 159], где было предложено рассматривать дополнительные измерения как физические, равноправные с наблюдаемыми четырьмя измерениями, а очевидное различие между наблюдаемыми и добавочными измерениями интерпретировать как спонтанное нарушение симметрии вакуума или, другими словами, как результат спонтанной компактификации дополнительных измерений. Были исследованы различные механизмы спонтанной компактификации: механизмы Фройнда-Рубина [80], Энглерта [75] и др. (см. обзоры [3, 25]). Одновременно активно изучались теории супергравитации в многомерном пространстве-времени и их вакуумные решения (см. [65]). Одно из таких решений одиннадцатимерной супергравитации [54], найденное в [75] (см. также [36, 141, 172, 173]), можно представить в виде прямого произведения Айв4 х 57, пространства анти-де Ситтера Айв^ и семимерной сферы 57, допускающей наряду со стандартной римановой метрикой две плоские геометрии с кручением. Дальнейший анализ этого решения, проведенный в работах [26, 57, 76, 104], выявил тесную связь кручения с неас-социативностыо алгебры октонионов. Позже свойства алгебры октонио-пов были использованы для нахождения новых (мембранных) решений одиннадцатимерной супергравитации и их классификации [33, 37, 67].

Примерно в то же время началось систематическое изучение многомерных калибровочных теорий. После пионерской работы Коррига-на и др. [50] (см. также [170]), где были классифицированы автодуальные уравнения Янга - Миллса (уравнения автодуальности) в евклидовых пространствах размерности <1 ^ 8, встала задача о нахождении и последующей интерпретации решений таких уравнений. Следует отметить, что уже в статье [50] была отмечена связь октонионов с уравнениями автодуальности в размерности Л = 7 и 8. Позже эта связь была использована в [70] для получения ряда тензорных тождеств, которые существенно упростили поиск нетривиальных решений многомерных уравнений Янга - Миллса. Простейшее из них, ¿гргп (7)-симметричное решение, впервые было найдено в [78]. Несколько позже то лее решение было получено в [82], где был использован метод проектирования алгебры Ли на собственные подпространства. Новое, (^-симметричное решение, было найдено в [114]. В серии работ [58, 59, 167, 168] (см. также. [60]) были найдены инстантонные решения уравнений Янга - Миллса в размерности шесть. Конструкция решений уравнений автодуальности для произвольной калибровочной группы была предложена в работе [115] (см. также [10]). Там же было доказано весьма перспективное утверждение о связи между решениями уравнений автодуальности и решениями уравнений Раухани - Уорда. Новый способ построения решение был предложен в [51], где известная АБНМ-конструкция инстантонов в (I = 4 была обобщена на размерность ^ — 4к. Использование развитой в этой работе техники позволило найти ряд новых решений уравнений автодуальности [145, 151, 152]. Заметим, что определение автодуальности, предложенное в работе [50], не является единственно возможным (хотя, по-видимому, оно наиболее удачное). Альтернативные определения предлагались и исследовались в разные годы. Здесь мы отметим лишь удачное обобщение ВРЗТ-конструкции инстантонов в с1 = 4 на размерность й — 4к, предложенное в работе [163] и развитое далее в [27, 35, 154, 164], исследование автодуальности в пространствах нечетной размерности [165], а также определение автодуальности в алгебре октонионов [71, 91, 94].

После открытия Грином и Шварцем [92, 93] сокращения аномалий и расходимостей в эффективной локальной теории для групп SO(32) и Е$ х Es резко возрос интерес к суперструнным теориям. Вскоре это привело к открытию гетеротической струны [95, 96]. Как и в большинстве других суперструнных теорий, изучение гетеротической струны началось с исследования ее низкоэнергетических возбуждений. Были найдены и описаны солитонные решения с калибровочными полями на многообразии вида Мзд х К, где Мзд — четырехмерное пространство Минков-ского, а К — компактное шестимсрное многообразие (см. [175]). Выяснилось, что все эти решения или связаны с обычными инстантонами Янга -Миллса, или существенно используют структуру многообразия К. Не менее интересной оказалась задача, связанная с поиском собранных солито-нов в десятимерном пространстве Минковского. Исследование таких со-литонов позволили изучать низкоэнергетическую теорию гетеротической струны без проблем связанных с компактификацией. Впервые 5-бранное солитонное решение низкоэнергетической теории гетеротической струны в десятимерном пространстве Минковского было построено в [162]. Годом позже, в 1991 году, было показано [40], что это суперсимметричное решение является точным решением теории струн. В [107, 116] (см. также [42,101]) были построены 1 и 2-бранные решения в десятимерном пространстве Минковского, а в [44, 84,113,122] найдены 3-бранные решения на комплексных многообразиях Ивасава. При нахождении этих, а также ряда других подобных солитонных решений низкоэнергетической теории гетеротической струны (см. [66, 124], а также обзор [68]), эффективно использовались найденные ранее решения автодуальных уравнений Янга - Миллса в размерности й ^ 8.

Перейдем к обзору исследований последнего десятилетия. Также как и в теории гетеротической струны, в подавляющем большинстве этих работ эффективно использовалась отмеченная выше связь октонионов с уравнениями автодуальности в размерности й = 7 и 8. В частности, это относится к тем работам, где изучались автодуальные решения уравнений Янга - Миллса на некоммутативном пространстве. Первые примеры таких решений были построены в [136], где модифицированная АБНМ-конструкция инстантонов в размерности с1 = 4 была использована для нахождения несингулярных некоммутативных инстантонов. Однако, после того, как было показано, что некоммутативные калибровочные теории поля возникают из теории струн в пределе Зайберга - Виттена (см. [46, 62, 160] и обзор [63]), начался активный поиск некоммутативных инстантонов и в высших размерностях. Первое такое решение было найдено в работе [133], где солитонное решение шестимерной некоммутативной калибровочной теории было получено в результате размерной редукции десятимерной N = 1 калибровочной теории. Как оказалось (см. [177]), инстантоны в некоммутативных теориях поля очень хорошо отражают свойства £>-бран в струне. Это стимулировало их активное изучение в последующие годы (см. обзоры [106, 137]). В настоящее время изучение солитонных решений некоммутативных уравнений Янга -Миллса в высших размерностях и их бранных интерпретаций активно продолжается. Соответствующую библиографию можно найти в работах [39, 109, 110, 117, 139], где аналог АБНМ-конструкции был использован для нахождения инстантонов в восьмимерном некоммутативном пространстве.

Сразу после открытие в 1995 году М-теории [112, 176] было проведено подробное исследование компактификации одиннадцатимерной супергравитации на компактных многообразиях с &2-голономией и гетеро-тической струны на многообразиях с 5'?7(3)-голономией [144]. Поскольку в низкоэнергетическом пределе М-теория хорошо аппроксимируется одиннадцатимерной супергравитацией, такой подход позволяет изучать динамику не только гетеротической струны, но и М-теории. Среди работ, в которых свойства октонионов использовались для изучения непертур-бативных эффектов в М-теории, отметим исследование компактифика-ции М-теории на многообразиях с (^-голономией (см. [31, 34], а также обзор [24]) и исследование мембранных инстантонов (см. [69, 79, 108]).

Одновременно с появлением М-теории было показано (см. [149, 150]), что открытая струна может заканчиваться на D-бране и безмассовая калибровочная мода открытой струны генерирует калибровочное поле на мировой поверхности браны, началось активное изучение суперсимметричных состояний Dp бран на Dp'-6pa,iiax. Было замечено также, что такие jD-бранные конфигурации естественным образом возникают при изучении условий для ненарушенной суперсимметрии в низкоэнергетических суперсимметричных теориях. Оказалось, что существует класс суперсимметричных конфигураций, которые являются решениями многомерных уравнений автодуальности. В частности, такими конфигурациями являются D0-Dp системы, исследованные в работах [28, 77], а также D1-DS системы (см. [47]), связанные с решениями обобщенных уравнений Нама [29, 166] в размерности 7. Как уже неоднократно подчеркивалось выше, такие уравнения тесно связаны с октопионами.

Цели и задачи исследования:

1. Изучение многомерных уравнений автодуальности и поиск их решений методами альтернативной алгебры.

2. Изучение условий для ненарушенной суперсимметрии в низкоэнергетических суперсимметричных теориях, исследование соответствующих BPS уравнений.

3. Поиск новых солитонных решений низкоэпергетической теории ге-теротической струны.

4. Исследование моделей калибровочных теорий, в которых структурная группа заменена неассоциативной лупой.

5. Поиск и исследование решений классических полевых уравнений движения для бозонных полей N = 1 супергравитации в одиннадцати измерениях.

Положения выносимые на защиту:

1. Найдены новые решения уравнений автодуальности в евклидовом пространстве размерности d = 7 и 8.

2. Классифицированы все BPS уравнения в евклидовом пространстве размерности d ^ 8, а также в пространстве Минковского размерности d ^ 6.

3. Описаны нетривиальные состояния с ненарушенной суперсимметрией в суперсимметричных теориях Янга - Миллса на пространстве Минковского.

4. Найдены новые 1-, 2-й 5-бранные солитонные решения низкоэнергетической теории гетеротической струны.

5. Развита теория представлений аналитических луп Муфаиг, в основных чертах повторяющая теорию представлений групп Ли.

6. Предложена модель калибровочной теории, в которой структурная группа заменена неассоциативной лупой Муфанг, найдены классические решения инстантонного типа этой теории.

7. Показано, что такая калибровочная теория допускает расширение до N = 1 суперсимметричной неассоциативной калибровочной теории.

8. Найдены новые решения классических полевых уравнений движения для бозониых полей одиннадцатимерной супергравитации.

Краткое содержание работы

В главе 1 исследуются конфигурации в суперсимметричных теориях, которые инвариантны относительно некоторых преобразований суперсимметрии, и классифицируются соответствующие уравнения Богомольного - Прасада - Соммерфельда (или BPS уравнения) в евклидовом пространстве размерности d ^ 8, а также в пространстве Минковского размерности d ^ 6. Полученные результаты позволяют описать нетривиальные состояния с ненарушенной суперсимметрией в суперсимметричных теориях Янга - Миллса на пространстве Минковского. Глава основана на публикации [179].

Разделы 1 и 2 настоящей главы носят вводный характер. В них кратко описаны те физические объекты и математические конструкции, которые исследуются позже. Как было замечено выше, BPS состояния относятся к классу полевых конфигураций, которые инвариантны относительно некоторых преобразований суперсимметрии. В суперсимметричных теориях Яига - Миллса на евклидовом пространстве М^ такие состояния являются бозонными конфигурациями, если существует ненулевой постоянный спинор е в унитарном пространстве V размерности что инфинитезимальное суперсимметричное преобразование элементарного фермионного поля

Все собственные спиноры, относящиеся к нулевому собственному значению матрицы FabYab, порождают некоторое подпространство в W С V. Для того, чтобы иметь ненарушенную суперсимметрию, тензор напряженности Fab должен удовлетворять некоторым условиям. Эти условия можно записать в виде системы линейных уравнений (BPS уравнений), которые связывают компоненты тензора Fai,. Мы называем две системы BPS уравнений эквивалентными, если они несовместны или обладают одними и теми же решениями, с точностью до произвольного невырожденного преобразования пространства В противном случае эти системы называются неэквивалентными. Заметим, что здесь рассматривается глобальная суперсимметрия, поэтому условия, которым должен удовлетворять тензор Fab, не должны зависеть от выбора базиса в M.d.

Для нахождения BPS уравнений определяется проекционный оператор Q, который отображает V на W. В подходящем ортонормированном базисе пространства V этот оператор представляется х мат

2И/2] (символом [¿/2] здесь обозначена целая часть числа б,/2) такой

ЬХ = FabTahe = 0.

0.1) рицей

0.2) где Er — единичная г х г матрица и г = dim W. Поскольку проекционный оператор диагонализируется в ортонормированном базисе и имеет вещественный спектр (его собственные значения равны 0 или 1), он является эрмитовым. Таким образом,

Q2 = fit = п. (О.з)

Теперь уравнение (0.1) может быть переписано в следующем виде

FabTabCl = 0. (0.4)

Для того, чтобы получить из (0.4) систему BPS уравнений, достаточно представить проектор Q, в виде линейной комбинации единичной матрицы и одночленов

Г*охо2.ал ~ Га1Га2 . . . Так, (0-5) а затем воспользоваться известными тождествами для гамма-матриц. При этом константа v, определенная равенством trfi = z/x2^, (0.6) равна отношению числа ненарушенных суперсимметрий к их общему числу. В том случае, когда v = 0 или 1 ситуация тривиальна. Основной результат настоящей главы содержится в следующем утверждении.

Теорема 1.1. Пусть постоянный спинор г, удовлетворяющий равенству (0.1), является вейлевским для четных d, майорановским для d = 7 и майорано-вейлевским для d = 8. Тогда для каждой пары значений d ^ 8 и v = v(d) существует единственная, с точностью до эквивалентности, система BPS уравнений.

Следующие 3 раздела посвящены доказательству этого утверждения. Заметим, что в процессе доказательства существенно использовались свойства алгебры октонионов, а также идемпотентная структура соответствующей вещественной алгебры Клиффорда.

Общий метод, позволяющий получать системы BPS уравнений в произвольной размерности, описан в разделе 6. Там же найдены все неэквивалентные системы BPS уравнений в евклидовой размерности d ^ 8. Следует отметить, что такие уравнения в четных размерностях уже исследовались в статье Бака и др. [28] Однако нечетные размерности, а также вопрос об эквивалентности систем BPS уравнений в этой работе не рассматривался.

В последнем разделе этой главы исследована связь между BPS уравнениями и автодуальными уравнениями Янга - Миллса. Оказалось, что всякое решение BPS уравнений евклидовой суперсимметричной теории Янга - Миллса в размерности d ^ 8 является автодуальным. Причем, обратное утверждение не справедливо. Там же доказана следующая

Теорема 1.2. На пространстве Минковского размерности d ^ 6 существует единственная, с точностью до эквивалентности, нетривиальная система BPS уравнений, связанная с постоянным киральным спинором.

В заключительной части раздела 7 показано, как полученные выше результаты могут быть использованы для анализа теорий с низкоэнергетической суперсимметрией. Известно, что низкоэнергетической аппроксимацией для открытой суперструны служит суперсимметричная теория

Янга - Миллса. Такая теория описываются действием вида

5 = | дРх + г-фГ ■ . (0.7)

Суперпреобразования, относительно которых инвариантно (0.7), имеют вид

2 (0.8) 1

4" где е ~ постоянный антикоммутирующий спинор. Известно также, что суперсимметричные теории Янга - Миллса могут существовать только в размерностях D = 3, 4, 6 и 10. Используя полученные выше результаты, можно показать, что нетривиальные состояния с ненарушенной суперсимметрией в суперсимметричных теориях Янга - Миллса существуют только при значениях D = 6 и 10. Причем, в размерности D — 6 такими состояниями являются решения системы

Fa4 — ТТ^йЬс-^бс)

2 (0.9)

•^56 = Fз5 + Fa6 = 0, а в размерности D = 10, — решения системы 1

Fa8 = о°abcFbc>

2 (0.10)

•^910 = Fa9 + FalO = 0, где £аьс и саьс — полиостью антисимметричные единичные тензоры, являющиеся структурными константами алгебры Ли su(2) и простой компактной нелиевой вещественной алгебры Мальцева соответственно. Заметим, что эта алгебра Мальцева тесно связана с алгеброй октонионов.

В главе 2 исследуются автодуальные уравнения Янга - Миллса в евклидовой размерности d ^ 8 и находятся их решения. Затем, используя найденную в предыдущей главе связь между уравнениями автодуальности и BPS уравнениями, эти решения расширяются до 1-, 2- и 5-бранных солитонных решений низкоэнергетической теории гетеротической струны. Глава основана на публикациях [180, 183, 184, 185, 186].

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по квантовой теории поля в ФИАН и ИТФ, на семинарах отделов теоретической и математической физики МИ АН, на теоретических семинарах в МГУ, МПГУ, РУДН и ИвГУ, на семинаре в Институте физики университета Сан-Паулу (руководитель семинара — Д. М. Гит-ман), на третьей международной алгебраической конференции (Красноярск, 1993), на международной конференции "New frontiers in algebras, groups and geometries" (Monteroduni, Italy, 1995), на шестой международной конференции "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Киев, 2005), на 13-й Международной гравитационной конференции (Москва, 2008).

Исследования автора были поддержаны проектами РФФИ и международным грантом РАРЕБР. Часть результатов диссертационной работы была получена автором во время командировки в Институт математики университета Сан-Паулу (Бразилия). Результаты диссертации опубликованы в 14 научных статьях в ведущих российских и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Вклад автора во все полученные результаты является основным.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на параграфы (разделы). Список литературы включает в себя 177 наименований. Общий объем диссертации составляет 247 страниц.

ГЛАВА 1

BPS УРАВНЕНИЯ В РАЗМЕРНОСТИ D ^ 8

В этой главе исследуются конфигурации в суперсимметричных теориях, которые инвариантны относительно некоторых преобразований суперсимметрии. Такие состояниями известны как состояния Богомольного - Прасада - Соммерфельда или BPS состояния. Мы находим связь между BPS состояниями и инстантонными решениями евклидовой теории Янга - Миллса, классифицируем соответствующие BPS уравнения в размерности d ^ 8 и применяем полученные результаты для описания состояний с ненарушенной суперсимметрией в суперсимметричных теориях Янга - Миллса на пространстве Минковского. Изложенные здесь результаты опубликованы в статье [179].

1.1. Инстантоны Янга - Миллса

Классические калибровочные поля. Напомним, что поле Янга - Миллса или калибровочное поле можно ассоциировать с любой компактной полупростой группой Ли. Оно задается векторным полем которое принимает значения в алгебре Ли этой группы и определено в некоторой области евклидова или псевдоевклидова пространства. (В этом параграфа мы рассматриваем пространства размерности d = 4.) Если в алгебре Ли выбран базис ei,. ,es, то поле Ам можно представить в виде

Ам = дА*ек, (1.1) где Ак(х) — числовые векторные поля, а д — калибровочная константа связи. В этом случае Ам можно рассматривать как совокупность в числовых векторных полей. Из калибровочных полей строится антисимметричный тензор второго ранга = дцАи - + [Ар, АД, (1.2) который называется напряженностью калибровочного поля Ац. В фиксированном базисе = (1-3) и определяется совокупностью я числовых тензорных полей

Пусть (У — компактная полупростая группа Ли, и пусть ф{х) — поле, принимающее значения в пространстве представления группы Кова-риантной производной поля ф называется выражение + (1.4) где символом обозначен оператор, соответствующий Ам в данном представлении группы (7. Обычно предполагается, что ковариантная производная И^ф имеет те же трансформационные свойства, что и само поле ф, т. е. ф ф' = йф, (1.5)

В^ф Б^ф' = (1.6) где й — оператор, соответствующий функции и(х), которая принимает значения в группе С?. Удобно считать и(х) матрицей в присоединенном представлении группы О. Из равенств (1.5) и (1.6) легко получить закон преобразования калибровочного поля и его напряженности иАурГ1 + иди.и'1, (1.7) uF^u~\ (1.8)

Поле Ац называется чисто калибровочным, если оно калибровочно эквивалентно полю, тождественно равному нулю. Иными словами, поле является чисто калибровочным, если оно может быть представлено в виде

А„ = ид^и'1. (1.9)

Из (1.8) следует, что напряженность чисто калибровочного поля тождественно равна нулю. В односвязной области верно и обратное утверждение: если F^p = 0, то оно имеет вид (1.9).

Уравнения автодуальности. Физика калибровочных полей определяется выбором функционала действия. Простейшее выражение для полного калибровочно-инвариантного лагранжиана, описывающего взаимодействие между калибровочным полем А^ и полем ф, имеет вид - -^tr(i^FH + ф(г- т)ф. (1.10) 9

В этом выражении генераторы группы G нормированы условием tifae,) = (1.11) которое всегда возможно для компактной полупростой группы Ли. Существенно то, что лагранжиан (1.10) поля Янга - Миллса в пустоте (т. е. при отсутствии поля ф) содержит наряду с квадратичными по полям членами также и члены более высокой степени. Это означает, что калибровочные поля имеют нетривиальное самодействие. Другими словами, кванты поля Янга - Миллса сами обладают зарядами, взаимодействие которых они переносят. Основная специфика динамики калибровочных полей связана именно с этим обстоятельством, поэтому при рассмотрении общих вопросов теории часто ограничиваются моделью поля Янга -Миллса в пустоте.

Уравнения движения возникающие из лагранжиана (1.10) для поля Янга - Миллса в пустоте имеют вид [А", Щ = 0, (1.12) и представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для калибровочного потенциала Ар. Поскольку нас интересуют в первую очередь решения евклидовой теории Янга - Миллса, рассмотрим структуру пространства калибровочных полей в М4, для которых конечно действие

Такие поля на бесконечности близки к чисто калибровочным, т. е. имеют асимптотику

Ар идри'1. (1.14)

Полю Ар с такой асимптотикой можно сопоставить гомотопический класс отображения сферы большого радиуса в калибровочную группу (3, осуществляемого функцией и{х).

Будем считать, что С? — простая некоммутативная компактная группа Ли. Тогда множество гомотопических классов отображений сферы

53 в G находится во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел:

S3, G} = 7Гз(С) = Z. (1.15)

Таким образом, каждому полю с конечным действием сопоставляется целое число — топологическое число поля. Последнее не меняется при непрерывном изменении поля, если в процессе изменения евклидово действие остается конечным. Поэтому пространство калибровочных полей с конечным евклидовым действием распадается на компоненты, состоящие из полей с одним и тем же топологическим числом. Топологическое число Q поля Ац можно выразить аналитически с помощью формулы

Q = -¿2 /tr{F^F^x. (1.16)

Тензор *F^V называется дуальным к тензору напряженности калибровочного поля F^. По определению

FIUf = -SfivXpFxp, (1-17) где £ци\р — полностью антисимметричный единичный 4-тензор. Равенство (1.16) может быть использовано для того, чтобы оценить снизу действие для полей с фиксированным топологическим зарядом:

8тг2

S>-jr\Q\. (1.18)

При этом знак равенства в (1.18) имеет место тогда и только тогда, когда

F/IU = *F/Iu, если Q^ 0, (1.19) если Q^O, (1.20) т. е. для автодуальных или антиавтодуальных калибровочных полей. Очевидно, что такие поля являются экстремалями евклидова действия.

Инстантонное решение. Конструкцию решения уравнений автодуальности (ADHM-конструкцию), которая содержит полную систему параметров, можно найти в [22] (см. также [45, 49]) . Эта конструкция допускает обобщение на размерность d, = 4к и мы рассмотрим такую обобщенную ADHM-конструкцию в следующей главе. Однако для нас более важна другая конструкция инстаитонов, многомерное обобщение которой будет играть важную роль в дальнейшем. При этом мы будем использовать ту степень общности и тот метод изложения, который может быть легко обобщен на размерность d > 4.

Рассмотрим четырехмерное евклидово пространство R4. Выберем в нем ортонормальный базис {1, ei, в2, ез} и определим умножение

6{Gj = 5ij -f- Sijk^kt (I'^l) где eijf. — полиостью антисимметричный единичный 3-тензор. Умножение (1-21) превращает Е4 в ассоциативную алгебру с делением, которая обозначается символом Н и называется алгеброй кватернионов. Рассмотрим алгебру Ли LieH, порожденную всеми операторами правого Rx и левого Lx умножения на элемент х € И:

Rx-У ух, Lx:y ху. (1.22)

Поскольку алгебра кватернионов ассоциативная, операторы (1.22) удовлетворяют коммутационным соотношениям

Rx, Ly] = 0 (1.23) для всех ж, у £ Ж Поэтому алгебра LieH разлагается в прямую сумму

LieH = (LieH)я © (LieH)L (1.24) двух изоморфных идеалов, порожденных операторами Rx и Lx соответственно. Очевидно, что матрицы Rei и Le. образуют базис этой алгебры.

С другой стороны, алгебра LieH изоморфна so(4). Поэтому в качестве ее базисных элементов можно выбрать шесть кососимметричных матриц еаи с элементами

Можно показать, что выбранные выше базисы связаны равенствами где и rf^lv —- тензоры т'Хофта [111]. Последние удовлетворяют следующим уравнениям: где 2x2 матрицы сг^ — (1, гсг^), а^ = (1, — гсг^), а сгк матрицы Паули. Обычно уравнения (1.27) и (1.28) служат для определения тензоров т'Хофта. В этом случае равенства (1.26) можно получить, если использовать матричное представление алгебры кватернионов, определенное отображениями —> —гаЗаметим также, что т)г/ш является автодуальным тензором, а Т)1^ — антиавтодуальным тензором.

Перейдем к построению решений уравнений автодуальности (1.19). (Решение уравнений антиавтодуальности (1.20) получаются аналогичным образом.) Выберем анзац АДх) в виде е )т = 5 5т — 8 8т

1.25)

1.26)

1.27)

1.28)

Af,(x) = ip)ek,

1.29) где (р — произвольная функция х. Подставляя этот анзац в (1.19), находим условие которое должно быть наложены на функцию <р{х). Решение уравнения (1.30) легко найти. Для несингулярной функции ip(x) (1.30) сводится к уравнению д^д^р = 0, которое допускает только тривиальное решение (р — const, ведущее к = 0. Но при рассмотрении сингулярных <р(х) мы получаем интересные и в конечном счете несингулярные решения для калибровочного поля. В частности, таким решением является функция вида

Инстантонное решение (1.31) известно как решение т'Хофта [111] (см. также [48, 118, 171]). Очевидно, что функция (1.31) имеет особенности в точках &i,., Ьп. Однако эти особенности в каждой точке можно устранить с помощью подходящего калибровочного преобразования. Поэтому поле (1.29) имеет конечную напряженность и конечное евклидово действие. Заметим также, что при п — 1 решение т'Хофта калибровочно эквивалентное инстантонному решению Белавина - Полякова - Шварца - Тюпкина [32].

Фермионные нулевые моды. В предыдущем разделе мы нашли решение уравнений евклидовой теории Янга - Миллса, для которых конечно действие (1.13). Теперь рассмотрим обобщение этих решений в суперсимметричной теории Янга - Миллса. В размерности d = 4 действие

1.31) для такой теории можно получить добавляя к (1.13) слагаемое

С/ = И{гх^В(1х), (1-32) где х ~~ вейлевский фермион, определенный в присоединенном представлении калибровочной группы. Будем считать х и X независимыми переменными, хотя следует отметить, что это условие плохо согласуется с требованием вещественности лагранжиана (1.32) (см. [61]). Тогда уравнения движения примут вид сРВрХ = 0, а^ВуХ = 0- (1-33)

Во внешнем поле инстантона (1.19) только х обладает нулевыми фер-мионными модами, х их не имеет. Действительно, из равенства (1.27) следует, что оператор ст^В^В» = »» + (1.34)

Поскольку свертка антиавтодуального тензора т^ с автодуальным тензором Р^ равна нулю, а оператор В^Вц положительно определен, оператор (1.34) не может иметь нулевых мод. Напротив, оператор В»В, + ^ч^аь (1.35) где — автодуальный тензор т'Хофта. Поскольку оператор (1.35) не является полным квадратом, он может иметь нулевые моды. Число таких фермионных нулевых мод можно получить с помощью теоремы Атьи-Зингера об индексе (см.[23]).

Нетрудно получить и явный вид этих нулевых мод из соображений симметрии, если учесть, что при суперпреобразованиях

X = ^а^е, 5Х = ^а^ (1.36) где мы вновь требуем, чтобы инфинитезимальные параметры преобразований ей е были взаимно независимыми. Очевидно, что во внешнем поле автодуального инстантона 5х = 0 и 5х ф 0. Это означает, что только половина суперсимметрий аннулируют классическое решение, в то время как другая половина порождает фермионные нулевые моды. В этом случае обычно говорят о ненарушенных и нарушенных суперсим-метриях, отождествляя их с параметрами преобразований е я £ соответственно. Конфигурации в суперсимметричных теориях, которые инвариантны относительно некоторых преобразований суперсимметрии называются состояниями Богомольного - Прасада - Зоммерфельда (или BPS состояниями).

1.2. Классические поля в размерности d > 4

Уравнения автодуальности. Понятие калибровочного поля легко обобщить на высшие размерности. При этом все конструкции раздела 1.1 сохраняются, но поля определяются в некоторой области евклидова или псевдоевклидова пространства размерности d > 4. В частности, сохранится вид (1.12) уравнений движения калибровочного поля в пустоте. (Для индексации тензорных компонент в пространствах высших размерностей мы будем использовать как латинские, так и греческие символы.) Обычно при исследовании полей Янга - Миллса в пустоте поля Ац и А^ отождествляются. Поэтому уравнение (1.12) можно переписать в виде следующего коммутаторного равенства

1.37) а напряженность калибровочного поля (1.2) представить в виде

Fla, = [Dll,Dv]. (1.38)

С другой стороны, в любой вещественной алгебре Ли справедливо тождество [Д,, Dp]] + [DV1 [Dpi DJ] + [Dpi [D^ Dv]} = 0. (1.39)

Умножая это тождество на полностью антисимметричный тензор Тйира с постоянными числовыми компонентами, получаем уравнение

T^lDltiFpa] = Q. (1.40)

Поэтому, если в теории калибровочных полей выполняется равенство

T^vpaFpa = \Ffju,, (1.41) где Л = const, то напряженность поля F^ автоматически удовлетворяет уравнению (1.37). Такое обобщение уравнений (1.19) и (1.20) на случай d > 4 впервые было предложено в работе [50] (см. также [170]).

Заметим, что в отличие от (1.19) и (1.20) уравнения (1.41) не являются 50(с/)-инвариантными при d > 4, поскольку Т^ра не ведет себя как (псевдо)скаляр при действии группы SO(d). Однако он может быть инвариантным относительно подгруппы G группы SO{d). В этом случае уравнения (1.41) корректно определяются на пространствах, группой допустимых преобразований координат которых служит G. Причем ограничение евклидовыми калибровочными теориями при определении уравнений автодуальности (1.41) не является обязательным требованием. Очевидно, что и в псевдоевклидовых пространствах всякое решение уравнения (1.41) является решением уравнения Янга - Миллса (1.37).

Тем не менее, если не оговорено противное, под уравнениями автодуальности (автодуальными уравнениями Янга - Миллса) мы будем понимать уравнения (1.41), определенные в некоторой области евклидова пространства.

Заметим также, что указанная в конце предыдущего параграфа связь между инстантонными решениями четырехмерной евклидовой теории Янга - Миллса и BPS состояниями соответствующей суперсимметричной теории существует и высших размерностях. Исследованию данной связи посвящена настоящая глава. Но прежде чем переходить к формулировке и доказательству основных результатов, рассмотрим некоторые математические конструкции, которые потребуются нам в дальнейшем.

Спиноры. Хорошо известно, что группы SO(d) не являются одно-связными. При d > 2 их фундаментальные группы изоморфны Одно-связная накрывающая группы SO(d) обозначается Spin(d) и называется спинорной группой. Таким образом, имеется точная последовательность

1 Z2 Spin(d) SO(d) 1. (1.42)

Каждое линейное представление группы SO(d) порождает представление Spinid). Однако у группы Spinid) есть и другие представления, которые не получаются таким способом. Эти представления можно рассматривать как двузначные представления SO(d). Их можно легко описать используя конструкцию алгебр Клиффорда [129] (см. также [17]).

Рассмотрим конечномерное вещественное пространство M?,q с невырожденной метрикой г] сигнатуры (р, q). Выберем в ортогональный базис Гх,., Гр, Гр+1,., Гр+д, в котором форма г] имеет нормальный

ВИД

77 = сПаё(1,.,1,-1,.,-1). (1.43)

Алгеброй Клиффорда С1Р^(Ж) называется вещественная ассоциативная алгебра, порожденная элементами и определяемая соотношениям

ГЯГ& + ГьГа = 2^. (1.44)

Из определения (1-44) вытекает, что матрицы Га могут быть выбраны унитарными, если условия эрмитова сопряжения наложить в виде

Г1 = Та. (1.45)

Алгебра С1РЛ(Ж) имеет размерность 2р+д и каждый ее элемент представим в виде линейной комбинации одночленов вида

Га1й2.ай :=: Га1Га2 . . . Гай? (1-46) где 1 ^ ах < аг < • • • < ад; ^ р + д. Очевидно, что множество всех одночленов (1.46) вместе с единицей алгебры С1Р^(Ж) образует ее базис. Обычно такой базис называют каноническим.

Подалгебра алгебры С1р^(Ж), порожденная всеми одночленами Гаъ, называется четной и обозначается символом С7°?(К). Поскольку

ГаЬ, Г^] = Г}айГьс + Щс^ав, ~ 'Пас^Ъй ~ ^Гас, (1-47) ее коммутаторная алгебра содержит алгебру Ли зо(р, q). Имеют место следующие изоморфизмы:

С7°5(М) ~ С^!(М), д > 0, (1.48) р> 0. (1.49)

Подгруппа Ргп{(1) мультипликативной группы всех обратимых элементов алгебры (Д^о (М), порожденная элементами единичной сферы С К.^, называется группой Клиффорда. Ее подгруппа, состоящая из четных элементов, обозначается символом Зргп(сГ) и называется спи-норной группой. Поскольку эти группы замкнуты в группе всех обратимых элементов алгебры они являются группами Ли. Как было отмечено выше, группа 5ргте(с?) двулистно накрывает группу 50(с/). Заметим также, что для определения группы Эргп^й) можно было вместо алгебры С1^о(Щ) использовать алгебру Это утверждение справедливо ввиду изоморфизма четных подалгебр этих двух алгебр.

Комплексифицируя векторное пространство С1РгЯ(Ж), получаем комплексную алгебру Клиффорда С7^(С), где с1 = р д. Эта алгебра изоморфна алгебре всех комплексных матриц размера 2П х 2П при 6, = 2п, и прямой сумме таких алгебр при (1 = 2п + 1:

Отсюда следует, что алгебра С) имеет единственное неприводимое представление размерности 2П, которое называется спинорным. Заметим, что в качестве пространства (неприводимого) представления комплексной алгебры Клиффорда можно выбрать ее (минимальный) левый идеал.

Очевидно, что представление алгебры С1а{С) индуцирует комплексное представление группы Зрт{в). Такое представление спинорной группы обычно называют представлением Дирака. Если <1 — 2п 4- 1, то это представление неприводимо. Если = 2п, то оно является суммой двух неприводимых неэквивалентных представлений размерности 2п~1, так

С/2п(С) ~ С(2"), С72п+1(С)- С(2п)еС(2п).

1.50)

1.51) называемых полуспинорных или вейлевских представлений с положительной и отрицательной киральностью. В том случае, когда группа 5ргп(сГ) допускает вещественное представление, вместо представления Дирака или Вейля говорят о майорановском или майорано-вейлевском представлении.

Неприводимые представления группы Зрт(с1) для й 8 легко получить из таблицы 1, если воспользоваться вложением группы 5ргп(с?) в группу всех обратимых элементов алгебры

1. Акивис М.А. О локальных алгебрах многомерной три-ткани // Сиб. мат. ж. 1976. Т. 17. С. 5-11.

2. Акивис М.А. О геодезических лупах в локальных тройных системах пространства аффинной связности // Сиб. мат. ж. 1978. Т. 19. С. 243-253.

3. Арефьева И. Я. Волович И. В. Суперсимметрия: теория Калуцы -Клейна, аномалии, суперструны // УФН. 1985. Т. 46. С. 655-681.

4. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Маука, 1967.

5. Верендс Р., Дрейтлейн Дою., Фрондсел К., Ли В. Простые группы и симметрии сильного взаимодействия // В сб. "Теория групп и элементарные частицы" (ред Д. Иваненко). М.: Мир, 1967.

6. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Т. 1,2. М.: Мир, 1990.

7. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

8. Жевлакое К. А., Слинько A.M., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

9. Иваненко Д., Старцев А. Классификация элементарных частиц. // УФН. 1960. Т. 72. С. 765-798.

10. Иванова Т. А., Попов А. Д. (Анти)автодуальные калибровочные поля в размерности d > 4 // ТМФ. 1993. Т. 94. С. 316-343.

11. Картан Э. Геометрия римановых пространств. М.: ОНТИ, 1936. близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

12. Кердман Ф. С. Аналитические лупы Муфанг в целом // Алгебра и логика. 1979. Т. 18. С. 523-555.

13. Кузьмин Е. Н. Алгебры Мальцева и их представления // Алгебра и логика, 1968. Т. 7. С. 48-69.

14. Кузьмин Е. Н. О связи между алгебрами Мальцева и аналитическими лупами Муфанг // Алгебра и логика. 1971. Т. 10, С. 3-22.

15. JIooc О. Симметрические пространства. М.: Наука, 1985.

16. Мальцев А. И. Аналитические лупы // Матем. сб. 1955. Т. 36. С. 569-576.

17. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр V: Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.

18. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.

19. Филиппов В. Т. Центральные простые алгебры Мальцева // Алгебра и логика. 1976. Т. 15. С. 235-242.

20. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

21. Acharya В. S., Gukov. S. М theory and singularities of exceptional holonomy manifolds // Phys. Rept. 2004. Vol. 392. P. 121-189.

22. Atiyah M. F., Drinfeld V. G., Hitchin N. J., Manin Y. I. Construction of instantons 11 Phys. Lett. 1978. Vol. A65. P. 185-187.

23. Atiyah M. F., Hitchin N. J., Singer I. M. Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry // Proc. Roy. Soc. Lond. 1978. Vol. A362. P. 425-461.

24. Atiyah M. F., Witten E. M theory dynamics on a manifold of G(2) holonomy // Adv. Theor. Math. Phys. 2003. Vol. 6. P. 1-106.

25. BailinD., Love A. Kaluza-Klein theories // Rept. Prog. Phys. 1987. Vol. 50. P. 1087-1170.

26. Bais F. A., Nicolai H., Nieuwenhuizen P. Geometry of coset spaces and massless modes of the squashed seven sphere in supergravity // Nucl. Phys. 1983. Vol. B228. P. 333-350.

27. Bais F. A., Batenburg P. Yang-Mills duality in higher dimensions // Nucl. Phys. 1986. Vol. B269. P. 363-388.

28. Bäk D. S., Lee K. M., Park J. H. BPS equations in six-dimensions and eight-dimensions // Phys. Rev. 2002. Vol. D66. P. 025021.

29. Baker L., Fairlie D. Moyal Nahm equations // J. Math. Phys. 1999. Vol. 40. P. 2539-2548.

30. Bars L, MacDowell S. W. Gravity with extra gauge symmetry // Phys. Lett. 1983. Vol. 129B. P. 182-184.

31. Becker K. A Note on compactifications on Spin(7) holonomy manifolds // JHEP. 2001. Vol. 0105. P. 003.

32. Belavin A. A., Polyakov A. M., Schwartz A. S., Tyupkin Yu. S. Pseu-doparticle solutions of the Yang-Mills equations // Phys. Lett. 1975. Vol. B59. P. 85-87.

33. Bergshoeff E., Sezgin E., Townsend P. K. Supermembranes and eleven-dimensional supergravity // Phys. Lett. 1987. Vol. B189. P. 75-78.

34. Bilal A., Derendinger J.-P., Sfetsos K. (Weak) g{2) holonomy from selfduality, flux and supersymmetry // Nucl. Phys. 2002. Vol. B628. P. 112-132.

35. Bilge A.H., Dereli T., Kocak S. Selfdual Yang-Mills fields in eight-dimensions 11 Lett. Math. Phys. 1996. Vol. 36. P. 301-309;

36. Biran B., Englert F., Wit B., Nicolai H. Gauged N = 8 supergravity and its breaking from spontaneous compactification // Phys. Lett. 1983. Vol. B124. P. 45-50.

37. Blencowe M. P., Duff M. J. Supermembranes and the signature of space-time // Nucl. Phys. 1988. Vol. B310. 387-404.

38. Bruck R.H. A Survey of Binary System. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1971.

39. Broedel J., Ivanova T.A., Lechtenfeld 0. Construction of noncom-mutative in 4k dimensions // Mod. Phys. Lett. 2008. Vol. A23. P. 179-189.

40. Callan C. G. (Jr.), Harvey J. A., Strominger A. Worldsheet approach to heterotic instantons and solitons // Nucl. Phys. 1991. Vol. B359. P. 611-634.

41. Callan C. G. (Jr.), Harvey J. A., Strominger A. Worldbrane actions for string solitons // Nucl. Phys. 1991. Vol. B367. P. 60-82.

42. Callan C.G., Harvey J. A., Strominger A. Supersymmetric string solitons //In "String theory and quantum gravity 91" (ed. J. Harvey et al.). World Scientific, 1991.

43. Capria M. M., Salamon S. M. Yang-Mills fields on quaternionic spaces // Nonlinearity. 1988. Vol. 1. P. 517-530.

44. Cardoso G.L., Curio G., DalVAgata G., Lust D., Mannousselis P., Zoupanos G. NonKahler string backgrounds and their five torsion classes // Nucl. Phys. 2003. Vol. B652. P. 5-34.

45. Christ N.H., Weinberg E. J., Stanton N. K. General selfdual Yang-Mills solutions I/ Phys. Rev. 1978. Vol. D18. P. 2013-52.

46. Connes A., Douglas M. R., Schwarz A. Noncommutative geometry and matrix theory compactification on tori // JHEP. 1998. Vol. 9802. P. 003.

47. Constable N. R., Lambert N. D. Calibrations, monopoles and fuzzy funnels // Phys. Rev. 2002. Vol. D66. P. 065016.

48. Corrigan E., Fairlie D. B. Scalar field theory and exact solutions to a classical SU(2) gauge theory // Phys. Lett. 1977. Vol. B67. P. 6974.

49. Corrigan E., Fairlie D. B., Templeton S., Goddard P. A Green's function for the general selfdual gauge field // Nucl. Phys. 1978. Vol. B140. P. 31-54.

50. Corrigan E., Bevchand C., Fairlie B. B., Nuyts J. First-order equations for gauge fields in spaces of dimension greater than four // Nucl. Phys. 1983. Vol. B214. P. 452-465.

51. Corrigan E., Goddard P., Kent A. Some comments on the ADHM construction in 4k dimensions // Commun. Math. Phys. 1985. Vol. 100. P. 1-13.

52. Cremmer E., Scherk J. Dual models in four-dimensions with internal symmetries // Nucl. Phys. 1976. Vol. B103. P. 399-425.

53. Cremmer E., Scherk J. Spontaneous compactification of space in an Einstein Yang-Mills Higgs model // Nucl. Phys. 1976. Vol. B108. P. 409-416.

54. Cremmer E., Julia B., Scherk J. Supergravity in 11 dimensions // Phys. Lett. 1978. Vol. B76. P. 409-412.

55. Curtright T., Fairlie D., Zachos C.K. Integrable symplectic trilin-ear interaction terms for matrix membranes // Phys. Lett. 1997. Vol. B405. P. 37-44.

56. Dabholkar A., Gibbons G. W., Harvey J. A., Ruiz F.R., Superstrings and solitons // Nucl. Phys. 1990. Vol. B340. P. 33-55.

57. Dereli T., Panahimoghaddam M., Sudbery A., Tucker R. W. Oc-tonionic geometry and simple supergravity in eleven-dimensions // Phys. Lett. 1983. Vol. B126. P. 33-36.

58. Donaldson S. K. Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles // Proc. Lond. Math. Soc. 1985. Vol. 50. P. 1-26.

59. Donaldson S. K. Infinite determinants, stable bundles and curvature // Duke Math. J. 1987. Vol. 54. P. 231-247.

60. Donaldson S. K., Thomas R. P. Gauge theory in higher dimensions. In "The geometric universe". Oxford Univ. Press, 1998.

61. Dorey N., Hollowood T. J., Khoze V. V., Mattis M. P. The calculus of many instantons // Phys. Rept. 2002. Vol. 371. P. 231-459.

62. Douglas M. R., Hull C. D-branes and the noncommutative torus // JHEP. 1998. Vol. 9802. P. 008.

63. Douglas M. R., Nekrasov N. Noncommutative field theory // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 977-1029.

64. Duff M. J., Pope C. N. Kaluza-Klein supergravity and the seven sphere //In "Supersymmetry and supergravity 82" (eds. S. Ferrara et al.). World Scientific, Singapore, 1983.

65. Duff M. J., Nilsson B. E. W., Pope C. N. Kaluza-Klein supergrav-ity // Phys. Rept. 1986. Vol. 130. P. 1-142.

66. Duff M., Lu J. Strings from five-brans // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66. P. 1402-1405.

67. Duff M., Stelle K. S. Multimembrane solutions of D = 11 supergrav-ity // Phys. Lett. 1991. Vol. B253. P. 113-118.

68. Duff M. J., Khuri R. R, Lu J. X. String Solitons // Phys. Rept. 1995. Vol. 259. P. 213-326.

69. Duff M., Evans J. M., Khuri R. R., Lu J.X., Minasian R. The octo-nionic membrane // Phys. Lett. 1997. Vol. B412. P. 281-287.

70. Dundarer R., Gursey F., Tze C.-H. Generalized vector products, duality, and octonionic identities in D = 8 geometry // J. Math. Phys. 1984. Vol. 25. P. 1496-1506.

71. Dundarer R., Gursey F., Tze C.-H. Selfduality and octonionic an-alyticity of 5(7) valued antisymmetric fields in eight-dimensions // Nucl. Phys. 1986. Vol. B266. P. 440-450.

72. Eilenberg S. Extensions of general algebras // Ann. Soc. Polon. Mat. 1948. Vol. 21. P. 125-134.

73. Elduque A. On semisimple Malcev algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 107. P. 73-82.

74. Elduque A. On Malcev modules // Comm. Algebra. 1990. Vol. 18. P. 1551-1561.

75. Englert F. Spontaneous compactification of eleven-dimensional su-pergravity // Phys. Lett. 1982, Vol. B119. P. 339-342.

76. Englert F., Rooman M., Spindel P. Supersymmetry breaking by torsion and the ricci flat squashed seven spheres // Phys. Lett. 1983, Vol. B127. P. 47-54.

77. Eto M., Isozumi Y., Nitta M., Ohashi K. 1/2, 1/4 and 1/8 BPS equations in SUSY Yang-Mills-Higgs systems: Field theoretical brane configurations // Nucl. Phys. 2006. Vol. B752. P. 140-172.

78. Fairlie D. B., Nuyts J. Spherically symmetric solutions of gauge theories in eight dimensions //J. Phys. 1984. Vol. A17. P. 2867-2872.

79. Floratos E. G., Leontaris G. K. Octonionic selfduality for supermembranes // Nucl. Phys. 1998. Vol. B512. P. 445-459.

80. Freund P. G. O., Rubin M. A. Dynamics of dimensional reduction // Phys. Lett. 1980. Vol. B97. P. 233-235.

81. Fritzsch H., Minkowski P. Unified interactions of leptons and had-rons // Annals Phys. 1975. Vol. 93. P. 193-266.

82. Fubini S., Nicolai H. The octonionic instanton // Phys. Lett. 1985. Vol. B155. P. 369-372.

83. Gamba A. Peculiarities of the eight dimensional spase //J. Math. Phys. 1967. Vol. 8. P. 775-781.

84. Gauntlett J., Martelli D., Waldram D. Superstrings with intrinsic torsion // Phys. Rev. 2004. Vol. D69. P. 086002.

85. Georgi H., Glashow S.L. Unity of all elementary particle forces // Phys. Rev. Lett. 1974. Vol. 32. P. 438-441.

86. Georgi H. In: Particles and fields (ed. C. E. Carlson). New York: AIP, 1974.

87. Goddard P., Nuyts J., Olive D. Gauge theories and magnetic charge // Nucl. Phys. 1977. Vol. B125. P. 1-41.

88. Goldstine H. H., Horwitz L. P. On a Hilbert space with nonassociative scalars // Proc. Nat. Acad. Sci. 1962. Vol. 48. P. 1134-1142.

89. Goldstine H. H., Horwitz L. P. Hilbert space with non-associative scalars. I // Math. Ann., 1964, Vol. 154. P. 1-27 1964.

90. Goldstine H. H., Horwitz L. P. Hilbert space with non-associative scalars. II // Math. Ann., 1966, Vol. 164. P. 291-316.

91. Grabowski M., Tze H. C. Generalized selfdual bosonic membranes vector cross products and analyticity in higher dimensions // Phys. Lett. 1989. Vol. B224. P. 259-264.

92. Green M. B., Schwarz J. H. Anomaly cancellation in supersymmetric D = 10 gauge theory and superstring theory // Phys. Lett. 1984. Vol. B149. P. 117-122.

93. Green M. B., Schwarz J. H. Infinity cancellations in 50(32) super-string theory // Phys. Lett. 1985. Vol. B151. P. 21-25.

94. Grossman B., Kephart T. W., Stasheff J. D. Solutions to Yang-Mills field equations in eight-dimensions and the last Hopf map // Commun. Math. Phys. 1984. Vol. 96. P. 431-437; Erratum-ibid. 1985. Vol. 100. P. 311.

95. Gross D. JHarvey J. A., Martinec E. J., Rohm R. Heterotic string theory (I). The Free Heterotic String//Nucl. Phys. 1985. Vol. B256. P. 253-284.

96. Gross D. J., Harvey J. A., Martinec E. J., Rohm R. Heterotic string theory (II). The interacting heterotic string // Nucl. Phys. 1986. Vol. B267. P. 75-124.

97. Gunaydin M., Gursey F. Quark structure and octonions //J. Math. Phys. 1973. Vol. 14. P. 1651-1667.

98. Gunaydin M., Gursey F. Quark statistics and octonions // Phys. Rev. 1974. Vol. D9. P. 3387-3391.

99. Gunaydin M. Octonionic Hilbert spaces, the Poincare group and SU(3) // J. Math. Phys. 1976. Vol. 17. P. 1875-1883.

100. Gunaydin M., Piron C., Ruegg H. Moufang plane and octonionic quantum mechanics // Commun. Math. Phys. 1978. Vol. 61. P. 6985.

101. Gunaydin M., Nicolai H. Seven dimensional octonionic Yang-Mills instantons and its extension to an heterotic string soliton // Phys. Lett. 1995. Vol. B351. P. 169-172.

102. Gursey F., Ramond P., Sikivie P. Universal gauge theory model based on E6 // Phys. Lett. 1976. Vol. B60. P. 177-180.

103. Gursey F., Sikivie P. Ej as a universal gauge group // Phys. Rev. Lett. 1976. Vol. 36. P. 775-778.

104. Gursey F., Tze C.-H. Octonionic torsion on 5(7) and Englert's com-pactification of D = 11 supergravity // Phys. Lett. 1983. Vol. B127. P. 191-196.

105. Gursey F., Tze C.-H. On the Role of Division, Jordan and Related Algebras in Particle Physics, World Scientific, Singapore, 1996.

106. Hamanaka M. Noncommutative solitons and D-branes // Ph.D. Thesis. 2003, hep-th/0303256.

107. Harvey J. A., Strominger A. Octonionic superstring solitons // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66. P. 549-552.

108. Harvey J. A., Moore G. W. Superpotentials and membrane instantons // hep-th/9907026.

109. Hiraoka Y. Eight-dimensional noncommutative instantons and DO — D8 bound states with B field // Phys. Lett. 2002. Vol. D536. P. 147-153.

110. Hiraoka Y. Noncommutative U(l) instantons in eight-dimensional Yang-Mills theory // Phys. Rev. 2003. Vol. D67. P. 105025.111. 't Hooft G. Symmetry breaking through Bell-Jackiw anomalies // Phys. Rev. Lett. 1976. Vol. 37. P. 8-11.

111. Hull C.M., Townsend P.K. Enhanced gauge symmetries in super-string theories // Nucl. Phys. 1995. Vol. B451. P. 525-546.

112. Ivanov P., Ivanov S. SU(3) instantons and G(2), Spin(7) heterotic string solitons // Commun. Math. Phys. 2005. Vol. 259. P. 79-102.

113. Ivanova T. A., Popov A. B. Self-dual Yang-Mills fields in d = 7, 8, octonions and Ward equations // Lett. Math. Phys. 1992. Vol. 24. P. 85-92.

114. Ivanova T.A., Popov A.B. Some solutions of the Yang-Mills equations in dimension greater than four //J- Math. Phys. 1993. Vol. 34. P. 674-680.

115. Ivanova T. A. Octonions, selfduality and strings // Phys. Lett. 1993. Vol. B315. P. 277-282.

116. Ivanova T.A., Lechtenfeld O. Noncommutative instantons in 4k dimensions //, Phys. Lett. 2005. Vol. B612. P. 65-74.

117. Jackiw R., Nohl C., Rebbi C. Conformal properties of pseudoparticle configurations // Phys. Rev. 1977. Vol. D15. P. 1642-1659.

118. Jacobson N. Composition algebras and their automorphisms // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1958. Vol. 2. P. 55-80.

119. Jacobson N. Structure and Representations of Jordan Algebras. Providence, R.I., 1968.

120. Jaffe A., Taubes C. Vortices And Monopoles. Vol. 32. Boston: Birkhaeuser, 1980.

121. Kachru S., Schulz M. B., Tripathy P. K., Trivedi S. P. New supersym-metric string compactifications // JHEP 2003. Vol. 0303, P. 061.

122. Kaluza T. Zum unitatsproblem in der physik // Deutsch. Berl. Akad. 1921. S. 966-972.

123. Khuri R. R. A comment on string solitons // Phys. Rev. 1993. Vol. D48. P. 2947-2948.

124. Kikkawa M. On the local loops in affine manifilds //J. Sei. Hiroshima Univ. 1964. Vol. 28. P. 199-207.

125. Klein O. Quantentheorie und funfdimensionale Relativitätstheorie // Z. Phys. 1926. Vol. A37. S. 895-906.

126. Kosinski P., Rembielinski J. Difficulties with an octonionic Hilbert space description of the elementary particles // Phys. Lett. 1978. Vol. B79. P. 309-310.

127. Liebeck M. W. The classification of finite simple Moufang loops // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1987. Vol. 102. P. 33-47.

128. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors. Cambridge University Press, 2001.

129. Marcus N., Schwarz J. H. Field theories that have no manifestly lorentz invariant formulation // Phys. Lett. 1982. Vol. B115 P. 111114.

130. McCrimmon K. Bimodules for composition algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 17. P. 480-486.

131. Medina A. Groupes de Lie munis de metriques bi-invariantes // To-hoku Math. J. 1985. Vol. 37. P. 405-421.

132. Mihailescu M., Park I. Y., Tran T. A. D-branes as solitons of an N = 1, D = 10 noncommutative gauge theory // Phys. Rev. 2001. Vol. D64. P. 046006.

133. Montonen C., Olive D. Magnetic monopoles as gauge particles? // Phys. Lett. 1977. Vol. B72. P. 117-126.

134. Nappi C., Witten E. A WZW model based on a non-semi-simple group // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. 3751-3753.

135. Nekrasov N., Schwarz A.S. Instantons on noncommutative R4 and (2,0) superconformai six-dimensional theory // Comm. Math. Phys. 1998. Vol. 198. 689-703.

136. Nekrasov N. Noncommutative instantons revisited // Commun. Math. Phys. 2003. Vol. 241. P. 143-160.

137. Nishino H., Sezgin E. Matter and gauge couplings of N = 2 super-gravity in six-dimensions // Phys. Lett. 1984. Vol. B144. P. 187192.

138. Ohta K. Supersymmetric D-brane bound states with B field and higher dimensional instantons on noncommutative geometry // Phys. Rev. 2001. Vol. D64 P. 046003.

139. Oshorn H. Topological charges for N — 4 supersymmetric gauge theories and monopoles of spin 1 // Phys. Lett. 1979. Vol. B83. P. 321335.

140. Page D. N., Pope C. N. New Squashed Solutions Of D = 11 Super-gravity // Phys. Lett. 1984. Vol. B147. P. 55-66.

141. Pais A. Remark on the algebra of interactions // Phys. Rev. Lett. 1961. Vol. 7. P. 291-293.

142. Pais A. On spinors in n dimensions //J. Math. Phys. 1962. Vol. 3. P. 1135-1139.

143. Papadopoulos G., Townsend P. K. Compactification of D = 11 su-pergravity on spaces of exceptional holonomy // Phys. Lett. B357 (1995) 300-306.

144. Papadopoulos G., Teschendorf/ A. Instantons at angles // Phys. Lett. 1998. Vol. B419. P. 115-122.

145. Papadopoulos G. Rotating rotated branes // JHEP. 1999. Vol. 9904. P. 014.

146. Pati J. C., Salam A. Unified lepton-hadron symmetry and a gauge theory of the basic interactions // Phys. Rev. 1973. Vol. D8. P. 1240-1251.

147. Penney R. Octonions and isospin // Nuovo Cimento. 1971. Vol. B3. P. 95-113.

148. Polchinski J. Dirichlet branes and Ramond-Ramond charges // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. P. 4724-4727.

149. Polchinski J. Tasi lectures on D-branes // hep-th/9611050.

150. Popov A. D. Antiselfdual solutions of the Yang-Mills equations in 4n-dimensions // Mod. Phys. Lett. 1992. Vol. A7. P. 2077-2085.

151. Popov A. D. Meron type solutions of the Yang-Mills equations in 4n-dimensions // Europhys. Lett. 1992. Vol. 19. P. 465-468.

152. Rembielinski J. Tensor product of the octonionic Hilbert spaces and colour confinement //J. Phys. 1978. Vol. All. P. 2323-2333.

153. Saclioglu C. Scale invariant gauge theories and self-duality in higher dimensions // Nucl. Phys. 1986. Vol. B277. P. 487-508.

154. Sagle A.A. Malcev algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1961, Vol. 101. P. 426-458.

155. Sagle A. A. On simple extended Lie algebras over fields of characteristic zero // Pacif. J. Math. 1962, Vol. 12. P. 1057-1078.

156. Schafer R. D. Representation of alternative algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 72. P. 1-17.

157. Schafer R. D. An Introduction to Non-Assocoative Algebras. New York: Academic Press, 1966.

158. Scherk J., Schwarz J. H. Dual field theory of quarks and gluons // Phys. Lett. 1975. Vol. B57. P. 463-466.

159. Seiberg N., Witten E. String theory and noncommutative geometry // JHEP. 1999. Vol 9909. P. 032.

160. Speiser D.R, Tar ski J. Possible schemes for global symmetry // J. Math. Phys. 1963. Vol. 4. P. 588-612.

161. Strominger A. Heterotic solitons // Nucl. Phys. 1990. Vol. B343. P. 167-184.

162. Tchrakian D.H. iV-dimensional instantons and monopoles // J. Math. Phys. 1980. Vol. 21. P. 166-172.

163. Tchrakian D. H. Spherically symmetric gauge field configurations with finite action in 4p dimensions // Phys. Lett. 1985. Vol. B150. P. 360-364.

164. Townsend P. K., Pilch K., Nieuwenhuizen P. Selfduality in odd dimensions // Phys. Lett. 1984. Vol. B136. P. 38-42; Addendum-ibid. 1984. Vol. 137B. P. 443.

165. Ueno T. General solution of 7D octonionic top equation // Phys. Lett. 1998. Vol. A245. P. 373-381.

166. Uhlenbeck K., Yau S. T. On the existence of Hermitian-Yang-Mills connections on stable vector bundles // Commun. Pure Appl. Math. 1986. Vol. 39. P. 257-293.

167. Uhlenbeck K., Yau S. T. A note on our previous paper: "On the existence of Hermitian-Yang-Mills connections in stable vector bundles" // Commun. Pure Appl. Math. 1989. Vol. 42. P. 703-707.

168. Vollendorf F. Cayley-Zahlen und erhaltungsgesetze fur elementarteilchen // Z. Naturforschr. 1975. Vol. 30A. P. 431-433.

169. Ward R. S. Completely solbable gauge-field equations in dimention greater than four // Nucl. Phys. 1984. Vol. B236. P. 381-396.

170. Wilczek F. Quark confinement and field theory. New York: John Wiley and Sons, 1977.

171. Wit B., Nicolai H. The parallelizing 5(7) torsion in gauged N = 8 supergravity // Nucl. Phys. 1984. Vol. B231. P. 506-532.

172. Wit B., Nicolai H. The consistency of the 57 truncation in D — 11 supergravity // Nucl. Phys. 1987. Vol. B281. P. 211-257.

173. Witten E., Olive D, Supersymmetry algebras that include topological charges // Phys. Lett. 1978. Vol. B78. P. 97-110.

174. Witten E. Topological Tools in Ten-Dimensional Physics in String Theories. World-Scientific, 1986.

175. Witten E. String theory dynamics in various dimensions // Nucl. Phys. 1995. Vol. B443. P.85-126.

176. Witten E. BPS Bound states of D0-D6 and D0-D8 systems in a B-field // JHEP. 2002. Vol. 0204. P. 012.

177. Работы автора по теме диссертации

178. Loginov Е.К. Spontaneous compactification and nonassociativity // Phys. Rev. 2009. Vol. D80. P. 124009.

179. Loginov E. K. Classification of BPS equations in higher dimensions // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 065010.

180. Loginov E. K. Remarks on string solitons // Phys. Rev. 2008. Vol. D77. P. 105003.

181. Loginov E.K. On a class of gauge theories //J. Math. Phys. 2007. Vol. 48. P. 073522.

182. Loginov E.K., Grishkov A.N. On a construction of self-dual gauge fields in seven dimensions //J. Nonlin. Math. Phys. 2007. Vol. 14. P. 562-569.

183. Loginov E. K. Multi-instantons and superstring solitons // Phys. Lett. 2005. Vol. B618. P. 265-268.

184. Loginov E. K. Multi-instantons in seven dimensions //J. Math. Phys. 2005. Vol. 46. P. 063506.

185. Логинов E. К. О конструкции мультиинстаитонов в пространствах размерности d ^ 8 // ТМФ. 2005. Т. 145. С. 191-197.

186. Loginov Е. К. Self-dual Yang-Mills fields in pseudo-Euclidean spaces // J. Phys. 2004. Vol. A37. P. 6599-6604.

187. Логинов E. К. О линейных представлениях аналитических луп Му-фанг // Матем. заметки. 2003. Т. 73. С. 456-460.

188. Loginov Е.К. Analytic loops and gauge fields // Nucl. Phys. 2001. Vol. B606. P. 636-646.

189. Логинов Е. К. О вложении аналитических луп Муфанг в альтернативные алгебры // Матем. заметки. 2001. Т. 69. С. 313-315.

190. Логинов Е. К. О включении строго простых луп Муфанг в простые альтернативные алгебры // Матем. заметки. 1993. Т. 54. С. 66-73.

191. Loginov Е. К. On linear representations of Moufang loops // Commun. Algebra. 1993. Vol. 21. P. 2527-2536.